九年级数学圆周角和圆心角关系

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九年级数学圆周角和圆心角的关系1

AC AD AE AB
△ADC∽ △ABE
或△ACE∽ △ADB
B E
O D
C
思考题
已知顶角∠A=500的等腰三角形ABC内接于 O，D是O上一点，则∠ADB的度数是（ A. 500 C. 500或650 ） B. 650 D. 650或1150
作
业

1.课本P109习题3.5 1,2题

D C A O1 O B
1、本节课我们学习了哪些知识？
圆周角定理的两个推论
2、本节课我们学习了哪些方法？
引辅助线的方法：（1）构造直径上的圆周角。
（2）构造同弧所对的圆周角。
如图，AE⊙O的直径, △ABC的顶点都在 ⊙O上,AD是△ABC的高; 求证：AB · AC = AE · AD
分析：要证AB · AC = AE · AD A
A
∠DBC
D
.
B
C A
(2)如图所示,⊙O的直径AB=10cm, C为⊙O上一点,∠BAC=30°, 则BC= 5 cm
●
O C
B
3.如图,△ABC的顶点均在⊙O上, AB=4, ∠C=30°,求⊙O的直径.
B
●
A
O
C
E
如图，以⊙O的半径OA为直径作⊙O1, ⊙O的弦AD交⊙O1于C,则 OC垂直平分AD ; (1)OC与AD的位置关系是_____ 平行 ; (2)OC与BD的位置关系是_____ 4 cm。 (3)若OC = 2cm,则BD = __
推论2
共同分析
1.如图,AB是⊙O的直径，BD是弦,延长BD 到C,使DC=BD,AC与AB的大小有什么关系? 为什么?
A
●

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解（基础）【学习目标】1．理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；2．理解圆周角定理及推论；3．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．【要点梳理】要点一、圆周角1.圆周角定义：像图中∠AEB、∠ADB、∠ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.3.圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2：直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交.(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中.（3）圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周角的外部．（如下图）要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.ODCBA2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补.如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，则∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°.要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补.【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用1.如图，在⊙O 中，，求∠A 的度数.【答案与解析】.【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等．举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD 内接于⊙O ，点E 在劣弧AD 上，则∠BEC 等于( )A ．45°B ．60°C ．30°D ．55° 【答案】A.∵ AB ＝BC ＝CD ＝DA ，∴ 90AB BC CD DA ====°， ∴ ∠BEC ＝45°．类型二、圆周角定理及应用2.观察下图中角的顶点与两边有何特征? 指出哪些角是圆周角?【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角. 【答案与解析】(a)∠1顶点在⊙O 内，两边与圆相交，所以∠1不是圆周角； (b)∠2顶点在圆外，两边与圆相交，所以∠2不是圆周角；(c)图中∠3、∠4、∠BAD 的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以∠3、∠4、∠BAD 是圆周角． (d)∠5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以∠5不是圆周角； (e)∠6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知∠6不是圆周角. 【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角．3.（2015•台州）如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC=BC=DC ．（1）若∠CBD=39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1=∠2．【答案与解析】（1）解：∵BC=DC ， ∴∠CBD=∠CDB=39°，∵∠BAC=∠CDB=39°，∠CAD=∠CBD=39°， ∴∠BAD=∠BAC+∠CAD=39°+39°=78°；（2）证明：∵EC=BC ，∴∠CEB=∠CBE，而∠CEB=∠2+∠BAE，∠CBE=∠1+∠CBD，∴∠2+∠BAE=∠1+∠CBD，∵∠BAE=∠CBD，∴∠1=∠2．【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键．4．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？【思路点拨】BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰三角形，要证明D是BC的中点，只要连结AD，证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接AD∵AB是⊙O的直径∴∠ADB=90°即AD⊥BC又∵AC=AB，∴BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线.举一反三：【变式】（2015•安顺）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A=22.5°，OC=4，CD的长为（）DABCOA ．2B ． 4C ． 4D ．8【答案】C.提示：∵∠A=22.5°，∴∠BOC=2∠A=45°，∵⊙O 的直径AB 垂直于弦CD ，∴CE=DE，△OCE 为等腰直角三角形，∴CE=OC=2，∴CD=2CE=4．故选：C ．类型三、圆内接四边形及应用5．圆内接四边形ABCD 的内角∠A ：∠B ：∠C=2:3:4，求∠D 的度数.【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为360°，从而求得∠D 的度数. 【答案与解析】解：∵圆内接四边形的对角互补， ∴ ∠A ：∠B ：∠C ：∠D=2:3:4：3 设∠A=2x ，则∠B=3x ，∠C=4x ，∠D=3x ， ∴2x+3x+4x+3x=360°， ∴x=30°. ∴∠D=90°.【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为360°的运用.举一反三：【变式】如图，⊙O中，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BOD=110°，则∠BCD的度数是（）.A.110°B.70°C.55°D.125°【答案】D.C。

初中数学知识点精讲精析圆周角和圆心角的关系

3·3圆周角和圆心角的关系1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．1.已知：⊙O 中，所对的圆周角是∠ABC ，圆心角是∠AOC ．求证：∠ABC ＝12AOC ．【解析】证明：∠AOC 是△ABO 的外角，∴∠AOC ＝∠ABO ＋∠BAO ．∵OA ＝OB ，∴∠ABO ＝∠BAO ． ∴∠AOC ＝2∠ABO ．即∠ABC ＝12∠AOC ．如果∠ABC 的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O 在∠ABC 内部时，只要作出直径BD ，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ， ∴∠ABD ＋∠CBD ＝12(∠AOD ＋∠COD)，即∠ABC ＝12∠AOC ．在图(2)中，当点O 在∠ABC 外部时，仍然是作出直径BD ，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有 ∠ABD ＝12∠AOD ，∠CBD ＝12∠COD ．∴∠ABD －∠CBD ＝12(∠AOD －∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径.(1)若OD ∥AC ，的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论.【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，.BDCABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.B【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC . ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

圆周角与圆心角、弧的关系

(教案)圆周角与圆心角、弧的关系一、知识讲解：1．圆周角与圆心角的的概念：顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

2．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

3．一条弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。

4．直径所对的圆周角是90度，90度的圆周角所对的弦是直径。

5．圆的内接四边形对角之和是180度。

6．弧的度数确实是圆心角的度数。

解题思路：1．已知圆周角，能够利用圆周角求出圆心角2．已知圆心角，能够利用圆心角求出圆周角3．已知直径和弧度，能够求出圆周角与圆心角1.圆周角与圆心角的定义顶点在圆上，同时两边都和圆相交的角叫做圆周角。

注意圆周角定义的两个差不多特点：(1)顶点在圆上；(2)两边都和圆相交。

二、教学内容【1】圆心角：顶点在圆心的角。

利用两个错误的图形来强调圆周角定义的两个差不多特点：练习：判断下列各图形中的是不是圆周角，并说明理由．【2】明白得圆周角定理的证明一条弧所对的圆周角的度数等于这条弧所对的圆心角度数的一半。

已知：⊙O中，弧BC所对的圆周角是∠BAC，圆心角是∠BOC，求证：∠BAC= 1/2∠BOC.分析：通过图形的演示指导学生进一步去查找圆心O与∠BAC的关系本题有三种情形：（1）圆心O在∠BAC的一边上 O（2）圆心O在∠BAC的内部（3）圆心O在∠BAC的外部 B D C●假如圆心O在∠BAC的边AB上,只要利用三角形内角和定理的推论和等腰三角形的性质即可证明●假如圆心O在∠BAC的内部或外部,那么只要作出直径AD,将那个角转化为上述情形的两个角的和或差即可证明:圆心O在∠BAC的一条边上 AOA=OC==>∠C=∠BAC∠BOC=∠BAC+∠C O==>∠BAC=1/2∠BOC. B C【3】圆周角与圆心角的关系（1）．在同圆或等圆中，假如两条弦，两条弧，两个圆心角中有一组量相等，那么它们所对应的其它各组量都分别相等。

圆心角与圆周角的关系证明

圆心角与圆周角的关系证明要讨论圆心角与圆周角的关系，我们首先得了解这两个角的基本概念。

想象一下，我们站在一个圆的中心，眼前是一个大大的披萨（谁不喜欢披萨呢？），这个披萨的每一片都能代表一个圆心角。

圆心角就是从圆心出发，连接到圆的两边形成的那个角。

听起来是不是很简单？但别小看这个角，它可是有很多有趣的性质，尤其是与圆周角的关系。

接下来，我们聊聊圆周角。

圆周角就像是坐在披萨边缘的朋友，虽然离圆心远了一点，但它的工作同样重要。

简单来说，圆周角是圆周上某一段的端点与圆心之间形成的角。

这里面有个有趣的点：圆心角的度数和它对应的圆周角的度数是有关系的。

让我们用个小例子来说明吧：假设你有一个圆心角为60度的角，那么对应的圆周角就只有30度。

这是不是听起来很神奇？像是魔术一样，让人忍不住想要深入探讨。

在数学上，这种关系其实是有一定规律的。

我们可以用公式来简单地表示：圆周角= 1/2 × 圆心角。

也就是说，圆心角总是圆周角的两倍！如果你把这个关系想象成一对好朋友，那圆心角就像是个大嘴巴，总是说个不停，而圆周角则比较安静，时不时插一句。

这样的搭配，简直就是天生一对！要想彻底理解这个关系，我们可以借助几何图形来更直观地观察。

画个圆，标出圆心，接着在圆的边缘上找两个点。

用直线连接这两个点到圆心，再在这两个点之间的圆周上找一个点，看看你能形成什么样的角。

这时，你会发现无论你如何移动这些点，圆心角的度数永远是圆周角的两倍。

就像那句老话，“不怕慢，就怕站”，只要我们不停地探索，就总能找到答案。

当然，实际生活中，这个关系也会有很多应用，比如在建筑设计、机械工程等等领域。

想象一下，如果没有这个关系，建筑师们的设计图纸可能会变得乱七八糟，大家都搞不清楚哪个角应该怎么测量，最后建出来的房子可能会歪歪扭扭的，那可就闹笑话了。

可见，圆心角和圆周角的和谐关系在生活中是多么的重要！所以，朋友们，记住这段关系吧。

圆心角和圆周角就像是数学世界里的好搭档，无论走到哪里，它们都携手并进。

九年级数学圆周角和圆心角的关系

A
A O
O B C
B C
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A
O B C
证明:一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
A O
B
C
பைடு நூலகம்
练习：
D
1.求圆中角X的度数
C O X
120°
O A
O
70° x
.
C
.
B
B C
A
B
A
2.如图，圆心角∠AOB=100°，则∠ACB=___。
O C
.
1.判别下列各图形中的角是不是圆周角。
A
⌒
有没有圆周角？有没有圆心角？它们有什么共同的特点？
O B C
它们都对着同一条弧
⌒
下列图形中，哪些图形中的圆心角∠BOC 和圆周角∠A是同对一条弧。
A
A D
O B
A O
O
C
A O
B
C
A O
D
B
C
B
C
B
C
自己动手量一量同一条弧所对的圆心角和圆周角分别是多少度？
圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系
D B C
B O A O'
B' A'
O A
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等
在同圆或等圆中，
圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系
我们把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是 1°的角。因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份。我们把每一份这样的弧叫做1°的弧。

初中数学知识点精讲精析-圆周角和圆心角的关系

3·3圆周角和圆心角的关系要点精讲1.圆周角定义：圆周角(angle in a circular segment)：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角．两个特征：(1)角的顶点在圆上；(2)两边在圆内的部分是圆的两条弦．2．圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，所对的圆周角都等于它所对的圆心角的一半．注意：(1)定理的条件是同一条弧所对的圆周角和圆心角，结论是圆周角等于圆心角的一半．(2)不能丢掉“一条弧所对的”而简单说成“圆周角等于圆心角的一半”．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．注意：(1)“同弧”指“同一个圆”．(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”．(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．3．直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．注意：这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角：如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．4.反证法：注意：用反证法证明命题的一般步骤：(1)假设命题的结论不成立；(2)从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾．(3)山矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．5.圆内角与圆外角：我们把顶点在圆内(两边自然和圆相交)的角叫圆内角(如图1．顶点在圆外并且两边都和圆相交的角叫圆外角(如图2)．定理：圆内角的度数，等于它所对弧的度数与它的对顶角所对弧的度数之和的一半．圆外角的度数，等于它的两边所夹两条弧的度数的差的一半．典型例题1.已知：⊙O中，所对的圆周角是∠ABC，圆心角是∠AOC．求证：∠ABC＝12 AOC．【解析】证明：∠AOC是△ABO的外角，∴∠AOC＝∠ABO＋∠BAO．∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO．∴∠AOC＝2∠ABO．即∠ABC＝12∠AOC．如果∠ABC的两边都不经过圆心(如下图)，那么结果怎样？特殊情况会给我们什么启发吗？你能将下图中的两种情况分别转化成上图中的情况去解决吗？如图(1)，点O在∠ABC内部时，只要作出直径BD，将这个角转化为上述情况的两个角的和即可证出．由刚才的结论可知：∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD，∴∠ABD＋∠CBD＝12(∠AOD＋∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．在图(2)中，当点O在∠ABC外部时，仍然是作出直径BD，将这个角转化成上述情形的两个角的差即可．由前面的结果，有∠ABD＝12∠AOD，∠CBD＝12∠COD．∴∠ABD－∠CBD＝12(∠AOD－∠COD)，即∠ABC＝12∠AOC．2.如图示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系?为什么?[分析]由于AB是⊙O的直径，故连接AD．由推论直径所对的圆周角是直角，便可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC＝AB，所以由等腰三角形的二线合一，可证得BD=CD．【解析】BD=CD．理由是：连结AD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°．即AD⊥BC．又∵AC＝AB,∴BD＝CD．3．为什么有些电影院的坐位排列(横排)呈圆弧形？说一说这种设计的合理性．【解析】有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．4．如下图，哪个角与∠BAC相等?【解析】∠BDC＝∠BAC．5. 如下图，⊙O的直径AB＝10 cm，C为⊙O上的一点，∠ABC＝30°，求AC的长．【解析】∵AB为⊙O的直径．∴ACB=90°．又∵∠ABC=30°， ∴AC=21AB=21×10=5(cm)． 6．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形，根据下图，你能判断哪个是半圆形?为什么?【解析】图(2)是半圆形、理由是：90°的圆周角所对的弦是直径．7.船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁，如下图，A 、B 表示灯塔，暗礁分布在经过A 、B 两点的一个圆形区域内，C 表示一个危险临界点，∠ACB 就是“危险角”．当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁；当船与两个灯塔的夹角小于“危险角”时，就能避免触礁．(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? (2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域?为什么? 分析：这是一个有实际背景的问题，由题意可知：“危险角” ∠ACB 实际上就是圆周角，船P 与两个灯塔的夹角为∠α，P 有可能在⊙O 外，P 有可能在⊙O 内，当∠α＞∠C 时，船位于暗礁区域内；当∠α＜∠C 时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．【解析】(1)当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角” ∠C 时，船位于暗礁区域内(即⊙O 内)，理由是：连结BE ，假设船在(⊙O 上，则有∠α=∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 上；假设船在⊙O 外，则有∠α＜∠AEB ，即∠α＜∠C ，这与∠α＞∠C 矛盾，所以船不可能在⊙O 外．因此．船只能位于⊙O 内．(2)当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外(即⊙O 外)．理由是：假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；假设船在⊙O内，则有∠α>∠AEB，即∠α>∠C．这与∠α<∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．8.如图，已知在⊙O中，直径AB为10cm，弦AC为6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D．求BC、AD和BD的长．分析：由AB为直径，知∠ACB=90°，又AC、AB已知，可由勾股定理求BC．又∠ADB=90°，AD=DB，由勾股定理可求AD、BD．【解析】∵AB为直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，又∵AB＝10cm，AC＝6cm，又∵CD是∠ACB的平分线，∠ACD=∠DCB，∴AD=DB．在 Rt∠ADB中，9.已知AB是⊙O的直径，AE是弦，C是的中点，CD⊥AB于D，交AE于F，CB交AE于G．求证：CF=FG．分析：如图7—107，要证CF=FG，只需证∠FCG=∠FGC．由已知，∠FCG与∠B互余．如果连结AC，∠ACB=90°．∠FGC与∠CAG互余．【解析】证明：连结AC，∵AB为直径，∴∠ACB=90°，∠FGC=90°-∠CAE．又∵CD⊥AB于D，∠FCG=90°-∠B，∴∠FGC=∠FCG．因此，CF=FG．10.如图，AB 是⊙O 的直径. ABCDO(1)若OD ∥AC ，与的大小有什么关系？为什么？(2)把(1)中的条件和结论交换一下，还能成立吗？说明理由. 【解析】(1)=延长DO 交⊙O 于E . ∵AC ∥OD , ∴=. ∵∠1=∠2, ∴=. ∴=.(2)仍成立，延长DO 交⊙O 于点E ，连结AD . ∵=，=, ∴=. ∴∠3=∠D . ∴AC ∥OD .11.如图，⊙O 上三点A 、B 、C ，AB =AC ，∠ABC 的平分线交⊙O 于点E ，∠ACB 的平分线交⊙O 于点F ，BE 和CF 相交于点D ，四边形AFDE 是菱形吗？验证你的结论. AB CDEFO【解析】四边形AFDE 是菱形.证明：∵∠ABC=∠ACB, ∠ABE=∠EBC=∠ACF=∠FCB. 又∠FAB ，∠FCB 是同弧上的圆周角, ∴∠FAB=∠FCB ，同理∠EAC=∠EBC. 有∠FAB=∠ABE=∠EAC=∠ACF.∴AF ∥ED ，AE ∥FD 且AF=AE. ∴四边形AFDE 是菱形.12.如图是一大型圆形工件被埋在土里而露出地表的部分.为推测它的半径，小亮同学谈了他的做法：先量取弦AB 的长，再量中点到AB 的距离CD 的长，就能求出这个圆形工件的半径.你认为他的做法合理吗？如不合理，说明理由；如合理，请你给出具体的数值，求出半径，与同伴交流.BDCDEO1 23CABD【解析】小亮的做法合理.取AB=8 m ，CD=2 m, 设圆形工件半径为r, ∴r 2=(r －2)2+42. 得r=5(m).13.如图，现需测量一井盖(圆形)的直径，但只有一把角尺(尺的两边互相垂直，一边有刻度，且两边长度都长于井盖的半径)，请配合图形，用文字说明测量方案，写出测量的步骤.(要求写出两种测量方案)【解析】方案1：使角尺顶点在圆上，角尺两边与圆两交点连接就是圆的直径，用刻度尺量出直径.方案2：任画圆的一条弦，用尺量出弦的中点，利用角尺过弦中点做弦的垂线，垂线与圆的两交点间的线段为圆的直径.14.如图，在⊙O 中，AB 是直径，CD 是弦，AB ⊥CD . (1)P 是上一点(不与C 、D 重合)，求证：∠CPD =∠COB .(2)点P ′在劣弧CD 上(不与C 、D 重合)时，∠CP ′D 与∠COB 有什么数量关系？请证明你的结论.BA CDOP【解析】(1)证明：连结OD, ∵AB 是直径，AB ⊥CD, ∴=.∴∠COB=∠DOB=21∠COD. 又∵∠CPD=21∠COD, ∴∠CPD=∠COB. (2)∠CP ′D 与∠COB 的数量关系是：∠CP ′D+∠COB=180°.证明：∵∠CPD+∠CP ′D=180°，∠COB=∠CPD, ∴∠CP ′D+∠COB=180°15.(9分)已知，如图20，AB 是⊙O 的直径,C 是⊙O 上一点,连接AC,过点C 作直线CD ⊥AB 于D(AD<DB),点E 是DB 上任意一点(点D 、B 除外)，直线CE 交⊙O 于点F,连接AF 与直线CD 交于点G.(1)求证：AC 2=AG ·AF ;(2)若点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论是否仍然成立？若成立，请画出图形并给予证明；若不成立，请说明理由.AB CD OEGF【解析】(1)证明：连接CB ，∵AB 是直径，CD ⊥AB , ∴∠ACB =∠ADC =90°. ∴Rt △CAD ∽Rt △BAC . ∴得∠ACD =∠ABC . ∵∠ABC =∠AFC , ∴∠ACD =∠AFC . ∴△ACG ∽△ACF . ∴ACAF AG AC. ∴AC 2=AG ·AF . (2)当点E 是AD (点A 除外)上任意一点，上述结论仍成立 ①当点E 与点D 重合时，F 与G 重合, 有AG =AF ，∵CD ⊥AB ，∴=, AC =AF . ∴AC 2=AG ·AF .②当点E 与点D 不重合时(不含点A )时，证明类似①.。

圆周角和圆心角的关系

圆周角和圆心角的关系
圆周角和圆心角的关系：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即圆周角定理。

圆周角是顶点在圆周上的角，圆心角是顶点在圆心上的角。

圆周角和圆心角的性质和定理
1、在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两组弧，两条弦，两条弦心距中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。

2、在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半(圆周角与圆心角在弦的同侧)。

3、圆周角的度数等于它所对的弧度数的一半。

4、直径所对的圆周角是直角;90度的圆周角所对的弦是直径。

5、圆心角计算公式：θ=(L/2πr)×360°=180°L/πr=L/r(弧度)。

即圆心角的度数等于它所对的弧的度数;圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。

人教版数学九年级圆心角和圆周角关系定理的理解和解题运用

人教版数学九年级圆心角与圆周角关系定理的理解与解题运用一、知识解读1、圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。

在理解关系定理的内涵时，要理清如下几点：①定理的使用范围：必须在同圆中，这是一种情况；第二是必须在等圆中。

否则，不能乱用定理。

②理解好两种等量关系一是同弧所对的圆周角相等，二是等弧所对的圆周角相等。

这是寻找角相等的基本方向。

③确定准圆周角的度数大小一是同弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。

二是等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。

④理解好“一半”的意义在这里，有两层意义：一是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数不知道时，满足如下等量关系：设所对的圆周角是∠1，所对的圆心角是∠2，则∠1=21∠2，或∠2=2∠1，二是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数知道时，满足如下等量关系：设所对的圆周角是∠1=x °，所对的圆心角是∠2=y °，则x=21 y °，或y=2 x °， 2、推论在同圆或等圆中，半圆所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。

二、考点剖析考点1、直接用定理例1、如图1所示，⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=o ，25BDC ∠=o ，那么P ∠= ．方法解读：∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，根据定理就能求∠ABD 的度数； ∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ；这样，就把所求与已知联系起来了。

解：因为，∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，所以，∠ABD=21∠AOD=21×120°=60°，因为，∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ，因为，∠BDC=25°，所以，∠P=60°-25°=35°。

圆心角圆周角关系证明

圆心角圆周角关系证明圆心角和圆周角是在几何学中经常出现的概念。

在圆周上，圆心角是指以圆心为顶点的角，而圆周角是指以圆周上的两点为顶点的角。

这两者之间存在着一定的关系，下面将通过证明来展示这种关系。

我们来看一个圆周角的例子。

假设有一个圆，圆心为O，圆周上有两点A和B，以这两点为顶点的角为∠AOB。

我们可以发现，当∠AOB < 180°时，这个角可以是锐角或直角；当∠AOB = 180°时，这个角为平角；当∠AOB > 180°时，这个角为钝角。

接下来，我们来看圆心角的例子。

假设有一个圆，圆心为O，圆周上有两点A和B，以O为顶点的角为∠AOB。

根据圆的定义，圆周上的任意一条弧所对应的圆心角都是不变的，即∠AOB 是一个固定值。

无论弧AB的长度是多少，∠AOB 都保持不变。

现在，我们来证明圆心角和圆周角之间的关系。

设在圆上有一条弧AB，对应的圆心角为∠AOB，圆周角为∠ACB。

我们可以发现，当弧AB等于整个圆周时，即AB是整个圆周，此时∠AOB = 360°，而∠ACB = 360°，两者相等。

这是因为整个圆周对应的圆心角和圆周角都是360°。

当弧AB的长度小于整个圆周时，即0 < AB < 360°，我们可以通过比较圆心角和圆周角来得出它们之间的关系。

在这种情况下，我们可以发现，圆周角∠ACB 是弧AB所对应的圆心角∠AOB 的一半。

也就是说，∠ACB = ∠AOB / 2。

这个结论可以通过几何推理来证明。

我们可以将圆周分割成n个相等的小弧，然后以圆心为顶点，连接每个小弧的两个端点，形成n个圆心角。

我们可以发现，这些圆心角的和等于一个完整的圆心角。

而每个小弧对应的圆周角都是相等的，根据圆周角的定义，它们都是∠ACB。

那么我们可以得出以下结论：n * ∠ACB = ∠AOB。

进一步推导，我们可以得到∠ACB = ∠AOB / n。

17-第三章4圆周角和圆心角的关系

知识点三圆内接四边形
栏目索引
8.(2019黑龙江哈尔滨道外一模)如图3-4-6,AB、BC为☉O的两条弦,∠AOC -∠ABC=60°,则∠ABC的度数为 ( )
A.120°
B.100°
C.160°
图3-4-6 D.150°
4 圆周角和圆心的关系
答案
B
如图,在优弧
︵
AC
上取点D,连接DA、DC,
温馨提示任何一个四边形都最多只有一个外接圆,但是一个圆的内接四边形有无数个
4 圆周角和圆心的关系
2.圆内接四边形的性质
内容
性质
圆内接四边形的对角互补
详解
∵ ︵与︵所对的圆心角之
ABC ADC
和为360°,∴∠ABC+∠D= 1×36
2
0°=180°.同理,∠BCD+∠BAD=1
80°
拓展
∵∠ABC+∠D=180°,∠CBE+∠ ABC=180°,∴∠CBE=∠D. 结论:圆内接四边形的任何一个外角等于它的内对角
2
栏目索引
③如图3-4-1(3)所示,圆心O在∠BAC的外部.连接AO并延长交☉O于点D,由
①得∠BAD= 1 ∠BOD,∠CAD= 1 ∠COD,∴∠CAD-∠BAD= 1(∠COD-∠
2
2
2
BOD),即∠BAC= 1 ∠BOC.
2
提示:不能把“一条弧所对的”去掉,而简单说成“圆周角等于圆心角的一
解析因为四边形ADBC内接于☉O,所以∠2+∠D=180°,同理可得∠1+∠ E=180°,所以∠1+∠2+∠D+∠E=360°,又∠1+∠2=180°-∠BAC=130°,所以 ∠D+∠E=230°.

3.4 圆周角和圆心角的关系(1)(数学北师大版九年级下册)

证明：∵点 E 是B︵C的中点，即︵ BE＝︵ CE， ∴∠BAE＝∠CBE. 又∵∠E＝∠E(公共角)，∴△BDE∽△ABE， ∴BE∶AE＝DE∶BE，∴BE2＝AE·DE.
[归纳总结] 对“同弧或等弧所对的圆周角相等”的理解： (1)“同弧”指“在同一个圆中”；(2)“等弧”指“在同圆或等圆中”；(3)“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
∠ABC 与圆心角∠AOC，它们的大小有什么关系？
图 3－4－1
在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，首先考虑了一种特
殊情况(圆心在圆周角的一边上)，如图 3－4－1①所示．
∵∠AOC 是△ABO 的外角， ∴∠AOC＝∠ABO＋__∠__O_A_B__．又∵OA＝OB，
∴∠OAB＝__∠__A_B_O____， ∴∠AOC＝_2_∠__A_B_C__，即∠ABC＝21∠AOC. 如果∠ABC 的两边都不经过圆心，如图 3－4－1②、③，那么结论会怎样？请你说明理由．
总结反思
知识点一圆周角圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．由定义可知圆周角具备两个特征：一是顶点必须在圆上，二是角的两边都和圆相交．
知识点二圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的___一__半___．
知识点三圆周角定理推论1 同弧或等弧所对的圆周角__相__等____．
图 3－4－2
[解析] 根据△AOB 是等腰三角形，由∠ABO＝55°，可得∠AOB＝70°，再利用圆周角定理即可求解．
解：∵OA＝OB，∴△AOB 是等腰三角形．又∵∠ABO＝55°， ∴∠AOB＝180°－∠ABO－∠OAB＝180°－ 55°－55°＝70°， ∴∠BCA＝21∠AOB＝12×70°＝35°.

九年级数学圆心角和圆周角的关系圆周角定理

A E
●
O
C
B D
圆周角: 圆周角: 顶点在圆上,它的两边分别与圆还各有一个交点, 圆还各有一个交点,像这样的角,叫做圆周角圆周角. 这样的角,叫做圆周角.
想一想
类比圆心角探知圆周角类比圆心角探知圆周角探知
• 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆心角相等. 同圆或等圆中相等的弧所对的圆心角相等. 圆心角相等 • 在同圆或等圆中,相等的弧所对的圆周角有什么关系？同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角有什么关系？圆周角有什么关系
A C
●
A C
●
A C B
●
O
O
O
B B
为了解决这个问题, 为了解决这个问题,我们先探究一条弧所对的圆周角和圆心角之间有的关系. 周角和圆心角之间有的关系.
议一议
圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系
A
• 如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 如图,观察弧AC所对的圆周角∠ABC与圆心角∠AOC, 所对的圆周角它们的大小有什么关系? 它们的大小有什么关系? • 说说你的想法并与同伴交流说说你的想法,并与同伴交流并与同伴交流.
●
议一议
圆周角和圆心角的关系圆周角和圆心角的关系
• 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? 如果圆心不在圆周角的一边上,结果会怎样? • 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时,圆周角 2.当圆心(O)在圆周角(∠ABC)的内部时, (O) (∠ABC)的内部时 ABC与圆心角 AOC的大小关系会怎样与圆心角∠ 的大小关系会怎样? ∠ABC与圆心角∠AOC的大小关系会怎样? A D 老师提示:能否转化为1的情况? 老师提示:能否转化为1的情况? 过点B作直径BD.由可得: 过点B作直径BD.由1可得: BD. ∠ABD =

圆周角和圆心角的关系—知识讲解(基础)

圆周角和圆心角的关系--知识讲解(基础)【学习目标】1 •理解圆周角的概念，了解圆周角与圆心角之间的关系；2 •理解圆周角定理及推论；3 •熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用；通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.【要点梳理】要点一、圆周角1. 圆周角定义：像图中/ AEB / ADB / ACB这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角.2. 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半3. 圆周角定理的推论：推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等；推论2:直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.要点诠释：(1)圆周角必须满足两个条件：①顶点在圆上；②角的两边都和圆相交(2)圆周角定理成立的前提条件是在同圆或等圆中(3)圆心与圆周角存在三种位置关系：圆心在圆周角的一边上；圆心在圆周角的内部；圆心在圆周要点二、圆内接四边形1.圆内接四边形定义：四边形的四个顶点都在同一个圆上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆2.圆内接四边形性质：圆内接四边形的对角互补•如图，四边形ABCD是O 0的内接四边形，则/ A+Z C=180°, / B+Z D=180°D要点诠释：当四边形的四个顶点不同时在一个圆上时，四边形的对角是不互补【典型例题】类型一、圆周角、圆心角、弧、弦之间的关系及应用C^1・如图，在O 0中 , _ ；i| '，求/ A的度数.【答案与解析】v AB =腮:.AB =腮•債养【总结升华】在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的圆周角相等，所对的弦也相等.举一反三：【变式】如图所示，正方形ABCD内接于O 0,点E在劣弧AD上，则/ BEC等于（）A . 45°B . 60°C . 30°D . 55【答案】A.AB = BC= CD= DAAB =BC =CD 二DA =90°,/ BEC= 45°.类型二、圆周角定理及应用C"2.观察下图中角的顶点与两边有何特征?指出哪些角是圆周角？(C) (d)【思路点拨】根据圆周角的定义去判断，顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角•【答案与解析】⑻/1顶点在O O内，两边与圆相交，所以/ 1不是圆周角；(b) / 2顶点在圆外，两边与圆相交，所以/ 2不是圆周角；(c) 图中/ 3、/ 4、/ BAD的顶点在圆周上，两边均与圆相交，所以/ 3、/ 4、/ BAD是圆周角.(d) / 5顶点在圆上，一边与圆相交，另一边与圆不相交，所以/ 5不是圆周角；(e) / 6顶点在圆上，两边与圆均不相交，由圆周角的定义知/ 6不是圆周角.【总结升华】紧扣定义，抓住二要素，正确识别圆周角.3. (2015?台州)如图，四边形ABCD内接于O O,点E在对角线AC上，EC=BC=DC .(1)若/ CBD=39 °,求/ BAD 的度数；(2 )求证：/ 1 = / 2 .【答案与解析】(1)解：T BC=DC ,•••/ CBD= / CDB=39 °•••/ BAC= / CDB=39 ° / CAD= / CBD=39 °• / BAD= / BAC+ / CAD=39 °+39°=78 °(2)证明：T EC=BC ,:丄 CEB= / CBE ,而/ CEB= / 2+ / BAE ，/ CBE= / 1 + Z CBD ,•••/ 2+Z BAE= / 1 + / CBD ,•••/ BAE= / CBD ,•••/ 仁/2.【总结升华】本题主要考查了圆周角定理和等腰三角形的性质，熟悉圆的有关性质是解决问题的关键.BD 是O 0的弦，延长BD 到C ,使AC=AB BD 与CD 的大小有什么关系?【思路点拨】BD=CD 因为AB=AC 所以这个厶ABC 是等腰三角形，要证明 D 是BC 的中点，只要连结 AD,证明AD 是高或是/ BAC 的平分线即可.【答案与解析】BD=CD.理由是：如图，连接 AD•/ AB 是O 0的直径•••/ ADB=90 即 ADL BC 又••• AC=AB • BD=CD.【总结升华】解题的关键是正确作出辅助线举一反三：【变式】(2015?安顺)如图，O O 的直径AB 垂直于弦CD ，垂足为E ,/ A=22.5 ° OC=4 , CD 的长为( ).如图，AB 是O 0的直径,为什么?【思路点拨】根据圆内接四边形的性质可求得四个角的比值，再根据四边形的内角和为得/ D 的度数.【答案与解析】解：•••圆内接四边形的对角互补,••• / A: / B:/ C:/ D=2:3:4 : 3设/ A=2x ，则/ B=3x ,/ C=4x,/ D=3x,• 2x+3x+4x+3x=360 ° ,• x=30°• / D=90° .【总结升华】本题考查圆内接四边形的性质和四边形的内角和为提示：T/ A=22.5°,• / BOC=/A=45 ,TOO 的直径AB 垂直于弦CD• C E=DE △ OCE 为等腰直角三角形,• C E= ：OC=2 匚,2• CD=2CE=4 匚.故选：C.类型三、圆内接四边形及应用5 •圆内接四边形 ABCD 勺内角/ A : / B:Z C=2:3:4，求/ D 的度数.360 °，从而求 360°的运用. B . 4【答案】C.举一反三：【变式】如图，O O中，四边形ABCD是圆内接四边形，/ BOD=110，则/ BCD的度数是（）A.110 °B.70 °C.55 °D.125 °【答案】D.。

九年级数学圆心角与圆周角的关系

切两种情况．
例2：已知△ABC 的三边分别是 a、b、c，两圆的半径 r1
＝a，r2＝b，圆心距 d＝c，则这两个圆的位置关系是__________．
解析：∵△ABC 的三边分别是a、b、c，∴a＋b＞c，即r1 ＋r2＞d，∴两圆相交．
专题三
求与圆有关的阴影部分的面积
求圆中不规则阴影图形的面积，通常用割补法，将其面积用规则图形(如扇形、三角形、矩形等)的面积的和或差表示．例 3：如图 24－2，将△ABC 绕点 B 逆时针旋转到A′BC′
又∵△ABC 是等边三角形，∴∠ADE＝∠C＝60°.
∴△ADE 是等边三角形．
(2)解：易知∠B＝60°，又∵DO＝BO，∴△BDO 是等边三角形，∴∠DOB＝60°.
同理，∠EOC＝60°.即∠DOE＝60°.
∵等边△ABC 边长为 2，∴DO＝OE＝1.
nπr2 60·π·1 π π ∴扇形 ODE 的面积 S＝ 360 ＝ 360 ＝6， DC 的长度 l＝3. 1 且圆锥底面半径 r＝6.
图 24－7
D．y＝
8．(2010 年广东)如图 24－8，PA 与⊙O 相切于点 A，弦 AB
⊥OP，垂足为 C，OP 与⊙O 相交于 D 点，已知 OA＝2，OP＝4.
(1)求∠POA 的度数；
(2)计算弦 AB 的长．
图 24－8
解：(1)60° (2)AB＝ 2
3
9．(1)如图 24－9(1)，已知△ABC 是边长为 2 的等边三角形，以 BC 为直径的⊙O 交 AB、AC 于 D、E.求证：△ADE 是等边三
O2 相切．
图 24－5
5．(2010 年广东湛江)已知两圆的半径分别为 3 cm 和 4 cm，两个圆的圆心距为 8 cm，则两圆的位置关系是( C ) A．内切 B．相交 C．外离 D．外切

圆周角和圆心角的关系两背

圆周角和圆心角的关系两背圆周角和圆心角，这两位数学“老朋友”你可一定要认识。

你可能会想，圆周角和圆心角是什么鬼？怎么听起来那么像是数学课上睡着时做的梦？嘿，别着急，这俩其实关系可大了，搞懂了它们，你不仅能刷高数学成绩，还能在闲聊时牛气哄哄地“讲几句”给别人听。

我就来给你讲讲这两个角到底有啥关系，保证你听了之后不但懂了，而且会觉得它们比你想象中还要有趣，甚至有点“机智”呢。

你得知道，圆心角顾名思义，指的是从圆心出发，连接两个圆上的点，形成的角。

说白了，就是从圆心看的那个角，像你站在一个大圆的正中心，眼睛一瞄，连接两个点，这时候你眼前的角度就是圆心角啦。

是不是很简单？你想象一下在游乐园里，如果你站在旋转木马上，眼前的景象就是一个圆心角。

明白了吗？不过，不要急着高兴，圆周角还没讲呢，它可有意思了。

圆周角嘛，顾名思义，就是圆的周围形成的角，它的顶点在圆的周边，而不是圆心。

这就有点像你站在圆的某一边，看着另外两个点，产生的角度。

这俩角，圆心角和圆周角，怎么说呢，它们就像是“兄弟”一样有点相似，但又有细微的区别。

你知道吗？有个有趣的事情，那就是圆心角的大小恰好是圆周角的两倍！没错，两倍！像极了你小时候吃饭时，妈妈给你分的一块蛋糕，每次总能把她的那块切得比你的要大个两倍。

是吧，都是家里的规矩。

再举个例子来让你更清楚。

想象一下你在玩足球，球场是个圆形。

圆心角就像是你站在场地，看着球场两侧的队友，他们的位置越远，形成的角度也越大。

而圆周角就像是你站在球场的边缘，瞪着那几个站在场地中心的家伙，你能看到的角度就小一些，差不多就是圆心角的“缩小版”吧，哈哈。

所以，如果你站在场地的“关键位置”，你看到了的角度就跟别人不一样。

数学就是这么有趣。

你以为只是些死板的公式，其实这些公式背后藏着一大堆有意思的“小秘密”。

比如说，圆心角和圆周角的关系，背后就有一种微妙的平衡。

你看，圆心角不管怎么变化，它都比圆周角大一倍，所以它好像更“霸气”，更能吸引眼球。

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