湘教版八年级章节复习分式-田
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点
湘教版初中八年级数学上册第一章《分式》复习知识点教学目标1 使学生系统了解本章的知识体系及知识内容；2 进一步了解分式的基本性质、分式的运算法则以及整数指数幂，会熟练地进行分式的运算。
重点、难点重点：梳理知识内容，形成知识体系。
难点：熟练进行分式的运算。
教学过程一 知识结构与知识要点1浏览第2章目录，阅读p 61---63 复习与小结 2 这章学习了哪些内容？（学生交流） 教师投影本章知识结构图 3 你还记得下面知识要点吗？ （1）什么叫分式？设f 、g 都是整式，且g 中含有字母，我们把f 除以g 所得的商记作f g ，把f g叫做分式。
（2）分式基本性质 设h ≠0,则f f hg g h⋅=⋅即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。
（3）分式的符号变换法则是什么？,f f f f fg g g g g−−===−−− 形象的理解为：分式的分子分母的符号可以移动 ⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎨⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩分式的概念约分分式的性质通分分式的符号变号法则分式乘除法分式的运算乘方加减法分式方程的解法分式方程分式方程的应用（4）分式的运算法则①分式的乘法：f u f ug v g v⋅⋅=⋅可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分别相乘。
②分式的除法：f u f v f vg v g u g u⋅÷=⋅=⋅，分式除以分式，把被除式的分子分母颠倒位置后，与被除式相乘。
③分式加减法：同分母：f h f hg g g±±=，分母不变，分子相加减。
异分母:先通分，化为同分母的分子然后相加减。
怎样找最简公分母？系数：取各分母的系数最少公倍数。
字母因式：取所有的，指数最高的。
（5）整数指数幂的运算法则①同底数的幂的除法：(n m n m n a a a m −÷=≠、都是正整数，m>n,a 0) ②零次幂和负整数指数幂：01(0)a =≠a ，1(0,n n a a n a−=≠是正整数），11(0a a a−=≠）③整数指数幂有哪些运算法则：设a ≠0,m,n 都是整数,则：()(),nnm n m n m mn n n a a a a a ab a b +⋅===，二 例题精讲w W w .x K b 1.c o M 例1 填空：当x=_____,分式()3(5)(1)2x x x −−+无意义。
新版湘教版秋八年级数学上册第一章分式小结与复习教学设计
新版湘教版秋八年级数学上册第一章分式小结与复习教学设计一. 教材分析湘教版秋八年级数学上册第一章分式小结与复习主要内容包括分式的概念、分式的运算、分式方程的解法等。
本章内容是初中的重要知识点，也是学生学习高中数学的基础。
通过本章的学习，使学生掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
二. 学情分析八年级的学生已经学习了分式的基本概念和运算方法，但对分式方程的解法还不够熟练。
学生在学习过程中，对分式的理解存在一定的困难，特别是分式方程的解法，部分学生可能会感到迷茫。
因此，在教学过程中，需要教师引导学生加深对分式的理解，提高学生解决实际问题的能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题。
2.过程与方法：通过复习，引导学生自主探究，总结分式的性质和运算规律，提高学生的数学思维能力。
3.情感态度与价值观：培养学生热爱数学，勇于探究的精神，增强学生团队合作的意识。
四. 教学重难点1.重点：分式的基本概念和运算方法。
2.难点：分式方程的解法及其应用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，引导学生自主探究，总结分式的性质和运算规律。
2.运用小组合作学习，培养学生的团队合作精神和沟通能力。
3.利用多媒体辅助教学，提高学生的学习兴趣和效果。
六. 教学准备1.准备相关的教学课件和教学素材。
2.安排学生进行预习，了解分式的基本概念和运算方法。
3.设计好课堂练习和课后作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过复习分式的基本概念，引导学生回顾已学过的知识，为新课的学习做好铺垫。
2.呈现（15分钟）教师通过PPT展示分式的性质和运算规律，让学生自主探究，总结出分式的基本性质和运算方法。
3.操练（20分钟）教师设计一些分式运算的题目，让学生独立完成，检验学生对分式运算方法的掌握程度。
4.巩固（15分钟）教师给出一些实际问题，让学生运用所学的分式知识解决，巩固学生对分式的应用能力。
湘教版八年级上册第一章分式小结复习
4、当 x 2 y，代数式 的值为24，求 x 的值 。
四. 分式方程
知识点1. 分式方程的定义：
分母中含有未知数的方程叫分式方程。 知识点2. 解分式方程的思路：
去分母 分式方程 整式方程
）个。
A 、4 个
B、3个
C、2个
D、1个
知识点2. 分式有意义：
答：分式的分母不等于0，分式才有意义。 例题2 (1)对于分式 ，当 x 1 时，下列正确 的是（ ）。 A、分式无意义 B、分式的值为1 1 C、分式的值为0 D、分式的值为 2 (2)当x 2 时，下列分式有意义的是（ ）
三. 分式的运算
知识点1. 分式的乘除、乘方：
乘法法则：分式乘分式，用分子的 积作为积的分子，分母的积作为积 的分母。
f u fu g v gv
除法法则：分式除以分式，把 f u f v fv 除式的分子、分母颠倒位置后，g v g u gu (u 0) 与被除式相乘。
知识点1. 分式的性质：
二. 分式的性质
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整 式，分式的值不变。
f f h 用字母表示： g g h
f f 分式的变号法则： g g ,
f f h (h 0) g g h
f f f g g g
例题4 (1)
b b2 1 1 x a b ( ) a2 a a 1 , , 2 , . a ( ) x ( ) ab ab ac ( )
ab (2)若分式 a 中，a，b都乘以2，那么分式
的值（
）
新湘教版八年级数学上册第一章分式小结与复习
混合运算
03
CHAPTER
分式方程
根据实际问题或数学问题，通过数学模型将问题转化为分式方程。
方程的建立
利用分式方程的解法，如去分母、换元法等，求解分式方程。
方程的求解
方程的建立与求解
利用分式方程解决与速度、时间和距离相关的实际问题，如追及问题、相遇问题等。
通过建立分式方程，解决与工作效率相关的实际问题，如工程问题、工作分配问题等。
分式与其他知识点的联系
整式和分式都是代数的基本形式，整式是由数字和字母通过有限次加、减、乘运算得到的代数式，而分式是整式的一种特殊形式，其分母中含有字母。
分式可以看作是整式的除法运算，即一个分式除以另一个分式等于被除数乘以除数的倒数。
分式的约分和通分也是基于整数的约分和通分原理，通过因式分解或找最大公约数来实现。
在几何学中，我们经常需要计算图形的面积或体积。当知道图形的边长或其他尺寸时，我们可以通过分式来表示和计算面积或体积。例如，计算矩形的面积时，我们可以用分式来表示长度和宽度的关系。
详细描述
面积、体积问题
分式在解决其他实际问题中也有广泛应用，如溶液的稀释、金融投资等。
总结词
除了速度、时间、距离和面积、体积问题外，分式在现实生活中还有许多应用。例如，在化学实验中，我们经常需要稀释溶液，这时可以用分式来表示稀释的比例。在金融领域，分式可以用来表示投资回报率或利率等经济指标。
Hale Waihona Puke 与整式的联系分式方程可以转化为整式方程，通过去分母或消去分母的方法，将分式方程转化为整式方程进行求解。
解分式方程时，需要注意验根，因为分母不能为零。
分式经常出现在方程中，尤其是高次方程和分式方程。
与方程的联系
湘教版八年级数学上册第一章分式小结复习 PPT
(C≠ 0)
知能点2. 分式的约分：
把一个分式的分 子与分母的公因 式约去，叫做分 式的约分。
确定最大公因式的方法： ①最大公因式的系数取 分子、分母系数的最大 公约数； ②取分子、分母相同的 字母因式的最低次幂.
知能点3. 最简公分母、通分： 分式的分子与分母没有公因式的分式叫最简单分式
知能点3. 分式值为0：
（1）分母不等于0 （2）分子等于0
知能点4. 分式值为正负数：
（1）分子分母同号 （2）分子分母异号
二. 分式的性质
知能点1. 分式的性质：
分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于0的整 式，分式的值不变。
用字母表示：
A B
=
A·C B·C
A B
=
A÷C B÷C
分式的变号法则： a a a a
小数点往后至第一个不为零的数字
上，所有零的个数，包括小数点前 面的那个零。
三. 分式方程
知能点1. 分式方程的意义和解法：
分母中含有未知数的方程叫分式方程。
解分式方程的一般步骤
（1）去分母 （2）解整式方程 （3）检 验
把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的 同分母的分式，叫做分式的通分
三. 分式的运算
知能点1. 分式的乘除、乘方：
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作 为积的分子，分母的积作为积的分母。
������ ������ ������ ·������ ������ ·������ = ������ ·������
｛ 分
同分母
a b a±b
式 的
｛加
字母表示： c ± c = c
法 则 ： 先通分，变为同分母的分式，再加减
湘教版八年级数学上册教案《分式》小结与复习(1)
课题：《分式》小结与复习（1）学习目标：1.梳理本章知识点，复习巩固分式的概念、基本性质.2. 通过复习课使学生系统掌握有关分式的基本概念、基本性质和分式的符号法则；并运用基本性质进行通分和约分。
重点：灵活运用分式的基本性质、符号法则解决有关分式的化简、求值问题 难点：分式的基本性质、符号法则的运用。
教学过程：一、本章知识结构（出示ppt 课件）1、2、要注意的几点：（1）分式与分数有许多相似之处，在学习分式的性质与运算时，可类比分数.（2）计算时，要仔细观察题目的结构特点，搞清运算顺序，灵活运用运算律，适当运用计算技巧，可简化运算，提高速度，优化解题。
运算结果要化简。
（3）解分式方程的关键是去分母，可能产生增根，因此必须检验.二、知识回顾（出示ppt 课件）每一个知识点都配有基础训练。
一、分式意义。
1.分式的定义； 。
2.分式有意义的条件： 。
分式无意义的条件： 。
3.分式值为 0的条件： 。
基础训练：1.下列各式(1)32x .(2)23x .(3)22x x .(4)x π.(5)312x -是分式的有 个。
2.当x 、y 满足关系 时,分式22x y x y+-无意义. 3.下列分式一定有意义的是( ) A. 21x x +； B. 211x x ++； C. 211x x +-； D. 11x -； 4、5、6、见ppt 课件二、分式的性质1.分式的基本性质: 分式的分子与分母同乘以(或除以) ， 分式的值 。
用式子表示: 。
2.分式的符号法则: 。
分式分式意义 基本性质 分式运算 乘除(乘方)运算 整数指数幂的运算加减运算 分式方程及应用基础训练：1.写出下列等式中的未知的分子或分母. 见ppt 课件2．不改变分式的值，将下列分式的分子、分母的最高次项的系数变为正数． 212x x -+-； 231x x x -+； 22x x x --； 3、4、5、6、见ppt 课件7、若x ，y 的值均变为原来的13，则分式223xy x y +的值（ ） A.是原来的13；B.是原来的19； C.保持不变； D.不能确定； 8．已知分式32a a b +的值为53，若a ，b 的值都扩大到原来的5倍，则扩大后分式的值是 .三、约分、通分1.约分：把分子、分母的 约去.2.通分：把 不相同的几个分式化成 的分式.关键： 。
湘教版八年级数学第1章《分式》 知识清单
第1章分式1.1分式知识点1 分式的概念1.分式的定义:类似地，一个整式f 除以一个非零整式g（g 中含有字母），所得的商记作fg,把代数式f g叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0. 分式的三要素：（1）形如fg的式子；（2）f为整式，g为非0整式；（3）分母g中含有字母2.分式与分数、整式的关系：（1）分式中分母含有字母，由于字母表示不同的数，因此分式比分数更具有一般性。
分数是分式中字母取特定值时的特殊情况. （2）分式与整式的根本区别是分式的分母中含有字母.知识点2 分式的值存在、不存在的条件1.分式的值存在（分式有意义）的条件：分式的分母表示除数，由于除数不能为0，因此分式的分母不能为即当g≠0时，分式fg才有意义.分式的分母不为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0.2.分式的值不存在（分式无意义）的条件：分式的分母为0，即g＝0时，分式fg无有意义.求法：当分式的值不存在时，根据分式中分母的值为0的条件转化为解方程问题.知识点3 分式的值为0的条件分式的值为0的条件：1.当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即对于分式fg，当f＝0且g≠0时，fg=0.2.对于分式fg，常见的特殊分式值的情况讨论：（1）若fg的值为1，则f=g,且g≠0；反过来若f=g,且g≠0，则fg的值为1.（2）若fg的值为-1，则f=-g,且g≠0；反过来若f=-g,且g≠0，则fg的值为-1.知识点4 分式的基本性质1.分式的基本性质：（1）分式的分子与分母都乘同一个非零整式，所得分式与原分式相等，即对于分式fg，有fg=f·ℎg·ℎ(h≠0).（2）分式得分子与分母都除以他们的一个公因数，所得分式与原分式相等.3.分式的符号法则:分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示如下：（1）fg = −f−g= −f−g=−−fg（2）−fg= −−f−g= −fg= f−g知识点5 分式的约分1.分式的约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去（即分子与分母都除以他们的公因式），叫作分式的约分.2.找公因式的方法：（1）当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式.（2）当分子、分母都是多项式时，先把多项式分解因式，再按（1）中的方法找公因式.3.约分的方法（1）若分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的公因式；（2）若分子或分母含有多项式，应先分解因式，再确定公因式并约去.4.最简分式分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.注意事项：①约分式针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积形式；②约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式；③注意发现分式的分子与分母的一些隐藏的公因式（如互为相反数的式子）④当分式的分子或分母的系数是负数时，可利用分式的基本性质，把负号提到分式的前面.1.2分式的乘法和除法知识点1分式的乘法1.分式的乘法运算法则：分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.即fg·uv= fugv2.法则的运用方法：（1）若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法运算法则运算后再约分；（2）若分子、分母有多项式，可先对分子、分母因式分解，约分后，再进行乘法运算；（3）若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”进行运算. （4）运算的结果应为最简分式或整式.3.分式乘法运算的基本步骤：第一步：确定积的符号，写在积中分式的前面.第二步：运用法则，将分子与分母分别相乘，多项式要带扩号；第三步：约分，将结果化成最简分式或正式.知识点2 分式的除法1.分式的除法运算法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即f g÷ u v= f g× v u=fv gu（u ≠0）.2. 法则的运用方法：（1）分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法运算法则计算； （2）当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算.3.分式除法运算的基本步骤：第一步：将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分； 第二步：将除法转化成乘法；第三步：利用分式的乘法运算法则计算。
湘教版八年级数学上册第1章分式复习知识点及复习题解析
即 分式的分子、分母都乘 它们的公因式 ， 所得分式与原分式相等。
f f f . g g g
分式及其分子、分母三处法符号，任意改 变两处的符号，即把负号移到另一处，分式的 值不变。
f mk m . g nk n
即 分式的分子、分母都约去 公因式 ， 所得分式与原分式相等。
1. 分式乘分式把分子相乘的积作分子，把分母相 乘的积作分母。最后结果约分成 最简分式 .
概念和性质
乘、除运算
分
式
运算
整数指数幂的运算
加、减运算
可化为一元一次方程的分式方程
1. 整式f除以 非零 整式g(g中含有 字母 )所得 的商 f ，叫做分式。
g
2. 当分母 等于0 时，分式的值不存在(无意义)； 当分子等于 等于0 但分母 不等于0 时，分式
的值等于0.
f f h h 0.
(ab)n=anbn
a b
n
an bn
am an
amn
1.同分母分式相加减，分母 不变 ，把分子 相加减 .
2.各分式的分母的 所有因式 的最高次幂的积，叫做 这些分式的最简公分母.
3.根据分式的基本性质，把异分母分式化成同分母 分式的过程叫做 通分 .通分的方法：先确定各分 母的 最简公分母 ，再将各分式的分子、分母都 乘最简公分母约去各分式的分母所得的整式。
【答案】x=±2.
2.先约分，再求值：
2x 6 x2 4x
4
x2 x2 3x
，其 中x
3.
【答案】原式=
2
xx
2
2 3
.
3.计算：
16a3b 3b；
2 24x5 y3 36x4 y4；
最新湘教版八年级上数学专题复习分式
专项复习--分式二、知识点拨知识点一：分式及相关概念 ★ 考点1:分式的概念一个 除以一个（）,所得的商记作 ,把代数式 叫作分式。
例1:在下面4个代数式中，为分式的是（）★ 考点2:分式的值存在的条件 当分式的 的值不为。
时，分式的值存在；相反，当分式的存在。
例2:当X 1时，下列分式的值不存在是（）x 1 x2x x 1A 、B 、 —C 、D 、xx 1x 1x★考点3:分式的值为0的条件在分式L 中，当f _ ____ 且g_ _____ 时，分式的值为 0。
g例3、若分式 凶」的值为零，则x 的值为x 1★ 考点4:分式的基本性质分式的 与 都,所得分式与原分式 。
即对于分式 f,g有。
例4:卜列各式从左向右的艾化/、止确的是（) - -2a 2br a abA 、 — ——B 、 — 一C 、一D 、一b bx b abb 2 abb2 b★ 考点5:最简分式分子与分母没有 ___________ 的分式叫做最简分式。
出分式运算的最终结果若是分式，一定要化成 。
2, 3例5：化成最简分式：①25abc =；②（a b ）（ah =15ab c2（b a ）知识点二：分式的运算 ★考点6:分式的乘除法、知识构建2a 5A 、 ------7 B 、1 3xC 、D 、的值等于0时，分式的值不分式的乘法法则:2例6:计算：①a xf ug v2ay .;分式的除法法则：fby 2 b 2 x ★考点7:分式的乘方 分式的乘方是把分子、分母2②a xy b 2z 2g2 a yz = b 2x 2 ig) 例7、下列运算正确的是（3 6 A 、（斗22 2x 2x ★考点8:整数指数哥 整数指数哥的法则：（1） （2） （3） B 、 ) ■ 2x 同底数骞的乘、骞的乘方法则: 例8:给出的下列等式:a a 3 4■⑦ 2a 3 3a A. 0个6y 6 4x 4 C 、 (卢 2x 9y 64x 4D、(卢 2x9y 64x 4除法法则: 积、商的乘方法则: —L.:③ 22 4;④3 13;⑤ ab3x 21b 1.⑧ 6.510 3 =0, 00065;⑨a 2b ab a 其中正确的个数是B. C.D. 3个 ★考点9:分式的加减法 同分母的分式加减法则: 异分母分式的加减法法则: 例9:计算：①7 x 知识点三：可化为 c ---------- —;②二包 8x 7y 次方程的分式方程 ★考点10:分式方程及相关概念含有未知数的方程叫做分式方程。
湘教版八年级上《第一章分式》期末复习课件(共24张PPT)
_____________
y)2
2 2x+y ___ ___ D. = = y -x 3 3x+y
知识点5：分式的加减乘除及混合运算 （1）分式的乘除运算： 因式分解 →约分 （2）分式相加减： 因式分解 →通分、约分 （3）分式的混合运算： 乘除 ，再算 加减 先算______ _______， 若有括号，则先算括号里面 ___________.
自我检测交流7
(1)下列运算正确的是（ C ） 2 = －6a2 ( － 3a) 3 2 6 A. a . a = a B.
2 3 C. a÷a = a 2 x
D. (an-1 )3 = a3n-1
) (2)计算 x2 =_________; 2m -n m n (3)已知a =2 ，a =3，则 a
自我检测交流9
2 x+2 1.解分式方程 ，去分母 + =3 x-1 1-x 后变形正确的是（ D ）
A.2+(x+2)=3(x-1) B.2-x+2=3(x-1)
D.2-(x+2)=3(x-1) m 3 2.已知关于x的分式方程 的解 + =1 x-1 1-x 是非负数，则m的取值范围（ C ）
字母 ______. ≠0 2.分式有意义的条件:分母_________. 分式无意义的条件:分母_________. =0 3.分式值为 0 的条件： 等于0 ，且分母 不等于 0 分子________ __________.
1 （1）要使分式 有意义，则x的取值 x+2 应满足（ D ） A.x=-2 B.x≠2 C .x＞-2 D.x≠-2
1.下列方程是分式方程的是（ D ）
知识点9：分式方程的解法
湘教版数学八年级上《第1章分式》单元复习与小结
八年级上册单元复习与小结第一章：分式班级： 学号： 姓名：一、课前构建：认真阅读教材P 1－40回顾相关知识：—分式的定义—分式的概念——分式无意义—分式的值为零—分式的性质分式— —乘、除运算—分式的运算——整数指数幂的运算—加、减运算—分式方程二、课堂点拨：知识点一：分式的概念★考点1:分式的定义：一个整式f 除以一个 （ ），所得的商gf 叫做分式。
例1、下列式子xy x y x x x y x +--,,56,2232π中，是分式的是 。
★考点2:分式无意义： 在分式gf 中，当g 时，分式无意义；g 时，分式有意义。
例2、当x = 时，分式12+x x 没有意义；当x 时，分式11+x 有意义。
★考点3:分式的值为零： 在分式gf 中，当f 且g 时，分式的值为0。
例3、若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 。
知识点二：分式的性质★考点4:分式的基本性质：分式的分子与分母都乘 ，所得分式与原分式相等。
即（其中0≠h ）分式的分子与分母约去公因式，所得分式与原分式相等。
即 （其中0≠h ） 分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。
即 。
例4、如果把分式yx xy +中的x 和y 都扩大2倍，则分式的值（ ） A 、扩大4倍 B 、扩大2倍 C 、不变 D 、缩小2倍例5、根据分式的基本性质，分式ba a --可变形为（ ） A 、b a a -- B 、b a a + C 、b a a -- D 、b a a +- ★考点5:最简分式（1）约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，称为分式的约分。
约分的方法：先把分子与分母因式分解，再约去公因式。
（2分子与分母没有 分式，叫做最简分式。
分式运算的最终结果若是分式，一定要化成最简分式。
例6、化简xy x y x +-222的结果是（ ）A 、x y x 2- B 、x y x + C 、y x y x +- D 、xy x - 知识点三：分式的运算★考点6:分式的加减法①同分母分式相加减，分母 ，把分子 。
XJ湘教版 初二八年级数学 上册第一学期秋季(期末考试总复习)精品专题————分式
12． 利用分式的基本性质填空：
（1）
3a
, (a 0)
5xy 10axy
（2）
a 2 a2 4
1
13． 计算： a 2 9 __________． a3 a3
14． 计算： (ab b2 ) a b ＝
．
ab
15． 方程 2 1 x 0 的解是
．
x4 4x
16．已知 1 1 3 ，则分式 2x 3xy 2 y 的值为
xy
x 2xy y
___ ．
三、解答题(本题共 5 小题，共 36 分)
17．（本小题满分 10 分）化简：
（1） b2 2b 3ab ； 27a3 9a b4
（2） 1 1
x
2x 1 x2
xy 1 a2 1
1 a2
xy 1
二、填空题(本题共 8 小题，每小题 4 分，共 32 分)
9． 当 x ________时，分式 1 2x 的值存在． 1 2x
10． 当分式 | x | 5 的值为 0 时, x 的值为__
_．
x2 4x 5
11． 用科学记数法表示 0.00021 _______；用小数表示 3.57 106 ___ __．
。
bc
例 9：计算：① 7 3 8 = xxx
；② 7 5 =
。
8x 7y
知识点三：可化为一元一次方程的分式方程
★考点 10：分式方程及相关概念
①
含有未知数的方程叫做分式方程。分式方程的解也叫做分式方程的
；
②检验：把整式方程的根代入__________，看结果是不是零，使__________的根是原方程的根，使
数学八年级下湘教版第2章分式复习教案
数学八年级下湘教版第2章分式复习教案第一篇：数学八年级下湘教版第2章分式复习教案第2章分式复习教学目标使学生系统了解本章的知识体系及知识内容；进一步了解分式的基本性质、分式的运算法则以及整数指数幂，会熟练地进行分式的运算。
重点、难点重点：梳理知识内容，形成知识体系。
难点：熟练进行分式的运算。
教学过程一知识结构与知识要点1浏览第2章目录，阅读p 61---63 复习与小结2 这章学习了哪些内容？（学生交流）⎧分式的概念⎪3 你还记得下面知识要点吗？⎧约分⎪⎪分式的性质⎪⎨通分（1）什么叫分式？⎪⎪分式的符号变号法则⎪⎩设f、g都是整式，且g中含有字母，⎪分式⎨⎧乘除法⎪⎪ff分式的运算⎨乘方我们把f除以g 所得的商记作，把叫⎪gg⎪加减法⎪⎩⎪做分式。
⎧分式方程的解法⎪分式方程⎨⎪⎩分式方程的应用⎩（2）分式基本性质教师投影本章知识结构图设h≠0,则fg=f⋅hg⋅h即：分式的分子与分母同时乘以一个非零的多项式，所得分式与原分式相等；分式的分子分母同时约去公因式，所得分式与原分式相等。
（3）分式的符号变换法则是什么？-f-g=f,f=-fg=-fgg-g 形象的理解为：分式的分子分母的符号可以移动（4）分式的运算法则①分式的乘法：fg⋅uv=f⋅ug⋅v可以先把分子、分母分别相乘再约分，也可以先约分再分子、分母分别相乘。
第二篇：八年级数学(下)十六章—分式教案16．2．1分式的乘除(二)一、教学目标：熟练地进行分式乘除法的混合运算.二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.2．难点：熟练地进行分式乘除法的混合运算.三、例、习题的意图分析1．P17页例4是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先把除法统一成乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.教材P17例4只把运算统一乘法，而没有把25x2-9分解因式,就得出了最后的结果，教师在见解是不要跳步太快，以免学习有困难的学生理解不了，造成新的疑点.2，P17页例4中没有涉及到符号问题，可运算符号问题、变号法则是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，突破符号问题.四、课堂引入计算（1）y÷x⋅(-y)(2)3x÷(-3x)⋅(-1) xyx4yy2x五、例题讲解（P17）例4.计算[分析] 是分式乘除法的混合运算.分式乘除法的混合运算先统一成为乘法运算，再把分子、分母中能因式分解的多项式分解因式，最后进行约分，注意最后的计算结果要是最简的.（补充）例.计算(1)3ab322xy2⋅(-8xy9ab)⋅2)÷3x(-4b)=3ab32xy3ab32⋅(-8xy9ab⋅2-4b3x(先把除法统一成乘法运算)=2xy9ab3x⋅8xy24b（判断运算的符号）=16b9ax23（约分到最简分式）2x-6(x+3)(x-2)3-x(2)4-4x+4x2x-6⋅2÷(x+3)⋅1=4-4x+4x2x+3⋅(x+3)(x-2)3-x(先把除法统一成乘法运算)=2(x-3)(2-x)2⋅1x+31x+3⋅(x+3)(x-2)3-x(x+3)(x-2)-(x-3)(分子、分母中的多项式分解因式)2x-2=2(x-3)(x-2)2⋅⋅ =-2ab5c2ab224六、随堂练习计算(1)3(x-y)(y-x)23b216a4÷bc2a2⋅(-)（2）÷(-6abc)÷226220c331030ab（3）3⋅(x-y)÷9y-x（4）(xy-x)÷x-2xy+yxy⋅x-yx2七、课后练习计算(1)-8xy⋅y-4y+42y-62243x4y6÷(-xy6z2)(2)a-6a+94-bxyy-xy222÷3-a2+b3a-9⋅a2(3)⋅1y+3÷12-6y9-y2(4)x+xyx-xy22÷(x+y)÷16．2．1分式的乘除(三)一、教学目标：理解分式乘方的运算法则，熟练地进行分式乘方的运算.二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式乘方的运算.2．难点：熟练地进行分式乘、除、乘方的混合运算.三、例、习题的意图分析1．P17例5第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，在分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除..2．教材P17例5中象第（1）题这样的分式的乘方运算只有一题，对于初学者来说，练习的量显然少了些，故教师应作适当的补充练习.同样象第（2）题这样的分式的乘除与乘方的混合运算，也应相应的增加几题为好.分式的乘除与乘方的混合运算是学生学习中重点，也是难点，故补充例题，强调运算顺序，不要盲目地跳步计算，提高正确率，突破这个难点.四、课堂引入计算下列各题：（1）()=ba2ab⋅ab=（）(2)()=bana3ab⋅ab⋅ab=（）（3）()=ba4ab⋅ab⋅ab⋅ab=（）[提问]由以上计算的结果你能推出()（n为正整数）的结果吗？b五、例题讲解（P17）例5.计算[分析]第（1）题是分式的乘方运算，它与整式的乘方一样应先判断乘方的结果的符号，再分别把分子、分母乘方.第（2）题是分式的乘除与乘方的混合运算，应对学生强调运算顺序：先做乘方，再做乘除.六、随堂练习1．判断下列各式是否成立，并改正.（1）(b32a)=2b522a（2）(-3b2a)=2-9b4a22（3）(2y-3x)=38y9x33（4）(3xx-b)=29x222x-b2．计算(1)(5x23y2)（2）(23ab-2c32)（3）(xyy3a323xy)÷(-2ay2x2)3（4）(xy-z2)÷(3-xz32)5)(-2ba22)⋅(-2x)÷(-xy)(6)(-4y2x)⋅(-23x2y)÷(-33x2ay)2七、课后练习c3计算(1)(-c43)3(2)(-ab22)n+1(3)(ab2)÷(2a-b2-a3a4222()⋅()⋅(a-b))÷()(4)3abb-acab16．2．2分式的加减（一）一、教学目标（1）熟练地进行同分母的分式加减法的运算.（2）会把异分母的分式通分，转化成同分母的分式相加减.二、重点、难点1．重点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.2．难点：熟练地进行异分母的分式加减法的运算.三、例、习题的意图分析1． P18问题3是一个工程问题，题意比较简单，只是用字母n天来表示甲工程队完成一项工程的时间，乙工程队完成这一项工程的时间可表示为n+3天，两队共同工作一天完成这项工程的1n+1n+3.这样引出分式的加减法的实际背景，问题4的目的与问题3一样，从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.2．P19[观察]是为了让学生回忆分数的加减法法则，类比分数的加减法，分式的加减法的实质与分数的加减法相同，让学生自己说出分式的加减法法则.3．P20例6计算应用分式的加减法法则.第（1）题是同分母的分式减法的运算，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子变号的问题，比较简单，所以要补充分子是多项式的例题，教师要强调分子相减时第二个多项式注意变号；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积，没有涉及分母要因式分解的题型.例6的练习的题量明显不足，题型也过于简单，教师应适当补充一些题，以供学生练习，巩固分式的加减法法则.（4）P21例7是一道物理的电路题，学生首先要有并联电路总电阻R与各支路电阻R1, R2, …, Rn的关系为111111.若知道这个公式，就比较容易地用含有R1的式子表示R2，列出1，下面的计算就是=++⋅⋅⋅+=+RR1R2RnRR1R1+50异分母的分式加法的运算了，得到1R=2R1+50R1(R1+50)，再利用倒数的概念得到R的结果.这道题的数学计算并不难，但是物理的知识若不熟悉，就为数学计算设置了难点.鉴于以上分析，教师在讲这道题时要根据学生的物理知识掌握的情况，以及学生的具体掌握异分母的分式加法的运算的情况，可以考虑是否放在例8之后讲.四、课堂堂引入1.出示P18问题3、问题4，教师引导学生列出答案.引语：从上面两个问题可知，在讨论实际问题的数量关系时，需要进行分式的加减法运算.2．下面我们先观察分数的加减法运算，请你说出分数的加减法运算的法则吗？3.分式的加减法的实质与分数的加减法相同，你能说出分式的加减法法则？4．请同学们说出12xy23,13xy42,19xy2的最简公分母是什么？你能说出最简公分母的确定方法吗？五、例题讲解（P20）例6.计算[分析] 第（1）题是同分母的分式减法的运算，分母不变，只把分子相减，第二个分式的分子式个单项式，不涉及到分子是多项式时，第二个多项式要变号的问题，比较简单；第（2）题是异分母的分式加法的运算，最简公分母就是两个分母的乘积.（补充）例.计算（1）x+3yx-y22-x+2yx-y22+2x-3yx-y22[分析] 第（1）题是同分母的分式加减法的运算，强调分子为多项式时，应把多项事看作一个整体加上括号参加运算，结果也要约分化成最简分式.解：x+3yx-y22-x+2yx-y1-x6+2x22+2x-3yx-y6x-9222 =(x+3y)-(x+2y)+(2x-3y)x-y22=2x-2yx-y22=2(x-y)(x-y)(x+y)=2x+y(2)1x-3+-[分析] 第（2）题是异分母的分式加减法的运算，先把分母进行因式分解，再确定最简公分母,进行通分，结果要化为最简分式.解：1x-3+1-x6+2x-6x-92=1x-3+1-x2(x+3)-6(x+3)(x-3)=2(x+3)+(1-x)(x-3)-122(x+3)(x-3)=-(x-6x+9)2(x+3)(x-3)2=-(x-3)22(x+3)(x-3)3a+2b5ab-2=-x-32x+6-b-a5ab2m+2nn-mnm-n2mn-m1a+36a2六随堂练习计算(1)+a+b5ab-2（2）7a-8ba-b-+（3）+-9（4）3a-6ba+b5a-6ba-b+4a-5ba+b--3b-aa-b22七、课后练习计算(1)b25a+6b3abc23b-4a3bac2a+3b3cba2(2)1-a+2ba-b22-3a-4bb-a22(3)a-b+a2b-a+a+b+1(4)16x-4y-6x-4y-3x4y-6x2216．2．2分式的加减（二）一、教学目标：明确分式混合运算的顺序，熟练地进行分式的混合运算.二、重点、难点1．重点：熟练地进行分式的混合运算.2．难点：熟练地进行分式的混合运算.三、例、习题的意图分析1．P21例8是分式的混合运算.分式的混合运算需要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意最后的结果要是最简分式或整式.例8只有一道题，训练的力度不够，所以应补充一些练习题，使学生熟练掌握分式的混合运算.2．P22页练习1：写出第18页问题3和问题4的计算结果.这道题与第一节课相呼应，也解决了本节引言中所列分式的计算，完整地解决了应用问题.四、课堂引入1．说出分数混合运算的顺序.2．教师指出分数的混合运算与分式的混合运算的顺序相同.五、例题讲解（P21）例8.计算[分析] 这道题是分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减,最后结果分子、分母要进行约分，注意运算的结果要是最简分式.（补充）计算（1）(x+2x-2x2-x-1x-4x+42)÷4-xx[分析] 这道题先做括号里的减法，再把除法转化成乘法，把分母的“-”号提到分式本身的前边..解：(x+2x-2x2-x-1x-4x+42)÷4-xx=[xx+2x(x-2)2-x-1(x-2)22]⋅x-(x-4)⋅x1x-4x+42=[(x+2)(x-2)x(x-2)2-2x(x-1)x(x-2)2]⋅-(x-4)=x-4-x+xx(x-2)2-(x-4)=-（2）xx-y⋅yx+y-xyx-y444÷x222x+y[分析] 这道题先做乘除，再做减法，把分子的“-”号提到分式本身的前边.解：xx-y⋅y2x+y-xyx-y444÷x222x+y=xx-y⋅y2x+y-xy(x+y)(x-y)22224⋅x+yx222=xy2(x-y)(x+y)⋅-xyx-y222=xy(y-x)(x-y)(x+y)=-xyx+y六、随堂练习计算(1)(x2x-2+42-x)÷x+22x（2）(aa-b-bb-a)÷(1a-1b)（3）(3a-2-+12a-4a-12)÷(2a-2-1a+2)七、课后练习1．计算(1)(1+1x1y1zxyxy+yz+zxyx-y)(1-1xx+y-)(2)(1a-24a2a+2a-2a2a-4 a+42)⋅a-2a÷4-aa2(3)(++)⋅2．计算(a+2)÷，并求出当a=-1的值.16．2．3整数指数幂一、教学目标：1．知道负整数指数幂a-n=1an（a≠0，n是正整数）.2．掌握整数指数幂的运算性质.3．会用科学计数法表示小于1的数.二、重点、难点1．重点：掌握整数指数幂的运算性质.2．难点：会用科学计数法表示小于1的数.三、例、习题的意图分析1． P23思考提出问题，引出本节课的主要内容负整数指数幂的运算性质.2．P24观察是为了引出同底数的幂的乘法：am⋅an=am+n，这条性质适用于m,n是任意整数的结论,说明正整数指数幂的运算性质具有延续性.其它的正整数指数幂的运算性质，在整数范围里也都适用.3．P24例9计算是应用推广后的整数指数幂的运算性质，教师不要因为这部分知识已经讲过，就认为学生已经掌握，要注意学生计算时的问题，及时矫正，以达到学生掌握整数指数幂的运算的教学目的.4． P25例10判断下列等式是否正确？是为了类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来.5．P25最后一段是介绍会用科学计数法表示小于1的数.用科学计算法表示小于1的数，运用了负整数指数幂的知识.用科学计数法不仅可以表示小于1的正数，也可以表示一个负数.6．P26思考提出问题，让学生思考用负整数指数幂来表示小于1的数，从而归纳出：对于一个小于1的数，如果小数点后至第一个非0数字前有几个0，用科学计数法表示这个数时，10的指数就是负几.7．P26例11是一个介绍纳米的应用题，使学生做过这道题后对纳米有一个新的认识.更主要的是应用用科学计数法表示小于1的数.四、课堂引入1．回忆正整数指数幂的运算性质：mnm+n（1）同底数的幂的乘法：a⋅a=a(m,n是正整数)；（2）幂的乘方：(a)=anmnmnn(m,n是正整数)；n（3）积的乘方：(ab)=ab(n是正整数)；（4）同底数的幂的除法：aanm÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，m＞n)；（5）商的乘方：()=n(n是正整数)；bb2．回忆0指数幂的规定，即当a≠0时，a=1.3．你还记得1纳米=10-9米，即1纳米=4．计算当a≠0时，a÷a=350an11029米吗？1a2aa35=a33a⋅a=3，再假设正整数指数幂的运算性质a53-5m÷an=am-n(a≠0，m,n是正整数，m＞n)中的m＞n这个条件去掉，那么a÷a=a=a-2.于是得到a-2=1a2（a≠0），就规定负整数指数幂的运算性质：当n是正整数时，a-n=1an（a≠0）.五、例题讲解（P24）例9.计算[分析] 是应用推广后的整数指数幂的运算性质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一样，但计算结果有负指数幂时，要写成分式形式.（P25）例10.判断下列等式是否正确？[分析] 类比负数的引入后使减法转化为加法，而得到负指数幂的引入可以使除法转化为乘法这个结论，从而使分式的运算与整式的运算统一起来，然后再判断下列等式是否正确.（P26）例11.[分析] 是一个介绍纳米的应用题，是应用科学计数法表示小于1的数.六、随堂练习1.填空（1）-22=（2）(-2)2=（3）(-2)0=（4）20=(5）2-3=(6）(-2)-3= 2.计算(1)(xy)（2）xy ·(xy)3-222-2-2(3)(3xy)÷(xy)2-2 2-23七、课后练习1.用科学计数法表示下列各数：0．000 04，-0.034, 0.000 000 45, 0.003 009 2.计算(1)(3×10-8)×(4×103)(2)(2×10-3)2÷(10-3)316．3分式方程(一)一、教学目标：1．了解分式方程的概念, 和产生增根的原因.2．掌握分式方程的解法，会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.二、重点、难点1．重点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.2．难点：会解可化为一元一次方程的分式方程，会检验一个数是不是原方程的增根.三、例、习题的意图分析1． P31思考提出问题，引发学生的思考，从而引出解分式方程的解法以及产生增根的原因.2．P32的归纳明确地总结了解分式方程的基本思路和做法.3．P33思考提出问题，为什么有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就是原方程的解，而有的分式方程去分母后得到的整式方程的解就不是原方程的解，引出分析产生增根的原因，及P33的归纳出检验增根的方法.4．P34讨论提出P33的归纳出检验增根的方法的理论根据是什么？5．教材P38习题第2题是含有字母系数的分式方程，对于学有余力的学生，教师可以点拨一下解题的思路与解数字系数的方程相似，只是在系数化1时，要考虑字母系数不为0,才能除以这个系数.这种方程的解必须验根.四、课堂引入1．回忆一元一次方程的解法，并且解方程x+24-2x-36=12．提出本章引言的问题：一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？分析：设江水的流速为v千米/时，根据“两次航行所用时间相同”这一等量关系，得到方程10020+v=6020-v.像这样分母中含未知数的方程叫做分式方程.五、例题讲解（P34）例1.解方程[分析]找对最简公分母x(x-3),方程两边同乘x(x-3),把分式方程转化为整式方程，整式方程的解必须验根这道题还有解法二：利用比例的性质“内项积等于外项积”，这样做也比较简便.（P34）例2.解方程 [分析]找对最简公分母(x-1)(x+2),方程两边同乘(x-1)(x+2)时,学生容易把整数1漏乘最简公分母(x-1)(x+2)，整式方程的解必须验根.六、随堂练习解方程(1)3x=2x-6（2）2x+1+3x-1=6x-12（3）x+1x-1-4x-12=1（4）2x2x-1+xx-2=2七、课后练习1．解方程(1)25+x-11+x=0(2)63x-82x+9x+3=1-14x-78-3x-2x(3)2x+x2+3x-x2-4x-12=0(4)1x+1-52x+2=-342．X为何值时，代数式-x-3的值等于2？16．3分式方程(二)一、教学目标：1．会分析题意找出等量关系.2．会列出可化为一元一次方程的分式方程解决实际问题.二、重点、难点1．重点：利用分式方程组解决实际问题.2．难点：列分式方程表示实际问题中的等量关系.三、例、习题的意图分析本节的P35例3不同于旧教材的应用题有两点：（1）是一道工程问题应用题，它的问题是甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快？这与过去直接问甲队单独干多少天完成或乙队单独干多少天完成有所不同，需要学生根据题意，寻找未知数，然后根据题意找出问题中的等量关系列方程.求得方程的解除了要检验外，还要比较甲乙两个施工队哪一个队的施工速度快，才能完成解题的全过程（2）教材的分析是填空的形式，为学生分析题意、设未知数搭好了平台，有助于学生找出题目中等量关系，列出方程.P36例4是一道行程问题的应用题也与旧教材的这类题有所不同（1）本题中涉及到的列车平均提速v千米/时，提速前行驶的路程为s千米，完成.用字母表示已知数（量）在过去的例题里并不多见，题目的难度也增加了；（2）例题中的分析用填空的形式提示学生用已知量v、s和未知数x，表示提速前列车行驶s千米所用的时间，提速后列车的平均速度设为未知数x千米/时，以及提速后列车行驶（x+50）千米所用的时间.这两道例题都设置了带有探究性的分析，应注意鼓励学生积极探究，当学生在探究过程中遇到困难时，教师应启发诱导，让学生经过自己的努力，在克服困难后体会如何探究，教师不要替代他们思考，不要过早给出答案.教材中为学生自己动手、动脑解题搭建了一些提示的平台，给了设未知数、解题思路和解题格式，但教学目标要求学生还是要独立地分析、解决实际问题，所以教师还要给学生一些问题，让学生发挥他们的才能，找到解题的思路，能够独立地完成任务.特别是题目中的数量关系清晰，教师就放手让学生做，以提高学生分析问解决问题的能力.四、例题讲解P35例3 分析：本题是一道工程问题应用题，基本关系是：工作量=工作效率×工作时间.这题没有具体的工作量，工作量虚拟为1，工作的时间单位为“月”.等量关系是：甲队单独做的工作量+两队共同做的工作量=1路程P36例4 分析：是一道行程问题的应用题, 基本关系是：速度=.这题用字母表示已知数（量）.等量关系时间是：提速前所用的时间=提速后所用的时间五、随堂练习1.学校要举行跳绳比赛，同学们都积极练习.甲同学跳180个所用的时间，乙同学可以跳240个；又已知甲每分钟比乙少跳5个，求每人每分钟各跳多少个.2.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?3.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.六、课后练习1．某学校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达，后来由于把速度加快，结果于下午451时到达，求原计划行军的速度。
八年级数学上册分式知识点湘教版
八年级数学上册《分式》知识点湘教版知识点1分式的概念：若是A、B表示两个整式，而且B中含有字母，那么式子叫做分式。
2分式成心义、无心义的条：分式成心义的条：分式的分母不等于0;分式无心义的条：分式的分母等于0。
3分式值为零的条：分式AB=0的条是A=0，且B≠04分式的大体性质：分式的分子与分母同乘一个不等于0的整式，分式的值不变。
用式子表示为，分式的通分：和分数类似，利用分式的大体性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个异分母分式化成相同分母的分式，如此的分式变形叫做分式的通分。
通分的关键是确信几个式子的最简公分母。
几个分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，如此的分母就叫做最简公分母。
求最简公分母时应注意以下几点：“各分母所有因式的最高次幂”是指凡显现的字母为底数的幂选取指数最大的;若是各分母的系数都是整数时，取它们系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;若是分母是多项式，一样应先分解因式。
6分式的约分：和分数一样，依照分式的大体性质，约去分式的分子和分母中的公因式，不改变分式的值，如此的分式变形叫做分式的约分。
约分后分式的分子、分母中再也不含有公因式，如此的分式叫最简公因式。
约分的关键是找出分式中分子和分母的公因式。
约分时注意分式的分子、分母都是乘积形式才能进行约分;分子、分母是多项式时，通常将分子、分母分解因式，然后再约分;找公因式的方式：①当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积确实是公因式;②当分子、分母都是多项式时，先把多项式因式分解。
新湘教版八年级上期知识点
第一章 分式分式的概念：一般的，用B A ,表示两个整式，B A ÷就可以表示成BA的形式．如果B 中含有字母，式子BA就叫做分式．其中，A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母.分式和整式通称为有理式． 注意：(1)分母中含有字母是分式的一个重要标志，它是分式与分数、整式的根本区别； (2)分式的分母的值也不能等于零．若分母的值为零，则分式无意义； (3)当分子等于零而分母不等于零时，分式的值才是零． 分式的相关概念：把一个分式的分子与分母的公因式约去，把分式化成最简分式，叫做分式的约分．一个分式约分的方法是：当分子、分母是单项式时，直接约分；当分子、分母是多项式时，把分式的分子和分母分解因式，然后约去分子与分母的公因式．一个分式的分子和分母没有公因式时，叫做最简分式，也叫既约分式．把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示是：MB MA MB M A B A ÷÷=⨯⨯=(其中M 是不等于零的整式)．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变．如：BAB A B A B A --=--=--=． 分式的系数化整问题，是利用分式的基本性质，将分子、分母都乘以一个适当的不等于零的数，使分子、分母中的系数全都化成整数．当分子、分母中的系数都是分数时，这个“适当的数”应该是分子和分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；当分子、分母中各项系数是小数时，这个“适当的数”一般是n10，其中n 等于分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．例、不改变分式的值，把下列各分式分子与分母中各项的系数都化为整数，且使各项系数绝对值最小．(1)b a b a 41313121-+； (2)22226.0411034.0y x y x -+． 分式的运算法则1、 分式的乘除法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母；分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．用式子表示是：bd ac d c b a =⨯；bcad c d b a d c b a =⨯=÷． 2、 分式的乘方法则：分式乘方是把分子、分母各自乘方．用式子表示是：n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛(n 为整数)．3、分式的加减法则：①同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．用式子表示是：cba cbc a ±=±； ②异分母的分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减．用式子表示是：bdbcad d c b a ±=±．分式的混合运算关键是弄清运算顺序，分式的加、减、乘、除混合运算也是先进行乘、除运算，再进行加、减运算，遇到括号，先算括号内的．例、计算78563412+++++-++-++x x x x x x x x ． 分析：对于这道题，一般采用直接通分后相加、减的方法，显然较繁，注意观察到此题的每个分式的分子都是一个二项式，并且每个分子都是分母与1的和，所以可以采取“裂项法” ． 同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减．如：nm nmaa a -=÷(n m ,为正整数，0≠a )．注意：10=a (0≠a )；p a a app,0(1≠=-为正整数)． 科学计数法：把一个数记成na 10⨯±的形式，其中：n a ，101<≤是整数，这种记数法叫做科学记数法．第二章三角形命题、定理、证明命题的概念：判断一件事情的语句，叫做命题．注意：命题的定义包括两层涵义：①命题必须是一个完整的句子；②这个句子必须对某件事情做出判断．例如：“直角都相等” ，“相等的角是对顶角”等都是命题．“连结P 、Q 两点” 、“过点p 作直线l ”等都不是命题． 命题的一般形态：任一个命题都可以写成形式：“如果……，那么……．”如果对应命题的题设(条件)部分，那么对应命题的结论部分。
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分式（一）知识回顾：1.约分把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做约分.约分的依据是分式的基本性质. 若分式的分子、分母是多项式，必须先把分子、分母分解因式，然后才能约去公因式. 分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式，又叫做既约分式.分式的运算结果一定要化为最简分式.2.分式的乘法3.分式的除法4.分式的乘方求n 个相同分式的积的运算就是分式的乘方，用式子表示就是(ba )n. 分式的乘方，是把分子、分母各自乘方.用式子表示为：例题精讲：1、分式意义①．因为除数不能为零，所以分式中字母的取值不能使分母为零，否则分式就没有意义了。
当分母的值为 时，分式无意义；当分母的值不为 时，分式有意义。
②．当 时，分式x 1有意义；当 时，分式x 1无意义； 当 时，分式841--x x 有意义；当 时，分式841--x x无意义；2、分式值为零①．当分式同时满足条件① ② 时，分式值为零。
②．当x= 时，分式293--x x 的值为零；当x= 时，分式232-x x的值为零。
3、判断下列各式哪些是整式，哪些是分式？9x+4, x7 , 209y +, 54-m , 238y y -， 91-x(1)=---+xx x 23122(2)=-+--23231x x x5．下列计算是否正确？若不正确，请改正。
(1)bc ad d c b a =∙ （ ） (2)x y x y =÷ （ ） (3)1)1(11=-÷-x x （ ） 6. 约分（1)b a c ab 22128--＝ （2）44422+-++a a a ＝= = 7、计算：（1） 232a 9b 16b 4a 3∙ （2）)3(2962y y y y -÷++-（3） xy10b 21y x 4ab 32÷- （4）（－ab ）5÷（－ab ）3;8、化简求值：已知x=-1，y=2,求xyyx x xy -÷-)(2的值习题演练1、填空：2)(2322+=+x xx x2、当x 为 时，分式x211-的值为正。
(1)=---+xx x 23122(2)=-+--23231xx x4、计算：（1）m 9÷m 7; （2）（－a ）6÷（－a ）2;(3) 4411242222++-⋅+--a a a a a a （4）（x －y ）6÷（y －x ）3÷（x －y ）．（5）yx xxy y x 22-∙- （6）3a a 9a 6a a 22+÷++提高探究1、 计算：（1）、432223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy z x y y x （2）、 103326423020)6(25b a c c ab b a c ÷-÷⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩整数指数幂分式（二）2、 复习题：（1）、432223⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-xy z x y y x （2）、 103326423020)6(25b a c c ab b a c ÷-÷一、知识回顾1 .m na a ∙= （a ≠0 m,n 都是整数）2. ()m n a = （a ≠0 m,n 都是整数）3.()n ab = （a ≠0 b ≠0 n 是整数）4. am ÷an= （0≠a m,n 都是整数） 5、01(0)a a =≠6、1(0)nna a n a -=≠为正整数b()()(0)b n naa b o n a -=≠≠为正整数6、科学记数法：0.0000001100n n -⋅⋅⋅= 个二、实题精讲1、计算：（1）35)()(c c -÷-=（2）23)()(y x y x m +÷++=2、(a 2)4÷a 3÷a 等于( )A.a 5B.a 4C.a 3D.a 23、用科学计数法表示下列各数：（1）0．0000004 = （2） －0. 000034= 4、 用小数表示下列各数：（1）10-4= （2）2.1×10-5= 5、计算：①322b a --⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭②-2-1-3(x y )③ 32223)2()3(---÷x ay xy a ④222693x x x x -⎛⎫-+ ⎪-⎝⎭2256x x x -⎛⎫⋅ ⎪-+⎝⎭6、计算：()()44062242222410--⎡⎤-⨯-⨯÷-÷⨯÷⎣⎦7、先化简再求值：22921(3)(3)269x x x x x -⎛⎫---⎪⋅-÷+ ⎪-+⎝⎭其中 2x =-三、习题演练1、用科学计数法表示：0.000 000 4= - 0. 003 009=2、计算： 332)23(c b a -= 12132ab a b ---⎛⎫= ⎪⎝⎭()322xy --= = 。
232)23()23()2(---÷-⋅-ayx y x x y = 3、计算：03111()(2)()223-+-++-=4、计算：222x 4y 12x 4xy 4y---+（）=5、2216(2)x yz xy z --÷-= 7、计算：(1)、 )()()(2232b a ab a ab b a -⋅--⋅- （2）、 (3x 2y －2) 2 ÷(x －2y)3(3)、 (3×10－8)×(4×103) （4）、3224)3()12(---÷-yx y x四、提高探究1、已知x m =8，x n =5，求x m －n 的值;2、：已知212=+xx ，求221x x +的值。
分式（三）一、知识回顾同分母分式相加减法则 异分母分式相加简单法则什么是最简公分母 什么是分式方程 解分式方程的步骤二、实题精讲 1、xxx 24,412-- 的最简公分母是 2、计算： （1） yx y y x x ---22 （2） x x x -+-3632（3） 222+--x x x （4）xx x -+++-1112122 （5） 423)225(--÷---x x x x（2）先化简，再求值：2,21222=+-+-x x xx x x 其中4、方程132=-x 的根为：5、方程xx -=-22482的解是（ ）A 、x= -2 B 、x = 2 C 、x= 4 D 、无解6、解分式方程xxm x --=+-2321 时会产生增根，则m 的值是（ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、2 7、下列方程去分母正确的是：（ ）A 、x x x -=+--32332 去分母得：（2—x ）+3=2 B 、1262=++-x x x 去分母得：x(x +2) +6x —2=（x —2）（x +2） C 、112122--=-x x 得：)1(11)1(2)1(122222x x x x x----=-⨯-8、解分式方程： （1）621132+=++x x x （2）、22121--=--xx x三、习题演练1、下列式子，不成立的是A:c b a C b a ---=+-)( B:c ba cb a +=--- C:b ac b a c --=+- 2D:ba ab b a b a +-=---2、先化简，再求值：12)11(-÷+--a a a a a a ，其中a=23、计算：yx yx y x x +--+2=（ ） 3、计算： （1）x --111 （2） xx x -÷--+12)1111(（3）112+--x x x4、解分式方程： （1）x x 325=- （2）1317-=+-x x x （3）11322-=-x x x四、提高探究 1、多项式653,321,62322+-----x x xx x x x 的公分母 2、已知442+-x x 与1-y 互为相反数，求)(y x x y y x +÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-的值。
并求出分式的值。
分式取一个你喜欢的值代入,21442aa -+-分式方程解应用题1、A做90个零件所需要的时间和B做120个零件所用的时间相同，又知每小时A、B两人共做35个机器零件。
求A、B每小时各做多少个零件。
2、一台甲型拖拉机4天耕完一块地的一半，加一天乙型拖拉机，两台合耕，1天耕完这块地的另一半。
乙型拖拉机单独耕这块地需要几天？3、我部队到某桥头阻击敌人，出发时敌人离桥头24千米，我部队离桥头30千米，我部队急行军速度是敌人的1.5倍，结果比敌人提前48分钟到达，求我部队的速度。
4、轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。
已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。
5、某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？6、某商厦进货员预测一种应季衬衫能畅销市场，就用8万元购进这种衬衫，面市后果然供不应求，商厦又用17.6万元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了4元，商厦销售这种衬衫时每件定价都是58元，最后剩下的150件按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，商厦共赢利多少元。
分式方程应用题1、块面积相同的小麦试验田，第一块使用原品种，第二块使用新品种，分别收获小麦9000Kg 和15000Kg,已知第一块试验田的每公顷的产量比第二块少3000Kg,分别求这块试验田每公顷的产量。
2、从甲地到乙地有两条公路：一条是全长600Km的普通公路，另一条是全长480Km的高速公路。
某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45Km，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需要的时间。
3、从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达。
已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度。
4、某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。
5、某中学到离学校15千米的某地旅游，先遣队和大队同时出发，行进速度是大队的1.2倍，以便提前半小时到达目的地做准备工作。
求先遣队和大队的速度各是多少？6、某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。