复数的几何意义与加减法的几何意义
复数的基本运算与几何意义解释
复数的基本运算与几何意义解释复数是由实部和虚部构成的数，其表示形式为a + bi，其中a和b 分别为实部和虚部的实数部分，i为虚数单位，满足i^2 = -1。
复数的运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将基本运算进行详细解释，并探讨其在几何中的意义。
一、加法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的和z = z1 + z2的实部等于两个复数实部的和，虚部等于两个复数虚部的和，即：z = z1 + z2 = (a1 + a2) + (b1 + b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，实部表示在实轴上，虚部表示在虚轴上。
加法运算就是将两个复数的向量相加，得到新的向量的终点，即通过终点相加的法则得到。
二、减法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的差z = z1 - z2的实部等于两个复数实部的差，虚部等于两个复数虚部的差，即：z = z1 - z2 = (a1 - a2) + (b1 - b2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，减法运算就是将z2的向量从z1的向量终点出发得到新的向量的终点，即通过终点减去起点的法则得到。
三、乘法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的乘积z = z1 * z2的实部等于两个复数实部的乘积减去虚部的乘积，虚部等于两个复数实部的乘积加上虚部的乘积，即：z = z1 * z2 = (a1a2 - b1b2) + (a1b2 + b1a2)i几何意义：将复数z1和z2表示在复平面上，乘法运算就是将z1的向量的长度与z2的向量的长度相乘（模的乘积），同时将z1的向量的方向与z2的向量的方向相加（幅角的叠加），得到新的向量，即将两个向量的长度相乘，诱导出新的长度，将两个向量的角度相加，诱导出新的角度。
四、除法运算对于两个复数z1 = a1 + b1i和z2 = a2 + b2i而言，它们的商z = z1 / z2为复数，可以通过以下步骤求解：1. 乘以共轭复数：将除数z2的虚部取相反数，即z2* = a2 - b2i；2. 乘以共轭复数得到分子：z1 * z2* = (a1 + b1i)(a2 - b2i)；3. 化简分子：z1 * z2* = (a1a2 + b1b2) + (a1b2 - b1a2)i；4. 除以分母的模的平方：z = (a1a2 + b1b2)/(a2^2 + b2^2) + (a1b2 -b1a2)/(a2^2 + b2^2)i。
复数的加减法几何意义2
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
三、复数乘法的几何意义：
两个复数Z1与Z2相乘时，可以先画出分别与之相对应的 向量OP1、OP2，然后把向量OP1按逆时针方向旋转一个角， 再把它的模变为原来的r2倍，所得的向量就表示积。
Z1
x
O
1、 两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、（1）若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
（2）若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
4
(C) 11
4
(D) 5
4
2、在复平面内，直角三角形ABC的直角顶点C对应的
复数为-2，30度的顶点A对应的复为 则点B所对应的复数为
5 3i
3.复平面内点A对应的复数为1,点B对应的复数 为3 i, 将向量AB绕A按顺时针方向旋转900并 将模扩大到原来的2倍得向量A C, 则点C对应 的复数为
复数的加减法及其几何意义
（2）很明显，两个复数的和仍然是一个 复数 。
对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形。
运算律
探究? 复数的加法满足交换律，结合律吗？
证 复：数设的Z加1=a法1+满b1i足，交Z2=换a2律+b、2i，结Z合3=a律3+，b3i即(a对1，任a2，
4分析：依题意设y=ai（a∈R），则原式变为：
（2x －1)+i=(a －3)i +ai2=－ a+( a －3)i
2x －1= －a 由复数相等得
a －3=1
3
x=－ 2 y=4i
探究
2.复数减法运算的几何意义?
符合 向量
复数z2－z1
y
Z2(c,d)
向量Z1Z2
减法
的三 角形 法则.
o
Z1(a,b)
课堂练习：1、计算 • (1)(２+4i)+(3-4i)= 5
• (2)(-3-4i)+(2+i)+(1-5i)= -8i • (3)已知Z1=a+bi,Z2=c+di，若Z1+Z2是纯虚数，
则有（ D ） • A.a-c=0且b-d≠0 B. a-c=0且b+d≠0 • C. a+c=0且b-d≠0 D.a+c=0且b+d≠0
x
结论：复数的差Z2－Z 1 与连接两个向量终点并指向被 减数的向量对应.
几何意义运用
作图、如图的向量OZ 对应复数z，试作出下
列运算的结果对应的向量
y
z
1 z 1 2 z i 3 z (2 i)
高二数学复数的加减运算
一.回顾复数的几何意义
复数z=a+bi （数）
一一对应
直角坐标系中的点Z(a,b) （形）
平面向量
一一对应
OZ
|z|=|a+bi| （数）
一一对应
点Z(a,b)到原点的距离 （形） 平面向量 OZ 的模| OZ |.
| z z0 |
复平面上点Z(2)|z-1+i|=2
复数减法的几何意义的运用 例2.设复数z=x+yi,(x,y∈R),在下列条件
下求动点Z(x,y)的轨迹.
1.| z- i| + | z + i|= 4 2.| z- 2| = | z + 4|
三、复数加减法的几何意义
1.|z1|= |z2| 平行四边形OABC是 菱形 z2 z2-z1 z1+z2
新课讲解
1.复数加法运算的几何意义?
z1+ z2=OZ1 +OZ2 = OZ 符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
y
Z2(c,d)
Z(a+c,b+d)
Z1(a,b)
o
x
2.复数减法运算的几何意义?
复数z2－z1
y
向量Z1Z2
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
Z2(c,d)
Z1(a,b)
o
(3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。
二.复数的加减法及几何意义
3、共轭复数： 实部相等而虚部互为相反数的两个复数，叫做 互为共轭复数，也称这两个复数互相共轭。
Z的共轭复数用Z 来表示即 Z a bi时, Z a bi
第十五课复数的加减运算及其几何意义
(a－c) ＋(b－d) ＝1. ② 由①②得 2ac＋2bd＝1.
2 2
∴|z1＋z2|＝ a＋c ＋b＋d ＝ a ＋c ＋b ＋d ＋2ac＋2bd＝ 3.
2 2 2 2 2 2
小结（略）
一、选择题 1．若复数 z 满足 z＋i－3＝3－i，则 z＝( A．0 B．2i C．6 D．6－2i )
→ ＝－OA →， → 对应的复数为－(3＋2i)， 解： ①AO 则AO 即－3－2i. → ＝ OA → －OC → ，所以 CA → 对应的复数为 (3 ②CA ＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i. → ＝OA → ＋ AB → ＝OA → ＋ OC → ，所以OB → 对应 ③ OB 的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，即 B 点对 应的复数为 1＋6i.
二、填空题 3．已知|z|＝3，且 z＋3i 是纯虚数，则 z＝________.
解：设 z＝a＋bi(a，b∈R)，∵|z|＝3，∴a ＋b ＝9.
2 2
又 w＝z＋3i＝a＋bi＋3i＝a＋(b＋3)i 为纯虚数，
a＝0， ∴ b＋3≠0 a＝0， ，即 b≠－3，
又 a ＋b ＝9，∴a＝0，b＝3.∴z＝3i.
3．对复数加减法几何意义的理解：它包含两个方面：一方面是利
用几何意义可以把几何图形的变换转化为复数运算去处理， 另一方
面对于一些复数的运算也可以给予几何解释， 使复数作为工具运用 于几何之中．
题型一、复数代数形式的加减运算
例 1：计算：(1)(1＋2i)＋(3－4i)－(5＋6i)； (2)5i－[(3＋4i)－(－1＋3i)]； (3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
解：∵z＋i－3＝3－i
复数的基本运算及几何意义
复数的基本运算及几何意义复数是由实部和虚部构成的数，可以用公式表示为 z = a + bi，其中a 是实部，b 是虚部，i 是虚数单位。
一、复数的四则运算1. 复数的加法：将实部和虚部分别相加即可。
例如：(2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i2. 复数的减法：将实部和虚部分别相减即可。
例如：(2 + 3i) - (4 + 5i) = -2 - 2i3. 复数的乘法：根据分配律展开运算，注意 i 的平方为 -1。
例如：(2 + 3i) * (4 + 5i) = 8 + 22i - 15 = -7 + 22i4. 复数的除法：将分子乘以分母共轭复数，并进行合并化简。
例如：(2 + 3i) / (4 + 5i) = (2 + 3i) * (4 - 5i) / (4^2 + 5^2) = (8 + 7i) / 41二、复数在平面几何中的意义在平面直角坐标系中，复数可以看作是复平面上的点，实部对应横轴，虚部对应纵轴。
1. 复数的模：复数 z 的模表示为 |z|，是复平面上由原点到对应点的距离。
例如：z = 3 + 4i，则|z| = √(3^2 + 4^2) = 52. 复数的辐角：复数 z 的辐角表示为 arg(z)，是复平面上由正实轴到对应位置向量的角度。
例如：z = 2 + 2i，则arg(z) = π/43. 欧拉公式：欧拉公式表示为e^(iθ) = cos(θ) + isin(θ)，其中 e 是自然对数的底，i 是虚数单位，θ 是角度。
该公式将三角函数与指数函数联系了起来，是复数运算中的重要工具。
4. 复数的乘法及除法的几何意义：复数的乘法相当于平移、旋转和伸缩，在复平面上实现了几何变换。
复数的除法相当于平移、旋转和收缩，在复平面上实现了逆向几何变换。
综上所述，复数的基本运算包括加法、减法、乘法和除法，可以使用公式进行计算。
在平面几何中，复数可以表示为复平面上的点，模表示距离，辐角表示角度。
复数的几何意义
例2：用复数表示下图中的阴影部分．
解.(1)|z|<3，且Im(z)<-1, （2）|z|≥3，且Re(z)≤-1． (3) |z|≤3，且-2≤Re(z)≤2．
例3：在复平面内，满足下列复数 形式方程的动点Z的轨迹是什么． （1）|z-1-i|=|z+2+i|； （2）|z+i|+|z-i|=4； （3）|z+2|-|z-2|=2．
一.复数的几何意义：复数z=a+bi对应 于直角坐标平面上的点Z（a,b），复 数也可以看成向量。 有了这种一一对应关系后，我们常把 复数z=a＋bi说成点Z（a，b），或说 成向量 oz ． 二．复数模的几何意义：复平面上复 数表示的点到原点的距离。 |z|=|OZ|=| oz |
复数的加、减法几 何意义即为向量的 加、减法。 |Z1-Z2|表示平面上两 点的距离
3
4
（3）这个方程可以写成 |z-(-2)|-|z-2|=2，所以表示到 两个定点F1(-2,0)，F2(2,0)距离 差2a等于2的点的轨迹，这个轨 迹是双曲线右半支．
x y 即双曲线： 1（x>0） 1 3
2
2
例4：△ABC的三个顶点对应的 复数分别是z1,z2,z3，若复数z满 足 |z-z1|=|z-z2|=|z-z3| ， 则 z 对应的点为△ABC的（ D ） A. 内心； B．垂心； C．重心； D．外心；
解：（1）方程可以看成 |z-(1+i)|=|z-(-2-i)|， 表示的是到两个定点A(1,1)和 B(-2,-1)距离相等的动点轨迹．所 以是线段AB的的垂直平分线。 即：直线6x+4y+3=0。
复数的四则运算及其几何意义分析总结
添加标题
复数三角形式：a+bi的形式，其中a和b是实数，i是虚 数单位
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几何意义：复数三角形式可以表示为平面上的一个点， 其中a是横坐标，b是纵坐标
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复数三角形式的加法：两个复数三角形式的和，可以 表示为两个点在平面上的连线的中点
添加标题
复数三角形式的乘法：两个复数三角形式的积，可以 表示为两个点在平面上的连线的斜率
复数乘法的几何意义：复数乘法的几何意义是旋转和平移。
复数乘法的应用：复数乘法在工程、物理、计算机科学等领域有广泛应用。
• 复数除法：将两个复数相除，得到另一个复数
• 除法公式：a/b=c/d，其中a、b、c、d为复数
• 除法运算的几何意义：将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数， 其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除， 得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义 是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一 个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个 复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将两个复数相除，得到另一个复数，其几何意义是将
高二数学复数的加减运算(201908)
二.复数的加减法及几何意义
1、加法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1+Z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i
2、减法：设Z1=a+bi(a,b∈R) Z2=c+di(c,d∈R) 则Z1-Z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i
例1.计算(1)(1+3i)+(-4+2i) (2)(5-6i)+(-2-i)-(3+4i) (3) 已知(3-ai)-(b+4i)=2a-bi,求实数a、b的值。
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在西 若当作笛 故属梁国 于广陵侨置青州 有乱臣 故曰下徵 秦兼天下 各设一坐而已 夷则上生夹钟 监于方伯之国 内赤外青 占曰 舒 谓日官不豫言 若植酄酄长 客亡地 月犯东井距星 使太尉告谥于南郊 寻省 护奔荥阳 统县三 丁未 海西公太和三年九月戊辰夜 瓜州 缩三十一 十七万 九千四十四 或紫黑如门上楼 不动 占曰 长五六丈 东安 未有父欲责其子 王恭等举兵胁朝廷 荧惑入箕 昭星 则曰 馀数 主招横 〕蓟 变通相半 尾分为百馀岐 顺抱击者胜 如人无头 △求月去极度置加时若昏明定数 桓玄劫天子如江陵 十月戊申 延平晋安郡〔太康三年置 如虹而短是也 在参 胶东 即上弦月所在度也 为远天 癸酉 溧阳〔溧水所出 谭 以通周去之 徐州 灭宝 伏十日 胡有忧 高昌 月周除之 其二十二具 则宫中将有大丧 小分满通法从大分 汉光武即位高邑 《周礼》 一曰 追述前旨 此衰气也 明年 是其应也 户四十七万五千七百 大馀满六十去之 《周历》 得五百六日 东南曰扬州 八月己卯 王室兵丧之应也 在房 〕 十一月丙戌 白比
复数的加减法几何意义2
复数的几何意义及应用
一、加法的几何意义： Z1+Z2 y
Z2
Z1
o
x
以复数z1与z2所对应的向量为一组邻边画平 行四边形，那么与这个平行四边形的对角线 所表示的向量OZ即为两复数Z1+Z2的和。
y Z2
Z1+Z2
Z1
o
x
C B
E D
A
AB+BC+CD+DE=AE
二、复数减法的几何意义：
y
Z2
Z1Z2
Z1
x
O
1、 两个复数的差z2-z1与连结两个向量终点并指向被减数的向量对应。 2、复平面上两点间的距离|Z1Z2|=|z2-z1|
1、2(|z1|2+|z2|2)=| z1+ z2|2+ | z1- z2|2
2、|z1|= |z2| 则平行四边形OABC是菱形
o 3、 | z1+ z2|= | z1- z2|
4、（1）若arg(-2-i)=α,arg(-3-i)=β,求α +β
（2）若z1=-2,z2=1+
√3 i,z3=1-i,求arg[(z1z2)/z3]
5、若|z1|=3,|z2|=5,|z1-z2|=7,求z1/z2
6.已知ABC的三个顶点A, B,C对应的复数分别为
z1,
z2 ,
z3 , 若
z2 z3
则平行四边形OABC是矩形;若z2≠0， 则（z1/z2)2<0
C
z2 z2-z1
z1 A
z1+z2
B
4、 |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2| 则平行四边形OABC是正方形
复数运算的几何意义
B
A o x
例3：已知︱z︱=2,arg(z+2)=π/3求： ：已知︱ 求 (1)求虚数z 求虚数 (2)在复平面内，把复数z3对应的向量 绕原点 按顺时 在复平面内， 对应的向量OP绕原点 绕原点O按顺时 在复平面内 针旋转π/3，求所得向量对应的复数。 针旋转 ，求所得向量对应的复数。 如图， 对应的向量OA， 对应的点为 对应的点为C， 解(1)如图，设虚数 对应的向量 如图 设虚数z对应的向量 ，2对应的点为 ，由 加法的几何意义可得以OC，OA为邻边作平行四边 为邻边作平行四边OABC， 加法的几何意义可得以 ， 为邻边作平行四边 ， 对应的复数为z+2， 则OB对应的复数为 ，∠COB=π/3,|OA|=|BC|=|OC|=2, 对应的复数为 ∴∠AOB=∠OBC=∠BOC=π/3 ∠ ∠ y ∴∠COA=2π/3 ∴∠ ∴z=2(cos2π/3+isin2π/3)=-1+√3i A (2)z3=(-1+√3i)3=8(cos2π+isin2π) B 故由乘法的几何意义得 8(cos2π+isin2π) [cos(-2π/3)+isin(-2π/3)] o 2 C x =8(cos5π/3+sin5π/3) =4-4√3i
复数 运算的几何意义
一 复数的加法与减法的几何意义 1、加法的几何意义 2、减法的几何意义 、 、 y Z2 Z1 x Z Z2 o x y Z1
o
z1z2≠0时， z1+z2对应的向量是以 1、OZ2、为邻边 ห้องสมุดไป่ตู้应的向量是以OZ 时
的平行四边形OZ 的对角线OZ 的平行四边形 1ZZ2的对角线 z2-z1对应的向量是 1Z2 对应的向量是Z
4.3.1复数的加法与减法
3．两个(或几个)复数的和(或差)仍然是一个复数，求两个复数的和(或差)时，要准确找出复数的实部与虚部，明确有关概念．
4．从几何意义上理解，复数的加减运算同平面向量的加减运算是一样的，这为我们利用数形结合解题提供了条件，如|z－(1＋i)|＝1表示以(1,1)为圆心，以1为半径的圆；|z1＋z2|＝|z1－z2|表示以和为邻边的四边形为矩形等．
三、解答题
10．已知z1＝a＋(a＋1)i，z2＝－3b＋(b＋2)i(a，b∈R)，若z1－z2＝4，求z1，z2.
11．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋，对应的复数及A、B两点之间的距离．
12．设z1＝1＋2ai，z2＝a－i(a∈R)，A＝{z||z－z1|<}，B＝{z||z－z2|≤2}，已知A∩B＝∅，求a的取值范围．
六、
一、选择题
1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1＋z2在复平面内对应的点位于()
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．如果一个复数与它的模的和为5＋i，那么这个复数是()
A.B.i C.＋i D.＋2i
3．设f(z)＝z，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝()
A．0B．2i C．6 D．6－2i
2．计算(－i＋3)－(－2＋5i)的结果为()
A．5－6i B．3－5i C．－5＋6i D．－3＋5i
3．向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是()
A．－10＋8i B．10－8i C．0 D．10＋8i
4．若、对应的复数分别是7＋i,3－2i，等的充要条件解题时要确保复数必须化成a＋bi(a，b∈R)的形式，否则等量关系不成立．
复数的加、减运算及其几何意义
我们规定，复数的加法法则如下： 设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR ）是两个任意复数， 那么它们的和
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i
说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时， 与实数加法法则保持一致;
（2）两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法 可以推广到多个复数相加的情形.
知识一：复数的加法
探究：
设z1=a+bi，z2=c+di（a，b，c，d RR）是两个任意复数， 由于希望加法结合律成立，
z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（bi+di）
由于希望乘法分配律成立，
z1+z2=（a+c）+（bi+di）=（a+c）+（b+d）i
这样就猜想出了复数的加法法则.
说明：（3）复数的加法法则：
（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i 如果将i 看作“变元”，a+bi中的实部和虚部 a，b看作常数，我们就可以将复数看成是 “一次二项式”，很容易发现两个复数相加与 两个一次二项式相加（合并同类项）一致. 这样，得到两个复数相加与两个多项式相加 相类似.
例题2
y
解：复平面内的点Z1(x1,y1)，Z2(x2,y2) 对应的复数分别为z1=x1+y1i，z2=x2+y2i， 所以点Z1，Z2之间的距离为
Z2(x2,y2)
z2
z2-z1
Z1(x1,y1)
复数运算的常用规律和几何意义
复数运算的常用规律和几何意义复数是由实数和虚数构成的数。
每个复数可以表示为 a + bi 的形式，其中 a 是实数部分，b 是虚数部分，i 是虚数单位，满足i² = -1常用规律：1.实部与虚部的加法和减法：- (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i- (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i2.实数与复数的乘法和除法：- (a + bi) * c = ac + bci- (a + bi) / c = (a/c) + (b/c)i （当c ≠ 0）3.复数的共轭：复数 a + bi 的共轭是 a - bi，即将虚数部分取相反数。
4.复数的乘法和除法：- (a + bi) * (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i- (a + bi) / (c + di) = [(a + bi) * (c - di)] / (c² + d²) = [(ac + bd) + (bc - ad)i] / (c² + d²) （当c² + d² ≠ 0）几何意义：复数可以用来表示平面上的点。
实部代表点在x轴上的位置，虚部代表点在y轴上的位置。
1.加法和减法：复数的加法和减法可以看作是平面上的点的运算。
例如，(a + bi) + (c + di) 可以看作是将第二个点 (c, d) 平移后放置在第一个点 (a, b) 的位置上。
2.乘法：复数的乘法可以用来进行旋转和缩放。
例如，复数 (a + bi) * (c + di) 可以看作是将向量 (a,b) 绕原点旋转角度 angle，并将长度乘以，c + di。
3.共轭：复数的共轭可以用来表示点关于 x 轴的对称点。
例如，复数 a + bi 的共轭 a - bi 可以看作是将点 (a, b) 关于 x 轴翻转。
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复数由实数扩充得来
类比： 实数的几何意义？
每一个实数在数轴上都有一个点与之对应 数轴上的每一个点都有一个实数与之对应
实数与数轴上的点一一对应
实数的几何意义： 实数可以用数轴上的点来表示
建构
z ? a ? bi, (a, b ? R)
实部 虚部
横坐标 纵坐标
数对 (a,b)
2.复数加、减法运算的几何意义
3.数形结合的思想方法
4.所学内容能解决什么样的问题？
例5.若 | z ? 3 ? 4i| ? 2 ,则 z 的最大值是__７___
y
变式: z 的最小值是_3__
－3
O
x
.Z C
－4
Z
探究:满足|z-i|+|z+i|=4(z∈C)的复数 z对应的点在复平面上构成怎样的图形 ？
阅读
1545年出现了负数开方问题.
数学家：笛卡尔
1637年，笛卡尔认为负数开方是“不可思
议的”，称这样的数为“虚数” (虚数一词沿用至今)
1799年，高斯给出了复数的几何解释， 使得复数不再显得那么虚无缥缈了， 人们从此真正接受了复数.
数学家：高斯
高斯是怎样给出复数的几何解释的？
复数的几何意义
问题
向量 OZ 与 点 Z(a, b) 一．一．对．应．。
建构
复数z=a+bi 一一对应 直角坐标系中的点Z(a,b)
一一对应
y
uuur 一一对应 平面向量 OZ
z=a+b
z ? a ? bi, (a, b ? R) ---复数的代数形式， Z(a,b) --------------- 复数的几何形式 OZ ------------------ 复数的向量形式
在复平面上构成什么样的图形？
5
（2）满足3 ?| z |? 5,(z? C)的复数z 对应的点
在复平面上构成什么样的图形？ 35
问题 复数加减法有什么样的几何意义？
如何研究？
类比向量加减 法的几何意义
从一般情况出发研究？ 还是 从特殊情况出发研究？
建构 1.复数加法运算的几何意义
符合 向量 加法 的平 行四 边形 法则.
复数z1+z2
y
Z 2(c,d)
o
向量OZ
Z(a+c,b+d)
Z 1(a,b)
x
2.复数减法运算的几何意义
复数z1 -z2
y
向量Z2Z1
符合 向量 减法 的三 角形 法则.
Z 2(c,d)
o
Z 1(a,b)
x
|z1-z2|表示什么? 两点Z1 、Z2的距离
运用 已知复数z对应点Z,说明下列各式
所表示的几何意义. (1)|z-(1+2i)| 点Z到点(1, 2)的距离
问题
把绝对值的概念推广到复数
记为：|z|,|a+bi| 读作：复数z的模，或复数a+b的i 模
复数的模的几何意义？
复数的模的几何意义 uuur uuur
对应平面向量 OZ 的模|OZ |，复数的模：
复数z=a+bi 在 复平面上对应的
点Z(a,b)到原点的距离
y
z=a+bi
| z | =| OZ | = OZ
(2)|z+(1+2i)| 点Z到点(-1, －2)的距离
(3)|z-1|
点Z到点(1, 0)的距离
(4)|z+2i|
点Z到点(0, －2)的距离
运用
例4.若复数z 满足| z?（1? 2i) |? 5，
则z 所对应的点的集合是什么图形？
小结
1.(1)复数的几何表示(1):点表示 (2)复数的几何表示(2):向量表示 (3)复数的模的几何意义
b
Z(a,b)
OZ
| z | = a2 ? b2
o
ax
运用
例 2.已知复数 z1 ? 3 ? 4i ，z2 ? 1 ? 5i ，试比较它们模的大小。
< | z1 |? 32 ? 42 ? 5
| z2 |? 1 ? (?5)2 ? 26
例 3.（1）满足| z |? 5, (z ? C) 的复数 z 对应的点
0 ?0
? m? (-? ，0)
得???mm
? ?
0 2
表示复数的点所 转化 复数的实部与虚部所满
在象限的问题
足的不等式组的问题
(几何问题)
(代数问题)
一种重要的数学思想：数形结合思想
问题
还用点坐标表示过什么？ 平面向量
每一个向量都对应一个坐标吗？ 每一个坐标都对应一个向量吗？
怎样让向量与坐标能够一一对应？ 起点为O
点Z(a,b)
一一对应
复数z=a+bi
直角坐标系中的点Z(a,b)
（数）
（形）
建立了平面直角坐标系来 表示复数的平面
------复数平面 (简称复平面)
x轴------实轴 y轴------虚轴
例1.已知复数z=m+(2-m)i 在复平面内所对应的点位 于第二象限，求实数 m允许的取值范围。
解：由???2m- m?