9.周冬《生成树的计数及其应用》

• 该定理也可以扩展到有向图上，用来计算 有向图的外向树的个数。
信息学竞赛中的应用
• [例二] UVa p10766 Organising the Organisation
• [例三] 国王的烦恼
[例三]国王的烦恼
• 一个王国由n座城市组成。 • 由于遭到了洪水的袭击，许多道路都被冲
毁了。
• 国王组织了专家进行研究，列举出了所有 可以正常通行的道路。其中有的已经被冲 毁，需要重新修复；有的则可以继续使用。 并且所有可以继续使用的道路没有形成环。
生成树的计数及其应用
芜湖一中 周冬
引入
最小（大）生成树 最小（大）度限制生树最优比率生成树 ……
[例一]高速公路
• 一个国家需要在n座城市之间建立通信网络。 • 某些城市之间可以铺设通信线路。 • 要求任意两座城市之间恰好有一条通讯路
线，试求方案个数。 • 满足：1≤n ≤12。
分析
• 首先将问题抽象成图论模型
– 点：城市 – 边：通讯线路
• 任意两点之间恰好只有一条路径
– 这是一颗树！
• 问题转化为：给定一个n个点的无向图，其 中无重边和自环，试求其生成树的个数。
分析
• 由于原题规模较小，因此我们可以使用一 些复杂度较高的算法来解决它，如指数级 的动态规划算法。
• 但是，如果规模更大一些呢？ • 预备知识
图的生成树
扎实的数学功底是解决问题的保证 创造性的联想则是解决问题的灵魂
定理的证明
• 我们知道，C=BBT，因此，我们可以把C 的问题转化到BBT上来。
• 设Br为B去掉第r行得到的矩阵，容易知道 Cr =Br Br T。这时，根据Binet-Cauchy公 式，我们可以将Cr的行列式展开。
detCr det BrBTr
det Brx det BrxT
• 这种转化的重要意义在于：在不同问题之间的架 起了互相联系的桥梁。
定理的理解
• 回到我们讨论的Matrix-Tree定理上来。
• 我们同样是经过模型的转化后（将图模型 转化为矩阵模型），发现Binet-Cauchy公 式展开式中的每一项对应着边集一个大小 为n-1的子集。其中，值为1的项对应一颗 生成树，而没有对应生成树的项值为0。这 样，将问题转化为求展开式中所有项之和。 再利用已有的数学知识，就可以成功解决 这个问题。
• 让我们通过一个例子来解释一下定理。如 图所示，G是一个由5个点组成的无向图。
• 它的Kirchhoff矩阵C为
2 1 1 0 0
1 3 1 1 0
1 1 3 0 1
0 1 0 2 1
0
0
1 1
2
Matrix-Tree定理
• 我们取r=2，根据行列式的定义易知 |detC2 | =11，这11颗生成树如下图所示。
b
• 共有2种方案，如右
下角所示
d
d
方案1
方案2
问题分析
• 难点在于
– 由于必选边的存在，我们无法直接应用 Matrix-Tree定理
• 我们知道，如果要求生成树中必须包含某 条边e，那么，我们可以将e压缩，将原图 的问题转化到新图上来。
• 因此，我们需要
1、将所有的必选边压缩 2、求压缩后的图的生成树的个数
• 有了Kirchhoff矩阵这个工具，我们可以引入 Matrix-Tree定理：
– 对于一个无向图G，它的生成树个数等于其Kirchhoff 矩阵任何一个n-1阶主子式的行列式的绝对值。
– 所谓n-1阶主子式，就是对于任意一个r，将C的第r行 和第r列同时删去后的新矩阵，用Cr表示。
Matrix-Tree定理
det Brx BrxT
det Brx 2
x1,2,,m
x1,2,,m
x1,2,,m
|x|n1
|x|n1
|x|n1
• 其中，Brx 是把Br中属于x的列抽出后形成的 新矩阵。
定理的证明
detCr det BrBTr
det Brx det BrxT
det Brx BrxT
• 这个定理看起来非常“神奇”，让我们尝 试着去证明一下吧！
定理的证明
• 经过分析，我们可以发现图的Kirchhoff矩 阵C具有一些有趣的性质：
– C的行列式总是0。 – 如果图是不连通的，则C的任一个n-1阶主子式
的行列式均为0。 – 如果图是一颗树，那么C的任一个n-1阶主子式
的行列式均为1。 – 证明略。
• 因此，当i=j时， BBTij=vi的度数；而当 i1≠，j时否，则如BB果Ti存j=在0。边(vi，vj)，那么BBTij=-
• 我们通常将BBT称为图的Kirchhoff矩阵。
图的Kirchhoff矩阵
• 对于无向图G，它的Kirchhoff矩阵C定义为它的 度数矩阵D减去它的邻接矩阵A。显然，这样的定 义满足刚才描述的性质。
det Brx 2
x1,2,,m
x1,2,,m
x1,2,,m
|x|n1
|x|n1
|x|n1
• 注 若意属观于x察的上n面-1的条式边子形，成BrxB了rxT一实颗际树上时是，图由Gx的 Kirchhoff矩阵的一 性个 质n可-知1主de子t B式rxB。rxT 其等中于G1。x
• 是 的 若 至由子属少所图于含x有。有的的两n顶 个-1点 连条和 通边属 块没于 ，有这x形的时成边d树e组t B，成rxB则r的xT G等一x中于个将0G。
[例三]国王的烦恼
• 国 如王右希图望所修示建 ，最 王少 国的 由
a
道 a、路b，、使c、得d任，意4两座个城
c
城 市市组之成间都能互达。
b
• 请 其你中计算可行方案的
总– 蓝数色。边表示可以通行 • 下但面需我要们修通复过的一道个路例 a
子– 红来色看边一表下示。可以继续
da c
c
使用的道路
b
关联矩阵、Kirchhoff矩阵
图的关联矩阵
• 对于无向图G，我们定义它的关联矩阵B是 一个n*m的矩阵，并且满足：
– 如果ek=(vi，vj)，那么Bik和Bjk一个为1，另一 个为-1，而第k列的其他元素均为0。
• 图G的关联矩阵如右下角所示：
v2
e1 e2 e3
v1 e1
e3
v1 1 1 0 v2 1 0 1
问题分析
• 压缩一条边的时间复杂度为O(n)，而最多 只要压缩n-1条边。因此，第一步的复杂度 为O(n2)。
• 计算一个图的生成树的个数的时间复杂度 依赖于求其Kirchhoff矩阵行列式的时间复 杂度，为O(n3)。
• 因此，整个算法的时间复杂度为O(n3)。
总结
矩阵的行列式
模型转化
数学证明
– △ △ 11对应x1=0，x2=0，x3=2 – △ 1 △ 1对应x1=0，x2=1，x3=1 – △ 11 △对应x1=0，x2=2，x3=0 – ……
• 也就是说，我们通过模型的转化，找出了原问题 和新问题之间的对应关系，并利用有关的数学知 识解决了转化后的新问题，也就同时解决了原问 题。
两个问题的对比
类似
方程的解
图的生成树
对应
排列方案
对应 类似
展开式的项
不同之处在于： 相互之间的对应关系更加隐蔽、复杂
需要更加强大的数学理论来支撑
定理的扩展
• 利用该定理，我们可以容易得到著名的 Cayley公式：完全图Kn有nn-2颗生成树。
• 我们刚才只对图中没有重边的情况进行了 分析。实际上，图中有重边时该定理仍然 成立，并且证明与没有重边的情况类似。
• 试求方程 x1 +x2 + x3 =2
所有非负整数解的个数。
• 这是大家都很熟悉的一道组合计数问题。 • 通常的解法是，设有2个1和两个△，我们
将这4个元素任意排列，那么不同的排列的
个数就等于原方程解的个数，即 C42 。
• 为什么要这样做呢？
定理的理解
• 我们将所有6种排列列出后发现，一种排列就对应 了原方程的一个解：
• 因此，我们认为：每次从边集中选出n-1条
边，若它们形成了生成树，则答案加1，否
则不变。
定理的理解
• 当x取遍边集所有大小为n-1的子集后，我 们就可以得到原图生成树的个数。这样我 们成功证明了定理！
• 刚才的证明过程看起来有些“深奥”，下 面就让我们从直观上来理解一下这个定理 的原理。
定理的理解
e2 v3
v3 0 1 1
图G
图的关联矩阵
• 图的关联矩阵有什么特殊的性质呢？ 我们不妨来考察一下B和它的转置矩阵 BT的乘积。
图的关联矩阵
• 根据矩阵乘法的定义，我们可以得到：
m
m
BB T ij Bik BT kj Bik B jk
k 1
k 1
• 也就是说，BBTij是B第i行和第j行的内积。