分式总复习经典
分式知识点总复习含答案
分式知识点总复习含答案一、选择题1．下列各式从左到右变形正确的是（ ）A ．13(1)223x y x y ++=++ B ．0.20.03230.40.0545a b a d c d c d --=++ C ．a b b a b c c b--=-- D ．22a b a b c d c d --=++ 【答案】C【解析】【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．【详解】 A 、该式子不是方程，不能去分母，故A 错误；B 、分式中的分子、分母的各项没有同时扩大相同的倍数，故B 错误；C 、a-b b-a =d-c c-d故C 正确； D 、分式中的分子、分母的各项没有同时除以2，故D 错误．故选C ．【点睛】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练运用性质.2．若2250(0)a ab b ab ++=≠，则b a a b +=（ ） A ．5B ．-5C ．5±D ．2± 【答案】B【解析】【分析】根据题意，先得到225a b ab +=-，代入计算即可.【详解】解：∵2250(0)a ab b ab ++=≠，∴225a b ab +=-， ∴2255b a a b ab a b ab ab+-+===-； 故选：B.【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是正确得到225a b ab +=-.3．如果分式||11x x -+的值为0，那么x 的值为（ ） A ．-1B ．1C ．-1或1D ．1或0【答案】B【解析】【分析】 根据分式的值为零的条件可以求出x 的值．【详解】根据题意，得|x|-1=0且x+1≠0，解得，x=1．故选B ．【点睛】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．在等式[]209()a a a ⋅-⋅=中，“[]”内的代数式为（ ）A ．6aB ．()7a -C ．6a -D ．7a【答案】D【解析】【分析】 首先利用零指数幂性质将原式化简为[]29a a ⋅=，由此利用同底数幂的乘除法法则进一步进行分析即可得出答案.【详解】()01a -=Q ，则原式化简为：[]29a a ⋅=，∴[]927a a -==，故选：D ．【点睛】本题主要考查了零指数幂的性质与同底数幂的乘除法运算，熟练掌握相关概念是解题关键.5．化简21644m m m+--的结果是( ) A ．4m -B ．4m +C ．44m m +-D ．44m m -+ 【答案】B【解析】【分析】根据分式的加减运算法则计算，再化简为最简分式即可.【详解】21644m m m+-- =2164m m -- =(4)(4)4m m m +-- =m+4.故选B.【点睛】 本题考查分式的加减.同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.熟练掌握运算法则是解题关键.6．人的头发直径约为0.00007m ，这个数据用科学记数法表示（ ）A ．0.7×10﹣4B ．7×10﹣5C ．0.7×104D ．7×105【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解：0.00007m ，这个数据用科学记数法表示7×10﹣5．故选：B ．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．7．若a ＝－0.22，b ＝－2－2，c ＝（－12）－2，d ＝（－12）0，则它们的大小关系是（ ） A ．a<c<b<dB ．b<a<d<cC ．a<b<d<cD ．b<a<c<d【答案】B【解析】【分析】根据正整数指数幂、负整数指数幂以及零次幂的意义分别计算出a ，b ，c ，d 的值，再比较大小即可.【详解】∵a ＝－0.22=-0.04，b ＝－2－2=14-，c ＝（－12）－2=4，d ＝（－12）0=1， -0.25＜-0.04＜1＜4∴b ＜a ＜d ＜c故选B.【点睛】此题主要考查了负整数指数幂，正整数指数幂、零次幂，熟练掌握它们的运算意义是解题的关键.8．生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米．数据0.00000432用科学记数法表示为（ ）A ．0.432×10-5B ．4.32×10-6C ．4.32×10-7D ．43.2×10-7【答案】B【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为10n a -⨯，这里1＜a ＜10，指数n 是由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】解： 0.00000432=4.32×10-6，故选B ．【点睛】本题考查科学记数法．9．已知24111P Q x x x =+-+-是恒等式,则（ ） A ． 2, 2P Q ==- B ．2, 2P Q =-= C ．2P Q == D ．2P Q ==- 【答案】B【解析】【分析】 首先利用分式的加减运算法则，求得()()2111Q x x x P Q x Q P P ++-=-++-，可得方程组04P Q Q P +=⎧⎨-=⎩，解此方程组即可求得答案． 【详解】 解：∵()()()()()()22111411111P x Q x P Q x Q P P Q x x x x x x -++++-=+==+-+---， ∴()()4P Q x Q P ++-=，∴04P Q Q P +=⎧⎨-=⎩，解之得：22P Q =-⎧⎨=⎩， 故选：B ．【点睛】此题考查了分式的加减运算、二元一次方程的解法以及整式相等的性质，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．10．0000005=5×10-7故答案为:B.【点睛】本题考查的知识点是科学计数法，解题的关键是熟练的掌握科学计数法.11．若115a b =，则a b a b -+的值是（ ） A ．25 B ．38 C ．35 D ．115【答案】B【解析】【分析】直接根据已知用含x 的式子表示出两数，进而代入化简得出答案．【详解】 解：∵115a b = ∴设11a x =，5b x = ∴11531158a b x x a b x x --==++ 故选：B【点睛】 此类化简求值题目，涉及到的字母a 、b 利用第三个未知数x 设出，代入后得到关于x 的式子进行约分化简即可．将两个字母转化为一个字母是解题的关键．12．化简（a ﹣1）÷（1a ﹣1）•a 的结果是（ ） A ．﹣a 2B ．1C ．a 2D ．﹣1 【答案】A【解析】分析：根据分式的混合运算顺序和运算法则计算可得．详解：原式=（a ﹣1）÷1a a-•a=（a ﹣1）•()1a a --•a =﹣a 2，故选：A ． 点睛：本题主要考查分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则．13．若代数式1y x =-有意义，则实数x 的取值范围是（ ） A ．0x ≥B ．0x ≥且1x ≠C ．0x >D ．0x >且1x ≠【答案】B【解析】【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x 的范围．【详解】 根据题意得：010x x ≥⎧⎨-≠⎩ ， 解得：x≥0且x≠1．故选：B ．【点睛】此题考查分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，解题关键在于掌握分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．14．下列各分式中，是最简分式的是（ ）.A ．22x y x y++ B ．22x y x y -+ C ．2x x xy + D ．2xy y 【答案】A【解析】【分析】 根据定义进行判断即可．【详解】解：A 、22x y x y++分子、分母不含公因式，是最简分式； B 、22x y x y-+＝()()x y x y x y +-+＝x －y ，能约分，不是最简分式； C 、2x x xy+＝(1)x x xy +＝1x y +，能约分，不是最简分式；D 、2xy y ＝x y，能约分，不是最简分式． 故选A ．【点睛】本题考查分式的化简，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，判断的方法是把分子、分母分解因式，然后对每一选项进行整理，即可得出答案．15．计算211a a a ---的正确结果是( ) A ．11a -- B ．11a - C ．211a a --- D ．211a a -- 【答案】B【解析】【分析】 先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了．【详解】 原式()211a a a =-+- 22111a a a a -=--- 11a =-. 故选B ．【点睛】 本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用．16．一次抽奖活动特等奖的中奖率为150000,把150000用科学记数法表示为（ ） A ．4510⨯﹣B ．5510⨯﹣C ．4210⨯﹣D ．5210⨯﹣【答案】D【解析】【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a ×10﹣n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】150000=0.00002=2×10﹣5． 故选D ．【点睛】 本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a ×10﹣n ，其中1≤|a |＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．17．已知1112a b -=，则ab a b -的值是 A ．12 B ．－12 C ．2 D ．－2 【答案】D【解析】分析：观察已知和所求的关系，容易发现把已知通分后，再求倒数即可． 解答：解：∵， ∴a ab -=， ∴=， ∴=-2．故选D ．18．把分式a a b+中的,a b 的值同时扩大为原来的10倍，则分式的值（ ） A ．不变 B ．缩小为原来的110C ．扩大为原来的10倍D ．扩大为原来的100倍【答案】A【解析】【分析】 根据分式的基本性质，把分式a a b+中的x 、y 的值同时扩大为原来的10倍得：1010=101010()a a a a b a b a b=+++，即可得到答案． 【详解】把分式a a b+中的x 、y 的值同时扩大为原来的10倍得：1010=101010()a a a a b a b a b=+++， 即分式a a b+的值不变， 故选：A ．【点睛】 本题考查了分式的基本性质，正确掌握分式的基本性质是解题的关键．19．已知23x y =，那么下列式子中一定成立的是 ( ) A ．5x y +=B ．23x y =C ．32x y =D ．23x y = 【答案】D【解析】【分析】 根据比例的性质对各个选项进行判断即可.【详解】A. ∵23x y =，∴3x =2y ，∴ 5x y += 不成立，故A 不正确； B. ∵23x y =，∴3x =2y ，∴ 23x y =不成立，故B 不正确； C. ∵23x y =，∴23x y =y ，∴ 32x y =不成立，故C 不正确； D. ∵23x y =，∴23x y =，∴ 23x y =成立，故D 正确； 故选D.【点睛】本题考查的是比例的性质,掌握内项之积等于外项之积及更比性质是解题的关键. 更比性质：在一个比例里，更换第一个比的后项与第二个比的前项的位置后，仍成比例，或者更换第一个比的前项与第二个比的后项的位置后，仍成比例，这叫做比例中的更比定理.对于实数a ，b ，c ，d ，且有b ≠0，d ≠0，如果a c b d=，则有a b c d =.20．测得某人一根头发的直径约为0.000 071 5米，该数用科学记数法可表示为（ ） A ．0.715×104B ．0.715×10﹣4C ．7.15×105D ．7.15×10﹣5【答案】D【解析】。
分式知识点总结及复习汇总
分式知识点总结及复习汇总一、分式的定义和性质：分式是形如$\frac{a}{b}$的数，其中$a$为分子，$b$为分母，$a$和$b$都为整数且$b \neq 0$。
分式可以表示一个数，也可以表示一个运算过程。
分式可以进行四则运算，包括加减乘除。
分式的相反数：$\frac{a}{b}$的相反数为$-\frac{a}{b}$。
分式的倒数：$\frac{a}{b}$的倒数为$\frac{b}{a}$，其中$a、b$不为零。
分式的化简：将分式化简为最简分式，即分子和分母的最大公约数为1的形式。
二、分式的运算法则：1.加法：两个分式相加，分母相同，分子相加。
2.减法：两个分式相减，分母相同，分子相减。
3.乘法：两个分式相乘，分子相乘，分母相乘。
4.除法：一个分式除以另一个分式，被除数乘以除数的倒数。
三、分式的化简方法：1.求最大公约数：分式的分子和分母同时除以它们的最大公约数。
2.因式分解：将分式的分子和分母进行因式分解，然后约去相同的因式。
四、分式与整式的相互转化：1.分式转化为整式：将分式中的分子除以分母，得到的结果为整数。
2.整式转化为分式：将一个整数写成分子，分母为1的形式。
五、分式的应用：1.比例问题：可以利用分式来表示两个比例的关系。
2.部分与整体的关系：可以用分式表示部分与整体的关系。
3.商业问题：例如打折、利润等问题，可以用分式来表示计算。
4.几何问题：例如面积、体积等问题，可以用分式来表示计算。
六、分式的简化步骤：1.因式分解。
2.分子、分母约去最大公约数。
3.整理化简结果。
七、分式的应用举例：1.甲乙两人分别在一段时间内完成一件工作，甲用时5小时完成，乙用时8小时完成，那么甲乙两人一起完成这件工作需要多少小时？解：甲和乙一起完成工作的效率是每小时$\frac{1}{5}$和$\frac{1}{8}$，所以他们一起完成工作的效率是$\frac{1}{5}+\frac{1}{8}=\frac{13}{40}$。
最新初中数学—分式的知识点总复习含答案(2)
一、选择题1．分式（a ，b 均为正数），字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值（ ）A ．扩大为原来2倍B ．缩小为原来倍C ．不变D ．缩小为原来的 2．一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为x 千米/时，则可列方程（ ）A ．B ．C ．D ．3．已知（x ﹣y ）（2x ﹣y ）=0（xy ≠0），则+的值是（ ）A ．2B ．﹣2C ．﹣2或﹣2D ．2或24．下列分式变形中，正确的是（ ）. A . b a b a b a +=++22 B ．1-=++-y x y xC ． ()()m n n m m n -=--23D ．bm am b a = 5．若分式12+-x x 的值为0，则x 的值为（ ） A ．2或－1 B ．0 C ．－1 D ． 26．下列运算正确的是（ ）A ．（2a 2）3=6a 6B ．-a 2b 2•3ab 3=-3a 2b 5C ．D ．7．若分式的值为零，则x 的值为（ ）A ．0B ．﹣2C ．2D ．﹣2或28．分式 (a 、b 均为正数)，字母的值都扩大为原来的2倍，则分式的值( )A ．扩大为原来的2倍B ．缩小为原来的C ．不变D ．缩小为原来的9．若分式23x x --有意义，则x 满足的条件是（ ） A ．x ≠0 B ．x ≠2 C ．x ≠3 D ．x ≥310．若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．0B ．2C ．﹣2D ．2或﹣211．若分式211x x -+的值为零，则x 的值为（ ）A ．0B ．1C ．1-D ．±112．计算23x 11x +--的结果是A ．1x 1-B ．11x - C ．5x 1- D ．51x -13．下列各式变形正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．14．如果为整数，那么使分式22221m m m +++的值为整数的的值有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个15．下列代数式y2、x 、13π、11a -中，是分式的是A ．y 2B ．11a - C ．x D ．13π16．H7N9禽流感病毒的直径大约是0.000 000 076米，用科学记数法可表示为（ ）米．A ．7.6×10﹣11B ．7.6×10﹣8C ．7.6×10﹣9D ．7.6×10﹣517．若式子212x x m -+不论x 取任何数总有意义，则m 的取值范围是( )A ．m≥1B ．m>1C ．m≤1D ．m<118．若分式的值为0，则x 的值是（ ）A ．3B -3C ．4D ．-419．化简﹣的结果是（ ）m+3 B ．m-3 C ．D ． 20．已知115ab a b =+，117bc b c =+，116ca c a =+，则abc ab bc ca ++的值是（ ） A ．121 B ．122 C ．123 D ．124 21．（2015秋•郴州校级期中）下列计算正确的是（ ） A ．B ．•C ．x÷y•D ．22．下列分式中是最简分式的是（ ） A ． B ． C ． D ．23．在式子x y 3，πa ，13+x ，31+x ，a a 2中，分式有 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个24．下列变形正确的是（ ）A ．x y y x x y y x--=++ B ．222()x y x y y x x y +-=-- C ．2a a a ab b+= D ．0.250.25a b a b a b a b ++=++ 25．12⎛⎫- ⎪⎝⎭-2的正确结果是（ ） A ．14 B ．14- C ．4 D ．-4【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．B解析：B【解析】试题分析：当a 和b 都扩大2倍时，原式=，即分式的值缩小为原来的. 考点：分式的值2．A解析：A【解析】试题分析：因为轮船在静水中的最大航速为30千米/时，江水的流速为x 千米/时，所以轮船在顺流航行中的航速为（30+x ）千米/时，轮船在逆流航行的航速为（30-x ）千米/时，根据以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，可得：，故选A ．考点：列分式方程． 3．D解析：D【解析】试题分析：根据题意可得：x-y=0或2x-y=0，则x=y 或2x=y ，当x=y 时，原式=1+1=2；当2x=y 时，原式=21+2=221. 考点：（1）、分式的计算；（2）、分类讨论思想4．C解析：C【解析】试题分析：分式的约分首先将分子和分母进行因式分解，然后约去公共的因式.A 、B 无法进行约分，C 正确；D 需要保证m 不能为零.考点：分式的约分5．D解析：D【解析】试题分析：当分式的分子为零，分母不为零时，则分式的值为零，根据题意可得：x-2=0，解得：x=2.考点：分式的意义6．D解析：D【解析】试题解析：A 、原式=8a 6，错误；B 、原式=-3a 3b 5，错误；C 、原式=，错误； D 、原式=，正确；故选D ． 考点：1.分式的乘除法；2.幂的乘方与积的乘方；.3.单项式乘单项式；4.分式的加减法． 7．B解析：B【解析】试题分析：要使分式的值为0，必须分式分子的值为0并且分母的值不为0． 解：由分子x 2﹣4=0解得：x=±2． 当x=2时分母x 2﹣2x=4﹣4=0，分式没有意义； 当x=﹣2时分母x 2﹣2x=4+4=8≠0． 所以x=﹣2．故选B ．8．B解析：B 【解析】 ，分式的值缩小为原来的 ．故选B ．9．C解析：C【解析】试题分析：根据分式有意义的条件，分母不等于0，可得x-3≠0，解得x≠3. 故选：C.10．B解析：B【解析】根据分式的值为0，分子为0，分母不为0可得 且x+2≠0，解得x=2，故选B.11．B解析：B【解析】由题意得：101x x -=⇒= ,故选B.12．B解析：B【解析】试题分析：先通分，再根据同分母的分式相加减的法则进行计算伯出判断：2323231x 11x 1x 1x 1x 1x-++=-+==------．故选B ． 13．D解析：D【解析】试题分析：因为x y x yx y x y-+-=--+，所以A错误；因为2a bc d-+不能再化简，所以B错误；因为0.20.032030.40.05405a b a bc d c d--=++，所以C错误；因为，所以D正确；故选：D.考点：分式的性质. 14．C解析：C【解析】原式=()()()2111mm m+++=21m+，当m=-3时，原式=-1；当m=-2时，原式=-2；当m=0时，原式=2；当m=1时，原式=1.m的值有4个.故选C.15．B解析：B【解析】试题解析：由于11a-中，分母含有字母，故选B.16．B解析：B【解析】0.000 000 076用科学记数法可表示为7.6×10﹣8．故选B．17．B解析：B【解析】试题解析：分式21 2x x m-+不论x取何值总有意义，则其分母必不等于0，即把分母整理成（a+b）2+k（k＞0）的形式为（x2-2x+1）+m-1=（x-1）2+（m-1），因为论x取何值（x2-2x+1）+m-1=（x-1）2+（m-1）都不等于0，所以m-1＞0，即m＞1.故选B．18．A解析：A【解析】试题分析：当x-3=0时，分式的值为0，所以x=3，故选：A．考点：分式的值为0的条件．19．A解析：A【解析】试题分析：因为2299(3)(3)33333m m m mmm m m m-+--===+----，所以选：A．考点：分式的减法．20．D解析：D【解析】试题解析：由已知得：1115a b+=，1117b c+=，1116c a+=，∴11124 a b c++=，∴原式=11 11124a b c=++，故选D．考点：分式的运算．21．B解析：B【解析】试题分析：原式各项计算得到结果，即可做出判断．解：A、原式=•=，错误；B、原式=，正确；C、原式=，错误；D、原式==，错误，故选B．考点：分式的乘除法．22．A解析：A【解析】选项A ，的分子、分母都不能再分解，且不能约分，是最简分式；选项B，原式=2x；选项C，原式=11x+；选项D，原式=-1．故选A．23．C解析：C【解析】试题分析：分式是指分母含有字母的代数式.考点：分式的定义24．D解析：D【解析】A选项错误，x yx y-+=-y xy x-+；B选项错误，x yy x+-=x y y xy x y x+---（）（）（）（）=()222y xx y--；C选项错误，2a aab+=1a aab+（）=1ab+；D选项正确.故选D.点睛：分式的性质：分式的分子分母乘以或者除以同一个不为零的整式，分式的值不变. 25．C解析：C【解析】试题分析：根据负整指数幂的性质1(0)ppa aa-=≠计算，可得12⎛⎫-⎪⎝⎭2141()2==-.故选C。
分式期末复习
《分式》期末复习【知识要点】1. 分式的概念：形如BA（A 、B 是整式，且B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式.（1）. 分式有意义的条件是：分式的分母必须不等于零，即B≠0，分式有意义. （2）． 分式的值为零的条件：分子等于0，分母不等于0，二者缺一不可.2. 分式的基本性质： （1）．分式的基本性质：MB M A M B M A BA÷÷=⨯⨯=（2）．分式的变号法则：b ab a b a b a =--=+--=-- 3.与分式运算有关的运算法则分式加减法运算：先判断类型，再进行运算。
(1).同分母加减法则:()0b c b ca a a a±±=≠(2).异分母加减法则:()0,0b d bc da bc daa c a c ac ac ac±±=±=≠≠;注意：若分母为和，2)(b a ±和2)(a b ±，即n b a )(±和2)(a b ±的形式，可通过 nna b b a )()(+=+，⎩⎨⎧---=-为正奇数，为正偶数n a b n a b b a nn n)(,)()( 变形为同分母运算 分式的乘法与除法: b d bd a c ac ∙=,b c b d bda d a c ac÷=∙=分式的混合运算: 先确定运算顺序，先计算乘方，再算乘除，再计算加减。
有括号的要先计算括号里的，最后结果要写为最简分式。
4.分式的化简求值(通分与约分)(1)． 分式的约分：把一个分式的分子与分母中的公因式约去叫约分.(2)． 最简分式：分式的分子和分母已没有公因式，这样的分式我们称为最简分式.（一）分式定义及有关题型 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：y x yx y x y x ba b a y x x -++-+--1,,,21,22π，是分式的有： .题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x 有何值时，下列分式有意义 （1）44+-x x （2）232+x x （3）122-x （4）3||6--x x（5）xx 11-题型三：考查分式的值为0的条件【例3】当x 取何值时，下列分式的值为0.（1）31+-x x（2）42||2--x x （3）653222----x x x x题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】（1）当x 为何值时，分式x -84为正；（2）当x 为何值时，分式2)1(35-+-x x 为负； （二）分式的基本性质有关题型题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数.（1）y x yx 41313221+- （2）ba ba +-04.003.02.0题型二：分数的系数变号【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号.（1）yx yx --+- （2）ba a---（3）ba ---题型三：化简求值题 【例3】已知：511=+y x，求y xy x yxy x +++-2232的值. 【例4】已知：21=-xx ，求221x x +的值.【例5】若0)32(|1|2=-++-x y x ，求yx 241-的值. （三）分式的运算有关题型题型一：通分 【例1】将下列各式分别通分. （1）cb ac a b ab c 225,3,2--； （2）a b b b a a 22,--； （3）a a -+21,2题型二：约分 【例2】约分： （1）322016xy y x -； （2）n m m n --22； （3）6222---+x x x x .题型三：分式的混合运算 【例3】计算：（1）42232)()()(abc ab c c b a ÷-⋅-；（2）22233)()()3(x y x y y x y x a +-÷-⋅+（3）112---a a a ；题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值（1）已知：1-=x ，求分子)]121()144[(48122x x x x -÷-+--的值； （2）已知：432zy x ==，求22232zy x xz yz xy ++-+的值（3）已知：0132=+-a a ，试求)1)(1(22a a aa --的值.题型五：求待定字母的值【例5】若111312-++=--x Nx M x x，试求N M ,的值. （四）、整数指数幂与科学记数法及有关题型 整数指数幂：1.任何一个不等于零的数的零次幂等于1 即)0(10≠=a a ；2.当n 为正整数时，n naa 1=- （)0≠a 3.幂的运算法则(1).同底数幂的乘法与除法：n m n m a a a +=∙ n m n m a a a -=÷ (2).积的乘方与幂的乘方: m m m b a ab =)(, mn n m a a =)(科学记数法：把一个数表示成n a 10⨯的形式（其中101<≤a ，n 是整数）的记数方法叫做科学记数法。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、基本概念分式是指两个整数之间用分数线表示的表达式，其中分数线上方的整数称为分子，下方的整数称为分母。
分子和分母可以是正整数、负整数或零。
二、分数的分类1. 真分数：分子小于分母的分数，如1/2、3/4。
2. 假分数：分子大于等于分母的分数，如7/4、11/3。
3. 带分数：由整数部分和真分数部分组成的复合分数，如2 1/2、33/4。
三、分数的基本运算1. 分数的加法：分母相同时，分子相加；分母不同时，通分后分子相加。
2. 分数的减法：分母相同时，分子相减；分母不同时，通分后分子相减。
3. 分数的乘法：分子相乘，分母相乘。
4. 分数的除法：将除法转化为乘法，即将除数取倒数后与被除数相乘。
5. 分数的约分：将分子和分母的公约数除去，使分数达到最简形式。
6. 分数的比较：分数大小的比较依据是分子和分母的大小关系。
四、分式的应用1. 长度比较：如果表示相同长度的量，分母较大的分数表示的长度较小。
2. 面积比较：如果表示相同形状的图形面积，分母较大的分数表示的面积较小。
3. 比例求解：对于一个比例关系，可以使用分数来表示两个量之间的关系。
4. 混合运算：在实际的数学题中，分式常常与整数、小数一起进行混合运算。
五、常用的分数的表示法1. 百分数：百分数是分数的一种表示形式，以分母为100。
2. 小数：小数是另一种分数的表示形式，可以将分数化为小数进行计算。
六、常见的分数问题1. 分数的相加减问题：根据题意确定分数的运算方式，并进行对应的计算。
2. 分数的乘法除法问题：将乘法转化为分数的相乘运算，将除法转化为分数的相除运算。
3. 分数的约分问题：找到分子与分母的公约数，并进行约分化简。
4. 比较分数大小问题：比较分子与分母的大小关系来确定分数的大小。
七、常见的解分数问题的方法解决分数问题可以通过下面的方法来进行：1. 手算：将分数转化为小数进行计算，或者使用分数与整数的运算规则进行计算。
7.1-7.3 分式的复习
2-1 a
例3、已知
x2-2x+1 x2-1
x2-x 1 -÷ +1 x+1 x
试说明在右边代数式有意义的条件下,不论x 试说明在右边代数式有意义的条件下,不论x为 何值,y的值不变. 何值,y的值不变. ,y的值不变
例4、有一道题“先化简，再求值： 有一道题“先化简，再求值：
( x-2 x+2 + 4x x2-4 )÷ 1 x2-4
1 1 1 b a 3、 ，那么 + = ________ . 10、 10、已知 + = a b a+b a b
x+2 x −x x−2 − 2 11、 112、 、 ⋅ x − 2 x − 4x + 4 x − 4
2
小结
练一练： 练一练：
B
A.扩大 倍 扩大3倍 扩大 C.缩小 倍 缩小3倍 缩小 2、化简: 、化简
x 1、如果把分式 中的和都扩大3倍 那么分式 、 中的和都扩大 倍,那么分式 x+y 的值( ) 的值
B.不变 不变 D.缩小 倍. 缩小6倍 缩小 =(
x 1 x÷ • y x
B.xy
C
)
A. 1
8、先化简,再求值: 先化简,再求值:
a-1 a2-4 1 • 2 ÷ 2 其中a a+2 a -2a+1 a -1 其中a满足
a2-a=0
解:原式 原式= 原式
a-1 (a+2)(a-2) (a+1)(a-1) • • =(a-2)(a+1)=a2-a-2 a+2 1 (a-1)2
得原式=0 2==0由 a2-a=0 ,得原式=0-2=-2.
分式复习大全
分式一、分式的概念定义：一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 可以表示成B A 的形式。
如果B 中含有字母，式子BA 叫做分式。
基中A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
二、分式的基本性质 一）运用公式法：我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形。
如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式。
于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式。
这种分解因式的方法叫做运用公式法。
（二）平方差公式1．平方差公式（1）式子： a2-b2=(a+b)(a-b)（2）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。
这个公式就是平方差公式。
（三）因式分解1．因式分解时，各项如果有公因式应先提公因式，再进一步分解。
2．因式分解，必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。
（四）完全平方公式（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2 和 (a-b)2=a2-2ab+b2反过来，就可以得到：a2+2ab+b2 =(a+b)2a2-2ab+b2 =(a-b)2这就是说，两个数的平方和，加上（或者减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或者差）的平方。
把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫完全平方式。
上面两个公式叫完全平方公式。
（2）完全平方式的形式和特点①项数：三项②有两项是两个数的的平方和，这两项的符号相同。
③有一项是这两个数的积的两倍。
（3）当多项式中有公因式时，应该先提出公因式，再用公式分解。
（4）完全平方公式中的a、b可表示单项式，也可以表示多项式。
这里只要将多项式看成一个整体就可以了。
（5）分解因式，必须分解到每一个多项式因式都不能再分解为止。
（五）分组分解法我们看多项式am+ an+ bm+ bn，这四项中没有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．如果我们把它分成两组(am+ an)和(bm+ bn)，这两组能分别用提取公因式的方法分别分解因式．原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m +n)做到这一步不叫把多项式分解因式，因为它不符合因式分解的意义．但不难看出这两项还有公因式(m+n)，因此还能继续分解，所以原式=(am +an)+(bm+ bn)＝a(m+ n)+b(m+ n)＝(m +n)•(a +b)．这种利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法．从上面的例子可以看出，如果把一个多项式的项分组并提取公因式后它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式．（六）提公因式法1.在运用提取公因式法把一个多项式因式分解时，首先观察多项式的结构特点，确定多项式的公因式．当多项式各项的公因式是一个多项式时，可以用设辅助元的方法把它转化为单项式，也可以把这个多项式因式看作一个整体，直接提取公因式；当多项式各项的公因式是隐含的时候，要把多项式进行适当的变形，或改变符号，直到可确定多项式的公因式．2. 运用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)进行因式分解要注意：1．必须先将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和等于一次项的系数．2．将常数项分解成满足要求的两个因数积的多次尝试，一般步骤：①列出常数项分解成两个因数的积各种可能情况；②尝试其中的哪两个因数的和恰好等于一次项系数．3．将原多项式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法1.把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分．2.分式进行约分的目的是要把这个分式化为最简分式．3.如果分式的分子或分母是多项式，可先考虑把它分别分解因式，得到因式乘积形式，再约去分子与分母的公因式．如果分子或分母中的多项式不能分解因式，此时就不能把分子、分母中的某些项单独约分．4.分式约分中注意正确运用乘方的符号法则，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．5．分式的分子或分母带符号的n次方，可按分式符号法则，变成整个分式的符号，然后再按-1的偶次方为正、奇次方为负来处理．当然，简单的分式之分子分母可直接乘方．6．注意混合运算中应先算括号，再算乘方，然后乘除，最后算加减．（八）分数的加减法1．通分与约分虽都是针对分式而言，但却是两种相反的变形．约分是针对一个分式而言，而通分是针对多个分式而言；约分是把分式化简，而通分是把分式化繁，从而把各分式的分母统一起来．2．通分和约分都是依据分式的基本性质进行变形，其共同点是保持分式的值不变．3．一般地，通分结果中，分母不展开而写成连乘积的形式，分子则乘出来写成多项式，为进一步运算作准备．4．通分的依据：分式的基本性质．5．通分的关键：确定几个分式的公分母．通常取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．6.类比分数的通分得到分式的通分：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．7．同分母分式的加减法的法则是：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减。
分式章节复习
未知派教育版权所有 未经允许 请勿外传 第 1 页未知派教育 打造数学补习最高品质 电话：6083301 地址：海沧区嵩屿北一里33号（未来海岸浪琴湾S5）202分式章节复习【知识点一】分式的概念、分式的值为0、分式有无意义的讨论：（1）分式的判断：关键看分母中是否含有字母。
（2）分式的值为0：同时满足两个条件：（1）分母不为0（前提）（2）分子为0.（3）分式有无意义的讨论：关键看分母为不为0.【范例选讲】例1、如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 ． 例2、已知分式235x x x a--+： 当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ；当a ＝6时，使分式无意义的x 的值共有 个． 例3、若m 为正实数，且13m m -=，221m m -则= 【对应练习】 1、下列式子是分式的是( ) A .2x B .1+x x C . y x +2 D . 3x 2、已知2111=-b a ，则b a ab -的值是（ ） A .21 B .－21 C .2 D .－2 3、设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于（ ） A． BCD . 34、已知当x =－2时，分式a x b x +-无意义，当x =6时，此分式的值为0，则=⎪⎭⎫ ⎝⎛a b a . 【知识点二】分式的基本性质、分式的符号法则：1、分式的基本性质：B A =C B C A ⋅⋅=C B C A ÷÷（0≠c ）2、分式的符号法则：B A =B A --=－B A -＝－BA -未知派教育版权所有 未经允许 请勿外传 第 2 页未知派教育 打造数学补习最高品质 电话：6083301 地址：海沧区嵩屿北一里33号（未来海岸浪琴湾S5）202例1、化简aa a -+-111=________ 例2、若把分式xyy x +中的x 和y 都扩大2倍，那么分式的值（ ） A ．扩大2倍 B ．不变 C ．缩小2倍 D ．缩小4倍 例3、解分式方程：1233x x x =+--例4、下列等式：①()a b c--=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a b c +;④m n m --=-m n m -中,成立的（ ） A ．①② B ．③④ C ．①③ D ．②④【对应练习】1、填空：() 1932=-+a a 2、将分式yx x +2中的x 、y 的值同时扩大3倍，则 扩大后分式的值（ ） A 、扩大3倍； B 、缩小3倍； C 、保持不变； D 、无法确定。
分式复习教案(经典)
分式（一）：【知识梳理】 1．分式有关概念（1）分式：分母中含有字母的式子叫做分式。
对于一个分式来说：①当____________时分式有意义。
②当____________时分式没有意义。
③只有在同时满足____________，且____________这两个条件时，分式的值才是零。
（2）最简分式：一个分式的分子与分母______________时，叫做最简分式。
（3）约分：把一个分式的分子与分母的_____________约去，叫做分式的约分。
将一个分式约分的主要步骤是：把分式的分子与分母________，然后约去分子与分母的_________。
（4）通分：把几个异分母的分式分别化成与____________相等的____________的分式叫做分式的通分。
通分的关键是确定几个分式的___________ 。
（5）最简公分母：通常取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。
求几个分式的最简公分母时，注意以下几点：①当分母是多项式时，一般应先 ；②如果各分母的系数都是整数时，通常取它们的系数的 作为最简公分母的系数；③最简公分母能分别被原来各分式的分母整除；④若分母的系数是负数，一般先把“－”号提到分式本身的前边。
2．分式性质： （1）基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个 ，分式的值 ．即：(0)A A M A M M BB MB M⨯÷==≠⨯÷其中（2）符号法则：____ 、____ 与__________的符号， 改变其中任何两个，分式的值不变。
即：a a a ab bbb--==-=---3.分式的运算：注意：为运算简便，运用分式的基本性质及分式的符号法则：()nn a b a b c ca c ad bc d bd a c ac d bd a c a d ad dbc bc a a n b⎧±⎧±=⎪⎪⎪⎪⎨±⎪⎪±=⎪⎪⎩⎪⎧⎪⋅=⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪÷=⋅=⎪⎪⎩⎪⎪=⎪⎪⎪⎩n 同分母c 加减异分母b 乘b 分式运算乘除除b 乘方()为整数b①若分式的分子与分母的各项系数是分数或小数时，一般要化为整数。
分式复习知识点总结
分式复习知识点总结一、分式的定义分式是指由一个整数或多项式作为分子，一个非零整数或多项式作为分母组成的表达式。
通常表示为a/b，其中a为分子，b为分母，a和b分别为整数或多项式，且b ≠ 0。
分式可以表示有理数，它可以是一个整数、分数或带分数。
二、分式的性质1. 分式的值可以是正数、负数或零，取决于分子和分母的符号。
2. 分式的分子和分母都可以约分，约分后的分式与原分式等值。
3. 分式中的分母不能为0，因为0不能做除数。
4. 分式可以化简为最简形式，即分子和分母没有公因数。
5. 分式可以进行加、减、乘、除以及简单化简等运算。
三、分式的简化对于分式a/b，若a和b有公因数，可以进行约分，使分子和分母互素，即没有公因数。
对于多项式分式，可以进行因式分解，将分子和分母都化为最简形式。
四、分式的运算1. 分式的加法和减法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b + c/d = (ad+bc)/bda/b - c/d = (ad-bc)/bd2. 分式的乘法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，d≠0，则a/b × c/d = ac/bd3. 分式的除法若a/b和c/d是两个分式，且b≠0，c≠0，则a/b ÷ c/d = ad/bc4. 分式的混合运算先将分式化为最简形式，然后进行运算。
五、解分式方程分式方程指含有未知数的分式等式，解分式方程的关键是通分，将分式方程转化为多项式方程，然后求解。
六、分式的应用分式在实际生活中有着广泛的应用，例如在工程、物理、经济等领域都有着重要的作用。
在经济学中，分式可以用来表示利润、成本、收入等比例关系；在物理学中，分式可以用来表示速度、加速度、密度等物理量的关系；在工程学中，分式可以用来表示材料的混合比例、工程测量中的比例关系等。
在学习分式的过程中，要善于把分数化简成最简式，掌握有理数的运算法则，灵活运用有理数的基本性质，加强分数的认识和运用，掌握有理数的相关知识，对于解决有理数问题能够运用有理数的性质和基本运算规律。
分式与分式方程复习精讲经典中考题目
分式考点1： 分式的概念一般地，用A 、B 表示两个整式，A ÷B 就可以表示成B A 的形式，如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式。
其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母。
分式和整式通称为有理式。
1. （ 2011重庆江津， 2，4分）下列式子是分式的是( )A.2x B.1+x x C. y x +2 D. 3x考点2： 分式的性质（1）分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
基本性质：a b =ambm（m ≠0） （2）分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。
符号法则：ab a b a b -=-=-考点3：分式有意义、值为0的条件1．分式有意义的条件：分母不等于0.2．分式值为0的条件：分子等于0且分母不等于0.1. （2011浙江省舟山，11，4分）当x 时，分式x-31有意义． 2. （2011浙江杭州，15，4）已知分式235x x x a--+，当x ＝2时，分式无意义，则a ＝ ，当a <6时，使分式无意义的x 的值共有 个． 3. （2011福建泉州，14，4分）当x = 时，分式22+-x x 的值为零. 4. （2011四川南充市，8，3分） 当8、分式21+-x x 的值为0时，x 的值是（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）－25. （2011四川内江，15，5分）如果分式23273x x --的值为0，则x 的值应为 ．考点4：与分式有关的变形求值题1. （2011江苏苏州，7,3分）已知2111=-b a ，则b a ab -的值是A.21 B.－21C.2D.－2 2. （2011江苏南通，10，3分）设m ＞n ＞0，m 2＋n 2＝4mn ，则22m n mn-的值等于A. B. C. D. 3 3. （2011四川乐山15，3分）若m 为正实数，且13m m -=，221m m-则=考点5：分式的运算分式的运算法则-----------分式乘法：a c acb d bd⨯=，分式除法：a c a d adb d bc bc÷=⨯=， 分式乘方 ()nn n a a b b= ，（n 为正整数）同分母分式相加：;c b a c b c a ±=± 异分母分式相加：bdbcad d c b a ±=±1.（2010湖北孝感，6，3分）化简x y x yy x x ⎛⎫--÷ ⎪⎝⎭的结果是____________.2. （2011山东威海，8，3分）计算：211(1)1mm m +÷⋅--的结果是____________. 4. （2011山东临沂，5，3分）化简（x －x 1-x 2）÷（1－x1）的结果是____________.5.（2011四川重庆，21，10分）先化简，再求值：(x －1x －x －2x ＋1)÷2x 2－xx 2＋2x ＋1，其中x 满足x 2－x －1＝0．6 （2011湖南常德，19，6分）先化简，再求值. 221211, 2.111x x x x x x x ⎛⎫-+-+÷= ⎪+-+⎝⎭其中7. （2011四川广安，22，8分）先化简22()5525x x x x x x -÷---，然后从不等组23212x x --⎧⎨⎩ ≤的解集中，选取一个你认为符合题意．．．．的x 的值代入求值．8. （2011贵州贵阳，16，8分）在三个整式x 2-1，x 2+2x +1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再求当x =2时分式的值．9.（2011重庆市潼南,21,10分）先化简，再求值：2121(1)1a a a a++-⋅+，其中a10.（2011湖北宜昌，16，7分）先将代数式11)(2+⨯+x x x 化简，再从-1，1两数中选取一个适当的数作为x 的值代入求值.11、201１四川广元，17，7分）请先化简（23x x -－3x x +）÷29xx -，再选取一个你喜欢的数代入求值．12、2011内蒙古包头，17，3分）化简122144112222-++÷++-⋅-+a a a a a a a ，其结果是 .分式方程一、填空：1、有一项工程，甲独做x 天完成，乙独做比甲多用4天完成任务，那么乙独做需要______天完成。
分式复习专题
分式专题复习（一） 分式基础 导学案学习目标1、经历知识梳理、类比与整合的过程，体验自主学习，感受成功的喜悦。
2、通过复习，进一步了解分式的意义与性质；掌握分式有意义、值为零的条件；一、分式的意义A 、B 是整式，并且 ，那么BA 就叫做分式。
例1. 下列各式：43a ，n m a -8，11-2+x x ，π5-x ，a 34，1-5π，其中分式是二、分式有意义的条件分式B A 有意义的条件是 ； 分式BA 无意义的条件是 例2. 当x 时，分式21+-x x 有意义； 若分式122-+x x 无意义，则x三、分式值为零的条件分式BA 值为零的条件是 例3.（1）当x 时，分式21-+x x 的值为0 （2）当x 时，分式33--x x ＝0； 若分式242--a a 的值为0，则a四、分式的基本性质：分式的基本性质是 例4. 填空： （1）b a ab b a 2)(=+ （2）)()(222y x y x y x -=+-五、复习成果检验1、代数式13+x x 、212+-x 、1+πa 、112--x x 、πa 中，分式有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个2、如果把分式yx xy +2中的x 和y 的值都扩大2倍，那么分式的值（ ） A 、扩大两倍 B 、不变 C 、缩小两倍 D 、无法确定3、分式)1)(32()1(4+-+x x x x 有意义的条件是（ ） A 、x ≠23 B 、x ≠-1 C 、x ≠23或x ≠-1 D 、x ≠23且x ≠-1 4、当x___________时，分式43x x --有意义； 当x____________时，分式||99x x -+的值为零； 当x 时，分式422--x x 无意义。
5、（1）ba ab a 22)(2=-； （2）2)(22-=-x x x x 八、本节课小结教学反思：。
初中数学总复习-分式
2
2.(2018·重庆中考A卷)计算:
x2 x 2 4x 4 ( x 2) . x 3 x 3
ac a d a c bd g ___. b c b d an a ( ) n __. bn b
【自我诊断】(打“√”或“×”)
x 1 x 3 1.若分式 有意义,则x≠-2,-3,-4. ( √ ) x2 x4 2x y 2.将分式 中的x,y值均扩大为原来的10倍, 2 3x y
第三讲
分 式
一、分式的概念和基本性质
整式 1.分式的概念:一般地,如果A,B表示两个_____,
A 字母 并且B中含有_____,那么式子 叫做分式. B
2.分式的基本性质:分式的分子与分母同乘(或除以) 整式 分式的值_____. 不变 同一个不等于0的_____,
AM AM A 用式子表示: =_______=______ B M (其中M为不等于0 B M B
【自主解答】当x+2≠0时,分式 1 有意义,即当
x2
x≠-2时, 1
x2
有意义.
答案:x≠-2
【跟踪训练】 (2018·贵港中考)若分式 2 ________. 【解析】若分式 2 的值不存在,说明分式无意义,因
x 1 x 1
的值不存在,则x的值为
此x+1=0,解得x=-1. 答案:-1
则分式的值不变. ( × )
3.分式
3a 2(a+b), 的分母经过通分后变成 2(a-b) a 2 b2
那么分子应变为6a(a-b).(√ )
4. c c 1 1 1 .
a a a a
(√)
2 x 1 5.当x=-1时,分式 2 的值为.( √ ) 3 2x 1
分式的复习(概念及计算)
x ,则
＝ 1 y 。 x y 2 2 17．已知 x 4xy 4 y 0 ，那么分式 的值等 x y 于 3 .
x
1 18．已知 a 3 a
1 ， 那么 a 2 a
2
＝
11
．
１.下列变形正确的是
a a2 A b b2
(
B
2 x x2 C x x
a 1 ab 1 a ab 5 25 D 2a 4a
x 3 4、要使分式 ( x 1)( x 3) 有意义，则x的取值范围是
C
A、 x 1 C、 x 1 且
x3
B、 x 3 D、 x 1 或
x3
n na B. m m a a 0 n na n na a 0 a 0 D. C. m ma m ma y 1 6、下列各分式中，与 分式的值相等的是（ C ） 1 x y 1 y 1 y 1 y 1 A. B. C. D. 1 x x 1 x 1 x 1
13. 下列各式中,正确的是( D ) a+b a+m a A. b+m = b B. a-b =0 x-y 1 ab-1 b-1 C. D. = = 2-y2 x+y ac-1 c-1 x
1 3 1 3 2 例1.计算 : x x x x x x 1 例2.化简x x 1 x x 1 1 2 解 : 原式 x x x( x 1) x x x 1 x x 1
1 m 3x 1 2 x 4 1.在代数式 3x , 2 , 2 y , 3 (a b), , x 2 中，分式共有_____个。 3
2
2.当x= - 3 时，则分式
初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习附解析(1)
初中数学方程与不等式之分式方程知识点总复习附解析(1)一、选择题1．关于x 的方程无解，则m 的值为（ ）A ．﹣5B ．﹣8C ．﹣2D ．5【答案】A【解析】解：去分母得：3x ﹣2=2x +2+m ①．由分式方程无解，得到x +1=0，即x =﹣1，代入整式方程①得：﹣5=﹣2+2+m ，解得：m =﹣5．故选A ．2．关于x 的方程m 3+=1x 11x--解为正数，则m 的范围为（ ） A ．m 2m 3≥≠且B ． 2 B 3m m >≠C ．m<2m 3≠且D ．m>2 【答案】B【解析】【分析】首先解分式方程，然后令其大于0即可，注意还有1x ≠.【详解】方程两边同乘以()1x -，得2x m =-∴210x m x =-⎧⎨-≠⎩解得2m >且3m ≠故选：B.【点睛】此题主要考查根据分式方程的解求参数的取值范围，熟练掌握，即可解题.3．若数a 使关于x 的不等式组()3x a 2x 11x 2x 2⎧-≥--⎪⎨--≥⎪⎩有解且所有解都是2x+6＞0的解，且使关于y 的分式方程y 51y --+3=a y 1-有整数解，则满足条件的所有整数a 的个数是（ ）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】D【解析】【分析】由不等式组有解且满足已知不等式，以及分式方程有整数解，确定出满足题意整数a 的值即可．【详解】不等式组整理得：13x a x ≥-⎧⎨≤⎩， 由不等式组有解且都是2x+6＞0，即x ＞-3的解，得到-3＜a-1≤3，即-2＜a≤4，即a=-1，0，1，2，3，4，分式方程去分母得：5-y+3y-3=a ，即y=22a -， 由分式方程有整数解，得到a=0，2，共2个，故选：D ．【点睛】 本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．4．如果关于x 的分式方程11222a x x-+=--有整数解，且关于x 的不等式组43(1)211(1)22x x x x a ≥-⎧⎪⎨-+<-⎪⎩有且只有四个整数解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．4B ．-2C ．-3D ．2 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出整数方程的解，不等式组整理后，由解只有四个整数解，确定出a 的值，求出之和即可．【详解】解：分式方程去分母得：1-a+2x-4=-1， 解得：22a x +=，且222a +≠，a 为偶数， 即2a ≠，a 为偶数， 不等式组整理得：34x a x ≥-⎧⎪⎨⎪⎩＜， 由不等式组只有四个整数解，得到x=-3，-2，-1，0，可得0＜4a ≤1，即0＜a≤4，即a=1，2，3，4， 经检验a=4，则和为4，故选：A ．【点睛】此题考查了分式方程的解，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．5．若关于x 的分式方程2x x -﹣12m x--=3的解为正整数，且关于y 的不等式组2()522126m y y y ⎧-≤⎪⎪⎨+⎪+>⎪⎩至多有六个整数解，则符合条件的所有整数m 的取值之和为（ ） A ．1B ．0C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】先求出一元一次不等式组的解集，根据“不等式组的解至多有六个整数解”确定m 的取值范围，再解分式方程，依据“解为正整数”进一步确定m 的值，最后求和即可．【详解】 解：化简不等式组为25632y m y y -≤⎧⎨+>+⎩， 解得：﹣2＜y ≤52m +， ∵不等式组至多有六个整数解， ∴52m +≤4， ∴m ≤3，将分式方程的两边同时乘以x ﹣2，得x +m ﹣1=3（x ﹣2），解得：x =52m +， ∵分式方程的解为正整数，∴m +5是2的倍数，∵m ≤3，∴m =﹣3或m =﹣1或m =1或m =3，∵x ≠2， ∴52m +≠2， ∴m ≠﹣1，∴m =﹣3或m =1或m =3，∴符合条件的所有整数m 的取值之和为1，故选：A ．【点睛】本题考查分式方程的解法、解一元一次不等式组；熟练掌握分式方程的解法、一元一次不等式组的解法，是解题关键，分式方程切勿遗漏增根的情况是本题易错点．6．“母亲节”当天，某花店主打“康乃馨花束”，上午销售额为3000元，下午因市场需求量增大，店家将该花束单价提高30元，且下午比上午多售出40束，销售额为7200元，设该花束上午单价为每束x 元，则可列方程为（ ）A ．300072004030x x -=+ B ．720030004030x x -=+ C ．720030004030x x-=+ D ．300072004030x x -=+ 【答案】C【解析】【分析】设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束（x+30）元，根据数量=总价÷单价，结合下午比上午多售出40束，即可得出关于x 的分式方程，此题得解．【详解】设该花束上午单价为每束x 元，则下午单价为每束(x+30)元，依题意，得：720030004030x x-=+ 故选：C【点睛】本题考查了列分式方程解决实际问题，审题是基础，难点是找出能够表示应用题全部含义的一个相等关系，关键是设未知数和用未知数的代数式表示有关的未知量．7．甲队修路120 m 与乙队修路100 m 所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10 m ，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A ．120100x x 10=- B ．120100x x 10=+ C ．120100x 10x =- D ．120100x 10x=+ 【答案】A【解析】【分析】【详解】 甲队每天修路xm ，则乙队每天修（x －10）m ，因为甲、乙两队所用的天数相同， 所以，120100x x 10=-. 故选A.8．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y轴于点N ，再分别一点M N 、为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P . 若点P 的坐标为11,423a a ⎛⎫ ⎪-+⎝⎭，则a 的值为( )A ．1a =-B ．7a =-C ．1a =D ．13a = 【答案】D【解析】【分析】 根据作图过程可得P 在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得11=423a a -+，再根据P 点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a 的数量关系．【详解】根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，则P 点横纵坐标的和为0，故11+423a a -+=0， 解得：a=13. 故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质，解题的关键是熟练的掌握作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质作图—基本作图, 坐标与图形性质, 角平分线的性质.9．中秋节是我国的传统节日，人们素有吃月饼的习俗．汾阳月饼不仅汾阳人爱吃，而且风靡省城市场．省城某商场在中秋节来临之际购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个，已知购进 A 种月饼和 B 种月饼的费用分别为3000元和2000元，且 A 种月饼的单价比 B 种月饼单价多1元．求 A 、B 两种月饼的单价各是多少？设 A 种月饼单价为x 元，根据题意，列方程正确的是( )A ．3000200015001x x +=+ B ．2000300015001x x +=+ C ．3000200015001x x +=- D ．2000300015001x x +=- 【答案】C【解析】【分析】设A 种月饼单价为x 元，再分别表示出A 种月饼和B 种月饼的个数，根据“购进A 、B 两种汾阳月饼共1500个”，列出方程即可.【详解】设A 种月饼单价为x 元，则B 种月饼单价为(x -1)元， 根据题意可列出方程3000200015001x x +=-， 故选C.【点睛】本题考查分式方程的应用，读懂题意是解题关键.10．已知关于x 的分式方程13222mx x x -+=--有解,则m 应满足的条件是（ ） A ． 1 2m m ≠≠且B ．2m ≠C ．1m =或2m =D ．1m ≠或2m ≠ 【答案】A【解析】【分析】分式方程去分母转化为整式方程(m-2)x=-2，由分式方程有解可知m-2≠0，最简公分母x-2≠0，求出x 的值，进一步求出m 的取值即可.【详解】 13222mx x x-+=--， 去分母得，1-（3-mx ）=2(x-2)整理得，（m-2）x=-2 ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴m-2≠0，即m≠2，∴22x m -=- ∵分式方程13222mx x x-+=--有解， ∴x-2≠0，即x≠2， ∴222m -≠-，解得，m≠1， 所以，m 的取值为： 1 m ≠且2m ≠故选：A.【点睛】此题主要考查了分式方程的求解，关键是会解出方程的解，注意隐含条件.11．甲、乙二人做某种机械零件，已知每小时甲比乙少做8个，甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，设甲每小时做x 个零件，下列方程正确的是（ ）A ．1201508x x =- B ．1201508x x =+ C ．1201508x x =- D ．1201508x x =+ 【答案】D【解析】【分析】 首先用x 表示甲和乙每小时做的零件个数，再根据甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等即可列出一元一次方程.【详解】解：∵甲每小时做x 个零件，∴乙每小时做（x+8）个零件，∵甲做120个所用的时间与乙做150个所用的时间相等，∴1201508x x =+， 故选D.【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，熟练掌握是解题的关键.12．方程1235x x =+的解为( ). A ．1x =-B ．0x =C ．3x =-D ．1x = 【答案】D【解析】【分析】方程两边同乘以3x （x+5），化分式方程为整式方程，解整式方程求得x 的值，检验即可求得分式方程的解.【详解】方程两边同乘以3x （x+5）得，x+5=6x ，解得x=1，经检验，x=1是原分式方程的解.故选D.【点睛】本题考查了分式方程的解法，方程两边同乘以最简公分母化分式方程为整式方程是解决问题的关键.注意，解分式方程一定要验根.13．解分式方程221112x x x x --=--时，去分母后所得的方程正确的是（ ） A ．220x x -+= B ．4241x x x -+=-C ．4241x x x +-=-D ．221x x x +-=- 【答案】C【解析】【分析】根据等式的性质，方程两边同时乘以最简公分母2（x-1），整理即可得答案．【详解】 ∵221112x x x x --=--， ∴221112x x x x -+=--， 方程两边同时乘以最简公分母2（x-1）得：4x+2(x-2)=x-1，去括号得：4x+2x-4=x-1，故选：C ．【点睛】本题考查解分式方程，正确得出最简公分母是解题关键．14．已知A 、C 两地相距40千米，B 、C 两地相距50千米，甲乙两车分别从A 、B 两地同时出发到C 地．若乙车每小时比甲车多行驶12千米，则两车同时到达C 地．设乙车的速度为x 千米/小时，依题意列方程正确的是（ ）A ．405012x x =- B ．405012x x =- C ．405012x x =+ D ．405012x x=+ 【答案】B【解析】 试题解析：设乙车的速度为x 千米/小时，则甲车的速度为（x-12）千米/小时， 由题意得，405012x x=-． 故选B ．15．若数k 使关于x 的不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩只有4个整数解，且使关于y 的分式方程1k y -+1＝1y k y ++的解为正数，则符合条件的所有整数k 的积为（ ） A ．2B ．0C ．﹣3D ．﹣6【答案】A【解析】【分析】解不等式组求得其解集，根据不等式组只有4个整数解得出k 的取值范围，解分式方程得出y=-2k+1，由方程的解为整数且分式有意义得出k 的取值范围，综合两者所求最终确定k 的范围，据此可得答案．【详解】 解：解不等式组301132x k x x +≤⎧⎪-⎨-≤⎪⎩得：﹣3≤x ≤﹣3k ， ∵不等式组只有4个整数解，∴0≤﹣3k ＜1， 解得：﹣3＜k ≤0， 解分式方程1k y -+1＝1y k y ++得：y ＝﹣2k +1， ∵分式方程的解为正数，∴﹣2k +1＞0且﹣2k +1≠1，解得：k ＜12且k ≠0， 综上，k 的取值范围为﹣3＜k ＜0，则符合条件的所有整数k 的积为﹣2×（﹣1）＝2，故选A ．【点睛】本题考查了解一元一次不等式组、分式方程的解，有难度，注意分式方程中的解要满足分母不为0的情况．16．如果关于x 的分式方程2ax 423x x 3++=--有正整数解，且关于y 的不等式组()3y 34y y a⎧-⎨≥⎩＞无解，那么符合条件的所有整数a 的和是（ ） A ．﹣16 B ．﹣15 C ．﹣6 D ．﹣4【答案】D【解析】【分析】先根据分式方程有正整数解确定出a的值，再由不等式组无解确定出满足题意的a的值，求出之和即可．【详解】解：分式方程去分母得：2+ax﹣2x+6＝﹣4，整理得：(a﹣2)x＝﹣12(a﹣2≠0)，解得：x12a2 =--，由分式方程有正整数解，得到a＝1，0，﹣1，﹣2，﹣4，﹣10，当a＝﹣2时，x＝3，原分式方程无解，所以a＝1，0，﹣1，﹣4，﹣10，不等式组整理得：y<9 y a-⎧⎨≥⎩，由不等式组无解，即a≥﹣9，∴符合条件的所有整数a有1，0，﹣1，﹣4，∴a＝1，0，﹣1，﹣4，之和为﹣4，故选：D．【点睛】此题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．17．学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（）A．10000x﹣90005x-=100 B．90005x-﹣10000x=100C．100005x-﹣9000x=100 D．9000x﹣100005x-=100【答案】B【解析】【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案．【详解】科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为：9000 x5 -﹣10000x=100，故选B．【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.18．小明上月在某文具店正好用 20 元钱买了几本笔记本，本月再去买时，恰遇此文具店搞优惠酬宾活动，同样的笔记本，每本比上月便宜 1 元，结果小明只比上次多用了 4 元钱，却比上次多买了 2 本．若设他上月买了 x 本笔记本，则根据题意可列方程（）A．24x2+-20x=1 B．20x-24x2+=1C．24x-20x2+=1 D．20x2+-24x=1【答案】B【解析】试题解析：设他上月买了x本笔记本，则这次买了（x+2）本，根据题意得：2020412x x+-=+，即：202412x x-=+．故选B．考点：分式方程的应用.19．两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工3个月，这时增加了乙队，两队又共同工作了2个月，总工程全部完成，已知甲队单独完成全部工程比乙队单独完成全部工程多用2个月，设甲队单独完成全部工程需x个月，则根据题意可列方程中错误的是（）A．3212x x+=-B．32212x x x++=-C．3+2212x x+=-D．3112()12x x x++=-【答案】A【解析】【分析】设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据甲队施工5个月的工程量+乙队施工2个月的工程量=总工程量1列出方程，然后依次对各方程的左边进行变形即可判断．【详解】解：设甲队单独完成全部工程需x个月，则乙队单独完成全部工程需要（x－2）个月，根据题意，得：5212x x+=-；A、3212x x+=-，与上述方程不符，所以本选项符合题意；B 、32212x x x ++=-可变形为5212x x +=-，所以本选项不符合题意； C 、3+2212x x +=-可变形为5212x x +=-，所以本选项不符合题意； D 、3112()12x x x ++=-的左边化简得5212x x +=-，所以本选项不符合题意． 故选：A ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．20．已知关于x 的分式方程22124x mx x x --=+-无解，则m 的值为（ ） A ．0B ．0或-8C ．-8或-4D ．0或-8或-4 【答案】D【解析】【分析】分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0．【详解】解：分式方程去分母得：（x−2）2−mx ＝（x ＋2）（x−2），整理得：（4＋m ）x ＝8，当m ＝−4时整式方程无解；当x ＝−2时原方程分母为0，此时m ＝−8；当x ＝2时原方程分母为0，此时m ＝0，故选：D ．【点睛】本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解分两种情况：去分母后所得整式方程无解；分式方程产生增根；是需要识记的内容．。
分式知识点总结及复习
分式知识点总结及复习一、分式的定义如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 A/B 就叫做分式。
其中 A 叫做分子，B 叫做分母。
需要注意的是，分母 B 的值不能为 0，如果 B=0，那么分式 A/B 就没有意义。
例如：1/x ，（x ＋ 2)／（x 1) 等都是分式。
二、分式有意义的条件分式有意义的条件是分母不为 0。
即对于分式 A/B ，B ≠ 0 时，分式有意义。
例如，对于分式 1/（x 2) ，要使其有意义，则x 2 ≠ 0 ，即x ≠ 2 。
三、分式的值为 0 的条件分式的值为 0 时，要同时满足两个条件：1、分子为 0 ，即 A ＝ 0 。
2、分母不为 0 ，即B ≠ 0 。
例如，若分式（x 1)／（x ＋ 2) 的值为 0 ，则 x 1 ＝ 0 且 x ＋2 ≠ 0 ，解得 x ＝ 1 。
四、分式的基本性质分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为 0 的整式，分式的值不变。
用式子表示为：A/B ＝ A×C/B×C ，A/B ＝ A÷C/B÷C （C 为不等于0 的整式）例如：化简分式 2x/（3y) ，分子分母同时乘以 2 ，得到 4x/（6y) ，分式的值不变。
五、约分把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做约分。
约分的关键是确定分子和分母的公因式。
确定公因式的方法：1、系数：取分子和分母系数的最大公约数。
2、字母：取相同字母的最低次幂。
例如：对分式（6x^2 y)／（9xy^2) 进行约分，分子分母的公因式为 3xy ，约分后得到 2x/3y 。
六、通分把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做通分。
通分的关键是确定几个分式的最简公分母。
确定最简公分母的方法：1、系数：取各分母系数的最小公倍数。
2、字母：取所有字母的最高次幂。
3、因式：取分母中出现的所有因式。
例如：将分式 1/（x^2 4) 和 1/（2x ＋ 4) 通分，分母分别为（x ＋2)（x 2) 和 2(x ＋ 2) ，最简公分母为 2(x ＋ 2)（x 2) ，通分后分别为2/2(x ＋ 2)（x 2) 和（x 2)／2(x ＋ 2)（x 2) 。
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解:设规定日期为x天，根据题意列方程
2 x 1. x x3
请完成下面的过程
例2. 已知轮船在静水中每小时行20千米， 如果此船在某江中顺流航行72千米所用 的时间与逆流航行48千米所用的时间相 同，那么此江水每小时的流速是多少千 米?
解:设江水每小时的流速是x千米，根据 题意列方程
72 48 20 x 20 x
Ｄ
－x＋y －x－y
＝
X－y
X－y
X＋y
x 7．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， 则分式的值（ B ）
Ａ
扩大３倍
Ｂ不变
Ｃ缩小１／３
Ｄ缩小１／６
xy 8．如果把分式 x＋y 中的x和y的值都扩大３倍， 则分式的值（ A ） Ａ 扩大３倍 Ｂ不变 Ｃ缩小１／３ Ｄ缩小１／６
9．若x，y的值均变为原来的１／３ （ C ）．
Ａ 是原来的１／３ Ｂ
，则分式
３xy x２＋y２
的值
是原来的１／９
Ｃ
保持不变
３a ２a＋b
Ｄ
不能确定
１0．已知分式
的值为
５／３，
若a，b的值都扩大到原来的５倍，则扩大后分式的值是 5/3
（三）约分、通分
1.约分： 把分子、分母的最大公因式(数)约去。
公因式
2.通分:
最简分式
把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式。
甲：15
乙：20
某商店第一次用600元购进2B钢笔若干 支，第二次又用600元购进2B钢笔若干支， 5 但这次每只的进价是第一次的 倍，购进 4 数量比第一次少了30支，
（1）求第一次钢笔的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的钢笔按统一价 格全部销售完毕后获利不低于420元，问每 只钢笔的售价至少是多少元？
列分式方程解应用题的一般步骤
1.审:分析题意,找出研究对象，建立等量关系.
2.设:选择恰当的未知数,注意单位. 3.列:根据等量关系正确列出方程. 4.解:认真仔细. 5.验:不要忘记检验. 6.答:不要忘记写.
例1： 一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队 独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过 规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由 乙队独做，也刚好在规定日期内完成， 问规定日 期是几天？
x ≠-2 x≠±1 x ≠±1 3.下列分式一定有意义的是( B ) X+1 A x2 X+1 B X2+1 X2 +1 C X-1 D
1 X -1
2x=y 时,分式 2x + y 无意义 4.当 x .y 满足关系 2x - y .
5.当x为何值时,下列分式的值为0? X -3 X-4 X-1 (1) (2) (3) X-3 X -2 X+1 X=4 X=1 X=-3
2
满足不等式组 x 2 1 式的符号。 2( x 1) 6
时，该代数
如果关于
x
的方程 1
x 2m 的解 2 2 x x 4
.的一个解。求
也是不等式组 1 x x 2 2 2( x 3) x 8
m
的取值范围。
复习回顾二:
1 4x 2 1 1、（98西安）解方程： 2 例1 x2 x 4 2 x
解：原方程可化为
1 4x 2 1 x 2 ( x 2)( x 2) x 2
解得 x1 1, x2 2
两边都乘以 ( x 2)( x 2) ，并整理得；
x 3x 2 0
请完成下面的过程
例3.某人骑自行车比步行每小时多走8 千米， 如果他步行12千米所用时间与 骑车行36千米所用的时间相等，求他步 行40千米用多少小时?
解:设他步行1千米用x小时，根据题意列 方程
12 36 x x 8
请完成下面的过程
例4. 甲乙两人分别从相距36千米的A、B两地相向而行， 甲从A出发到1千米时发现有东西遗忘在A地，立即返回， 取过东西后又立即从A向B行进，这样两人恰好在AB中点 处相遇。已知甲比乙每小时多走0.5千米，求二人的速度 各是多少？ 36千米
知识板块
分式及基本性质
分 式
分式的运算
分式方程及应用
（一）分式的概念
1.分式的定义: A 形如 ,其中 A ,B 都是整式, B 且 B 中含有字母.
2.分式有意义的条件:
分式无意义的条件 : 3.分式值为 0 的条件: 4.分式 分式
B≠0
B=0 A=0且 B ≠0
A B > 0 的条件: A>0 ,B>0 或 A<0, B<0
1 ab
ab B、 a b
1 1 C、 b a
1 D、 ab
3.甲加工180个零件所用的时间，乙可以加工240个零件，已
知甲每小时比乙少加工5个零件，求两人每小时各加工的零 件个数. 解：设甲每小时加工x个零件，则乙每小时加工（x+5)个零件， 依题意得：
180 x
240 = x5
请完成下面的过程
4
的值.
2.已知
1 1 x+ y
2x-3xy+2y
=
5
,求
-x+2xy-y
的值.
3.已知 x +
1
x
=3 , 求
x2
+
1
x2
的值.
变: 已知
x2
– 3x+1=0 ,求
x 2+
1
x2
的值.
1 变:已知 x+ =3 ,求 x
x2 x4+x2+1
的值.
分式的乘除、加减
（一）分式的乘除法则
a c ac b d bd
A 即：B = A ●M B ● M
A B =
应用二
分子、分母系数化整
最高次项的系数都化为正数 化简分式
应用三
1.写出下列等式中的未知的分子或分母.
( 2+ab ) a a+b = ab a2b
(1)
ab+b2 (2) = 2+b ab
(4)
a+b (ab+1) 2a2+2ab ( 2a2b )
无解
5、关于x的分式方程 2m x - 1 求m的值。
x -3
2 无解， x
m=-0.5或-1.5
方程的解有范围
m 3 1 的解为 6、关于x的分式方程 x -1 1 - x
正数，求m的值。
m>2且m
3
与不等式组的应用
x 1 x 1 化简代数式 2 ，并判断当 x x 2x x
a c a d ad b d b c bc
注意：
乘法和除法运算时,分子或分母能 分解的要分解，结果要化为最简分式 。
（二）分式的加减法则
（1）同分母分式的加减法法则： a b ab c c c
计算:
a 4b 2a - b (1) ab ab
2 2
y 1 1 x (2) 2 2 ( x y) ( y x)
x-y = ( -x-y )
２m－３ 4.与分式 的值相等的分式是（ ４－m ３－２m Ａ Ｂ ４－m ２m-３ ４－m
A
）
３－２m m－４
３－２m Ｃ Ｄ ４－m
５．下列各式正确的是（ A Ａ
－x＋y －x－y ＝ X－y X＋y
）
－x－y
＝
Ｂ
－x＋y －x－y
X＋y
Ｃ －x－y
－x＋y
＝
X＋y
(3)
a -b a+b
) a(2+b2-2ab = 2 a –b2
a+b = ab
2.下列变形正确的是( C
a a2 = b b2
)
a-b a2-b = a a2 4 = 2a+b 2 a+b
A
B
C
2-x X-2 = X-1 1-x
D
3.填空:
-a-b a+b c-d = ( d-c ) -x +y x+y
A < 0 的条件: B
A>0 ,B<0 或 A<0 ,B>0
1.下列各式(1) 3 (2) 2x 2x 3 是分式的有 3 个。
2x2 (4) x (3) x ∏
3 (5) 1- 2x
2.下列各式中x 取何值时,分式有意义.
X-1
(1) X + 2
(2)
1 X -1
(3)
4x X2 -1
(4)
1 X2 - 2x+3 x 为一切实数
解方程：
1.
2.
x- 5 x+ 1 =0 x- 3 x- 1
x- 2 8 - 1= 2 x+ 2 x - 4
x2 x0
增根
3 2 1有增根，则增根 3.若方程 2x 4 x 2
应是 x=-2。 4.解关于x的方程
2 ax 3 2 x2 x 4 x2
产生增根，则常数a= -4或6 。
2
检验：x=1是原方程的根，x=2是增根
∴原方程的根是x=1
x3 A B 例2 已知 2 2 求A、B ( x 2) x 2 ( x 2)
A 1; B 5
已知 值。
x 1 A B 2 x 2x x x 2
求A、B的
1 3 A ;B . 2 2
解 : 原式=
2
2 a ( a 1) a 1
2
( a 1)( a 1) a 1