2017_2018学年高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.1圆的标准方程学案北师大版必修2

2.1 圆的标准方程
1.掌握圆的标准方程，会根据不同条件求圆的标准方程.(重点)
2.能根据圆的标准方程求它的圆心和半径.(重点)
3.掌握圆的标准方程在求最值和实际问题中的应用.(难点)
[基础·初探]
教材整理1 圆的标准方程
阅读教材P 80“例1”以上部分，完成下列问题.
圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( ) A.(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝9 B.(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝3 C.(x ＋1)2
＋(y －2)2
＝3 D.(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝9
【解析】 由圆的标准方程可得，所求圆的方程为(x －1)2
＋(y ＋2)2
＝9. 【答案】 D
教材整理2 点与圆的位置关系
阅读教材P 80“例1”以下至P 81“练习”以上部分，完成下列问题. 1.中点坐标公式：A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的中点坐标为
⎛⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22.
2.点与圆的位置关系：已知圆O 的半径为r ，点P 到圆心O 的距离为d ，则 点P 在圆O 外⇔d >r ； 点P 在圆O 上⇔d ＝r ；
点P在圆O内⇔d<r.
点(1,1)在圆(x－1)2＋(y＋1)2＝r2上，则圆的半径r＝______.
【解析】由于点(1,1)在圆上，所以(1－1)2＋(1＋1)2＝r2，即r＝2.
【答案】 2
[小组合作型]
(1)圆心为(2，－2)，且过点(6,3)；
(2)过点A(－4，－5)，B(6，－1)且以线段AB为直径；
(3)圆心在直线x＝2上且与y轴交于两点A(0，－4)，B(0，－2).
【精彩点拨】首先确定圆心坐标和半径大小，然后再写出圆的标准方程.
【自主解答】(1)由两点间距离公式得
r＝(6－2)2＋(3＋2)2＝41，
∴所求圆的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝41.
(2)圆心即为线段AB的中点，为(1，－3).
又|AB|＝(－4－6)2＋(－5＋1)2＝229，
∴半径r＝29，
∴所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y＋3)2＝29.
(3)由圆的几何意义知圆心坐标(2，－3)，
半径r＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，
∴圆的方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝5.
直接法求圆的标准方程，就是根据题设条件，直接求圆心坐标和圆的半径这两个几何要素，然后将其代入标准方程.
[再练一题]
1.以圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心为圆心，且过原点的圆的标准方程为____________.
【导学号：39292098】【解析】法一：由题意可知，圆(x＋1)2＋(y－3)2＝9的圆心坐标为(－1,3)，
所以所求圆的半径r ＝(－1)2＋32
＝10， 即所求圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝10.
法二：由题意可设所求圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝r 2
. 又该圆过点(0,0).
故(0＋1)2
＋(0－3)2
＝r 2
，即r 2
＝10，
所以所求圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y －3)2
＝10. 【答案】 (x ＋1)2
＋(y －3)2
＝10
判断点【精彩点拨】 解答本题可以利用点P (2,0)到圆心的距离与半径比较大小，也可直接代入(x －2)2
＋(y ＋1)2
与3比较大小.
【自主解答】 法一：∵P (2,0)与圆心(2，－1)的距离
d ＝(2－2)2＋[0－(－1)]2＝1，
圆的半径r ＝3， ∴d ＜r ，
∴点P 在圆的内部.
法二：∵点P (2,0)满足(2－2)2
＋(0＋1)2
＝1＜3，∴点P 在圆的内部.
判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
的位置关系有几何法与代数法两种.对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小；对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程.
具体判断方法如下：
①当(x 0－a )2
＋(y 0－b )2
＜r 2
时，点在圆内； ②当(x 0－a )2
＋(y 0－b )2
＝r 2
时，点在圆上； ③当(x 0－a )2
＋(y 0－b )2
＞r 2
时，点在圆外.
[再练一题]
2.已知点A (1,2)不在圆C ：(x －a )2
＋(y ＋a )2
＝2a 2
的内部，求实数a 的取值范围. 【解】 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2
＋(2＋a )2
≥2a 2
， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－5
2
，又a ≠0，
∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－52，0∪(0，＋∞).
[探究共研型]
探究1 程吗？
【提示】 PQ 的方程为x ＋y －1＝0，
PQ 中点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫12，1
2
，k PQ ＝－1， 所以圆心所在的直线方程为y ＝x .
探究2 上述问题中，若圆C 的半径为1，请求出圆C 的方程. 【提示】 由条件设圆的方程为： (x －a )2
＋(y －b )2
＝1.
由圆过P ，Q 点得⎩⎪⎨⎪⎧
(1－a )2
＋b 2
＝1，
a 2＋(1－
b )2
＝1，
解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝0，
b ＝0或⎩
⎪⎨
⎪⎧
a ＝1，
b ＝1，
所以圆C 方程为：x 2
＋y 2
＝1或(x －1)2
＋(y －1)2
＝1.
已知圆过两点A (3,1)、B (－1,3)，且它的圆心在直线3x －y －2＝0
上，求此圆的方程.
【精彩点拨】 解答本题可以由所给条件确定圆心和半径，再写出方程，也可以设出方程用待定系数法求解.
【自主解答】 法一：直线AB 的斜率为k ＝3－1－1－3＝－1
2，
可知AB 垂直平分线m 的斜率为2.
AB 中点的横坐标和纵坐标分别为 x ＝
3－12＝1，y ＝1＋3
2
＝2， 因此m 的方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0.
又圆心在直线3x －y －2＝0上，所以圆心在这两条直线的交点上，联立方程组
⎩
⎪⎨
⎪⎧
2x －y ＝0，
3x －y －2＝0，⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝4，
所以圆心坐标为C (2,4).又半径r ＝|CA |＝10， 则所求圆的方程是(x －2)2
＋(y －4)2
＝10.
法二：设所求圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，依题意，
⎩⎪⎨⎪⎧
(3－a )2＋(1－b )2＝r 2
，(－1－a )2＋(3－b )2＝r 2，3a －b －2＝0，
即⎩⎪⎨⎪⎧
a 2
＋b 2
－6a －2b ＝r 2
－10，a 2＋b 2
＋2a －6b ＝r 2
－10，3a －b －2＝0，
解得⎩⎨
⎧
a ＝2，
b ＝4，r ＝10，
所以所求圆的方程是(x －2)2
＋(y －4)2
＝10.
1.用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤： (1)设出圆的标准方程.
(2)根据条件得关于a ，b ，r 的方程组，并解方程组得a ，b ，r 的值. (3)代入标准方程，得出结果.
2.求圆的标准方程时，要注意平面几何知识的应用，如已知一个圆经过两个点时，其圆心一定在这两点的中垂线上.
[再练一题]
3.求经过A (6,5)，B (0,1)两点，并且圆心C 在直线l ：3x ＋10y ＋9＝0上的圆的标准方程.
【解】 法一(待定系数法)：
设圆的标准方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
(r >0)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧
(6－a )2
＋(5－b )2
＝r 2，(0－a )2＋(1－b )2＝r 2
，
3a ＋10b ＋9＝0，
解得a ＝7，b ＝－3，r ＝65，
故所求圆的标准方程是(x －7)2
＋(y ＋3)2
＝65. 法二(几何法)：
由题意得AB 的中垂线方程为3x ＋2y －15＝0，
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x ＋2y －15＝0，3x ＋10y ＋9＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝7，
y ＝－3.
故圆心C 为(7，－3)，
于是半径r ＝|CB |＝72
＋(1＋3)2
＝65， 故所求圆的标准方程为(x －7)2
＋(y ＋3)2
＝65.
1.圆(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝2的圆心和半径分别是( ) A.(－2,3)，1 B.(2，－3)，3 C.(－2,3), 2
D.(2，－3), 2
【解析】 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2. 【答案】 D
2.已知一圆的圆心为点(2，－3)，一条直径的两个端点分别在x 轴和y 轴上，则此圆的方程是( )
A.(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝13 B.(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝13 C.(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝52 D.(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝52
【解析】 设直径两端点为A (x,0)，B (0，y )， 则圆心(2，－3)为直径中点，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
2＝x ＋02，－3＝0＋y
2
，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，
y ＝－6，∴A (4,0)，B (0，－6)，
∴r ＝12|AB |＝12×42＋62
＝13，
∴圆的标准方程为(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝13. 【答案】 A
3.若点P (－1, 3)在圆x 2
＋y 2
＝m 2
上，则实数m ＝________. 【解析】 ∵P 点在圆x 2
＋y 2
＝m 2
上， ∴(－1)2
＋(3)2
＝4＝m 2， ∴m ＝±2. 【答案】 ±2
4.圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是____________.
【解析】 由⎩⎪⎨
⎪⎧
x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，
可得x ＝2，y ＝4，即圆心为(2,4)，从而r ＝
(2－0)2
＋(4－0)2
＝25，故圆的标准方程为(x －2)2
＋(y －4)2
＝20.
【答案】 (x －2)2＋(y －4)2
＝20
5.△ABC 的三个顶点的坐标分别是A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)，求它的外接圆的方程.
【导学号：39292099】
【解】 法一：设所求圆的方程是 (x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
①
因为A (5,1)，B (7，－3)，C (2，－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程①.于是 ⎩⎪⎨⎪⎧
(5－a )2
＋(1－b )2
＝r 2
，(7－a )2＋(－3－b )2＝r 2，(2－a )2＋(－8－b )2＝r 2，
解此方程组得⎩⎪⎨⎪
⎧
a ＝2，
b ＝－3，
r ＝5，
∴△ABC 的外接圆的方程是 (x －2)2
＋(y ＋3)2
＝25.
法二：线段AB 的中垂线方程为x －2y －8＝0， 线段AC 的中垂线方程为x ＋3y ＋7＝0，
联立得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x －2y －8＝0，
x ＋3y ＋7＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝2，
y ＝－3，
∴圆心的坐标为(2，－3)， 半径为(5－2)2
＋[1－(－3)]2
＝5，
∴△ABC 的外接圆的方程是(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝25.。