非常规的排列组合问题例析

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例析排列组合问题类型及解题常用方法

例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题是数学中的一个重要分支，广泛应用于概率论、统计学、组合数学等多个领域。

在解决排列组合问题时，我们需要明确问题类型，并选用适当的方法进行求解。

下面将介绍几种常见的排列组合问题类型及解题常用方法。

1.组合问题组合问题是在给定的元素集合中，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

组合问题的典型例子有"从n个不同的元素中，选取m个元素的组合个数是多少"。

解题方法：1)使用组合数公式进行计算，公式为C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)，其中C表示组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，即对问题进行拆解，递归地求解子问题，然后将子问题的解合并得到原问题的解。

2.排列问题排列问题是将一组元素进行有序的排列，即考虑元素的顺序。

典型例子有"从n个不同的元素中，选择m个元素进行排列，有多少种不同的排列方式"。

解题方法：1)使用排列数公式进行计算，公式为P(n,m)=n!/(n-m)!，其中P表示排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)利用递归方法求解，将问题分解成子问题，进行子问题的排列，然后按照不同的顺序进行合并，得到原问题的解。

3.重复元素的排列组合问题重复元素的排列组合问题是在给定元素集合中，包含有重复元素的情况下，选择出若干个元素的子集，并以不同的顺序来表示这些子集。

解题方法：1)使用重复组合数公式进行计算，公式为C'(n,m)=(n+m-1)!/(m!(n-1)!)，其中C'表示重复组合数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

2)使用重复排列数公式进行计算，公式为P'(n,m)=n^m，其中P'表示重复排列数，n表示元素个数，m表示要选择的元素个数。

4.包含条件的排列组合问题包含条件的排列组合问题是在给定一组元素和一组条件的情况下，选择满足条件的子集，并以不同的顺序进行排列。

排列组合问题的案例研究

排列组合问题的案例研究排列组合问题是数学中一个常见且重要的问题类型。

它涉及到将一些对象按照一定的规则进行排列或组合的问题，常见于组合数学、概率统计等领域。

在实际生活中，排列组合问题也有着广泛的应用，比如在选举中选出代表、在排队中确定座位等等。

本文将通过一个案例来介绍排列组合问题，并探讨其解决方法和应用。

案例：小明过生日小明过生日了，他邀请了5个好朋友来参加他的生日聚会。

他准备了5种不同口味的蛋糕和6种不同口味的汽水作为聚会的食物，以及6张不同的生日贺卡作为礼物。

小明不知道要怎么安排这些东西才能最好地满足每个人的口味和喜好，于是他向数学家寻求帮助。

问题1：在五种不同口味的蛋糕中，小明想挑选3种口味作为聚会的食物，问有多少种不同的选择方式？解决方法：这个问题属于排列组合中的组合问题。

当n个不同的元素中选取m个元素进行组合时，一共有C(n,m)种不同的组合方式，其中C(n,m)表示从n个元素中选取m个元素的组合数。

对于本题，我们需要从5种不同的口味中选取3种口味，所以计算方式为C(5,3)=5!/(3!*(5-3)!)=(5*4*3)/(3*2*1)=10种不同的选择方式。

问题2：小明的6个好朋友喜欢不同口味的汽水，他想为每个朋友挑选一种汽水作为他们的饮品，那么有多少种不同的挑选方式呢？问题3：小明准备的6张生日贺卡上分别有不同的祝福语，他想将这些贺卡发给5个好朋友中的任意3个人，那么有多少种不同的发放方式呢？从上述案例可以看出，排列组合问题在实际生活中有着广泛的应用。

在解决这类问题时，可以采用数学方法来计算不同的排列组合方式，为实际问题提供合理的解决方案。

排列组合问题也是数学中的一个重要分支，在学术研究和实际应用中都有着重要的地位。

除了上述案例中的简单排列组合问题，实际生活中还存在着更为复杂和具有挑战性的排列组合问题。

比如在制定会议日程安排、设计商品陈列方案、确定人员配对关系等方面，都可能涉及到排列组合问题。

cnq-ygz_i排列组合问题的非常规解题数学思想方

BBA1BA! _世界上有两种人，一种人，虚度年华；另一种人，过着有意义的生活。

在第一种人的眼里，生活就是一场睡眠，如果在他看来，是睡在既温暖又柔和的床铺上，那他便十分心满意足了；在第二种人眼里，可以说，生活就是建立功绩……人就在完成这个功绩中享到自己的幸福。

－－别林斯基排列组合问题的非常规解题数学思想方法分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁．针对该现象本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路．一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?解法一: 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个→组成!所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A 到B 只能上行或右行共有514(51)(81)11C C --+-=条不同的路径.解法二:设i a (1,2,3,4,5,6,7)i =表示经过第i 列的水平路段;设j b (1,2,3,4)j =表示经过第j 行的竖直路段; 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:可以看出这是i a (1,2,3,4,5,6,7)i =与j b (1,2,3,4)j =的一个分别顺序一定的排列,而且一个这样的排列对应一条路径.所以从A 到B 只能上行或右行共有11411117474A C A A =条不同的路径.二.分类讨论思想例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。

解法一：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，按一下分类进行：先将两个黄格■■插入到两个红格 ■ ■ 的两端或中间，有5种情况: ■ ■■ ■， ■■■■， ■■■■， ■■■ ■， ■ ■■■， ■■■■，再将两个蓝格分别插入到四个红黄间隔的的两端或中间，有 4+1+1+10+10+4=30种方法；所以，共有30种涂法。

13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢

13种排列组合题型详解，助你拿下高考数学卷上17分，一分都不能丢高考数学中有一部分知识叫做排列组合概率及统计学，大概占17分左右，但是这部分知识又不是很难，所以这17分一分都不能丢！类型一、特殊元素和特殊位置优先策略位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法，若以元素分析为主,需先安排特殊元素,再处理其它元素；若以位置分析为主,需先满足特殊位置的要求,再处理其它位置；若有多个约束条件，往往是考虑一个约束条件的同时还要兼顾其它条件。

这种首先确定排列还是组合的问题，对于首位和末位无须考虑顺序，但是首位末位有优先需求，所以先要排首位和末位，末位必须是奇数，也就是从1，3,5这个里边去挑选一个即可，那首位还不能排0，在排除一个奇数，只剩下4个数可以选择，所以剩下的三位我们直接全排列就可以。

类型二、相邻/相间元素捆绑策略要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题，即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也必须排列。

审题时一定要注意关键字眼。

类型三、不相邻问题插空策略先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间和两端。

所以这两个方法的关键字都是相邻，以元素相邻为附加条件的应把相邻元素视为一个整体，即采用“捆绑法”；以某些元素不能相邻为附加条件的,可采用“插空法”。

“插空”有同时“插空”和有逐一“插空”,并要注意条件的限定。

类型四、定序问题倍缩空位插入策略顺序固定问题用“除法”，对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先将这几个元素与其它元素一同进行排列，然后用总的排列数除以这几个元素的全排列数。

当然还可以用倍缩法，还可转化为占位插空模型处理。

类型五、重排问题求幂策略分房问题又名：住店法，重排问题求幂策略，解决“允许重复排列问题”要注意区分两类元素：一类元素可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，再利用乘法原理直接求解。

运用排列组合解决实际问题

运用排列组合解决实际问题在日常生活中，我们常常会遇到各种各样的问题，有些问题看似复杂，但实际上可以通过排列组合的方法解决。

排列组合是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们解决很多实际问题。

本文将探讨一些运用排列组合解决实际问题的例子。

首先，让我们考虑一个经典的问题：在一群人中选出几个人组成小组。

假设有10个人，我们要从中选出3个人组成小组，问有多少种不同的选法？这个问题可以通过排列组合来解决。

首先，我们需要确定选出的3个人的顺序，因此是一个排列问题。

从10个人中选出3个人的排列数可以表示为10P3，即10个人中选出3个人的排列数为10 × 9 × 8 = 720。

然而，由于小组成员的顺序并不重要，我们需要除以3!（3的阶乘）来消除重复计数。

因此，最终的答案是720 / 3! = 120，即有120种不同的选法。

接下来，我们考虑一个更具挑战性的问题：在一家餐厅的菜单中，有5种主菜和3种甜点可供选择。

如果我们要选一道主菜和一道甜点，问有多少种不同的选择方式？这个问题可以通过排列组合的方法解决。

首先，我们需要从5种主菜中选出一种，这是一个组合问题，可以表示为C(5, 1) = 5。

然后，我们需要从3种甜点中选出一种，同样是一个组合问题，可以表示为C(3, 1) = 3。

最后，我们需要将选出的主菜和甜点组合起来，因此有5 × 3 = 15种不同的选择方式。

除了上述问题，排列组合还可以应用于更复杂的实际情境。

例如，在一个班级中，有10个男生和8个女生。

如果我们要选出一个由3个人组成的代表团，其中至少有一个男生和一个女生，问有多少种不同的代表团选择方式？这个问题可以通过排列组合的方法解决。

首先，我们可以计算出所有可能的代表团选择方式，即从18个人中选出3个人的组合数，表示为C(18, 3) = 816。

然后，我们需要减去不符合要求的选择方式，即全是男生或全是女生的选择方式。

全是男生的选择方式有C(10, 3) = 120种，全是女生的选择方式有C(8, 3) = 56种。

排列组合问题的非常规解题数学思想方法

排列组合问题的非常规解题数学思想方法一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线? BA二.分类讨论思想例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。

三．方程不等式思想例3．一个口袋内有4个不同的红球，6个不同的白球，若取一个红球记2分，取一个白球记1分，从中任取5个球，使总分不少于7分的取法有多少种？例4．将10个完全相同的小球放入编号为1,2,3的三个盒子内，要求放入盒子的球数不小于它的编号数，则不同的放法有（）A 20种 B15种 C14种 D12种四.模型构造思想例5.证明：pn p m p m p n n m C C C C --⋅=⋅。

证明：原式左端可看成一个班有m 个同学，从中选出n 个同学组成兴趣小组，在选出的n 个同学中，p 个同学参加数学兴趣小组，余下的p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数。

原式右端可看成直接在m 个同学中选出p 个同学参加数学兴趣小组，在余下的p m -个同学中选出p n -个同学参加物理兴趣小组的选法数。

显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

例6. 方程84321=+++x x x x 的非负整数解的组数是多少？五.“正难则反”的思想解决问题，当正面难以解决时，不妨从反面、侧面思考，顺繁则逆、正难则反．例7．有五张卡片，他们的正反面分别写有0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解析：（1）0不能作百位，但可以作十位或个位．（2）0与1在同张卡片上，因此直接分类既要考虑0又要考虑1分类较复杂．于是先不考虑任何情况算出总数，然后减去0在左边第一位的号码即为所求．由于任取三张可以组成不同的三个数的号码有：A C 333352⋅⋅，其中0在左边第一位的号码有：A C 222242⋅⋅，故所求的不同三位数共有：A C 333352⋅⋅-A C 222242⋅⋅=432 个．例8．从1，2，3，…，1995这1995个自然数中，取出9个互不相邻的自然数，有多少种方法？解析：由于符合题意的条件错综复杂，正面进攻思维受阻，此时采用反面去考虑问题．问题相当于“9个女生不相邻地插入站成一列横队的1986个男生之间（包括首尾外侧），有多少种方法？”任意相邻2个男生之间最多站1个女生，队伍中的男学生首尾两侧最多也可各站1个女学生，于是，这就是1987个位置中任选9个位置的组合问题，共有C 91987种方法．六. 枚举法把符合条件的安排不重复、不遗漏的一一列举出来，是最简单、最原始但也是最基本的计数方法．教材中多次应用到，高考中也常用枚举法解决问题．例9．某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方法有（）A ．5种B ．6种C ．7种D ．8种例10．从1到100的一百个自然数中，每次取出两个数，使其和大于100，这样的取法共有多少种？七. 利用映射关系解题．例11．圆上有10个点，每两点连成一条线段，这些线段在圆内在圆内最多有多少个交点？以这些交点为顶点的三角形最多有多少个？八. 利用递推关系解题．例12．有一楼梯共10级，每步只能跨上1级或2级，问要登上最后一级共有多少种走法？例13.把圆分成10个不相等的扇形,并且用红、黄、蓝三种颜色给扇形染色,但不允许相邻的扇形有相同的颜色,问共有多少种染色法?九.对称法．例14．A,B,C,D,E五人站成一排，若B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）的不同站法有（） A 24种B60种C90种D120种十.机会均等法例15：10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？例16：用1，4，5，x四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求x。

排列组合问题的案例研究

排列组合问题的案例研究
排列组合问题是数学中的一种问题，通常是用来计算不同元素的排列和组合的数量。

在实际生活中，这种问题可以应用于很多领域，如概率统计、工程设计、计算机算法等。

下面将介绍一个案例研究，展示排列组合问题的应用。

案例：音乐节的演出安排
某个音乐节有10个乐队，其中8个乐队是流行乐队，2个乐队是摇滚乐队。

主办方打算在3天内安排这些乐队的演出顺序，要求每天演出的乐队数量不少于4个。

问主办方有多少种不同的演出安排方式？
解析：
根据题目要求，我们知道每个流行乐队都会被演出，而每天至少要有4个演出，所以流行乐队的演出顺序可以先固定下来。

有8个不同的流行乐队，我们可以将它们排列在一起，即8的全排列，计算方式为8!。

剩下的两个摇滚乐队可以安排在任意的位置，所以可以认为它们是可以重复的。

考虑到每天至少要安排4个演出，我们可以将两个摇滚乐队插入到流行乐队之间，通过插空的方式来排列。

在8个流行乐队的中间，我们有9个空位可以插入摇滚乐队，所以第一个摇滚乐队有9种插入位置，而第二个摇滚乐队有10种插入位置。

两个摇滚乐队的安排方式共有9 * 10 = 90 种。

主办方有8! * 9 * 10 = 2903040 种不同的演出安排方式。

例析排列组合问题类型及解题常用方法

例析排列组合问题类型及解题常用方法排列组合问题一般可分为相异元素不许重复的排列组合问题，相异元素允许重复的排列组合问题和不尽相异元素的排列组合问题.对于复杂的排列组合问题往往是对元素或位置进行限制，因此掌握一些基本排列组合的题型对学好本节内容是很有必要的.一、相异元素不许重复的排列组合问题1. 若对元素无特殊要求，这类问题比较简单，直接运用排列数、组合数定义就可以解决，只需分清是组合问题还是排列问题即可.例1 有北京、上海、广州三个车站，需准备几种车票？有几种票价？解析车票与起点、终点顺序有关，故是排列问题；而票价与顺序无关，故是组合问题. 因此有[A23=6]种车票，有[C23=3]种票价.2. 相异元素有限制条件的排列问题，常用方法有：特殊元素优先法、相邻问题捆绑法、相邻问题插入法等.例2 6人站成一排，其中甲既不站在最左端也不站在最右端，有多少种不同的站法？解析因为甲不能站在左、右两端，故第一步考虑甲，除去两端位置甲有4种站法；第二步让其余的5人站在其他5个位置上，有[A55=120]种站法.故满足题目条件的站法共有[4×A55=480]种.例3 5个男生和3个女生排成一排，3个女生必须排在一起，有多少种不同的排法？解析将3个女生看成一个元素，与5个男生进行排列，共有[A66=720]种排法；然后女生内部再进行排列，有[A33=6]种排法.故共有[A66A33=4320]种排法.点拨对于某些元素要求排在一起的问题，可用“捆绑法”将这些元素看作一个整体、看作一个元素，与其他元素进行排列，然后相邻元素间内部再进行排列.例4 7人排成一排，甲、乙、丙3人互不相邻有多少种排法？解析先将其余4人排成一排，有[A44=24]种排法，再将甲、乙、丙3人插入其余4人之间和两端的5个缝隙中，有[A35=60]种排法，故共有[A44A35=1440]种排法.点拨对于某些元素要求间隔排列的问题一般运用插入法. 在插入时，要先排无限制条件的元素，再将不相邻的元素插入已排好元素位置间的缝隙中.例5 有9本不同的书，分成3堆.（1）每堆3本有多少种不同的分法；（2）一堆5本，其他两堆各2本，有多少种不同的分法；（3）若一堆4本，一堆3本，一堆2本有多少种不同的分法.解析（1）此分堆属于平均分组问题，并且不计每堆顺序，所以分堆方法共有[C39C36C33A33=560]种.（2）分堆中，有两堆是均匀的，故有[C59C24C22A22=378]种.（3）非均匀分堆，由于不知3堆中哪一堆4本，哪一堆3本，哪一堆2本，故有[C49C35C22]=1260种.点拨对于分组、分堆问题，要注意是“均匀分”还是“非均匀分”，均匀分组要除以分组数的全排列数（堆与堆之间没有顺序），而不均匀分组则不用除以分组数的全排列数.二、相异元素允许重复的排列组合问题不能直接用[Amn]解决，因元素可重复出现，往往需分步考虑，运用计数乘法原理来解决.例6 有3封信和4个邮筒，则将信投入邮筒的所有不同投法种数有（）A. [A34]B. [43]C.[34]D.[C34]解析 [Amn]，[Cmn]只能表示没有重复的排列组合问题，而本题中明显可以将多封信投入到一个邮筒中，是一个可重复问题，应考虑运用分步原理来做. 每封信都有4种可能的投法，故有[4×4×4=64]种不同的投法.答案 B例7 用5种不同的颜色给图中4个区域涂色，若每一区域涂一种颜色，相邻区域不能同色，共有多少种涂色方法.[1][2][3][4]解析这是一道染色排列组合问题，很容易错误地认为就是[A45=120]，但仔细分析可知，1，3区域可以同色，故应分步考虑. 先涂区域2有5种方法，再涂区域4有4种方法，剩下三种颜色涂区域1，3各有3种方法，故共有[5×4×3×3=180]种涂法.点拨对于这类染色问题，一般采取分步或分类计数的方法进行解决.三、不尽相异的元素的排列组合问题这类排列组合问题，直接考虑很难解决，分类讨论又十分麻烦. 有些排列组合问题，从表面上看是不尽相异的元素排列组合，但若交换元素与位置关系，运用转化思想，变换角度来考虑，问题就可能转化为相异元素的排列组合问题.例8 有2个a，3个b，4个c，共9个字母排列成一排，有多少种排法？解析将9个字母看作元素，1～9位置作为位子，这是一个不尽相异元素的全排列.若转换角度，将1～9号位置作元素，字母作位置，那么问题就转化为一个相异元素不许重复的组合问题，故有[C29C37C44=1260]种不同的排法.例10 3面红旗、2面黄旗，全部都升上旗杆作信号，共能表示多少种不同的信号？解析由于同色旗间没有顺序，因此只用考虑红旗或黄旗中的一种在5个空处的位置即可，故有[C35=C25=10]种信号.例11 从5个班中选10人组成校篮球队，每班至少1人，有多少种选法？解析这是一道选人问题，只要把人选出来就可以了，不用考虑顺序，因此可以将10个人看成10个相同的小球，放入5个不同的盒子中，每个盒子至少1球，可先把10个球排成一排，再在其中9个间隙中选4个位置插入4块“挡板”，将总体分成5个部分对应着5个盒子，故有[C49=126]种选法，这种计数方法叫做隔板法，可专门用来解决同种元素的分配问题.以上是对一些常见排列组合问题的分类和小结，它们对应着不同的题型，在解题过程中需灵活多变，其实在解决大多数计数问题时，往往要交叉用到排列、组合，不能拘泥于某种分类，但必须要清楚排列和组合间的区别.。

排列组合问题的非常规解题数学思想方法

BBA1BA排列组合问题的非常规解题数学思想方法分类计数，分步计数两个原理是解决排列、组合问题的基本方法，利用该两个原理及课堂中学习的常规解法如：特殊元素、特殊位置、插空法、捆绑法等解决某些问题总觉的较难或者解答较繁．针对该现象本文列举几例介绍解排列组合问题的非常规解题思路．一.数形结合思想例1.如下图所示,有5横8竖构成的方格图,从A 到B 只能上行或右行共有多少条不同的路线?解法一: 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:其中必有四个↑和七个→组成!所以, 四个↑和七个→一个排序就对应一条路经,所以从A 到B 只能上行或右行共有514(51)(81)11C C --+-=条不同的路径.解法二:设i a (1,2,3,4,5,6,7)i =表示经过第i 列的水平路段;设j b (1,2,3,4)j =表示经过第j 行的竖直路段; 如图所示,将一条路经抽象为如下的一个排法(5-1)+(8-1)=11格:可以看出这是i a (1,2,3,4,5,6,7)i =与j b (1,2,3,4)j =的一个分别顺序一定的排列,而且一个这样的排列对应一条路径.所以从A 到B 只能上行或右行共有11411117474A C A A =条不同的路径.二.分类讨论思想例2.在六个空格里涂上红黄蓝三种颜色，每种颜色只能涂两次，要求相邻不同色，请问一共有多少种涂法。

解法一：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，按一下分类进行：先将两个黄格■■插入到两个红格■■的两端或中间，有5种情况:■■■■，■■■■，■■■■，■■■■，■■■■，■■■■，再将两个蓝格分别插入到四个红黄间隔的的两端或中间，有4+1+1+10+10+4=30种方法；所以，共有30种涂法。

解方法二：由题意，红黄蓝三种颜色，每种颜色恰好涂了两次，分为两类：第一类可按一下步骤进行：第1步：涂第一格，有3种方法；第2步：涂第二格，有2种方法；第3步：用与第一格不同的颜色涂第三格，有1种方法；第4步：第四格可以涂与第三格颜色不同的，有2种方法。

排列组合常见问题分类及典例解析(排列组合方法大全)

“1，1，4”型共有
“2，2，2”型共有
根据加法原理共有 + + =540种
例11、8名球员住A、B、C 3个房间，每个房间最多住3人，有多少种住宿方法？
解：共有种
8、相同元素分组问题（隔板法）
个相同元素分成部分，每部分至少一个元素，共有种
个相同元素分成部分，每部分不一定至少一个元素共有种
故转化为相同元素的排列问题，则用消序法得种
4、错位排列问题
个不同元素排成一列，有个元素不排在相应位置的排列种数有：
而当时，表示全错位问题
表示个不同元素排成一排，而第一个元素不在第一位，第二个元素不在第二位……第个元素不在第位，其不同的排列总数为
例7、有5个人站成一排，其中A不站第一位，B不站第二位，C不站第三位，D不站第四位，E不站第五位，有多少中不同的站法？
（1）分给甲、乙、丙三人，每人2本
（2）分成三份，每份2本
（3）分成三份，1份1本，1份2本，1份3本
（4）分给甲、乙、丙三人，1人1本，1人2本，1人3本
（5）分给甲、乙、丙三人，每人至少一本
解：（1）共有种
（2）（均匀分组问题）共有
（3）共有种
（4）（先分组，再分配）共有
（5） “1，2，3，”型共有
解：（全错位排列问题）
变式：5个人站成一排，甲不站第一位，乙不站第二位
解：错位种
5、圆桌排列问题
从个不同元素中不重复取出个元素排在一个圆周上，叫做这个元素的圆排列，如果一个 -圆排列，旋转可得到另一个 -圆排列，则认为这两个圆排列是相同的。
其方法种数有：
证明：一个圆桌上共个位置，第一个位置有种，第二个位置有种，第个有1种，故共有种，

排列组合问题的案例研究

排列组合问题的案例研究排列组合问题是一种常见的数学问题，涉及到对象的排列和组合的方式。

在日常生活中，排列组合问题也有很多应用，比如在计算概率、统计学、工程学等领域都会用到排列组合的知识。

本文将通过一个案例研究，来解释排列组合问题在实际生活中的应用和解决方法。

案例：购买水果和蔬菜某家超市推出了一个优惠活动，顾客可以在超市内选择5种水果和蔬菜任意组合并获得折扣。

现在假设超市有8种水果和蔬菜可供选择，分别是苹果、香蕉、橙子、西瓜、土豆、胡萝卜、青菜和番茄。

求购买5种水果和蔬菜的不同组合方式有多少种？解决方法：这个问题可以通过排列组合的方法来解决。

首先我们来求解购买5种水果和蔬菜的排列数目。

排列指的是将一组对象按照一定的顺序进行排列，对于这个问题来说，就是指在8种水果和蔬菜中选择5种并按照一定的顺序进行排列。

使用排列的公式可以得出：P(8,5) = 8! / (8-5)! = 8*7*6*5*4 = 6720P(8,5)表示8个物品中选取5个进行排列的结果，8!表示8的阶乘（8*7*6*5*4*3*2*1），(8-5)!表示3的阶乘（3*2*1）。

所以购买5种水果和蔬菜的排列数目为6720种。

购买5种水果和蔬菜的排列数目为6720种，组合数目为56种。

通过排列组合的方法可以很快的求解出不同组合方式的数目，为超市的促销活动提供了参考。

除了上述案例中的超市促销活动，排列组合问题还有许多其他的实际应用。

比如在生产工艺中，为了提高生产效率可以利用排列组合的方法对工序进行优化。

在物流领域中，也可以利用排列组合的方法对货物的运输路径进行规划。

在信息技术领域中，排列组合问题也有着广泛的应用，比如密码学、编码解码等都会涉及到排列组合的知识。

排列组合问题并不是一种纯粹的数学问题，它在现实生活中也有着广泛的应用。

通过排列组合的方法，可以帮助我们快速地求解出不同组合方式的数目，为我们在工作和生活中提供了很多便利。

希望大家在日常生活中能够更加重视排列组合问题的学习，从而更好地应用于实际问题的解决中。

非常规的排列组合问题例析

非常规的排列组合问题例析近来年，在各级各类考试中，出现了一些排列组合问题，这些问题涉及的知识面广，题目灵活多变，解法花样繁多，无一定模式。

这类问题本文称之为非常规的排列组合问题，下面通过一些例子来剖析其解法。

例1. 集合{}54321a ,a ,a ,a ,a A =，{}321b ,b ,b B =则集合A 到B 的映射和B 到集合A 的映射的种数分别是A. 53和35B. 35和53C. 35P 和35CD. 35和35C解析：因为集合B 中有3个元素，B 中任何一个元素i b 都可能与A 中每一个元素对应而形成映射。

所以B A f−→−有35555=⋅⋅种。

（注意：按照映射的定义，“多对一”是映射，而“一对多”不是映射。

）因为集合A 中有5个元素，A 中任何一个元素i a 都可能与B 中每一个元素对应而形成映射。

所以A B 1f −→−-有5333333=⋅⋅⋅⋅种，故选B 。

例2. 集合{}1,x P =，{}2,,1,y Q =，其中x 、y {}9,...,3,2,1∈，且Q P ⊆，把满足上述条件的一对有序整数对（x ，y ），作为一个点的坐标，则这样的点的个数是A. 9个B. 14个C. 15个D. 21个解析：根据题意，画树图分析如下：共14个，故选（B ）。

例3. 若()x f y =是定义域为{}*N x ,7x 1|x A ∈≤≤=，值域为{}1,0B =的函数，问这样的函数共有 A. 128个 B. 126个 C. 14个 D. 12个解析：因为不同的映射对应着不同的函数，所以要求函数的个数就是求映射的种数。

从A 到B 的映射可能有下列情形：（1）A B A B⎩⎨⎧→-→17201⎩⎨⎧→→011其余⎩⎨⎧→→17,...,3,102⎩⎨⎧→→012其余 ⎩⎨⎧→→17...,4,2,103 ⎩⎨⎧→→013其余 …… 共7个共7个简记为（2）ABAB⎩⎨⎧→→1607个其余个中任选一个 ⎩⎨⎧→→0617个其余个中任选一个共14C 217=（个） ABA B⎩⎨⎧→→15027个其余个个中任选 ⎩⎨⎧→→05127个其余个个中任选共42C 227=（个）（3）⎩⎨⎧→→14037个其余个个中任选 ⎩⎨⎧→→04137个其余个个中任选共70C 237=（个）所以从A 到B 的映射共有14＋42＋70＝126种不同的情形，即满足条件的()x f 共有126个，故选（B ）。

史上最全的难题排列组合大全

史上最全的排列组合难题大总结一.特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解:由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,先排末位共有13C然后排首位共有14C最后排其它位置共有34A由分步计数原理得113434288C C A=·多少不同的种法二.相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻, 共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排。

由分步计数原理可得共有522522480A A A=种不同的排法;练习题:某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20三.不相邻问题插空策略、例3.一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有55A种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种46A不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有5456A A种新节目插入原节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30四.定序问题倍缩空位插入策略例人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法解:(倍缩法)对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：7373/A A&(空位法)设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有47A种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有47A种方法。

思考:可以先让甲乙丙就坐吗（插入法)先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法443练习题:10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法，510C五.重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步:把第一名实习生分配到车间有7 种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有67种不同的排法练习题：1．{2．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为422. 某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法87六.环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐,共有多少种坐法解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人44A并从此位置把圆形展成直线其余7人共有（8-1）！种排法即7！A B C D E AHGF[练习题：6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120七.多排问题直排策略例人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法解:8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.个特殊元素有24A种,再排后4个位置上的特殊元素丙有14A种,其余的5人在5个位置上任意排列有55A种,则共有215445A A A种￥练习题：有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346八.排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.解:第一步从5个球中选出2个组成复合元共有25C种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入允许重复的排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可以逐一安排各个元素的位置，一般地n不同的元素没有限制地安排在m个位置上的排列数为nm种一般地,n个不同元素作圆形排列,共有(n-1)!种排法.如果从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有1mnAn一般地,元素分成多排的排列问题,可归结为一排考虑,再分段研4个不同的盒内有4A 种方法，根据分步计数原理装球的方法共有24C A^练习题：一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有 192 种九.小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个解：把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有22A 种排法，再排小集团内部共有2222A A 种排法，由分步计数原理共有222222A A A 种排法.练习题：；１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画, 排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为254254A A A2. 5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有255255A A A 种十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案解：因为10个名额没有差别，把它们排成一排。

排列组合问题常用方法(二十种)

解排列组合问题常用方法（二十种）一、定位问题优先法（特殊元素和特殊位置优先法）例1、由0,,,2,3, 4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数？分析：特殊元素和特殊位置有特殊要求，应优先考虑。

末位和首位有特殊要求。

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有 C 3种组合；然后排首位，从 2,4和剩余的两个奇数中任选一个共有 C 4种组合；最后排中间三个数，从剩余四个数中任选三个共有 A 种排列。

由分步计数原理得 C 3C 1A 3= 288 O变式1、7种不同的花种在排成一列的花盆里，若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法？分析：（除序法）除序法也就是倍缩法或缩倍法。

对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数。

共有不同排法种数为:A气=840OA ；（空位法）设想有 7把椅子，让除甲、乙、丙以外的四人就坐，共有A ；种坐法；甲、乙、丙坐其余的三个位置，共有1种坐法。

总共有 A 4 =840种排法。

思考：可以先让甲乙丙就坐吗？（可以）（插入法）先选三个座位让甲、乙、丙三人坐下，共有就坐，共有A 4种坐法。

总共有 C ^A4=840种排法。

变式4、10人身高各不相等，排成前后排，每排5人，要求从左至右身高逐渐增加，共有多少种不同的排法？分析：10人身高各不相等且从左至右身高逐渐增加，说明顺序一定。

若排成一排，则只有一种排法；现排成前后两排，因此共有 C 1o =252种排法。

分析：先种两种不同的葵花在不受限制的四个花盒中共有分步计数原理得疋A5 =1440 O二、相邻问题捆绑法例2、7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法？分析：分三步。

先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，将丙丁两元素也捆绑成整体看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时在两对相邻元素内部进行自排。

排列与组合问题的解题思路与示例解析

排列与组合问题的解题思路与示例解析在数学中，排列与组合是一类常见的问题类型，需要运用一定的思维方法和技巧来解决。

本文将介绍一些解题思路和示例解析，帮助读者更好地理解和应用排列与组合的知识。

一、排列问题排列是指从一组元素中选取若干个元素按照一定顺序进行排列的方式。

解决排列问题的关键在于确定元素的选取顺序和确定每个位置的元素个数。

1.1 顺序问题在解决排列问题时，首先需要确定元素的选取顺序。

例如，有6个人参加一场比赛，需要确定他们的名次。

这是一个顺序问题，因为名次的不同会导致结果的不同。

解决这类问题时，可以使用乘法原理。

即，第一个位置有6种选择，第二个位置有5种选择，以此类推，直到最后一个位置有1种选择。

因此，总的排列方式为6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 720种。

1.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决排列问题时需要考虑重复元素的影响。

例如，有4个字母A、B、C、D，需要排列成3位的字符串。

解决这类问题时，可以使用分情况讨论的方法。

首先，考虑第一位的选择，共有4种选择。

然后，考虑第二位的选择，由于第一位已经选择了一个元素，所以只剩下3种选择。

最后，考虑第三位的选择，由于前两位已经选择了两个元素，所以只剩下2种选择。

因此，总的排列方式为4 × 3 × 2 = 24种。

二、组合问题组合是指从一组元素中选取若干个元素，不考虑元素的顺序。

解决组合问题的关键在于确定元素的选取个数和确定元素的组合方式。

2.1 选取个数问题在解决组合问题时，首先需要确定元素的选取个数。

例如，有8个人参加一场晚会，需要从中选取3个人组成一个小组。

解决这类问题时，可以使用组合数的公式。

即，从8个人中选取3个人的组合数为C(8,3) = 8! / (3! × (8-3)!) = 56种。

2.2 重复元素问题在一组元素中，如果存在重复的元素，解决组合问题时需要考虑重复元素的影响。

例谈解答排列组合问题的措施

解题宝典排列组合问题属于中档难度的问题，常以选择题或填空题的形式出现.排列组合问题一般需要讨论的情况较多，因而很多同学无法得到正确的答案.其实解答这类问题是有规律可循的，下面介绍3种求排列组合问题的方法.一、插空法有些排列组合问题中的元素要求不相邻，此时我们可以运用插空法先将其它元素排好，再把要求不相邻的元素插入已排好元素的间隔中或两端的位置上.若没有条件限制的元素有m 个，要求不相邻的元素有n 个，应先排m 个元素，有A m m 种排列方式，然后把有条件限制的元素插入，有A n m 或C n m种排列方式，即一共有A mmA n m或A m mC n m种可能的排列方式.例1.某联欢晚会有3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目.现要排列这些节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法有()种.A.72种B.120种C.144种D.168种解析：3种节目都不能相邻，则应先排元素个数最多的歌舞类节目，则有A 33种排法，还需分2种情况讨论小品和相声节目的排法.①若相声类节目与歌舞类节目排在一起，有A 12种排法，再排2个小品类节目，有A 22A 22种排法，则一共有A 33A 12A 22A 22种排法；②若相声类节目不与歌舞类节目排在一起，应先排2个小品类节目，有A 22种排法，最后排相声类节目，有种A 16排法，则一共有A 33A 22A 16种排法；综上所述，共有A 33A 12A 22A 22+A 33A 22A 16=120种方法，所以本题答案为B 选项.若题目要求同种类的元素互不相邻，首先需排元素个数最多的种类.使用插空法解题还需注意，同种元素是否有区别，若有，只需按要求排列元素即可；若无，则需求先组合再进行排列.二、隔板法隔板法适用于解答将m 个相同的元素分成n 组，且每一组至少有1个元素的问题.只需将n -1个隔板插入到m -1个空格中，就可将m 个相同的元素分成n 组，且使每一组至少有1个元素，共有C n -1m -1种分组的方法.隔板法较为简单，同学们只要能确定问题的类型，便可直接运用公式求解.例2.甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛.先从1号队员开始，负者被淘汰；胜者则与对方的2号队员继续比赛……直到有一方队员被全部淘汰为止，另一方获胜，则可能出现的情况有____种.解析：假设甲队获胜，则甲队7人需将乙队7人全部淘汰，相当于将14个相同的元素分成7组，要求每一组至少有1个元素，可运用隔板法求解，将6个隔板插入到13个空格中，有C 613种情况，同样乙队获胜也是C 613种可能的情况，则一共有2C 613=3432种情况.采用隔板法解排列组合题时，要注意解读和挖掘问题中的条件.解答本题需要关注比赛的机制，找出关键点，即：输的队有7次比赛.三、捆绑法捆绑法不同于上述两种解题方法，捆绑法适用于求解元素相邻的排列组合问题.其解题思路是把要求相邻的元素看作一个整体与其他元素进行排列，然后再将相邻的几个元素内部进行排列.例3.现有排成一排的7个不同的盒子，将红、黄、绿、紫4种颜色的球全部放进盒子里，若每个盒子最多放1个球，则恰有2个空盒相邻且红球与黄球不相邻的不同放法有____种.解析：首先考虑两个空盒相邻的情况，这两个相邻的空盒不能和剩下的一个空盒相邻，则有A 25A 44种排法；然后考虑红球与黄球相邻的情况，把红球和黄球捆绑在一起有A 22A 33种放法，而且相邻两个空盒和剩下一个空盒不相邻，则共有A 22A 33A 24种放法；将红球与黄球相邻的情况剔除掉，有A 25A 44-A 22A 33A 24=336种放法.解答这种元素相邻的排列组合问题，一般采用捆绑法.很多问题往往会要求多个元素相邻，在解题时要依次考虑每一种情况，综合分析得到答案.通过对上述三种解题方法的分析，同学们可以更加全面地了解如何解答排列组合问题，并熟练掌握插空法、隔板法、捆绑法.在运用这三种方法解题时，同学们要注意首先判断问题的类型，然后选择与之对应的方法来解题.（作者单位：江苏省启东市汇龙中学）44Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。

用排列组合解决实际问题

用排列组合解决实际问题排列组合是数学中的一个分支，它的主要研究对象是集合中元素的选择和排列方式。

通过排列组合的方法，我们可以解决一些实际问题，如概率计算、密码学、统计学等。

本文将以几个实际问题为例，展示如何运用排列组合来解决这些问题。

问题一：某超市有10种食物，每种食物供应数量不限。

现在小明要从中选择4种食物购买，他有多少种选择方式？解析：这个问题可以看作是从10种食物中选取4种的问题。

由于小明可以选择多个相同的食物，因此这个问题是一个组合问题。

我们可以使用组合公式来计算，公式为C(n, k) = n! / (k! * (n-k)!)，其中n表示总的个数，k表示要选择的个数。

带入数据计算得到C(10, 4) = 210，因此小明有210种选择方式。

问题二：某班有10个学生，要选出其中3个学生参加学校的演讲比赛，其中一个学生必须是班长。

问有多少种选择方式？解析：这个问题是一个排列问题，因为班长和其他两名学生的位置是不同的。

我们可以分两步来解决这个问题：首先选择班长，有10种选择方式；然后选择其他两名学生，有C(9, 2) = 36种选择方式。

因此总的选择方式为10 * 36 = 360种。

问题三：某餐厅提供三道主菜和两种甜点，顾客可以选择一道主菜和一种甜点。

问顾客有多少种不同的搭配方式？解析：这个问题可以看作是在三种主菜中选择一道，两种甜点中选择一种的问题。

由于主菜和甜点的选择是相互独立的，因此可以使用乘法原理。

主菜的选择有3种方式，甜点的选择有2种方式，因此总的搭配方式为3 * 2 = 6种。

问题四：某公司为了激励员工，决定在年底抽奖，奖项分别为一等奖、二等奖和三等奖。

公司有10名员工，问员工中有多少种不同的抽奖结果？解析：这个问题可以看作是从10名员工中选取一名一等奖，从剩下的9名员工中选取一名二等奖，然后从剩下的8名员工中选取一名三等奖的问题。

因此可以使用乘法原理来计算，一等奖的选择有10种方式，二等奖的选择有9种方式，三等奖的选择有8种方式，因此总的抽奖结果为10 * 9 * 8 = 720种。

排列组合易混问题五种类型举例说明

排列组合易混问题展示排列组合应用问题解法独特，其中有些题目由于一字不同，解法就差别很大。

下面就具体剖析几例。

一、邻与不邻例1、（1）7名同学站成一排，其中甲、乙必须站在一起，有多少种不同的排法？（2）7名同学站成一排，其中甲、乙不站在一起，有多少种不同的排法？解析：（1）相邻问题采用“捆绑法”，把相邻的元素捆绑在一起，看成一个大元素与其他元素进行全排列，然后再松绑，故答案为62621440A A ⋅=种排法。

（2）不相邻问题采用“插空法”，先排好其余的元素，然后将不能相邻的元素插入空位，故答案为52563600A A ⋅=种排法。

二、重与不重例2、（1）用1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个三位数？（2）用1，2，3，4，5，6，7，8，9可以组成多少个没有重复数字的三位数？解析：（1）每个数字都可以重复使用，故每位数上都可以取9个数中的一个，用分步计数原理，故答案为9×9×9=729个。

（2）数字不允许重复，则必须取不同的三个数字组成，故答案为39504A =个。

三、均与不均例3、（1）将6本不同的书，平均分成三份，有多少种不同的分法？（2）将6本不同的书，分给甲、乙、丙三人，每人两本，有多少种不同的分法？解析：（1）设均分成三份有X 种分法，再分给甲乙丙三人，每人分得2本，则应有32223642X A C C C ⋅=⋅⋅，故2226423315C C C X A ⋅⋅==种分法。

（2）从6本书中任取2本给一个人，再从剩下的4本中任取2本给另一个人，剩下的2本给最后一个人，故有22264290C C C ⋅⋅=种分法。

四、放回与不放回例4、箱中有4个不同的白球和5个不同的红球，连续从中取出3个球，（1）取出后放回，且取出顺序为“红白红”的取法有多少种？（2）取出后不放回，且取出顺序为“红白红”的取法有多少种？解析：（1）取出后放回，每次取球始终在9个球中取，根据分步计数原理，共有 111545100A A A ⋅⋅=种取法。

探析非常规策略解排列组合问题

探析非常规策略解排列组合问题
姚桂春
【期刊名称】《高中数理化（高三）》
【年(卷),期】2007(000)007
【摘要】排列组合问题都具有一定的灵活性、机敏性和综合性，同学们在解决排列组合问题时往往有一定的畏难情绪，本文试从多角度出发，用6种常规策略分类解析排列组合问题，以期对同学们学习有所帮助。

【总页数】2页(P22-23)
【作者】姚桂春
【作者单位】河北丰润车轴山中学
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.解排列、组合问题的常用策略 [J], 张燕;
2.解排列组合问题的几个策略 [J], 朱良满;童嘉森
3.解排列组合问题的十三种策略 [J], 张金华
4.浅谈解排列、组合问题的常用策略 [J], 张春赫
5.求解排列组合问题的解空间动态缩减策略 [J], 李章洪;梁晓磊;田梦丹;周文峰因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。