高中数学第一章坐标系2.1极坐标系的概念2.2点的极坐标与直角坐标的互化学案北师大版选修4-4

2．1&2.2 极坐标系的概念 点的极坐标与直角坐标的互化[对应学生用书P5][自主学习]1．极坐标系的概念(1)极坐标系：单；选定一个极轴，叫作Ox 引一条射线O ，自极点极点，叫作O 在平面内取一个定点，这样就建立了一个极坐标系．)通常取逆时针方向(正方向和角的位长度 为Ox 表示以θ，用的长OM 线段表示ρ，用M 点的极坐标：对于平面上任意一点(2))θ，ρ(，有序实数对极角的M 叫作点θ，极径的M 叫作点ρ为终边的角度，OM 始边，就叫作点M 的极坐标，记作M (ρ，θ)．可以取任意值；θ，极角0＝ρ在极点时，它的极径M 特别地，当点① ，)θ，ρ(时，Z ∈k ，当无数对点与极坐标的关系：平面内一点的极坐标可以有②或者<2πθ0≤>0,ρ表示同一个点，如果规定1)π)＋k (2＋θ，ρ－(，π)k 2＋θ，ρ(外，平面内的点和极坐标就一一对应了．极点，那么除≤πθπ<－ 2．点的极坐标与直角坐标的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直角坐标系中的原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合； ③两种坐标系取相同的长度单位． (2)极坐标与直角坐标的互化：.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ的关系式为)y ，x (化为直角坐标)θ，ρ(的极坐标M 将点① 的关系式为)θ，ρ(化为极坐标)y ，[合作探究]x (将点的直角坐标②.⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x2＋y2，tan θ＝y x x≠01．极坐标系与平面直角坐标系有什么区别和联系？提示：区别：平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景，而极坐标以角和距离为背景．联系：二者都是平面坐标系，用来研究平面内点与距离等有关问题．2．点M (ρ，θ)关于极轴、极点以及过极点且垂直于极轴的直线的对称点的坐标各为什么？提示：(ρ，2π－θ)，(ρ，π＋θ)，(ρ，π－θ)．3．把直角坐标转化为极坐标时，表示方法唯一吗？ 提示：通常有不同的表示法．(极角相差2π的整数倍)[对应学生用书P6]由极坐标确定点的位置[例1] 在极坐标系中，画出点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫4，9π4.[思路点拨] 本题考查极坐标系以及极坐标的概念，同时考查数形结合思想，解答此题需要先建立极坐标系，再作出极角的终边，然后以极点O 为圆心，极径为半径分别画弧，从而得到点的位置．[精解详析] 在极坐标系中先作出π4线，再在π4线上截取|OA |＝1，这样可得到点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π4.同样可作出点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π2，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，－π4，D ⎝⎛⎭⎪⎫4，9π4，如图所示．由极坐标确定点的位置的步骤(1)取定极点O ；(2)作方向为水平向右的射线Ox 为极轴；(3)以极点O 为顶点，以极轴Ox 为始边，通常按逆时针方向旋转极轴Ox 确定出极角的终边；(4)以极点O 为圆心，以极径为半径画弧，弧与极角终边的交点即是所求点的位置．；结合⎝⎛⎭⎪⎫3，7π4D ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π2C ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π4B ，(4,0)A ．在极坐标系中，作出以下各点：1图形判断点B ，D 的位置是否具有对称性；并求出B ，D 关于极点的对称点的极坐标．(限定ρ≥0，θ∈[0,2π))解：如图，A ，B ，C ，D 四个点分别是唯一确定的．由图形知B ，D 两点关于极轴对称，且B ，D 关于极点的对称点的极坐标分别为.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，3π4，⎝⎛⎭⎪⎫3，5π4化极坐标为直角坐标[例2] 已知A ⎝ ⎭⎪⎫3，－3，B ⎝ ⎭⎪⎫1，3，将A ，B 坐标化为直角坐标，并求A ，B 两点间的距离．[思路点拨] 本题考查如何将极坐标化为直角坐标，解答此题需要利用互化公式先将极坐标化为直角坐标，再由两点间的距离公式得结果．[精解详析] 将A ⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2π3由极坐标化为直角坐标， 对于点A ，有x ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝32，y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝－332，∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，－332. 对于点B ，有x ＝1×cos 2π3＝－12，y ＝1×sin 2π3＝32，∴B (－12，32)．∴|AB |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－332－32 2 ＝4＋12＝4.即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ需根据公式：，只)y ，x (化为直角坐标)θ，ρ(M ．将极坐标1可得到；2．利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的极坐标问题转化为熟悉的直角坐标问题求解．本例中如何由极坐标直接求A ，B 两点间的距离？ ，则由余弦定理得：)2θ，2ρ(N ，)1θ，1ρ(M 解：根据 ，ρ21＋ρ2－2ρ1ρ2cos θ1－θ2＝|MN | 4.＝32＋12－2×3×1×co s ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3 ＝|AB |所以化直角坐标为极坐标[例3] 分别将下列点的直角坐标化为极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)． (1)(－1,1)，(2)(－3，－1)．[思路点拨] 本题考查如何将直角坐标化为极坐标，同时考查三角函数中由值求角问题，解答此题利用互化公式即可，但要注意点所在象限．[精解详析] (1)∵ρ＝－12＋12＝2，tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 又点(－1,1)在第二象限， ∴θ＝3π4.∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4. (2)ρ＝－32＋－12＝2，tan θ＝－1－3＝33，θ∈[0,2π)，∵点(－3，－1)在第三象限， ∴θ＝76π.∴直角坐标(－3，－1)化为极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，7π6.即⎩⎪⎨⎪⎧ρ＝x2＋y2，tan θ＝yx x≠0时，运用公式)θ，ρ(化为极坐标)y ，x (将点的直角坐标时，要根据直角坐标的符号特征，判断θ求≠0)x (yx ＝θtan 范围内，由[0,2π)可，在出点所在象限，如果允许θ∈R ，再根据终边相同的角的意义，表示为θ＋2k π，k ∈Z 即可．2．将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．．)32，－2－(2)(；)3，(1)(3 ，33＝y x ＝θtan ，32＝32＋32＝ρ(1)解： .π6＝θ在第一象限，所以)3，(3又点 .π6，32的极坐标为)3，(3所以点 ，4＝－22＋－232＝ρ(2) ，3＝－23－2＝y x ＝θtan .4π3＝θ在第三象限，所以)32，－2－(又点 .⎝⎛⎭⎪⎫4，4π3的极坐标为)32，－2－(所以点本课时常考查极坐标的确定及点的直角坐标与极坐标的互化，特别是直角坐标化为极坐标常与三角知识交汇命题，更成为命题专家的新宠．[考题印证])(的极坐标为P ，则点)3，－(1的直角坐标为P 点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3A.⎝⎛⎭⎪⎫2，4π3B.⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3C. ⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3D. [命题立意] 本题主要考查点的极坐标与直角坐标 的互化，同时还考查了三角知识及运算解题能力． [自主尝试]，3＝－－31＝θtan ，2＝12＋－32＝ρ 的一个极坐标为P ，故点5π3轴所成的角为x 与OP 在第四象限，所以)3，－(1又点所表示的点在第⎝⎛⎭⎪⎫2，－4π3，所以极坐标π23＝2π＋π43选项．又－B ，A ，排除⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π3π.53＝2π＋π3不正确，而－D 二象限，故 [答案] C[对应学生用书P8]一、选择题)(，那么它的极坐标可表示为)2，2－(的直角坐标为P ．点1⎝⎛⎭⎪⎫2，π4A.⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4B.⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4C. ⎝⎛⎭⎪⎫2，7π4D. ，2＝－22＋22＝ρ B 解析：选 ，1＝－2－2＝θtan ∵点P 在第二象限， .3π4＝θ正角最小∴ ) (关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3A ．在极坐标系中与点2⎝⎛⎭⎪⎫3，2π3A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3B.⎝⎛⎭⎪⎫3，4π3C.⎝⎛⎭⎪⎫3，5π6D. 关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎪⎫3，－π3A 与点B 解析：选满足条件．B ，这时只有选项)Z ∈k (⎝⎛⎭⎪⎫3，2kπ＋π3 ，那么可能是顶⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4A 的两个顶点是ABC △．在极坐标系中，若等边3点C 的坐标的是( )⎝⎛⎭⎪⎫4，3π4A.⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4B.()23，πC.()3，πD. 解析：选B 如图，由题设，可知A ，B 两点关于极点O 对称，即O 是AB 的中点．又|AB |＝4，△ABC 为正三角形，π2＋5π4或3π4＝π2＋π4＝θ的极角C ，点π2＝AOC ∠，32＝|OC |∴，7π4＝ .⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4或⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4的极坐标为C 即点 的位置关系是)2θ，2ρ(2M 与点)1θ，1ρ(1M ，则点π＝2θ＋1θ，0＝2ρ＋1ρ．若4( )A ．关于极轴所在直线对称B ．关于极点对称C ．关于过极点垂直于极轴的直线对称D ．两点重合解析：选 A 因为点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点为(－ρ，π－θ)．由此可，是关于极轴所在直线对称．π＝2θ＋1θ，0＝2ρ＋1ρ满足)2θ，2ρ(和)1θ，1ρ(知点 二、填空题，则2＝|OM |，使M 上取点OP ，在OP 得到射线π6绕极点顺时针方向旋转Ox ．将极轴5ρ>0，θ∈[0,2π)时点M 的极坐标为________，它关于极轴的对称点的极坐标为________(ρ>0，θ∈[0,2π))．解析：ρ＝|OM |＝2，．)Z ∈k π(k 2＋π6终边相同的角为－OP 与 .⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6M ∴.11π6＝θ，1＝k ∴，[0,2π)∈θ∵ ．)π6，(2关于极轴的对称点为M ∴ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π6⎝ ⎛⎭⎪⎫2，11π6答案： 在条件：⎝⎛⎭⎪⎫5，π3A ．点6 (1)ρ>0，θ∈(－2π，0)下的极坐标是________； (2)ρ<0，θ∈(2π，4π)下的极坐标是________．，)Z ∈k (⎝ ⎛⎭⎪⎫5，2kπ＋π3的极坐标形式为A 时，点>0ρ当(1)解析： ，符合题意．⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－5π3的极坐标为A ，点1＝－k ．令0)，2π－(∈θ∵ ．)Z ∈k (⎝⎛⎭⎪⎫－5，2k ＋1π＋π3的极坐标的一般形式是⎝ ⎛⎭⎪⎫5，π3时，<0ρ当(2) ，符合题意．⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，10π3标为的极坐A 时，点1＝k ，当4π)，(2π∈θ∵ ⎝ ⎛⎭⎪⎫－5，10π3(2) ⎝ ⎛⎭⎪⎫5，－5π3答案： ．________与极轴所在直线的夹角等于l ，则直线⎝⎛⎭⎪⎫7，π6B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫7，π3A 过点l ．直线7 解析：如图所示，先在图形中找到直线l 与极轴夹角(要注意夹角是个锐角)，然后根据点A ，B 的位置分析夹角大小． ，π6＝π6－π3＝AOB ∠，7＝|BO |＝|AO |因为 .5π12＝π－π62＝OAB ∠所以 .π4＝5π12－π3－π＝ACO ∠所以 π4答案：中点的一个极坐标是AB ，则⎝⎛⎭⎪⎫－8，π12B ，⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π12A ．已知两点的极坐标是8________．示意图，A ，B 与极点O 共线，解析：画出，52＝－8) －(312＝ρ∴.π12＝θ .⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π12中点的一个极坐标为AB 故 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，π12答案： 三、解答题9．设有一颗彗星，围绕地球沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于该抛物线的焦点处，当此彗星离地球30万千米时，经过地球和彗星的直线与抛物线对称轴的夹角为30°，试建立适当的极坐标系，写出彗星此时的极坐标．解：如图所示，建立极坐标系，使极点O 位于抛物线的焦点处，极轴Ox 过抛物线的对称轴，由题设可得下列4种情形：①当θ＝30°时，ρ＝30(万千米)； ②当θ＝150°时，ρ＝30(万千米)； ③当θ＝210°时，ρ＝30(万千米)； ④当θ＝330°时，ρ＝30(万千米)．∴彗星此时的极坐标有4种情形：(30,30°)，(30,150°)，(30,210°)，(30,330°)．为极点．O ，(3,0)和⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的极坐标分别为B 和点A ．在极坐标系中，点10 .AOB △S 求(2)；|AB |求(1) ρ21＋ρ2－2ρ1ρ2cos θ1－θ2＝|AB |解： 22＋32－2×2×3×co s ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－0＝.7＝4＋9－6＝AOB∠|·sin OB |·|OA |12＝AOB △S ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－0×2×3×sin 12＝ .332＝ 的两个顶点，求顶点ABC 为等边三角形⎝ ⎛⎭⎪⎫2，5π4B ，⎝⎛⎭⎪⎫2，π4A ．在极坐标系中，如果11C 的极坐标．，π4＝θ，2＝ρ有⎝⎛⎭⎪⎫2，π4A 解：法一：对于 ，2＝π42cos ＝θcos ρ＝x ∴ .2＝π42sin ＝θsin ρ＝y ．)2，2(A ∴ π.54＝θ，2＝ρ有⎝⎛⎭⎪⎫2，5π4B 对于 ，2＝－5π42cos ＝x ∴ .2＝－5π42sin ＝y ．)2，－2－(B ∴ 设C 点的坐标为(x ，y )，由于△ABC 为等边三角形，故有|AB |＝|BC |＝|AC |.2)2－y (＋2)2－x (＝2)2＋y (＋2)2＋x (有∴ .2)2＋2(＋2)2＋2(＝ ⎩⎨⎧ x －22＋y －22＝16，x ＋22＋y ＋22＝16.有∴ ⎩⎨⎧x ＝－6，y ＝ 6.或⎩⎨⎧x ＝6，y ＝－6，解之得 ．)6，6－(或)6，－6(点的坐标为C ∴ 1.＝－－66＝θtan ，32＝6＋6＝ρ∴11 / 11 .3π4＝θ或7π4＝θ∴ .⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3π4或⎝⎛⎭⎪⎫23，7π4的极坐标为C 点∴ 法二：设C 点的极坐标为(ρ，θ)(0≤θ<2π，ρ>0)．则有|AB |＝|BC |＝|AC |.⎩⎪⎨⎪⎧ ρ2＋22－2×2ρco s ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22＋22－2×2×2cos π，ρ2＋22－2×2ρ co s ⎝⎛⎭⎪⎫θ－5π4＝22＋22－2×22cos π.∴ ⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝23，θ＝7π4.或⎩⎪⎨⎪⎧ ρ＝23，θ＝3π4解之得 .⎝ ⎛⎭⎪⎫23，7π4，⎝⎛⎭⎪⎫23，3π4的极坐标为C 点∴。