北师大版数学九年级下册第二章2.4(2)二次函数的应用(导学案,无答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数学案：二次函数讲义(不含答案)
北师大版九年级数学下册第二章二次函数教案：二次函数讲义（不含答案）二次函数讲义【基础知识精讲】1、二次函数的定义： 一般地 ,形如y2bx．(0)的函数，叫做二次函数。
axc a2、二次函数的性质：当 a ﹥ 0 时，① 抛物线张口向，且向上无穷延长② 极点坐标（b , 4ac b 2 ） 对称轴是直线： xb 。
2a4a2a③ 当 xb 时， y 随 x 增大而增大；当 x b时， y 随 x 增大而减小。
2a2a当 xb4ac b 2. ④时， y 最小值 4a2a当 a ﹤ 0 时，① 抛物线张口向下，且向下无穷延长② 极点坐标（b , 4ac b 2）对称轴是直线： x b .2a 4a 2a③ 当 xb b 时， y 随 x 增大而减小；当 x2a 2a④当 xb4ac b 2时， y 最大值.2a 4a时， y 随 x 增大而增大。
3、二次函数的三种表示方式 : ①.分析法； ②.列表法； ③ .图像法。
4、求二次函数分析式的三种基本方法:① 一般式 yax 2 bx c ．② 极点式 y a( x h) 2 k ③ 交点式 y a(x x 1 )(x x 2)5、抛物线 y=ax 2+bx+c （a ≠0）与系数 a 、 b 、 c 的关系以下：① a 的正负决定抛物线张口方向和增减性，a 决定抛物线张口大小② c 确立抛物线与 y 轴交点的地点，交点坐标（ 0 ，c ）③ xb。
决定对称轴地点，对称轴为直线xb 。
2a2a④ b 24ac : 决定抛物线与 x 轴交点个数⑤ bb 2 4acx 轴交点坐标 A(x 1， 0) 、 B （x 2 ，0 ）x 1,2: 决定抛物线与2ab 2 4 a cx 轴两交点 A 、 B 间的距离 AB x 1x 2⑥a : 决定抛物线与 a3、二次函数的三种表示方式 : 1.分析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系 ;2.列表法：用列出表格来表示两个变量之间的对应关系 ;3.图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系。
北师大版九年级下册数学2.4.2二次函数的应用(教案)
1.理论介绍：首先，我们要了解二次函数的基本概念。二次函数是形如y = ax^2 + bx + c（a≠0）的函数。它在生活中有着广泛的应用，如最优化问题、几何图形等。
2.案例分析：接下来，我们来看一个具体的案例。这个案例将展示二次函数在实际中的应用，以及它如何帮助我们解决问题。
-二次函数的最值问题：掌握求解最大（小）值的方法，理解最值与抛物线开口方向、顶点坐标的关系；
-实际问题中的二次函数模型构建：如何将实际问题转化为二次函数模型，并应用相关知识解决问题。
举例解释：讲解二次函数标准形式时，通过具体例子（如y = 2x^2 + 4x + 1）说明a、b、c的取值如何影响抛物线的开口、宽度、平移等。
在学生小组讨论环节，我发现大家对于二次函数在实际生活中的应用有很多独特的见解，这充分展示了他们的创新思维。但同时，我也发现有些学生在分析问题时思路不够清晰，需要我在旁边给予适当的引导。因此，我认为在今后的教学中，应该多设置一些开放性的问题，培养学生的逻辑思维和分析能力。
总之，今天的课堂教学让我认识到，在教授二次函数这部分内容时，要关注学生的理解程度和实际应用能力。在今后的教学中，我将不断调整和改进教学方法，努力提高学生们的数学核心素养。
北师大版九年级下册数学2.4.2二次函数的应用（教案）
一、教学内容
本节课选自北师大版九年级下册数学第二章“函数与方程”第四节“二次函数”的2.4.2小节“二次函数的应用”。教学内容主要包括以下几部分：
1.二次函数在实际问题中的应用，如求解最大（小）值问题；
2.利用二次函数的性质解决几何问题，如抛物线与坐标轴的交点、对称轴、顶点等；
2.思维与探究：培养学生通过观察、分析、归纳等方法，发现二次函数的规律和特点，提升逻辑推理和数学探究的核心素养；
北师大9年级下第二章二次函数应用导学案(无答案)
二次函数应用【教学重难点】1、抛物线y=a （x-h ）²+k ，当x=h 时，y 的最值为k. 抛物线y=ax 2+bx+c(a ≠0)，当x=-时，y 的最值为.2、总销售利润=单件销售利润×销售总量=（销售单价—单件成本）×销售总量 3、注意自变量的取值范围（根的合理性及取舍问题） 【教学目标】针对具体的应用问题，能根据题目设出二次函数的表达式，或是根据题目把表达式列出来。
同时，掌握最值的求法（注意自变量的取值范围）。
【随堂练习】1、某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元．市场调查发现，在一段时间内，销售量w （千克）随销售单价x （元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w ＝－2x ＋240．设这种绿茶在这段时间内的销售利润为y （元），解答下列问题： （1）求y 与x 的关系式； （2）当x 取何值时，y 的值最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？2、某服装公司试销一种成本为每件50元的T 恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）．（1）求与之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为元，求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；根据题意判断：当取何值时，的值最大？最大值是多少？3、某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价（元）与销售月份（月）满足关系式y1,而其每千克成本（元）与销售月份（月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定的值；400 300y (件)（2）求出这种水产品每千克的利润（元）与销售月份（月）之间的函数关系式；（3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？4、某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x 米，面积为S 平方米。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章2.4.2《二次函数的应用》主要介绍了二次函数在实际生活中的应用。
通过本节课的学习，学生能够理解二次函数在实际问题中的作用，掌握二次函数解决实际问题的方法，提高解决实际问题的能力。
教材内容主要包括两个方面：一是二次函数在几何中的应用，如抛物线的性质；二是二次函数在实际生活中的应用，如最值问题、利润问题等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题，因此在教学过程中，需要引导学生将实际问题抽象成二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。
三. 教学目标1.理解二次函数在实际问题中的作用，提高解决实际问题的能力。
2.掌握二次函数解决实际问题的方法，能够将实际问题转化为二次函数模型。
3.培养学生的抽象思维能力和实际问题解决能力。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的应用。
2.难点：如何将实际问题转化为二次函数模型，并运用二次函数的知识解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例分析法：分析典型例题，让学生掌握二次函数解决实际问题的方法。
3.小组讨论法：分组讨论，培养学生的合作精神和解决问题的能力。
4.启发式教学法：引导学生主动思考，提高学生的抽象思维能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的应用。
2.典型例题：挑选具有代表性的例题，让学生进行分析。
3.练习题：准备适量的练习题，巩固所学知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如抛物线形状的物体，引入二次函数在实际问题中的应用。
提问：这些实际问题能否用我们学过的二次函数来解决？2.呈现（10分钟）呈现典型例题，让学生进行分析。
北师大版九年级数学下册：第二章2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品说课稿一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质的基础上进行的一节实践活动课。
本节课通过实例让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材中给出了两个实例：制作轴对称图案和确定顶点式二次函数的图象，教师可以在此基础上进行拓展，让学生更好地理解二次函数的应用。
二. 学情分析九年级的学生已经掌握了二次函数的基本知识，对二次函数的图象与性质有了初步的了解。
但学生在应用二次函数解决实际问题时，往往因为不能将实际问题与数学知识很好地结合起来而遇到困难。
因此，在教学过程中，教师需要引导学生将实际问题转化为数学问题，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生的应用意识。
2.使学生掌握利用二次函数解决实际问题的方法，提高学生的数学素养。
3.培养学生合作学习、交流分享的习惯，增强学生的团队意识。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用二次函数解决实际问题的能力。
2.教学难点：如何将实际问题转化为数学问题，如何利用二次函数解决实际问题。
五. 说教学方法与手段1.采用问题驱动的教学方法，引导学生主动探究二次函数在实际生活中的应用。
2.利用多媒体课件展示实例，直观地展示二次函数的图象与性质。
3.学生进行小组讨论，培养学生合作学习的能力。
4.教师进行适时点拨，帮助学生突破思维瓶颈。
六. 说教学过程1.导入新课：通过展示生活中的实例，引发学生对二次函数应用的思考，激发学生的学习兴趣。
2.探究新知：让学生自主探究教材中的实例，理解二次函数在实际生活中的应用。
3.小组讨论：让学生分组讨论，分享各自的想法，培养学生的合作意识。
4.教师讲解：针对学生的讨论，教师进行讲解，引导学生正确运用二次函数解决实际问题。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教案
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.2《二次函数的应用》精品教案一. 教材分析《二次函数的应用》是北师大版九年级数学下册第二章第四节的一部分。
这部分内容主要让学生了解二次函数在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
教材通过生动的例题和练习题，使学生掌握二次函数图像的特点，学会通过二次函数图像解决实际问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的基本知识，对二次函数的图像和性质有一定的了解。
但学生在解决实际问题时，往往不知道如何将实际问题转化为二次函数问题。
因此，在教学过程中，教师需要帮助学生建立实际问题与二次函数之间的联系，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.让学生掌握二次函数图像的特点，了解二次函数在实际生活中的应用。
2.培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
3.提高学生对数学的兴趣，培养学生的创新意识。
四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握二次函数图像的特点，学会通过二次函数图像解决实际问题。
2.教学难点：如何将实际问题转化为二次函数问题，如何引导学生运用数学知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中发现数学问题，培养学生的数学思维。
2.利用多媒体辅助教学，展示二次函数图像，让学生更直观地了解二次函数的特点。
3.采用分组讨论的教学方法，鼓励学生合作交流，提高学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.准备相关的实际问题，用于引导学生转化为二次函数问题。
2.准备多媒体教学课件，展示二次函数图像。
3.准备练习题，巩固学生对二次函数应用的掌握。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如抛物线运动、物体运动等，引导学生思考这些问题是否可以转化为二次函数问题。
让学生认识到二次函数在实际生活中的重要性。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体课件，展示二次函数图像的特点，如开口方向、顶点坐标、对称轴等。
同时，教师通过举例讲解，让学生了解如何从实际问题中提取二次函数的信息。
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.2二次函数的应用导学案新版北师大版 - 副本
2.4.2二次函数的应用预习案一、预习目标及范围：1.经历探索T 恤衫销售过程中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,感受数学的应用价值.2.掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值．预习范围：P48-49二、预习要点二次函数的最值问题和增减性： 系数a 的符号a b x 2-=时， 最值a b ac 442- 增减性 a ＞0最小值 a ＜0最大值三、预习检测1.某商店经营衬衫,已知所获利润y(元)与销售的单价x(元)之间满足关系式y=–x 2+24x+2 956，则获利最多为______元2. 某旅行社要组团去外地旅游,经计算所获利润y(元)与旅行团人员x(人)满足关系式y=–2x 2+80x+28 400，要使所获营业额最大,则此旅行团有_______人.3.（兰州·中考） 如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给小明做了一个简易的秋千.拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为 米.探究案一、合作探究活动内容1：活动1：小组合作二次函数y=a(x-h)2+k(a ≠0)，顶点坐标为（h,k ）,则（1）a>0时，y 有最小值 （ ）；（2）当a<0时，y有最大值（）【探究】某商店经营T恤衫,已知成批购进时单价是2.5元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在一段时间内,单价是13.5元时,销售量是500件,而单价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时,可以获利最多?【解析】设销售单价为x (x≤13.5)元,那么销售量可以表示为: 件;每件T恤衫的利润为: 元;所获总利润可以表示为: 元;即y=-200x2+3 700x-8 000=-200(x-9.25)2+9 112.5∴当销售单价为元时,可以获得最大利润,最大利润是元.活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.活动内容2：典例精析例题2（武汉·中考）某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天180元时，房间会全部住满．当每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间的房价每天增加x元（x为10的整数倍）．(1)设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围.(2)设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式.(3)一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大？最大利润是多少元？【解析】例题3（青海·中考）某水果批发商场经销一种水果，如果每千克盈利5元，每天可售出200千克，经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克涨价1元，销售量将减少10千克.（1）现该商场要保证每天盈利1 500元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2）若该商场单纯从经济利益角度考虑，这种水果每千克涨价多少元，能使商场获利最多？二、随堂检测1.（株洲·中考）某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y=-（x-2）2+4（单位：米）的一部分，则水喷出的最大高度是( )A.4米B.3米C.2米D.1米2.（德州·中考）为迎接第四届世界太阳城大会，德州市把主要路段路灯更换为太阳能路灯．已知太阳能路灯售价为5 000元/个，目前两个商家有此产品．甲商家用如下方法促销：若购买路灯不超过100个，按原价付款；若一次性购买100个以上，则购买的个数每增加一个，其价格减少10元，但太阳能路灯的售价不得低于3 500元/个．乙商家一律按原价的80℅销售．现购买太阳能路灯x个，如果全部在甲商家购买，则所需金额为y1元；如果全部在乙商家购买，则所需金额为y2元.（1）分别求出y1，y2与x之间的函数关系式.（2）若市政府投资140万元，最多能购买多少个太阳能路灯？3.桃河公园要建造圆形喷水池.在水池中央垂直于水面处安装一个柱子OA,O恰在水面中心,OA=1.25m.由柱子顶端A处的喷头向外喷水,水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下,为使水流形状较为漂亮,要求设计成水流在距离OA 1m处达到最大高度2.25m.如果不计其他因素,那么水池的半径至少要多少米,才能使喷出的水流不致落到池外？4．（青岛·中考）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似地看作一次函数：（1）设李明每月获得利润为w（元），当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？（2）如果李明想要每月获得2 000元的利润，那么销售单价应定为多少元？（3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低于2 000元，那么他每月的成本最少需要多少元？（成本＝进价×销售量）参考答案预习检测：1.31002.203.0.5随堂检测1. 【解析】选A. 抛物线的顶点坐标为（2,4），所以水喷出的最大高度是4米.2. 【解析】（1）由题意可知，当x≤100时，购买一个需5 000元，故y1=5 000x当x>100时，因为购买个数每增加一个，其价格减少10元但售价不得低于3 500元/个，所以x≤5 000 3 500100250 10-+=即100<x≤250时，购买一个需5 000-10(x-100)元，故y1=6 000x-10x2；当x>250时，购买一个需3 500元，故y1=3 500x;21 5 000x,y 6 000x 10x ,3 500x,⎧⎪=-⎨⎪⎩所以 0x 100100x 250x 250≤≤<≤>2500080%4000.y x x =⨯=(2) 当0≤x ≤100时，y 1=5 000x ≤500 000<1 400 000；当100<x ≤250时，y 1=6 000x -10x 2=-10(x -300)2+900 000<1 400 000；∴由35001400000x = 得到x=400由40001400000x = 得到350400x =<故选择甲商家，最多能购买400个太阳能路灯3. 【解析】建立如图所示的坐标系,根据题意得,点A(0,1.25),顶点B(1,2.25).设抛物线的表达式为y=a(x-h)2+k,由待定系数法可求得抛物线表达式为:y=-(x-1)2+2.25. 当y=0时,得点C(2.5,0);同理,点D(-2.5,0).根据对称性,那么水池的半径至少要2.5m,才能使喷出的水流不致落到池外.4.解析：（1）由题意，得：w = (x －20)·y=(x －20)·(-10x+500)=-10x 2+700x-10 000 当352b x a=-= 时，w 有最大值. 答：当销售单价定为35元时，每月可获得最大利润．（2）由题意，得：21070010 000 2 000.x x -+-=解这个方程得：x 1 = 30，x 2 = 40．答：李明想要每月获得2 000元的利润，销售单价应定为30元或40元.（3）∵10a=-<0∴抛物线开口向下.∴当30≤x≤40时，w≥2 000．∵x≤32，∴当30≤x≤32时，w≥2 000．设成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500)=-200x+10 000, ∵k=-200＜0，∴P随x的增大而减小.∴当x = 32时，P最小＝3 600.答：想要每月获得的利润不低于2 000元，每月的成本最少需要3 600元．如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
2023年北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案
新北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》导学案一、温故知新——请同学们根据题意写出下列各题的函数关系式。
1.正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式。
2.已知正方形的周长为20，若其边长增加x，面积增加y，求y与x之间的表达式。
3.已知正方形的周长是x，面积为y，求y与x之间的函数表达式。
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?第二段：【白天长课导学】一、学习目标与要求：1. 能根据题意列出函数关系式，并能通过配方求出最值。
二、定向导学、合作交流、教师精讲定向导学、合作交流、教师精讲摘记【合作探究一】一养鸡专业户计划用116m长的篱笆围成如图所示的三间1.长方形鸡舍，门MN宽2m，门PQ和RS的宽都是1m，怎样设计才能使围成的鸡舍面积最大？【合作探究二】某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?课题：第二章§2-6-1 二次函数的应用课型：新授总第9课时－18模块五：当堂训练班级：九（）班姓名：一、解答题。
请根据本节课所学知识解答。
1．如图⑴，在Rt△ABC中，AC=3cm，BC=4cm，四边形CFDE为矩形，其中CF、CE在两直角边上，设矩形的一边CF=xcm．当x取何值时，矩形ECFD的面积最大？最大是多少？2、如图⑵，在Rt△ABC中，作一个长方形DEGF，其中FG边在斜边上，AC=3cm，BC=4cm，那么长方形DEGF的面积最大是多少？3、如图⑶，已知△ABC，矩形GDEF的DE边在BC边上．G、F分别在AB、AC边上，BC=5cm，S△ABC为30cm2，AH为△ABC在BC边上的高，求△ABC的内接长方形的最大面积。
4、如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏。
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计
北师大版九年级数学下册：第二章 2.4.1《二次函数的应用》精品教学设计一. 教材分析北师大版九年级数学下册第二章《二次函数的应用》是学生在学习了二次函数的图象与性质之后，进一步运用二次函数解决实际问题的课程。
本节内容通过现实生活中的实例，让学生了解二次函数在实际问题中的应用，培养学生的数学应用能力。
教材内容主要包括：二次函数在实际问题中的运用，二次函数的综合应用等。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了二次函数的图象与性质，对二次函数有一定的理解。
但学生在解决实际问题时，往往难以将数学知识与实际问题相结合。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生将二次函数知识运用到实际问题中，提高学生的数学应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生能够理解二次函数在实际问题中的运用，提高学生的数学应用能力。
2.过程与方法：通过解决实际问题，培养学生将数学知识运用到实际中的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养。
四. 教学重难点1.重点：二次函数在实际问题中的运用。
2.难点：如何将二次函数知识灵活运用到实际问题中。
五. 教学方法1.情境教学法：通过现实生活中的实例，引导学生理解二次函数在实际问题中的应用。
2.案例教学法：分析典型实例，让学生学会如何将二次函数知识运用到实际问题中。
3.小组合作学习：培养学生团队合作精神，提高学生的数学应用能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示二次函数在实际问题中的运用。
2.实例材料：收集一些实际问题，作为教学案例。
3.练习题：准备一些练习题，巩固学生对二次函数应用的理解。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一些实际问题，如：抛物线形的跳板、抛物线形的桥梁等，引导学生思考：这些实际问题与二次函数有什么关系？2.呈现（10分钟）呈现一个实际问题：小明家有一个抛物线形的菜园，菜园的顶点在原点，开口向上，对称轴为y轴。
已知菜园的面积为40平方米，问：菜园的最大宽度是多少？引导学生分析问题，明确需要运用二次函数的知识来解决。
北师大版九年级下册 第二章 《二次函数》(二次函数的图像性质)专题教学案(无答案)
二次函数的图像性质◆【知识目标•考点导航】◆1、二次函数的定义：形如2y ax bx c=++（0a≠，a，b，c均为常数）的函数；要点：（1）解析式为整式；（2）自变量最高次数为2；（3）0a≠◆2、几种常见表达形式：（1）2y ax=；（2）2y ax k=+；（3）2()y a x h=-；（4）2()y a x h k=-+（顶点式）；（5）12()()y a x x x x=--（交点式）。
◆3、二次函数的图像及其性质：二次函数的图像是一条抛物线。
是轴对称图形。
函数的增减性以对称轴为界分别讨论。
yxOyxOyxOyxO2y ax=2y ax k=+2()y a x h=-2()y a x h k=-+x h=y k=最◆4、抛物线2y ax bx c =++（0a ≠）的顶点坐标公式：（2ba-，244ac b a -）；对称轴是直线：2b x a =-；当2bx a=-时，函数有最值：244ac b y a -=。
◆5、二次函数图像的平移：左加右减，上加下减。
◆6、求抛物线与坐标轴的交点，求两个函数图像交点坐标。
◆【典型例题•方法技巧平台】【考点1】----二次函数的定义 【例1】已知函数x m x m y m m)1()1(232-++=--（m 为常数）。
（1）m 为何值时，这个函数为二次函数？ （2）m 为何值时，这个函数为一次函数？ ◆目标训练1：1、下列函数中，关于x 的二次函数是（ ）。
A 、22-+=xx y B 、x x x y )1(2+-= C 、)1(23x x x y -+= D 、22)1(-=x y2、已知22)2(-+=kx k y 是二次函数，则=k【考点2】----二次函数的顶点、对称轴、最值【例2】写出下列抛物线的对称轴方程、顶点坐标及最大或最小值； （1）3212+-=x y （2）4)3(2-+-=x y （3）13212--=x x y◆目标训练2：1、已知抛物线的解析式为1)2(2+-=x y ，则抛物线的顶点坐标是( )A 、(2-,1)B 、(2，1)C 、(2，1-)D 、(1，2)2、用配方法求抛物线21312y x x =-+-的顶点坐标，对称轴方程及最值。
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用教案（新版）北师大版
九年级数学下册第2章二次函数2.4二次函数的应用2.4.1二次函数的应用教案（新版）北师大版第一篇：九年级数学下册第2章二次函数 2.4 二次函数的应用 2.4.1 二次函数的应用教案 (新版)北师大版2.4.1二次函数的应用一、教学目标1.掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．2.学会分析和表示不同背景下实际问题中的变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识解决实际问题．二、课时安排 1课时三、教学重点掌握长方形和窗户透光最大面积问题，体会数学的模型思想和数学应用价值．四、教学难点运用二次函数的知识解决实际问题．五、教学过程（一）导入新课引导学生把握二次函数的最值求法：(1)最大值：(2)最小值：（二）讲授新课活动1：小组合作如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD 分别在两直角边上.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym,当x取何值时,y的值最大？最大值是多少?2解：(1)设AD=bm,易得b=-3x+30.4 33(2)y=xb=x(-x+30)=-x2+30x4432=-(x-20)+300.4b4ac-b2或用公式:当x=-=20时,y最大值==300.2a4a活动2：探究归纳先将实际问题转化为数学问题，再将所求的问题用二次函数关系式表达出来，然后利用顶点坐标公式或者配方法求出最值，有时必须考虑其自变量的取值范围，根据图象求出最值.（三）重难点精讲例题:某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?解：由4y+7x+πx=15.得y=15-7x-πx.4πx215-7x-πxπx2窗户面积S=2xy+=2x()+2427157152=-x2+x =-(x-)22214+225.56b154ac-b2225 当x=-=≈1.07时,s最大值==≈4.02.2a144a56即当x≈1.07m时，窗户通过的光线最多.此时窗户的面积为4.02m.（四）归纳小结“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.（五）随堂检测1．（包头·中考）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm．2．（芜湖·中考）用长度为20m的金属材料制成如图所示的金属框，下部为矩形，上部为等腰直角三角形，其斜边长为2x m．当该金属框围成的图形面积最大时，图形中矩形的相邻两边长各为多少？请求出金属框围成的图形的最大面积．23．（潍坊·中考）学校计划用地面砖铺设教学楼前的矩形广场的地面ABCD，已知矩形广场地面的长为100米，宽为80米，图案设计如图所示：广场的四角为小正方形，阴影部分为四个矩形，四个矩形的宽都是小正方形的边长，阴影部分铺设绿色地面砖，其余部分铺设白色地面砖．（1）要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，那么矩形广场四角的小正方形的边长为多少米？（2）如图铺设白色地面砖的费用为每平方米30元，铺设绿色地面砖的费用为每平方米20元，当广场四角小正方形的边长为多少米时，铺设广场地面的总费用最少？最少费用是多少？4．（南通·中考）如图，在矩形ABCD中，AB=m（m是大于0的常数），BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F，设CE=x，BF=y．（1）求y关于x的函数关系式.（2）若m=8，求x为何值时，y 的值最大，最大值是多少？（3）若y= 12，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？ m5.（河源·中考）如图，东梅中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个矩形地块作生物园，矩形的一边用教学楼的外墙，其余三边用竹篱笆．设矩形的宽为x，面积为y．（1）求y与x的函数关系式，并求出自变量x的取值范围.（2）生物园的面积能否达到210平方米？说明理由．【答案】 1.12.5 2.根据题意可得：等腰三角形的直角边为2xm矩形的一边长是2xm,其邻边长为20-4+22x2()=10-2+2x,()1所以该金属框围成的面积S=2x•⎡10-2+2x⎤+⨯2x•2x⎣⎦2()10当x==30-202时,金属框围成的图形面积最大.3+22此时矩形的一边长为2x=60-402(m),另一边长为10-2+2⨯103-22=102-10(m).()()S最大=300-2002(m2).3.解;（1）设矩形广场四角的小正方形的边长为x米，根据题意得：4x＋（100－2x）（80－2x）＝5 200，整理得x－45x＋350＝0，解得x1＝35，x2＝10，经检验x1＝35，x2＝10均适合题意，所以，要使铺设白色地面砖的面积为5 200平方米，则矩形广场四角的小正方形的边长为35米或者10米．（2）设铺设矩形广场地面的总费用为y元，广场四角的小正方形的边长为x米，则y＝30[4x＋(100－2x)(80－2x)]＋20[2x(100－2x)＋2x(80－2x)] 即y＝80x－3 600x＋240 000，配方得y＝80（x－22．5）＋199 500，当x＝22．5时，y的值最小，最小值为199 500，所以当矩形广场四角的小正方形的边长为22．5米时，铺设矩形广场地面的总费用最少，最少费用为199 500元． 4.⑴在矩形ABCD中，∠B=∠C=90°，∴在Rt△BFE中，∠1+∠BFE=90°，又∵EF⊥DE，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠BFE，∴Rt△BFE∽Rt△CED，22222∴BFBEy8-x=, ∴= CECDxm8x-x2即y=m8x-x212,化成顶点式: y=-(x-4)+2 ⑵当m=8时，y=888x-x12（3）由y=，及y=得关于x的方程: mmx2-8x+12=0，得x1=2，x2=6 ∵△DEF中∠FED是直角，∴要使△DEF是等腰三角形，则只能是EF=ED，此时，Rt△BFE≌Rt△CED，∴当EC=2时，m=CD=BE=6；当EC=6时，m=CD=BE=2.即△DEF为等腰三角形，m的值应为6或2.5.解：（1）依题意得：y=(40-2x)x．∴y=-2x+40x．x的取值范围是0< x <20．（2）当y=210时，由（1）可得，-2x+40x=210．即x-20x+105=0．∵ a=1，b=-20，c=105，∴(-20)2-4⨯1⨯105<0，∴此方程无实数根，即生物园的面积不能达到210平方米．六．板书设计2.4.1二次函数的应用 22探究：例题:“最大面积” 问题解决的基本思路：1.阅读题目，理解问题.2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系.3.用数量的关系式表示出它们之间的关系.4.根据二次函数的最值问题求出最大值、最小值.5.检验结果的合理性.七、作业布置课本P47练习练习册相关练习八、教学反思第二篇：北师大版2.4 二次函数的应用教案第二章二次函数2.4 二次函数的应用（1）一、知识点1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路.2.求几何图形面积的常见方法.二、教学目标知识与技能：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值．过程与方法：1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．情感与态度：1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值．2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格．3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力．三、重点与难点重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题.难点：把实际问题转化成函数模型.四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4）1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园.(2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路.2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x 米，面积为S平方米.(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积.设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程.五、探究新知(放幻灯片5、6、7）探究一：如图,在一个直角三角形的内部画一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上，AN=40m，AM=30m.(1)设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？(2)设矩形的面积为ym2,当x取何值时,y的最大值是多少?ABNMDC探究二：在上一个问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其顶点A和点D分别在两直角边上,BC在斜边上.其它条件不变，那么矩形的最大面积是多少？DMCBANP探究三：如图,已知△ABC是一等腰三角形铁板余料，AB=AC=20cm, BC=24cm.若在△ABC上截出一矩形零件DEFG,使得EF在BC上,点D、G 分别在边AB、AC上.问矩形DEFG的最大面积是多少?设计意图：通过由学生讨论怎样用直角三角形剪出一个最大面积的矩形入手，由学生动手画出两种方法，和同学一起从问题中抽象出二次函数的模型，并求其最值，同时通过两种情况的分析，训练学生的发散思维能力，关键是教会学生方法，也是这类问题的难点所在，即怎样设未知数，怎样转化为我们熟悉的数学问题.在此基础上对变式三进行探究，进而总结此类题型，得出解决问题的一般方法.BDAGEFC六、例题讲解(放幻灯片8、9）某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为15m.（1）用含x的代数式表示；（2）当x等于多少时,窗户通过的光线最多?(结果精确到0.01m)此时,窗户的面积是多少?(结果精确到0.01m)归纳总结：二次函数应用的思路设计意图：让学生进一步经历解决最值问题的过程，明确解决这类问题的一般步骤.七、课堂练习八、课堂小结(放幻灯片10）九、课后作业 2第三篇：二次函数的应用教案30.4二次函数应用（第一课时）教学目标知识与技能通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会求解最值问题。
九年级数学下册 2.4 二次函数的应用导学案2(无答案)(
第四节 二次函数的应用（2） 【学习目标】体会二次函数是一类最优化问题的数学模型．了解数学的应用价值，掌握实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大值、最小值． 【学习重点】应用二次函数解决实际问题中的最值．应用二次函数解决实际问题，要能正确分析和把握实际问题的数量关系，从而得到函数关系，再求最值．【学习过程】模块一 预习反馈一、知识回顾1、二次函数()1432-+-=x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 。
当x= 时，函数有最 值，是 。
2、二次函数9822+-=x x y 的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。
3、每件利润=______－进价；_________=每件利润×销售数量=总售价－________二、自主学习看书P48—p49后，解答下列问题：7、 某商店经营T 恤衫,已知成批购进时进价是2元.根据市场调查,销售量与单价满足如下关系:在一段时间内,售价是12元时,销售量是400件,而售价每降低1元,就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多？解法（1）：若设销售价为x 元(x ≤12元),总利润为y 元，那么每件的利润可为: 元;销售数量为 : 件;总利润可表示为: 元;当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.解法（2）：若设销售单价降低x 元(x ≥0元), 总利润为y 元，那么每件的利润为: 元;销售数量可表示为 : 件;总利润可表示为: 元;当销售单价为 元时,可以获得最大利润,最大利润是 元.实践练习:某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.问：增种多少棵橙子树产量最大？最大产量是多少？解：归纳：“最大利润”和 “最高产量”解决问题的基本思路：1）理解问题;2）分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3）用数学的方式表示出它们之间的关系; 4）运用数学求解;5）检验结果的合理性.【我的疑惑】模块二 合作探究探究1、已知二次函数23122y x x =-+-，（1）求二次函数的最值．（2）当-1≤x ≤1时，求函数的最值。
九年级数学(北师大版)下册第二章2.2二次函数的性质导学案(无答案)-精选教学文档
《二次函数的性质》导学案【寄语】立志在坚不在说，成功在久不在速【学习重点】掌握研究二次函数在闭区间内最值的求法；【学习难点】含参数的二次函数最值问题一、问题导入问题1：说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点坐标。
(1) ()122--=x y ; (2) ()222+--=x y ; (3) ()k h x a y ++=2. 问题2：对于给定的二次函数542++-=x x y（1）将二次函数化成顶点式（2）该二次函数的增、减区间是什么？（3）当自变量x 取什么值时，函数的图像达到最高点？二、新知探究1、新知归纳2、典例分析例1:已知二次函数322--=x x y ，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的增、减区间及最值。
变式练习：已知二次函数322--=x x y1）当-2≤x ≤0时，求函数的最值；2）当2321-≤≤x 时，求函数的最值； 3）当2521≤≤x 时，求函数的最值； 4）当2≤x ≤4时，求函数的最值；思考归纳：①通过以上例题，求在给定区间[m ，n]上二次函数的最值步骤? ②最值通常在哪里取到？变式练习：当k ≤x ≤k+2时，求二次函数322--=x x y 的最值例2：若-1≤x ≤1，求函数32++=ax x y 的最小值.三、课堂小结1、本节课学习了什么知识？2、需要用什么数学思想？3、你还有哪些收获？四、思考提高1.若-1≤x ≤1,求二次函数3-2++=ax x y 的最小值.变式：1.若-1≤x ≤1时，-13-2≥++ax x 恒成立,求a 的值。
2.若-1≤x ≤1，求二次函数32a 2+-=x x y 的最大值和小值。
九年级数学下册2.4.2二次函数的应用教案2新版北师大版20170802222
课题：2.4.2二次函数的应用教学目标：知识与技能1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.过程与方法经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.情感态度与价值观1.体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。
增进对数学的理解和学好数学的信心.2.认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.教学重与难点：重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值.难点：运用二次函数的知识解决实际问题.课前准备：多媒体课件教学过程：一、知识回顾、夯实基础活动内容：1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是.2 .二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条，它的对称轴是，顶点坐标是. 当a>0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是；当a<0时，抛物线开口向，有最点，函数有最值，是.处理方式：先让学生口答．然后多媒体出示，教师及时纠正在口答过程中出现的问题，并且作强调．设计意图：知识回顾一方面帮助学生复习回顾旧知，另一方面通过回顾旧知为后面学习做好铺垫．二、创设情境、引入问题活动内容：（有关利润的问题）某商店经营T恤衫，已知成批购进时单价是2.5元。
根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.5元时，销售量是500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你帮助分析，销售单价是多少时，可以获利最多?设销售单价为x(x≤13.5)元，那么(1)销售量可以表示为；(2)销售额可以表示为；(3)所获利润可以表示为；(4)当销售单价是元时，可以获得最大利润，最大利润是．处理方式：这是一个有实际意义的问题，要想解决它，就必须寻找出问题本身所隐含的一些关系，并把这些关系用数学的语言表示出来.针对上面的问题让学生开展小组讨论，各组间进行补充.同时，教师积极参与到学生的讨论中，观察学生的思考方法和解决问题的思路，并对出现的问题及时给与解决，给学生足够多的时间思考.教师引导学生分析题中的变量，从而得到二次函数的关系式.设计意图：通过这个实际问题，让学生感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析，是教学的一个重要内容.三、合作探究，解决问题活动内容：解决本章伊始，提出的“橙子树问题”（1.验证猜测；2.进一步分析）1．本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题，我们得到了表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的函数关系是：二次函数表达式y＝(600-5x)(100+x)＝-5x2+100x+60000。
九年级数学下册 2.4 二次函数的应用教学案(无答案) 北
第二章 二次函数2.4.1 二次函数的应用（1）班级 姓名 2015年____月 日教学目标 1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力．2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力．重点 分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．难点分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大（小）面积问题．一 、复习巩固1、求下列二次函数的顶点坐标,并说明y 随x 的变化情况：2、用三种不同方法求3(30)4y x x =-的最大值。
二 、探求新知例1.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB 为x 米，面积为S 平方米.(1)求S 与x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为8米，求围成花圃的最大面积 .“二次函数应用”的思路：1.理解问题;2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系; x x y x x y 321)2(14)1(22+-=--=（配方法） （公式法）4.运用数学知识求解;5.检验结果的合理性, 给出问题的解答.三、例题讲解红色一本通 P33 T2四、课堂训练红色一本通P33 T3 P33 T4~T7五、课后作业1、红色一本通P35 P36。
2、预习下一课时。
六 小结（教学反思）第二章 二次函数2.4.2 二次函数的应用（2）制作人：陈海庆班级 姓名 2015年____月 日教学目标 1、经历探索T 恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力.重点 能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值。
2019版九年级数学下册第二章二次函数2.4二次函数的应用(第2课时)教案(新版)北师大版
4 二次函数的应用第2课时【教学目标】知识技能目标:1.经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程,体会二次函数是一类最优化问题的数学模型,并感受数学的应用价值.2.能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值,发展解决问题的能力.过程性目标:经历销售中最大利润问题的探究过程,让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用,发展学生运用数学知识解决实际问题的能力.情感态度目标:认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具,了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用.【重点难点】重点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值. 难点:能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最值. 【教学过程】一、创设情境回顾:在学习一元二次方程的应用时遇到过有关销售利润的问题,常用相等关系是:利润=销售量×单个商品的利润;利润率=×100%.二、探究归纳服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元,根据市场调查,以单价13元批发给经销商,经销商愿意经销5 000件,并且表示每件降价0.1元,愿意多经销500件.请你帮助分析,厂家批发单价是多少时可以获利最多?若设批发单价为x元,则:单件利润为________;降价后的销售量为________________;销售利润用y元表示,则y=(x-10)=-5 000(x2-24x+140)=-5 000(x-12)2+20 000.∵-5 000<0,∴抛物线有最高点,函数有最大值.当x=12元时,y最大=20 000元.答:当批发单价是12元时,厂家可以获得最大利润,最大利润是20 000元.若设每件T恤衫降a元,则:单件利润为________;降价后的销售量为________________;销售利润用y元表示,则y=(13-a-10)=-5 000(a2-2a-3)=-5 000(a-1)2+20 000.∵-5 000<0,∴抛物线有最高点,函数有最大值.当a=1,即批发单价是12元时,y最大=20 000元.答:当批发单价是12元时,厂家可以获得最大利润,最大利润是20 000元.想一想:解决了上述关于服装销售的问题,请你谈一谈怎样设因变量更好?某旅社有客房120间,每间房的日租金为160元时,每天都客满,经市场调查发现,如果每间客房的日租金每增加10元时,那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?分析:相等关系是客房日租金的总收入=每间客房日租金×每天客房出租数解:设每间客房的日租金提高10x元,则每天客房出租数会减少6x间,若客房日租金的总收入为y元,则: y=(160+10x)(120-6x)=-60(x-2)2+19 440,∵x≥0,且120-6x>0,∴0≤x<20.当x=2时,y有最大值为19 440.这时每间客房的日租金为160+10×2=180元,客房总收入最高为19 440元.三、交流反思利用二次函数的知识解决最大利润问题的一般步骤是:(1)寻找实际问题中的两个变量之间的等量关系,并用字母表示这两个变量.(2)用自变量的代数式表示相关的量.(3)用关系式表示这个等量关系.(4)利用二次函数的知识解决实际问题.四、检测反馈某商店购进一批单价为20元的日用品,如果以单价30元销售,那么半月内可以售出400件.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1元,销售量相应减少20件.如何提高售价,才能在半月内获得最大利润?五、布置作业课本P50 习题2.9 T1,T2六、板书设计七、教学反思本节课充分以学生为主体进行教学,让学生多实践,从实践中反思过程,并从中体验成功的乐趣.引导学生发现问题,师生共同解决问题.指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径,并将应用问题和规律归类.。
九年级数学下册 2.4.2 二次函数的应用教案1 (新版)北师大版
参考答案：（1）对称轴是直线 x = - ，顶点坐标（ - ， ），两种方法求最 b2a【课题：2.4.2 二次函数的应用教学目标：1．经历探索 T 恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力．3．经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力，培养不怕困难的品质，发展合作意识和科学精神．教学重点与难点：重点：探索销售中最大利润问题，能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，发展解决问题的能力.难点：能正确理解题意，找准数量关系，运用二次函数的知识解决实际问题．课前准备：多媒体课件．教学过程：一、复习回顾，设疑导入活动内容 1：复习回顾（多媒体展示）（1）二次函数 y ＝ax 2+bx +c 的对称轴、顶点坐标分别是什么？如何确定最值？你有几种方法？（2）每件商品的利润怎么求？总利润呢？处理方式：学生思考后，进行举手抢答，培养学生的竞争意识．b 4ac - b 2 2a 4a值：配方法、公式法．（2）每件商品的利润=售价－进价，总利润=每件商品的利润×销售量．活动内容 2：设疑导入（多媒体展示）服装厂生产某口牌的 T 恤衫成本是每件 10 元．根据市场调查，以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意经多销 500 件．你能帮助厂家分析，批发单价是多少时可以获利最多吗？本节课让我们继续共同学习二次函数的应用． 板书课题：§2.4 二（次函数的应用（2）】设计意图：复习回顾一方面巩固二次函数的相关知识，一方面为本课的学习做好铺垫；问题情境的创设，意在让学生初步感受二次函数在生活中的应用模型，同时通过设置疑问，激发学生的求知欲，培养学生的学习兴趣，感受数学在生活中的应用，增强应用意识．二、问题导学，探究感悟活动内容：解疑释惑（多媒体展示）服装厂生产某口牌的 T 恤衫成本是每件 10 元．根据市场调查，以单价 13 元批发给经销商，经销商愿意经销 5000 件，并且表示单价每降价 0.1 元，愿意经多销 500 件．请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？处理方式：引导学生分析引例题意，理解问题情境，同时思考以下问题：多媒体展示）1．本题反映了哪两个变量之间的关系？2．设批发单价为 x （10＜x ≤13）元，那么（1）每件 T 恤衫的利润可以表示为；（2）经销量可以表示为；（3）厂家获利可以表示为；（4）设厂家获利 y 元，则 y 与 x 的关系可以表示为．学生自主思考完成后，在小组内交流讨论，然后找一名学生展示，教师适时点拨强调．学生展示后，教师及时追问以下问题：（5）厂家获利 y 元与批发单价 x 元是什么关系？（6）厂家批发单价是多少时可以获利最多？你是如何做的？与同伴交流．学生完成后，教师借助多媒体展示学生求解问题（6）的过程，认学生进行互评，教师适时点评强调，对于不同的求解方法要给予表扬鼓励，同时引导学生对比不同计算方法的优劣．参考答案：1．反映了厂家获利与批发单价两个变量之间的关系；2．（1）x -10；（2）5000+ 13 - x0.1⨯ 500 ；（3）（x -10）（5000+ 13 - x 0.1⨯ 500 ）或-5000x 2+120000 x -700000；2- =- = 12 ， = = 20000 ．（4）y =（x -10）（5000+ 13 - x0.1 ⨯ 500 ）或 y =－5000x 2+120000 x -700000；（5）厂家获利 y 元是批发单价 x 元的二次函数；（6）方法一（配方法）：y =（x -10）（5000+5000（x -12）2+20000；13 - x0.1⨯ 500 ）=5000（x -10）（14- x ）=－方法二（公式法）：y =（x -10）（5000+13 - x0.1⨯ 500 ）=-5000x 2+120000 x -700000，b 120000 4ac - b 2 4 ⨯ (-5000) ⨯ (-700000) - (120000) 2a 2 ⨯ (-5000) 4a 4(-5000)设计意图：让学生列出利润与单价的函数关系式，将实际问题转化为数学模型．使学生感受到“何时获得最大利润”就是在自变量取值范围内，此二次函数何时取得最大值问题．三、例题解析，应用新知活动内容：例题解析（多媒体展示）例 2 某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元时，每天都客满．经市场调查，如果每间客房的日租金增加10 元，那么客房每天出租数会减少 6．不考虑其它因素，旅店将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：引导学生分析题意，明确本题是利用二次函数求最值的问题，解决本题的关键是找到等量关系，然后根据等量关系列出二次函数关系式求最值．等量关系式为：客房日租金的总收入=每间客房的日租金×客房的间数学生的设法不同，所列的关系式也不同，教师可以借助多媒体展示不同设法和解题过程，强调解题的步骤及规范性，及时的给予点评，并引导学生去发现不同设法区别．在用所设的未知量表示客房的间数时，教师要及时的给以点拨引导．设法与解题过程预设：（设法一）解：设每间客房的日租金提高10 x 元，则每天客房出租数会减少 6 x 间．设客房的日租金总收入为 y 元，则y =(160+10 x )(120-6 x )= -60(x -2)2+19440．∵x ≥0 且 120-6 x ＞0，∴0≤x ＜20．当 x =2 时，y 最大=19440．35这时每间客房的日租金为 160+102=180（元）．因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高，最高收入为 19440 元．（设法二）解：设每间客房的日租金为 x 元，则每天客房出租数会减少(120-6)间．设客房的日租金总收入为 y 元，则y= x (120- x - 160×6)= －0.6 (x -180)2+19440．10x - 16010×因此，每间客房的日租金提高到 180 元时，客房总收入最高，最高收入为 19440 元．设计意图：通过这个实际问题，让学生进一步感受到二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值．在这里帮助学生分析和表示实际问题中变量之间的关系，帮助学生领会有效的思考和解决问题的方法，学会思考、学会分析．四、拓展延伸，展示交流活动内容：议一议（多媒体展示）还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量 x (棵)与橙子总产量 y (个)的二次函数表达式：y = (600 - 5x )(100 + x ) = -5x 2 + 100 x + 60000 ．(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上？处理方式：学生思考并尝试解决，根据所给的函数关系式在课本 49 页的直角坐标系中 画出函数图象，教师适时提醒学生函数图象只能在第一象限， 分钟后各小组同学分组交流、讨论. 然后借助实物投影展示学生的画图情况及时的评价，同时引导学生利用函数图象分析增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在 60400 个以上，并说明理由．解题过程预设：(1)图象如下图：当 x ＜10 时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当 x =10 时，橙子的总产量最大；当 x ＞10 时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．(2)由图可知，增种 6 棵、7 棵、8 棵、9 棵、10 棵、11 棵、12 棵、13 棵或 14 棵，都可以使橙子总产量在 60400 个以上．想一想：在利用二次函数解决生活实际最值问题时的步骤是什么？4处理方式：学生思考后在小组内交流，然后再全班展示说出自己的想法．教师给予点评鼓励．二次函数解决生活实际问题时的步骤是：（1）审清题意；（2）找出题中的两个变量，并列出等量关系；（3）设出两个变量，根据等量关系列出函数关系式；（4）根据函数关系式，采用配方法、公式法或图象法求出最值；（5）写出结论．设计意图：实际问题的解决难点在于建立数学模型.让学生进一步用图象刻画橙子的总产量与增种橙子树之间的函数关系，将实际问题转化为数学模型．五、巩固训练，应用提升活动内容：做一做（多媒体展示）某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么半月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件，销售单价为多少元时，半月内获得利润最大？参考答案：（方法一）解：设销售单价为x元，则销售量[400－20（x－30）]件．设半月内获得利润为y元，则y=(x－20)[400－20（x-30）]=－20(x-35)2+4500．因此，当销售单价为35元时，半月内可以获得最大利润4500元．（方法二）解：设售价提高x元时，半月内获得的利润为y元，则y=(x+30-20)(40-20x)=-20x2+200x+400=-20(x-5)2+4500．=4500．∴当x=5时，y最大因此，当售价提高5元，即销售单价为35元时，半月内可获最大利润4500元．设计意图：在学生初步掌握一定技能之后，将技能训练寓于问题的解决过程中．培养学生应用数学意识，增强学习数学的兴趣和信心，使其解题能力和应用能力得到进一步提升．六、课堂小结，纳入系统通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？先想一想，再分享给大家．处理方式：学生畅谈自己的收获！5教师强调：二次函数解决生活实际问题时的步骤．设计意图：课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．七、达标检测，反馈矫正1．某单位商品的利润y与变化的单价数x之间的关系为：y=-5x2+10x，当1.5≤x≤2时，最大利润是．2．出售某种手工艺品，若每个获利x元，一天可售出(8-x)个，则当x=元，一天出售该种手工艺品的总利润y最大．3．一小球被抛出后，距离地面的高度h（米）和飞行时间t（秒）满足下面函数关系式：h=-(t-1)2+6，则小球距离地面的最大高度是．4．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．参考答案：1．3.75；2．4；3．6米；4．解：设一个旅行团有x人时，旅行社营业额为y元．则y=x[800-10(30-x)]=-10x2+1100=－10(x－55)2+30250．=30250．∴当x=55时，y最大因此，一个旅行团有55人时，旅行社可获最大利润30250元．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．八、布置作业，课堂延伸必做题：课本第50页习题2.9第2题．选做题：课本第50页习题2.9第3题．设计意图：必做题做为作业题让学生课后练习、巩固，选做题供学有余力的同学再提高．板书设计：6二次函数的性质：对称轴：顶点坐标：确定最值：每件商品的利润=总利润=引例解：§2.4二次函数的应用（2）例2解：投影区学生活动区7。
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2.4 （2）二次函数的应用——最大利润问题
一、教学目标
经历探索T恤衫销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受数学的应用价值.
二、教学重点和难点
重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值
三、教学过程
(一)情景导入
服装厂生产某品牌的T恤衫成本是每件10元，根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销5000件，并且表示每件降价0.1元，愿意多经销500件.请你帮助分析，厂家批发单价是多少时可以获利最多？
(二)巩固训练
1.某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元时，每天都客满，经市场调查发现，如果每间客房的日租金每增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间.不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
2.某果园有100棵橙子树，平均每一棵树平均结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
（1）果园增种多少棵橙子树时，果园橙子的总产量最多？
（2）增种多少棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上？
（要求学生画出二次函数的图象，并根据图象回答问题）
(三)变式训练
1.某农户生产经销一种农副产品,已知这种产品的成本价为20元/千克.市场调查发现,该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系:ｗ=－2ｘ＋80.设这种产品每天的销售利润为ｙ(元).
(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式.
(2)当销售价定为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克,该农户想要每天获得150元的
销售利润,销售价应定为多少元?
2．某宾馆客房部有60个房间供游客居住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住满．当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．对有游客入住的房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用．设每个房间每天的定价增加x元．（1）房间每天的入住量y（间）关于x（元）的函数关系式．
（2）该宾馆每天的房间收费z（元）关于x（元）的函数关系式．
（3）该宾馆客房部每天的利润w（元）关于x（元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少元时，w有最大值？最大值是多少？
3.某省有一种可食用的野生菌，上市时，外商李经理按市场价格30元/千克收购了这种野生菌1000千克存放入冷库中，据预测，该野生菌的市场价格将以每天每千克上涨1元；但冷冻存放这批野生菌时每天需要支出各种费用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏不能出售．
（1）设x天后每千克该野生菌的市场价格为y元，试写出y与x之间的函数关系式．（2）若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设这批野生菌的销售总额为P元，试写出P与x之间的函数关系式．
（3）李经理将这批野生茵存放多少天后出售可获得最大利润W元？
（利润＝销售总额－收购成本－各种费用）
4．某商品的进价为每件30元，现在的售价为每件40元，每星期可卖出150件。
经市场调查反映：如果每件的售价每涨1元（售价每件不能高于45元），那么每星期少卖10件。
设每件涨价x 元（x 为非负整数），每星期的销量为y 件．
⑴求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围；
⑵如何定价才能使每星期的利润最大且每星期的销量较大？每星期的最大利润是多少？
5.随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。
某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润1y 与投资量x 成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润2y 与投资量x 成二次函数关系，如图12-②所示（注：利润与投资量的单位：万元）
（1）分别求出利润1y 与2y 关于投资量x 的函数关系式；
（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的
最大利润是多少？。