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【精美排版】2018年秋八年级数学上册变式思维训练15练习(新版)沪科版

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沪教版(上海)八年级上册数学期中考试试题及答案

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沪教版（上海）八年级上册数学期中考试试卷一、选择题。

（每小题只有一个正确答案）1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ）A B C D2 ）.A B C D 3．化简√−xy 2（y ＜0）的结果是（ ）A ．y √xB ．y √−xC ．﹣y √xD ．﹣y √−x 4．下列方程一定是一元二次方程的是（ ）A ．xy+x=yB ．x 2=﹣1C ．ax 2+bx=0D ．（x ﹣5）x=x 2﹣2x ﹣15．下列方程中，无实数解的是（ ）A ．14x 2﹣3x+9=0 B ．3x 2﹣5x ﹣2=0C ．y 2﹣2y+9=0D （1﹣y 2）=y 6．反比例函数k y x=的图象与函数2y x =的图象没有交点，若点()12,y -、()21,y -、()31,y 在这个反比例函数k y x=的图象上，则下列结论中正确的是（ ） A ．.123y y y >>B ．213 y y y >>C ．312 y y y >>D ．321 y y y >>二、填空题7．写出√a −3的一个有理化因式_____．8=_____．9=______．103-<的解集是______.11．方程22x x =-的根是_____．12．方程x 2﹣5x=4的根是_____．13．在实数范围内因式分解：2221x x --=______.14．2016年11月11日，某网站销售额1207亿人民币. 2018年，销售额增长到2135亿人民币，设这两年销售额的平均增长率为x ，则根据题意可列出方程______.15．函数y=√2x+1的定义域是_____． 16．已知反比例函数1m y x -=的图象如图所示，则实数m 的取值范围是______．17．已知f （x ）=31x x ++，如果f （a ），那么a=_____． 18．正比例函数的图像和反比例函数的图像相交于A 、B 两点，点A 在第二象限，点A 的横坐标为1-，作AD x ⊥轴，垂足为D ，O 为坐标原点，1AOD S =. 若x 轴上有点C ，且4ABC S =，则C 点坐标为______.三、解答题19．20．解方程：()223212x x --=.21．已知，求x 2﹣4x ﹣4的值．22．关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．23．如图，已知正比例函数的图象与反比例函数的图象都经过点P（2，3），点D是正比例函数图象上的一点，过点D作y轴的垂线，垂足分别Q，DQ交反比例函数的图象于点A，过点A作x轴的垂线，垂足为B，AB交正比例函数的图于点E．（1）求正比例函数解析式、反比例函数解析式．（2）当点D的纵坐标为9时，求：点E的坐标．24．如图所示，已知墙的长度是20米，利用墙的一边，用篱笆围成一个面积为96平方米的长方形ABCD，中间用篱笆分隔出两个小长方形，总共用去36米长的篱笆，求AB的长度？25．如图，已知直线y＝12x与反比例函数y＝kx(k>0)的图象交于A，B两点，且点A的横坐标为4. (1)求k的值．(2)若反比例函数y＝kx的图象上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积．(3)若过原点O的另一条直线l交反比例函数y＝kx(k>0)的图象于P，Q两点(点P在第一象限)，以A，B，P，Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标．参考答案1．A【解析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，判断各选项即可得出答案．【详解】A、B、.C、3，故本选项错误.D ，故本选项错误.故选A．【点睛】此题考查了最简二次根式的定义及特点，属于基础题，解答本题的关键是掌握最简二次根式满足的两个条件，注意两个条件一定要同时满足才是最简二次根式．2．C【分析】根据同类二次根式的定义（几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式）将各选项进行化简判断即可【详解】ABCD2a故答案为C选项【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，掌握其定义是关键3．D【解析】【分析】根据二次根式的概念求出x的符号,根据二次根式的性质化简即可.【详解】由二次根式的概念可知, −xy2≥0,又y<0,∴−x≥0,∴化简√−xy2（y<0)的结果是−y√−x,所以D选项是正确的.【点睛】本题考查的是二次根式的性质与化简,掌握二次根式的性质是解题的关键,注意二次根式的被开方数是非负数.4．B【解析】【分析】本题根据一元二次方程的定义解答.一元二次方程必须满足四个条件:(1)未知数的最高次数是2;(2)二次项系数不为0;(3)是整式方程;(4)含有一个未知数.由这四个条件对四个选项进行验证,满足这四个条件者为正确答案.【详解】A、该方程中含有两个未知数,它属于二元二次方程,故本选项错误;B、该方程符合一元二次方程的定义,故本选项正确;C、当a=0时,该方程不是一元二次方程,故本选项错误;D、由已知方程得到:3x-1=0,该方程属于一元一次方程,故本选项错误;所以B选项是正确的.【点睛】本题考查了一元二次方程的概念,判断一个方程是否是一元二次方程,首先要看是否是整式方程,然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2.5．C【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号就可以了．【详解】A. a= 14，b=−3，c=9，∵△=9−9=0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；B. a=3，b=−5，c=−2，∵△=25+24=49>0，∴方程有两个相等的实数根，本选项不合题意；C. a =1，b =−2，c =9，∵△=4−36=−32<0，∴方程没有实数根，本选项符合题意；D. a b =1,c ，∵△=1+24=25>0，∴方程有两个不相等的实数根，本选项不合题意．故选C.【点睛】此题考查一元二次方程根的情况与判别式∆的关系:(1) ∆>0⇔方程有两个不相等的实数根;(2) ∆=0⇔方程有两个相等的实数根;(3) ∆<0⇔方程没有实数根.6．A【分析】先根据题意求得函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．【详解】∵直线y =2x 经过一、三象限,反比例函数k y x =的图象与函数y =2x 的图象没有交点， ∴反比例函数k y x=的图象在二、四象限， ∵点()12,y -、()21,y -、()31,y 在这个反比例函数k y x =的图象上， ∴点()12,y -、()21,y -在第二象限,点()31,y 在第四象限，∵−2<−1，∴.12y y >>0，∴1>0，∴3y <0，∴.123y y y >>，故选:A.【点睛】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点,熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键.7．√a +3【解析】【分析】一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.据此作答.【详解】.(√a −3)(√a +3)=a -9.故答案为√a +3.【点睛】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．8 【分析】.【详解】6. 【点睛】本题考查的是分母有理化，熟知分母有理化常常是乘二次根式本身(分母只有一项)或与原分母组成平方差公式是解答此题的关键.9．3π-【分析】根据算术平方根的定义即可得．【详解】33ππ=-=-，故答案为：3π-．【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题关键．10．x >-【分析】按照解一元一次不等式步骤移项求解即可，最后需要进行分母有理化【详解】移项得：3x <，即：x >33-=-故答案为x >-【点睛】本题主要考查了解不等式以及分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法是关键11．10x =，22x =-．【解析】方程变形得：x 2+2x=0，即x （x+2）=0，可得x=0或x+2=0，解得：x 1=0，x 2=﹣2． 故答案是：x 1=0，x 2=﹣2.12．x 12x =【分析】先把给出的方程进行整理,找出a,b,c 的值,再代入求根公式进行计算即可.【详解】x 2﹣5x=4,∴ x 2﹣5x-4=0,1,5,4a b c ==-=-,x ∴===1x ∴=, 2x =故答案为 1x =2x =【点睛】此题考查了公式法解一元二次方程,熟练掌握求根据公式x =是本题的关键.13．2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【分析】 先在实数范围内提公因式得：2122x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后利用配方法以及平方差公式将括号里的进行因式分解变形得出答案【详解】22122122x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭=21111222442x x ⎛⎫-⋅+-- ⎪⎝⎭=213224x ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=22122x ⎡⎤⎛⎫⎢⎥-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦=11222x x ⎛-- ⎝⎭⎝⎭=2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭故答案为2x x ⎛ ⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了因式分解的基本方法，熟练掌握相关方法是关键14．()2120712135x +=【分析】2016年，某网站销售额1207亿人民币，又因为两年销售额的平均增长率为x ，所以2017年销售额为()12071x +，以此类推得出2018年的销售额的代数式，然后根据等量关系列方程即可【详解】由题意得：2017年销售额为()12071x +，则其2018年销售额为()212071x +，又因为20118年销售额为2135亿，所以：()2120712135x +=故答案为()2120712135x +=【点睛】本题主要考查了列方程，根据题意找到并列出等量关系中相对应的代数式是关键 15．x ＞﹣12【解析】【分析】根据被开方数大于等于零，分母不等于零列式计算即可得解．【详解】由题意得，2x+1>0，解得x>﹣12.故答案为：x>﹣12.【点睛】本题考查的是定义域，熟练掌握被开方数大于等于零，分母不等于零是解题的关键. 16．m>1【详解】试题分析：由图像可知，函数经过一、三象限，即m-1>0,所以m>1.考点：反比例函数的图像与性质点评：反比例函数的参数与图像的联系，函数若经过一、三象限，即k>0；若经过二、四象限，即k<0.17．【分析】根据函数值的概念得到关于a 的分式方程，解方程即可得到答案．【详解】由题意得31a a ++解得检验：当a+1≠0，∴是原方程的解，故答案为【点睛】本题考查的是函数，熟练掌握概念是解题的关键.18．()2,0或()2,0-【分析】利用正比例函数与反比例函数图像关于原点对称求得A 与B 的坐标，然后根据4ABC s ∆=即可求得C 的坐标【详解】设反比例函数为：()0k y k x=≠，正比例函数为：()0y ax a =≠ ∵二者图像关于原点对称∴A 与B 这两点亦关于原点对称如图通过图像关系可以得知：AD 就是A 的纵坐标y ，而AD 边的高就是A 与B 两点横坐标的距离2∴A 的坐标为（﹣1,2），B 的坐标为（1，﹣2）设C 的坐标为（m ，0）∵4ABC s ∆= ∴1122422m m ⋅+⋅= 解得m=2∴C 的坐标为（2,0）或（﹣2,0）【点睛】本题主要考查了反比例函数与正比例函数图像关于原点的对称性，掌握其对称性的特点以及合理的求出各点坐标是关键19【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可．【详解】解:原式=【点睛】本题考查的是二次根式的加减法，熟练掌握化简的方法是解题的关键.20．14x =-，22x =【分析】先去掉括号，移项合并同类项得：224160x x +-=，化简得：2280x x +-=，左边进行因式分解再求解即可【详解】整理得：224160x x +-=两边同时除以2得：2280x x +-=，因式分解得：()()240x x -+=所以2040x x -=+=或所以14x =-，22x =【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，掌握求解方法是关键21．﹣5【分析】首先化简【详解】∵=2 ∴x 2﹣4x ﹣4=（x ﹣2）2﹣8=3﹣8=﹣5．【点睛】本题考查的是二次根式的化简求值，熟练掌握完全平方公式因式分解是解题的关键.22．k<32且k≠1 【分析】由“关于x 的方程（k-1）x 2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根”，可知一元二次方程的二次项系数不为0，且判别式△>0，从而可得出结论．【详解】∵关于x 的方程（k ﹣1）x 2+2kx+k+3=0有两个不相等的实数根，∴有2k 10(2k)4(k 1)(k 3)0-≠⎧⎨∆=--+>⎩，即k 1128k 0≠⎧⎨->⎩， 解得：k 32<且k≠1． 答：k 的取值范围为k<32且k≠1． 【点睛】本题考查的是根的判别式，熟练掌握有两个不等根的要求是解题的关键.23．（1）y=6x ;（2）E （23，1） 【分析】（1）根据待定系数法求得即可；（2）把y=9代入反比例函数的解析式即可求得A 的坐标，把A 点的横坐标代入正比例函数的解析式即可求得E 的坐标．【详解】（1）设正比例函数解析式为y=mx ，反比例函数解析式y=（m≠0，k≠0），把P （2，3）代入y=mx 得3=2m ，解得m=，∴正比例函数解析式为y=x ，把P （2，3）代入y=得，3=，解得k=6，∴反比例函数解析式为y=；（2）把y=9代入y=，得9=，解得x=，∴A （，9），把x=代入y=x，得y=×=1，∴E（23，1）．【点睛】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法和二者的性质是解题的关键.24．AB的长度是8米【解析】【分析】设AB为x米，然后表示出BC的长为（36-3x）米，利用矩形的面积计算方法列出方程求解即可．【详解】设AB=x米，依题意得x（36﹣3x）=96解得：x1=4，x2=8．当x1=4，36﹣3x=24＞20（不合题意，舍去）当x2=8时，36﹣3x=12＜20，符合题意，答：AB的长度是8米．【点睛】本题考查的是一元二次方程的应用，正确列出关系式是解题的关键.25．(1)8(2)15(3) (2，4)或(8，1)【详解】分析：（1）先根据直线的解析式求出A点的坐标，然后将A点坐标代入双曲线的解析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的双曲线的解析式，可求出C点的坐标，由于△AOC的面积无法直接求出，因此可通过作辅助线，通过其他图形面积的和差关系来求得．（解法不唯一）；（3）由于双曲线是关于原点的中心对称图形，因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形，那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即6．可根据双曲线的解析式设出P点的坐标，然后参照（2）的三角形面积的求法表示出△POA的面积，由于△POA 的面积为6，由此可得出关于P点横坐标的方程，即可求出P点的坐标．详解：（1）∵点A横坐标为4，把x=4代入y=12x中得y=2，∴A（4，2），∵点A是直线y=12x与双曲线y=kx（k＞0）的交点，∴k=4×2=8；（2）如图，∵点C在双曲线上，当y=8时，x=1，∴点C的坐标为（1，8）．过点A、C分别做x轴、y轴的垂线，垂足为M、N，得矩形DMON．∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．∴S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15；（3）∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形，∴OP=OQ，OA=OB，∴四边形APBQ是平行四边形，∴S△POA=S平行四边形APBQ×14=14×24=6，设点P的横坐标为m（m＞0且m≠4），得P（m，8m ），过点P、A分别做x轴的垂线，垂足为E、F，∵点P、A在双曲线上，∴S△POE=S△AOF=4，若0＜m＜4，如图，∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，∴S梯形PEFA=S△POA=6．∴12（2+8m）•（4-m）=6．∴m1=2，m2=-8（舍去），∴P（2，4）；若m＞4，如图，∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，∴S梯形PEFA=S△POA=6．∴12（2+8m）•（m-4）=6，解得m1=8，m2=-2（舍去），∴P（8，1）．∴点P的坐标是P（2，4）或P（8，1）．点睛：本题考查反比例解析式的确定和性质、图形的面积求法、函数图象交点等知识及综合应用知识、解决问题的能力．难点是不规则图形的面积通常转化为规则图形的面积的和差来求解．。

华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定二(SSS)(基础)巩固练习

华东师大初中数学八年级上册全等三角形判定二(SSS)(基础)巩固练习

【巩固练习】一、选择题1．在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（）A. ∠AB. ∠BC. ∠CD. ∠B或∠C2．如图，已知AB＝CD，AD＝BC，则下列结论中错误的是（）A.AB∥DCB.∠B＝∠DC.∠A＝∠CD.AB＝BC3．下列判断正确的是（）A.两个等边三角形全等B.三个对应角相等的两个三角形全等C.腰长对应相等的两个等腰三角形全等D.直角三角形与锐角三角形不全等4．如图，AB、CD、EF相交于O，且被O点平分，DF＝CE，BF＝AE，则图中全等三角形的对数共有（）A. 1对B. 2对C. 3对D. 4对5．如图，用尺规作出∠AOB的角平分线OE，在作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（）A．ASA B．SSS C．SAS D．AAS6．（2016•济南校级一模）如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）A．∠B=∠E，BC=EF B．BC=EF，AC=DFC．∠A=∠D，∠B=∠E D．∠A=∠D，BC=EF二、填空题7．如图，AB＝CD，AC＝DB，∠ABD＝25°，∠AOB＝82°，则∠DCB＝_________.8．（2016•金平区一模）如图，自行车的三角形支架，这是利用三角形具有________性．9．如图，在△ABC和△EF D中，AD＝FC，AB＝FE，当添加条件_______时，就可得△ABC≌△EFD （SSS）10．如图，AC＝AD，CB＝DB，∠2＝30°，∠3＝26°，则∠CBE＝_______.11．如图，点D在AB上，点E在AC上，CD与BE相交于点O，且AD＝AE，AB＝AC，若∠B ＝20°，则∠C＝_______．12．已知，如图，AB＝CD，AC＝BD，则△ABC≌，△ADC≌ .三、解答题13．已知：如图，点A、B、C、D在一条直线上，AC=DB，AE=DF，BE=CF．求证：△ABE≌△DCF．14. 已知如图，E、F在BD上，且AB＝CD，BF＝DE，AE＝CF，求证：AC与BD互相平分.15．如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE求证：AE＝DE.【答案与解析】一.选择题1．【答案】A；【解析】如果选B或者C的话，三角形内角和就会超过180°.2．【答案】D；【解析】连接AC或BD证全等.3．【答案】D；4．【答案】C；【解析】△DOF≌△COE，△BOF≌△AOE，△DOB≌△COA.5．【答案】B；【解析】解：在△OCE和△ODE中，，∴△OCE≌△ODE（SSS）．故选：B．6．【答案】D；【解析】（1）△ABC≌△DEF（SAS）；故A正确；（2）△ABC≌△DEF（SSS）；故B正确；（3）△ABC≌△DEF（ASA）；故C正确；（4）无法证明△ABC≌△DEF，故D错误.二.填空题7．【答案】66°；【解析】可由SSS证明△ABC≌△DC B，∠OBC＝∠OCB＝82412︒=︒，所以∠DCB＝∠ABC＝25°＋41°＝66°8. 【答案】稳定.9．【答案】BC＝ED；10.【答案】56°；【解析】∠CBE＝26°＋30°＝56°.11.【答案】20°；【解析】△ABE≌△ACD（SAS）12.【答案】△DCB，△DAB；【解析】注意对应顶点写在相应的位置上.三.解答题13.【解析】证明：如图，∵AC=DB，∴AC﹣BC=DB﹣BC，即AB=DC．在△ABE与△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SSS）．14.【解析】证明：∵BF＝DE，∴BF－EF＝DE－EF，即BE＝DF在△ABE和△CDF中，AB CD BE DF ,AE CF ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE ≌△CDF （SSS ）∴∠B ＝∠D ，在△ABO 和△CDO 中B D AOB COD AB CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABO ≌△CDO （AAS ）∴AO ＝OC ，BO ＝DO ，AC 与BD 互相平分.15.【解析】证明：在△ABC 和△DCB 中AB DC AC DB BC =CB ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝∴△ABC≌△DCB（SSS ） ∴∠ABC＝∠DCB， 在△ABE 和△DCE 中ABC DCB AB DC BE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE≌△DCE（SAS ） ∴AE＝DE.。

2020-2021学年沪科版八年级数学第一徐诶第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷(含答案)

2020-2021学年沪科版八年级数学第一徐诶第15章轴对称图形与等腰三角形单元测试卷(含答案)

《第15章轴对称图形与等腰三角形》单元测试卷一．选择题（共10小题）1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．62．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（）A．2B．C．D．4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个5．如图，△ABC中，BC＝10，AC﹣AB＝4，AD是∠BAC的角平分线，CD⊥AD，则S△BDC 的最大值为（）A．40B．28C．20D．106．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（）A．向右平移7格B．以AB的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB为对称轴作轴对称变换C．绕AB的中点旋转180°，再以AB为对称轴作轴对称D．以AB为对称轴作轴对称，再向右平移7格7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点A关于BC边的对称点为A′，点B关于AC边的对称点为B′，点C关于AB边的对称点为C′，则△ABC与△A′B′C′的面积之比为（）A．B．C．D．8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）A．以1m/s的速度，做竖直向上运动B．以1m/s的速度，做竖直向下运动C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角D．以2m/s的速度，做竖直向下运动9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C 在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A．B．13C．D．18二．填空题（共8小题）11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为．12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为．13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE ＝40°，则∠DBC＝．14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝时，满足条件的点C恰有三个．15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为步．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M 关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是．17．如图所示的商标有条对称轴．18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为点分．三．解答题（共8小题）19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE ＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．（1）求∠DAE的度数；（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．（1）当x＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝cm；（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．23．（1）当a＝时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有条对称轴．24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；（2）若∠APO＝∠BPO，①求此时P点的坐标；②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．如图，已知∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，若EC ＝3，则OF长度是（）A．3B．4C．5D．6【分析】根据角平分线的性质得到EG的长度，再根据平行线的性质得到∠OEF＝∠COE ＝15°，然后利用三角形的外角和内角的关系求出∠EFG＝30°，利用30°角所对的直角边是斜边的一半，即可得到EF的长，进而得出OF的长．【解答】解：∵∠AOE＝∠BOE＝15°，EC⊥OB于点C，EG⊥OA于点G，∴CE＝EG＝3，∵EF∥OB，∴∠COE＝∠OEF＝15°∴∠EFG＝15°+15°＝30°，∠EOF＝∠OEF，∴OF＝EF＝2EG＝2×3＝6．故选：D．【点评】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、含30°角的直角三角形的性质；熟练掌握角平分线的性质，证出∠EFG＝30°是解决问题的关键．2．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到GA＝GB，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．3．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝72°，BC＝．以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，则线段AD的长为（）A．2B．C．D．【分析】由等腰三角形的性质得出∠ABC＝∠ACB＝72°，由三角形内角和定理得出∠A ＝36°，由作图得出BC＝BD，得出∠BDC＝∠C＝72°，证出∠A＝∠ABD，得出AD ＝BD＝BC即可．【解答】解：∵AB＝AC，∠C＝72°，∴∠ABC＝∠ACB＝72°，∴∠A＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∵以点B为圆心，BC为半径画弧，交AC于点D，∴BC＝BD，∴∠BDC＝∠C＝72°，∴∠CBD＝180°﹣72°﹣72°＝36°，∴∠ABD＝72°﹣36°＝36°，∴∠A＝∠ABD，∴AD＝BD＝BC＝；故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证出AD＝BD＝BC是解题的关键．4．如图，已知直线PQ⊥MN于点O，点A，B分别在MN，PQ上，OA＝1，OB＝2，在直线MN或直线PQ上找一点C，使△ABC是等腰三角形，则这样的C点有（）A．3个B．4个C．7个D．8个【分析】根据等腰三角形的判定分类别分别找寻，分AB可能为底，可能是腰进行分析．【解答】解：使△ABC是等腰三角形，当AB当底时，则作AB的垂直平分线，交PQ，MN的有两点，即有两个三角形．当让AB当腰时，则以点A为圆心，AB为半径画圆交PQ，MN有三点，所以有三个．当以点B为圆心，AB为半径画圆，交PQ，MN有三点，所以有三个．所以共8个．故选：D．【点评】本题考查了等腰三角形的判定；解题的关键是要分情况而定，所以学生一定要思维严密，不可遗漏．5．如图，△ABC 中，BC ＝10，AC ﹣AB ＝4，AD 是∠BAC 的角平分线，CD ⊥AD ，则S △BDC 的最大值为（ ）A ．40B ．28C ．20D ．10【分析】延长AB ，CD 交点于E ，可证△ADE ≌△ADC （ASA ），得出AC ＝AE ，DE ＝CD ，则S △BDC ＝S △BCE ，当BE ⊥BC 时，S △BEC 最大面积为20，即S △BDC 最大面积为10．【解答】解：如图：延长AB ，CD 交点于E ，∵AD 平分∠BAC ，∴∠CAD ＝∠EAD ，∵CD ⊥AD ，∴∠ADC ＝∠ADE ＝90°，在△ADE 和△ADC 中，，∴△ADE ≌△ADC （ASA ），∴AC ＝AE ，DE ＝CD ；∵AC ﹣AB ＝4，∴AE ﹣AB ＝4，即BE ＝4；∵DE ＝DC ，∴S △BDC ＝S △BEC ，∴当BE ⊥BC 时，S △BDC 面积最大，即S △BDC 最大面积＝××10×4＝10．故选：D ．【点评】本题考查了角平分线定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识；利用三角形中线的性质得到S △BDC ＝S △BEC 是解题的关键．6．如图的方格纸中，左边图形到右边图形的变换是（ ）A ．向右平移7格B ．以AB 的垂直平分线为对称轴作轴对称变换，再以AB 为对称轴作轴对称变换C ．绕AB 的中点旋转180°，再以AB 为对称轴作轴对称D ．以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格【分析】认真观察图形，找准特点，根据轴对称的性质及平移变化得出．【解答】解：观察可得：要使左边图形变化到右边图形，首先以AB 为对称轴作轴对称，再向右平移7格．故选：D ．【点评】主要考查了轴对称的性质及平移变化．轴对称图形具有以下的性质：（1）轴对称图形的两部分是全等的；（2）对称轴是连接两个对称点的线段的垂直平分线．7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，点A 关于BC 边的对称点为A ′，点B 关于AC 边的对称点为B ′，点C 关于AB 边的对称点为C ′，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】连接CC '并延长交A 'B '于D ，连接CB '，CA '，依据AC ＝A 'C ，BC ＝B 'C ，∠ACB ＝∠A 'CB '，可得△ABC ≌△A 'B 'C ，进而得出S △ABC ＝S △A 'B 'C ，再根据CD ＝CE ＝EC '，可得S △A 'B 'C ＝S △A 'B 'C '，进而得到S △ABC ＝S △A 'B 'C '．【解答】解：如图，连接CC '并延长交A 'B '于D ，连接CB '，CA '，∵点A 关于BC 边的对称点为A ′，点B 关于AC 边的对称点为B ′，点C 关于AB 边的对称点为C ′，∴AC ＝A 'C ，BC ＝B 'C ，∠ACB ＝∠A 'CB '，AB 垂直平分CC '，∴△ABC ≌△A 'B 'C （SAS ），∴S △ABC ＝S △A 'B 'C ，∠A ＝∠AA 'B '，AB ＝A 'B '，∴AB ∥A 'B '，∴CD ⊥A 'B '，∴根据全等三角形对应边上的高相等，可得CD ＝CE ，∴CD ＝CE ＝EC '，∴S △A 'B 'C ＝S △A 'B 'C '，∴S △ABC ＝S △A 'B 'C '，∴△ABC 与△A ′B ′C ′的面积之比为，故选：B ．【点评】本题考查的是轴对称的性质、三角形的面积及等积变换，解答此题的关键是熟知对称的性质：如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．8．一平面镜以与水平面成45°角固定在水平面上，如图所示，一个小球以1m/s的速度沿桌面向点O匀速滚去，则小球在平面镜中的像是（）A．以1m/s的速度，做竖直向上运动B．以1m/s的速度，做竖直向下运动C．以m/s的速度运动，且运动路线与地面成45°角D．以2m/s的速度，做竖直向下运动【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，在平面镜中的顺序与现实中的恰好相反，且关于镜面对称，则小球在平面镜中的像是以1m/s的速度，做竖直向下运动．故选：B．【点评】本题考查了镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧，充分发挥想象能力．9．将一正方形纸片按下列顺序折叠，然后将最后折叠的纸片沿虚线剪去上方的小三角形．将纸片展开，得到的图形是（）A．B．C．D．【分析】严格按照所给方法向下对折，再向右对折，向右下对折，剪去上部分的等腰直角三角形，展开得到答案．【解答】解：易得剪去的4个小正方形正好两两位于原正方形一组对边的中间．故选：C．【点评】主要考查了剪纸问题；学生空间想象能力，动手操作能力是比较重要的，做题时，要注意培养．10．如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（10，12），点B在x轴上，AO＝AB，点C 在线段OB上，且OC＝3BC，在线段AB的垂直平分线MN上有一动点D，则△BCD周长的最小值为（）A．B．13C．D．18【分析】过A作AH⊥OB于H，连接AD，根据MN垂直平分AB，即可得到AD＝BD，当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，根据勾股定理求得AC的长，即可得到△BCD周长的最小值为13+5＝18．【解答】解：如图，过A作AH⊥OB于H，连接AD，∵点A坐标为（10，12），AO＝AB，∴OH＝BH＝10，AH＝12，又∵OC＝3BC，∴BC＝5，CO＝15，∴CH＝15﹣10＝5，∵MN垂直平分AB，∴AD＝BD，∴BD+CD＝AD+CD，∴当A，D，C在同一直线上时，△BCD周长的最小值为AC+BC的长，此时，Rt△ACH中，AC＝＝＝13，∴△BCD周长的最小值＝13+5＝18，故选：D．【点评】本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．二．填空题（共8小题）11．如图，已知∠AOB＝30°，P是∠AOB平分线上一点，CP∥OB，交OA于点C，PD⊥OB，垂足为点D，且PC＝8，则PD的长为4．【分析】过点P作PE⊥OA于点E，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得PE ＝PD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠POD＝∠OPC，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠PCE＝∠AOB，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半得出PE＝PC＝4，根据角平分线的性质得到答案．【解答】解：作PE⊥OA于E，∵P是∠AOB平分线上一点，∴∠AOP＝∠BOP＝15°，∵PC∥OB，∴∠POD＝∠OPC，∴∠PCE＝∠POC+∠OPC＝∠POC+∠POD＝∠AOB＝30°，∴PE＝PC＝4，∵P是∠AOB平分线上一点，PD⊥OB，PE⊥OA，∴PD＝PE＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，作辅助线构造含30°角的直角三角形是解题的关键．12．如图，A、B、C三点在同一条直线上，∠A＝50°，BD垂直平分AE，垂足为D，则∠EBC的度数为100°．【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到BE＝BA，得到∠E＝∠A＝50°，根据三角形的外角的性质计算即可．【解答】解：∵BD垂直平分AE，∴BE＝BA，∴∠E＝∠A＝50°，∴∠EBC＝∠E+∠A＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．13．在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于D，交AB于E，连接BD，若∠ADE ＝40°，则∠DBC＝15°．【分析】根据线段垂直平分线的概念得到∠AED＝90°，进一步求出∠ABD＝∠A＝50°，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质计算即可．【解答】解：∵DE是AB的垂直平分线，∴DE⊥AB，∴∠AED＝90°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ABD＝∠A＝50°，又∵AB＝AC，∴∠ABC＝65°，∴∠DBC＝15°．故答案为：15°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的概念和等腰三角形的性质，掌握三角形内角和等于180°、等腰三角形等边对等角是解题的关键．14．如图，线段AB的长度为2，AB所在直线上方存在点C，使得△ABC为等腰三角形，设△ABC的面积为S．当S＝或2时，满足条件的点C恰有三个．【分析】分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l ∥AB，分别交两圆于点C2，C3；分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，再根据三角形的面积公式计算即可．【解答】解：（1）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，两圆相交于点C1，过点C1作直线l∥AB，分别交两圆于点C2，C3，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC1为边长为2的等边三角形，其高为∴S＝×2×＝（2）如图所示：分别以A，B为圆心，AB长为半径作圆，在两圆上方作直线l∥AB，与两圆分别相切于点C2，C3，点C1为l与线段AB的垂直平分线的交点，此时满足条件的点C恰好有3个，△ABC2和△ABC3均为腰长为2的等腰直角三角形，△ABC1为底边为2，高为2的等腰三角形∴S＝×2×2＝2故答案为：或2．【点评】本题考查了等腰三角形的判定，构造圆，结合圆的切线性质及平行线的性质分类讨论，是解题的关键．15．如图是跳棋盘，其中格点上的黑色点为棋子，剩余的格点上没有棋子．我们约定跳棋游戏的规则是：把跳棋棋子在棋盘内，沿着棋子对称跳行，跳行一次称为一步．已知点A 为己方一枚棋子，欲将棋子A跳进对方区域（阴影部分的格点），则跳行的最少步数为3步．【分析】根据题意：分别计算出两种跳法所需要的步数，比较就可以了．【解答】解：如图中红棋子所示，根据规则：①点A从右边通过3次轴对称后，位于阴影部分内；②点A从左边通过4次轴对称后，位于阴影部分内．所以跳行的最少步数为3步．【点评】本题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分．16．如图，在△ABC中，∠A＝75°，∠C＝45°，BC＝4，点M是AC边上的动点，点M 关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，则线段PQ长的取值范围是．【分析】连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，由对称性可知PB＝BM＝BQ、△PBQ等腰三角形，进而即可得出PD＝PB，再根据BM的取值范围即可得出线段PQ长的取值范围．【解答】解：∵∠A＝75°，∠C＝45°，∴∠ABC＝180°﹣75°﹣45°＝60°，连接BP、BQ、BM，过点B作BD⊥PQ于点D，如图所示．∵点M关于直线AB、BC的对称点分别为P、Q，∴BP＝BQ＝BM，∠PBA＝∠MBA，∠MBC＝∠QBC，∴∠PBQ＝120°，∵PB＝BQ，∴∠BPQ＝∠BQP＝30°，∴cos30°＝＝，∴PD＝PB，∵BC＝4，∠C＝45°，∴2≤BM≤4，∵BM＝PB，∴2≤PB≤4，∴2≤PD≤4×，即≤PD≤2，∵PQ＝2PD，∴2≤PQ≤4．故答案为：2≤PQ≤4．【点评】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质和三角函数，解题的关键是证得△BPQ是等腰三角形．17．如图所示的商标有两条对称轴．【分析】根据轴对称图形的对称轴的意义结合图形画出，即可得出答案．【解答】解：有两条对称轴，如图所示：直线AB和直线CD．故答案为：两．【点评】本题考查了对轴对称图形的应用，注意：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形图形叫做轴对称图形轴对称图形，这条直线叫对称轴．18．小明从镜子里看到镜子对面的钟表里的时间是2点30分，实际时间为9点30分．【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，分析可得答案．【解答】解：2：30时，分针竖直向下，时针指23之间，根据对称性可得：与9：30时的指针指向成轴对称，故实际时间是9：30．【点评】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．三．解答题（共8小题）19．已知：如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AB分别交BC、AC于D、C两点，CE ＝6，DE＝5．过D作DF⊥AB于F．DF＝4．（1）求AE的长；（2）求△ACD的面积．【分析】（1）依据角平分线的定义以及平行线的性质，即可得到∠DAE＝∠ADE，进而得出AE＝DE＝5；（2）过D作DG⊥AC于G，依据角平分线的性质以及三角形面积公式，即可得到△ACD 的面积．【解答】解：（1）∵AD平分∠BAC，∴∠DAB＝∠DAC，∵DE∥AB，∴∠ADE＝∠DAB，∴∠DAE＝∠ADE，∴AE＝DE＝5；（2）如图，过D作DG⊥AC于G，又∵DF⊥AB，AD平分∠BAC，∴DG＝DF＝4，∵CE＝6，∴AC＝AE+CE＝5+6＝11，∴△ACD的面积＝×AC×DG＝×11×4＝22．【点评】本题主要考查角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．20．如图，在四边形ABCD中，E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∠A＝66°，∠ABC＝90°，BC＝AD，求∠C的度数．【分析】连接BD，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可．【解答】解：连接BD，∵E为AB的中点，DE⊥AB于点E，∴AD＝BD，∴∠DBA＝∠A，∴∠DBA＝66°，∵∠ABC＝90°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝24°∵AD＝BC，∴BD＝BC，∴∠C＝∠BDC，∴∠C＝＝78°．【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．21．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝35°，E是BC边上一点且AE＝CE，D是BC边上的中点，连接AD，AE．（1）求∠DAE的度数；（2）若BD上存在点F，且∠AFE＝∠AEF，求证：BF＝CE．【分析】（1）根据等腰三角形的性质可求∠C，再根据等腰三角形的性质可求∠CAE，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形内角和定理可求∠CAD，再根据角的和差关系可求∠DAE的度数；（2）等腰三角形三线合一的性质可得BD＝CD，FD＝ED，再根据线段的和差关系即可求解．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠ABC＝35°，∴∠C＝35°，∴∠CAE＝35°，∵D是BC边上的中点，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°，∴∠DAC＝180°﹣90°﹣35°＝55°，∴∠DAE＝∠DAC﹣∠C＝55°﹣35°＝20°；（2）证明：∵D是BC边上的中点，∴BD＝CD，∵∠AFE＝∠AEF，∴AF＝AE，∵AD⊥BC，∴D是EF边上的中点，∴FD＝ED，∴BD﹣FD＝CD﹣ED，即BF＝CE．【点评】考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等；③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，若动点P从点C开始，按C→A →B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设运动的时间为x秒．（1）当x＝时，CP把△ABC的面积分成相等的两部分，并求出此时CP＝cm；（2）当x为何值时，△ABP为等腰三角形．【分析】（1）当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，依据点P运动的路程为6.5cm，即可得到x的值以及CP的长；（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，依据勾股定理即可得到x的值．【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝4cm，BC＝3cm，∴AB＝5cm，当CP把△ABC的面积分成相等的两部分时，点P为AB的中点，∴点P运动的路程为6.5cm，∴x＝6.5÷1＝，此时CP＝AB＝cm；故答案为：，；（2）△ABP为等腰三角形，点P只能在AC上且PA＝PB．设CP＝x，则AP＝BP＝4﹣x，在Rt△BCP中，BC2+CP2＝BP2，即32+x2＝（4﹣x）2，解之得：x＝，∴当x为时，△ABP为等腰三角形．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，利用勾股定理列方程是解决问题的关键．23．（1）当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有3条对称轴．【分析】（1）根据题意得2a+5＝3，解方程即可；（2）轴对称就是一个图形的一部分，沿着一条直线对折，能够和另一部分重合，这样的图形就是轴对称图形，这条直线就是对称轴，依据定义即可求解．【解答】解：（1）由题意得：2a+5＝3，解得：a＝﹣1，故当a＝﹣1时，代数式2a+5的值为3；（2）等边三角形有3条对称轴．故答案为：﹣1，3．【点评】本题考查了轴对称的性质及解一元一次方程的知识，正确理解轴对称图形的定义是解决本题的关键，是一个基础题．24．已知：如图，已知△ABC中，其中A（0，﹣2），B（2，﹣4），C（4，﹣1）．（1）画出与△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1各顶点坐标；（3）求△ABC的面积．【分析】（1）根据轴对称变换的性质作图；（2）根据关于y轴对称的点的坐标特点解答；（3）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式计算．【解答】解：（1）所作图形如图所示；（2）A1（0，﹣2），B1（﹣2，﹣4），C1（﹣4，﹣1）；＝3×4﹣×2×3﹣×4×1﹣×2×2＝12﹣3﹣2﹣2＝5．（3）S△ABC【点评】本题考查的是轴对称变换的性质，掌握轴对称变换中坐标的变化特点是解题的关键，注意坐标系中不规则图形的面积的求法．25．如图，在3×3的正方形网格中，有格点△ABC和△DEF，且△ABC和△DEF关于某条直线成轴对称，请在下面给出的图中，画出3个不同位置的△DEF及其对称轴MN．【分析】本题要求思维严密，根据对称图形关于某直线对称，找出不同的对称轴，画出不同的图形，对称轴可以随意确定，因为只要根据你确定的对称轴去画另一半对称图形，那这两个图形一定是轴对称图形．【解答】解：如图所示；【点评】本题主要考查的是利用轴对称设计图案，掌握轴对称图形的性质是解题的解题的关键．26．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A（2，2），B（4，﹣3），P是x轴上的一点（1）若PA+PB的值最小，求P点的坐标；（2）若∠APO＝∠BPO，①求此时P点的坐标；②在y轴上是否存在点Q，使得△QAB的面积等于△PAB的面积，若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．【分析】（1）根据题意画坐标系描点，根据两点之间线段最短，求直线AB解析式，与x轴交点即为所求点P．（2）①作点A关于x轴的对称点A'，根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO，所以此时P、A'、B在同一直线上．求直线A'B解析式，与x轴交点即为所求点P．②法一，根据坐标系里三角形面积等于水平长（右左两顶点的横坐标差）与铅垂高（上下两顶点的纵坐标差）乘积的一半，求得△PAB的面积为12，进而求得△QAP的铅垂高等于6，再得出直线BQ上的点E坐标为（2，8）或（2，﹣4），求出直线BQ，即能求出点Q坐标．法二，根据△QAB与△PAB同以AB为底时，高应相等，所以点Q在平行于直线AB、且与直线AB距离等于P到直线AB距离的直线上．这样的直线有两条，一条即过点P且与AB平行的直线，另一条在AB上方，根据平移距离相等即可求出．所求直线与y轴交点即点Q．【解答】解：（1）∵两点之间线段最短∴当A、P、B在同一直线时，PA+PB＝AB最短（如图1）设直线AB的解析式为：y＝kx+b∵A（2，2），B（4，﹣3）∴解得：∴直线AB：y＝﹣x+7当﹣x+7＝0时，得：x＝∴P点坐标为（，0）（2）①作点A（2，2）关于x轴的对称点A'（2，﹣2）根据轴对称性质有∠APO＝∠A'PO∵∠APO＝∠BPO∴∠A'PO＝∠BPO∴P、A'、B在同一直线上（如图2）设直线A'B的解析式为：y＝k'x+b'解得：∴直线A'B：y＝﹣x﹣1当﹣x﹣1＝0时，得：x＝﹣2∴点P坐标为（﹣2，0）②存在满足条件的点Q法一：设直线AA'交x轴于点C，过B作BD⊥直线AA'于点D（如图3）∴PC ＝4，BD ＝2∴S △PAB ＝S △PAA '+S △BAA '＝设BQ 与直线AA '（即直线x ＝2）的交点为E （如图4）∵S △QAB ＝S △PAB则S △QAB ＝＝2AE ＝12∴AE ＝6∴E 的坐标为（2，8）或（2，﹣4）设直线BQ 解析式为：y ＝ax +q或 解得： 或∴直线BQ ：y ＝或y ＝∴Q 点坐标为（0，19）或（0，﹣5）法二：∵S △QAB ＝S △PAB∴△QAB 与△PAB 以AB 为底时，高相等即点Q 到直线AB 的距离＝点P 到直线AB 的距离i ）若点Q 在直线AB 下方，则PQ ∥AB设直线PQ ：y ＝x +c ，把点P （﹣2，0）代入解得c ＝﹣5，y ＝﹣x ﹣5即Q （0，﹣5）ii ）若点Q 在直线AB 上方，∵直线y ＝﹣x ﹣5向上平移12个单位得直线AB ：y ＝﹣x +7∴把直线AB ：y ＝﹣x +7再向上平移12个单位得直线AB ：y ＝﹣x +19∴Q （0，19）综上所述，y 轴上存在点Q 使得△QAB 的面积等于△PAB 的面积，Q 的坐标为（0，﹣5）或（0，19）【点评】本题考查了两点之间线段最短，轴对称性质，求直线解析式，求三角形面积，平行线之间距离处处相等．解题关键是根据题意画图描点，直角坐标系里三角形面积的求法（）是较典型题，两三角形面积相等且等底时，高相等即第三个顶点在平行于底的直线上．1、人生如逆旅，我亦是行人。

【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】

【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】

15.3 《等腰三角形》基础练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C． 100 °D．140 °2．若等腰三角形中有两边长分别为 2 和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2 或5B． 3C． 4D． 53．如图，AB∥ CD， AD=CD，∠ 1=65 °，则∠ 2 的度数是（）A．50°B．60°C． 65°D．70°4．如图， AD，CE分别是△ ABC的中线和角均分线．若AB=AC，∠ CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C． 40°D． 70°5．若实数 m、n 知足等式 |m ﹣ 2|+=0，且 m、 n 恰巧是等腰△ ABC 的两条边的边长，则△ ABC的周长是（）A．12B．10C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140 °，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100 °C． 40°或 70°D． 40°或 100 °7．如图，已知DE∥ BC， AB=AC，∠ 1=125 °，则∠ C 的度数是（）A．55°B．45°C． 35°D． 65°8．如图，△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，且 AD=AE，则∠ EDC等于（）A．10°B． 12.5 °C． 15°D． 20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和 9cm ，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130 °，则它的顶角的度数为．12．如图，△ ABC中．点 D 在 BC边上， BD=AD=AC， E 为 CD 的中点．若∠CAE=16°，则∠ B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特点值”，记作k，若 k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、 E 在△ ABC 的 BC 边上， AB=AC，AD=AE．求证： BD=CE．15．如图，△ ABC是等边三角形，BD 是中线，延伸BC 至 E，CE=CD，（1）求证： DB=DE．（2）在图中过 D 作 DF⊥ BE交 BE于 F，若 CF=4，求△ ABC 的周长．第2课时一、选择题1．以以下各组数据为边长，能够组成等腰三角形的是（）A．1， 1， 2B． 1，1，3C． 2，2， 1D． 2，2，52．在△ABC 中，其两个内角以下，则能判断△ABC为等腰三角形的是（）A．∠ A=40°，∠ B=50B．∠ A=40°，∠ B=60°C．∠ A=40°，∠ B=70D．∠ A=40°，∠ B=80°AB 于点E，3．如图，在△ABC中，∠ A=36°，∠ C=72°，点 D 在AC 上， BC=BD， DE∥ BC交则图中等腰三角形共有（）A．3 个B．4 个C．5 个D．6 个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A， B 是两格点，假如 C 也是图中C 的个数是（）的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点A．6B． 8C．9D．105．以下条件中，不可以判断△ABC 是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3 ，c=4B． a： b： c=2： 3： 4C．∠ B=50°，∠ C=80°D．∠ A：∠ B：∠ C=1： 1：26．已知△ ABC 的三条边长分别为3，4，6，在△ ABC所在平面内画一条直线，将△ABC切割成两个三角形，使此中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5 条B．6 条C．7 条D．8 条7．以下三角形，不必定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120 °的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图， A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则切合条件是点C共有（）个．A．8B．9C． 10D． 11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°，∠ BAC=40°，在直线 AC上找点 P，使△ ABP 是等腰三角形，则∠ APB的度数为．10．如图已知OA=a， P 是射线 ON 上一动点，∠ AON=60°，当 OP=时，△ AOP为等边三角形．11．如图，在3× 3 的网格中有A、B 两点，任取一个格点E，则知足△EAB是等腰三角形的点 E 有个．12．在△ ABC中，∠ A=80°，当∠ B= 13．如图，以下 4 个三角形中，均有这个三角形分红两个小等腰三角形的是时，△ ABC 是等腰三角形．AB=AC，则经过三角形的一个极点的一条直线不可以够将（填序号）．三、解答题14．如图， BD 是△ ABC的角均分线，DE∥ BC 交 AB 于点 E．（1）求证： BE=DE；（2）若 AB=BC=10，求 DE 的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ ABD=∠ ACD，求证： BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠ AOP=∠ BOP=15°， PC∥ OA， PD⊥ OA，若 PC=10，则 PD 等于（）A．10B．C． 5D．2.52．如图，在Rt△ ABC中，∠C=90°， AB=2BC，则∠A=（）A．15°B． 30°C． 45°D． 60°3．如图，在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，则 AB 等于（）A．9 cm B． 8 cm C． 7cm D． 6cm4．如图，在等边△ABC中，BD 均分∠ABC交AC于点D，过点D 作 DE⊥BC于点E，且AB=6，则 EC的长为（）A 3B 4.5C 1.5D 7.55．△ ABC中，∠A：∠ B：∠ C=1： 2： 3，最小边BC=3cm，则最长边AB 的长为（）A．9cm B． 8cm C． 7cm D． 6cm6．如图，在△ABC中，∠ ACB=90°， CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2B．3C． 4D．67．某市为了美化环境，计划在以下图的三角形空地上栽种草皮，已知这类草皮每平方米售价为 a 元，则购置这类草皮起码需要（）A．450a 元B． 225a 元C．150a 元D． 300a 元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠ A=30°，则 DE等于（）A．1.5m B． 2m C． 2.5m D． 3m二、填空题9．在 Rt△ ABC中，∠ A=30°，∠ B=90°， AC=10，则 BC=10．如图，在△A BC 中，∠ ACB=90°，∠ A=30°，以点 C 为圆心， CB 长为半径作圆弧，交AB 于点 D，若 CB=4，则 BD 的长为．11．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90°，∠ ABC=60°， AB 的垂直均分线分别交AB 与 AC 于点 D 和点 E，若 CE=2，则 AB 的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为 8cm，则腰上的高为．13．如图，在△A BC 中，∠ B=∠ C=60°，点 D 在 AB 边上， DE⊥ AB，并与 AC 边交于点E．如果 AD=1， BC=6，那么 CE等于．三、解答题14．如图，在△A BC 中， BA=BC，∠ B=120°，线段AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，且AD=8cm．求：（1）∠ ADG 的度数；（2）线段 DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在 A 处测得小岛 P 的方向是北偏东 75°，又持续航行 7 海里后，在 B处测得小岛 P 的方向是北偏东 60°，求：（ 1）此时轮船与小岛P 的距离 BP 是多少海里．（2）小岛点 P 方圆 3 海里内有暗礁，假如轮船持续向东履行，请问轮船有没有触礁的危险？请说明原因．参照答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（ 180°﹣ 40°）÷ 2=70°，应选： B．2．解：当腰为 5 时，依据三角形三边关系可知此状况建立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为 2 时，依据三角形三边关系可知此状况不建立；应选： D．3．解：∵ AB∥ CD，∴∠ 1=∠ ACD=65°，∵ AD=CD，∴∠ DCA=∠ CAD=65°，∴∠ 2 的度数是： 180°﹣ 65°﹣ 65°=50°．应选： A．4．解：∵ AD 是△ ABC 的中线， AB=AC，∠ CAD=20°，∴∠ CAB=2∠ CAD=40°，∠ B=∠ ACB=（180°﹣∠ CAB）=70°．∵ CE是△ ABC的角均分线，∴∠ ACE= ∠ ACB=35°．应选： B．5．解：∵ |m ﹣ 2|+=0，∴m﹣2=0， n﹣ 4=0，解得 m=2， n=4，当 m=2 作腰时，三边为 2，2， 4，不切合三边关系定理；当 n=4 作腰时，三边为2， 4， 4，切合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．应选： B．6．解：①若顶角的外角等于140 °，那么顶角等于 40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．应选： D．7．解：∵∠ 1=125 °，∴∠ ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC， AB=AC，∴AD=AE，∠ C=∠ AED，∴∠ AED=∠ ADE=55°，又∵∠ C=∠ AED，∴∠C=55°．应选：A．8．解：∵△ ABC中， AD⊥ BC， AB=AC，∠ BAD=30°，∴∠ DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角均分线、底边上的中线、底边上的高互相重合），∵AD=AE（已知），∴∠ ADE=75°∴∠ EDC=90°﹣∠ADE=15°．应选： C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为 80°．故填 80°．10．解：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：不知足三角形的三边关系，所以舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm 时，能组成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填 22．11．解：当50°为顶角时，其余两角都为65°、 65°，当50°为底角时，其余两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为 50°或 80°．故答案为： 50°或 80°．12．解：∵ AD=AC，点 E 是 CD 中点，∴AE⊥ CD，∴∠ AEC=90°，∴∠ C=90°﹣∠CAE=74°，∵ AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵ AD=BD，∴2∠ B=∠ ADC=74°，∴∠ B=37°，故答案为 37°．13．解：∵△ ABC中， AB=AC，∴∠ B=∠ C，“特点值”，记作k，若k=，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的∴∠ A：∠ B=1： 2，即 5∠ A=180°，∴∠ A=36°，故答案为： 36．14．证明：如图，过点 A 作 AP⊥ BC于 P．∵ AB=AC，∴BP=PC；∵ AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣ DP=PC﹣ PE，∴BD=CE．15．（ 1）证明：∵△ ABC是等边三角形，BD 是中线，∴∠ ABC=∠ ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵ CE=CD，∴∠ CDE=∠CED．又∵∠ BCD=∠ CDE+∠CED，∴∠ CDE=∠CED=∠ BCD=30°．∴∠ DBC=∠ DEC．∴ DB=DE（等角平等边）；（2）∵∠ CDE=∠ CED= ∠ BCD=30°，∴∠ CDF=30°，∵ CF=4，∴ DC=8，∵ AD=CD，∴ AC=16，∴△ ABC的周长 =3AC=48．第2课时1．解： A、∵ 1+1=2，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；B、∵ 1+1＜ 3，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据能够组成等腰三角形；故本选项正确；D、∵ 2+2＜5，∴本组数据不可以够组成等腰三角形；故本选项错误；应选： C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠ C=70°≠ 50°，当顶角为∠ B=50°时，∠ C=65°≠40°所以 A 选项错误．当顶角为∠ B=60°时，∠ A=60°≠40°，当∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 60°，所以 B 选项错误．当顶角为∠ A=40°时，∠ C=70°=∠ B，所以 C 选项正确．当顶角为∠ A=40°时，∠ B=70°≠ 80°，当顶角为∠ B=80°时，∠ A=50°≠40°所以 D 选项错误．应选： C．3．解：∵在△ABC中， AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ C==72°，△ ABC是等腰三角形，∵BD 均分∠ ABC，∴∠ABD=∠ DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠ EDB=∠ DBC=36°，∴∠ ABD=∠ EDB=∠A，∴AD=BD， EB=ED，即△ ABD 和△ EBD是等腰三角形，∵∠ BDC=180°﹣∠ DBC﹣∠ C=72°，∴∠ BDC=∠ C，∴BD=BC，即△ BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠ AED=∠ ABC，∠ ADE=∠ C，∴∠ AED=∠ ADE，∴AE=AD，即△ AED是等腰三角形．∴图中共有 5 个等腰三角形．应选： C．4．解：如图，分状况议论：① AB 为等腰△ ABC的底边时，切合条件的C点有 6 个；② AB 为等腰△ ABC此中的一条腰时，切合条件的 C 点有4 个．应选： D．5．解： A、∵ a=3， b=3，c=4，∴ a=b，∴△ ABC是等腰三角形；B、∵ a： b： c=2： 3： 4∴ a≠ b≠ c，∴△ ABC不是等腰三角形；C、∵∠ B=50°，∠ C=80°，∴∠ A=180°﹣∠ B﹣∠ C=50°，∴∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形；D、∵∠ A：∠ B：∠ C=1： 1： 2，∵∠ A=∠ B，∴ AC=BC，∴△ ABC是等腰三角形．应选： B．6．解：以下图：当 BC1=AC1， AC=CC2，AB=BC3， AC4=CC4， AB=AC5， AB=AC6， BC7=CC7时都能获得切合题意的等腰三角形．应选： C．7．解： A、依占有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120 °的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角必定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．应选：D．8．解：①点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，切合点 C 的有 5 个；②点 C 以点 B 为标准， AB 为等腰三角形的一条边，切合点 C 的有4 个．所以切合条件的点C共有 9 个．应选： B．9．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=40°，∴当 AB=BP1时，∠ BAP1=∠ BP1A=40°，当 AB=AP3 时，∠ ABP3=∠AP3B= ∠ BAC= × 40°=20°，当 AB=AP4 时，∠ ABP4=∠AP4B= ×（ 180°﹣40°）=70°，当 AP2=BP2时，∠ BAP2=∠ ABP2，∴∠ AP2B=180°﹣ 40°× 2=100°，∴∠ APB 的度数为： 20°、40°、70°、 100°．故答案为： 20°或 40°或 70°或 100°．10．解：∵ AON=60°，∴当 OA=OP=a时，△ AOP 为等边三角形．故答案是： a．11．解：如图，知足△ EAB是等腰三角形的点 E 有5 个，故答案为： 5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠ B=80°时，△ ABC是等腰三角形；②当∠ B=（ 180°﹣ 80°）÷ 2=50°时，△ ABC 是等腰三角形；③当∠ B=180°﹣ 80°× 2=20°时，△ ABC是等腰三角形；故答案为： 80°、 50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分红两个小等腰三角形”，①中分红的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和 36°，72°72°，能；②不可以；③明显原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°， 72， 72°和 36°， 36°， 108°，能．故答案为：②14．（ 1）证明：∵ BD 是△ ABC 的角均分线，∴∠ EBD=∠ CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠ EBD．∴BE=DE．（ 2）∵ AB=BC， BD 是△ ABC 的角均分线，∴ AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连结BC．∵AB=AC（已知），∴∠ 1=∠ 2（等边平等角）．又∠ ABD=∠ ACD（已知），∴∠ ABD﹣∠ 1=∠ ACD﹣∠ 2（等式运算性质）．即∠ 3=∠ 4．∴ BD=DC（等角平等边）．第3课时1．解：∵ PC∥ OA，∴∠ CPO=∠ POA，∵∠ AOP=∠ BOP=15°，∴∠ AOP=∠ BOP=∠ CPO=15°，过点 P 作∠ OPE=∠CPO交于 AO 于点 E，则△ OCP≌△ OEP，∴PE=PC=10，∵∠ PEA=∠OPE+∠ POE=30°，∴PD=10× =5．应选： C．2．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°， AB=2BC，即 BC= AB，∴∠ A=30°，应选： B．3．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ A=30°， BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，应选： B．4．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ C=60°， AC=AB=BC=6，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴CD= AC=3，∵ DE⊥BC，∴∠ CDE=30°，∵EC= CD=1.5．应选： C．5．解：设∠ A、∠ B、∠ C 分别为 k、2k、 3k，则 k+2k+3k=180°，解得 k=30°，2k=60 °，3k=90 °，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．应选： D．6．解：∴ CD 是高，∴∠ BDC=90°，∵∠ ACB=90°，∠ A=30°，∴∠ B=60°，BC= AB=× 8=4，∴∠ BCD=30°，∴BD= BC=2，应选： A．7．解：如图，作BH⊥ AC于 H，则∠ ABH=180°﹣∠ BAC=30°，在 Rt△ ABH 中， BH= AB=10，所以 S△ ABC=× 10× 30=150，所以购置这类草皮起码需要150a 元．应选： C．8．解：∵立柱BC、 DE 垂直于横梁AC，∴BC∥ DE，∵D是 AB中点，∴ AD=BD，∴ AE： CE=AD： BD，∴ AE=CE，∴ DE 是△ ABC的中位线，∴DE= BC，在 Rt△ ABC中， BC= AB=3，∴ DE=1.5．应选： A．9．解：∵∠ A=30°，∠ B=90°，∴BC= AC=5，故答案为： 5．10．解：如图，过 C 点作 BD 的垂直均分线交BD 于点 E，∵在△ ABC中，∠ ACB=90°，∠ A=30°， BC=4，∴∠ BCE=∠ A=30°， BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为： 4．11．解：∵在Rt△ ABC中，∠ C=90°，∠ ABC=60°，∴∠ A=30°，∵DE 是线段 AB 的垂直均分线，∴ EA=EB， ED⊥ AB，∴∠ A=∠ EBA=30°，∴∠ EBC=∠ ABC﹣∠ EBA=30°，又∵ BC⊥ AC， ED⊥ AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE 中， DE=2，∠ A=30°，∴AE=2DE=4，∴ AD==2 ，∴ AB=2AD=4．故答案为： 4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠ B=15°，AB=AC，∴∠ DAC=30°，∵CD 为 AB 上的高， AC=8cm，∴CD= AC=4cm．故答案为： 4cm．13．解：∵在△ABC 中，∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=60°，∵DE⊥AB，∴∠ AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵ BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣ AE=6﹣ 2=4，故答案为 4．14．解：（1 ）∵在△ ABC中，已知BA=BC，∴∠ A=∠ C（等边平等角）；又∵∠ B=120°，∴∠ A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ ADG=90°﹣30°=60°；（ 2）连结 BD．∵ AB 的垂直均分线DG 交 AC 于点 D，∴AD=BD，∠ A=∠ABD=30°，∴∠ CBD=90°；由（ 1）知∠ A=∠ C=30°，∴BD= CD（ 30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵ AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1 ）过 P 作 PD⊥AB 于点 D，∵∠ PBD=90°﹣ 60°=30°且∠ PBD=∠ PAB+∠ APB，∠ PAB=90﹣ 75=15°∴∠ PAB=∠ APB，∴BP=AB=7（海里）．（ 2）作 PD⊥ AB于 D，∵ A 处测得小岛 P 在北偏东 75°方向，∴∠ PAB=15°，∵在 B 处测得小岛 P 在北偏东 60°方向，∴∠ APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠ PBD=30°，∴PD= PB=3.5＞ 3，∴该船持续向东航行，没有触礁的危险．。

沪科版八年级上 第15章 轴对称图形与等腰三角形单元检测题(含答案)

沪科版八年级上 第15章 轴对称图形与等腰三角形单元检测题(含答案)

第15章 轴对称图形与等腰三角形检测题一、选择题1、 羊字象征吉祥和美好，下图的图案与羊字有关，其中是轴对称图形的有（ ）A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个2、 如图所示，是一个风筝的图案，它是以直线AF 为对称轴的轴对称图形，下列结论中不一定成立的是（ ）A 、△ABD ≌△ACDB 、AF 垂直平分EGC 、直线BG ，CE 的交点在AF 上D 、△DEG 是等边三角形 3、 下列图中不是轴对称图形的是( )4、 下列说法正确的是（ ）A 、如果图形甲和图形乙关于直线MN 对称，则图形甲是轴对称图形B 、任何一个图形都有对称轴，有的图形不止一条对称轴C 、平面上两个大小、形状完全一样的图形一定关于某直线对称D 、如果△ABC 和△EFG 成轴对称，那么它们的面积一定相等 5、 如图所示，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC ，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形共有（ ） A 、3个 B 、4个 C 、5个 D 、6个 6、已知错误！未找到引用源。

和错误！未找到引用源。

关于错误！未找到引用源。

轴对称，则错误！未找到引用源。

的值为（ ） A 、1 B 、－1C 、错误！未找到引用源。

D 、错误！未找到引用源。

7、 如图所示，△ABC 与△A 'B 'C '关于直线l 对称，则∠B 等于（ ） A 、 30° B 、 50° C 、 90° D 、100°8、 如图所示，把一个正方形对折两次后沿虚线剪下，展开后所得的图形是（ ）9、 如图所示，在3×3正方形网格中，已有三个小正方形被涂黑，将剩余的白色小正方形再任意涂黑一个，则所得黑色图案是轴对称图形的情况有（ ） A 、6种 B 、5种 C 、4种 D 、2种10、 如图所示，△ABC 中，AB +BC =10，AC 的垂直平分线分别交AB 、AC 于点D 和E ，则△BCD 的周长是（ ）A 、6B 、8C 、10D 、无法确定 二、填空题（每小题3分，共24分）11、 光线以如图所示的角度照射到平面镜上，然后在平面镜Ⅰ、Ⅱ间来回反射，已知=60°，β=50°，则= 、第10题图第9题图ABCD第8题图上折 右折 沿虚线剪下 展开12、 如图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为_________、13、数学在我们的生活中无处不在，就连小小的台球桌上都有数学问题，如图所示，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时，必须保证∠1 等于_________、14、 工艺美术中，常需设计对称图案．在如图所示的正方形网格中，点A ，D 的坐标分别为（1，0），（9，－4）．请在图中再找一个格点P ，使它与已知的4个格点组成轴对称图形，则点P 的坐标为 （如果满足条件的点P 不止一个，请将它们的坐标都写出来）． 15、 如图所示，是∠的平分线，于点，于，则关于直线对称的三角形共有_______对．16、 在直角坐标系中，点（－2，3）关于直线=1对称的点的坐标是 、 17、 如图所示，在△中，是的垂直平分线，，△的周长为，则△的周长为______、 18、 三角形三边长分别为，且，则这个三角形（按边分类）一定是 、 三、解答题（共46分）19、（6分）如图所示，已知在矩形中，，，在边上取一点，将△折叠，使点恰好落在边上的点处，请你求出的长、第14题图AB DCO E第15题图第13题图20、 （6分）将16个相同的小正方形拼成正方形网格，并将其中的两个小正方形涂成黑色，请你用两种不同的方法分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形．21、 （8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC 的顶点A ，C 的坐标分别为（－4，5），（－1，3）． （1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系； （2）请作出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′； （3）写出点B ′的坐标．22、（8分）如图，∠内有一点，在射线上找出一点，在射线上找出一点，使最短、23、（8分）已知、，当分别 为何值时， （1）关于轴对称；（2）点关于轴对称、第20题图第21题图24、（10分）已知：如图所示，等边三角形ABC 中，D 为AC 边的中点，E 为BC 延长线上一点，CE =CD ，DM ⊥BC 于M ， 求证：M 是BE 的中点、参考答案1、 B 解析：“美”和“善”是轴对称图形，故有2个．2、D 解析：A 、因为此图形是轴对称图形，正确； B 、对称轴垂直平分对应点连线，正确；C 、由三角形全等可知，BG =CE ，且直线BG ，CE 的交点在AF 上，正确；D 、题目中没有60°条件，不能判断是等边三角形，错误．故选D ．3、 C 解析：由轴对称图形的性质，A 、B 、D 都能找到对称轴，C 找不到对称轴，故选C4、 D 解析：A 、如果图形甲和图形乙关于直线MN 对称，则图形甲不一定是轴对称图形，错误； B 、有的图形没有对称轴，错误；C 、平面上两个大小、形状完全一样的图形不一定关于某直线对称，与摆放位置有关，错误；D 、如果△ABC 和△EFG 成轴对称，那么它们全等，故其面积一定相等，正确． 故选D ．5、 C 解析：与△ABC 成轴对称且以格点为顶点的三角形有 △ABG 、△CDF 、△AEF 、△DBH ，△BCG 共5个，故选C ．第24题图第5题答图6、B解析：由关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，得，，所以7、D解析：因为△与△关于直线对称，所以所以．8、B解析：按照题意，动手操作一下，可知展开后所得的图形是选项B．9、C解析：根据题意，涂黑每一个格都会出现一种等可能情况，共出现6种等可能情况，而当涂黑左上角和右下角的小正方形时，不会是轴对称图形，其余的4种情况均可以、故选C．10、C解析：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=DC，△BCD的周长=BC+BD+DC=BC+BD+AD=10、故选C．11、40°解析：=180°－[60°+（180°－100°）]=40°．12、解析：自己动手操作一下，或从纸的后面看，可得答案为13、60°解析：∵台球桌四角都是直角，∠3=30°，∴∠2=60°、∵∠1=∠2，∴∠1=60°．14、（9，－6）或（2，－3）解析：∵点A的坐标为（1，0），第14题答图∴坐标原点是点A左边一个单位的格点、∵点C在线段AB的垂直平分线上，∴对称轴是线段AB的垂直平分线，∴点P是点D关于对称轴的对称点、∵点D的坐标是（9，－4），∴P（9，－6）．AB=BD，以AD的垂直平分线为对称轴，P′与C关于AD的垂直平分线对称，∵C点的坐标为（6，－5），∴P′（2，－3）．15、解析：△和△，△和△△和△△和△共4对、16、（4，3）解析：设点（－2，3）为A点，其对称点为B点，连接AB与直线=1相交于点C，所以AC=BC=2+1=3，所以对称点B的坐标为（4，3）．17、19 解析：因为是的垂直平分线，所以，所以因为△的周长为，所以所以、所以△的周长为18、 等腰三角形 解析：∵ ∴ ,、∵ +≠0，∴ －=0，则三角形一定是等腰三角形． 19、 解：根据题意，得△≌△， 所以∠，，、 设，则、在Rt △中，由勾股定理，得，即， 所以 ，所以、在Rt △中，由勾股定理可得，即， 所以，所以，即．20、 分析：根据轴对称图形的性质得出，分别在图甲、图乙中再将两个空白的小正方形涂黑，使它成为轴对称图形即可． 解：如图所示、（答案不唯一）21、 分析：（1）易得y 轴在C 的右边1个单位，轴在C 的下 方3个单位；（2）作出A ，B ，C 三点关于y 轴对称的三点，顺次连接 即可；（3）根据所在象限及点与坐标轴的距离可得相应坐标． 解：（1）（2）如图所示；（3）点B ′的坐标为（2，1）． 22、 解：如图，分别以直线、为对称轴，作点的对应 点和，连接，交于点，交于点，则 最短、23、 解：（1）由题意，得解得第20题答图第21题答图O错误！未找到引用源。

【基础练习】《轴对称图形》(数学沪科版八上)【含答案】

【基础练习】《轴对称图形》(数学沪科版八上)【含答案】

15.1《轴对称图形》基础练习第1课时《轴对称图形与轴对称》一、选择题1．下面四个图案中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．图中由“○”和“□”组成轴对称图形，该图形的对称轴是直线（）A．l1B．l2C．l3D．l43．下面四个手机应用图标中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．4．如下字体的四个汉字中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．5．下列语句：①角的对称轴是角的平分线；②两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴；④两个能全等的图形一定能关于某条直线对称，其中正确的个数有（）A．1 B．2 C．3 D．46．下列图案是轴对称图形的有（）个．A．1 B．2 C．3 D．47．如图，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是（）A．AD=BD B．AE=AC C．ED+EB=DB D．AE+CB=AB8．如图，已知在△ABC中，∠BAC＞90°，点D为BC的中点，点E在AC上，将△CDE沿DE 折叠，使得点C恰好落在BA的延长线上的点F处，连结AD，则下列结论不一定正确的是（）A．AE=EF B．AB=2DEC．△ADF和△ADE的面积相等D．△ADE和△FDE的面积相等二、填空题9．某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，从镜子中看到汽车车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为．10．下列图形中轴对称图形的个数是．11．如图，△ABE和△ACD是△ABC分别沿着AB、AC翻折180°形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠α度数为．12．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，则∠A、∠1、∠2之间的数量关系是．13．如图，∠1=∠2，若∠3=30°，为了使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，那么击打白球时必须保证∠1为°．三、解答题14．图①和图②均为正方形网格，点A，B，c在格点上．（1）请你分别在图①，图②中确定格点D，画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其成为轴对称图形，并画出对称轴，对称轴用直线m表示；（2）每个小正方形的边长为1，请分别求出图①，图②中以A，B，C，D为顶点的四边形的面积．15．（1）如图1，在△ABC中，∠A＜90°，P是BC边上的一点，P1，P2是点P关于AB、AC 的对称点，连结P1P2，分别交AB、AC于点D、E．①若∠A=58°，求∠DPE的度数；②请直接写出∠A与∠DPE的数量关系；（2）如图2，在△ABC中，若∠BAC=90°，用三角板作出点P关于AB、AC的对称点P1、P2，（不写作法，保留作图痕迹），试判断点P1，P2与点A是否在同一直线上，并说明理由．第2课时一、选择题1．在平面直角坐标系中，点P（﹣2，3）关于y轴的对称点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限2．如图，方格纸上有2条线段，请你再画1条线段，使图中的3条线段组成一个轴对称图形，最多能画（）条线段．A．1 B．2 C．3 D．43．如图所给的轴对称图形中，只用平移可以使对称轴两边图形重合的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．下列手机屏幕解锁图案中，不是轴对称图形的是（）A． B．C．D．5．小军同学在网络纸上将某些图形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成的图形可以是轴对称图形．如图所示，现在他将正方形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后的正方形顶点也在格点上，则使平移前后的两个正方形组成轴对称图形的平移方向有（）A．3个B．4个C．5个D．无数个6．下列各时刻是轴对称图形的为（）A．B．C．D．7．已知两点M（3，2），N（﹣1，3），点P是x轴上一动点，若使PM+PN最短，则点P的坐标应为（）A．（，0）B．（﹣，0）C．（，0）D．（﹣，0）8．如图，在3×3的网格中，与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有（）A．5个B．6个C．7个D．8个二、填空题9．如图，在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x、y 轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为OB边的中点，E是OA边上的一个动点，当△CDE的周长最小时，E点坐标为．10．如图，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，4），连接AC，BC得到四边形AOBC，点D 在边AC上，连接OD，将边OA沿OD折叠，点A的对应点为点P，若点P到四边形AOBC 较长两边的距离之比为1：3，则点P的坐标为11．已知在平面直角坐标系中，已知A（2，3），B（3，5），点P为直线y=x﹣2上一个动点，当|PB﹣PA|值最大时，点P的坐标为．12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，P分别在x轴、y轴上，∠APO=30°．先将线段PA沿y轴翻折得到线段PB，再将线段PA绕点P顺时针旋转30°得到线段PC，连接BC．若点A的坐标为（﹣1，0），则线段BC的长为．13．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为．三、解答题14．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．A（﹣4，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）三点在格点上．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）写出△A1B1C1的各点坐标；（3）求出△ABC的面积．15．如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点的连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图①中四边形ABCD就是一个“格点四边形”．（1）求图①中四边形ABCD的面积；（2）在图②的方格纸中画一个格点三角形，使该三角形的面积等于四边形ABCD的面积且为轴对称图形．参考答案第1课时1．解：A是轴对称图形，B、C、D不是轴对称图形，故选：A．2．解：该图形的对称轴是直线l3，故选：C．3．解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．4．解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D．5．解：①应为角的对称轴是角的平分线所在的直线，故本小题错误；②应为两个成轴对称的图形的对应点一定在对称轴的两侧或在对称轴上；③一个轴对称图形不一定只有一条对称轴，正确；④应为两个能全等的图形不一定能关于某条直线对称，故本小题错误；综上所述，正确的只有③，共1个．故选：A．6．解：第一个图形是轴对称图形，第二个图形不是轴对称图形，第三个图形不是轴对称图形，第四个图形是轴对称图形，综上所述，轴对称图形共有2个．故选：B．7．解：∵△BDE由△BDC翻折而成，∴BE=BC．∵AE+BE=AB，∴AE+CB=AB，故D正确，故选：D．8．解：如图，连接CF，∵点D是BC中点，∴BD=CD，由折叠知，∠ACB=∠DFE，CD=DF，∴BD=CD=DF，∴△BFC是直角三角形，∴∠BFC=90°，∵BD=DF，∴∠B=∠BFD，∴∠EAF=∠B+∠ACB=∠BFD+∠DFE=∠AFE，∴AE=EF，故A正确，由折叠知，EF=CE，∴AE=CE，∵BD=CD，∴DE是△ABC的中位线，∴AB=2DE，故B正确，∵AE=CE，∴S△ADE=S△CDE，由折叠知，△CDE≌△FDE，∴S△CDE=S△FDE，∴S△ADE=S△FDE，故D正确，当AD=AC时，△ADF和△ADE的面积相等∴C选项不一定正确，故选：C．9．解：根据镜面对称的性质，题中所显示的图片中的数字与“E6395”成轴对称，则该车牌照的部分号码为E6395．故答案为：E6395．10．解：由图可得，第1个、第2个、第6个均为轴对称图形，共3个．故答案为：3．11．解：∵∠1：∠2：∠3=28：5：3，∴设∠1=28x，∠2=5x，∠3=3x，由∠1+∠2+∠3=180°得：28x+5x+3x=180°，解得x=5，故∠1=28×5=140°，∠2=5×5=25°，∠3=3×5=15°，∵△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，∴∠DCA=∠E=∠3=15°，∠2=∠EBA=∠D=25°，∠4=∠EBA+∠E=25°+15°=40°，∠5=∠2+∠3=25°+15°=40°，故∠EAC=∠4+∠5=40°+40°=80°，在△EGF与△CAF中，∠E=∠DCA，∠DFE=∠CFA，∴△EGF∽△CAF，∴∠EGF=∠EAC=80°．∴∠α=∠EGF=80°，故答案为：80°．补充方法：据外角定理，α=∠GBC+∠GCB=2∠2+2∠3=80°．此解法更佳！12．解：连接AA′．则△A′ED即为折叠前的三角形，由折叠的性质知：∠DAE=∠DA′E．由三角形的外角性质知：∠1=∠EAA′+∠EA′A，∠2=∠DAA′+∠DA′A；则∠1+∠2=∠DAE+∠DA′E=2∠DAE，即∠1+∠2=2∠A．故答案是：∠1+∠2=2∠A．13．解：要使白球反弹后能将黑球直接撞入袋中，∠2+∠3=90°，∴∠2=60°，∵∠1=∠2，∴∠1=60°．14.14、解：（1）如图①、图②所示，四边形ABCD和四边形ABDC即为所求；（2）如图①，四边形ABCD的面积为：2×4=8；如图②，四边形ABDC的面积为：×2×（2+4）=6．15、解：（1）①∵P1，P2是点P关于AB、AC的对称点，∴PD=P1D，PE=P2E，∴∠EDP=2∠DPP1，∠DEP=2∠EPP2，∵∠DDP1+∠DPE+∠EPP2+∠A=180°①，2∠DPP1+∠DPE+2∠EPP2=180°②②﹣①得：∠DPP1+∠EPP2=∠A，∵∠A=58°，∴∠DPP1+∠EPP2=58°∴∠DPE=64°（2）由（1）可知：∠DPE=180°﹣2∠A．（3）点可知P1，P2与点A在同一条直线上．理由如下：连接AP，AP1，AP2．根据轴对称的性质，可得∠4=∠1，∠3=∠2，∵∠BAC=90°即∠1+∠2=90°，∴∠3+∠4=90°∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°，即∠P1AP2=180°∴点P1，P2与点A在同一条直线上．第2课时1．解：点P（﹣2，3）关于y轴的对称点是：（2，3），在第一象限．故选：D．2．解：如图所示，共有4条线段．故选：D．3．解：观察图形，第一个是由旋转或对折得到，第二个是由平移得到，第三个是旋转由得到，第四个是由平移得到．故选：B．4．解：A、不是轴对称图形，故本选项符合题意；B、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D、是轴对称图形，故本选项不符合题意．故选：A．5．解：如图所示：正方形ABCD可以向上、下、向右以及沿AC所在直线，沿BD所在直线平移，所组成的两个正方形组成轴对称图形．故选：C．6．解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；D、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意．故选：B．7．解：作M点关于x轴的对称点M′，∵M（3，2），∴M′（3，﹣2），设直线M′N的解析式为y=kx+b，∴，解得，∴直线M′N的解析式为y=﹣x+，∵P的纵坐标为0，∴﹣x+=0，解得x=，∴P（，0）．故选：A．8．解：如图所示：与△ABC成轴对称，顶点在格点上，且位置不同的三角形有8个，故选：D．9．解：作D关于x轴的对称点D′，连接D′C，连接CD′交x轴于E，△CDE的周长为CD+DE+EC=CD+D′E+EC=CD′+CD，∵D为BO的中点，∴BD=OD=2，∵D和D′关于x轴对称，∴D′（0，﹣2），∴易得，C（3，4），设直线CD'的解析式为y=kx+b，把C（3，4），D′（0，﹣2）分别代入解析式得，，解得，，解析式为y=2x﹣2，当y=0时，x=1，故E点坐标为（1，0）．10．解∵点A（0，4），B（8，0），C（8，4），∴BC=OA=4，OB=AC=8，分两种情况：（1）当点P在矩形AOBC的内部时，过P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图1所示：①当PE：PF=1：3时，∵PE+PF=BC=4，∴PE=1，PF=3，由折叠的性质得：OP=OA=4，在Rt△OPF中，由勾股定理得：OF===，∴P（，3）；②当PE：PF=3：1时，同理得：P（，1）；（2）当点P在矩形AOBC的外部时，此时点P在第四象限，过P作OB的垂线交OB于F，交AC于E，如图2所示：∵PF：PE=1：3，则PF：EF=1：2，∴PF=EF=BC=2，由折叠的性质得：OP=OA=4，在Rt△OA'F中，由勾股定理得：OF==2，∴P（2，﹣2）；综上所述，点P的坐标为（，3）或（，1）或（2，﹣2）；故答案为：（，3）或（，1）或（2，﹣2）．（对一个得（1分），对两个得（3分），有错误答案不得分）11．解：根据三角形的两边之差小于第三边，当P在直线AB和直线y=x﹣2的交点上时，|PA﹣PB|的值最大，等于AB，如图，设直线AB的解析式为y=kx+b，把A（2，3），B（3，5）代入得：，解得：k=2，b=﹣1，即直线AB的解析式为y=2x﹣1，解方程组得：，即P的坐标为（﹣1，﹣3），故答案为：（﹣1，﹣3）．12．解：∵∠APO=∠BPO=30°，∴∠APB=60°，∵PA=PC=PB，∠APC=30°，∴∠BPC=90°，∴△PBC是等腰直角三角形，∵OA=1，∠APO=30°，∴PA=2OA=2，∴BC=PC=2，故答案为2．13．解：如图，当点B与点D重合时，△BEF面积最大，设BE=DE=x，则AE=4﹣x，在RT△ABE中，∵EA2+AB2=BE2，∴（4﹣x）2+22=x2，∴x=，∴BE=ED=，AE=AD﹣ED=，∴点E坐标（，2）．故答案为（，2）．14．解：（1）如图，△A1B1C1为所作；（2）△A1B1C1的各顶的坐标分别为A1（4，5），B1（2，1），C1（1，3）；（3）△ABC的面积=3×4﹣×2×4﹣×1×2﹣×3×2=4．15．解：（1）四边形ABCD的面积为：×3×4=6（2）如图所示：。

八年级上册数学单元测试卷-第十八章 正比例函数和反比例函数-沪教版(含答案)

八年级上册数学单元测试卷-第十八章 正比例函数和反比例函数-沪教版(含答案)

八年级上册数学单元测试卷-第十八章正比例函数和反比例函数-沪教版(含答案)一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，直线y=x﹣b与y轴交于点C，与x轴交于点B，与反比例函数y=的图象在第一象限交于点A（3，1），连接OA，则△AOB的面积为（）A.1B.C.2D.32、甲、乙两人进行慢跑练习，慢跑路程y（米）与所用时间t（分钟）之间的关系如图所示，下列说法错误的是（）A.甲乙两人8分钟各跑了800米B.前2分钟，乙的平均速度比甲快 C.5分钟时两人都跑了500米 D.甲跑完800米的平均速度为100米∕分3、如图，点A的反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，AB∥x轴，BC⊥x轴，垂足为C，连接AC，若△ABC的面积是6，则k的值为（）A.10B.12C.14D.164、函数y=（2﹣a）x+b﹣1是正比例函数的条件是（）A.a≠2B.b=1C.a≠2且b=1D.a，b可取任意实数5、如图直线y1＝x+1与双曲线y2＝交于A （2，m）、B（﹣3，n）两点.则当y1＞y2时，x的取值范围是（）A.x＞﹣3或0＜x＜2B.﹣3＜x＜0或x＞2C.x＜﹣3或0＜x＜2 D.﹣3＜x＜26、已知函数y＝(k＜0)，又x1，x2对应的函数值分别是y1，y2，若x2＞x1＞0对，则有（）A. y1＞y2＞0B. y2＞y1＞0C. y1＜y2＜0D. y2＜y＜017、如图，在△ABC中，AC=BC=25，AB=30，D是AB上的一点（不与A、B重合），DE⊥BC，垂足是点E，设BD=x，四边形ACED的周长为y，则下列图象能大致反映y与x之间的函数关系的是（）A. B. C.D.8、函数y= 的自变量x的取值范围是（）A.x≥﹣2B.x≥﹣2且x≠0C.x≠0D.x＞0且x≠﹣29、如图直线与双曲线相交于两点，则不等式的解集是( )A. 或B. 或C. 或D. 或10、已知力F所作的功是15焦，则力F与物体在力的方向上通过的距离S的图象大致是如图中的（）A. B. C. D.11、已知正比例函数y＝kx的图象经过第二、四象限，则一次函数y＝kx﹣k的图象可能是图中的（）A. B. C. D.12、已知点（x1，y1），（x2，y2）是反比例函数y＝图象上的两点，且0＜x1＜x2，则y1，y2的大小关系是（）A.0＜y1＜y2B.0＜y2＜y1&nbsp;C. y1＜y2＜0D. y ＜y1＜0213、点，点，在反比例函数的图象上，且，则（）A. B. C. D.不能确定14、如果一个正比例函数的图象经过不同象限的两点A（2，m），B（n,3），那么一定有（）A.m>0，n>0B.m>0，n<0C.m<0，n>0D.m<0，n<015、已知k1＜0＜k2，则函数y=k1x和y=的图象大致是（）A. B. C.D.二、填空题(共10题，共计30分)16、函数的自变量x的取值范围是________.17、在函数y= 中，自变量x的取值范围是________．18、直线与双曲线有两个交点，其中一交点坐标为(2,4)，则它们的另一交点坐标为________.19、将正比例函数y＝2x的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第________象限．20、函数关系常用的三种表示方法是________ ，________ ，________21、如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x和y=﹣x的图象分别为直线l1， l2，过点（1，0）作x轴的垂线交l2于点A1，过点A1作y轴的垂线交l2于点A2，过点A2作x轴的垂线交l2于点A3，过点A3作y轴的垂线交l2于点A4，…依次进行下去，则点A2017的坐标为________．22、一次函数y=kx+k﹣1（k≠0）与反比例函数y= 的图象交点的个数为________．23、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y= x与双曲线y= 相交于A，B两点，C是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交y轴于点P，连接BP，BC．若△PBC的面积是20，则点C的坐标为________．24、已知反比例函数的图象在其每一分支上，随的增大而增大，则此反比例函数的解析式可以是________．（注：只需写出一个正确答案即可）25、京沈高速公路全长658km，汽车沿京沈高速公路从沈阳驶往北京，则汽车行完全程所需时间 t（h）与行驶的平均速度 v（km/h）之间的函数关系式为 ________．三、解答题(共5题，共计25分)26、函数y=（m﹣2）x 是反比例函数，则m的值是多少？27、已知函数解析式y=1+．（1）在下表的两个空格中分别填入适当的数：（2）观察上表可知，当x的值越来越大时，对应的y值越来越接近于一个常数，这个常数是什么？x 5 500 5000 50000 …y=1+ 1.2 1.02 1.002 1.0002 …28、希望中学学生从12月份开始每周喝营养牛奶，单价为2元/盒，总价y元随营养牛奶盒数x变化．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出表示函数与自变量关系的式子．29、如图，一次函数y=kx+1（k≠0）与反比例函数y=（m≠0）的图象有公共点A（1，2）．直线l⊥x轴于点N（3，0），与一次函数和反比例函数的图象分别交于点B，C．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求△ABC的面积？30、一次越野跑中，当李明跑了1600米时，小刚跑了1450米，此后两人匀速跑的路程s （米）与时间t（秒）的关系如图，结合图象解答下列问题：Ⅰ.请你根据图象写出二条信息；Ⅱ.求图中S1和S0的位置.参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、A2、A3、D4、C5、B6、C7、A8、B9、B10、B12、B13、B14、D15、A二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、三、解答题(共5题，共计25分)26、27、28、29、30、。

【提高练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】

【提高练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)【含答案】

15.3 《等腰三角形》提升练习第 1 课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．如图，等边三角形ABC与相互平行的直线a，b 订交，若∠ 1=25 °，则∠ 2 的大小为（）A．25°B．35°C． 45°D． 55°2．某等腰三角形的三边长分别为x，3， 2x﹣ 1，则该三角形的周长为（）A．11B． 11 或 8C． 11 或 8 或 5D．与 x 的取值相关3．如图，等边三角形ABC中， AD⊥ BC，垂足为 D，点 E 在线段 AD 上，∠ EBC=45°，则∠ ACE 等于（）A．15°B．30°C． 45°D． 60°4．如图，∠ AOB=60°， OA=OB，动点 C 从点 O 出发，沿射线 OB 方向挪动，以AC为边在右侧作等边△ ACD，连结 BD，则 BD 所在直线与OA 所在直线的地点关系是（）A．平行B．订交C．垂直D．平行、订交或垂直P 是三角形内的随意一点，PD∥ AB， PE∥ BC， PF∥ AC，5．如图，△ABC是等边三角形，点12，则PD+PE+PF=（）若△ ABC的周长为A．12B．8 C． 4D． 3二、填空题6．如图，在凸四边形ABCD中， AB=BC=BD，∠ ABC=80°，则∠ ADC 等于°．7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，那么这个等腰三角形的底角为．8．如图，等腰△ ABC中， AB=AC，∠ BAC=50°，AB 的垂直均分线MN 交 AC 于点 D，则∠ DBC 的度数是．三、解答题9．已知：如图，△ABC 中， AB=AC，点 D 是△ ABC内一点，且 DB=DC，连结 AD 并延伸，交BC 于点 E．（1）依题意补全图；（2）求证： AD⊥ BC．10．如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别在边BC、AC上，且 AE=CD，BE 与 AD 订交于点P，BQ⊥AD 于点 Q．（1）求证：△ ABE≌△ CAD；（2）请问 PQ 与 BP有何关系？并说明原因．第2课时一、选择题1．如图，以点O 为圆心，随意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点 A 为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画出射线OB，则∠AOB=（）A．30°B．45°C． 60°D． 90°2．如图：在△ABC中，以下条件中能说明△ABC是等边三角形的是（）A．AB=AC，∠ B=∠ C B． AD⊥ BC， BD=CDC． BC=AC，∠ B=∠C D． AD⊥ BC，∠ BAD=∠ CAD3．下边给出几种三角形：（1）有两个角为60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（ 4）有一个角为 60°的等腰三角形，此中是等边三角形的个数是（）A．4 个B．3 个C．2 个D．1 个4．已知：在△ ABC中，∠ A=60°，如要判断△ ABC 是等边三角形，还需增添一个条件．现有下边三种说法：①假如增添条件“AB=AC”，那么△ ABC是等边三角形；②假如增添条件“∠ B=∠ C”，那么△ ABC是等边三角形；③假如增添条件“边AB、BC上的高相等”，那么△ ABC是等边三角形．上陈述法中，正确的有（）A．3 个B．2 个C．1 个D．0 个5．如图，在△ ABC中，AB=AC，∠ A=36°，BD，CE是角均分线，则图中的等腰三角形共（）有A．8 个B．7 个C．6 个D．5 个二、填空题6．假如 a，b，c 为三角形的三边，且（ a﹣b ）2+（ a﹣ c）2+|b ﹣ c|=0 ，则这个三角形是．7．假如一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是三角形．8．如图，在△ABC 中， BC=8cm， BP、 CP分别是∠ABC 和∠ ACB的均分线，且PD∥ AB， PE ∥ AC，则△ PDE的周长是cm．三、解答题9．如图，在△ ABC 中，AB=AC=2，∠ B=∠ C=40°，点 D 在线段 BC 上运动（ D 不与 B、C 重合），连结 AD，作∠ ADE=40°，DE 交线段 AC 于 E．（ 1）当∠ BDA=115°时，∠ EDC=°，∠ DEC=°；点D从B向C运动时，∠ BDA 渐渐变（填“大”或“小”）；ABD≌△ DCE，请说明原因；（ 2）当DC等于多少时，△（ 3）在点 D 的运动过程中，△ ADE 的形状能够是等腰三角形吗？若能够，请直接写出∠BDA 的度数．若不可以够，请说明原因．10．如图，点O 是等边△ ABC内一点，∠ AOB=110°，∠ BOC=α．以 OC为一边作等边三角形OCD，连结 AC、 AD．（1）当α=150°时，试判断△ AOD 的形状，并说明原因；（2）研究：当 a 为多少度时，△ AOD 是等腰三角形？第3课时一、选择题1．如图，将一个有45°角的三角板的直角极点放在一张宽为3cm 的纸带边缘上．另一个顶点在纸带的另一边缘上，测得三角板的一边与纸带的一边所在的直线成30°角，则三角板的直角边的长为（）A．3cm B． 6cm C． 8cm D． 9cm2．如图，△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AC=3，点 P 是 BC 边上的动点，则AP 的长不行能是（）A．3.5B．4.2C． 5.8D． 6.53．如图，在△ABC 中，∠ A=90°，∠ C=30°，AD⊥ BC 于D， BE 是∠ ABC 的均分线，且交AD 于 P，假如AP=2，则AC 的长为（）A．2B． 4C． 6D． 8BC的长（）4．如图，在△ABC中， AB=AC，∠ C=30°， AB⊥ AD， AD=4cm，求A．8cm B． 12cm C． 15cm D．16cm5．如图，已知∠ AOB=60°，点P 在边OA 上，OP=10，点M 、N在边OB 上，PM=PN，若MN=2 ，则 OM=（）A．3B． 4C． 5D． 6二、填空题6．如图，在等边△ABC中， BD是AC 边上的中线，过点 D 作DE⊥ BC于点E，且CE=1.5，则AB 的长为．7．假如一个等腰三角形一条腰上的高等于另一腰的一半，则该等腰三角形的顶角的度数为．8．在等腰△ABC中，AD⊥ BC交直线BC于点D，若 AD=BC，则△ ABC的顶角的度数为．三、解答题9．如图，一艘轮船清晨8 时从点 A 向正北方向出发，小岛P 在轮船的北偏西15°方向．轮船每小时航行15 海里， 11时轮船抵达点 B 处，小岛P 此时在轮船的北偏西30°方向．（ 1）求此时轮船距小岛为多少海里？（ 2）在小岛 P 的四周 20 海里范围内有暗礁，假如轮船不改变方向持续向前航行，能否会有触礁危险？请说明原因．10．已知，如图 Rt△ABC中，∠ BAC=90°，AD 是 BC边上的高，∠ B=2∠ C，E 是 BC的中点．求证： DE=AB．参照答案第1课时1．解：过点 C 作 CD∥ b，∵直线 a∥ b，∴CD∥ a∥ b，∴∠ 4=∠ 1=25°，∵∠ ACB=60°，∴∠ 3=∠ ACB﹣∠ 4=60°﹣ 25°=35°，∴∠ 2=∠ 3=35°．应选： B．2．解：当x=3 时，此时 2x﹣1=5，∴3+3＞ 5，能构成三角形，此时三角形的周长为： 3+3+5=11，当 x=2x﹣1 时，此时 x=1，∴1+1＜ 3，不可以构成三角形，当 2x﹣ 1=3 时，此时 x=2∴3+2＞ 3，能构成三角形，此时三角形的周长为： 3+3+2=8，应选： B．3．解：∵等边三角形ABC 中， AD⊥BC，∴BD=CD，即：AD 是BC 的垂直均分线，∵点 E在 AD上，∴BE=CE，∴∠ EBC=∠ ECB，∵∠ EBC=45°，∴∠ ECB=45°，∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ACB=60°，∴∠ ACE=∠ ACB﹣∠ ECB=15°，应选： A．4．解：∵∠ AOB=60°， OA=OB，∴△ OAB 是等边三角形，∴OA=AB，∠ OAB=∠ ABO=60°①当点 C 在线段 OB 上时，如图 1，∵△ ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠ CAD=60°，∴∠ OAC=∠ BAD，在△ AOC和△ ABD 中，，∴△ AOC≌△ ABD，∴∠ ABD=∠ AOC=60°，∴∠ DBE=180°﹣∠ ABO﹣∠ ABD=60°=∠AOB，∴BD∥ OA，②当点 C 在 OB 的延伸线上时，如图2，同①的方法得出OA∥ BD，∵△ ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠ CAD=60°，∴∠ OAC=∠ BAD，在△ AOC和△ ABD 中，，∴△ AOC≌△ ABD，∴∠ ABD=∠ AOC=60°，∴∠ DBE=180°﹣∠ ABO﹣∠ ABD=60°=∠AOB，∴BD∥ OA，应选： A．5．解：延伸EP、 FP 分别交 AB、 BC于 G、 H，则由 PD∥AB， PE∥BC， PF∥AC，可得，四边形 PGBD， EPHC是平行四边形，∴PG=BD， PE=HC，又△ ABC是等边三角形，又有 PF∥ AC， PD∥ AB 可得△ PFG，△ PDH 是等边三角形，∴PF=PG=BD，PD=DH，又△ ABC的周长为12，∴PD+PE+PF=DH+HC+BD=BC=×12=4，应选： C．6．解：∵ AB=BC=BD，∠CBD，∴∠ ADB=90°﹣∠ ABD，∠ CDB=90°﹣∴∠ ADC=∠ ADB+∠ CDB=90 °﹣∠ ABD+90°﹣∠CBD=180 °﹣（∠ ABD+∠ CBD）=180 °﹣× 80°=180 °﹣40°=140 °．故答案为： 140．7．解：①如图一，∵△ ABC是等腰三角形，BD⊥ AC，∠ ADB=90°，∠ ABD=50°，∴在直角△ ABD 中，∠ A=90°﹣ 50°=40°，=70°；∴∠ C=∠ ABC=②如图二，∵△ ABC是等腰三角形，BD⊥ AC，∠ ADB=90°，∠ ABD=50°，∴在直角△ ABD 中，∠ BAD=90°﹣ 50°=40°，又∵∠ BAD=∠ABC+∠ C，∠ ABC=∠ C，∴∠ C=∠ ABC===20°．故答案为： 70°或 20°．8．解：∵ AB=AC，∠ A=40°，∴∠ ABC=（180°﹣∠ A）=（180°﹣50°）=65°，∵MN 垂直均分线 AB，∴ AD=BD，∴∠ ABD=∠ A=50°，∴∠ DBC=∠ ABC﹣∠ ABD=65°﹣50°=15°．故答案为： 15°．9．解：（ 1）如下图，（2）∵ AB=AC，∴点 A 在 BC的垂直均分线上，∵BE=CE，∴点 E 在 BC 的垂直均分线上，∴A、E 都在BC的垂直均分线上，∵延伸 AE交 BC边于点 D，∴AD⊥ BC．10．（ 1）证明：∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠ BAC=∠ ACB=60°，在△ BAE和△ ACD中：∴△ BAE≌△ ACD（2）答： BP=2PQ．证明：∵△ BAE≌△ ACD，∴∠ ABE=∠ CAD．∵∠ BPQ为△ ABP外角，∴∠ BPQ=∠ ABE+∠ BAD．∴∠ BPQ=∠ CAD+∠ BAD=∠ BAC=60°∵BQ⊥ AD，∴∠ PBQ=30°，∴ BP=2PQ．第2课时1．解：连结AB，依据题意得：OB=OA=AB，∴△ AOB 是等边三角形，∴∠ AOB=60°．应选： C．2．解：A、AB=AC，∠B=∠C，只好说明△ABC 是等腰三角形，错误；B、 AD⊥ BC， BD=CD，只好说明△ ABC是等腰三角形，错误；C、 BC=AC，∠ B=∠C，能说明△ ABC是等边三角形，正确；D、 AD⊥BC，∠ BAD=∠ CAD，只好说明△A BC是等腰三角形，错误；应选： C．3．解：有三角都是60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，那么可由（ 1），（ 4）推出等边三角形，（2）若每个角各取一个外角时，该结论建立．而（ 3）只好得出这个三角形是等腰三角形．应选： C．4．解：①若增添的条件为AB=AC，由∠ A=60°，利用有一个角为60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC为等边三角形；②若增添条件为∠B=∠ C，又∵∠ A=60°，∴∠ B=∠ C=60°，∴∠ A=∠ B=∠ C，则△ ABC为等边三角形；AB、BC 上的高相等，如下图：③若增添的条件为边已知：∠ BAC=60°， AE⊥ BC，CD⊥AB，且 AE=CD，求证：△ ABC为等边三角形．证明：∵ AE⊥ BC， CD⊥ AB，∴∠ ADC=∠ AEC=90°，在 Rt△ ADC和 Rt△ CEA中，，∴Rt△ ADC≌ Rt△CEA（ HL），∴∠ ACE=∠ BAC=60°，∴∠ BAC=∠B=∠ ACB=60°，∴AB=AC=BC，即△ABC为等边三角形，综上，正确的说法有 3 个．应选： A．5．解：∵ AB=AC，∠ A=36°，∴∠ ABC=∠ ACB=（180°﹣∠ A）=72°，∵ BD， CE是角均分线，∴∠ ABD=∠ DBC=∠ ABC=36°，∠ ACE=∠ECB=36°，∴∠ A=∠ ABD=∠ ACE，∠ DBC=∠ ECB，∴∠ BDC=180°﹣∠ ACB﹣∠ DBC=180°﹣ 72°﹣ 36°=72°，同理∠ BEC=72°，∴∠ BDC=∠ ACB，∠ BEC=∠ EBC，∴∠ EOB=180°﹣∠ BEC﹣∠ EBD=180°﹣ 72°﹣36°=72°，同理∠ DOC=72°，∴∠ BEO=∠ BOE，∠ CDO=∠ COD，即等腰三角形有△ OBC，△ ADB，△ AEC，△ BEC，△ BDC，△ ABC，△ EBO，△ DCO，共 8 个，应选： A．6．解：∵（ a﹣ b）2+（ a﹣c） 2+|b ﹣ c|=0 ，∴a﹣ b=0，a﹣ c=0， b﹣ c=0，∴a=b， a=c，b=c，∴a=b=c，∴这个三角形是等边三角形；故答案为：等边三角形．7．解：等边三角形每条边上的中线、高线和所对角的均分线相互重合（三线合一），∴假如一个三角形的两条角分线又是它的两条高线，则这个三角形是等边三角形．8．解：∵ BP、 CP分别是∠ ABC和∠ ACB 的角均分线，∴∠ ABP=∠ PBD，∠ ACP=∠PCE，∵PD∥ AB， PE∥ AC，∴∠ ABP=∠BPD，∠ ACP=∠CPE，∴∠ PBD=∠ BPD，∠ PCE=∠ CPE，∴BD=PD， CE=PE，∴△ PDE的周长 =PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=8cm．故答案是： 8．9．解：（ 1）∠ EDC=180°﹣∠ ADB﹣∠ ADE=180°﹣ 115 °﹣ 40°=25 °，∠DEC=180°﹣∠ EDC﹣∠ C=180°﹣ 40°﹣ 25°=115°，∠BDA 渐渐变小；故答案为： 25°， 115°，小；（2）当 DC=2时，△ ABD≌△ DCE，原因：∵∠ C=40°，∴∠ DEC+∠ EDC=140°，又∵∠ ADE=40°，∴∠ ADB+∠ EDC=140°，∴∠ ADB=∠ DEC，又∵ AB=DC=2，∴△ ABD≌△ DCE（AAS），（ 3）当∠ BDA 的度数为 110°或 80°时，△ ADE的形状是等腰三角形，原因：∵∠ BDA=110°时，∴∠ ADC=70°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=70°，∠ AED=∠ C+∠EDC=30°+40°=70°，∴∠ DAC=∠AED，∴△ ADE的形状是等腰三角形；∵当∠ BDA 的度数为80°时，∴∠ ADC=100°，∵∠ C=40°，∴∠ DAC=40°，∴∠ DAC=∠ADE，∴△ ADE的形状是等腰三角形．10．解：（1 ）∵△ OCD是等边三角形，∴OC=CD，而△ ABC是等边三角形，∴BC=AC，∵∠ ACB=∠ OCD=60°，∴∠ BCO=∠ ACD，在△ BOC与△ ADC 中，∵，∴△ BOC≌△ ADC，∴∠ BOC=∠ ADC，而∠ BOC=α=150°，∠ ODC=60°，∴∠ ADO=150°﹣ 60°=90°，∴△ ADO 是直角三角形；（2）∵设∠ CBO=∠ CAD=a，∠ ABO=b，∠ BAO=c，∠ CAO=d，则 a+b=60°， b+c=180°﹣110°=70°， c+d=60°，∴ b﹣ d=10°，∴（ 60°﹣ a）﹣d=10°，∴ a+d=50°，即∠ DAO=50°，①要使 AO=AD，需∠ AOD=∠ ADO，∴190°﹣α=α﹣ 60°，∴α=125°；②要使 OA=OD，需∠ OAD=∠ ADO，∴ α﹣ 60°=50°，∴ α=110°；③要使 OD=AD，需∠ OAD=∠AOD，∴190°﹣α=50°，∴α=140°．因此当α为 110°、125°、 140°时，三角形AOD 是等腰三角形．第3课时1．解：过点 C 作 CD⊥ AD， CD=3cm，在直角三角形ADC 中，∵∠ CAD=30°，∴AC=2CD=2× 3=6cm ．应选： B．2．解：∵△ ABC中，∠ C=90°，∠ B=30°， AC=3，∴AB=2AC=6，即 AP 的范围是 3≤ AP≤ 6，∴ 6.5 不在范围内；应选： D．3．解：∵△ ABC中，∠ BAC=90°，∠ C=30°，∴∠ ABC=60°．又∵ BE是∠ ABC 的均分线，∴∠ EBC=30°，∴∠ AEB=∠ C+∠ EBC=60°，∠ C=∠ EBC，∴∠ AEP=60°， BE=EC．又 AD⊥ BC，∴∠ CAD=∠ EAP=60°，则∠ AEP=∠EAP=60°，∴△ AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△ AEB中，∠ ABE=30°，则 EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．应选： C．4．解：∵ AB=AC，∠ C=30°，∴∠ B=∠ C=30°，∠ BAC=120°，∵AB⊥ AD，∴∠ BAD=90°，∵AD=4cm，∴BD=2AD=8cm，∵∠ DAC=120°﹣ 90°=30°，∴∠ DAC=∠C，∴AD=DC=4cm，∴BC=BD+DC=8cm+4cm=12cm，应选： B．5．解：作PH⊥ MN 于 H，∵PM=PN，∴MH=NH= MN=1 ，∵∠ AOB=60°，∴∠ OPH=30°，∴OH= OP=5，∴OM=OH﹣ MH=4 ，应选： B．6．解：∵△ ABC是等边三角形，∴∠ ABC=∠ C=60°， AB=BC=AC，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=1.5，∴CD=2EC=3，∵BD 均分∠ ABC交 AC 于点 D，∴ AD=CD=3，∴ AB=AC=AD+CD=6．故答案为： 67．解：此题分两种状况议论：（ 1）如图 1，当 BD 在三角形内部时，∵BD= AB，∠ ADB=90°，∴∠ A=30°；（ 2）当如图 2， BD 在三角形外面时，∵BD= AB，∠ ADB=90°，∴∠ DAB=30°，∠ ABC=180°﹣∠ DAB=30°=150°．故答案是： 30°或 150°．8．解：① BC 为腰，∵AD⊥ BC于点 D，AD= BC，∴∠ ACD=30°，如图 1， AD 在△ ABC内部时，顶角∠ C=30°，如图 2， AD 在△ ABC外面时，顶角∠ ACB=180°﹣30°=150°，② BC 为底，如图 3，∵AD⊥ BC于点 D，AD= BC，∴AD=BD=CD，∴∠ B=∠ BAD，∠ C=∠ CAD，∴∠ BAD+∠ CAD=× 180°=90°，∴顶角∠ BAC=90°，综上所述，等腰三角形ABC的顶角度数为30°或 150°或 90°．故答案为： 30°或 150°或 90°．9．解：（ 1）∵∠ PAB=15°，∠ PBC=30°，∴∠ PAB=∠ APB，PB=AB=15× 3=45 海里；（2）过 P 点作 PD⊥ BC于 D，在 Rt△ PBD中，∠ PBD=30°， PB=45，∴ PD==22.5，22.5＞ 20．因此，轮船持续向前航行，不会有触礁危险．10．解：∵ Rt△ ABC中，∠ BAC=90°，∠ B=2∠ C，∴∠ B=60°，∠ C=30°，∴BC=2AB，∵AD 是 BC边上的高， E 是 BC 的中点．∴ BC=2AE，∴ AB=AE，∴∠ AED=60°，∴∠ DAE=30°，∴AE=2DE=AB，即 DE= AB．。

沪科版数学八年级上册综合训练50题-含答案

沪科版数学八年级上册综合训练50题-含答案

沪科版数学八年级上册综合训练50题含答案（填空、解答题）一、填空题1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，若直线26y x =-与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ， 则AOB 的面积为________．2．如图，直线22y x =--与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，把直线AB 沿x 轴的正 半轴向右平移2个单位长度后得到直线CD ，则直线CD 的函数解析式是__________．3．在ABC 中，∠A=∠B=∠C ，则ABC 是_________三角形．4．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线BC 交BC 于D ，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为E ，若BC=3，则DE 的长为___．5．下列给出的是关于某个一次函数的自变量x 及其对应的函数值y 的若干信息，请你根据表格中的相关数据计算：m ＋n ＝____________．6．阅读下面的材料：小芸的作法如下：请回答：小芸的作图依据是____________________________________．7．若函数y kx b=+的图象如图所示，则不等式0+>的解集是___________．kx b8．如图，在ABC中，按以下步骤作图：、于点D、E．∠以点B为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB BC∠分别以点D、E为圆心，大于1DE的同样长为半径作弧，两弧交于点F．2∠作射线BF 交AC 于点G ． 如果23=AB BC ，求ABG BGC S S ∆∆=________．9．函数y ax b =+的图象如图，不等式2ax b +≤的解集为__________．10．一次函数y ＝x ﹣5的图象与y 轴的交点坐标为 _________．11．已知点P 的坐标为（a +1，5﹣3a ），且它到两个坐标轴的距离相等，则点P 的坐标为_______________．12．如图，长方形纸片ABCD 中AD ∠BC ，AB ∠CD ，∠A ＝90°，将纸片沿EF 折叠，使顶点C 、D 分别落在点C '、D '处，C 'E 交AF 于点G ．若∠CEF ＝68°，则么∠GFD '＝______°．13．已知点()1,3M -，点N 为x 轴上一动点，则MN 的最小值为______． 14．已知点P （m ，2）在第一象限，那么点B （3，﹣m ）在第____象限．15．如图，已知,,a b c 分别是Rt ABC △的三条边长，90C ∠=︒，我们把关于x 的形如a by x c c =+的一次函数称为“勾股一次函数”；若点P ⎛ ⎝⎭在“勾股一次函数”的图象上，且Rt ABC △的面积是10，则c 的值是_________．16．如图，在∠ABC 中，AB ＝17，AC ＝12，AD 为中线，则∠ABD 与∠ACD 的周长之差＝__．17．某下岗职工购进一批货物到集贸市场零售，已知卖出的货物质量x (千克)与售价y (元)的关系如表所示：写出y 关于x 的函数关系式是____________．18．“欢乐跑中国•重庆站”比赛前夕，小刚和小强相约晨练跑步．小刚比小强早1分钟跑步出门，3分钟后他们相遇．两人寒暄2分钟后，决定进行跑步比赛．比赛时小刚的速度始终是180米/分，小强的速度是220米/分．比赛开始10分钟后，因雾霾严重，小强突感身体不适，于是他按原路以出门时的速度返回，直到他们再次相遇．如图所示是小刚、小强之间的距离y （千米）与小刚跑步所用时间x （分钟）之间的函数图象．问小刚从家出发到他们再次相遇时，一共用了__分钟．19．在ABC 中，AB AC =，点D 是ABC 外一点，连接AD 、BD 、CD ，且BD 交AC 于点O ，在BD 上取一点E ，使得AE AD =，EAD BAC ∠=∠，若70ACB ∠=︒，则BDC ∠的度数为 _____．20．已知1(2, 1)A ，2(1, 0)A -，…，(, )k k k A x y ，…，(k 为正整数)，且满足111k k x x -=-，11k k y y -=-，则A 2022的坐标为____.21．已知点P （x ，y ）位于第四象限，并且x ≤y +4（x ，y 为整数），写出一个符合上述条件的点P 的坐标_________．22．如图，ABC 中，AB AC =，DE 是AB 的垂直平分线，垂足为D ，交AC 于E ．若11AB cm =，BCE 的周长为17cm ，则BC=________cm ．23．如图，已知1A （1，0），2A （1，﹣1），3A （﹣1，﹣1），4A （﹣1，1），5A （2，1），…，则点2010A 的坐标是________．24．下表分别给出了一次函数y 1＝k 1x ＋b 1与y 2＝k 2x ＋b 2图像上部分点的横坐标x 和纵坐标y 的对应值．则当x ____时，y 1＞y 2．25．如图所示，OC 平分AOB ∠，OD 平分COB ∠，90AOD ∠=︒，则BOD ∠=_______︒．26．如图，在∠ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ，∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线AD 相交于点P ，AP 与BC 的延长线交于点D ．过点P 作PF ∠AD 交AC 的延长线于点H ，交BC 的延长线于点F ，连接AF 并延长交DH 于点G ．下列结论中，正确的是______．（填序号）∠∠APB ＝45°，∠PF ＝P A ，∠DG ＝AP +GH ，∠BD ＝AH +AB ．27．如图，ADC △是45°的直角三角板，ABE 是30°的直角三角板，CD 与BE 交于点F ，则DFB ∠的度数为__________28．如图，在长方形ABCD 中4AB DC ==，5AD BC ==．延长BC 到E ，使2CE =，连接DE ．动点P 从点B 出发，以每秒2个单位的速度沿BC CD DA →→→向终点A 运动，设点P 运动的时间为t 秒，存在这样的t ，使DCP 和DCE △全等，则t 的值为______．29．如图，已知∠AOB=90°, ∠COD=90°,OE 为∠BOD 的角平分线，∠BOE=25°,则∠AOC=_____30．已知点A （3，4），点B （﹣1，1），在x 轴上有两动点E 、F ，且EF=1，线段EF 在x 轴上平移，当四边形ABEF 的周长取得最小值时，点E 的坐标为________．二、解答题 31．（1）解方程：2101x x-=+ （2）已知等腰三角形的两边长为5cm 和4cm ，求它的周长．32．如图，BA =BE ，∠A =∠E ，∠ABE =∠CBD ，ED 交BC 于点F ，且∠FBD =∠D ． 求证：AC ∠BD ．证明：∠∠ABE =∠CBD (已知)， ∠∠ABE +∠EBC =∠CBD +∠EBC ( ) 即∠ABC =∠EBD在∠ABC 和∠EBD 中， ___________ABC EBD A E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABC ∠∠EBD ( )， ∠∠C =∠D ( ) ∠∠FBD =∠D ，∠∠C = (等量代换)， ∠AC ∠BD ( )33．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，点E 为对角线BD 上一点，A BEC ∠=∠ ，且AB EC =．(1)求证：ABD ECB ≌；(2)若65BDC ∠=︒，求DBC ∠的度数．34．如图，已知：DE //BC ，CD 是∠ACB 的平分线，∠B =80°，∠A =50°，求：∠EDC 与∠BDC 的度数．35．点O 为直线AB 上一点，过点O 作射线OC ，使∠BOC=65°，将一直角三角板的直角顶点放在点O 处.（1）如图1，将三角板MON 的一边ON 与射线OB 重合时，则∠MOC=__________ （2）如图2，将三角板MON 绕点O 逆时针旋转一定角度，此时OC 是∠MOB 的平分线，求∠BON 和∠CON 的度数．36．如图，射线OB 在钝角AOC ∠的内部，且180,AOB AOC OP ∠+∠=︒分AOB ∠，OQ 平分AOC ∠．（1）当OB 与OQ 重合时，求AOC ∠得度数； （2）若100AOC ∠=︒，求POQ ∠的度数；（3）若AOC n ∠=︒，求POQ ∠的度数（用含n 的代数式表示）．37．如图，在等边∠ABC 中，点D ，E 分别在边BC ，AC 上，且AE =CD ，BE 与AD 相交于点P ，BQ 上AD 于点Q ．(1)求证：AD =BE ； (2)求∠PBQ 的度数；(3)若PQ =3，PE =1，求AD 的长．38．如图，在平面直角坐标中，∠ABC 各顶点都在小方格的顶点上．（1）画出∠ABC 关于x 轴对称的图形∠A 1B 1C 1；写出∠A 1B 1C 1各顶点坐标A 1 ；B 1 ；C 1（2）在y 轴上找一点P ，使P A ＋PB 1最短，画出P 点，并写出P 点的坐标 ． （3）若网格中的最小正方形边长为1，则∠A 1B 1C 1的面积等于 .39．如图，ABC ∆中，ABC C ∠=∠，BD 是ABC ∠的平分线，48A ∠=，求BDC ∠的度数．40．如图所示，四边形ABCD 中，∠ADC 的角平分线DE 与∠BCD 的角平分线CA 相交于E 点，已知：∠ACB ＝32°，∠CDE ＝58°．（1）求∠DEC 的度数； （2）试说明直线AD BC ∥41．如图，已知ABC FED ≅，A ∠和F ∠是对应角，CB 和DE 是对应边，82AF BE ＝，＝．(1)写出其他对应边及对应角；(2)判断AC 与DF 的位置关系，并说明理由． (3)求AB 的长．42．在△ABC 中，∠C>∠B ．如图∠，AD∠BC 于点D ，AE 平分∠BAC ．（1）如图∠，AD∠BC 于点D ，AE 平分∠BAC ，能猜想出∠DAE 与∠B 、∠C 之间的关系是什么？并说明理由．（2）如图∠，AE 平分∠BAC ，F 为AE 上的一点，且FD∠BC 于点D ，这时∠EFD 与∠B 、∠C 有何数量关系？请说明理由．（3）如图∠，AE 平分∠BAC ，F 为AE 延长线上的一点，FD∠BC 于点D ，请你写出这时∠EFD 与∠B 、∠C 之间的数量关系(只写结论，不必说明理由)．43．在ABC 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，直线MN 经过点C ，且AD MN ⊥于点D ，BE MN ⊥于点E ．（1）当直线MN 绕点C 旋转到图（1）的位置时，求证：∠ADC △∠CEB ；∠DE AD BE =+．（2）当直线MN 绕点C 旋转到图（2）、图（3）的位置时，试问DE 、AD 、BE 具有怎样的等量关系？请直接写出这个等量关系．44．如图，在ABC 中，BD 、CE 是边AC 、AB 上的中线，BD 与CE 相交于点O ，N 是OC 的中点．（1）求证：2OC OE =；（2）若1CDN S =△，求ABC 的面积．45．贝贝在银行的信用卡中存入2万元，每次取出500元，若卡内余额为y （元），取钱的次数为x ．（利息忽略不计）（1）写出y 与x 之间的函数关系式；（2）求自变量x的取值范围；（3）取多少次钱后，余额为原存款的14？46．水池中有水20m3，12：00时同时打开两个每分钟出水量相等且不变的出水口，12:06时王师傅打开一个每分钟进水量不变的进水口，同时关闭一个出水口，12:14时再关闭另一个出水口，12:20时水池中有水56m3，王师傅的具体记录如下表．设从12:00时起经过tmin池中有水ym3，右图中折线ABCD表示y关于t的函数图象．（1）每个出水口每分钟出水m3，表格中a＝；（2）求进水口每分钟的进水量和b 的值；（3）在整个过程中t 为何值时，水池有水16m 3？47．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC =90°，△ACD 是等边三角形，E 为△ABC 内一点，AC =CE ，∠BAE =15°，AD 与CE 相交于点F ．（1）求∠DFE 的度数；（2）求证：AE =BE ．48．已知两个全等的等腰直角∠ABC 、∠DEF ，其中90ACB DFE ∠=∠=︒，E 为AB 中点，∠DEF 可绕顶点E 旋转，线段DE ，EF 分别交线段CA ，CB （或它们所在直线）于M 、N ．(1)如图1，当线段EF 经过∠ABC 的顶点C 时，点N 与点C 重合，线段DE 交AC 于M ，求证：AM MC =；(2)如图2，当线段EF 与线段BC 边交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请探究AM ，MN ，CN 之间的等量关系，并说明理由；(3)如图3，当线段EF 与BC 延长线交于N 点，线段DE 与线段AC 交于M 点，连MN ，EC ，请猜想AM ，MN ，CN 之间的等量关系，不必说明理由．49．已知，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别是(),a a --，(),0b 且20b -=．（1）求a ，b 的值；（2）在坐标轴上是否存在点C ，使三角形ABC 的面积是8？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．50．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A (a ，0)，B (c ，c )，C (0，c )，且满足（a ﹣c +4）20，P 点从A 点出发沿x 轴正方向以每秒2个单位长度的速度匀速移动，Q 点从O 点出发沿y 轴负方向以每秒1个单位长度的速度匀速移动．（1）求点B 的坐标及AO 和BC 位置关系；（2）当P 、Q 分别是线段AO ，OC 上时，连接PB ，QB ，使2PAB QBC S S △△＝，求出点P 的坐标；（3）在P 、Q 的运动过程中，当∠CBQ ＝30°时，请探究∠OPQ 和∠PQB 的数量关系，并说明理由．参考答案：1．9【分析】分别令0x =，0y =，求出A 、B 两点坐标，再利用三角形面积公式即可求出面积．【详解】当0x =时，y =-6，∠B 点坐标为(0,6)-，即6OB =，当0y =时，3x =，∠A 点坐标为(3,0)，即3OA =， ∠1136922AOB S OA OB ==⨯⨯=, 故答案为：9．【点睛】本题考查了求一次函数图象与坐标轴形成的三角形的面积，求出一次函数与坐标轴的交点坐标是解题关键．2．22y x =-+【分析】利用“左加右减”的规律解答．【详解】把直线AB ：22y x =--沿x 轴的正半轴向右平移2个单位长度后得到直线CD ， 则直线CD 的函数解析式是：()22222y x x =---=-+，即22y x =-+．故答案是：22y x =-+．【点睛】本题主要考查了一次函数图象与几何变换，难度不大，掌握平移规律“左加右减，上加下减”即可．3．等边【详解】试题分析：在∠ABC 中，∠A=∠B=∠C ，根据三角形内角和为180°，可得出各角的度数均为60°，即可得到结果.在∠ABC 中，∠A=∠B=∠C ，又∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=∠B=∠C=60°，即∠ABC 为等边三角形．考点：等边三角形的判定，三角形的内角和定理点评：三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握.4．1【分析】根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB ，得到∠B=∠DAB ，根据角平分线的性质得出∠DAC=∠DAB，从而求出∠B=30°，根据直角三角形的性质计算即可．【详解】解：∠DE是AB的垂直平分线，∠DA=DB，∠∠B=∠DAB，∠AD是∠CAB的平分线，∠∠DAC=∠DAB，∠∠C=90°，∠∠B=30°，∠DE=1BD，2∠AD是∠CAB的平分线，∠C=90°，DE∠AB，∠DE=DC，BD，∠DC=12∠BD=3，∠DC=1，即DE=1，故答案为1．【点睛】本题考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质，及直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．5．6【分析】根据题意设一次函数关系式为y＝kx＋b，将（−1，m）、（1，3）、（3，n）代入可得相应的等式，求解后即可得出答案．【详解】解：设一次函数关系式为y＝kx＋b，将（−1，m）、（1，3）、（3，n）代入得：m＝−k＋b，k＋b＝3，n＝3k＋b，∠m＋n＝−k＋b＋3k＋b＝2k＋2b＝2×3＝6．故答案为：6．【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及待定系数法求函数解析式的知识，比较简单，注意掌握待定系数法的运用．6．到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上；两点确定一条直线．【详解】试题分析：直接利用线段的垂直平分线的性质及直线的性质进而分析得到答案.试题解析：分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于,C D 两点的依据是：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.连接CD 的依据是：两点确定一条直线．故答案为到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上,两点确定一条直线． 7．x ＜2##2x >【分析】根据一次函数的性质，结合函数图象，可以写出不等式0kx b +>的解集．【详解】解：由图象可得，函数y ＝kx ＋b 与x 轴的交点为（2，0），y 随x 的增大而减小， ∠不等式kx ＋b ＞0的解集是x ＜2．故答案为：x ＜2．【点睛】本题主要考查一次函数与一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．23【分析】由作图步骤可知BG 为ABC ∠的角平分线，过G 作GM AB ⊥于M ，GN BC ⊥于N ，可得GM GN =，最后运用三角形的面积公式解答即可．【详解】解：如图，过点G 作GM AB ⊥于M ，GN BC ⊥于N ．由作图可知，BG 平分ABC ∠，∠GM BA GN BC ⊥⊥，，∠GM GN =， ∠ABGBCG S S ∆∆122132AB GM AB BC BC GN ⨯===⨯， 故答案为：23． 【点睛】本题考查角平分线定理和三角形面积公式的应用，通过作法发现角平分线并灵活应用角平分线定理是解答本题的关键．9．0x ≥【分析】观察函数图形得到当0x ≥时，一次函数y ax b =+的函数值小于或等于2，即2ax b +≤．【详解】解：根据题意得当0x ≥时，2ax b +≤，即不等式2ax b +≤的解集为0x ≥．故答案为：0x ≥．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =ax +b 的值大于（或小于）0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b 在x 轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合．10．（0，﹣5）【分析】代入x ＝0求出y 值，进而可得出直线与y 轴的交点坐标．【详解】解：当x ＝0时，y ＝0﹣5＝﹣5，∠一次函数y ＝x ﹣5的图像与y 轴的交点坐标是（0，﹣5）．故答案为：（0，﹣5）．【点睛】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式()0y kx b k =+≠是解题关键．11．（4，-4）或（2，2）【分析】根据点P 到两个坐标轴的距离相等可得a +1+5-3a =0或a +1=5-3a ，解方程可得a 的值，进而可得点P 的坐标．【详解】解：由题意得：a +1+5-3a =0或a +1=5-3a ，解得a =3或a =1．故当a =3时，P （4，-4）；当a =1时，P （2，2）；故答案为：（4，-4）或（2，2）．【点睛】此题主要考查了点的坐标，关键是掌握点P 到两个坐标轴的距离相等时，横纵坐标相等或相反数关系．12．44【分析】根据平行线的性质和翻折不变性解答．【详解】解：∠AD //BC ，∠∠DFE ＝180°−∠CEF ＝180°−68°＝112°，∠∠D ′FE ＝112°，∠GFE ＝180°−112°＝68°，∠∠GFD ′＝112°−68°＝44°．故答案为：44．【点睛】本题考查了平行线的性质和翻折不变性，注意观察图形．13．3【分析】如图，过M 点做x 轴的垂线，交x 轴于点N ，MN 的长度即为所求．【详解】解：如图，当MN x ⊥轴时，MN 的长度最小，最小值为3，故答案为：3．【点睛】本题考查平面直角坐标系中点到坐标轴的距离．掌握点到直线上的所有连线中，垂线段最短是解题的关键．14．四【分析】根据点P 在第一象限，即可得到点m 的符号，从而得到-m 的符号，即可得出点B 所在的位置．【详解】点P （m ，2）在第一象限，得m ＞0．由不等式的性质，得3＞0，﹣m ＜0 那么点B （3，﹣m ）在第四象限．故答案为：四．【点睛】此题主要考查点的坐标与象限的关系，解题的关键是熟记各象限对应的点的坐标符号．15．【分析】依据题意得到三个关系式：c ，ab=10，a 2+b 2=c 2，运用完全平方公式即可得到c 的值．【详解】解：∠点(1P 在“勾股一次函数”a b y x c c =+的图象上，把(1P 代入得：a b c c=+，即a b +=， ∠,,a b c 分别是Rt ABC 的三条边长，90C ∠=︒，Rt ABC 的面积为10， ∠1102ab =，222+=a b c ，故20ab =， ∠22()2a b ab c +-=，∠22220c ⎫-⨯=⎪⎪⎝⎭，故24405c =，解得：c =故答案为：【点睛】此类考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理的应用，根据题目中所给的材料结合勾股定理和乘法公式是解答此题的关键．16．5【分析】分别表示出∠ABD 与∠ACD 的周长，再作差即可得出结果．【详解】解：∠AD 是中线，∠BD=DC ，∠AB=17，AC=12，∠C △ABD - C △ACD =AB+AD+BD-AC-AD-DC=AB-AC=5，故答案为：5【点睛】本题考查的是中线的性质，掌握中线的性质是解题的关键．17．y ＝2.1x【详解】根据表格，易得规律：y=2x+0.1x=2.1x ．故答案： 2.1y x = ．18．493【详解】分析: 由图象可以看出，0-1min 内，小刚的速度可由距离减小量除以时间求得，1-3min 内，根据等量关系“距离减小量=小刚跑过的路程+小强跑过的路程”可得出小强的速度；由于小刚的速度始终是180米/分，小强的速度开始是220米/分，则他们的速度之差是40米/分，则10分钟相差400米，设再经过t 分钟两人相遇，利用相遇问题得到180t +120t =400，然后求出t 后加上前面的15分钟可得到小刚从家出发到他们再次相遇的时间总和．详解: 小刚比赛前的速度v 1=（540-440）=100（米/分），设小强比赛前的速度为v 2（米/分），根据题意得2×（v 1+v 2）=440，解得v 2=120米/分，小刚的速度始终是180米/分，小强的速度开始为220米/分，他们的速度之差是40米/分，10分钟相差400米，设再经过t 分钟两人相遇，则180t+120t=400，解得t =43（分） 所以小刚从家出发到他们再次相遇时5+10+43=493（分）． 故答案为：493． 点睛: 本题考查了一次函数的应用：会利用一次函数图象解决行程问题的数量关系，相遇问题，追击问题的综合应用；解答时灵活运用行程问题的数量关系解答是关键． 19．40︒##40度【分析】根据SAS 证明ABE ACD ≌，再利用全等三角形的性质ABD ACD ∠=∠，然后由三角形的外角性质BOC ABD BAC ∠=∠+∠，BOC ACD BDC ∠=∠+∠，可说明BAC BDC ∠=∠，再利用等腰三角形的性质可求出70ABC ACB ∠=∠=︒，最后利用三角形的内角和解答即可．【详解】解：∠EAD BAC ∠=∠，∠BAC EAC EAD EAC ∠-∠=∠-∠，即BAE CAD ∠=∠，在ABE 和ACD 中，AB AC BAE CAD AE AD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∠()ABE ACD SAS ≌，∠ABD ACD ∠=∠，∠BOC ∠是ABO 和DCO 的外角，∠BOC ABD BAC ∠=∠+∠，BOC ACD BDC ∠=∠+∠，∠ABD BAC ACD BDC ∠+∠=∠+∠，∠BAC BDC ∠=∠，∠AB AC =，70ACB ∠=︒，∠70ABC ACB ∠=∠=︒，∠180180707040BAC ABC ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∠40BDC BAC ∠=∠=︒．故答案为：40︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和等知识．根据全等三角形的判定和性质是解题的关键，也是本题的难点．20．1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭##（0.5，0） 【分析】根据111k k x x -=- ，yk ＝1﹣yk ﹣1，求出前几个点的坐标会发现规律，这些点每6个为一个循环，根据规律求解即可．【详解】解：∵A 1（2，1），A 2（﹣1，0），…，Ak （xk ，yk ），…，（k 为正整数），且满足111k k x x -=-，yk ＝1﹣yk ﹣1，∴A 3（12，1），A 4（2，0），A 5（﹣1，1），A 6（12，0），A 7（2，1），A 8（﹣1，0），通过以上几个点的坐标可以发现规律，这些点每6个为一个循环，∵2022＝6×337，∴A 2022的坐标为（12，0）．故答案为：（12，0）．【点睛】本题主要考查规律型：点的坐标，读懂题意，准确找出点的坐标规律是解答此题的关键．21．（1，-2）（答案不唯一）．【分析】直接利用第四象限内点的坐标特点得出x ，y 的取值范围，进而得出答案．【详解】解：∠点P （x ，y ）位于第四象限，并且x≤y+4（x ，y 为整数），∠x ＞0，y ＜0，∠当x=1时，1≤y+4，解得：0＞y≥-3，∠y 可以为：-2，故写一个符合上述条件的点P 的坐标可以为：（1，-2）（答案不唯一）．故答案为（1，-2）（答案不唯一）．【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确把握横纵坐标的符号是解题关键．22．6【分析】根据垂直平分线的性质可得AE=BE ，即可得出AC=BE+CE ，根据∠BCE 的周长即可得答案．【详解】∠DE 是AB 的垂直平分线，∠AE=BE ，∠AB=AC ，AC=AE+CE ，AB=11，∠BE+CE=AC=11， ∠BCE 的周长为17cm ，∠BC+CE+BE=17，即BC+11=17，解得：BC=6．故答案为：6【点睛】本题考查了线段的垂直平分线性质，熟练掌握垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解题关键．23．（503，-503）【分析】根据图象得出点的坐标的规律，依据规律求解即可．【详解】解：根据图象得：2A ，6A ，10A 等在第四象限，每四个点循环一次，∠2010÷4=502⋯2，∠2010A 与2A 都在第四象限，横坐标为：(2010-2)÷4+1=503，纵坐标为-503，故答案为：（503，-503）．【点睛】题目主要考查坐标与图形，点坐标规律探索，理解题意，找出点的坐标的规律是解题关键．24．＞－2【分析】根据待定系数法求出y 1、y 2的函数表达式，再由y 1＞y 2解一元一次不等式即可解答．【详解】解：将x =－1，y 1=0，x =－2，y 1=－3代入y 1＝k 1x ＋b 1中，得：1111032k b k b =-+⎧⎨-=-+⎩，解得：1133k b =⎧⎨=⎩，∠y 1＝3x ＋3，将x =－4，y 2=－1，x =－3，y 2=－2代入y 2＝k 2x ＋b 2中，得：22221423k b k b -=-+⎧⎨-=-+⎩，2215k b =-⎧⎨=-⎩， ∠y 2＝－x －5，由y 1＞y 2得：3x +3＞－x －5，解得：x ＞－2，即当x ＞－2时，y 1＞y 2，故答案为：＞－2．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数表达式、解一元一次不等式，熟练掌握待定系数法求函数表达式的解法步骤是解答的关键．25．30【分析】直接利用角平分线的定义得出∠BOC=12∠AOB=12（90BOD ︒+∠）=1452BOD ︒+∠，进而得出方程∠BOD=12∠COB=12（1452BOD ︒+∠），从而求出答案． 【详解】解：∠90AOD ∠=︒，∠OC 平分∠AOB ， ∠∠BOC=12∠AOB=12（90BOD ︒+∠）=1452BOD ︒+∠， ∠OD 平分COB ∠， ∠∠BOD=12∠COB=12（1452BOD ︒+∠）， ∠∠BOD=30°．故答案为：30．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义，正确得出关于∠BOD 的方程是解题关键． 26．∠∠∠【分析】∠根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和与角平分线的定义表示出∠CAP ，再根据角平分线的定义可得∠ABP ＝12∠ABC ，然后利用三角形的内角和定理整理即可得解；∠先求出∠APB ＝∠FPB ，再利用“角边角”证明∠ABP 和∠FBP 全等，根据全等三角形对应边相等得到AB ＝BF ，AP ＝PF ；∠根据PF ∠AD ，∠ACB ＝90°，可得AG ∠DH ，然后求出∠ADG ＝∠DAG ＝45°，再根据等角对等边可得DG ＝AG ，再根据等腰直角三角形两腰相等可得GH ＝GF ，然后求出DG ＝GH +AF ，根据AFA 可得结论；∠根据直角的关系求出∠AHP ＝∠FDP ，然后利用“角角边”证明∠AHP 与∠FDP 全等，根据全等三角形对应边相等可得DF ＝AH ．【详解】解：∠∠∠ABC 的角平分线BE 和∠BAC 的外角平分线相交于点P ，∠∠ABP ＝12∠ABC ，∠CAP ＝12（90°+∠ABC ）＝45°+12∠ABC ，在∠ABP 中，∠APB ＝180°﹣∠BAP ﹣∠ABP ＝180°﹣（45°+12∠ABC +90°﹣∠ABC ）﹣12∠ABC ＝180°﹣45°﹣12∠ABC ﹣90°+∠ABC ﹣12∠ABC ＝45°，故∠正确； ∠∠PF ∠AD ，∠APB ＝45°（已证），∠∠APB ＝∠FPB ＝45°，∠PB 为∠ABC 的角平分线，∠∠ABP ＝∠FBP ，在∠ABP 和∠FBP 中，APB FPB PB PBABP FBP ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABP ∠∠FBP （ASA ），∠AB ＝BF ，AP ＝PF ，故∠正确；∠∠PF ∠AD ，∠ACB ＝90°，由∠知PD ＝PH ，∠∠DPH 为等腰直角三角形，∠∠PDH ＝45°，∠∠P AF ＝45°，∠AG ∠DH ，∠AP ＝PF ，PF ∠AD ，∠∠P AF ＝45°，∠∠ADG ＝∠DAG ＝45°，∠DG ＝AG ，∠∠P AF ＝45°，AG ∠DH ，∠∠ADG 与∠FGH 都是等腰直角三角形，∠DG ＝AG ，GH ＝GF ，∠DG ＝GH +AF ，∠AFP A ，∠DG+GH ，故∠错误；∠∠∠ACB ＝90°，PF ∠AD ，∠∠FDP +∠HAP ＝90°，∠AHP +∠HAP ＝90°，∠∠AHP ＝∠FDP ，∠PF ∠AD ，∠∠APH ＝∠FPD ＝90°，在∠AHP 与∠FDP 中，AHP FDP APH FPD AP PF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∠∠AHP ∠∠FDP （AAS ），∠DF ＝AH ，∠BD ＝DF +BF ，又∠AB =BF ，∠BD ＝AH +AB ，故∠正确；故答案为：∠∠∠．【点睛】本题考查外角的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是掌握外角的性质，角平分线的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．27．15°【分析】根据三角板的性质和三角形外角的性质求解即可．【详解】∠ADC △是45°的直角三角板，ABE 是30°的直角三角板∠4530ADC ABE =︒=︒∠，∠∠ADC ABE DFB =+∠∠∠∠453015DFB ADC ABE =-=︒-︒=︒∠∠∠故答案为：15°．【点睛】本题考查了三角板的角度问题，掌握三角板的性质和三角形外角的性质是解题的关键．28．32或112 【分析】分两种情况进行讨论，根据题意得出522CP t =-=和922DP t =-=，即可求得．【详解】解：当P 在BC 上时，由题意得2BP t =，∠52CP BC BP t =-=-，∠90DCP DCE ∠=∠=︒，CD 为公共边，∠要使DCP DCE ≌，则需CP CE =，如图1所示：∠2CE =，∠522t -=， ∠32t =， 即当32t =时，DCP DCE ≌；当P 在AD 上时，由题意得2BC CD DP t ++=，∠5BC =，4CD =，∠29DP t =-，∠90CDP DCE ∠=∠=︒，CD 为公共边，∠要使DCP CDE ≌，则需DP CE =，如图2所示：即292t-=，∠112t=，即当112t=时，DCP CDE≌；综上所述：当32t=或112t=时，DCP和CDE全等．故答案为：32或112．【点睛】本题考查了全等三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．29．130°【分析】直接利用角平分线的定义结合度分秒换算方法分析得出答案．【详解】解：∠OE为∠BOD的平分线，∠2∠BOE=∠BOD，∠∠BOE=25°，∠∠BOD=50°，∠∠AOB=∠COD=90°，∠AOB+∠COD+∠AOC+∠BOD=360°，∠∠AOC=360°-∠AOB-∠COD-∠BOD，=360°-90°-90°-50°，=130°．【点睛】此题主要考查了角平分线的定义以及度分秒的换算，正确理解相关定义是解题关键．30．（﹣25，0）【详解】如图，过点A作x轴的平行线，并且在这条平行线上截取线段AA′，使AA′=1，作点B关于x轴的对称点B′，连接A′B′，交x轴于点E，在x轴上截取线段EF=1，则此时四边形ABEF的周长最小．∠A（3，4），∠A′（2，4），∠B（-1，1），∠B′（-1，-1）．设直线A′B′的解析式为y=kx+b，则241k bk b+=⎧⎨-+=-⎩，解得，k=53，b=23．∠直线A′B′的解析式为y=53x+23，当y=0时，53x+23=0，解得x=-25．故线段EF平移至如图所示位置时，四边形ABEF的周长最小，此时点E的坐标为（-25，0）．点睛：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，轴对称-最短路线问题，根据“两点之间，线段最短”确定点E、F的位置是关键，也是难点．31．（1）x=1；（2）三角形的周长为14cm或13cm【分析】（1）先去分母，然后解一元一次方程，最后进行检验即可得；（2）根据题意进行分类讨论：∠当腰长是5cm时，则三角形的三边是5cm，5cm，4cm；∠当腰长是4cm时，三角形的三边是4cm，4cm，5cm；考虑三边能否构成三角形，然后求周长即可得．【详解】（1）解：211x x-=+，方程两边同时乘以：()1x x +得()210x x -+=，210x x --=，1x =检验：1x =时，()10x x +≠，∴1x =是原方程的解；（2）解：等腰三角形的两边长分别为4cm 和5cm ，∠当腰长是5cm 时，则三角形的三边是5cm ，5cm ，4cm ，554+>，满足三角形的三边关系，∴三角形的周长是55414++=（cm ）；∠当腰长是4cm 时，三角形的三边是4cm ，4cm ，5cm ，445+>，满足三角形的三边关系．∴三角形的周长是54413++=（cm ）；综上，三角形的周长为14cm 或13cm ．【点睛】题目主要考查解分式方程及等腰三角形的定义，三角形三边关系等，理解题意，综合运用这些知识是解题关键．32．答案见解析【分析】结合等式的性质利用ASA 可证∠ABC ∠∠EBD ，由全等三角形对应角相等的性质等量代换可得∠C =∠FBD ，根据内错角相等，两直线平行可得AC ∠BD.【详解】解：∠∠ABE =∠CBD (已知)，∠∠ABE +∠EBC =∠CBD +∠EBC (等式的性质)，即∠ABC =∠EBD在∠ABC 和∠EBD 中，ABC EBD AB BEA E ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠∠ABC ∠∠EBD (ASA )，∠∠C =∠D ( 全等三角形对应角相等)∠∠FBD =∠D ，∠∠C =∠FBD (等量代换)，∠AC ∠BD (内错角相等，两直线平行)．故答案为：等式的性质；AB =BE ；ASA ；全等三角形对应角相等；∠FBD ；内错角相等，两直线平行．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质及平行线的判定，熟练的掌握每一步证明的依据是解题的关键.33．(1)见详解(2)50DBC ∠=︒【分析】（1）由“AAS ”可证ABD ECB ≌；（2）由全等三角形的性质可得BD BC =，由等腰三角形的性质可求解．【详解】（1）证明：∠AD BC ∥，∠ADB EBC ∠=∠，在ABD △和ECB 中，A BEC AB ECADB EBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∠ABD ECB ≌（AAS ）；（2）解：∠ABD ECB ≌，∠BD BC =，∠65BDC BCD ∠=∠=︒，∠50DBC ∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质以及等腰三角形的性质，还考查学生运用定理进行推理的能力，题目比较典型，难度适中．34．∠BDC =75°，∠EDC =25°【分析】先根据三角形内角和定理求出∠ACB =50°，再由角平分线的定义求出1===252BCD ACD ACB ∠∠∠，则由三角形内角和定理可求出∠BDC =180°-∠B -∠BCD =75°，再由平行线的性质即可得到∠EDC =∠BCD =25°．【详解】解：∠∠A =50°，∠B =80°，∠∠ACB =180°-∠A -∠B =50°，∠CD 平分∠ACB ，∠1===252BCD ACD ACB∠∠∠，∠∠BDC=180°-∠B-∠BCD=75°，∠DE∥BC，∠∠EDC=∠BCD=25°．【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．35．(1)25°；（2）25°.【详解】试题分析:(1)根据∠MON和∠BOC的度数可以算出∠MOC的度数,(2)根据OC是∠MOB的平分线,可求出∠MOC=65°, ∠BOC=65°,因为∠MON=90°,利用角的和差关系可求出: ∠CON=∠MON∥∠MOC=90°∥65°=25°, ∠BON=∠BOC∥∠CON,即∠BON=65°∥25°=40°.试题解析:(1)因为∠MON=90°,∠BOC=65°,所以∠MOC=∠MON-∠BOC=90°-65°=25°.故答案为25°.(2)因为∠BOC=65°,OC是∠MOB的平分线,所以∠MOB=2∠BOC=130°,所以∠BON=∠MOB-∠MON=130°-90°=40°,所以∠CON=∠COB-∠BON=65°-40°=25°.点睛:本题主要考查角的和差关系以及角平分线的定义进行角度的计算,解决本题的关键要学会分析简单的几何图形,弄清角与角之间的和差关系.36．（1）120°；（2）10°；（3）n°-90°【分析】（1）根据角平分线的定义得到AOB=∠BOC=12∠AOC，再结合∠AOB+∠AOC=180°，可得∠AOC的度数；（2）根据∠AOC得到∠AOB，再根据角平分线的定义得到∠AOP=40°和∠AOQ=50°，从而求出∠POQ；（3）根据（2）中的方法和过程求解即可．【详解】解：（1）如图（1），∠OQ平分∠AOC，且点Q与点B重合，∠∠AOB=∠BOC=12∠AOC，。

2018学年八年级数学沪科版上册【能力培优】专题训练全套(含答案)共41页

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第11章 平面直角坐标系11.1 平面上点的坐标专题一 点的位置与不等式间的关系1.已知点M （3a －9，1－a ）在第三象限，且它的坐标都是整数，则a =（ ）.A.1B.2C.3D.02.在平面直角坐标系中，如果mn ＞0，那么点(m ，∣n ∣)一定在（ ）.A.第一象限或第二象限B.第一象限或第三象限C.第二象限或第四象限D.第三象限或第四象限3.若点A （a -1,a ）在第二象限，则点B （1a a ,a -2）在第 象限. 专题二 点的坐标中的开放题4.若点P （x ，y ）的坐标满足x ＋y ＝xy ，则称点P 为“和谐点”。

请写出一个“和谐点”的坐标，答： .5.已知点P 在第四象限，它的横坐标与纵坐标的和为1，点P 的坐标可以是 （只要写出一个符合条件的坐标即可）.专题三 点的坐标中的规律探究题6.一个质点在第一象限及x 轴、y 轴上运动，在第一秒钟，它从原点运动到（0，1），然后接着按图12-1-10中箭头所示方向运动[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→…，且每秒移动一个单位，那么第35秒时质点所在位置的坐标是（ ）.A.(4，0)B.(5，0)C.(0，5)D.(5，5)7.在直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．且规定，正方形的内部不包含边界上的点．观察如图所示的中心在原点、一边平行于x 轴的正方形：边长为1的正方形内部有1个整点，边长为2的正方形内部有1个整点，边长为3的正方形内部有9个整点，…则边长为8的正方形内部的整点的个数为( )A ．64．B ．49．C ．36．D ．25．8.如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF ，其中C 、D 的坐标分别为(1，0)和 (2，0) ．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶点A 、B 、C 、D 、E 、F 中，会过点(45，2)的是点 ．专题四 点的坐标中的阅读理解题9.（2011·永州）对点（x ，y ）的一次操作变换记为P 1（x ，y ），定义其变换法则如下：P 1（x ，y ）=（x +y ，x -y ）；且规定)),((),(11y x P P y x P n n -=（n 为大于1的整数）．如P 1（1，2 ）=（3，-1），P 2（1，2 ）= P 1（P 1（1，2 ））= P 1（3，-1）=（2，4），P 3（1，2 ）= P 1（P 2（1，2 ））= P 1（2，4）=（6，-2）．则P 2011（1，1-）=（ ）A ．（0,21005 ）B ．（0,-21005 ）C ．（0,-21006）D ．（0,21006）11.一只青蛙在平面直角坐标系上从点（1，1）开始，可以按照如下两种方式跳跃： ①能从任意一点（a ，b ），跳到点（2a ，b ）或（a ，2b ）；②对于点（a ，b ），如果a ＞b ，则能从（a ，b ）跳到（a －b ，b ）；如果a ＜b ，则能从（a ，b ）跳到（a ，b －a ）．例如，按照上述跳跃方式，这只青蛙能够到达点（3，1），跳跃的一种路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）．请你思考：这只青蛙按照规定的两种方式跳跃，能到达下列各点吗？如果能，请分别给出从点（1，1）出发到指定点的路径；如果不能，请说明理由．（１）（3, 5）； （２）（12，60）； （3）（200，5）； （4）（200，6）．【知识要点】1.对平面内任意一点P ,过点P 分别向x 轴、y 轴作垂线,垂足在x 轴、y 轴上对应的数a 、b 分别叫做点P 的横坐标、纵坐标,有序数对(a ,b )叫做点P 的坐标.2.x 轴和y 轴把坐标平面分成四个部分,分别叫做第一、二、三、四象限.各象限内点的坐标符号分别为(+,+)、(-,+)、(-,-)、(+,-).【温馨提示】1.点的坐标是用一个序实数对表示的,有顺序要求,即点(a ,b )和(b ,a )一般不表示同一个点.2.坐标轴上的点不属于任何一个象限,其纵横坐标的积为0.3.利用平面直角坐标系描述某些地理位置，坐标系的确定是关键,有些是自由确定,有些要根据题目所给条件进行确定.【方法技巧】1.在根据点的位置确定字母的取值范围时,根据题目条件得到不等式组是关键.2.在坐标系中,求多边形的面积,常通过向坐标轴作垂线,将多边形分割成直角三角形、直角梯形、长方形等的面积和继续计算.参考答案1.B 提示:在第三象限的点的横坐标为负，纵坐标也为负，故39010a a -<⎧⎨-<⎩，解得13a <<，又a 为整数，故a = 2.2.A 提示:由mn ＞0，知m 、n 同号,当m ＞0时,n ＞0,|n |＞0,点(m ，|n |)在第一象限;当m ＜0时,n ＜0,|n |＞0,点(m ，|n |)在第二象限.3.三 提示:由点A 在第二象限,可得⎩⎨⎧><-001a a ,解得0＜a ＜1,所以a-1＜0,a -2＜0,从而1-a a ＜0,所以点B 在三象限. 4.答案不唯一,如（2，2）或者（0，0） 提示:根据已知数据，适当取定x 的值，解方程，求出y 即可.如取x ＝0，得y ＝0；取x ＝2，得y ＝2.5.答案不唯一,例如（2，－1）.从表格中可以看出,时间为4n (n 为自然数)时质点的坐标为(2n ,0),时间为(4n -1)秒时质点的坐标为(2n -1,0),则第35妙时,n =3,此时质点的坐标为(5,0),应选B.7.B 提示:由题意可知，边长为1和2时，只有一个整点，边长为3和4时中间的整点为3×3=9个，边长为5和6时，整点为5×5=25 个，边长为7和8时，整点为7×7=49个．8.B 提示:因为C 、D 两点坐标分别为（1，0）、（2，0）,所以按题中滚动方法点E 经过点（3，0），点F 经过点（4，0），点A 经过点（5，0），点B 经过(6,0).因为六边形的边长为1,所以而该六边形中AD =BE =CF =2,而点（45，0）的横坐标是6的倍数多3,，该六边形滚动6次正好一周,故可知经过（45，0）的点经过（3，0），所以点E 经过点（45，0）,因为BE =2,所以点B 经过点（45，2）.9.D 提示:根据定义的变换法则P 1（1，1-）=（0，2），P 2（1，1-）=（2，—2），P 3（1，1-）=（0，4），P 4（1，1-）=（4，—4），从而找出其规律：P 2n （1，1-）=（n n 2,2- ），P 2n —1（1，1-）=)2,0(n ，因此P 2011（1，1-）=（0,21006）.11.（1）能到达点（3，5）和点（200，6）．从（1，1）出发到（3，5）的路径为：（1，1）→（2，1）→（4，1）→（3，1）→（3，2）→（3，4）→（3，8）→（3，5）．从（1，1）出发到（200，6）的路径为：（1，1）→（1，2）→（1，4）→（1，3）→（1，6）→（2，6）→（4，6） →（8，6）→（16，6）→（10，6）→（20，6）→（40，6）→（80，6） →（160，6）→（320，6）→（前面的数反复减20次6）→（200，6）．（2）不能到达点（12，60）和（200，5）．理由如下：∵a和b的公共奇约数=a和2b的公共奇约数=2a和b的公共奇约数，∴由规则①知，跳跃不改变前后两数的公共奇约数．∵如果a＞b，a和b的最大公约数=（a－b）和b的最大公约数，如果a＜b，a和b的最大公约数=（b－a）和b的最大公约数，∴由规则②知，跳跃不改变前后两数的最大公约数．从而按规则①和规则②跳跃，均不改变坐标前后两数的公共奇约数．∵ 1和1的公共奇约数为1，12和60的公共奇约数为3，200和5的公共奇约数为5.∴从（1,1）出发不可能到达给定点（12，60）和（200，5）．11.2 图形在坐标系中的平移专题一 图形平移中的规律探究题1.）在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 4（ ， ），A 8（ ， ），A 12（ ， ）； （2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）；（3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．2.如图所示，矩形ABCD 的顶点坐标分别为A (1,1),B (2,1),C (2,3),D (1,3).(1)将矩形ABCD 向上平移2个单位，画出相应的图形，并写出各点的坐标；(2)将矩形ABCD 各个顶点的横坐标都减去3，纵坐标不变，画出相应的图形；(3)观察（1）、（2）中的到的矩形，你发现了什么？第12章 一次函数12.1 函数专题一 函数图象信息题1.下列各图中，是函数图象的是（ ）．2.在今年我市初中学业水平考试体育学科的女子800米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程 S （米）与所用时间 t （秒）之间的函数O 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7A 8 A 9 A 10A 11 A 12 xy图象分别为线段OA 和折线OBCD . 下列说法正确的是( ).A.小莹的速度随时间的增大而增大B.小梅的平均速度比小莹的平均速度大C.在起跑后 180 秒时，两人相遇D.在起跑后 50 秒时，小梅在小莹的前面3.如图所示的是某市2013年6月某一天的气温随时间变化的情况，请观察此图，回答下列问题．（1）这天的最高气温是 ℃；（2）这天共有 个小时的气温在31℃以上；（3）这天在 （时间）范围内温度在上升；（4）请你预测一下，次日凌晨1点的气温大约是多少度？专题二 函数中的阅读理解题4.在密码学中，直接可以看到内容的为明码，对明码进行某种处理后得到的内容为密码.有一种密码，将英文26个字母a ，b ，c ，…，z （不论大小写）依次对应1，2，3，…，26这26个自然数（见表格）.当明码对应的序号x 为奇数时，密码对应的序号y ＝12x +；当明码对应的序号x 为偶数时，密码对应的序号y ＝x +13.按上述规定，将明码“love ”译成密码是（ ）.A.gawqB.shxcC.sdriD.love5.阅读下面材料，再回答问题：一般地，如果函数x =f （x ）对于自变量取值范围的的任意x ，都有f （-x ）=-f （x ），•那么y =f （x ）就叫做奇函数；如果y =f （x ）对于自变量取值范围内的任意x ，都有f （-x ）=•f （x ），那么y =f （x ）就叫做偶函数．例如：f （x ）=x 3+x ，当x 取任意实数时，f （-x ）=（-x ）3+（-x ）=-x 3-x =-（x 3+x ），即f （-x ）=•-f （x ），因此f （x ）=x 3+x 为奇偶数．又如f （x ）=│x │，当x 取任意实数时，f （-x ）=│-x │=│x │=f （x ），即f （-x ）=f （x ），因此f （x ）=│x │是偶函数．问题（1）：下列函数中：①y =x 4；②y =x 2+1；③y =31x ；④y y =x +1x． 奇函数有_________，偶函数有________（只填序号）．问题（2）：请你再分别写出一个奇函数、一个偶函数．专题三 函数中的规律探究题6.观察图1至图5中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放，记第n 个图中小黑点的个数为y .(2)用函数解析式来表示y与n之间的关系.【知识要点】1.在一个变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在它允许取值范围内的每一个值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.2.函数的表示方法一般有三种:(1)解析式法;(2)列表法;(3)图象法.3.在函数解析式中,用自变量的值带入求得的值叫做函数值.函数自变量的取值由所给函数解析式确定,要保证函数解析式有意义.【温馨提示】1.常量与变量是相对于一个变化过程而言,变化过程不同,它们可能发生变化,要能具体问题具体分析,防止因知识迁移发生错误.2.函数的三种表示方法之间是可以相互转化的,在具体的问题中,应选择合理的函数表示方法.【方法技巧】1.函数的实质是研究两个变量之间的对应关系,判断一个关系式是不是函数关系,关键是看自变量取一个值后,是不是只有唯一值与其对应.2.自变量的取值范围主要考虑:(1)分母中有自变量时,应使分母不能为零;(2)当含有开偶次方的式子时,要保证被开方数非负;(3)自变量的取值要使实际问题有意义.参考答案:1.B 提示:紧扣函数的概念，抓住函数概念中的自变量与函数之间的一一对应关系，结合图象知A、C、D中都存在一个x值对应了两个y的值，故都不是函数．故选B2.D 提示:由于OA是一条线段，说明小莹跑步时是匀速的，速度为800÷180=409（米/秒），而OBCD是折线，说明小梅跑步的速度是变化的，其平均速度为800÷220=4011（米/秒），从而可知选项A、B都是错误的；在起跑180秒后，小莹到达了终点，而小梅还在途中，故选项C错误；从图象上可以看出起跑后50秒时，小梅跑的路程要比小莹跑的路程多，所以小梅在小莹的前面,故D正确.3.（1）37 （2）9（即从12时到21时）（3）3～15时（4）23～26℃均可（答案不唯一）.24.B 提示:依题意，当明码为“love ”时，有l →12，是偶数，即密码对应的序号y ＝2x +13＝122+13＝19，所以对应的密码为s ；同理，o →15，是奇数，即密码对应的序号y ＝12x +＝1512+＝8，所以对应的密码为h ；v →22，是偶数，即密码对应的序号y ＝2x +13＝222+13＝24，所以对应的密码为x ；e →5，是奇数，即密码对应的序号y ＝12x +＝512+＝3，所以对应的密码为c .所以将明码“love ”译成密码是“shxc ”.故应选B.5.（1）③⑤，①② （2）奇函数y =1x ，偶函数y =x 2. （答案不唯一）. 6．(1) 13 21 31 (2) y =n 2－ n +1.12.2 一次函数专题一 一次函数解析式的确定 1.如图，在平面直角坐标系中，线段AB 的端点坐标为A （－2,4），B （4，2），直线y =kx -2与线段AB 有交点，则k 的值可能是（ ） A.-5 B.-2 C.3 D. 52.小明受《乌鸦喝水》故事的启发，利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息，解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm ；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）•之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？专题二 一次函数中的开放性问题3. “一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体，挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比， ，则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式是y =10+0.5x (0≤x ≤5).”王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染，被污染部分是确定函数关系式的一个条件，你认为该条件可以是： （只需写出一个）．4.阅读函数图象,并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB 表示某个实际问题的函数图象,请你编写一道符合图象意义的应用题;(2)根据你所给出的应用题分别指出x 轴,y 轴所表示的意义,并写出A ,B 两点的坐标;(3)求出图象AB 的函数解析式,并注明自变量x 的取值范围．专题三 一次函数中的实验操作题5.在平面直角坐标系中，点P 从原点O 出发，每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P 从点O 出发，平移1次后，2次后，3次后可能到达的点，并把相应点的坐标填写在表格中：y x B（2）观察发现：任一次平移，点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上，如：平移1次后在函数的图象上；平移2次后在函数的图象上……由此我们知道，平移n次后在函数的图象上．（请填写相应的解析式）（3）探索运用：y 上的点Q，且平移的路径长不小于点P从点O出发经过n次平移后，到达直线x50，不超过56，求点Q的坐标．【知识要点】1.函数y=kx+b(k≠0)叫做一次函数,当b=0时,叫做正比例函数.2.一次函数y=kx+b的图象是一条直线,其位置是由k和b来确定的.只要知道一次函数图象两个点的坐标,就可以画出该函数的图象.3.一次函数y=kx+b有下列性质:当k＞0时,y随着x的增大而增大(图象是自左向右上升的).当k＜0时,y随着x的增大而减小(图象是自左向右下降的).4.求一次函数的解析式常用的方法是待定系数法.【温馨提示】1.弄清一次函数和正比例函数的关系,正比例函数是一次函数的特殊情形,即正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.2.一次函数的性质可借助函数的图象直观得到,注意“数形结合”思想的合理利用.3.确定一次函数解析式的基本方法是待定系数法,其实质是二元一次方程组知识的应用.除此以外,还可以根据题目所给基本数量关系或数学公式列出一次函数的解析式.【方法技巧】1.直线y=kx+b的位置是由k和b的符号决定的,其中k决定直线从左到右是呈上升趋势还是下降趋势,b决定直线与y轴的交点位置.2.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是:(1)设含有待定系数的函数解析式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程(组),得到待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式.参考答案1.B 提示:将A（－2，4）代入y＝kx－2，得k＝－3，将B（4，2）代入y＝kx－2得k ＝1，从而得k值在－3与1之间，因此只有B符合条件.2.（1）（36-30）÷3=2；即放入一个小球量筒中水面升高2cm．（2）放入小球后量筒中水面的高度y(cm)与小球个数x（个）之间的一次函数关系式y=30+2x．（3）当y=49时，30+2x=49，解得x=9.5，所以至少放入10个小球时有水溢出．3.如果悬挂2kg物体弹簧总长度为11cm. (答案不唯一).4.答案一：(1)小明从家跑步去离家800米的学校,用了5分钟,立即又用了10分钟步行回到家中;(2)x 轴表示时间,y 轴表示距离,A (5,800),B (15,0);(3)图象AB 的解析式为y =－80x +1200(5≤x ≤15)． 答案二：一容器深8米,往里注满水用去5分钟,接着打开底部的排水管放完全部水用去10分钟．此时,x 轴表示时间（分）,y 轴表示容器内水面的高（米）,A (5,8),B (15,0);图象AB 的解析式为y =412(515)5x x -+≤≤)． 答案三：小明用5分钟把一杯冰水混合物加热道50℃后,立即把它放入冰柜中,又经过10分钟,杯中的水又降到0℃,此时,x ,y 轴分别表示时间与温度,A (5,50),B (15,0);图象AB 的解析式及自变量的取值范围,由同学们完成．（2）22+-=x y ；42+-=x y ；n x y 22+-=．（3）设点Q 的坐标为),(y x ，依题意，⎩⎨⎧=+-=.,22x y n x y解这个方程组，得到点Q 的坐标为)32,32(nn ． ∵平移的路径长为y x +，∴50≤34n≤56． ∴37.5≤n ≤42．而点Q 的坐标为正整数，因此点Q 的坐标为)26,26(，)28,28(．12.3 一次函数与二元一次方程 12.4 综合实践 一次函数模型的应用专题一 函数图象与坐标轴围成的图形面积问题1.如图，已知两直线y ＝－23x ＋3和y ＝2x －1，求它们与y 轴所围成的三角形的面积.y2.如图,直线133+-=x y 与x 轴、y 轴分别交于点A 、B,以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC,且∠BAC=900.如果在第二象限内有一点P )21,(a ,且△ABP 的面积与Rt △ABC 的面积相等,求a 的值.3.如图,△AOB 为正三角形,点B 的坐标为(2,0),过点C(－2,0)作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，且使△ADE 和△DCO 的面积相等.求直线l 的解析式.专题二 实际应用题4.某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．(1)分别写出甲、乙两厂的收费y 甲 (元) 、y 乙(元)与印制数量x (本)之间的关系式； (2)问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．专题三 一次函数模型的应用5.某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费y （元）与复印页数x （页）的关系⑴若y 与x 满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；⑵现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费.则乙复印社每月收费y （元）与复印页数x （页）的函数关系为 ；⑶在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？【知识要点】1.一次函数y=kx+b,当y=0时,得方程kx+b=0,其解是函数图象与x 轴的交点的横坐标.2.不等式kx+b ＞0或kx+b ＜0的解集,相当于一次函数y=kx+b 的图象在x 轴上方或下方时所对应的x 的值.【温馨提示】1.借助一次函数与一元一次方程间的关系,可以通过解方程的方法得到一次函数图象与x 轴的交点的横坐标,也可以用一次函数的图象求一元一次方程的解,但求出的解一般是近似解.2.利用一次函数求一元一次不等式的解集,更多的是考查对图象的理解能力,这也说明在学习一次函数时,“数形结合”思想在这一章的重要性.3.用一次函数图象解方程或不等式未必简单,但是能发现它们之间的内在联系,能直观地看到方程的解与不等式的解在图形中的位置.【方法技巧】1.由于任何一个一元一次方程都可以转化为ax+b=0(a 、b 为常数)的形式,所以解一元一次方程可转化为:当某个一次函数的值为0时,求相应的自变量的值,从图象上看,这相当于已知直线y=ax+b,确定它与x 轴的交点的横坐标.2.由于任何一元一次不等式都可以转化为ax+b ＞0或ax+b ＜0(a 、b 为常数,a ≠0)的形式,所以解一元一次不等式可以看作:当一次函数值大(小)于0时,求自变量的相应的取值范围.3.在用函数图象解一元一次不等式时,对较复杂的不等式应先化简为ax+b ＞0或ax+b ＜0(a 、b 为常数,a ≠0)的形式,然后作出相应的函数图象进行解决,可使解题过程相对简单.参考答案1. 解:设直线y ＝－23x ＋3与y 轴的交点是A ，直线y ＝2x －1与y 轴的交点是B ，两直线的交点是C .在y ＝－23x ＋3中，令x ＝0，得y ＝3，即点A 的坐标为（0，3）；在y＝O200 400 600 8001000 x (页)O200 400 600 8001000x (页)2x －1中，令x ＝0，得y ＝－1，即点B 的坐标为（0，－1）；由23,321y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=-⎩ 解得3,22.x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩所以两直线的交点坐标为C （32，2），即AB ＝4，点C 到AB 的距离为32.则两直线y ＝－23x ＋3和y ＝2x －1与y 轴所围成的△ABC 的面积＝12×4×32＝3（平方单位）. 2. 解:由已知可得A )0,3(、B(0,1),OA=3,OB=1. 故AB=222=+OB OA . 因此,S △ABC =21×2×2=2.连PO,则S △ABP =S △PBO +S △ABO －S △APO =213213121121⨯⨯-⨯⨯+⨯⨯a =43232-+-a . 又S △ABP =S △ABC ， ∴243232=-+-a ， 解得283-=a . 3 解:由△ADE 和△DCO 的面积相等,可知△AOB 和△CBE 的面积相等, 而△AOB 的面积为3.设点E 的坐标为(00,y x ),则△CBE 的面积为20y .由320=y ,得230=y . 又由直线AB 的解析式为)2(3--=x y ,而E 在AB 上,则)2(300--=x y ,有23=o x ,得E 的坐标为(23,23). 又因为点C 的坐标为(－2,0), 所以直线l 的解析式为)2(73+=x y . 4. 解:(1) y 甲＝x ＋500，y 乙＝2x ．(2)当y 甲＞ y 乙时，即x ＋500＞2x ,则x ＜500 ， 当y 甲＝y 乙时， 即x ＋500＝2x ,则x ＝500， 当y 甲＜ y 乙时，即 x ＋500＜2x , 则x ＞500，所以该学校印制学生手册数量小于500本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于500本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于500本时选择两厂费用都一样．5. 解:⑴根据表中的数据可知y是x的正比例函数，设y=kx，将x=100，y=40代入y=kx，得k=0.4，所以函数的解析式为y=0.4x.⑵y=0.15x+200(x≥0);⑶画出函数图象,可得交点坐标为(800,320),可看出当复印页数等于800时，两家都可选，当复印页数大于800时则选择乙复印社更合算，当复印页数小于800时则选择甲复印社更合算.因此,当每月复印页数在1200左右时，应选择乙复印社更合算.第13章三角形中的边角关系13.1 三角形中的边角关系专题一三角形边角关系的应用1．若a、b、c是△ABC的三边，化简|a－b－c|＋|b－c－a|＋|c－a－b|.2.已知a、b、c是三角形的三边，且满足a2+b2+c2－ab－bc－ca=0.试判断三角形的形状.3.一块模板如图所示，按规定AF与DE的延长线相交成70°，但交点不在模板上，不便测量，于是王师傅连接AD，测得∠FAD=34°,∠ADE=76°,请你根据这两个角度判断模板是否合格？并说明理由.专题二三角形中的探究题4.已知△ABC中,三边长a,b,c都是整数,且满足a＞b＞c,a=8,那么满足条件的三角形共有多少个?5.湖边上有A，B两个村庄（如图），从A到B有两条路可走，即A→P→B和A→Q→B．试判别哪条路更短，并说明理由．6.如图所示，已知∠xOy=90°，点A，B分别在射线Ox，Oy上移动，BE是∠ABy的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线交于点C，试问∠ACB的大小是否发生变化？【知识要点】1.不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接组成的图形叫做三角形.2.三角形的三边要满足:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.3.三角形按边分可分为不等边三角形和等腰三角形,按角分可分为直角三角形、锐角三角形和钝角三角形.4.三角形的内角和等于180°.【温馨提示】1.不是任何三条线段首尾顺次连接都可以组成三角形,这三条线段必须满足三角形的三边关系定理.2.三角形按边可分为不等边三角形和等腰三角形,其中等腰三角形又包含腰和底边不相等的等腰三角形和等边三角形.3.三角形的角平分线、高、中线都是线段,在理解这些概念时,可以从画图入手,有助于理解三条角平分线、中线、高交于一点.【方法技巧】1.确定三角形个数时,要按照大小顺序或从图中的某一条线段开始沿着一定方向去数或先固定一个顶点,再确定另外两个顶点来数.2.判断已知长度的三条线段能否组成三角形的方法是:当三条线段互不相等时,只需要检验较短的两条线段之和是否大于较长线段,若大于则能组成,否则不能组成.3.在解决与三角形内角有关的问题时,可通过已知条件,设其中的一个角的度数为x,再根据三角形的内角和等于180°列方程或方程组解决.参考答案1.由三角形三边间的关系,得a＜b＋c,b＜c＋a,c＜a＋b，即a－b－c＜0，b－c－a＜0，c－a－b＜0，故原式＝－（a－b－c）－（b－c－a）－（c－a－b）＝a＋b＋c.2.因为a2+b2+c2－ab－bc－ca=0，则有2a2+2b2+2c2－2ab－2bc－2ca=0.于是有（a－b）2+（ｂ－ｃ）2+（ｃ－a）2＝0.此时有非负数的性质知（a－b）2=0；（ｂ－ｃ）2=0；（ｃ－a）2＝0，即a－b=0；ｂ－ｃ=0；ｃ－a=0.故a = b = c.所以此三角形是等边三角形.3.延长AF、DE相交于点O，则在△ADO中,根据三角形三个内角和等于180°，可得∠AOD=180°－∠FAD－∠ADE=180°－34°－76°=70°,所以模板合格.4.由三角形的三边关系,知b+c＞a,而b＞c,a=8,可知b＞4,且b＜8,又因为b是整数,因此满足条件的三角形共有1+3+5=9(个).5.A→Q→B更短，延长AQ交BP于E．△APE中，AP+PE>AQ+QE①，△BEQ中，QE+BE>BQ②，①+②得，AP+PE+QE+BE>AQ+QE+BQ，即AP+PB>AQ+BQ．6.不会变化．∠ACB=45°．理由：因为∠OBA+∠OAB=90°，所以∠C=12（180°-•∠ABO-∠BAO）=45°3.在直角坐标系中，△ABC 的三个顶点的位置如图所示，现将△ABC 平移使得点A 移至图中的点A ′的位置．(1)在直角坐标系中，画出平移后所得△A′B′C′（其中B ′、C ′分别是B 、C 的对应点）．(2)计算：对应点的横坐标的差：=-A A x x ' ，=-B B x x ' ，=-C C x x ' ；对应点的纵坐标的差：=-A A y y ' ，=-B B y y ' ，=-C C y y ' .(3)从（2）的计算中，你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来．(4)根据上述规律，若将△ABC 平移使得点A 移至A ″（2，-2），那么相应的点B ″、C ″（其中B ″、C ″分别是B 、C 的对应点）的坐标分别是 、 ．专题二 图形平移中的规律探究题4.初三年级某班有54名学生，所在教室有6行9列座位，用（m ，n ）表示第m 行第n 列的座位，新学期准备调整座位，设某个学生原来的座位为（m ，n ），如果调整后的座位为（i ，j ）,则称该生作了平移[a ,b ]=[m - i ，n - j ]，并称a +b 为该生的位置数.若某生的位置数为10，则当m +n 取最小值时，m •n 的最大值为 .5.国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格，而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘，图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.(1)在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”，她所在的位置可用“（2，3）”来表示，请说明“皇后Q ”所在的位置“（2，3）”的意义，并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.(2)如图丙也是一个4×4的小方格棋盘，请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”，使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q 即可）.1 23 4 甲1 2 3 4行列 乙1 2 3 4 丙 第5题图【知识要点】1.点的平移变换与坐标的变化规律是：点(x ，y )右（左）移m 个单位，得对应点(x ±m ，y )，点(x ，y )上（下）移n 个单位，得对应点(x ，y ±n ).2.图形的平移变换与坐标的变化规律一般是通过从图形中特殊点,转化为点的平移变换解决.【温馨提示】1.平移只改变物体的位置,不改变的物体的形状和大小,因此,平移前后图形的面积不变.2.一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之,如果图形上的点的坐标发生变化,那么这个图形进行了平移.【方法技巧】1.点的平移与其坐标的变化规律是解决平移问题的关键,平移的方向决定了坐标是加还是减,平移的距离决定了加(或减)的数值.2.作平移后的图形时,可先作出平移后图形中某些特殊点,然后再连结即可得到所需要的图形.参考答案1.⑴ A 4（2，0）； A 8（4，0）； A 12（6，0）； ⑵ A 4n （2n ,0）；⑶ 向上．2.(1)将矩形向上平移2个单位，画出图形（略），矩形相应点的坐标为11(1,3),(2,3)A B ,11(2,5),(1,5)C D .(2) 22(2,1),(1,1)A B --，22(1,3),(2,3)C D --.图形略.（3）发现（1）、（2）中的两图形形状、大小完全相同.3.(1)平移后的图形如图; (2)5 5 5 1 1 1 (3)对应点的横坐标的差都相等；对应点的纵坐标的差都相等（保持不变）;(4)（4，-3），（6，0）.4.36 提示:由已知，得a +b =m -i +n -j ，即m -i +n -j =10，所以m +n =10+i +j ，当m +n 取最小值时，i +j 最小为2，所以m +n 的最小值为12，因为m +n =12=3+9=4+8=5+7=6+6=…，m •n 的最大值为6×6=36．5.(1)说明皇后在第2列,第3行的位置,不能被控制的位置有(4,4),(1,1),(3,1),(4,2);(2)放在如(1,2),(2,4),(3,1),(4,3)四个位置.13.2 命题与证明。

沪科版数学八年级上学期全册综合测试试卷(含答案)

沪科版数学八年级上学期全册综合测试试卷(含答案)

八年级数学试题时间：120分钟 满分150分一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分）1.在平面直角坐标系中，点P(-1,4)一定在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.点P 在第二象限，P 到x 轴的距离是4，到y 轴的距离是3，那么点P 的坐标为 （ ）A.（-4，3）B.（-3，-4）C.（-3，4）D.（3，-4） 3.一次函数y=﹣2x ﹣3不经过 （ ） A ．第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.下列图形中，为轴对称图形的是 （ ）5.函数y=21x 的自变量x 的取值围是 （ ） A ．x ≠2 B. x ＜2 C. x ≥2 D. x ＞26在△ABC 中，∠A ﹦31∠B ﹦51∠C ，则△ABC 是 （ ）A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 无法确定7.如果一次函数y ﹦kx ﹢b 的图象经过第一象限，且与y 轴负半轴相交，那么（ ） A. k ﹥0,b ﹥0 B. k ﹥0,b ﹤0 C. k ﹤0,b ﹥0 D. k ﹤0, b ﹤08.如图，直线y ﹦kx ﹢b 交坐标轴于A ，B 两点，则不等式kx ﹢b ﹥0的解集是（ ） A. x ﹥-2 B. x ﹥3 C. x ﹤-2 D. x ﹤39.如图所示，OD=OB,AD∥BC,则全等三角形有（）A. 2对B. 3对C. 4对D. 5对10. 两个一次函数y＝－x＋5和y＝﹣2x＋8的图象的交点坐标是（）A.（3，2）B.（-3，2）C.（3，-2）D.（-3，-2）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，满分20分）11.通过平移把点A（2，-1）移到点A’（2，2），按同样的平移方式，点B（-3，1）移动到点B’，则点B’的坐标是.12.如图所示，将两根钢条A A’、B B’的中点O连在一起，使A A’、B B’可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，则A’ B’的长等于槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA’ B’的理由是.13.某地雪灾发生之后，灾区急需帐篷。

沪教版(上海)八年级上册数学 16.1二次根式(2)同步练习

沪教版(上海)八年级上册数学 16.1二次根式(2)同步练习
19．已知实数 在数轴上如图，化简 的值
20．(1)当 ，求 的值．
(2)当0<x<3时，化简 ．
21．计算：
=， =， =， =， =，
（1）根据计算结果，回答： 一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来．
（2）利用你总结的规律，计算： ．
22．பைடு நூலகம்读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：3＋2 ＝(1＋ )2，善于思考的小明进行了以下探索：
故选C.
6．B
【解析】解：（1﹣x） =﹣ =﹣ ．故选B．
7．D
【解析】如图所示：可得，a+b<0，a−b<0，
故原式=−(a+b)−(a−b)=−2a.
故选：D.
8．C
【解析】解：∵ 是整数，且n为正整数，∴n≥0，∴n+5≥5，5+n为9，16等等，即n的值为4，11等等，∴正整数n的最小值是4，故选C．
17.（1）解：原式＝４－３＋３× －６＝－４
（2）解：原式＝ ×５－ × －４＝１
18.解：小军的解答错误．∵a＝９,１－a＜０,∴ ＝a－１
19．2c-a.
【解析】试题分析：
由图可知： ，从而可得： ，然后根据“绝对值的意义”化简即可.
试题解析：
∵从数轴可知： ，
∴ ，
∴
=
=
= .
20．(1) ；
1．B
【解析】解： ，故选B．
2．C
【解析】根据二次根式的性质和化简，可知 = .
故选：C.
3．D
【解析】根据二次根式的性质可得， ，故选D.
4．B
【解析】试题解析：A. =4，故原选项错误；

思维训练培训八上数学第5讲：等腰三角形

思维训练培训八上数学第5讲：等腰三角形

思维训练培训八上数学第5讲：等腰三角形【思维入门】例1：如图，BD是等腰△ABC底边AC上的高线，DE∥BC角AB于点E，求证：△BED是等腰三角形。

例1—1：如图，∠ABC的平分线BF与△ABC中∠ACB相邻的外角的平分线CF相交于点F，过点F作DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E，（1）图中有哪几个等腰三角形？请说明理由。

（2）BD，CE，DE之间存在着什么关系？请证明。

【思维拓展】例2：等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为30°，则等腰三角形的顶角为。

例3：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝20°，且AD＝AE，则∠CDE＝。

例4：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DE，∠BAD＝20°，∠EDC＝10°，则∠DAE的度数为。

【思维升华】例5：老师布置了一道思考题：如图1，点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上，且BM＝CN，AM，BN交于点Q，求证：∠BQM＝60°。

（1）请你完成这道思考题；（2）做完（1）后，同学们在老师的启发下进行了反思，提出了许多问题，如：①若将题中“BM＝CN”与“∠BQM＝60°”的位置交换，得到的是否仍是真命题？②若将题中的点M，N分别分别移动到BC，AC的延长线，是否仍能得到∠BQM＝60°？③若将题中的条件“点M，N分别在正三角形ABC的BC，AC边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上” ，是否仍能得到∠BQM ＝60°？……请你作出判断，在下列横线上填写“是”或“否”：①；②；③。

对②，③的判断，选择一个给出证明。

【思维探究活动】例：小区内有一个三角形小花坛，现在小明想把它分割成两个等腰三角形，使之可以种上不同的花，但是一定可以分成两个等腰三角形吗？于是小明开始探索三角形可以被分割成两个等腰三角形的条件，小明把三角形花坛抽象成几何图形，如图1，△ABC中，设∠A＝α，∠B＝β，∠C＝γ。

沪教版(上海)八年级上册数学 第十七章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法 同步练习题2(含答案)

沪教版(上海)八年级上册数学 第十七章 一元二次方程17.2 一元二次方程的解法 同步练习题2(含答案)

17.2 一元二次方程的解法 同步练习题2一、选择题1.已知关于x 的一元二次方程220x x m --=，用配方法解此方程，配方后的方程是（ ）A ．2(1)1x m -=+B ．2(1)1x m +=+C ．22(1)1x m -=+D ．22(1)1x m +=+2．用配方法解下列方程时，配方有错误的是（ ） A ．22990x x --=化为2(1)100x -= B ．22740t t --=化为2781416t ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．2890x x ++=化为2(4)25x +=D ．23420x x --=化为221039x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 3．若231M a a =--，232N a a =-+-，则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M N =B ．M N ≤C ．M N ≥D ．无法确定 4．不论x 、y 为何实数，代数式22247x y x y ++-+的值 ( )A ．总小于2B ．总不小于7C ．为任何实数D ．不能为负数5．已知，则的值等于（ ）A.4B.-2C.4或-2D.-4或26．若t 是一元二次方程的根，则判别式和完全平方式的关系是( )A.△=MB. △＞MC. △＜MD. 大小关系不能确定二、填空题 7．（1）x 2-43x+ =（ ）2； （2）x 2+px+ =（ ）2. 8．已知223730216b a a b -+-+=，则4a b -的值为 ． 9．已知4x 2-ax+1可变为（2x-b ）2的形式，则ab=_______．10．已知实数,m n ，满足21m n -=，则代数式22268m n m +++的最小值等于 ． 11．把一元二次方程3x 2-2x-3=0化成3(x+m)2=n 的形式是___ ________；若多项式x 2-ax+2a-3是一个完全平方式，则a=_________.12．a2+b2﹣4a+2b+5=0，则b a的值为．三、解答题13. 用配方法解方程.(1) 3x2-4x-2=0；(2)x2-4x+6=0．14. 用公式法解下列方程：2ab x a x b x a b(1)()+=+>．(1)210--=；（2）22222 x ax15．用配方法证明：二次三项式﹣8x2+12x﹣5的值一定小于0．16．已知在⊿ABC中,三边长a、b、c ,满足等式a2-16b2-c2+6ab+10bc=0，求证:a+c=2b答案与解析一、选择题1．【答案】A ；【解析】配方的步骤是：(1)移项，把常数项移到等号右边；(2)把二次项系数化为1，即在方程两边同时除以二次项系数；(3)配方，在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方．2．【答案】C ；【解析】选项C ：2890x x ++=配方后应为2(4)7x +=． 3．【答案】C ；【解析】解：()()22=3132M N a a a a -----+- 2441a a =-+()221a =-∵()2210a -≥∴0M N -≥∴M N ≥故选：C ．4．【答案】D ；【解析】2222247(1)(2)22x y x y x y ++-+=++-+≥．5．【答案】A ；【解析】原方程化简为：（x 2+y 2）2-2(x 2+y 2)-8=0,解得x 2+y 2=-2或4，-2不符题意舍去.故选A.6．【答案】A .【解析】由t 是方程的根得at 2+bt+c=0,M=4a 2t 2+4abt+b 2=4a(at 2+bt)+b 2= b 2-4ac=△.故选A.二、填空题 7．【答案】（1）49；23x -； （2）24p ；2p x +. 【解析】配方:加上一次项系数一半的平方.8．【答案】12－； 【解析】将原式进行配方，得2291304216b a a b ⎛⎫⎛⎫-++-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即2231024a b ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ∴ 302a -=且104b -=， ∴ 32a =，14b =． ∴ 31314422422a b -=-=-=-． 9．【答案】4；【解析】4x 2-ax+1=(2x-b)2化为4x 2-ax+1=4x 2-4bx+b 2,所以241a bb =-⎧⎨=⎩－ 解得41a b =⎧⎨=⎩或41a b =-⎧⎨=-⎩ 所以4ab =.10．【答案】15．【解析】将21m n -=变式为21,1n m m =-≥，∴()222226886410m n m m m m +++=++=+-， ∵()2425m +≥，∴()241015m +-≥，故代数式的最小值为15.11．【答案】；2或6. 【解析】3x 2-2x-3=0化成； 即2(-)232a a =-，a=2或6.12.【答案】；【解析】解：∵a 2+b 2﹣4a+2b+5=0， ∴a 2﹣4a+4+b 2+2b+1=0，即（a ﹣2）2+（b+1）2=0，则a ﹣2=0且b+1=0，解得：a=2，b=﹣1，则b a =2﹣1=． 故答案为：12.三、解答题13. 【答案与解析】(1)将常数项移到方程右边 3x 2-4x=2将二次项系数化为1：x 2-x=方程两边都加上一次项系数一半的平方：x 2-x+()2=+()2 配方：(x-)2=直接开平方得：x-=±∴x=∴原方程的解为x 1=， x 2=.(2)将常数项移到方程右边x 2-4x=-6．两边都加“一次项系数一半的平方”=(-2)2，得 x 2-4x+(2)2=-6+(2)2．(x-2)2=2， 用直接开平方法，得x-2=±， ∴ x=3或x=．14.【答案与解析】（1）∵1,2,1,a b a c ==-=-∴2224(2)41(1)440b ac a a -=--⨯⨯-=+＞ ∴222441a a x a a ±+==±+ ∴22121, 1.x a a x a a =++=-+（2）222(1)ab x a x b x +=+，即222()0abx a b x ab -++=，令A ＝ab ，B ＝(22()a b -+，C ＝ab ．∵ 22222224()4()0B AC a b ab ab a b ⎡⎤-=-+-•=-⎣⎦＞， ∴ 222224()2B B AC a b a b x ab-±-+±-==， ∴ 222221222a b a b a a x ab ab b++-===， 222222()222a b a b b b x ab ab a+--===， ∴ 1a x b =，2b x a =．15.【答案与解析】解：﹣8x 2+12x ﹣5=﹣8（x 2﹣x ）﹣5=﹣8[x 2﹣x+（）2]﹣5+8×（）2=﹣8（x ﹣）2﹣，∵（x ﹣）2≥0，∴﹣8（x ﹣）2≤0，∴﹣8（x ﹣）2﹣＜0，即﹣8x 2+12﹣5的值一定小于0．16. 【答案与解析】a 2-16b 2-c 2+6ab+10bc=(a 2+6ab+9b 2)-(25b 2-10bc+c 2)=(a+3b)2-(5b-c)2=(a+8b-c)(a-2b+c)∵a,b,c 为三角形的三边长,∴a+b-c ＞0,a+8b-c=(a+b-c)+7b ＞0.故由条件只有 a-2b+c=0,即a+c=2b.。

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