第1章连续体力学知识讲解

第1章连续体力学

第一章 连续体力学

思考题

1-1 在固体的形变中，弹性模量是一个重要的参数。杨氏模量的物理意义是什么？

答：对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成正比。在拉伸应变中

l l Y

∆＝拉σ 其中，比例系数Y 称为杨氏模量。

弹性模量实际上反映了材料对形变的抵抗能力。在拉伸应变中，杨氏模量反映了材料对拉伸形变的抵抗能力。

1-2 生物材料的应力～应变关系与一般固体的应力～应变关系有什么不同？ 答：晶体材料的原子排列很有规则，原子间的键合比较紧密，可以产生较大的应力，杨氏模量一般较高；而生物材料绝大多数是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱。当受到外力拉伸时，不仅生物材料的分子本身可以伸长，而且分子之间也容易发生滑动，杨氏模量相对较小。

1-3 液体的表面张力与橡胶弹性膜的收缩力有什么不同？

答：前者来源于分子间的吸引力，后者来源于分子的形变；前者只存在于液体表面，后者存在于发生应变的弹性膜的整个横截面上。

1-4 图1-1中表示土壤中的悬着水，其上、下两液面都与大气接触。已知 上、下液面的曲率半径分别为A R 和B R (B R >A R )，水的表面张力系数为γ，密度为ρ。问悬着水高度h 为多大？

解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。对上液面应用拉普拉斯公式，得

A

A R p p γ20=

- 对下液面使用拉普拉斯公式，得 B

B 02R p p γ

=- 图1-1 土壤中的悬着水 又因为

gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=

B A 112R R g h ργ

1-5 在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。试解释这种现象的成因。

答：由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。在白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高，土壤表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因温度升高而下降，这两方面的原因使土壤表层变得干燥。相反，在夜间，土壤表面的温度较低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒间的毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度下降而凝结，从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。

1-6 连续性原理和伯努利方程是根据什么原理推出的？它们的使用条件是什么？如果液体有黏滞性，伯努利方程还能适用吗？

答：连续性原理是根据质量守恒原理推出的，连续性原理要求流体的流动是定常流动，并且不可压缩。伯努利方程是根据功能原理推出的，它的使用条件是不考虑流体的黏滞性和可压缩性，同时，还要求流动是定常流动。如果流体具有黏滞性，伯努利方程不能使用，需要加以修正。

1-7 在推导连续性原理和伯努利方程时为什么要假定流管的横截面积S ∆很小，所取的变化时间t ∆也很小？其道理何在？

答：连续性原理和伯努利方程适用于定常流动，而在定常流动中，空间各点的流速可以不同。因此，如果在推导过程中对流管的横截面不加限制，那么，通过流管某一横截面中各点的流速可以不同。若假定了流管的横截面积S ∆很小，就可以保证在S ∆上各点的流速都相同。在流体运动过程中，所取的变化时间t ∆也很小，这样才能保证在运动过程中运动速度不变，从而使得功值的计算能够简单地得出。因此，在它们的推导过程中，实际上隐含了两个无限小的思想，如果不这样假定，将无法推出连续性原理和伯努利方程。

1-8 泊肃叶公式和斯托克斯公式的适用条件是什么？

答：泊肃叶公式适用于圆形管道中的定常流动，并且流体具有黏滞性。斯托克斯公式适用于球形物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。

练习题

1-1 要设计一个最大起重量为8.9×104N 的起重机，所用钢丝绳的最小直径应该是多少？（钢的弹性极限为3×108Pa ）

解：若钢丝绳的半径为r ，绳内部某截面上的应力为

2r f S f πσ∆=∆∆=

设钢的弹性极限为e σ，则达到拉伸极限时 e r

f

σπ=∆2

由此解出

e

f

r πσ∆=

钢丝绳的最小直径为 e

f

r D πσ∆=

=42()cm 94110

3143109848

4

...=⨯⨯⨯⨯=

1-2 某人的一条腿骨长为0.4m ，横截面积平均为5×10-4m 2。用此骨支承整个体重（相当 500N 的力），其长度缩短多少？占原长的百分之几？（骨的杨氏模量按1×1010N·m -2计算）

解：物体内部某截面上的应力可以表示为

f S

σ∆=∆ 在拉伸应变中应力与相关的应变成正比，即

l Y

l σ∆拉＝ 则

50104

5000.4

410(m)110510

f l l Y S --∆⨯∆=

==⨯∆⨯⨯⨯ 41040500100.01%110510

l f l Y S --∆∆====∆⨯⨯⨯

1-3 弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中的弹性蛋白，其杨氏模量接近于橡皮。假定有一个截面积为 30cm 2的弹跳蛋白，施加 270N 的力后其长度为原长的 1.5倍，求弹跳蛋白的杨氏模量。

解：物体内部某截面上的应力可以表示为

f S

σ∆=∆

在拉伸应变中，应力有如下关系

l Y

l σ∆拉＝ 其中，Y 为杨氏模量。由上两式可得

()

)m N (108.115.1103012702

-54

0⋅⨯=-⨯⨯⨯=∆⋅∆∆=

-l l S f Y

1-4 一根不绣钢丝长为3.0m ，截面积为0.15cm 2。若悬挂一个质量为200kg 的重物，钢丝伸长多少？直径缩小多少？已知不绣钢丝的杨氏模量为1119710Pa .⨯，泊松比为0.30。

解：设钢丝所受的拉力为F ，钢丝的截面积为S ，直径为d ，纵向应变为ε，杨氏模量为Y ，由胡克定律 0

l Y l σ∆拉＝ 可得钢丝的伸长量为

00

l l F mg l S Y S Y

∆=

⋅=⋅ 其中，m 为外挂重物的质量，并已考虑到F S σ拉＝。带入数据得长度的伸长量为

3411

2009830

2010(m)0151019710

.....l ∆--⨯=

⨯=⨯⨯⨯ 由泊松比的定义知

ε

μ0

b b

∆=

其中，/b b ∆为横向应变，μ为泊松比。于是，钢丝的横向变化量为

00l b b l μεμ∆∆===⋅

带入数据得

3720100308710(m)30....b ∆--⨯=⨯=⨯

1-5 在密度为ρ的液体中沿竖直方向放置一个高为h 、底边长为a 的三角形

平板，板的上边与水面相齐，求此板面所受液体压力的大小（不考虑液面外的