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高等数学第三版第三章课件(每页16张幻灯片)
A
∃ x 0 ∈ (0,1), 使 f ( x 0 ) = 0. 即为方程的小于1的正实根. 设另有 x1 ∈ (0,1), x1 ≠ x 0 , 使 f ( x1 ) = 0.
ξ ，使等式
线平行于弦 AB .
o a
ξ1
x
ξ2 b
x
f ( b ) − f ( a ) = f ' ( ξ )( b − a ) 成立.
= lim
x →0
原式 = lim e
x →0
1 ln x 1− x 1 ln x
=e
1 lim x x → 1 −1
=e .
−1
例11 求 lim+ (cot x )
(∞ )
0
1 ⋅ln(cot x ) ln x
解 取对数得 (cot x )
1 ln x
1 1 − ⋅ 2 1 = lim+ cot x sin x ∵ lim+ ⋅ ln(cot x ) 1 x →0 x → 0 ln x x −x = −1, = lim+ ∴ 原式 = e −1 . x → 0 cos x ⋅ sin x
+
解
原式 = lim+ e x ln x = e x → 0+ x →0
lim x ln x
=e
x →0+
1 x
=e
x →0+ −
lim
1 x 1
x2
= e 0 = 1.
20
例10 解
求 lim x
x →1 x →1
1 1− x
.
(1 )
=e
.
=e
ln x x → 11− x lim
同济版 高等数学(上册) 第三章课件5
第三章 一元函数积分学及其应用
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
1
第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的几何应用和物理应用 第八节 反常积分
（3）部分量 U 的近似值可表示为 f x x . 即 U f x x .
那么就可考虑用定积分来表示这个量 U
17
一、平面图形的面积
通常写出这个量 U 的积分表达式的步骤为：
第三章 一元函数积分学及其应用
（1）根据问题的具体情况，选取一个变量（比如 x ）作为积分变量，并确 定它的变化区间（比如 a, b ） ；
A(8,4) x y 4
y2 S y 4 dy 2 2
4
y2 1 3 ( 4y y ) 2 6
4 2
18 .
O -2
4 B (2, -2)
x
上述两种解法中，显然第二种解法较为简便，在 求平面图形的面积时，应注意对公式的适当选择.
图3-27
根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型的平面图形的面积. （1）由曲线 y f ( x) ，直线 x a , x b 及 x 轴所围成的平面图形的面积.
① 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-19);
a
b
② 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-20);
Advanced mathematics
第三章
一元函数积分学及其应用
高等数学
人民邮电出版社
1
第三章
内容导航
第三章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念与性质 第二节 不定积分的换元法与分部法
第三节 有理函数的不定积分
第四节 定积分的概念与性质 第五节 微积分基本定理 第六节 定积分的换元法和分部法 第七节 定积分的几何应用和物理应用 第八节 反常积分
（3）部分量 U 的近似值可表示为 f x x . 即 U f x x .
那么就可考虑用定积分来表示这个量 U
17
一、平面图形的面积
通常写出这个量 U 的积分表达式的步骤为：
第三章 一元函数积分学及其应用
（1）根据问题的具体情况，选取一个变量（比如 x ）作为积分变量，并确 定它的变化区间（比如 a, b ） ；
A(8,4) x y 4
y2 S y 4 dy 2 2
4
y2 1 3 ( 4y y ) 2 6
4 2
18 .
O -2
4 B (2, -2)
x
上述两种解法中，显然第二种解法较为简便，在 求平面图形的面积时，应注意对公式的适当选择.
图3-27
根据定积分的几何意义，可以求出下面几种类型的平面图形的面积. （1）由曲线 y f ( x) ，直线 x a , x b 及 x 轴所围成的平面图形的面积.
① 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-19);
a
b
② 若 f ( x) 0 ，则其面积为： S f ( x)dx (见图 3-20);
同济版 高等数学(上册) 第三章课件1
f x dx F x C .
式, x 称为积分变量, F x 是 f x 的一个原函数.
不定积分的概念
其中 , 符号 称为 积分号 , 称 f x 为 被积函数 , f x dx 称为 被积表达
6
二、不定积分
第三章 一元函数积分学及其应用
由定义知, 求函数 f ( x) 的不定积分, 就是求 f ( x) 的全体原函数.在 f ( x )dx 中, 积分号 表示对函数 f ( x) 施行求原函数的运算, 故求
x4 dx ; 例6 求不定积分: (6) 2 1 x
分子部分加一项减一项后, 分解被积表达式
4 x4 x 2 1 x 2 1 1 x 1 1 1 2 d x = d x dx dx x 1 1 x2 2 1 x2 2 1 x 1 x x3 x arctanx C . = 3
9
二、不定积分
1 例3 求 dx ( x 1dx ). x 1 解 当 x 0 时, (ln x) ; x
第三章 一元函数积分学及其应用
1 1 (1) . 当 x 0 时, 即 x 0 时, [ln( x)] x x 1 1 故 ln x 为 在 (0, ) 上的一个原函数 , ln( x) 为 在 (, 0) 上的一个原函 x x 数. 故当 x 0 时, ln x 为 1 的一个原函数, 从而 x 1 x dx ln x C ( x 0) .
不定积分的运算实质上就是求导(求微分)函数积分学及其应用
按照定义, 一个函数的原函数或不定积分都有相应的定义区间. 为了简便起 见, 如无特别的说明, 今后就不再注明.
微积分(第三版)课件：中值定理
例 试证 | arctanb arctan a || b a |.
证
设f
(x)=arctan
x
,
(a<b)
.
(arctan
x)
1
1 x2
显然arctan x在[a,b]上满足拉格朗日中值定理条件.
可知必定存在一点 (a,b) , 使得
arctanb arctana
1
1
2
(b a),
a
b.
拉格朗日 Joseph-Loouis Lagrange
(1736-1813)
f (x) x (0 x 1)
f
(x)
x 0
0 x1 x 1
原点处不可导
端点处值不等
端点处不连续
例 验证函数 f (x) x4 50x2 300 在区间 [ 8，8]符合罗尔定理.
显然多项式函数 f (x) 为偶函数，且连续可导.
满足罗尔定理条件 f (x) 4x3 100x
y
f (x) x4 50x2 300
微分中值定理
一、罗尔中值定理 二、拉格朗日中值定理 三、柯西中值定理
微分中值定理
导数在实际问题中具有广泛的应用，利用导数可 以求解未定式的极限问题；利用导数可以研究函数的 基本性态、函数图形的特征；利用导数可以解决实际 生活中的优化问题.
微分中值定理是利用导数研究函数在区间上整体 性质的有力工具和桥梁，微分中值定理主要包括罗尔 定理、拉格朗日定理和柯西定理。
例 f (x) (x 1)2在[0,3]上不满足罗尔定理的条件
( f (0) f (3)), 但是存在 1(0,3)使 f ( ) 0.
(2)罗尔定理的三个条件缺少其中任何一个条件定
同济大学微积分ppt课件
集合的差: A \ B x x A但x B
4
集合的运算满足如下运算率：
交换率: A B B A, A B B A
结合率: 分配率:
A B C A B C,
A B C A B C
A B C A C B C, A B C A C B C.
11
T
T(X)
X Y
12
例 设 X 1,2,3,Y 2,4,6,8,
T
X Y,
x
2
x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1,1,Y ,,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
13
2. 几类重要映射
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D, 数集 X D,
如果M 0,x X , 都有 f x M , 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
有界
O
x
M
O
x
M 无界
22
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z ,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z,
T
x
(sin x)2.
17
三、一元函数
1.概念
4
集合的运算满足如下运算率：
交换率: A B B A, A B B A
结合率: 分配率:
A B C A B C,
A B C A B C
A B C A C B C, A B C A C B C.
11
T
T(X)
X Y
12
例 设 X 1,2,3,Y 2,4,6,8,
T
X Y,
x
2
x,
则T 是 X 到 Y 的映射.
例 设 X 1,1,Y ,,
X Y
T
x
tan
2
x
则T 是 X 到 Y 的映射.
13
2. 几类重要映射
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D, 数集 X D,
如果M 0,x X , 都有 f x M , 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
有界
O
x
M
O
x
M 无界
22
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
X Y,
T1
x
sin
x,
Y Z ,
T2
y
y2,
则复合映射T2 T1为
X Z,
T
x
(sin x)2.
17
三、一元函数
1.概念
微积分(第三版)课件：多元函数微积分
轴的直准线 C 上.所以 的坐
z
标满足曲线 C 的方程 f (x , y)= 0 .
由于方程 f (x , y)= 0 不含 z，所以
y
点 M(x, y, z)也满足方程 f (x, y)= 0 . x
而不在柱面上的点作平行于 z 轴的直线与 xoy 坐
标面的交点必不在曲线 C 上, 也就是说不在柱面上的
其中每个有序数组 的坐标，n个实数
称为 中的一个点，也称该点 就是这个点的坐标的分量.
n维空间中任意两点 为
与
间的距离定义
第二节 多元函数
一、二元函数 二、二元函数的极限与连续 三、多元函数
第二节 多元函数
导言：多元函数是多元函数微积分学研究的 对象，同一元函数类似对于多元函数也有极限、 连续等基本概念.这些内容作为一元函数在多元 函数中的推广，它与一元函数相关内容类似且 密切相关，在这部分内容的学习中应注意与一 元函数的对比.在研究方法上把握一般与特殊之 间辩证关系.
点的坐标不满足方程 f (x , y)= 0.
（2）以yOz 坐标面上曲线 C : g ( y , z ) = 0 为准线,
母线平行于x 轴的柱面方程为
（3）以zOx 坐标面上曲线 C : h ( x , z ) = 0 为准线,
母线平行于y 轴的柱面方程为
z
z
y
y
x
在空间直角坐标系Oxyz下，含两个变量的方程为柱 面方程，并且方程中缺少哪个变量，该柱面的母线就 平行于哪一个坐标轴 .
区域：连通的开集称为开区域，简称区域.区域及 其它的边界所成的集合称为闭区域.
有界与无界区域：对于平面点集E，如果存在一个 以原点为圆心的圆盘D ，使 ，则称E为有界区域， 否则称E为无界区域.
同济大学微积分课件 PPT
1,1 1,.
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
以下例中函数的定义域均为实数集。
例3 符号函数 ysgnx,
1 x 0,
ysgnx来自0x 0,y
1 x 0.
ysgnx
O
x
4 321
例 取整函数 y x.
y
x -4 -3 -2 -1O -1 1 2 3 4 5
-2 -3 -4
2. 函数的几种特性
有界性 设函数 y f x 的定义域为 D , 数集 X D,
a
b
x
半开半闭区间: a,bxaxb;
a
b
x
(a,b]xaxb;
a
b
x
无穷区间:
( , ) x x .
x
[a , ) xax
a
x
(a , ) xax
a
x
注意：无穷端不能写成闭的记号
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
邻域：
设a , 是实数，且 0, 则定义点 a 的 邻域为集合：
如果M 0,x X , 都有 f x M, 就称 f
在 X 上有界, 否则称为无界函数.
y
y
M
M
O
有界
x
M
O
x
M 无界
例 y sin x 在 , 上是有界函数，
y
tan
x
在
2
, 2
上无界.
y
y y tanx
y sin x
1
O
x
O
x
2
2
1
例 试说明函数 f x 1 sin 1 在 x 0 的任何空心邻
X Z,
T
x
T2[T1(x)]
同济大学 高数 三重积分ppt课件
对应雅可比行列式为 J (x, y, z) (u, v, w)
直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin zz
J (x, y, z)
(,, z)
x y
x y
xz cos sin 0
yz sin cos 0
z z zz
0
01
dv J dddz dddz
x2 y2 2
z
h
解: 在柱面坐标系下
原式 =
2π 2
d
0
0
h
1
2
d
h
2 d z
xO y
4 dv d ddz
2
2π
0
h
1
2
(h
2
4
)
d
22
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3. 利用球坐标计算三重积分
设 M (x, y, z) R3, 其柱坐标为(, , z), 令 OM r,
zOM ,则(r,, ) 就称为点M 的球坐标.
16
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f (x, y, z)dxdydz
d d dz
d
d 2 ( )
z2 (, ) F(, , z)dz
1 ( )
z1 ( , )
其中 F(, , z) f ( cos , sin , z )
(,, z) , 1( ) 2( ), z1(, ) z z2(, )
就称为点M 的柱坐标. 直角坐标与柱面坐标的关系:
x cos y sin
zz
坐标面分别为
00z2π
z z
M (x, y, z)
常数 常数
z 常数
圆柱面 半平面 平面
同济微积分课件
5 y 4 y 2 y 126 x 5 0, ⑶ 20 y y
将 x 0, y 0, y
1 2
代入⑶得，
y 0 0.
例11 计算由摆线的参数方程
x a t sin t , y a 1 cos t
解 当 t 1时，曲线上相应的点的坐标为 1, 2 ，曲线
在该点的切线斜率为
k
故切线方程为 即
dy dx
t 1
1 2t 1
t 1
3,
y 2 3( x 1),
y 3 x 1.
法线方程为 即
y2
1 3
x 1 ,
7
y x . 3 3
1
三、相关变化率
了这种对应关系. 这类关系的特点是：对自变量
x的
每一个取值，都可以通过表达式确定一个唯一的因变量
y 的值. 用这种方式表达的函数称为显函数.
但某种情况下，这种对应关系是 通过一个方程
F ( x, y ) 0 来确定的. 通过方程可以确定 x 和 y 的对应
关系，但这个关系不能象显函数那样用一个显式方程来 表示. 例如方程
设 x x (t ) 与 y y (t ) 都是可导函数，且变量 x 与 y dy dx 之间存在某种联系，从而变化率 与 之间也存在 dt dt 一定关系，这两个相互依赖的变化率称为相关变化率.
例6 一梯子长10 m，上端靠着墙，下端着地，梯子顺 墙下滑．当梯子下端离墙 6 m 时， 沿着地面以2 m / s 的 速度离墙，问这时梯子上端下滑的速度是多少？
但在某些情况下，并不能把隐函数转化成显函数．例
如由
y 5 3 x 2 y 2 5 x 4 12 ,
同济大学微积分第三版课件第三章第三节
a2b2 eax cosbx
编辑ppt
19
例9 求积分 sec3 xdx.
解
sec3xdxsecxdtanx se cxta n x ta n xse cxta n x d x
s e c x ta n x s e c x s e c 2 x 1 d x
s e c x t a n x s e c 3 x d x s e c x d x s e c x t a n x
为多项式）形式的不定积分:
设 P nx e x d x Q nx e x C ,其中 Q n ( x ) 为待定
系数的与 P n ( x ) 同次多项式, 在
P nx e x d x Q nx e x C ,
两边求导，得 P n x e x Q n x e xQ n x e x ,
即:
P nxQ n xQ nx,
思考: 问题的原因是什么?
编辑ppt
8
例2 求积分 x 2e x d x.
解
x2exdx x2dexx2exex2xdxx2e22 xdex
x2ex2xexexdxx2 ex 2 x ex 2 ex C .
编辑ppt
9
注 一般还可用下面方法求 Pnxexdx,其中（ P n ( x )
例11说明在不定积分的计算过程中, 换元法与分部积 分法同时在使用.
x
x2
解
l n 2 x
换元
dx
ln2xdlnx1ln3xC.
x
3
l n 2 x 分部 x2 dx
ln
2
x
1 x
d x
1ln2x2 x
lnx x2 dx
编辑ppt
12
1ln2x21lnx2 1dx
编辑ppt
19
例9 求积分 sec3 xdx.
解
sec3xdxsecxdtanx se cxta n x ta n xse cxta n x d x
s e c x ta n x s e c x s e c 2 x 1 d x
s e c x t a n x s e c 3 x d x s e c x d x s e c x t a n x
为多项式）形式的不定积分:
设 P nx e x d x Q nx e x C ,其中 Q n ( x ) 为待定
系数的与 P n ( x ) 同次多项式, 在
P nx e x d x Q nx e x C ,
两边求导，得 P n x e x Q n x e xQ n x e x ,
即:
P nxQ n xQ nx,
思考: 问题的原因是什么?
编辑ppt
8
例2 求积分 x 2e x d x.
解
x2exdx x2dexx2exex2xdxx2e22 xdex
x2ex2xexexdxx2 ex 2 x ex 2 ex C .
编辑ppt
9
注 一般还可用下面方法求 Pnxexdx,其中（ P n ( x )
例11说明在不定积分的计算过程中, 换元法与分部积 分法同时在使用.
x
x2
解
l n 2 x
换元
dx
ln2xdlnx1ln3xC.
x
3
l n 2 x 分部 x2 dx
ln
2
x
1 x
d x
1ln2x2 x
lnx x2 dx
编辑ppt
12
1ln2x21lnx2 1dx
教学课件微积分第三版
称函数值f(x0)为函数f(x)在区间I上的最大值,
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
点x0为函数f(x)在区间I上的最大值点;若恒有
f(x0)≤f(x),则称函数值f(x0)为函数f(x)在区
间I上的最小值,点x0为函数f(x)在区间I上的最
小值点.
第一章 函数与极限
1.2 几何与经济方面函数关系式
1.几何方面函数关系式
(1)矩形面积S等于长x与宽u的积,即
又已知生产xkg产品的总成本为
1
C=C(x)=9x2+6x+100
所以每日产品全部销售后获得的总利润
1
1
L=L(x)=R(x)-C(x)= − 3 2 + 46x - 9 2 + 6x + 100
4
=- x2+40x-100(元)
9
1
由于产量x>0;又由于销售价格p>0,即46-3x>0,得到0<x<138,因而函数定
1.5 未定式极限
2.第二种基本情况
已知函数R(x)与S(x)中至少有一个含二次根式,当x→x0(有限值)时,
() 0
若R(x)→0且S(x)→0,则无理分式极限 lim
为 型未定式极限.
→0 () 0
解法:分子R(x)、分母S(x)同乘以它们的有理化因式,并注意到在
x→x0的过程中,恒有x-x0≠0,因而约去使得分子、分母同趋于零的
义域为0<x<138.
第一章 函数与极限
1.3 极限的概念与基本运算法则
定义1.8 已知数列
y1,y2,y3,y4,…,yn,…
当n→∞时,若一般项yn无限接近于常数A,则称当n→∞时数列yn的极
限为A,记作
同济大学微积分幻灯片共48页文档
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
48
同济大学微积分幻灯片
26、机遇对于有准备的头有特别的 亲和力 。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力 量泉源 之一， 也是成 功的利 器之一 。没有 它，天 才也会 在矛盾 无定的 迷径中 ，徒劳 无功。- -查士 德斐尔 爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉 尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯 潘。
同济-高等数学-第三版课件光盘介绍45页PPT
同济-高等数学-第三版课件光盘介绍
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
36、“不可能”这个字(法语是一个字 )，只 在愚人 的字典 中找得 到。--拿 破仑。 37、不要不要心 动要行 动。 38、勤奋，机会，乐观是成功的三要 素。(注 意：传 统观念 认为勤 奋和机 会是成 功的要 素，但 是经过 统计学 和成功 人士的 分析得 出，乐 观是成 功的第 三要素 。
39、没有不老的誓言，没有不变的承 诺，踏 上旅途 ，义无 反顾。 40、对时间的价值没有没有深切认识 的人， 决不会 坚韧勤 勉。
61、奢侈是舒适的，否则就不是奢侈 。——CocoCha nel 62、少而好学，如日出之阳；壮而好学 ，如日 中之光 ；志而 好学， 如炳烛 之光。 ——刘 向 63、三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。 ——孔 丘 64、人生就是学校。在那里，与其说好 的教师 是幸福 ，不如 说好的 教师是 不幸。 ——海 贝尔 65、接受挑战，就可以享受胜利的喜悦 。——杰纳勒 尔·乔治·S·巴顿
谢谢！
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s e c x t a n x s e c 3 x d x s e c x d x s e c x t a n x
ln s e c x ta n x s e c 3 x d x .
s e c 3 x d x 1 2 s e c x t a n x l n s e c x t a n x C .
两边求导，得 P n x e x Q n x e Βιβλιοθήκη Q n x e x ,即:
P n x Q n x Q n x ,
比较系数即得 Q n ( x ).
例3 求积分 x4lnxdx.
解
x4lnxdx1 5lnxx5dx
1 5x5lnx x51 xdx
1x5lnx1x5C.
1ln2x21lnx21C .
x
xx
例5 求积分 xarctanxdx.
解 xarctanxdx
1 2arctanxdx2112x21arctanx
1 x21 1 dx
2
x21
1x2 1arctanx1xC .
2
2
例6 求积分 arcsinxdx.
解
arcsinxdx
xarcsinxx
注 一般还可用下面方法求 Pnxexdx,其中（ Pn ( x )
为多项式）形式的不定积分:
设 P n x e x d x Q n x e x C ,其中 Q n ( x ) 为待定
系数的与 Pn ( x ) 同次多项式, 在
P n x e x d x Q n x e x C ,
5
25
注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.
例4
求积分
ln 2 x d x 及积分
ln 2 x dx.
x
x2
解
ln 2 x 换元
dx
ln2xdlnx1ln3xC.
x
3
l
n2 x2
x
d
x
分部
ln2
x
1 x
dx
1ln2x2lnxdx
x
x2
1 xln2x21 xlnx2x 1 2d x
在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分 法.
例11 求积分 e x dx.
解 作代换 t x , 则，xt2,dx2tdt,
exdx2tetdt 2 e tt 1 C 2 e x x 1 C .
例11说明在不定积分的计算过程中, 换元法与分部积 分法同时在使用.
例12 求积分 sin 23xdx.
eaxcosbxdx 1 eax cosbxC .
a2b2 eax cosbx
例9 求积分 sec3 xdx.
解
se c 3x d x se cx d ta nx s e c x ta n x ta n x s e c x ta n x d x
s e c x t a n x s e c x s e c 2 x 1 d x
解 令 23xt dx2tdt.则原积分为 3
sin23 xd xsint2 3td t
2 3 tc o s t c o s t d t 2 3 s i n t tc o s t C
2 s i n 2 3 x 2 3 x c o s2 3 x C . 3
例13 求积分 ln2 x1x2dx.
解
l n 2 x 1 x 2 d x x l n 2 x 1 x 2 2 x lnx1x2dxxln2 x1x2
1x2
2 1 x 2 ln x 1 x 2 2 x C .
1 dx 1x2
xa rc sinx 1 d1 x2 21 x2
xarcsinx1x2C .
例7 求积分 xarcsinxdx.
解
xarcsinxdxx22arcsinx1 2
x2 dx 1x2
而
x2
xsint
dx
sin2 tdt
1 x2
1t1sintcostC 22
1arcsinx1x1x2C ,
2
2
代入到上面的积分, 有
xarcsinxdx x2 arcsin x
2
1arcsinx1x1x2C .
4
4
例8 求积分 exsinxdx.
解 exsinxd xsinxd exexsinxexco sxd x
exsinxc o sx d ex e x s i n x e x c o s x e x s i n x d x .
将等式右端的积分式移到等式的左边, 即得
e xs in x d x 1 2 e xs in x c o sx C .
用此方法, 还可求出形如 e a xs in b x d x ,e a xc o s b x d x
的积分.
ea xsinbxdx 1 ea x sinb xC ,
a2b2 ea x sinb x
同济大学微积分第三版课件第 三章第三节
本节要点
本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重 要积分公式——分部积分公式
例2 求积分 x2exdx.
解
x2exdx x 2 d e x x 2 e xe x2 x d xx2e22xdex
x 2 e x 2x e xe x d x x 2 e x 2 x e x 2 e x C .
例10 求积分 sinlnxdx.
解
sin ln x d x xsin ln x d x xsinlnxxcoslnx1 xdx xsin lnx xc o slnx d x x s i n l n x x c o s l n x s i n l n x d x ,
移项后得:
s in ln x d x 1 2 x s in ln x x c o s ln x C .
ln s e c x ta n x s e c 3 x d x .
s e c 3 x d x 1 2 s e c x t a n x l n s e c x t a n x C .
两边求导，得 P n x e x Q n x e Βιβλιοθήκη Q n x e x ,即:
P n x Q n x Q n x ,
比较系数即得 Q n ( x ).
例3 求积分 x4lnxdx.
解
x4lnxdx1 5lnxx5dx
1 5x5lnx x51 xdx
1x5lnx1x5C.
1ln2x21lnx21C .
x
xx
例5 求积分 xarctanxdx.
解 xarctanxdx
1 2arctanxdx2112x21arctanx
1 x21 1 dx
2
x21
1x2 1arctanx1xC .
2
2
例6 求积分 arcsinxdx.
解
arcsinxdx
xarcsinxx
注 一般还可用下面方法求 Pnxexdx,其中（ Pn ( x )
为多项式）形式的不定积分:
设 P n x e x d x Q n x e x C ,其中 Q n ( x ) 为待定
系数的与 Pn ( x ) 同次多项式, 在
P n x e x d x Q n x e x C ,
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注意第一类换元积分法与分部积分法在使用上的差别.
例4
求积分
ln 2 x d x 及积分
ln 2 x dx.
x
x2
解
ln 2 x 换元
dx
ln2xdlnx1ln3xC.
x
3
l
n2 x2
x
d
x
分部
ln2
x
1 x
dx
1ln2x2lnxdx
x
x2
1 xln2x21 xlnx2x 1 2d x
在求不定积分的过程中往往要兼用换元法和分部积分 法.
例11 求积分 e x dx.
解 作代换 t x , 则，xt2,dx2tdt,
exdx2tetdt 2 e tt 1 C 2 e x x 1 C .
例11说明在不定积分的计算过程中, 换元法与分部积 分法同时在使用.
例12 求积分 sin 23xdx.
eaxcosbxdx 1 eax cosbxC .
a2b2 eax cosbx
例9 求积分 sec3 xdx.
解
se c 3x d x se cx d ta nx s e c x ta n x ta n x s e c x ta n x d x
s e c x t a n x s e c x s e c 2 x 1 d x
解 令 23xt dx2tdt.则原积分为 3
sin23 xd xsint2 3td t
2 3 tc o s t c o s t d t 2 3 s i n t tc o s t C
2 s i n 2 3 x 2 3 x c o s2 3 x C . 3
例13 求积分 ln2 x1x2dx.
解
l n 2 x 1 x 2 d x x l n 2 x 1 x 2 2 x lnx1x2dxxln2 x1x2
1x2
2 1 x 2 ln x 1 x 2 2 x C .
1 dx 1x2
xa rc sinx 1 d1 x2 21 x2
xarcsinx1x2C .
例7 求积分 xarcsinxdx.
解
xarcsinxdxx22arcsinx1 2
x2 dx 1x2
而
x2
xsint
dx
sin2 tdt
1 x2
1t1sintcostC 22
1arcsinx1x1x2C ,
2
2
代入到上面的积分, 有
xarcsinxdx x2 arcsin x
2
1arcsinx1x1x2C .
4
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例8 求积分 exsinxdx.
解 exsinxd xsinxd exexsinxexco sxd x
exsinxc o sx d ex e x s i n x e x c o s x e x s i n x d x .
将等式右端的积分式移到等式的左边, 即得
e xs in x d x 1 2 e xs in x c o sx C .
用此方法, 还可求出形如 e a xs in b x d x ,e a xc o s b x d x
的积分.
ea xsinbxdx 1 ea x sinb xC ,
a2b2 ea x sinb x
同济大学微积分第三版课件第 三章第三节
本节要点
本节通过函数乘积的导数公式建立了不定积分中的重 要积分公式——分部积分公式
例2 求积分 x2exdx.
解
x2exdx x 2 d e x x 2 e xe x2 x d xx2e22xdex
x 2 e x 2x e xe x d x x 2 e x 2 x e x 2 e x C .
例10 求积分 sinlnxdx.
解
sin ln x d x xsin ln x d x xsinlnxxcoslnx1 xdx xsin lnx xc o slnx d x x s i n l n x x c o s l n x s i n l n x d x ,
移项后得:
s in ln x d x 1 2 x s in ln x x c o s ln x C .