第1章连续体力学知识讲解

第1章连续体力学
第一章 连续体力学
思考题
1-1 在固体的形变中，弹性模量是一个重要的参数。

杨氏模量的物理意义是什么？
答：对于一般的固体材料，若形变不超过一定的限度，应力与相关的应变成正比。

在拉伸应变中
l l Y
∆＝拉σ 其中，比例系数Y 称为杨氏模量。

弹性模量实际上反映了材料对形变的抵抗能力。

在拉伸应变中，杨氏模量反映了材料对拉伸形变的抵抗能力。

1-2 生物材料的应力～应变关系与一般固体的应力～应变关系有什么不同？ 答：晶体材料的原子排列很有规则，原子间的键合比较紧密，可以产生较大的应力，杨氏模量一般较高；而生物材料绝大多数是由非均匀材料组成的聚合物，这些聚合物的长链大分子互相纠缠在一起，彼此之间相互作用较弱。

当受到外力拉伸时，不仅生物材料的分子本身可以伸长，而且分子之间也容易发生滑动，杨氏模量相对较小。

1-3 液体的表面张力与橡胶弹性膜的收缩力有什么不同？
答：前者来源于分子间的吸引力，后者来源于分子的形变；前者只存在于液体表面，后者存在于发生应变的弹性膜的整个横截面上。

1-4 图1-1中表示土壤中的悬着水，其上、下两液面都与大气接触。

已知 上、下液面的曲率半径分别为A R 和B R (B R >A R )，水的表面张力系数为γ，密度为ρ。

问悬着水高度h 为多大？
解：在上液面下取A 点，设该点压强为A p ，在下液面内取B 点，设该点压强为B p 。

对上液面应用拉普拉斯公式，得
A
A R p p γ20=
- 对下液面使用拉普拉斯公式，得 B
B 02R p p γ
=- 图1-1 土壤中的悬着水 又因为
gh p p ρ+=A B 将三式联立求解可得 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=
B A 112R R g h ργ
1-5 在自然界中经常会发现一种现象，在傍晚时地面是干燥的，而在清晨时地面却变得湿润了。

试解释这种现象的成因。

答：由于水的表面张力系数与温度有关，毛细水上升的高度会随着温度的变化而变化，温度越低，毛细水上升的高度越高。

在白天，由于日照的原因，土壤表面的温度较高，土壤表面的水分一方面蒸发加快，另一方面土壤颗粒之间的毛细水会因温度升高而下降，这两方面的原因使土壤表层变得干燥。

相反，在夜间，土壤表面的温度较低，而土壤深层的温度变化不大，使得土壤颗粒间的毛细水上升；另一方面，空气中的水汽也会因为温度下降而凝结，从而使得清晨时土壤表层变得较为湿润。

1-6 连续性原理和伯努利方程是根据什么原理推出的？它们的使用条件是什么？如果液体有黏滞性，伯努利方程还能适用吗？
答：连续性原理是根据质量守恒原理推出的，连续性原理要求流体的流动是定常流动，并且不可压缩。

伯努利方程是根据功能原理推出的，它的使用条件是不考虑流体的黏滞性和可压缩性，同时，还要求流动是定常流动。

如果流体具有黏滞性，伯努利方程不能使用，需要加以修正。

1-7 在推导连续性原理和伯努利方程时为什么要假定流管的横截面积S ∆很小，所取的变化时间t ∆也很小？其道理何在？
答：连续性原理和伯努利方程适用于定常流动，而在定常流动中，空间各点的流速可以不同。

因此，如果在推导过程中对流管的横截面不加限制，那么，通过流管某一横截面中各点的流速可以不同。

若假定了流管的横截面积S ∆很小，就可以保证在S ∆上各点的流速都相同。

在流体运动过程中，所取的变化时间t ∆也很小，这样才能保证在运动过程中运动速度不变，从而使得功值的计算能够简单地得出。

因此，在它们的推导过程中，实际上隐含了两个无限小的思想，如果不这样假定，将无法推出连续性原理和伯努利方程。

1-8 泊肃叶公式和斯托克斯公式的适用条件是什么？
答：泊肃叶公式适用于圆形管道中的定常流动，并且流体具有黏滞性。

斯托克斯公式适用于球形物体在黏滞流体中运动速度不太大的情况。

练习题
1-1 要设计一个最大起重量为8.9×104N 的起重机，所用钢丝绳的最小直径应该是多少？（钢的弹性极限为3×108Pa ）
解：若钢丝绳的半径为r ，绳内部某截面上的应力为
2r f S f πσ∆=∆∆=
设钢的弹性极限为e σ，则达到拉伸极限时 e r
f
σπ=∆2
由此解出
e
f
r πσ∆=
钢丝绳的最小直径为 e
f
r D πσ∆=
=42()cm 94110
3143109848
4
...=⨯⨯⨯⨯=
1-2 某人的一条腿骨长为0.4m ，横截面积平均为5×10-4m 2。

用此骨支承整个体重（相当 500N 的力），其长度缩短多少？占原长的百分之几？（骨的杨氏模量按1×1010N·m -2计算）
解：物体内部某截面上的应力可以表示为
f S
σ∆=∆ 在拉伸应变中应力与相关的应变成正比，即
l Y
l σ∆拉＝ 则
50104
5000.4
410(m)110510
f l l Y S --∆⨯∆=
==⨯∆⨯⨯⨯ 41040500100.01%110510
l f l Y S --∆∆====∆⨯⨯⨯
1-3 弹跳蛋白是一种存在于跳蚤的弹跳机构和昆虫的飞翔机构中的弹性蛋白，其杨氏模量接近于橡皮。

假定有一个截面积为 30cm 2的弹跳蛋白，施加 270N 的力后其长度为原长的 1.5倍，求弹跳蛋白的杨氏模量。

解：物体内部某截面上的应力可以表示为
f S
σ∆=∆
在拉伸应变中，应力有如下关系
l Y
l σ∆拉＝ 其中，Y 为杨氏模量。

由上两式可得
()
)m N (108.115.1103012702
-54
0⋅⨯=-⨯⨯⨯=∆⋅∆∆=
-l l S f Y
1-4 一根不绣钢丝长为3.0m ，截面积为0.15cm 2。

若悬挂一个质量为200kg 的重物，钢丝伸长多少？直径缩小多少？已知不绣钢丝的杨氏模量为1119710Pa .⨯，泊松比为0.30。

解：设钢丝所受的拉力为F ，钢丝的截面积为S ，直径为d ，纵向应变为ε，杨氏模量为Y ，由胡克定律 0
l Y l σ∆拉＝ 可得钢丝的伸长量为
00
l l F mg l S Y S Y
∆=
⋅=⋅ 其中，m 为外挂重物的质量，并已考虑到F S σ拉＝。

带入数据得长度的伸长量为
3411
2009830
2010(m)0151019710
.....l ∆--⨯=
⨯=⨯⨯⨯ 由泊松比的定义知
ε
μ0
b b
∆=
其中，/b b ∆为横向应变，μ为泊松比。

于是，钢丝的横向变化量为
00l b b l μεμ∆∆===⋅
带入数据得
3720100308710(m)30....b ∆--⨯=⨯=⨯
1-5 在密度为ρ的液体中沿竖直方向放置一个高为h 、底边长为a 的三角形
平板，板的上边与水面相齐，求此板面所受液体压力的大小（不考虑液面外的
大气压）。

解：建立如图所示的坐标系，在深度为y 处取长为l 、宽度为d y 的液层，液层的面积为d S =l d y ，该液层处液体的压强为
d d f
p gy S
ρ=
= 即
y gyl f d d ρ= 由于
a
l
h y h =- 即
a h
y
h l -=
练习题4-6用图：竖直平板所受的压力
将其带入上式，得
y a h
y
h gy
f d d -=ρ 积分得整个板面所受到的压力为
⎰=-=
h
gah y a h y h gy
f 0
26
1
d ρρ
1-6 水坝长1.0km ，水深5.0m ，坡度角60º，求水对坝身的总压力。

解: 设以水坝底部作为高度起点，水坝任一点至底部的距离为h 。

在h 基础上取微元d h ，与之对应的水坝侧面面积元d S （图1-2中阴影面积）应为坡长d m 与坝长l 的乘积。

由图可知
o
sin60d sin d d h h m ==θ
水坝侧面的面积元d S 为
练习题4-7用图
d h d F
d d d sin 60h
S l m l
°
== 该面积元上所受的水压力为
0d d d [(5)]sin 60
h
F p S p ρg h l
°
==+- 水坝所受的总压力为
()[]N)(103.760sin d 5d 85
5
o
0⨯=-+==⎰⎰
h l h g p F F ρ
（注：若以水坝的上顶点作为高度起点亦可，则新定义的高度5h h ¢=-,高度微元取法不变，即d d h h ¢=，将h ¢与d h ¢带入水坝压力积分公式，同样可解出水坝所受压力大小。

）
1-7 液滴法是测定液体表面张力系数γ的一
种简易方法。

将质量为m 的待测液体吸入移液管，然后让液体缓缓从移液管下端滴出。

可以证
明，mg
nd
γπ=。

其中，n 为移液管中液体全部滴
尽时的总滴数，d 为液滴从管口下落时断口的直径。

请证明这个关系。

证明：当液滴从管口下落时，在液滴袋状表
面层会形成—个细窄的颈部，如图1-2所示。

图1-2 液滴法测表面张力系数 当液滴逐渐增大，颈部上方液面对下方液面作
用的表面张力不足以支持液滴的重量时，液滴就会由颈部断裂而下落。

假定图中圆围线 AB 为断裂痕，AB 直径d 可用移测显微镜测出，AB 界线上方液面作用于下方液面的表面张力为
2f R d γππγ=⋅=
若移液管中液体全部滴尽时的总滴数为n ，每个液滴的重量为
n mg P =mg
W n
= 于是由P f =可得
mg
nd
γπ=
1-8 在20平方公里的湖面上下了一场50mm 的大雨，雨滴半径为1.0mm 。

设温度不变，雨水在此温度下的表面张力系数为7.3-12m N 10⋅⨯-。

求释放出的能量。

解：设湖的表面积为S ，下雨使水面升高了h ，下的雨滴数为N 。

只考虑由于雨水本身表面积变化而释放的能量E ∆，有
)4(2S N r E -⋅=∆πγ
由于33
4r hS N π=
，将其带入上式可得
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⋅=∆S r hS E 3γ
带入数据得
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛⨯-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=∆---63632
1020100.1102010503103.7E )J (1018.28⨯=
1-9 假定树木的本质部导管为均匀的圆柱形导管，树液完全依靠毛细现象而上升，接触角为45º，树液的表面张力系数12m N 100.5--⋅⨯=γ。

问要使树液达到树木的顶部，高为20m 的树木所需本质部导管的最大半径为多少?
解：由毛细现象的分析可知
2cos h gr
γθ
ρ=
其中θ 为接触角。

将已知数据带入，解得
(m)106.320
8.9100.122
100.52cos 2732--⨯=⨯⨯⨯⨯
⨯⨯==
ρgh θγr 1-10 图1-3是应用虹吸现象从水库引水
的示意图。

已知虹吸管粗细均匀，其最高点B 比水库水面高出h 1=3.0m ，管口C 又比水库水面低h 2=5.0m ，求虹吸管内的流速及B 点处的压强(已知大气压为1.013Pa 105⨯)。

解：（1）设A 为水库中水面上一点，对A 点和C 点使用伯努利方程可写出
C 2
C C A 2A A 2
121gh v p gh v p ρρρρ++=++ 图1-3 习题1-10用图
取C 点为基准，0C =h ，由于水库水面下降很小，0A =v ，0C A p p p ==（0p 为大气压），2A h h =，上式即可简化为
2
C 22
1v gh ρρ=
由此解得
(m)9.90.58.9222C =⨯⨯==gh v
（2）对B 点和C 点使用伯努利方程，可写出
C 2
C C B 2B B 2
121gh v p gh v p ρρρρ++=++
取C 点为基准，0C =h ，C B v v =，21B h h h +=，0C p p =，上式化为 021B )(p h h g p =++ρ 即
Pa)(103.2)0.50.3(8.91010013.1)(435210B ⨯=+⨯⨯-⨯=+-=h h g p p ρ
1-11 一个大水池水深H ＝10m ，在水面下h ＝3m 处的侧壁开一个小孔，问
(1)从小孔射出的水流在池底的水平射程R 是多少? (2) h 为多少时射程最远?最远射程为多少?
解：（1）设水池表面压强为1p 、流速为1v 、高度为1h ，小孔处压强为2p 、流速为2v 、高度为2h ，由伯努利方程可写出
22
111222
1122p v gh p v gh ρρρρ++=++ 根据题中条件可知021p p p ==、01=v 、21h h h -=，于是，由上式可得
gh v 22=
又由运动学方程
2
2
1gt h H =
- 可解出
g
h H t )
(2-=
则水平射程为
)(4)
(222h H h g
h H gh t v R -=-⋅
== 带入数据解得
9.17(m)R ===
（2）根据极值条件，在
0d d =h
R
时，R 出现最大值，即 022
=--h
Hh h H
R 出现最大值。

由此解出h =5m 时，R 出现最大值，此时R =10m 。

1-12 欲用内径为1cm 的细水管将地面上内径为2cm 的粗水管中的水引到5m 高的楼上。

已知粗水管中的水压为4×105Pa ，流速为4m·s －1。

若忽略水的黏滞性，问楼上细水管中的流速和压强分别为多少？
解：由连续性原理
1122v S v S =
解出细水管出口处的流速为
(
)
(
)
()
1-2
2
2
2
2112s m 161011024⋅=⨯⨯⨯⨯⨯==--ππS S v v
再根据伯努利方程
22111222
1122p v gh p v gh ρρρρ++=++
可知细水管出口处的压强2p 为
22
2121122
121gh v gh v p p ρρρρ--++
=, 带入已知数据，解得
(Pa)103252⨯=.p
1-13 下面是一个测定农药、叶肥等液体黏滞系数的简易方法。

在一个宽大
玻璃容器底部连接一根水平的细玻璃管，测定单位时间内由细管流出的液体质量即可知。

若已知细管内直径d =0.1cm ，细管长l ＝10cm ，容器内液面高h =5cm ，液体密度为 1.9×103kg·m －3，测得1min 内自细管流出的液体质量m =0.66×10-3kg ，问该液体的为多少？
解：由泊肃叶流量公式可知
l
gh R l p p R q v ηρπηπ884214=-=）（
又由
t
m
t V q v ρ==
由上两式可得
lm
gh R t η842πρ=
带入已知数据，可解出
()
s)
Pa (04.01066.010*******.92101.014.360109.13224
223⋅=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯⨯⨯⨯=----
1-14 设动脉血管的内半径为34010m .-⨯，流过该血管的血液流量为
6311010m s .-⨯⋅－，血液的黏滞系数为31053-⨯.Pa·
s 。

求：（1）血液的平均流速；（2）血管中心的最大流速；（3）如果血管长度为0.1m ，维持这段血管中血液流动所需要的功率为多大？
解：（1）平均流速为
6
213210 1.9910(m s )(410)
v q v S π----===⨯⋅⨯⨯ （2） 22m 109831099122--⨯=⨯⨯==..υυ（m·s -1）
（3）选取r ~r +d r 的圆筒形流层，设流层的流速为v 、流层两端的压强分别为1p 和2p ，该层流体流动时所需的功率为
12d ()2d P p p r r v π=-⋅
其中，速率v 由泊肃叶速度方程给出：
2212()4p p v R r l
η-=-（） 于是，整个血管内的血液流动时所需要的功率为
()()
r r r R l p p p p P R d 242221021πη-⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅-=⎰ ()l
p p R ηπ82214-= 再将泊肃叶流量方程
）（l
p p R q v 2148-=ηπ 带入上式可得 ()()432
6
3421041431010105388---⨯⨯⨯⨯⨯⨯==...R lq P V πη
即
(W)103.486-⨯=P
η
由本例题可看出，黏滞系数越大，压强差就越大，功率也就越大．有些疾病可使血液的黏滞系数增加至正常值的几倍以上，这将迫使心脏要做更多的功才能维持正常的血液循环，从而诱发高血压和心脏病。

1-15 如果液体的黏滞系数较大，可采用沉降法测定液体的黏滞系数。

现使一个密度为2.55×103kg·m －3、直径为6mm 的玻璃球在甘油中由静止落下，测得小球的收尾速度为3.1cm·s -1。

已知甘油的密度为1.26×103kg·m －3，问甘油的黏滞系数为多少?
解：用沉降法测黏滞系数时
20T
2(
)9gr v ρρη-= 带入已知数据，解得 2T 092gr v ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=ρρη ()()
2323
1038.9101.31026.155.292--⨯⨯⨯⨯⨯-⨯= s)Pa (82.0⋅=
1-16 沉降法也可用于测定土壤颗粒的大小。

若已知20℃时土粒密度为2.65 ×103kg·m －3，水的密度为9.98×102kg·m －3，水的黏滞系数为1.005×10－3Pa·s,土粒在水中匀速下降0.15m 时所需的时间为67s 。

土粒的半径为多少?
解：土粒沉降平衡时
20T 2()9v gr ρρη
-= 考虑到t S v =T ，由此可解出r 为 ()t
S g r ⋅-⋅=029ρρη
其中，S 为土粒在水中匀速下降的距离，t 为沉降时间。

将已知数据带入上式可解得 ()()m 1050.28
.916715.010998.065.210005.129533--⨯=⨯⨯⨯-⨯⨯=r
1-17 一个红细胞可以近似地认为是一个半径为2.0×10－
6m 的小球，它的密度是1.09×103kg·m －3。

试计算它在重力下在37℃的血液中沉淀lcm 所需的时间。

假定血液的黏滞系数为 1.2×10－3Pa·s ，密度为1.04×103kg·m －3。

如果利用一台加速度g r 5210=ω的超速离心机，沉淀同样距离所需的时间又是多少？
解：（1）由沉降速度的公式 20T 2()9v gr ρρη
-= 考虑到沉降速度为
T S v t
=
其中，S 为沉降距离，t 为相应的沉降时间。

由上两式可解出t 的表达式，再将数据带入可得 ()2
029gr S t ρρη-⋅= ()()
2632
3100.28.91004.109.1101102.129---⨯⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯= ＝()s 1076.24⨯
（2）如果利用一台加速度2510r g ω=的超速离心机，则上式中的g 要用2510r g ω=取代。

于是
()2
2029r S r t ⋅-⋅=ωρρη ()()
262
533100.2101108.91004.109.1102.129---⨯⨯⨯⨯⨯⨯-⨯⨯= ()s 28.0=
1-18 动物主动脉的横截面积为3cm 2，血流的黏滞系数为3.5×10－3Pa·s ，
血液密度为1.05×103kg·m －3。

若血液以30cm·s -1的平均速度流动，此时血流是层
流还是湍流?
解：设主动脉的直径为D ，横截面积为S ，血流密度为ρ，平均流速为v ，黏度为η，则血流的雷诺数为
1760e ρDνR η==== 由于R e < 2000，所以此时的血流为层流。