数列专题一数列求和
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2.6 数列求和学案
数列｛an ｝：a1，a2，a3，…，a n，我们把a1＋a2＋a3＋… ＋a n叫做数列｛a n｝的前n 项和，记作S n.
一、公式法求和：
二、倒序相加法
{}.
,
,)1(
)
1
(
)
2
(
)
1
(
)0(
)2(
)
1(
)
(
,
)1(,
2
4
1
)
(
2
项和
的通项公式及前
求数列
记
为定值；
求证：对一切
、设函数
n
a
N
n
f
n
n
f
n
f
n
f
f
a
x
f
x
f
R
x
x
f
n
n
x
*
∈
+
-
+
+
+
+
=
-
+
∈
+
=
小结：如果一个数列{an}的前n项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法，如等差数列的前n项和即是用此法推导的．
三、分组求和法:等差数列+等比数列
)
2
1
(
8
1
3
4
1
2
2
1
1
.3
n
n+
+
+
+
+
计算：
4.已知{a n}是各项均为正数的等比数列，且a1＋a2＝2)
1
1
(
2
1
a
a
+，a3＋a4＋a5＝64)
1
1
1
(
5
4
3
a
a
a
+
+.(1)求{an}的通项公式；(2)设b n＝2)
1
(
n
n a
a+，求数列{b n}的前n项和T n.
99
7
5
3
1
)1.(
1+
+
+
+
+
计算：n3
3
3
3
)2(3
2+
+
+
+
计算：n a
a
a
a+
+
+
+
3
2
)3(计算：
10200
.100.100.0.)
(
),1()(,,,)()1(510032122D C B A a a a a n f n f a n n n n n f n -=+++++=⎩
⎨⎧-= 则且为偶数为奇数
已知函数、
221212)1()110(910.)110(910.)110(910.)110(910.)
(
)]12(10[100510311)2(-+-+-+-+--+++++=+-n D n C n B n A n S n n n n n n 的值为
小结：数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求数列的前n 项和的数列求和．如c n ＝a n ±b n ，数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，采用分组求和法求{c n }的前n 项和．
四、裂项相消法：分式数列求和
{}{}.
,1
1112)1(),
(2
1
21,,799
3212的值求）设（的通项公式；求数列又项和为其前、已知数列
T S S S S T a N n n n S S n a n n n n ++++=∈+=*
.______12121
5313118=++-+++++=
n n S n ：
小结： 一般情况如下，若{a n }是等差数列，则
1a n a n ＋1＝1d ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1an －1an ＋1，1a n ·a n ＋2＝12d ⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫1an －1an ＋2.此外根式在分母上时可考虑利用因式有理化相消求和．
五、错位相减法:等差数列×等比数列
)1(1431321211)1.(6+++⨯+⨯+⨯=n n S n
)12)(12(1751531311)2(+-++⨯+⨯+⨯=n n S n )13)(23(11071741411)3(+-+
+⨯+⨯+⨯=n n S n
项和？的前，，，求数列n 8
3
4221.9
12333321)1.(10-⋅++⋅+⋅+n n 132)12(7531)2(-⋅-+++++n a n a a a
11. 已知等差数列{a n }的前3项和为6，前8项和为－4.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝(4－a n )q n －
1(q ≠0，n ∈N*)，求数列{b n }的前n 项和S n .
小结：用错位相减法求和时，应注意
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．若公比是个参数(字母)，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于1和不等于1两种情况分别求和．
六、通项变形法
项和？的前，，，，求数列：个n n
77777777.13
n n n n S S S T n S +++= 21:2421.14项和，求的前，，，，是数列若
项和？的前，，，，求数列：n n )221()221()21(1.1212-++++++ n
S n +++++++++++= 3211
32112111.15求：