欧拉公式的发现

复习 多面体的概念和分类： 多面体的概念和分类： 由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面体.围 成多面体的各个多边形叫做多面体的面，两个面的公 共边叫做多面体的棱，若干个面的公共顶点叫做多面 体的顶点. 把多面体的任何一个面伸展为平面，如果所有其 他各面都在这个平面的同侧，这样的多面体叫做凸多 面体。图1是凸多面体，图2不是凸多面体，前面学过 的棱柱，棱锥都是凸多面体.
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猜想：简单多面体的顶点数V、面数F以及棱数E之间 猜想 存在规律：V+F－E=2---------欧拉公式 V+F－E=2-----------------欧拉公式 问题3 如何证明欧拉公式？ 问题3：如何证明欧拉公式？ 1、将多面体转化为由多边形组成的平面图形 、 多面体转化为由多边形组成的平面图形
2011-6-28 正阳中学
问题1 (1)下面有 个多面体， 问题1、(1)下面有5个多面体，分别数出它们的顶点 下面有5 面数F和棱数E 并填写下表； 数V、面数F和棱数E，并填写下表；
①
图形编号
②
顶点数V 顶点数V 面数 F
③1-6-28
4 8 6 9 9
4 6 8 8 9
(1)
(2)
(3)
顶点数V 面数F 棱数E 图形编号 顶点数V 面数F 棱数E
(1) (2) (3)
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5 12 7
5 12 8
8 24 12
(2)观察表中所填的数据， (2)观察表中所填的数据， 观察表中所填的数据 这些多面体的V、F和E 符合 这些多面体的V 前面所找出的规律吗？ 前面所找出的规律吗？其中 哪些多面体满足？ 哪些多面体满足？
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问题4 问题4：欧拉公式的应用
1996年的诺贝尔化学奖授予对发现 年的诺贝尔化学奖授予对发现C 例1、1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C60有重大贡 60个 原子组成的分子， 献的三位科学家， 是由60 献的三位科学家，C60是由60个C原子组成的分子， 它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点， 它结构为简单多面体形状。这个多面体有60个顶点， 简单多面体形状 60个顶点 从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或 从每个顶点都引出3条棱，各面的形状分为五边形或 六边形两种。计算C 六边形两种。计算C60分子中形状为五边形和六边形 两种 的面各有多少？ 的面各有多少？
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有没有棱数E 的简单多面体？ 例2、有没有棱数E为7的简单多面体？说明 理由。 理由。
解：假设一个简单多面体的棱数E=7，根据欧拉公 式：V+F–E=2 得V+F=2+E=9 ．因为多面体的顶点数 ≥ ≥ V≥4，面数F≥4，所以只有：V=4，F=5或V=5，F=4； 但是，有4个顶点的多面体为四面体，而四面体也 只有四个顶点；实际中上述两种情况都不存在．因 此，没有棱数为7的多面体．
B1 C1 A1 B D A E1 D1 B C B1 C1
C A
D1 A1 E1 E D
图(1)
E
图(2)
图（2）可以看作是将图（1）的多面体压缩到其底 面所在平面上得到的图形。也就是说，如果将多面体 的底面ABCDE剪掉，然后其余各面拉开铺平，就得 2011-6-28 正阳中学 到相应的图形。
2、变形中的不变量
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我们知道正多边形有无数多种， 我们知道正多边形有无数多种，而正多面体只 有五种，这是为什么呢？瑞士数学家欧拉早在1750 有五种，这是为什么呢？瑞士数学家欧拉早在1750 年就研究过这一问题，并得出了欧拉公式， 年就研究过这一问题，并得出了欧拉公式，今天我 们沿着他的足迹也来探索这个公式。 们沿着他的足迹也来探索这个公式。
欧拉是科学史上最多产的一位杰出的数学家，据统计他 是科学史上最多产的一位杰出的数学家，
那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，几乎涉及所有 那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文， 886本书籍和论文 数学分支，彼得堡科学院为了整理他的著作， 数学分支，彼得堡科学院为了整理他的著作，足足忙碌了四 十七年．他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究， 十七年．他在双目失明以后，也没有停止对数学的研究，在 失明后的17 年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文． 失明后的17 年间，他还口述了几本书和400篇左右的论文． 400篇左右的论文 以欧拉的名字命名的数学公式、定理等在数学书籍 的名字命名的数学公式、 中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、 中随处可见, 与此同时，他还在物理、天文、建筑以至音 乐、哲学方面取得了辉煌的成就 ．
作业： 作业：
1、教材习题9.9第3、4题； 、教材习题 第 、 题 2、思考题：寻求欧拉公式的其他证法。 、思考题：寻求欧拉公式的其他证法。 3、阅读并讨论：《阅读材料：欧拉公式和正多面体的种类》 、阅读并讨论： 阅读材料：欧拉公式和正多面体的种类》
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B1 C1 A1 B D A E （Ⅰ） E1 D1 B B1 C1 C
C A1 A E1 E
D1 D
（Ⅱ）
(1) 如果(I)中多面体的某个面是n边形，那么在(II) 中对应的多边形为 n 边形． (2) 如果(I)中多面体的顶点数V,面数F,棱数E,那么在(II) 中平面多边形有 V 个顶点, F 个面, E 条棱(不同多边 形的公共顶点或公共边只计一次，不重复计数)。
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公元1707 1707欧拉（Leonhard Euler 公元17071783年 出生在瑞士的巴塞尔（Basel） 1783年） 出生在瑞士的巴塞尔（Basel） 13岁就进巴塞尔大学读书 岁就进巴塞尔大学读书， 城，13岁就进巴塞尔大学读书，得到当时 最有名的数学家约翰·伯努利（Johann 最有名的数学家约翰 伯努利（ 伯努利 Bernoulli，1667-1748年 的精心指导． Bernoulli，1667-1748年）的精心指导．
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问1、下列几何体中哪些是多面体？哪些是凸多面体？ 下列几何体中哪些是多面体？哪些是凸多面体？
①
②
③
④
⑤
问2、在上述多面体中，如果其表面都是用橡皮 薄膜制作的，并且可向它们内部充气，那么其 中哪些多面体能够连续（不破裂）变形，最后 其表面可变为一个球面？ 2011-6-28 正阳中学
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3、计算多面体与多边形的内角和 (1) 如果(I)中多面体的F个面分别是n1，n2，···，nF边形， n ， 那么各个面的内角总和是多少？ 2F)× (n1+n2+···+nF–2F)×180° +n 2F) 180° 内角总和 ：_______________________ (2) (Ⅰ)中n1+n2+···+nF与多面体的棱数E有什么关系？ n +n n1+n2+···+nF=2E +n 关系是:_______________ . 所以(I)中多面体内角总和为(E－F)×360° (E－F)×360° (3)设(II)中最大的多边形（ABCDE）为m边形，则 它的内角和为： －2)×180°；它的内部包含其他 (m－ (m 2)×180° 多边形的顶点数是 V－m 个；所有其他多边形的内 角和为： －m)×360°+(m－2)×180° . (V－m)×360°+(m－2)×180° (V 所以(II)中全体多边形的内角总和 (V－2)×360° (V－2)×360° 为： ． （4）(I)(II)中，(E－F)×360°与(V－2)×360°之间有 什么关系？（相等，所以有V+F－E=2 V+F－E=2）
6 12 12 15 16
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（2）观察表中填出的各 组数据中， 组数据中，V、F和E 之 间有什么规律吗？ 间有什么规律吗？请写出 你找的一个规律： 你找的一个规律：
V+F–E=2 V+F E=2
问题2 (1)分别数出下面3 问题2、(1)分别数出下面3个多面体的顶点数 分别数出下面 面数F和棱数E 并填写下表； V、面数F和棱数E，并填写下表；
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课堂小结： 课堂小结：
1、了解多面体、凸多面体、简单多面体的概念以及 了解多面体、凸多面体、 简单多面体的欧拉公式． 简单多面体的欧拉公式． 了解欧拉公式的证明（ 2、了解欧拉公式的证明（强调欧拉公式这一创新成 果的取得是和观念、方法的创新分不开的） 果的取得是和观念、方法的创新分不开的）并掌握欧 拉公式的初步应用，同时还要注意棱数E的两种求法。 拉公式的初步应用，同时还要注意棱数E的两种求法。
⑥
⑦
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⑨
球面
环面 两个对接球面
表面经过连续变形能变为一个球面的 有 ，变为环面的有 ， 变为两个对接球面的有 。 像以上那样的连续变形中，表面能变成 一个球面的多面体，叫做简单多面体。 简单多面体 2011-6-28 正阳中学
一个多面体至 少有四个面，多面 体按它的面数分别 叫做四面体、五面 体等. 每个面都是有 相同边数的正多边 形，且以每个顶点 为其一端都有相同 数目的棱的凸多面 体，叫做正多面体. 正多面体只有五种 (如右图）。