西城区2015。1高二第一学期期末理科

北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷（理科）
高二数学 2015.1
试卷满分：150分 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1. 双曲线2
214
x y -=的实轴长为（ ） A. 4
B. 2
C.
3
D. 1
2. 抛物线24x y =的准线方程为（ ）
A. 2y =
B. 2y =-
C. 1y =
D. 1y =-
3. 已知,m n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是（ ）
A. 若//,//,m n αα则//m n
B. 若m α⊥，m n ⊥，则//n α
C. 若m α⊥，n α⊂，则m n ⊥
D. 若//m α，m n ⊥，则n α⊥
4. 命题“,a b ∀∈R ，如果a b =，则2
a a
b =”的否命题为（ ）
A. ,a b ∀∈R ，如果2
a a
b =，则a b = B. ,a b ∀∈R ，如果2
a a
b =，则a b ≠ C. ,a b ∀∈R ，如果2
a a
b ≠，则a b ≠ D. ,a b ∀∈R ，如果a b ≠，则2
a a
b ≠
5. 已知椭圆长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率为（ ）
A.
32
B.
12
C.
33
D.
13
6. 已知直线1:20l ax y ++=和直线2:20l x ay ++=平行，则实数a 的值为（ ）
A. 1
B. 1-
C. 1-和1
D.
23
7. “3a =-”是“圆2
2
1x y +=与圆2
2
()4x a y ++=相切”的（ ）
A. 充分而不必要条件
B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件
D. 既不充分也不必要条件
8. 如图所示，汽车前灯反光镜与轴截面的交线是抛物线的一部分，灯口所在的圆面与反光镜的轴垂直，灯泡位于抛物线的焦点处. 已知灯口的直径是24cm ，灯深10cm ，那么灯泡与反光镜的顶点（即截得抛物线的顶点）距离为（ ）
A.10cm
B. 7.2cm
C. 3.6cm
D. 2.4cm
9. 右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，正确的命题是（ ）
A. BD 与CF 成60角
B. BD 与EF 成60角
C. AB 与CD 成60角
D. AB 与EF 成60角
10. 如图，在边长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，
,P Q 分别为棱AB ,11A D 的中点，,M N 分别为面11BCC B 和
11DCC D 上的点. 一质点从点P 射向点M ，
遇正方体的面反射（反射服从光的反射原理），反射到点N ，再经平面反射，恰好反射至点Q . 则三条线段,,PM MN NQ 的长度之和为（ ）
A.
22
B.
21
C.
25 D.
32
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上. 11. 命题“2,20x x x ∃∈-<R ”的否定是_______________.
12. 空间向量(1,1,2)=--a ，(1,2,1)=--b ，(,,2)x y =-n ，且//n b . 则⋅a n =_______.
13. 右图是一个四棱锥的三视图，则该四棱锥的 体积为_______. 14. 已知F 为双曲线2
2:
13
x
C y -=的一个焦点， 则点F 到双曲线C 的一条渐近线的距离为_______.
15. 由直线y x =上一点向圆22
(4)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 .
16 .已知点(3,0)M 和点(3,0)N -，直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （0a ≠），设点P 的轨迹为C .
给出以下几个命题：
①存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值；
10cm
24cm
A 1
B
P D A
C B 1
C 1
D 1
Q
M
N
正（主）视图 侧（左）视图
俯视图
2
2
2
2
A
B
C
D E
F
②存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④不存在非零常数a ，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是________.（填出所有正确命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分13分）
如图，四边形ABCD 为矩形，AD ⊥平面ABE ，90AEB ∠=o ， F 为CE 上的点.
（Ⅰ）求证：//AD 平面BCE ； （Ⅱ）求证：AE ⊥BF ．
18.（本小题满分13分）
已知三个点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C ，圆M 为△ABC 的外接圆. （Ⅰ）求圆M 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =-与圆M 交于,P Q 两点，且5PQ =，求k 的值.
A
E
B
C
D
F
19.（本小题满分14分）
在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，AD AB ⊥，
2PA AD ==，1AB BC ==，Q 为PD 中点.
（Ⅰ）求证：PD BQ ⊥；
（Ⅱ）求直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值.
20.（本小题满分14分）
已知椭圆2
2:14
x W y +=，直线l 过点(0,2)-与椭圆W 交于两点,A B ，O 为坐标原点. （Ⅰ）设C 为AB 的中点，当直线l 的斜率为3
2
时，求线段OC 的长；
（Ⅱ）当△OAB 面积等于1时，求直线l 的斜率.
P
A
B C
D
Q
21.（本小题满分13分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是矩形，24AB BC ==,四边形CDEF 是等腰梯形，//EF DC ，
2EF =，且平面ABCD ⊥平面CDEF ，AF CF ⊥.
（Ⅰ）过BD 与AF 平行的平面与CF 交于点G . 求证：G 为CF 的中点； （Ⅱ）求二面角B AF D --的余弦值.
22.（本小题满分13分）
如图，曲线E 是由抛物线弧1E :x y 42
=(203x ≤≤)与椭圆弧2E :12222=+b
y a x (a x ≤≤32
)所围成的封闭曲
线，且1E 与2E 有相同的焦点.
（Ⅰ）求椭圆弧2E 的方程；
（Ⅱ）设过点(1,0)F 的直线与曲线E 交于,A B 两点，1||r FA =,2||r FB =，且α=∠AFx (0α≤≤π)，试用
αcos 表示1r ；并求
2
1
r r 的取值范围.
A
B
C
D
E
F G x
y
O
北京市西城区2014 — 2015学年度第一学期期末试卷
高二数学（理科）参考答案及评分标准 2015.1
一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.
1.A
2.D
3.C
4. D
5. A
6. B
7.A
8. C
9.C 10. A 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
11. 2,20x x x ∀∈-≥R 12. 2- 13.
3
8 14. 1 15.7 16. ②④ 注:16题，仅选出②或④得3分；错选得0分. 三、解答题：本大题共6小题，共80分. 17. （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 为矩形，
所以//AD BC . ………………2分 又因为BC ⊂平面BCE ，
AD ⊄平面BCE ，………………4分
所以//AD 平面BCE . ………………5分 （Ⅱ）证明：因为AD ⊥平面ABE ，BC AD //，
所以BC ⊥平面ABE ，则BC AE ⊥ . ………………7分 又因为90AEB ∠=o
，
所以AE BE ⊥. ………………9分 所以AE ⊥平面BCE . ………………11分 又BF ⊂平面BCE ,
所以AE BF ⊥. ………………13分 18. （本小题满分13分）
（Ⅰ）设圆M 的方程为 2
2
0x y Dx Ey F ++++=, ………………1分
因为点(0,0)A ，(4,0)B ，(3,1)C 在圆M 上，则
2
220,440,3130.F D F D E F =⎧⎪++=⎨⎪++++=⎩
………………4分
解得4D =-，2E =，0F =. ………………6分
所以ABC ∆外接圆的方程为2
2
420x y x y +-+=. ………………7分 （Ⅱ）由（Ⅰ）圆M 的圆心为(2,1)-，半径为5.
又5PQ =，所以圆M 的圆心到直线1y kx =-的距离为
15
2
.………………9分 A
E
B
C
D
F
所以
2215
2
1+k
k =
， ………………11分 解得2
15k =. 15k =±. ………………13分
19. （本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AB ⊥PA AD ⊥，
又AD AB ⊥，如图，建立以A 为原点，AB 为x 轴，AD 为y 轴，AP 为z 轴的空间直角坐标系. ………………2分
由已知，2PA AD ==，1AB BC ==，//AD BC . 所以，(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(1,1,0)C ，
(0,2,0)D ,(0,0,2)P ………………4分
又Q 为PD 中点，所以(0,1,1)Q . 所以(0,2,2)PD =-，(1,1,1)BQ =-， 所以0PD BQ ⋅=， ………………6分 所以PD BQ ⊥. ………………7分 （注：若第一问不用空间向量，则第一问4分） （Ⅱ）解：设平面PCD 的法向量为(,,)a b c =n ，
则0PD ⋅=n ,0CD ⋅=n .又(1,1,0)CD =-，
所以2200b c a b -=⎧⎨-+=⎩
， ………………9分
令1c =，得1a b ==，所以(1,1,1)=n . ………………11分
因此1cos ,3
33BQ BQ BQ ⋅1
〈〉=
=
=n n n
， ………………13分 所以直线BQ 与平面PCD 所成角的正弦值为3
1
. ………………14分 20.（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）当直线l 的斜率为
32时，直线l 的方程为22
y x 3
=-. ………………1分 由222,214
y x x y 3⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 得251260x x -+=， ………………2分 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)C x y .
则1212
5
x x +=， ………………3分
所以点C 的坐标065x =，0031
225y x =-=-， ………………4分
所以226137
()()555
OC =+-=. ………………5分
（Ⅱ）设直线:2l y kx =-，
P A
B C
D Q
x
y
z
由2
21,42x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩
得22(14)16120k x kx +-+=， ………………6分 所以222(16)48(14)16(43)k k k ∆=-+=- ………………7分
1221614k x x k +=+，12
2
12
14x x k =+. ………………8分 2
212121()4AB k x x x x =++-
2
222
1612
1()41414k k
k k
=+-⨯++ 222
4143
14k k k
+-=+. ………………10分 原点O 到直线l 的距离2
2
1d k
=+. ………………11分
所以△OAB 面积为
22222211414324432214141k k k AB d k k k
+--=⨯⋅=+++. 因为△OAB 面积等于1，
所以22
443114k k -=+， ………………12分
解得7
2
k =±， ………………13分
带入判别式检验，符合题意，所以7
2
k =±. ………………14分
21. （本小题满分13分）
（Ⅰ）证明：连接AC 交BD 于点H ，
ABCD 为矩形，则H 为AC 中点，连接GH . ………………1分
因为//AF 平面BDG ，平面ACF
平面BDG GH =， ………………2分
所以//AF HG . ………………3分 所以G 为CF 的中点. ………………4分 （Ⅱ）解：在平面CDEF 上作FO CD ⊥，垂足为O ，
由于平面CDEF 为等腰梯形，所以1OC =， 因为且平面ABCD ⊥平面DCFE ，
所以FO ⊥平面ABCD ， ………………5分 在平面ABCD 中，作OM CD ⊥，交AB 于M ， 所以FO OM ⊥，
如图，以O 为原点建立空间直角坐标系O xyz -. ………………6分 则(2,3,0)A -，(2,1,0)B ，(0,1,0)C ，(0,3,0)D -. 设(0,0,)F h （0h >）. 因为AF CF ⊥，所以0AF CF ⋅=，即(2,3,)(0,1,)0h h -⋅-=，
所以2
030h -+=，解得3h =. ………………7分
设平面ABF 的法向量为(,,)a b c =n ， 而(2,3,3)AF =-，(0,4,0)AB =，
由0,0
AF AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2330,40.a b c b ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩
令2c =，解得3a =，0b =.
所以(3,0,2)=n . ………………9分 由于(2,0,0)AD =-,(0,1,3)CF =-, 所以0AD CF ⋅=，CF AD ⊥， 又CF AF ⊥，所以CF ⊥平面ADF ，
所以CF 为平面ADF 的法向量， ………………11分
(0,1,3)(3,0,2)2321
cos ,74727
CF -⋅〈〉=
==⨯n . ………………12分 由图知，二面角B AF D --的平面角为钝角，
所以二面角B AF D --的余弦值为21
7-. ………………13分
22. （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）抛物线弧1E :x y 42=的焦点为(1,0)，且23x =
时，2
83
y =， 所以2
8
(,)33
为椭圆上一点，又椭圆的焦点为(1,0),-(1,0)， ………………2分 所以2222282875
2(1)()(1)()4333333
a =
+++-+=+=. ………………3分 所以2a =，
2213b a =-=， ………………4分 所以椭圆2E 的方程为
22
143
x y +=（223x ≤≤）. ………………5分 （Ⅱ）曲线E 由两部分曲线1E 和2E 组成，所以按A 在抛物线弧1E 或椭圆弧2E 上加以分类，由曲线E 的对称性,不妨设A 在x 轴上方(或x 轴上).
当32=x 时，3
6
2±=y ，此时35=r ,51cos -=α； 当1cos 5
1
≤≤-
α时，A 在椭圆弧2E 上， 由题设知)sin ,cos 1(11ααr r A +，
将A 点坐标代入13
42
2=+y x 得，012)sin (4)cos 1(32121=-++ααr r ， 整理得09cos 6)cos 4(12
12=-+-ααr r ，
A
B
C
D
E
F G O
x y
z
H M
解得αcos 231+=
r 或2
cos 3
1-=αr (舍去). ………………6分
当51
cos 1-≤≤-α时，A 在抛物线弧1E 上，由抛物线定义可得αcos 211r r +=，
所以α
cos 12
1-=r ， ………………7分
综上，当51cos 1-≤≤-α时，αcos 121-=r ；当1cos 51≤≤-α时，α
cos 23
1+=r .
相应地，22(1cos(),sin())B r r αα++π+π，
当1
cos 15
α≤≤时，B 在抛物线弧1E 上， 所以222cos()r r α=++π，22
1cos r α
=+， ………………8分
当1
1cos 5
α-≤≤时，B 在椭圆弧2E 上，
根据图形的对称性，23
2cos r α=-. ………………9分
所以，当5
1
cos 1-≤≤-α时A 在抛物线弧1E 上,B 在椭圆弧2E 上，
]9
11,1[)cos 111(323cos 2cos 1221∈-+=-⋅-=αααr r ； ………………10分 当
1cos 5
1
≤≤α时A 在椭圆弧2E 上,B 在抛物线弧1E 上，
]1,11
9[)cos 211(232cos 1cos 2321∈+-=+⋅+=αααr r ； ………………11分 当5
1
cos 51<<-α时A 、B 在椭圆弧2E 上，
)9
11,119(cos 2cos 23cos 2cos 2321∈+-=-⋅+=ααααr r ； ………………12分 综上，2
1
r r 的取值范围是]911,119[. ………………13分。