2017九年级数学和圆有关的比例线段1.doc

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九年级数学与圆有关的比例线段(1)

—————————————。（根据已知条件，结合图形，编写一道题目）
D
AP
B
C
1、已知，如图，AB是⊙O的弦，P是AB上的一点，AB=10cm，
提 PA=4cm，OP=5cm。求⊙O的半径。高练 2、如图⊙O的半径为5cm，OP=8cm，若PC：CD=1：2，习
求PC的长。
若PC是⊙O的切线呢？
A C
P
E
B
D
巩固
1.如图：若⊙o的直径AB⊥CD于P，AP=CD=4cm.求 OP的长
练 2. 已知：Rt△ABC的两条直角边AC、BC的长分别为
习 3cm,4cm 以AC为直径作圆与斜边AB交于点D 。求BD的长.
D
A
.P
O
B
第1题 C
B
A D
.O
C
第2题
3、如图，弦AB和CD交于⊙O内一点P，AP=2cm， PB=6cm
C
.O
A
O.
B
p
p
B
E
A
C
D
D
第1题
第2题
O
P
C
已知：如图，AB为⊙O直径，PA切⊙O于A，PCB为⊙O的割线， OM⊥BC，AM交BC于N。
求证：PN2 = PC·PB
A
P
证明：
PA切⊙O于A
O
C ND
B
M PA⊥OA ∠ PAN＋∠OAM= 90°
OM⊥BC ∠OMA＋∠MND= 90° ∠ANP=∠DNM
和圆有关的比例线段
（复习课）
授课教师：陈明锋桥亭乡桥亭中学
2005年12月12日
和圆有关的比例线段
内容应用

初中数学九年级《和圆有关的比例线段》

一、复习相交弦定理：
过P引圆的两条弦C
A 弦和直径垂直时 A
• P
•P
C •P •O D
点在圆内
B
D
PA•PB=PC•PD
B PA²=PB²=PC•PD
定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成
的两条线段的比例中项。
思考：若点P在圆外时，过P引圆的两条直线，则有又会有什么情况发生？
2、相交弦定理，切割线定理及其推论，经常用于证线段的比例式或等积式，证明线段相等，角相等，且直线平行或垂直等。
作业：
1、课本P119，习题7、4 A组5、7
课余探索：
在小结中把相交弦定理、切割线定理及其推论（割线定理）、切线长定理的结论统一为：过一点P（无论点P在圆内，还是在圆外）的两条直线，与圆相交或相切（把切点看成两个重合的“交点”）于点A、B、C、D，则PA•PB=PC•PD 。
这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与
圆的交点的两条线段长的积相等。（常称之为“割线定理”）
例1、已知：⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6cm，AB
=8cm,PO=10.9cm，求⊙O的半径。
解：设⊙O的半径为r，PO和它的延
长线交⊙O于C、D。根据切割线定
下面，试探索PA•PB（ PC•PD ）的值等于什么？（1）若⊙O的弦AB、CD相交于点P，试证明PA•PB=PC•PD = r²–OP².(提示：作过点P的直径）（2）若PA是⊙O的切线，PCD是⊙O的割线，试证明PA²= PC
•PD=OP²–r² （3）若PAB、PCD是⊙O的割线，试证明 PA•PB=PC•PD = OP² –r²（提示：作直线PO）

九年级数学和圆有关的比例线段例题讲解

九年级数学和圆有关的比例线段例题讲解知识点、重点、难点在圆中，有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理统称圆幕定理。

1•相交弦定理：圆内的两条相交弦被交点分成的两条线段长的积相等。

推论：若弦与直径垂直相交，则弦的一半是它分直径所成的两部分的比例中项。

2•切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。

推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相等。

3•与圆有关的比例线段问题的一般思考方法： (1)直接应用圆幕定理；(2)找相似三角形，当证明有关线段的比例式、等积式不能直接运用基本定理时，通常是由“三点定形法”证三角形相似，其一般思路为等积式T 比例式T 中间比T 相似三角形。

圆幕定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系，它们之间有着密切的联系，我们应当熟悉以下基本图形。

例题精讲例1:如图，已知O O 与。

02相交于A 、B 两点，过点A 作O 的切线，交O 02于点C ,过点B 作两圆的割线分别交O 0-\、O 02于点D 、E , DE 与AC 相交于点P.当AD 与O 02相切，且PA = 6 , PC=2, PD =12时，求AD 的长。

解连结AB •因为CA 切O 01 ;于点A ,所以/ 1 =/D .又/仁/ E ,所以/ D= / E.又/ 2= / 3,所以△ APD即 PA • PE = PC • PD .因为 PA=6, PC=2, PD =12 ,得 6X PE=2X 12 ,得 PE =4.由相交弦定理得 PE • PB=PA • PC ,DE =DP + PE =12 + 4=16.因为 DA BO 02于点 A ，所以 DA 2 =2DB • DE ，即 AD =9X 16,得 AD = 12.证明连结EF ，过B 、C 、E 三点作圆交 EF 于H ，连结CH .因为B 、C 、H 、E 共圆，所以/ 仁/ 2.因为A 、B 、2 2C 、D 共圆，所以/ 仁/3，于是/ 2 = / 3，故D 、C 、H 、F 共圆.由切割线定理得 EM =EC • ED =EH • EF , FN = FC • FB=FH • FE ,所以 EM 2 + FN 2 =(EH + FH) • EF =EF 2 .又因为 EM=EK , FN=FK ,所以 EK 2 + FK 2=EF 2 .故 △ EKF 为直角三角CPE ，所以PA PD PC PE所以 4PB=6X 2，得 PB=3.所以 BD = PD — PB=9, 例2:如图，已知圆内接四边形ABCD ，延长 AB 、 DC 交于E ,延长AD 、BC 交于F , EM 、FN 为圆的切线，分别以E 和F 为圆心、EM 和FN 为半径作弧，两弧交于形，且/ EKF =90。

中考数学专题：圆5 和圆有关的比例线段

1和圆有关的比例线段【知识要点】1．相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．推论：如果弦与直径相交，那么弦的一半是它直径所成的两条线段长的比例中项． 2．切割线定理：从圆外一点引圆切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．【典型例题】例1 如图，PC 是⊙O 的切线，C 为切点，PAB 为割线，PC=4， PB=8，︒=∠30B ，则PA=______,ACP ∠=_________.例2 如图,PA 切⊙O 于点A,割线PBC 交⊙O 于点B 、C ，若BC=20，PA=. A ．5 B.10 C ．20 D.30例3 如图PA 切⊙O 于A 点,割线PBC 交割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于E ，已知=2BE DE ·EA.求证：（1）PA=PD ；（2）22BP =AD ·2例4 已知PA 切切⊙O 于A ，D 是AB 的中点，PD 的延长线交AC 于E ，求证：.22CEAEPC PA =【经典练习】1．如图，PO 交⊙O 于A 点，PBC 为⊙O 的切线，若PA=8cm,PB=9cm,BC=7cm,求⊙O 的半径R.2.如图在⊙O 中,弦AB 与半径OC 交于点M,且OM=MC,若AM=23,BM=4,求OC 的长.3.如图,PA 切⊙O 于A,割线PBC 过圆心O,PA=10,PB=5,求BAP tg ∠和P ∠sin 的值.4.如图,PA 是⊙O 的直径,PC 是⊙O 的弦,过AC 的中点H 作PC 的垂线交PC 的延长线于点B,若HB=6,BC=4,则⊙O 的直径为( ). A.10 B.13 C.15 D.205.在⊙O 中,弦AB 、CD 交于点P ，若PA=4，PB=7，CD=12，则以PC 、PD 的长为根的一元二次方P3程是（）A ．028162=++x x B.028162=+-x x C ．012112=+-x x D.012112=++x x6．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，PA 是⊙O 的切线，PB 交AC 于E 点，交⊙O 于D ，若PE=PA ，︒=∠60ABC ，PD=1，BD=8，则CE 的长是（）. A ．38 B.9C ．37D.47．如图，PA 切⊙O 于A 点，PCD 交⊙O 于C 、D ，M 是PA 的中点，DM 交⊙O 于E ，直线PE 交⊙O 于F ，连结CF ，求证：PA ∥FC.8．已知如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 是AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P ，（1）求证：=2PM PA ·PC ；（2）若⊙O 的半径为32，OA=OM 3，求△PMN 的周长.9．如图，已知从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AT ，切点为T ，ADB 、ACG 为割线，BC 为直径，在AB 上截取AE=AT ，过E 作AB 的垂线交AG 于点F.（1）求证：①AF AE AC AB ⋅=⋅②AB ADAF AC =22；4（2）若⊙O 的直径BG 、AD AC BC 求,4,5,53===GC 的长.10．如图：⊙1O 、⊙2O 相交于点A 、B ，且点1O 在⊙2O 上，AC 是⊙1O 的直径，CB 的延长线交⊙2O 于D ，AD 交⊙1O 于E ，BE 的延长线交⊙2O 于点F ，求证：（1）AD=CD ；（2）⊙1O 、⊙2O 的面积比等于22:AF AE .1．已知，如图，圆内接四边形ABCD ，过C 点作对角线BD 的平行线交AD 的延长线于E 点，求证：DE ·AB=BC ·CD 。

和圆有关的比例线段(一)数学教案

和圆有关的比例线段(一)数学教案
标题：与圆相关的比例线段
一、教学目标
1. 理解并掌握圆中的一些基本概念，如半径、直径、弦、弧、圆心角等。

2. 掌握和圆有关的比例线段的基本性质。

3. 能够运用所学知识解决一些实际问题。

二、教学内容
1. 圆的基本概念复习
- 半径、直径、弦、弧、圆心角的概念和性质
2. 和圆有关的比例线段
- 弦切定理：过圆外一点作圆的两条切线，则它们与连结这一点和圆心的直线之间的夹角相等。

- 直径定理：圆内接四边形的对角互补。

- 定比分点公式：设P是圆O上的一点，A、B是圆上的两点，PA、PB分别交圆于C、D，如果AC/BC=t，则PD/PC=1/(1-t)。

三、教学方法
1. 讲授法：讲解和圆有关的比例线段的基本性质和定理。

2. 实例分析：通过实例帮助学生理解并应用这些定理。

3. 小组讨论：让学生分组讨论并解决问题，提高他们的团队协作能力和问题解决能力。

四、教学过程
1. 导入新课：通过回顾圆的基本概念引入今天的主题。

2. 新课讲解：详细讲解和圆有关的比例线段的性质和定理，并举例说明。

3. 学生实践：设计一些习题，让学生自己动手解决，教师在一旁指导。

4. 课堂小结：总结本节课的主要内容和学习要点。

5. 布置作业：布置一些相关练习题，供学生回家巩固所学知识。

五、教学评估
1. 课堂观察：观察学生在课堂上的表现，了解他们对新知识的理解程度。

2. 作业检查：通过检查学生的作业，了解他们对知识的掌握情况。

3. 测试：定期进行小测验或考试，以全面评估学生的学习效果。

九年级上数学圆知识点总结

九年级上数学圆知识点总结数学是一门抽象而又实用的学科，在九年级上学期，学生们学习了很多与圆相关的知识。

本文将从圆的定义、性质、公式等方面总结九年级上数学圆的知识点。

一、圆的定义与性质1. 圆的基本定义：圆是由平面内距离一定的一个点到这个平面内任意点的距离都相等的点的集合。

2. 圆的要素：圆心、半径。

圆心是圆的中心点，而半径则是从圆心到圆上任意一点的距离。

3. 圆的直径：通过圆心的一条线段，且两个端点都在圆上。

直径是半径的两倍。

4. 圆的弧：圆上的一段曲线被称为圆弧。

圆弧可以用角度或弧长来表示。

5. 圆的弦：圆上的一条线段，并且两个端点都在圆上，这条线段被叫做圆的弦。

6. 圆的切线：与圆仅有一个交点的直线，这条直线与圆相切。

7. 圆与角度的关系：圆的弧对应的圆心角是圆弧所对应的圆心角的一半。

二、圆的公式1. 圆的周长：圆的周长可以通过直径或半径来计算。

如果已知圆的直径D，那么圆的周长C等于π乘以直径值，即C = πD。

如果已知圆的半径r，则圆的周长C等于2π乘以半径值，即C = 2πr。

2. 圆的面积：圆的面积可以通过半径来计算。

已知圆的半径r，则圆的面积A等于π乘以半径的平方，即A = πr²。

三、圆与其他几何图形的关系1. 圆与线段的关系：如果线段的两个端点都在圆上，那么这个线段是圆的弦。

2. 圆与直线的关系：如果直线与圆仅有一个交点，那么这条直线是圆的切线。

3. 圆与三角形的关系：圆内接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且三边均是切线。

圆外接于三角形是指三角形的三个顶点都在圆上，并且圆的直径是三角形的一条边。

四、常见解题方法与技巧1. 圆的位置关系：通过观察圆与直线、线段、三角形之间的位置关系，可以运用相关的定理和性质进行解题。

2. 利用圆的对称性：圆具有轴对称性和中心对称性，可以利用这些对称性质进行解题。

3. 利用圆的比例关系：圆的周长和面积都与半径相关，可以通过比例关系进行运算和求解。

九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段(附答案解析)

九年级数学中考典型及竞赛训练专题22 与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.TPBDCBAPP ADCBA例题与求解【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =34CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . （全国初中数学联赛试题）解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（）A ．1B ．12C ．13D ．14（武汉市中考试题）解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.（成都市中考试题）解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且PA ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =23. （1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠BCA 的值.（呼和浩特市中考试题）解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.P【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .求证：PE =PC .（太原市竞赛试题）解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·PA ，只需证明PE 2= PF ·PA . 证△PEF ∽△PAE ，作出常用辅助线，突破相关角.B【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A 、B 两点，与ST 交于点C .求证：1PC =12（1PA +1PB ）.（国家理科实验班招生试题）解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A 级1．如图，PA 切⊙O 于A 点，PC 交⊙O 于B 、C 两点，M 是BC 上一点，且PA =6，PB =BM =3，OM =2，则⊙O 的半径为 .（青岛市中考试题） 2．如图，已知△ABC 内接于⊙O ，且AB =AC ，直径AD 交BC 于点E ，F 是OE 的中点.如果BD ∥CF ，BC =25，则CD = .（四川省竞赛试题）PD（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB 切⊙O 于点B ，AD 交⊙O 于点C 、D ，OP ⊥CD 于点P . 若AB =4cm ，AD =8cm ，⊙O 的半径为5cm ，则OP = .（天津市中考试题）4．如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点P ，PA =4，PB =3，PC =6，EA 切⊙O 于点A ，AE 与CD 的延长线交于点E ，AE =25，那么PE 的长为 .（成都市中考试题）5．如图，在⊙O 中，弦AB 与半径OC 相交于点M ，且OM =MC ，若AM =1.5，BM =4，则OC 的长为（） A ．2 6 B ． 6 C ．2 3 D ．2 2（辽宁省中考试题）MD CBAC（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB 与小圆相切于点P ，大圆的弦CD 经过点P ，且CD =13，PD =4，则两圆组成的圆环的面积为（）A ．16πB ．36πC ．52πD ．81π（南京市中考试题）7．如图，两圆相交于C 、D ，AB 为公切线，若AB =12，CD =9，则MD =（）A ．3B ．3 3C ．6D ．6 38．如图，⊙O 的直径AB =10，E 是OB 上一点，弦CD 过点E ，且BE =2，DE =22，则弦心距OF 为（） A ．1 B ． 2C ．7D ． 3（包头市中考试题）B（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC 中，∠C =90°，BE 是角平分线，DE ⊥BE 交AB 于D ，⊙O 是△BDE 的外接圆. （1）求证：AC 是⊙O 的切线；（2）若AD =6，AE =62，求DE 的长.（南京市中考试题）10．如图，PA 切⊙O 于A ，割线PBC 交⊙O 于B 、C 两点，D 为PC 的中点，连结AD 并延长交⊙O 于E ，已知：BE 2=DE ·EA .求证：（1）PA =PD ；（2）2BP 2=AD ·DE .（天津市中考试题）11．如图，△ABC 是直角三角形，点D 在斜边BC 上，BD =4DC .已知⊙O 过点C 且与AC 相交于F ，与AB 相切于AB 的中点G .求证：AD ⊥BF .（全国初中数学联赛试题）（第11题图）（第12题图）12．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点A . 连结CO 并延长交⊙O 于点D 、E ，连结BD 并延长交边AC 于点F.（1）求证：AD ·AC =DC ·EA ；（2）若AC =nAB （n 为正整数），求tan ∠CDF 的值.（太原市竞赛试题）B 级1．如图，两个同心圆，点A 在大圆上，AXY 为小圆的割线，若AX ·AY =8，则圆环的面积为（） A ．4π B ．8π C ．12π D ．16π（咸阳市中考试题）2．如图，P 为圆外一点，PA 切圆于A ，PA =8，直线PCB 交圆于C 、B ，且PC =4，AD ⊥BC 于D ，∠ABC =α，∠ACB =β. 连结AB 、AC ，则sin αsin β的值等于（） A ．14 B ．12 C ．2 D ．4（黑龙江省中考试题）βαPAD CB（第1题图）（第2题图）（第3题图）3．如图，正方形ABCD 内接于⊙O ，E 为DC 的中点，直线BE 交⊙O 于点F ，若⊙O 的半径为2，则BF 的长为（）A ．23 B ．22 C ．556 D ．5544．如图，已知⊙O的半径为12，锐角△ABC内接于⊙O，BD⊥AC于点D，OM⊥AB于点M，则sin∠CBD的值等于（）A．OM的长B．2OM的长C．CD的长D．2 CD的长（武汉市中考试题）（第4题图）（第5题图）（第6题图）5．如图，PC为⊙O的切线，C为切点，PAB是过O点的割线，CD⊥AB于D.若tan∠B=12，PC=10cm，求△BCD 的面积.（北京市海淀区中考试题）6．如图，已知CF为⊙O的直径，CB为⊙O的弦，CB的延长线与过F的⊙O的切线交于点P.（1）若∠P=45°，PF=10，求⊙O半径的长；（2）若E为BC上一点，且满足PE2=PB·PC，连结FE并延长交⊙O于点A.求证：点A是⌒BC的中点.（济南市中考试题）7．已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC.（1）如图1，能否在AB上确定一点E，使AC2=AE·AB?为什么？（2）如图2，在条件（1）的结论下延长EC到P，连结PB，如果PB=PE，试判断PB与⊙O的位置关系并说明理由；（3）在条件（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？为什么？（重庆市中考试题）PA DCEACB（第7题图）（第8题图）8．如图，P 为⊙O 外一点，PA 与⊙O 切于A ，PBC 是⊙O 的割线，AD ⊥PO 于D ，求证：PB BD =PCCD .（四川省竞赛试题）9．如图，正方形OABC 的顶点O 在坐标原点，且OA 边和AB 边所在的直线的解析式分别为：y =43x 和y =32534+-x .D 、E 分别为边OC 和AB 的中点，P 为OA 边上一动点（点P 与点O 不重合），连接DE 和CP ，其交点为Q ．（1）求证：点Q 为△COP 的外心；（2）求正方形OABC 的边长；（3）当⊙Q 与AB 相切时，求点P 的坐标．（河北省中考试题）（第9题图）（第10题图）（第11题图）10．如图，已知BC 是半圆O 的直径，D 是 ⌒AC 的中点，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点E . （1）求证：AC ·BC =2BD ·CD ；（2）若AE =3，CD =25，求弦AB 和直径BC 的长.（天津市竞赛试题）11．如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PBC是⊙O的割线，AD⊥OP，垂足为D.证明：AD2=BD·CD.（全国初中数学联合竞赛试题）专题22 与圆相关的比例线段例 1 设CE=4k，则DA=DF=3k,AF=AC=，由，即=3k10k,得,而AE==8，又BE===16，故AB=AE+BE=24. 例2 C例3 1 提示：设EB=x，则AE=4x.设CB=y，则由，，，得4=y(y+5x)，. 例4（1）联结OB，OP，可证明△BDC∽△P AE，有.又∵OC为△ABD的中位线，∴OC∥AD，则CE⊥OC，知CE为☉O的切线，故,有,即PE=PC.例 6 解法一：如图1，过P作PH⊥ST于H，则H是ST的中点，由勾股定理得.又由切割线∴，即.解法二：如图2，联结PO 交ST 于D ，则PO ⊥ST .联结SO ，作OE ⊥PB 于E ，则E为AB 的中点，于是.∵C ，E ，O ，D 四点共圆，∴.∵Rt △SPD ∽Rt △OPS ，∴，∴，即.A 级 1. 2. 提示：△BDE ≌△CFE ，DE =EF ，OF =FE =ED ，设OF =x ，则OA =OD =3x ，AE =5x ，由，得，∴. 3. 4cm 4.4 5.D 6.B 7.A 8.C 9.(1)略 (2)，△AED ∽△ABE ，=.设DE =，BE =2x ，而，解得x =.∴DE =. 10.（1）略（2）.可得PB =BD =PD ，∴PB =PD =DC ，∴又∵BD CD =AD DE ，∴. 11.作DE ⊥AC 于E ，则AC =AE ，AG =DE .由切割线定理得，故,即.∵AB =5DE ，∴,于是.又∠BAF =∠AED =90°，∴△BAF ∽△AED ，于是又∠ABF =∠EAD . ∵∠EAD+∠DAB=90°，∴∠ABF+∠DAB=90°，故AD ⊥BE. 12. ⑴如图，连接AD ，AE. ∵∠DAC=∠DAE ，∴△ADC ∽△EAC AD EAAD AC DC EA DC AC⇒=⇒•=•. ⑵∵∠CDF=∠1=∠2=∠DEA ，∴tan ∠CDF=tan ∠DEA=AD AE .由⑴知=AD DC AE AC ，故tan ∠CDF= DCAC.由圆的切割线定理知2AC DC EC =•，而EC=ED+DC ，则()2AC DC DC ED =+.又AC=nAB ，ED=AB ，代入上式得()22n AB DC DC AB =+，即222n 0DC AB DC AB +•-=，故2114n =2DC -+.显然，上式只能取加号，于是214n 1n DC DC tan CDF AC AB +-∠==.B 级1. B2. B3. C4. A5. 提示：1=2AD CD AC tanB CDDB BC===.设AD=x ，则CD=2x ，DB=4x ，AB=5x ，由△PAC ∽△PCB 得，1=2PA AC PC CB =，∴PA=5，又2PC PA PB =•，即()210=555x +，解得：x=3，∴AD=3，CD=6，DB=12，∴1362BCDSCD DB =•=. 6. ⑴略. ⑵连接FB ，证明PF=PE ，∠BFA=∠AFC.7. ⑴能.连接BC ，作∠ACE=∠B ，CE 交AB 于E. ⑵ PB 与⊙O 相切. ⑶C 是PE 的中点.8. 连接OA 、OB 、OC ，则2PA PD PO PB PC =•=•，于是，B 、C 、O 、D 四点共圆，有△PCD ∽△POB ，则=PC PO POCD OB OC= ①，又由POC ∽△PBD 得PO PB OC BD = ②，由①②得PB PCBD CD=. 9. ⑴略 ⑵ A （4,3），OA=5. ⑶P （3，94）. 10. ⑴延长BA ，CD 交于点G ，由Rt △CAG ∽Rt △BDC ，得AC CG BD BC =，即AC BC BD CG •=•，又12DG CD CG ==，故2AC BC BD CG •=•. ⑵由Rt △CDE ∽Rt △CAG ，得CE CDCG AC =，即2545=，解得CE=5，从而AG= ()()222245354CG AC +=--=，GA GB GD GC •=•，即()442545AB +=⨯，解得AB=6，()222261035BC AB AC =+==++.11. 延长AD 交⊙O 于E ，连接PE 、BE 、CE ，∵PA 为⊙O 的切线，PO ⊥AE ，∴PE=PA ，12AD DE AE ==，易证△PAB ∽△PCA ，△PEB ∽△PCE ，∴,AB PA EB PE AC PC EC PC ==，则AB EB AC EC=，即AB EC AC EB •=•，由托勒密定理得=AB EC AC EB AE BC •+••. ∴=AB EC AC EB AD BC •+••，即AB BC AC BC AD EC AD EB==，，有∵∠BAE=∠BCE ，∠CAD=∠CBE ， ∴△ABD ∽△CBE ，△CAD ∽△CBE ，则△ABD ∽△CAD ，∴AD CD BD AD =，故2AD BD CD =•.。

切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段

切线长定理、弦切角、和圆有关的比例线段1. 切线长概念切线长是在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长度，“切线长”是切线上一条线段的长，具有数量的特征，而“切线”是一条直线，它不可以度量长度。

2. 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。

对于切线长定理，应明确（1）若已知圆的两条切线相交，则切线长相等；（2）若已知两条切线平行，则圆上两个切点的连线为直径；（3）经过圆外一点引圆的两条切线，连结两个切点可得到一个等腰三角形；（4）经过圆外一点引圆的两条切线，切线的夹角与过切点的两个半径的夹角互补；（5）圆外一点与圆心的连线，平分过这点向圆引的两条切线所夹的角。

3. 弦切角：顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角。

直线AB 切⊙O 于P ，PC 、PD 为弦，图中几个弦切角呢？（四个） 4. 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。

5. 弄清和圆有关的角：圆周角，圆心角，弦切角，圆内角，圆外角。

6. 遇到圆的切线，可联想“角”弦切角，“线”切线的性质定理及切线长定理。

线段之积为常数||（R为圆半径），因为叫做点对于⊙O的幂，所以将上述定理统称为圆幂定理。

9.垂径定理：（1）圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴。

（2）垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。

（3）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。

10.圆心角定理：（1）圆是中心对称图形，圆心就是它的对称中心。

（2）在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。

（3）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

12.圆周角定理：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。

（2）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。

和圆有关的比例线段

第四课时
和圆有关的比例线段
基本定理及推论：基本定理及推论：
相交弦定理：圆内的两条相交弦，相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等几何表达式：几何表达式： AB和CD交于内一点P 交于⊙ 弦AB和CD交于⊙O内一点P PAPB＝PC =﹥PAPB＝PCPD
A O P C B D
几何表达式：几何表达式：
B A O P C D (2)
PT切 PT切⊙O于点T ，PAB 于点T PCD）（PCD）为⊙O的割线 2 =PAPB=PC PB=PCPD =﹥PT =PA PB=PC PD
T
推论：推论：从圆外一点引圆的两条割线，从圆外一点引圆的两条割线，
这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（．（也的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）叫做割线定理）
2
小结
在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，形的方法十分重要，应注意很好地掌握．意很好地掌握．
习题
P211 P213 A组14、23、25 组、、 B组3、16、25、26、２７组、、、、
推论: 如果弦与直径垂直相交,那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．
几何表达式：几何表达式：
D Ｐ CD⊥直径AB于点Ｐ直径AB于点 2 2 =﹥ DP = CP =PAPB =PA PB
切割线定理：
从圆外一点引圆的切线和割线，从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．段长的比例中项．
几何表达式：几何表达式：
B A O P C D (1)
PAB、PCD为 PAB、PCD为⊙O的割线 PAPB=PC PB=PCPD =﹥PA PB=PC PD

和圆有关的比例线段

和圆有关的比例线段介绍在几何学中，圆是一个非常重要的图形。

而比例则是数学中常见的一个概念，用来描述两个量之间的关系。

本文将讨论和圆有关的比例线段。

圆的定义圆是平面上离一个固定点距离相等的所有点的集合。

这个固定点被称为圆心，而距离圆心最远的点与圆心的距离被称为半径。

圆可以通过圆心和半径来唯一确定。

比例线段在几何中，线段分为很多种类，比例线段是其中一种。

比例线段指的是线段上一个点将线段分割成两个部分，且两个部分的比例与整个线段的比例相等。

如果一个线段被比例为a:b，那么可以得到以下等式：AB/BC = a/b其中，AB表示线段的一部分，BC表示线段的另一部分。

和圆有关的比例线段和圆有关的比例线段主要涉及到圆的直径、半径和切线。

下面以这些情况分别进行讨论。

圆的直径与半径的关系圆的直径是通过圆心的两个点，并且直径的长度等于半径的两倍。

因此，如果线段AB是圆的直径，那么可以得到以下等式：AB/BC = 2这意味着直径上的任意一点将直径划分成两段，其中一段是整个直径的两倍大小。

圆的半径与切线的关系切线是与圆相切且垂直于半径的直线。

在与圆的一个点A相切并垂直于半径的切线上，连接圆心O与A点的线段称为半径OA。

如果线段AB是切线上的一段，那么可以得到以下等式：AB/BC = 1这意味着切线上的任意一点将切线划分成两段，其中一段的长度等于半径的长度。

应用实例求解比例线段的长度已知圆的半径为r，线段AB分割线段OC，如下图所示：A B|--------|O ----------- C根据比例线段的定义，可以得到以下等式：AB/BC = a/b要求解比例线段的长度，可以应用以下公式：AB = (BC * a) / b其中，BC是已知的线段长度，a和b分别是给定的比例。

求解与切线相交的线段长度已知圆的半径为r，线段AB是与一个切线相交的线段，如下图所示：A|--|-------O | B|根据比例线段的定义，可以得到以下等式：AB/BC = a/b要求解与切线相交的线段的长度，可以应用以下公式：AB = (BC * a) / b其中，BC是切线上的线段长度，a和b分别是给定的比例。

九年级数学与圆有关的比例线段

第32课与圆有关的比例线段〖知识点〗相交弦定理、切割线定理及其推论〖大纲要求〗1．正误相交弦定理、切割线定理及其推论； 2．了解圆幂定理的内在联系； 3．熟练地应用定理解决有关问题；4．注意（1）相交弦定理、切割线定理及其推论统称为圆幂定理，圆幂定理是圆和相似三角形结合的产物。

这几个定理可统一记忆成一个定理：过圆内或圆外一点作圆的两条割线，则这两条割线被圆截出的两弦被定点分（内分或外分）成两线段长的积相等（至于切线可看作是两条交点重合的割线）。

使用时注意每条线段的两个端点一个是公共点，另一个是与圆的交点；（2）见圆中有两条相交想到相交弦定理；见到切线与一条割线相交则想到切割线定理；若有两条切线相交则想到切线长定理，并熟悉此时图形中存在着一个以交点和圆心连线为对称轴的对称图形。

〖考查重点与常见题型〗证明等积式、等比式及混合等式等。

此种结论的证明重点考查了相似三角形，切割线定理及其推论，相交弦定理及圆的一些知识。

常见题型以中档解答题为主，也有一些出现在选择题或填空题中。

〖预习练习〗1.圆内两弦相交，其中一条弦长为8cm ，且被交点平分，另一条被交点分为1:4两部分，则这条弦长为（）（A ）2cm （B ）8cm （C ）10cm （D ）16cm 2.自圆外一点所作过圆心的割线长是12cm ，圆的半径为4cm ，则过此点所引的切线长为（）（A ） 16cm （B ）4 3 cm （C ）4 2 cm （D ）以上答案都不对3.如图，圆内接四边形ABCD 的BA 、CD 的延长线交于P ，AC 、BD 交于E ，则图中相似三角形有（）（A ）2对（B ）3对（C ）4对（D ）5对4.圆内两条弦AB 与CD 相交于E ，如果AE ＝BE ，CE ＝9，DE ＝4，那么AB ＝5.从圆外一点P 向圆引两条割线PAB 、PCD ，分别与圆相交于A 、B 、C 、D ，如果PA ＝4，PC ＝3，CD ＝5，那么AB ＝6.Rt △ABC 中两条直角边分别为6cm ，8cm ，则外接圆半径为 ,内切圆半径为7.PA 、PB 分别是⊙O 的切线，切点分别为A 、B ，∠AOB ＝144°，则∠P ＝考点训练：1.⊙O 中直径CD ⊥弦AB 于E ，AB ＝6，DE ∶CE ＝1∶3，则DE 的长为（） (A) 3 (B) 3 (C) 2 3 (D) 62.由圆外一点作圆的切线长为6，过这点作过圆心的割线长为12，则此圆半径长为（） (A) 19cm (B) 6cm (C) 4.5cm (D)以上答案都不对3. 如图1，⊙O 的半径为6，PQ ＝6，AR ＝8则QR 的长为（） (A) 9 (B) 10 (C) 11 (D) 124. 如图2，CD 为⊙O 直径，弦AB 垂直CD 于P,AP ＝4，PD ＝2，则PO ＝___.R QA O P 1A BO CD P245. 如图3，PAB 为⊙O 的割线，PC 切⊙O 于C ，PC ＝10，AB ＝15，则PA 长为___________.6．如图4，弦AB ⊥弦CD 于E ，若AE ＝2，BE ＝6，DE ＝3，则⊙O 的直径长＝________. 7．如图，PAB 为⊙O 的割线，PO 交⊙O 于C ，OP ＝13，PA ＝9，AB ＝7，求⊙O 直径的长.8.如图，P 是⊙O 外一点，PA 切⊙O 于A ，PBC 为⊙O 的割线，求证：AB 2AC 2 ＝PBPC9.如图，在两圆公共弦AB 上，任取一点G ，过G E,F. 求证：CG ·ED ＝EG ·CF.解题指导1．如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，DP∥AC ，交BA 的延长线于P ，求证：AD ·DC ＝PA·BC.2．如图，锐角△ABC ，以BC 为直径作圆，在AB 上截取AE 交AC 延长线于F ，求证：AE AB = ACAF.3. 如图，若△ABC 的∠A 平分线交BC 于D ，交其外接圆于E ，求证：AD 2＝AB ·AC －BD ·CD.r AB C O P P C E4．如图，△ABC 内接于⊙O ，CP 切⊙O 于C ，交AB 延长线于P ，割线PD 交AC 于F ，CB 于E ，且CE ＝CF ，求证：（1）PD 是∠APC 的平分线，（2）CF 2＝AF ·BE.独立训练：1．AB 是⊙O 直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切⊙O 于D ，AB ＝6，CD ＝4，则CB 的长为（）(A) 2 (B) 83 (C) 23(D) 32．如图1，P 在半圆O 的直径AB 延长线上，且PB ＝OB ＝2， PC 切⊙O 于C ，CD ⊥AB 于D ，则CD 的长为（）(A) 2 3 (B) 3 (C) 3 2(D) 4 3 3．如图2，△ABC 中∠A ＝90°，AC ＝3，AB ＝4AB,AC 切于D,E ，则⊙O 半径为（） (A) 127 (B) 712 (C) 72 (D) 2 34．⊙O 中直径CD 垂直弦AB 于E ，AB ＝8，DE ∶CE ＝3∶1，则DE 的长为（） (A)2 (B)4 (C)2 3 (D)4 3 5．如图3，AB 为⊙O 直径，弦CD ⊥AB 于P ，若CD ＝a ，AP ＝b ，则半径R ＝____.6．如图4，AB 为⊙O 直径，CD 切⊙O 于B ，且BC ＝BD ，AD 交⊙O 于E ，AB ＝8，CD ＝12，则S △CDE ＝___________.7．如图5，BE 为半圆O 直径，AD 切⊙O 于B ，BC 切 ⊙O 于B ，BE ＝BC ＝6，则AD 长为___________. 8．如图6，以直角坐标系的原点O 为圆心作圆，A 是x 轴上一点， AB 切⊙O 于B ，若AB ＝12，AD ＝8，则点B 坐标为____________.9．如图，AB 是⊙O 直径，BC 是弦，CD 切⊙O 于C ，AD ⊥CD 交BC 延长线于的长。

和圆有关的比例线段(一)

和圆有关的比例线段(一)1. 引言在几何学中，比例线段指的是将一条线段等分成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。

本文将探讨和圆有关的比例线段问题，从最基础的概念开始，逐步引入相关定理和应用。

2. 圆的基本概念回顾在开始讨论和圆有关的比例线段问题之前，我们先回顾一些与圆相关的基本概念。

2.1 圆的定义圆是由平面上和一个确定点距离相等的所有点组成的集合。

这个确定点称为圆心，距离称为半径。

2.2 圆的要素在讨论和圆有关的比例线段问题时，会涉及到圆的几个重要要素，包括：•圆心：圆的中心点。

•半径：从圆心到圆上任意一点的距离。

•直径：通过圆心的线段，且等于半径的两倍。

•弧：圆上的一段弧线。

•弦：圆上的一段线段，连接圆上的两个点，且不经过圆心。

3. 比例线段的定义比例线段是指将一条线段分割成若干份，每一份之间满足一定的比例关系。

具体来说，如果将线段AB分为两部分，其中一部分的长度为m，另一部分的长度为n，且满足$\\frac{m}{n}=\\frac{a}{b}$，则称线段AB上的点C将线段分割成了比值为$\\frac{a}{b}$的比例线段。

4. 圆的比例线段定理接下来，我们将讨论和圆有关的比例线段定理。

4.1 弧分割定理假设圆的半径为R，圆心角对应的弧长为l，当圆心角为θ时，弧所在的比例线段为m:n。

根据弧分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{R \\cdot θ}{l}$其中，l为弧长，R为半径。

4.2 弦分割定理假设圆的半径为R，连接弦的线段分割弦为m:n。

根据弦分割定理，我们可以得到以下关系：$\\frac{m}{n} = \\frac{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} - l}{\\sqrt{(2R)^2 - d^2} + l}$其中，d为弦与圆心的距离，l为弦长，R为半径。

5. 圆的比例线段应用举例为了更好地理解和圆有关的比例线段定理，我们来看一个具体的应用举例。

数学培优之圆(九年级)-第5讲-圆中比例线段

数学培优之圆（九年级）-第5讲-圆中比例线段知识点归纳角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。

1、相交弦定理如图①，若圆内两条弦AB、CD交于点P，则PAPBPCPD。

2、切割线定理如图②，若从圆外一点P引圆的切线TP，和割线PAB，则PTPAPB。

3、割线定理如图③，若从圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，则PAPBPCPD。

ATCDOPBPAOBCPAOB2D例题精讲【例1】如图，已知AB是o的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，若DE3CE，AC85,D点为EF的中点，则AB_______.4(全国初中数学联赛题)思路点拨设法求出AE，BE的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。

【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB4,BE5,则DE的长为（）。

A.3B.4C.1516D.45（全国初中数学联赛题）思路点拨连AC、CE,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。

【例3】如图，已知o是ABC的外接圆，BC是o的直径，D是劣弧AC 的中点，BD交AC于点E。

（1）求证：ADDEDB;2（2）若BC55,CD,求DE的长。

22（泸州市中考题）思路点拨对于（1），只需证明ADE∽BDA。

图，已知AC为o的直径且PAAC，BC是o的【例4】如一条弦，直线PB交直线AC于点D，DBDC2.DPDO3（1）求证：直线PB是o的切线；（2）求coBCA的值。

（呼和浩特市中考题）思路点拨对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2）将问题转化求线段的比值。

【例5】如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。

初中数学-与圆相关的比例线段

与圆相关的比例线段阅读与思考比例线段是初中数学的一个核心问题.我们开始是用平行线截线段成比例进行研究的，随着学习的深入、知识的增加，在平行线法的基础上，我们可以利用相似三角形研究证明比例线段，在这两种最基本的研究与证明比例线段方法的基础上，在不同的图形中又发展为新的形式.在直角三角形中，以积的形式更明快地表示直角三角形内线段间的比例关系.在圆中，又有相交弦定理、切割线定理及其推论，这些定理用乘积的形式反映了圆内的线段的比例关系. 相交弦定理、切割线定理及其推论，它们之间有着密切的联系： 1．从定理的形式上看，都涉及两条相交直线与圆的位置关系；2．从定理的证明方法上看，都是先证明一对三角形相似，再由对应边成比例而得到等积式. 熟悉以下基本图形和以上基本结论.TPBDCBAPP ADCBA例题与求解【例1】如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F .若DE =34CE ，AC =85，点D 为EF 的中点，则AB = . 解题思路：设法求出AE 、BE 的长，可考虑用相交弦定理，勾股定理等.例1题图例2题图【例2】如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =4，BC =3，以BC 上一点O 为圆心作⊙O 与AC 、AB 都相切，又⊙O 与BC 的另一个交点为D ，则线段BD 的长为（）A ．1B ．12C ．13D ．14解题思路：由切割线定理知BE 2=BD ·BC ，欲求BD ，应先求BE . 须加强对图形的认识，充分挖掘隐含条件.【例3】如图，AB 是半圆的直径，O 是圆心，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于D ，DE ⊥AB 于E .已知AE ∶ EB =4∶ 1，CD =2，求BC 的长.解题思路：由题设条件“直径、切线”等关键词联想到相应的知识，寻找解题的突破口.【例4】如图，AC 为⊙O 的直径且P A ⊥AC ，BC 是⊙O 的一条弦，直线PB 交直线AC 于点D ，DB DP =DC DO =23.（1）求证：直线PB 是⊙O 的切线；（2）求cos ∠BCA 的值. 解题思路：对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2），将问题转化为求线段的比值.P【例5】如图，已知AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点.延长BC 至D ，使CD =BC ，CE ⊥AD 于E ，BF 交⊙O 于F ，AF 交CE 于P .求证：PE =PC .解题思路：易证PC 为⊙O 切线，则PC 2=PF ·P A ，只需证明PE 2= PF ·P A . 证△PEF ∽△P AE ，作出常用辅助线，突破相关角.B【例6】如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线. 过点P 作⊙O 的割线P AB ，交⊙O 于A 、B两点，与ST交于点C.求证：1PC=12（1P A+1PB）.解题思路：利用切割线定理，再由三角形相似即可证.能力训练A级1．如图，PA切⊙O于A点，PC交⊙O于B、C两点，M是BC上一点，且PA=6，PB=BM=3，OM=2，则⊙O的半径为.2．如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB=AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点.如果BD∥CF，BC=25，则CD= .PD（第1题图）（第2题图）（第3题图）（第4题图）3．如图，AB切⊙O于点B，AD交⊙O于点C、D，OP⊥CD于点P. 若AB=4cm，AD=8cm，⊙O的半径为5cm，则OP= .4．如图，已知⊙O的弦AB、CD相交于点P，PA=4，PB=3，PC=6，EA切⊙O于点A，AE与CD的延长线交于点E，AE=25，那么PE的长为.5．如图，在⊙O中，弦AB与半径OC相交于点M，且OM=MC，若AM=1.5，BM=4，则OC的长为（）A．2 6 B． 6 C．2 3 D．22MDCBAC（第5题图）（第6题图）（第7题图）6．如图，两个同心圆，大圆的弦AB与小圆相切于点P，大圆的弦CD经过点P，且CD=13，PD=4，则两圆组成的圆环的面积为（）A．16πB．36πC．52πD．81π7．如图，两圆相交于C、D，AB为公切线，若AB=12，CD=9，则MD=（）A．3 B．3 3 C．6 D．6 38．如图，⊙O的直径AB=10，E是OB上一点，弦CD过点E，且BE=2，DE=22，则弦心距OF为（）A．1 B． 2 C．7 D． 3B（第8题图）（第9题图）（第10题图）9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，BE是角平分线，DE⊥BE交AB于D，⊙O是△BDE的外接圆.（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若AD=6，AE=62，求DE的长.10．如图，PA切⊙O于A，割线PBC交⊙O于B、C两点，D为PC的中点，连结AD并延长交⊙O于E，已知：BE2=DE·EA.求证：（1）PA=PD；（2）2BP2=AD·DE.11．如图，△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC.已知⊙O过点C且与AC相交于F，与AB 相切于AB的中点G.求证：AD⊥BF.A F（第11题图）（第12题图）12．如图，已知AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A. 连结CO并延长交⊙O于点D、E，连结BD并延长交边AC于点F.（1）求证：AD·AC=DC·EA；（2）若AC=nAB（n为正整数），求tan∠CDF的值.。

初中数学与圆有关的比例线段

初中数学与圆有关的比例线段
与圆有关的比例线段
《宫长路》
弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角.
圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．
推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；反之，相等的圆周角所对的弧也相等．
推论２：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；反之，９０°的圆周角所对的弦是直径．
——相交弦、切割线、切线长定理
五与圆有关的比例线段
一、下面我们首先沿用从特殊到一般的思路,讨论与圆有关的相交弦的问题. 探究1:如图1,AB 是⊙O 的直径,CD⊥AB,AB 与CD 相交于P,线段PA、PB、PC、PD 之间有什幺关系？
证明:连接AD、BC.
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.
∴Rt△APD∽Rt△CPB.
探究2:将图１中的AB 向上（或向下）平移,使AB 不再是直径（如图２），结论（１）还成立吗？
证明:连接AD、BC.
则由圆周角定理的推论可得:∠A＝∠C.
∴Rt△APD∽Rt△CPB.。