2018-2019学年人教A版高中数学必修四课件:第二章 2.3.1平面向量的基本定理及坐标表示 (共53张PPT)

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高中数学必修4全册(人教A版)精品PPT课件

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已知三角函数值,求角
一、基本概念:
1.角的概念的推广 (1)正角,负角和零角.用旋转的观点定义角, 并规定了旋转的正方向,就出现了正角,负角和 零角,这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
(2)象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合,始边与轴的非负半 轴重合,这样当角的终边在第几象限,就说这个角 是第几象限的角,若角的终边与坐标轴重合,这个 角不属于任一象限,这时也称该角为轴线角.
(3)终边相同的角,具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角,所有与角终边相同的角(包含
角在内)的集合为. k 360, k Z
(4)角在“到”范围内,指.0 360
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广
的终边
y 的终边
正角
o
x 零角
负角
(,)
一、在直角坐标系内讨论角,角的顶点与 原点重合,角的始边 与 x轴的非负半轴重合。逆时针旋转为正,顺时针旋转为负。
三角函数
三角函数线
正弦函数 余弦函数 正切函数
sin=MP
正弦线MP cos=OM 余弦线OM tan=AT 正切线AT
y PT
-1
O
M A(1,0) x
注意:三角 函数线是有 向线段!
为第二象限角时
P
MO
为第一象限角时
P
OM
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第三象限角时
为第四象限角时
M
O
P
M
cos
tan
不存在
0
x
_0
-1
_o
y
+
1x
_
0
+o

2018-2019学年人教A版必修4第二章平面向量本章整合课件(35张)

2018-2019学年人教A版必修4第二章平面向量本章整合课件(35张)
1 + 3
1=2 3.
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
解法二 :设 a=(x1,y1),b=(x2,y 2).
∵|a|=|b|= 1, 2 2 2 2 ∴������1 + ������1 = ������2 + ������2 =1. ∵3a- 2b=(3x1- 2x2,3y 1-2y 2), ∴|3a- 2b|= (3������1 -2������2 )2 + (3������1 -2������2 )2 =3. ∴x1x2+y 1y2= 3. ∴|3a+b|= (3������1 + ������2 )2 + (3������1 + ������2 )2
专题一
专题二
专题三 三
专题四 四
例 2 若 a,b,c 均为单位向量,且 a· b= 0,则| a+b-c|的取值范围为
( ) A.[1, 3] B.[0, 3] D.[0, 2+1] C.[ 2-1, 2+1]
解析:∵a· b=0,且|a|=|b|=1,∴|a+b|= 2. ∴|a+b|+|c|= 2+1,|a+b|-|c|= 2-1, ∵|a+b|-|c|≤|a+b-c|≤|a+b|+|c|, ∴ 2-1≤|a+b-c|≤ 2+1, 即|a+b-c|∈[ 2-1, 2+1],故选 C. 答案:C
与 BA 相交于 E.求
证明 :∵O,E,D 三点共线 ,
∴向量������������ 与向量������������ 共线 ,则存在实数 λ1,使得������������ =λ1������������ ,而

2018学年高中数学人教A版课件必修四 第二章 平面向量 2.3.1 精品

2018学年高中数学人教A版课件必修四 第二章 平面向量 2.3.1 精品
图 2-3-7
【解】 易得A→N=13A→C=13b,A→M=12A→B=12a, 由 N,E,B 三点共线,设存在实数 m, 满足A→E=mA→N+(1-m)A→B=13mb+(1-m)a. 由 C,E,M 三点共线,设存在实数 n 满足:A→E=nA→M+(1-n)A→C=12na+ (1-n)b.
叫做向量 a 与 b 的夹角(如图 2-3-1 所示). (1)范围:向量 a 与 b 的夹角的范围是_0_°__≤_θ_≤_1_8_0_°___. (2)当 θ=0°时,a 与 b_同__向__;当 θ=180°时,a 与 b_反__向__. 2.垂直:如果 a 与 b 的夹角是_9_0_°__, 我们说 a 与 b 垂直,记作_a_⊥__b_.
2.基底:__不__共__线___的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内_所__有____向量的一组
基底.
判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基 底.( )
(2)若 e1,e2 是同一平面内两个不共线向量,则 λ1e1+λ2e2(λ1,λ2 为实数)可
图 2-3-1
如图 2-3-2,在△ABC 中,A→C,A→B的夹角与C→A,A→B的夹角的关系为 ________.
图 2-3-2 【解析】 根据向量夹角定义可知向量A→B,A→C夹角为∠BAC,而向量C→A,
A→B夹角为π-∠BAC.故二者互补.
【答案】 互补
[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1: 解惑: 疑问 2: 解惑: 疑问 3: 解惑:
(11)点 C 在①②③区域上,则 x>1;点 C 在④⑤⑥区域上,则 0<x<1;点 C 在⑦⑧⑨区域上,则 x<0.

2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课件:2.5 平面向量应用举例1

2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课件:2.5 平面向量应用举例1

6.矩形对角线的长度与两条邻边长度之间有何关系?这一结论能 否推广到一般的平行四边形呢?能否用向量证明这一结论呢? 提示若四边形ABCD是矩形,则其对角线AC,BD的长度与两条邻边 长度之间的关系是AC2+BD2=2(AB2+AD2),这一结论对于一般的平 行四边形也是成立的,可以借助向量的方法对这一结论进行证明. 7.填空:平行四边形两条对角线长的平方和等于两条邻边长的平 方和的两倍.这一结论,可以用向量表示为:|a+b|2+|a-b|2=2(|a|2+|b|2).
解析(1)因为 A(1,2),B(2,3),C(-2,5), 所以������������=(1,1),������������=(-4,2),������������=(-3,3). 因为������������ ·������������=1×(-3)+1×3=0, 所以 AB⊥AC,即∠A=90°,所以△ABC 为直角三角形. (2)以线段 AB,AC 为邻边的平行四边形的两条对角线长分别是 |������������ + ������������ |和|������������ − ������������ |. ∵������������=(3,5),������������=(-1,1), ∴������������ + ������������ =(2,6),������������ − ������������ =(4,4), ∴|������������ + ������������ |= 22 + 62 =2 10,|������������ − ������������ |= 42 + 42 =4 2.
1 3 1 3 3 1 1 ������������=- ������������ , 3 3 3

2018-2019学年高中数学(人教A版+必修4)课件:2.3 平面向量的基本定理及坐标表示2.3.2-2.3.3

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思维辨析
3.做一做: (1)若 a=(3,-2),b=(-1,4),则 2a+3b= . (2)在平面直角坐标系中,若 M(1,-6),N(3,4),则向量������������的坐标 是 ,向量������������的坐标是 . 解析(1)2a+3b=2(3,-2)+3(-1,4)=(6,-4)+(-3,12)=(3,8). (2)������������的坐标为(3,4)-(1,-6)=(2,10),向量������������的坐标是 (1,-6)-(3,4)=(-2,-10).
2.3.2 平面向量的正交分解及坐 标表示 2.3.3 平面向量的坐标运算
课 标 阐 释 思 维 脉 络 1.理解向量正交分解以及坐标表示 的意义.培养数学抽象及逻辑推理素 养. 2.掌握平面向量加法、减法、数乘的 平面向量的坐标表示及运算 坐标运算法则,能够进行向量的坐标 正交分解 运算.培养数学运算及逻辑推理素 坐标表示——应用 养. 坐标运算 3.能够运用向量的坐标表示解决相 关问题.培养数学运算及数学抽象素 养.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
方法二:设点 O 为坐标原点,则由������������=3������������, ������������=2������������, 可得������������ − ������������=3(������������ − ������������),������������ − ������������ =2(������������ − ������������), ∴������������=3������������-2������������ , ������������=2������������ − ������������, ∴������������=3(-2,4)-2(-3,-4)=(0,20), ������������=2(3,-1)-(-3,-4)=(9,2), ∴点 M,N 的坐标分别为 M(0,20),N(9,2). (2)由已知可得������������=(1,3),������������=(2,4),������������=(5,11). 设������������=x������������+y������������, 则(5,11)=x(1,3)+y(2,4), 即(5,11)=(x+2y,3x+4y), ������ + 2������ = 5, ������ = 1, ∴ 解得 ������ = 2. 3������ + 4������ = 11, ∴������������ = ������������+2������������.

高一数学(人教A版)必修4课件:第二章 平面向量本章整合2

高一数学(人教A版)必修4课件:第二章  平面向量本章整合2
1 ������������ ������������ ,故 4 ������������
1-������2 = ������1 , ������2 =
1 4 ������1 3
,
1 4
∴λ2=4.
= ,即 BE= BA.
明目标、知重点
知识网络
专题一 专题二 专题三 三 专题四 四
专题归纳
高考体验
本章整合
明目标、知重点
-1-
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
核心归纳
高考体验
明目标、知重点
知识网络
专题一 专题二 专题三 专题四
专题归纳
高考体验
专题一 向量的基本运算及几何意义 向量的运算有:加法、减法、数乘及两个向量的数量积,进行向量 的运算常见的方法有两种:定义法和坐标法. (1)在定义运算中,要会根据题意寻找或画出三角形或平行四边形, 利用三角形法则或平行四边形法则,结合平面向量的基本定理求解. (2)若条件是坐标的向量,则直接进行运算.若向量在含有垂直关系 的几何图形中给出,则可以建系利用坐标进行向量的运算,从而转 化为实数的运算求解.
即 (1-λ2)������������ +λ2������������=λ1������������ +
������1 3 ������1 3
������������ .
������������ .
1
∵������������与 ������������不共线 ,∴ ∴������������ =
=������������ ·������������ +

推荐2019秋新版高中数学人教A版必修4课件:第二章平面向量2.3.3

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【做一做1】 已知a=(1,3),b=(-2,1),则b-a等于 ( A.(-3,2) B.(3,-2) C.(-3,-2) D.(-2,-3) 答案:C
)
【做一做 2】 已知������������ = (−1,2), 则 − 3������������等于( ) A.(-3,-3) B.(-6,3) C.(3,-6) D.(-4,-1) 答案:C 【做一做3】 已知a=(3,1),b=(-2,5),则a+b等于( ) A.(-6,5) B.(1,6) C.(5,-4) D.(7,7) 答案:B
2.3.3
平面向量的坐标运算
1.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则,能熟练进行向量 的坐标运算. 2.会根据表示向量的有向线段的起点坐标和终点坐标求这个向 量的坐标. 3.能借助向量坐标,用已知向量表示其他向量.
平面向量的坐标运算 设向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ∈R,则有下表:
=
7 2 - , 6 3
.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型二
用已知向量表示其他向量
【例 2】 若向量 a=(1,1),b=(1,-1),c=(-1,2),试用 a,b 表示 c. 分析 :由于条件中只给出 a,b,c 的坐标 ,故可考虑从 “数 ”的角度出 发用 a,b 表示 c.又 a,b 不共线 ,则一定存在实数 x,y 使 c=xa+yb,然后 用向量坐标建立关于 x,y 的方程组求解 . ������ + ������ = -1, 解 :设 c=xa+yb,则 (-1,2)=(x,x)+(y,-y)=(x+y,x-y),∴ ������-������ = 2. 解得 ������ = , ������ = - .

2018学年高一数学人教A版必修四课件:第二章 平面向量2.3.1 精品

2018学年高一数学人教A版必修四课件:第二章 平面向量2.3.1 精品

[归纳升华] 用基底表示向量的关键是利用三角形或平行四边形将基底和所要表示的向 量联系起来.对于此类问题,首先应仔细观察所给图形,然后借助平面几何知识 和共线向量定理,结合平面向量基本定理来解决 .
1.如图,已知△ABC 中,M,N,P 顺次是 AB 的四等分点,C→B=e1,C→A= e2,试用 e1,e2 表示C→M,P→N,P→A.
[变式练]☆ 2.如图所示,在△OAB 中,O→A=a,O→B=b,点 M 是 AB 的靠近 B 的一个 三等分点,点 N 是 OA 的靠近 A 的一个四等分点.若 OM 与 BN 相交于点 P,求 → OP.
解析: O→M=O→A+A→M=O→A+23A→B =O→A+23(O→B-O→A)=13a+23b, 因为O→P与O→M共线,故可设O→P=tO→M=3t a+23tb. 又N→P与N→B共线,可设N→P=sN→B,
答案: B
2.在△ABC 中,向量A→B,B→C的夹角是指( )
A.∠CAB C.∠BCA
B.∠ABC D.以上都不是
解析: 由两向量夹角的定义知,A→B与B→C的夹角应是∠ABC 的补角,故选
D.
答案: D
3.在正方形 ABCD 中,E 是 DC 边上的中点,且A→B=a,A→D=b,则B→E= ________.
∵DC∥AB,AB=2CD,E,F 分别是 DC,AB 的中点,∴DC 綊 FB,
∴四边形 DCBF 为平行四边形.∴D→C=F→B=12A→B=12b,B→C=F→D=A→D-A→F =A→D-12A→B=a-12b,E→F=D→F-D→E=-F→D-D→E=-B→C-12D→C=-a-12b-12 ×12b=14b-a.
1.下面三种说法:①一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面

2019-2020学年人教A版数学必修四课件:第2章 平面向量 2.3.1

2019-2020学年人教A版数学必修四课件:第2章 平面向量 2.3.1
第二十页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
〔跟踪练习 2〕如图,已知△ABC 是等边三角形.
(1)求向量A→B与向量B→C的夹角; (2)若 E 为 BC 的中点,求向量A→E与E→C的夹角.
第二十一页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
[解析] (1)∵△ABC 为等边三角形, ∴∠ABC=60°. 如下图,延长 AB 至点 D,使 AB=BD, 则A→B=B→D, ∴∠DBC 为向量A→B与B→C的夹角. ∵∠DBC=120°, ∴向量A→B与B→C的夹角为 120°. (2)∵E 为 BC 的中点,∴AE⊥BC, ∴A→E与E→C的夹角为 90°.
第十八页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
[解析] (1)如图所示,在△ABC 中,AB= 3,BC=1,AC=2, ∴AB2+BC2=( 3)2+12=22=AC2, ∴△ABC 为直角三角形.
∵tanA=BACB=
1= 3
33,∴A=30°.
∵D 为 AC 的中点,
∴∠ABD=∠A=30°,A→D=D→C.
第十七页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
命题方向2 ⇨求两向量的夹角
典例 2 在△ABC 中,AB= 3,BC=1,AC=2,D 是 AC 的中点.求: (1)A→D与B→D的夹角大小; (2)D→C与B→D的夹角大小. [思路分析] 由勾股定理可知题中三角形为直角三角形,然后结合直角三角 形相关知识和向量夹角知识解答本题.
第十六页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
③∵e1-2e2=-12(4e2-2e1),∴e1-2e2 与 4e2-2e1 共线,即 e1-2e2 与 4e2- 2e1 不可作为一组基底;
④设 e1+e2=λ(e1-e2),则(1-λ)e1+(1+λ)e2=0, ∴11+-λλ==00,, 无解, ∴e1+e2 与 e1-e2 不共线,即 e1+e2 与 e1-e2 可作为一组基底.

2019-2020学年人教A版数学必修四课件:第2章 平面向量 2.3.2、2.3.3

2019-2020学年人教A版数学必修四课件:第2章 平面向量 2.3.2、2.3.3
A.(2 3,2) B.(2,-2 3) C.(-2,2 3) D.(2 3,-2) [解析] x=r·cos(-30°)=4× 23=2 3, y=r·sin(-30°)=4×(-12)=-2.
第二十二页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
命题方向2 ⇨向量的坐标运算 典例 2 已知平面上三个点 A(4,6)、B(7,5)、C(1,8),求A→B、A→C、A→B+A→C、
(1)一个坐标对应唯一的一个向量.( × ) (2)相等的向量,即坐标是相同的.( √ ) (3)相等的向量其终点坐标与起点坐标是相同的.( × ) (4)一个向量的坐标等于其起点的坐标减去其终点的坐标.( × ) (5)任何平面向量都有唯一的坐标.( √ )
第十三页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的__差____
a-b=___(_x_1-__x_2_,__y_1-__y_2_) _______
第十一页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
实数与向量的积的坐标等于用这
数乘
λa=_____(_λ_x1_,__λ_y1_)__________
个实数乘原来向量的__相_应__坐__标____
向量 一个向量的坐标等于表示此向量 坐标 的有向线段的终点的坐标减去起 已知 A(x1,y1),B(x2,y2),则A→B=
公式 点的坐标
__(_x2_-__x_1,__y_2_-__y_1)_______________
第十二页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
1.判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打 “×”.
第二十八页,编辑于星期六:二十三点 十二分。
『规律总结』 利用坐标运算求向量的基底表示,一般先求基底向量和被表 示向量的坐标,再利用待定系数法.设c=xa+yb,在求解时要运用相等向量坐 标相同的关系列方程(组)求出x,y的值.

人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)

人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)

例1.如图,已知平行四边形ABCD中,E、F在 对角线BD上,并且BE=FD,求证AECF是平 行四边形。
证明:由已知设 ABDCa, BEFDb
A E A B B E a b
A
a
F C F D D C b a b E
AEFC
B
Fb D a
C
即边AE、FC平行且相等,AECF是平行四边形
x 1 y
x y
解得
x
y
1 2 1 2
所以点M是AC、BD的中点,即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD,P为对角线AC上任意 一点,PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,连接 DP、EF,求证DP ⊥EF。
证明:选择正交基底{ AB, AD }
D
在这个基底下
A B (1 ,0 ),A D (0 ,1 )
猜想: AR=RT=TC
D
F
C
ER
T
A
B
解:设 A B a ,A D b ,A R r ,则 A Cab
由于 A R与 A共C 线,故设 rn (ab),n R
又因为 ER与E共B线,
所以设ERmEBm(a1b) D
F
C
2
E
因为 A R A E E R
R
T
所因 以此 rn(a12bb) m(1 ab 12m b()aA1b)
B
2
2
即 (nm )a(nm1)b0
2
n m 0
由 于 向 量 a ,b 不 共 线,
解得:n= m = 1
n
m 1 2
0
3
所 以 A R 1 A C ,同 理 T C 1 A C ,于 是 R T 1 A C
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