专题二 高考三角函数与平面向量命题动向

专题二高考三角函数与平面向量命题动向高考命题分析纵观近年各省的高考数学试题，出现了一些富有时代气息的三角函数与平面向量考题，它们形式独特、背景鲜明、结构新颖，主要考查学生分析问题、解决问题的能力和处理交汇性问题的能力．在新课标高考试卷中一般有2～4题，分值约占全卷的14%～20%，因此，加强这些试题的命题动向研究，对指导高考复习无疑有十分重要的意义．现聚焦高考三角函数与平面向量试题，揭秘三角函数与平面向量高考命题动向，挖掘三角函数与平面向量常见的考点及其求解策略，希望能给考生带来帮助和启示．高考命题特点新课标高考涉及三角函数与平面向量的考题可以说是精彩纷呈，奇花斗艳，其特点如下：(1)考小题，重基础：有关三角函数的小题其考查重点在于基础知识：解析式；图象与图象变换；两域(定义域、值域)；四性(单调性、奇偶性、对称性、周期性)；简单的三角变换(求值、化简及比较大小)．有关向量的考查主要是向量的线性运算以及向量的数量积等知识．(2)考大题，难度明显降低：有关三角函数的大题即解答题，通过公式变形转换来考查思维能力的题目已经很少，而着重考查基础知识和基本技能与方法的题目却在增加．大题中的向量，主要是作为工具来考查的，多与三角、圆锥曲线相结合．(3)考应用，融入三角形与解析几何之中：既能考查解三角形、圆锥曲线的知识与方法，又能考查运用三角公式进行恒等变换的技能，深受命题者的青睐．主要解法是充分利用三角形内角和定理、正、余弦定理、面积公式、向量夹角公式、向量平行与垂直的充要条件，向量的数量积等．(4)考综合，体现三角的工具作用：由于近几年高考试题突出能力立意，加强对知识性和应用性的考查，故常常在知识交汇点处命题，而三角知识是基础中的基础，故考查与立体几何、解析几何、导数等综合性问题时突出三角与向量的工具性作用．高考动向透视考查三角函数的概念及同角三角函数的基本关系高考对本部分内容的考查主要以小题的形式出现，即利用三角函数的定义、诱导公式及同角三角函数的关系进行求值、变形，或是利用三角函数的图象及其性质进行求值、求参数的值、求值域、求单调区间及图象判断等，而大题常常在综合性问题中涉及三角函数的定义、图象、诱导公式及同角三角函数的关系的应用等，在这类问题的求解中，常常使用的方法技巧是“平方法”，“齐次化切”等．【示例1】►(2011·福建)若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( )． A.22 B.33 C. 2 D. 3解析 由二倍角公式可得sin 2α＋1－2sin 2α＝14，即－sin 2α＝－34，sin 2α＝34，又因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin α＝32，即α＝π3，所以tan α＝tan π3＝3，故选D. 答案 D本题考查了三角恒等变换中二倍角公式的灵活运用．考查三角函数的图象及其性质)三角函数的图象与性质主要包括：正弦(型)函数、余弦(型)函数、正切(型)函数的单调性、奇偶性、周期性、最值、图象的变换等五大块内容，在近年全国各地的高考试卷中都有考查三角函数的图象与性质的试题，而且对三角函数的图象与性质的考查不但有客观题，还有主观题，客观题常以选择题的形式出现，往往结合集合、函数与导数考查图象的相关性质；解答题主要在与三角恒等变换、不等式等知识点的交汇处命题，难度中等偏下．【示例2】►(2011·浙江)已知函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0,0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P ，Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值； (2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．解 (1)由题意得，T ＝2ππ3＝6.因为P (1，A )在y ＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x ＋φ的图象上， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝1. 又因为0＜φ＜π2，所以φ＝π6.(2)设点Q 的坐标为(x 0，－A )，由题意可知π3x 0＋π6＝3π2，得x 0＝4，所以Q (4，－A )，如图，连接PQ ，在△PRQ中，∠PRQ ＝2π3，由余弦定理得cos ∠PRQ ＝RP 2＋RQ 2－PQ 22RP ·RQ＝A 2＋9＋A 2－(9＋4A 2)2A ·9＋A2＝－12，解得A 2＝3.又A ＞0，所以A ＝ 3. 本题主要考查三角函数的图象与性质、三角运算等基础知识．求单调区间高考对三角函数的单调性考查，常以小题形式呈现，有时也会出现在大题的某一小问中，属中档题．对于形如y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ))，Aω≠0的单调区间的求法是：先考虑A ，ω的符号，再将ωx ＋φ视为一个整体，利用y ＝sin x 的单调区间，整体运算，解出x 的范围即可．【示例3】►(2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数，若f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＞f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )． A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 解析 因为当x ∈R 时，f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6恒成立，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，可得φ＝2k π＋π6或φ＝2k π－5π6.因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝sin(π＋φ)＝－sin φ＞f (π)＝sin(2π＋φ)＝sin φ，故sin φ＜0，所以φ＝2k π－5π6，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －5π6，所以由－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π得，函数的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 答案 C本题的亮点是引入参数φ与不等式恒成立问题，求解此类问题的关键是：利用隐蔽条件“正弦函数的有界性”，把不等式恒成立问题转化为含参数φ的方程，求出参数φ的值，注意利用已知条件剔除增根；求出函数的解析式即可求其单调递增区间，熟悉正弦函数的单调性可加快求解此类问题的速度．【训练】 (2011·新课标全国)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，|φ|＜π2的最小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则( )．A ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减 B ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递减 C ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递增 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4单调递增解析 f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋φ＋π4，由最小正周期为π得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|＜π2可得φ＝π4，所以f (x )＝2cos 2x在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2单调递减． 答案 A求最值高考对三角函数最值的考查，常以小题形式呈现，属中档题．有时也在大题中的某一步呈现，属中档偏难题，高考常考查以下两种类型：①化成y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式后利用正弦函数的单调性求其最值；②化成二次函数形式后利用配方法求其最值．【示例4】►(2011·重庆)设a ∈R ，f (x )＝cos x (a sin x －cos x )＋cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)，求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值和最小值． 解 f (x )＝a sin x cos x －cos 2x ＋sin 2 x ＝a 2sin 2x －cos 2x .由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f (0)得－32·a 2＋12＝－1，解得a ＝2 3. 因此f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6. 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2，f (x )为增函数， 当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，11π24时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2，3π4，f (x )为减函数， 所以f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝3，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝2， 故f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，11π24上的最小值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π24＝ 2.本小题主要考查基本三角函数公式，以及运用三角函数公式对相关函数的解析式进行化简的能力，同时考查数形结合思想．【训练】 (2011·上海)函数y ＝2sin x －cos x 的最大值为________．解析 注意到y ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫25sin x －15cos x ＝5sin(x －θ)．其中cos θ＝25，sin θ＝15，因此函数y ＝2sin x －cos x 的最大值是 5. 答案 5利用三角恒等变换求三角函数值三角恒等变换是研究三角函数的图象与性质，解三角形的基础，在前几年的高考中单独命题的情况很少，但在今年的高考中加强了对三角恒等变换的考查，大多是结合三角函数的图象与性质，解三角形进行命题，但有的省份对三角恒等变换进行了单独命题，由此可见，高考加大了对三角恒等变换的考查力度，高考命题考查的重点性质是公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角公式．【示例5】►(2011·天津)已知函数f (x )＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)设α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，求α的大小． 解 (1)由2x ＋π4≠π2＋k π，k ∈Z ，得x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，所以f (x )的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |x ≠π8＋k π2，k ∈Z ，f (x )的最小正周期为π2. (2)由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＝2cos 2α，得tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2cos 2α， sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝2(cos 2α－sin 2α)， 整理得sin α＋cos αcos α－sin α＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即sin 2α＝12.由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，得2α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.所以2α＝π6，即α＝π12.本小题主要考查两角和的正弦、余弦、正切公式，同角三角函数的基本关系，二倍角的正弦、余弦公式，正切函数的性质等基础知识，考查基本运算能力．【训练】 (2011·浙江)若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝13，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝( )． A.33 B ．－33 C.539 D ．－69解析 对于cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2，而⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2. 因此sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝223，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－β2＝63， 则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.故选C. 答案 C三角函数的综合应用三角函数的综合应用是历年来高考考查的重点、热点问题，新课标高考更加注重对知识点的综合应用意识的考查，而且新课标高考在考查的内容以及形式上不断推陈出新，三角函数不仅可以与集合、函数与方程、不等式等结合命题，而且还可以结合线性规划知识命题，给今后的命题提出了新的挑战．【示例6】►设函数f (θ)＝3sin θ＋cos θ，其中，角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴非负半轴重合，终边经过点P (x ，y )，且0≤θ≤π.(1)若点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，求f (θ)的值； (2)若点P (x ，y )为平面区域Ω⎩⎨⎧ x ＋y ≥1，x ≤1，y ≤1上的一个动点，试确定角θ的取值范围，并求函数f (θ)的最小值和最大值．解 (1)由点P 的坐标和三角函数的定义可得⎩⎪⎨⎪⎧ sin θ＝32，cos θ＝12.于是f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝3×32＋12＝2.(2)作出平面区域Ω(即三角区域ABC )如图所示，其中A (1,0)，B (1,1)，C (0,1)．于是0≤θ≤π2.又f (θ)＝3sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π6，且π6≤θ＋π6≤2π3， 故当θ＋π6＝π2，即θ＝π3时，f (θ)取得最大值，且最大值等于2；当θ＋π6＝π6，即θ＝0时，f (θ)取得最小值，且最小值等于1.本小题主要考查三角函数、不等式等基础知识，考查运算求解能力． 有关解三角形的考查新课标高考对解三角形的考查，以正弦定理、余弦定理的综合运用为主，在解题时，要分析清楚题目条件，利用正弦定理、余弦定理转化为三角形中各边之间的关系或各角之间的关系，并结合三角形的内角和为180°，诱导公式，同角三角函数基本关系，两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行化简求值．在近几年的高考中，对解三角形的考查力度有所加强，而且更加注重知识点的综合运用，没有怪题、偏题．下面我们就高考试题研究一下解三角形的问题．【示例7】►(2011·江苏)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .(1)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝2cos A ，求A 的值； (2)若cos A ＝13，b ＝3c ，求sin C 的值．解 (1)由题设知sin A cos π6＋cos A sin π6＝2cos A ．从而sin A ＝3cos A ，所以cosA ≠0，tan A ＝ 3.因为0＜A ＜π，所以A ＝π3.(2)由cos A＝13，b＝3c及a2＝b2＋c2－2bc cos A，得a2＝b2－c2.故△ABC是直角三角形，且B＝π2.所以sin C＝cos A＝1 3.本小题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力．【训练】(2011·天津)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B ＝C,2b＝3a.(1)求cos A的值；(2)求cos⎝⎛⎭⎪⎫2A＋π4的值．解(1)由B＝C,2b＝3a，可得c＝b＝32a.所以cos A＝b2＋c2－a22bc＝34a2＋34a2－a22×32a×32a＝13.(2)因为cos A＝13，A∈(0，π)，所以sin A＝1－cos2A＝223，cos 2A＝2cos2A－1＝－79.故sin 2A＝2sin A cos A＝429.所以cos⎝⎛⎭⎪⎫2A＋π4＝cos 2A cosπ4－sin 2A sinπ4＝⎝⎛⎭⎪⎫－79×22－429×22＝－8＋7218.平面向量共线与垂直高考对平面向量共线与垂直的考查，常以小题形式出现，属中档题，有时也在大题的条件中出现，属中档偏难题．平面向量的坐标表示可使平面向量运算完全代数化，从而使得我们可以利用“方程的思想”破解向量共线与垂直的问题．【示例8】►(2011·江苏)已知e1，e2是夹角为2π3的两个单位向量，a＝e1－2e2，b ＝k e1＋e2，若a·b＝0，则实数k的值为________．解析 由题意知：a ·b ＝(e 1－2e 2)·(k e 1＋e 2)＝0，即k e 21＋e 1e 2－2k e 1e 2－2e 22＝0，即k ＋cos 2π3－2k cos 2π3－2＝0，化简可求得k ＝54.答案 54本题从向量数量积为0入手，转化为关于两单位向量数量积的关系式，再利用两向量数量积定义，转化为含k 的方程，即可求出k 的值．【训练】 (2011·广东)若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝( )．A ．4B ．3C ．2D ．0解析 由a ∥b 及a ⊥c ，得b ⊥c ，则c ·(a ＋2b )＝c ·a ＋2c ·b ＝0.故选D.答案 D平面向量夹角高考对平面向量夹角的考查，常以小题形式出现，属中档题．有时也在大题中出现，属中档题．两向量夹角公式其实是平面向量数量积公式的变形和应用、有关两向量夹角问题的考查，常见类型：①依条件等式，运算求夹角，此类问题求解过程中应关注夹角取值范围；②依已知图形求两向量夹角，此类题求解过程应抓住“两向量共起点”，便可避开陷阱，顺利求解．【示例9】►(2011·新课标全国)已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题：p 1：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，2π3； p 2：|a ＋b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤2π3，π； p 3：|a －b |＞1⇔θ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π3； p 4：|a －b |＞1⇔θ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π3，π. 其中的真命题是( )．A ．p 1，p 4B ．p 1，p 3C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析 由|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos θ＞1，得2＋2cos θ＞1，∴cos θ＞－12，∴0≤θ＜2π3.由|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2－2cos θ＞1，得2－2cos θ＞1，∴cos θ＜12，∴π3＜θ＜π.∴p 1，p 4正确．答案 A此题考查向量的运算、向量的模及向量的夹角．平面向量的模高考对平面向量的模的考查，常以小题形式出现，属中档题，常考查类型：①把向量放在适当的坐标系中，给有关向量赋予具体坐标求向量的模，如向量a ＝(x ，y )，求向量a 的模只需利用公式|a |＝x 2＋y 2即可求解．②不把向量放在坐标系中研究，求解此类问题的通常做法是利用向量运算法则及其几何意义或应用向量的数量积公式，关键是会把向量a 的模进行如下转化：|a |＝a 2.【示例10】►(2011·辽宁)若a ，b ，c 均为单位向量，且a ·b ＝0，(a －c )·(b －c )≤0，则|a ＋b －c |的最大值为( )． A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2解析 由已知条件，向量a ，b ，c 都是单位向量可以求出，a 2＝1，b 2＝1，c 2＝1，由a ·b ＝0，及(a －c )·(b －c )≤0，可以知道，(a ＋b )·c ≥c 2＝1，因为|a ＋b －c |2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a ·b －2a ·c －2b ·c ，所以有|a ＋b －c |2＝3－2(a ·c ＋b ·c )≤1，故|a ＋b －c |≤1.故选B.答案 B本小题主要考查了平面向量数量积的运算及应用它解决向量模的问题．【训练】 (2011·全国)设向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，a ·b ＝－12，则|a ＋2b |＝( )． A. 2 B. 3 C. 5 D.7解析 依题意得(a ＋2b )2＝a 2＋4b 2＋4a ·b ＝5＋4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3，则|a ＋2b |＝3，故选B.答案 B向量的应用近年的新课标高考，对于平面向量的应用的考查不仅体现在力学中，还渗透到中学学科的各个分支，但不论题型如何变化，都是把向量作为工具进行考查的，解题的关键是把这些以向量形式出现的条件还其本来面目．【示例11】►(2011·湖北)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( )．A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4解析 2a ＋b ＝(3,3)，a －b ＝(0,3)，则cos 〈2a ＋b ，a －b 〉＝(2a ＋b )·(a －b )|2a ＋b |·|a －b |＝932×3＝22，故夹角为π4，选C. 答案 C本题主要考查了向量的坐标运算及数量积运算．。