《理论力学 动力学》 第十二讲 瞬时转动轴·角速度·角加速度,各点的速度、加速度
第十二章 理论力学动力学动能定理2
机器的功率方程 dT = P入 − P = Pi − Po − Pl 出−P 损 dt
例12-7： 机车作直线行驶， 机车作直线行驶，受迎风面阻力为kmg，k常数，m 为 质量。试求： 试求：机车功率。 机车功率。
mv 2 ∑ d w = d w − kmg d s 解: T= 2 d T = d w − kmg d s
A
h
v mg
C Fk k
ωC
设各物体初位置为各重力的零势 ωO vC O 点，弹簧以原长为零势点。 弹簧以原长为零势点。 1 0.5mg V1 = kδ12 A 2 1 h 1 2 C v V2 = −mgh + mg ⋅ + kδ 2 2 2 2 mg ωC 1 Fk k M = 0 2 ( F ⋅ r − F + mg ) r = 0 ∑ iP 1 k 2 3 F k = mg 2 0.5mg h F2 δ 2 = δ1 + F1 代入到 T1 + V1 = T2 + V2 2 1 23 2 1 2 1 h 1 2 mv + kδ1 = −mgh + mg ⋅ + kδ 2 C P 2 16 2 2 2 2 v
V2 =
k l (l sin 30°) 2 − P sin 30° 2 2
T1 + V1 = T2 + V2
ω = 15.5 rad/ s
例12-12：质量为m的物块A离地面高度为h，匀质圆轮O与C的 质量均为0.5m，半径均为r，弹簧的刚度系数为k。若给静止的 系统以初速v，试求恰能使物A到达地面的初速v。 解： T2=0
§12-6 机械能守恒定律
d w = d T = − dV
理论力学 第十二章 动能定理
2009年12月8日第十二章动能定理具体内容：6 普遍定理的综合应用举例一、常力的功••运动路程SF ⋅W2π正功2π负功2πFM 1M 2M Sθ二、变力的功元功：WδrF d⋅变力的功：∫=WWδM M上）⋅d rF （自然形式）（矢量形式）（直角坐标形式）解析表达式三、几种常见力作的功mgF F F z y x −===,0,0质点重力作功可见：开始终了高度差与运动轨迹的形状无关i (z i 1-z i 2)由质心坐标公式，有)(2112C C z z mg W−=∑质点系重力作功可见：与质心运动轨迹的形状无关弹性力δk F =)(0l r k −=弹性极限)(2222112δδ−=k W 21,δδ可见：起始终了变形量与质点的轨迹形状无关r0)(e l r k −−=[例12-1]解：)(21)(C C P z z mg W−=)(22221)(δδ−=k W F 23. 定轴转动刚体上作用力的功元功F 力F 所作的功1ϕ2ϕ∫=21d 12ϕϕϕz M W 力偶z M r F d ⋅4. 平面运动刚体上力系的功无限小位移=i r d C r d iCr d +iF iM CCr d ϕd iC r d θϕd d ⋅=C M r i iC C r d ϕd 元功r F d ⋅r F d ⋅r F d ⋅=⋅iC i r F d θcos ⋅C M F i i ϕd )(⋅=i C F MiF iM CCr d ϕd iCr d r F d ⋅F 力系元功⋅r F d F r F d ⋅′力系作功∫∫+⋅′=2121d d R 12ϕϕϕC C C C M r F W R F ′主矢C M 质心主矩可见：力系向质心简化所得的力和力偶作功之和一、质点的动能221mv •••动量异：同：平方标量一次方矢量二、质点系的动能T质点系内各质点动能的算术和。
m柯尼希定理Cmmv∑+即：质心平移坐标系注意：以质心为基点？三、刚体的动能平移221Cmv =定轴转动221ωz J =平面运动221C mv 221ωC J +221ωP J =[例12-2]质心平移解：(定轴转动盘杆系统T T T +=AωOA?=A ωBl v AAθ平移平面运动解：v v v +=BAv Av [例12-3]系统的动能：221cos )(θθ&lv m v m m A A +++22cos θθ&lv m v m A A ++Bl v AAθBAv Av[思考]√一、质点的动能定理d F v =v d F r d ⋅r d ⋅r d =⋅r tvm d d d v v m ⋅d )d(2v v m ⋅=2d 2v m =)21d(2mv =)21d(2mv Wδ=微分形式21222121mv mv −12W =积分形式（某一瞬时）（某一运动过程）二、质点系的动能定理i ∑=iW δ质点系动能定理的微分形式∑=−iW T T 12质点系动能定理的积分形式i d(T d 即：即：∑=i W T δd ∑=−iW T T 12讨论：质点系的内力，因有些情况下内力作功和不等于零。
定轴转动刚体内各点的速度和加速度
a
aτ2 an2 r
2 4
arctan
aτ an
arctan
2
式中：——全加速度的方向与转动半径间的夹角。
1.3 转动刚体内各点的速度和加速度的分布规律
由上面各式可得到转动刚体内各点的速度和加速度的下述分布 规律：
1）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度、切向加速度、法向 加速度及全加速度的大小均与该点的转动半径成正比。
= 0.5 m的圆轮绕定轴O转动，转动
方程为＝－t2+3t， 的单位为rad，
t的单位为s。求t = 1s时轮缘上任一 点M的速度和加速度。如果在此轮 缘上绕一柔软而不可伸长的绳子， 绳端悬挂一物块A，求t = 1s时物块 A的速度和加速度。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度
【解】 由圆轮的转动方程，可得其在任 一瞬时的角速度和角加速度为
下面求物块A的速度和加速度，由于绳子不 可伸长，A点落下的距离与M点转过的弧长相同，
A点的运动方程为s= r，t = 1 s时的速度和加速
度为
v ds r d r (0.51) m/s 0.5 m/s
dt dt
a dv r d r [0.5 (2)] m/s2 1m/s2
dt dt
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 2）在任一瞬时，转动刚体内各点的速度方向垂直于各自的转
动半径；全加速度的方向与各点的转动半径的夹角均相同且小于 90°。
因此，刚体内通过转轴且与其垂直的任一直线上各点在同一 瞬时的速度和全加速度是按线性规律分布的，如图所示。
目录
刚体的运动\定轴转动刚体内各点的速度和加速度 【例6.3】 如图所示，一半径r
理论力学 刚体的简单运动
度、角加速度是刚体绕定轴转动的 整体性质的度量。 能否这样说：刚体在定轴转动的每 一瞬时，这一点有一个角速度、角 加速度，另一Байду номын сангаас有不同的角速度和 角加速度？ 再有，对一个点，能否说这个点具 有角速度和角加速度？
7.3 转动刚体内各点的速度和加速度
当刚体绕定轴转动时， 刚体内任意一点都作圆周运 动，圆心在轴线上，圆周所 在的平面与轴线垂直，圆周 的半径R等于该点到轴线的 垂直距离。 设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角度j，到达B 位置，其上任一点由O'运动到M。以固定点O'为弧坐 标s的原点，按j角的正向规定弧坐标s的正向，于是
当刚体转动时，转角 j 是时间t的单值连续函数， 即
j f (t )
这就是刚体绕定轴转动的运动方程。 转角 j 对时间的一阶导数，称为刚体的瞬时角速度， 用w表示: dj w j dt 角速度表征刚体转动的快慢和方向，其单位用rad/s (弧度/秒)表示。 角速度是代数量，从轴的正端向负端看，刚体逆时针 转动时角速度取正值，反之取负值。
aA aB
结论：当刚体平行移动时，其上各点的轨迹形 状相同；在每一瞬时，各点的速度相同，加速 度也相同。 因此，研究刚体的平移，可以归结为研究刚体 内任一点的运动。
若平移刚体内各点的轨迹为直线，则称 为直线平移；若平移刚体内各点的轨迹 为平面曲线，则称为平面曲线平移；若 平移刚体内各点的轨迹为空间曲线，则 称为空间曲线平移。 思考题： 作平移运动的刚体有无角速度、角加速 度？ 秋千的运动是不是平移？ 作直线运动的车厢是平移，车厢转弯时 车厢的运动是不是平移？
1
n1
n2 3
2
n3 4
解：求传动比：
n1 n1 n2 Z 2 Z 4 i13 34.8 n3 n2 n3 Z1 Z3
理论力学第12章-动量矩定理
z
M ，底圆半径为 R ，高为 h 。
r
h z dz
解：把圆锥体分成许多厚度为 d z
的薄圆片，该薄圆片的质量为
d m r2d z
O
y
R
x
为圆锥体的密度，r为薄圆片的半径。
圆锥体的质量
M 1R2h
3
薄圆片对自身直径的转动惯量
由几何关系知： r R h z
h 薄圆片对 y 轴转动惯量 d J y 为：
x
x yi
J z mi ri2
mi
xi2
yi
d
2
mi xi2 yi2 2 yid d 2
J z mi xi2 yi2 2d mi yi mi d 2
mi xi2 yi2 JzC
mid 2 Md 2
由质心坐标公式 ：
因为
yC0
mi yi M yC
速度 a 。
解：小车与鼓轮组成质点系对 O 轴的动量矩为 ：
LO J O m2 v R
作用于质点系的外力除M ，G 1 和 G 2 外，尚有轴承 O 的反力 Fo x 和 Fo y ，轨道对车的约束力FN 。其中G 1 ， FO x ，Fo y 对 O 轴力矩为零。将 G 2 分解为 Gτ和 G n ，
（12-10）
l 为任意轴上的单位矢量。
动量矩的单位是牛·米·秒 ( N ·m ·s )。
12.2.3 定轴转动刚体的动量矩 设刚体绕固定轴 z 转动，某瞬时刚体
的角速度。对于刚体内任一质点 M i ，
其质量为 m i ，转动半径为 r i ，动量 m i v i 。 于是质点 M i 对轴的动量矩为：
LO MO mv r mv （12-8）
质点系对各坐标轴动量矩
理论力学课件 第十二章 动能定理
FRO
r1 r2 O
mg
解：取整体为研究对象，受力分析如图所示。 v1
A
v2
B
系统对O点的动量矩为
m1 g
m2 g
LO m1v1r1 m2v2r2 J0 (m1r12 m2r22 JO )
系统所受全部外力对O点的动量矩为
MO (F e ) m1gr1 m2gr2
质点系的动量矩定理为 dLO dt
WFN 0
WF F s fmgs cos 30 8.5 J
WF
1 2
k
(12
2 2
)
100 (0 0.52) 2
12.5 J
W Wi 24.5 0 8.512.5 3.5 J
12.2 质点和质点系的动能
12.2.1 质点的动能
设质量为m的质点，某瞬时的速度为v，则质点质量与其速度平方乘积的
路径无关。若质点下降，重力的功为正；若质点上升，重力的功为负。
对于质点系，重力的功等于各质点的重力功的和，即
上式也可写为
W12 mi g(zi1 zi2) W12 mg(zC1 zC2 )
2．弹力的功
设有一根刚度系数为k，自由长为l0的弹 簧, 一端固定于点O, 另一端与物体相连接，
如图所示。求物体由M1移动到M2过程中，弹 力F所做的功。
W12
M2 M1
(Fx
d
x
Fy
d
y
Fz
d
z)
12.1.3 常见力的功
1．重力的功
z M1 M
mg
设质点M的重力为mg，沿曲线由M1运动到
M2
M2，如图所示。因为重力在三个坐标轴上的
投影分别为Fx=Fy=0,Fz=-mg，故重力的功为
理论力学重点总结
理论力学重点总结理论力学重点总结绪论1.学习理论力学的目的：在于掌握机械运动的客观规律，能动地改造客观世界，为生产建设服务。
2.学习本课程的任务：一方面是运用力学基本知识直接解决工程技术中的实际问题；另一方面是为学习一系列的后继课程提供重要的理论基础，如材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、机械原理、机械零件等以及有关的专业课程。
此外，理论力学的学习还有助于培养辩证唯物主义世界观，树立正确的逻辑思维方法，提高分析问题与解决问题的能力。
第一章静力学的基本公理与物体的受力分析1-1静力学的基本概念1.刚体：即在任何情况下永远不变形的物体。
这一特征表现为刚体内任意两点的距离永远保持不变。
2.质点：指具有一定质量而其形状与大小可以忽略不计的物体。
1-3约束与约束力1.自由体：凡可以在空间任意运动的物体称为自由体。
2.非自由体：因受到周围物体的阻碍、限制不能作任意运动的物体称为非自由体。
3.约束：力学中把事先对于物体的运动（位置和速度）所加的限制条件称为约束。
约束是以物体相互接触的方式构成的，构成约束的周围物体称为约束体，有时也称为约束。
4.约束力：约束体阻碍限制物体的自由运动，改变了物体的运动状态，因此约束体必须承受物体的作用力，同时给予物体以相等、相反的反作用力，这种力称为约束力或称反力，属于被动力。
5.单面约束、双面约束：凡只能阻止物体沿一方向运动而不能阻止物体沿相反方向运动的约束称为单面约束；否则称为双面约束。
单面约束的约束力指向是确定的，即与约束所能阻止的运动方向相反；而双面约束的约束力指向还决定于物体的运动趋势。
6.柔性体约束：为单面约束。
只能承受拉力，作用在连接点或假想截割处，方向沿着柔软体的轴线而背离物体，常用符号F T表示。
（绳索、胶带、链条）7.光滑接触面（线）约束：为单面约束，其约束力常又称为法向约束力。
光滑接触面（线）的约束力只能是压力，作用在接触处，方向沿着接触表面在接触处的公法线而指向物体，常用符号F N表示。
理论力学重点总结
理论力学重点总结绪论1.学习理论力学的目的：在于掌握机械运动的客观规律，能动地改造客观世界，为生产建设服务。
2.学习本课程的任务：一方面是运用力学基本知识直接解决工程技术中的实际问题；另一方面是为学习一系列的后继课程提供重要的理论基础，如材料力学、结构力学、弹性力学、流体力学、机械原理、机械零件等以及有关的专业课程。
此外，理论力学的学习还有助于培养辩证唯物主义世界观，树立正确的逻辑思维方法，提高分析问题与解决问题的能力。
第一章静力学的基本公理与物体的受力分析1-1静力学的基本概念1.刚体：即在任何情况下永远不变形的物体。
这一特征表现为刚体内任意两点的距离永远保持不变。
2.质点：指具有一定质量而其形状与大小可以忽略不计的物体。
1-3约束与约束力1.自由体：凡可以在空间任意运动的物体称为自由体。
2.非自由体：因受到周围物体的阻碍、限制不能作任意运动的物体称为非自由体。
3.约束：力学中把事先对于物体的运动（位置和速度）所加的限制条件称为约束。
约束是以物体相互接触的方式构成的，构成约束的周围物体称为约束体，有时也称为约束。
4.约束力：约束体阻碍限制物体的自由运动，改变了物体的运动状态，因此约束体必须承受物体的作用力，同时给予物体以相等、相反的反作用力，这种力称为约束力或称反力，属于被动力。
5.单面约束、双面约束：凡只能阻止物体沿一方向运动而不能阻止物体沿相反方向运动的约束称为单面约束；否则称为双面约束。
单面约束的约束力指向是确定的，即与约束所能阻止的运动方向相反；而双面约束的约束力指向还决定于物体的运动趋势。
6.柔性体约束：为单面约束。
只能承受拉力，作用在连接点或假想截割处，方向沿着柔软体的轴线而背离物体，常用符号F T表示。
（绳索、胶带、链条）7.光滑接触面（线）约束：为单面约束，其约束力常又称为法向约束力。
光滑接触面（线）的约束力只能是压力，作用在接触处，方向沿着接触表面在接触处的公法线而指向物体，常用符号F N表示。
理论力学运动学幻灯片课件
?
v2
6
5、匀速、匀变速公式
（1） aτ＝常数，
（ 2）v=常数，
v ? v0 ? aτt
?
s
?
s0
?
v0t
?
1 2
aτt 2
?? ? ?
v2 ? v02 ? 2a? (s ? s0 )??
s = so + vt
7
已知运动方程，求导，求得速度、加速度。 已知加速度，运动的初始条件，积分，可求得速度、运动方程。
/ /
点的加速度
a
?
aτ
?
an
?
aτ τ
?
ann
?
dv dt
τ
?
v2
?
n
切向加速度反映速度大小变化
当aτ与v 同号时，点作加速运动，否则作减速运动。
4
法向加速度反映速度方向的变化
aτ ? v?τ ? ?s?τ
v2
an ? ? n
加速度a的大小：
a?
aτ 2+ a n 2 ?
( dv) 2
?
v2 (
ω ? ?k 角加速度矢：
α ? ??k ? ω?? ? k
17
2．用矢积表示点的速度和加速度
用矢径表示转动刚体上任一点M的位置，
aτ 则点M的速度 ：
1 an
v ? ω? r
?
点M的加速度为：
×
a ? v?? d (ω ? r) ? ω?? r ? ω ? r? dt
? α ? r ? ω ? v ? a? ? an
解题步骤：
1、运动分析 3、建立运动方程
P11 是非题1-4
P12 题3
理论力学第12章(动能定理)
理论力学
20
§12-3
动能定理
一、质点的动能定理： dv m F 牛顿定律 dt dv dr F dr 两边点乘以 dr ，有 m dt
3.刚体沿固定面作纯滚动 4.联接刚体的光滑铰链（中间铰）
dW F
R
dr FR dr FR dr 0 dr FR
5.柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
理论力学 10
[ 例 1] 如图所示滑块重 P ＝ 9.8 N ，弹 簧刚度系数 k ＝ 0.5 N/cm ，滑块在 A 位置时弹簧对滑块的拉力为 2.5 N， 滑块在 20 N 的绳子拉力作用下沿光 滑水平槽从位置 A 运动到位置 B，求 作用于滑块上所有力的功的和。
理论力学
1 2
3 2
1 6
4 3
7 2
19
[例5]滑块A以速度 vA在滑道内滑动，其上铰接一质量 为m，长为l的均质杆AB，杆以角速度 绕A转动，如 A 图。试求当杆AB与铅垂线的夹角为j 时，杆的动能。
解：AB杆作平面运动，其质心C的速度为
vA
j
l
vC v A vCA
速度合成矢量图如图。由余弦定理
AB
O1
AB作平面运动，用绕速度瞬心转动的公式 求动能：
J O1 J C mAB O1C 2
1 2m (2a)2 12
vC
8 3
C
2m a 2 ma 2
理论力学--第十二章 动能定理
由
M z Ft R
W M z d
从角 1 转动到角 2 过程中力
F 的功为
W12 M z d
1
2
若
Mz
常量
则 W12
M z ( 2 1 )
4. 平面运动刚体上力系的功 力系全部力的元功之和为
W Wi
当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1
2、弹性力的功 弹簧刚度系数k(N/m)
弹性力
F k (r l0 )er
A2
弹性力的功为
W12
A1
A2
F dr
k (r l0 )er dr
A1
因
1 r 1 er dr dr d(r r ) d(r 2 ) dr r 2r 2r
例3 均质细杆长为l，质量为m，上端B靠在光滑的墙上， 下端A用铰与质量为M半径为R且放在粗糙地面上的圆 柱中心相连，在图示位置圆柱作纯滚动，中心速度为 v，
杆与水平线的夹角=45o，求该瞬时系统的动能。
B C
v
A
T总 TA TAB
3 TA Mv 2 4
I为AB杆的瞬心
P
B
C
v PA
S
W=0
N
dW F1 dr1 F dr2
' 2
F1 φ 1 dr1 dr2
F2
F1( dr1cos1 dr2cos2 )
0
约束力做功之和等于零。
φ2
(3)光滑铰链支座
(4)固定端约束
}
约束力不作功
F
dr
F’
(5)光滑铰链(中间铰链)
理论力学 哈尔滨工业大学 第12章
对 z 轴的动量矩 Mz (m ) 等于 [m ]xy 对点O的矩。 v v 对点 的矩。 的矩
Mz (m ) v 是代数量，从 是代数量，
z 轴正向看，逆时针为正，顺 轴正向看，逆时针为正，
时针为负。 时针为负。
[MO(m )]z = Mz (m ) v v
单位： 单位：kg·m2/s 2．质点系的动量矩 ． 对点的动量矩
O
d [Jω+m ] = M −m sinθ ⋅ R vR g dt
(e MO ) =a ， 得 dt R
M −m 2 sinθ R gR a= 2 J +m R
水轮机转轮， 例12-2 水轮机转轮，进口水速度 求水流对转轮的转动力矩。 求水流对转轮的转动力矩。
v ×m = 0 v
因此
d MO(m ) = MO(F) v dt
称为质点的动量矩定理： 称为质点的动量矩定理：质点对某定点的动量矩对 质点的动量矩定理 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 时间的一阶导数，等于作用力对同一点的矩。 投影式： 投影式： d Mx (m ) = Mx (F) v dt d My (m ) = My (F) v dt
解：J1α1 = M1 − F′R J2α2 = F R2 −M2 t t 1
α1 R = i12 = 2 ，得 因 F′ = F ， t t α2 R 1
M2 M− 1 i12 α1 = J J1 + 22 i12
R 2 , M , M2 1 R 1
，求： 1 。 α
§12-4 刚体对轴的转动惯量
kgm简单形状物体的转动惯量计算1均质细直杆对一端的转动惯量1均质细直杆对一端的转动惯量2均质薄圆环对中心轴的转动惯量2均质薄圆环对中心轴的转动惯量3均质圆板对中心轴的转动惯量3均质圆板对中心轴的转动惯量3
定轴转动刚体上各点的速度和加速度重点
s r
点的速度为
ds d (r ) d r rw dt dt dt
（12-8） 定轴转动刚体内任一点的速度， 其大小等于角速度与该点到转轴距离 的乘积，方向垂直于径向，与刚体转 角一致。刚体的角速度是一个常数， 所以各点速度的大小与点到转轴的距 离成正比，速度分布如图12-6所示。
用自然法将初始时刻a点所在的位置为原点转向为正在t时刻转到a?刚体转角为点的弧坐标为?rs?点的速度为rwdtdrdtrddtds???????128定轴转动刚体内任一点的速度其大小等于角速度与该点到转轴距离的乘积方向垂直于径向与刚体转角一致
第三节 定轴转动刚体上各点的速度和加速度 一、速度 图12-5的定轴转动刚体K，考查K上一点A的运动，A距转轴为r。显然A点的运 动轨迹为以O轴为圆心，半径为r的一个圆。用自然法，将初始时刻A点所在的位置 为原点，转向为正，在t时刻转到A¹ ，刚体转角为φ，点的弧坐标为
n 3000 w 100 (rad / s ) 30 30
叶片中心的速度
Dh 1 0.1 ( )w 100 172 .7(m / s ) 2 2
叶片中心的加速度
ε=0，故切向加速度aτ =0 法向加速度:
D h 2 1 0.1 a n rw w (100 ) 2 5.4 10 4 (m / s 2 ) 2 2
2
【例3】飞轮的半径R=0.5m,由静止开始作匀加速转动,经过10s后,在轮缘上一点 的速度υ=10m/s,求t=5时，飞轮轮缘上一点的速度、切向加速度和法向加速。 解：10s后飞轮的角速度为
wo、飞轮作匀加速转动、ε=常数由式（12-5）得
10 w 20 (rad / s ) R 0.5
理论力学-动能定理
vr2
质点系的动能与刚体的动能
质点系的动能——例 题 1
通过本例可以看出，确定系统动能时，注意以下几 点是很重要的：
系统动能中所用的速度必须是绝对速度。 正确应用运动学知识，确定各部分的速度。 需要综合应用动量定理、动量矩定理与动能定理。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
v0
r
C1
C2
d
坦克或拖拉机履带单位 长度质量为ρ ，轮的半径 为 r ，轮轴之间的距离为d， 履带前进的速度为v0 。
求：全部履带的总动能。
质点系的动能与刚体的动能——例 题 2
y´
v0 C1
d
r C2
解：把履带看成一质点系
在 C1 C2 上建立平动坐标系
C1x´y´，则牵连运动为水平平
移，牵连速度为 v0。
● 平移刚体的动能
刚体平移时，其上各点在同一瞬时具有相同的速度， 并且都等于质心速度。因此，平移刚体的动能
T
i
12mivi2
1 2
(
mi )vC2
1 2
mvC2
上述结果表明，刚体平移时的动能，相当于将 刚体的质量集中于质心时的动能。
质点系的动能与刚体的动能
刚体的动能
● 定轴转动刚体的动能
* 机器中有相对滑动的两个零件之间的摩擦力是内力，作负功。
* 有势力的内力作功，如系统内的弹簧力作功。
力的功
不作功的力
* 刚体的内力不作功
刚体内任何两点间的距离始终保持不变，所以刚体的内力所作 功之和恒等于零。
* 理想约束约束反力不做功
光滑的固定支承面、轴承、光滑的活动铰链、销钉和活动支座 都是理想约束。理由是它们的约束力不作功或作功之和等于零。
2-4 转动刚体的角速度和角加速度解读
例2-6 在高速旋转的微型电动机里，有一圆柱形 转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动。开始时 其角速度 0 0 ，经过300s后，其转速达到 18000 r min 1 .已知转子的角加速度 与时间
成正比，问在这段时间内，转子转过多少转？
解：由题意可知，转子的角加速度与时间成正比。 d kt 由角加速度得
2
an r 33.8 (m s )
2 2 2
习题2-19 由山顶上以初速度 v0 水平抛出一小球， 若山顶为坐标原点，沿 v0 方向为x轴正方向，竖 直向下为y轴正方向，从小球抛出瞬间开始计时。试 求：（1）小球的轨迹方程；（2）在t时刻，小球的 切向加速度和法向加速度。 解：（1）小球在x轴作匀速直线运动，y轴上作自由 落体运动，即
角速度
转动平面
o
r
·
p
d lim t 0 t dt
d 角加速度 dt
角加速度的方向：
2
1
1
2
定轴转动的特点
三 刚体的匀变角速转动 当刚体绕定轴转动的角加速度 为恒量时，刚 体做匀角变速转动 .
0 t
2－ 4
转动刚体的角速度和角加速度
刚体：在外力作用下，形状和大小都不发生 变化的物体 .
一 刚体的平动和转动
刚体的平动
定轴转动：刚体中所有的点都绕同一直线做圆 周运动. 刚体的平面平行运动 .
二
转动刚体的角速度和角加速度
角坐标 (t ) 角位移
(t t) (t)
于是，转子的角速度为
150
t
理论力学g
曲柄连杆机构中， OA=R AB=4R
图示位置。O A B三点位于同一铅 直线上。已知曲柄的角速度和角加速度 计算图示瞬时1 连杆的角速度 2 连杆的角加速度和滑块B的加速度 解题思路： 1 运动分析，确定平面运动的刚 体。 2 确定瞬心 3 求出该平面运动刚体的角速度 4 计算
A
OA OA
aA
n aA
aBA B
曲柄连杆机构中,OA=R
Aห้องสมุดไป่ตู้=4R。
图示位置。O A B三点位于同一铅直线上。 已知曲柄的角速度和角加速度 计算图示瞬时连杆的角加速度和滑块B的加 速度。
aB
aB a a a a
n A
A
OA
A
BA
n BA
方向 大小
假设 未知
已知 已知
已知 已知
O
B
vB
曲柄连杆机构中， OA=R AB=4R 图示位置。O A B三点位于同一铅 直线上。已知曲柄的角速度和角加速度
计算图示瞬时1 连杆的角速度
vA
OA OA
A
步骤： 作AB两点速度的垂直，交点就是速度瞬心，如图 所示，于是连杆AB角速度为wAB=wOA/4，方向为 顺时针。
O
B
vB
曲柄连杆机构中， OA=R AB=4R 图示位置。O A B三点位于同一铅直 线上。已知曲柄的角速度和角加速度
计算图示瞬时
2连杆的角加速度和滑块B的加速度。
vA
OA OA
A
O
分析： 1、运动分析---明确平面运动的刚体 2、选基点(加速度已知) 3、速度分析目的准备加速度定理中的能够求出的各个量 4、 针对加速度公式分析已知与待求画出加速度矢量图
角加速度介绍
0 0
dt 0 t
由
0
由
d
有： dt 两边积分 d
0
d
t
0
dt
d dt
0 t （1）
t
有： dt 两边积分 d
t
d 0 dt 0 ( 0 t )dt 1 2 0 0 t t （2） 2
10
0 t （1）
0 0t
2 2 0
1
由（1）、（2）式消 t得：
2
t （2）
2
2 ( 0 ) （3）
与匀变速直线运动计算公式有对应关系：
v v 0 at
0 t
1 2 at
2
x x 0 v0 t
ω
dθ dt
lim
t 0
d dt
d
2
dt
2
角加速度为角速度对 时间 t 的一次导数， 或为角坐标对时间 t 的二次导数。
8
单位：弧度/秒2，rad/s2, β 方向：角速度变化的方向。 0 角加速度是矢量，但对于刚体定 轴转动角加速度的方向只有两个，在 表示角加速度时只用角加速度的正负 数值就可表示角加速度的方向，不必 用矢量表示。 对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐 0 标、角位移、角速度和角加速度来描述。
4.角量与线量的关系
法向加速度：a n
v
r
s r
v r
dv dt 2 v
r
a
an
r
r
2
13
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=
l sin q
w12
它垂直由α 和OM 形成的平面，指向如图。
因为α 垂直于ω和ω1, 所以α 垂直于平面OMC，故a1在OMC 平面内。
M点的向轴加速度a2大小为：
a2
=
w2
× ME
=
w2
× 2l
sin q
=
2l sin q
w12
它的方向自点M指向E，也在OMC 平面内。
故： a = a1 + a2 由余弦定理得： a 2 = a12 + a22 - 2a1a2 cos 2q
3、瞬时转动轴·角速度·角加速度 各点的速度、加速度
刚体绕定点运动的运动学描述
(1) 瞬时转动轴·角速度·角加速度
Δt 趋于零时，Δφ 也趋于零，轴OC*趋近于某一 极限位置OC. 轴OC称为刚体在该瞬时的瞬时转动 轴，简称瞬轴。
刚体在不同的瞬时，瞬轴的位置不同。
刚体绕瞬轴转动的角速度ω 为矢量，大小为：
将a1, a2代入上式，并注意到:
cotq
=
l r
,
sinq
=
r r2 + l2
a = w12l
9
+
æ çè
l r
ö2 ÷ø
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
vM
刚体绕定点运动的运动学描述
ω
=
lim Dj Dt®0 Dt
S A
M
NB
B'
Δφ
C*
A' O ω C
ω 方向沿瞬轴，指向按右手法则规定。
ω 为矢量，大小和方向都在变化， ω 对时间t的
一阶导数，称为刚体绕定点运动的角加速度，
用α 表示。
α
=
dω dt
α 也是矢量，方向沿角速度矢ω 的矢端曲线切线。
切线
ω α
O
一般情况下，α 与ω 不共线，这与刚体绕定轴转动不同。
θ
设行星轮绕瞬轴转动的角速度为ω。
θ
A
则行星轮中心A点速度为： vA = OAsinq ×w运动，速度为： vA = OA ×w1
w
=
w1 sinq
=常量
点M的速度大小为： vM
=
ME ×w
=
2r cosq
w1 sin q
考虑到M到OC的距离为A到OC距离的2倍，所以: 2r cosq = 2l sinq
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
vM
= 2l sinq
w1 sin q
= 2lw1
它的方向垂直于平面OMC，指向如图。
刚体绕定点运动的运动学描述
行星齿轮的角加速度为:
α
=
dω dt
因为ω只改变方向不改变大小，而且它和z 轴间 ω
夹角β =90º-θ 的大小保持不变，所以它的矢端曲
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
刚体绕定点运动的运动学描述
(2) 刚体上各点的速度和加速度
刚体上任一点M 的速度v，可表示为：
v =ω´r
大小：等于ωh1，方向： ω r v 满足右手定则。
刚体上任一点M 的加速度a，可表示为：
a=
dv dt
=
d dt
(
ω
×
r
)
=
ddωt ×
r
+
ω
´
dr dt
= α×r + ω×v
a2
h1 M
v
h2 r
a1
ωα
O
第一项 第二项
a1 = α × r a2 = ω ´ v
—转动加速度 大小：等于αh2，方向： α r a1 满足右手定则。 —向轴加速度 大小：等于h1ω2，方向： 垂直于ω 和v 指向瞬轴。
刚体绕定点运动时，刚体内任一点的速度等于绕瞬轴转动的角速度与矢径 的矢量积；该点的加速度等于绕瞬轴的向轴加速度与绕角加速度矢的转动 加速度的矢量和。
3、瞬时转动轴·角速度·角加速 度，各点的速度、加速度
刚体绕定点运动的运动学描述
例1 行星锥齿轮的轴OA以匀角速度ω1绕铅直轴OB转动，设OA=l，AC=r, 求
齿轮上点M的速度和加速度。
解：行星齿轮的运动是绕定点Ｏ的运动。大
齿轮不动，所以啮合点C的速度等于
ω
ω1
M vM
零，所以OC连线为瞬轴。
O
ω1
β
O
a1 θ
2θ M
a
θ
线是水平的圆周。 ω , ω1始终位于OMC 平面内。
θ
a2 A
有：
α
=
dω dt
=
ω1
´
ω
αB
EC
α
的大小为：a
= w1 ×w sin b
=
w1
w1 sinq
cosq
M点的转动加速度a1大小为： a1 = a × OM
= w12 cotq = w12 cotq
l cosq