新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析1
2024年高考数学专题复习第12讲函数y=Asin(ωx+φ)
− )=π,即
3
6
π
2π
由五点对应法得 2× +φ=π,得 φ= ,
6
3
2π
π
2π
则 f(x)=sin(2x+ )=cos( -2x- )
3
2
3
π
π
π
=cos(-2x- )=cos(2x+ )=sin( -2x),
6
6
3
解析 由图象知函数的周期 T=2×(
2π
T= =π,即 ω=2,
故选 BC.
理解
用
参数变化对函数图象
的影响.
-2-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
课标导引
知识聚焦
知识聚焦
核心考点
1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=
振幅
Asin(ωx+φ)
A
(A>0,ω>0)
周期
2
T=
ω
频率
1
ω
T
2
f= =
相位
ωx+φ
初相
φ
-3-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
课标导引
(2)求函数f(x)的最小正周期;
(3)当x∈[0,
π
]时,求函数f(x)的最小值.
2
-14-
第12讲 函数y=Asin(ωx+φ)
考点一
考点二
考点三
课标导引
知识聚焦
核心考点
核心考点
考点四
π
3
3
.
2
3
1
(2)因为 f(x)=sin x+ cos x- sin
高三复习：函数y=Asin(wx+q)图像与性质含参考答案(学生版+教师版)
4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y ＝A sin(ωx ＋φ)的有关概念y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)， x ∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅 周期 频率 相位 初相2、用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像；x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φy ＝A sin(ωx ＋φ)2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 2．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________．3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 题型二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________．类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 2.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．3．函数f (x )＝cosπx2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 4．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.4.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________．3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)．(1)求f (2π3)的值；(2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合．7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12.(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值；(2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系： f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)．(1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？ 9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．第四节函数y＝A sin(ωx＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ωπ－φω 3π2ω－φω 2π－φω ωx ＋φ 0 π2 π 3π2 2π y ＝A sin(ωx ＋φ)A－A3.函数y ＝sin x 的图象经变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤如下：1．函数图像变换要明确，要弄清楚是平移哪个函数的图像，得到哪个函数的图像； 2．要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；3．由y ＝A sin ωx 的图像得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像时，需平移的单位数应为⎪⎪⎪⎪φω，而不是|φ|.[试一试]1．1．y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4的最小正周期、振幅、频率和初相分别为__________． 答案：π，2，1π，－π42．把函数y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再将图象向右平移π3个单位，那么所得函数的解析式为________．答案 y ＝－cos 2x解析 将y ＝sin(x ＋π6)图象上各点的横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝sin(2x ＋π6)；再将图象向右平移π3个单位，得到函数y ＝sin[2(x －π3)＋π6]＝sin(2x －π2)＝－cos2x .3．设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________． 答案 6解析 由题意可知，nT ＝π3 (n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.4．设函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的图象关于直线x ＝2π3对称，它的周期是π，则下列说法正确的是________．(填序号) ①f (x )的图象过点(0，32)；②f (x )在[π12，2π3]上是减函数；③f (x )的一个对称中心是(5π12，0)；④将f (x )的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y ＝3sin ωx 的图象． 答案 ①③解析 ∵周期为π，∴2πω＝π⇒ω＝2，∴f (x )＝3sin(2x ＋φ)，f (23π)＝3sin(4π3＋φ)，则sin(4π3＋φ)＝1或－1.又φ∈(－π2，π2)，4π3＋φ∈(5π6，116π)，∴4π3＋φ＝3π2⇒φ＝π6， ∴f (x )＝3sin(2x ＋π6)．①：令x ＝0⇒f (x )＝32，正确．②：令2k π＋π2<2x ＋π6<2k π＋3π2，k ∈Z⇒k π＋π6<x <k π＋2π3，k ∈Z .令k ＝0⇒π6<x <2π3，即f (x )在(π6，23π)上单调递减，而在(π12，π6)上单调递增，错误．③：令x ＝5π12⇒f (x )＝3sin π＝0，正确．④：应平移π12个单位长度，错误.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换例1 设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω>0)的周期为π. (1)求它的振幅、初相；(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(3)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到的． 解 (1)f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2(12sin ωx ＋32cos ωx )＝2sin(ωx ＋π3)，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2.∴f (x )＝2sin(2x ＋π3)．∴函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx 的振幅为2，初相为π3.(2)令X ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝2sin X . 列表，并描点画出图象：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 X 0 π2 π 3π2 2π y ＝sin X 0 1 0 －1 0 y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 02－2(3)方法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移π3个单位长度，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象，再把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象，最后把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象． 方法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x 的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位长度，得到y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象．思维升华 (1)五点法作简图：用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象．(2)图象变换：由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”． 考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例2 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(其中ω>0，|φ|<π2)的最小正周期是π，且f (0)＝3，则ω＝________，φ＝________.(2)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，|φ|<π2，ω>0)的图象的一部分如图所示，则该函数的解析式为____________． 答案 (1)2 π3(2)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 解析 (1)∵f (x )(ω>0，|φ|<π2)的最小正周期为π，∴T ＝2πω＝π，ω＝2.∵f (0)＝2sin φ＝3，即sin φ＝32(|φ|<π2)，∴φ＝π3. (2)观察图象可知：A ＝2且点(0,1)在图象上， ∴1＝2sin(ω·0＋φ)，即sin φ＝12.∵|φ|<π2，∴φ＝π6.又∵1112π是函数的一个零点，且是图象递增穿过x 轴形成的零点，∴11π12ω＋π6＝2π，∴ω＝2.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. 思维升华 根据y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最大值－最小值2；②k 的确定：根据图象的最高点和最低点，即k ＝最大值＋最小值2；③ω的确定：结合图象，先求出周期T ，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.类提通关：如图为y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的一段． (1)求其解析式；(2)若将y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象向左平移π6个单位长度后得y ＝f (x )，求f (x )的对称轴方程．解 (1)由图象知A ＝3，以M ⎝⎛⎭⎫π3，0为第一个零点，N ⎝⎛⎭⎫5π6，0为第二个零点． 列方程组⎩⎨⎧ω·π3＋φ＝0，ω·5π6＋φ＝π，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝－2π3.∴所求解析式为y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －2π3. (2)f (x )＝3sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6－2π3 ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 令2x －π3＝π2＋k π(k ∈Z )，则x ＝512π＋k π2 (k ∈Z )，∴f (x )的对称轴方程为x ＝512π＋k π2(k ∈Z )．[类题通法]确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A >0，ω>0)的步骤和方法(1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m 2，b ＝M ＋m2； (2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT ；(3)求φ，常用的方法有：①代入法：把图像上的一个已知点代入(此时A ，ω，b 已知)或代入图像与直线y ＝b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下： “第一点”(即图像上升时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝0；“第二点”(即图像的“峰点”)时ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图像下降时与x 轴的交点)时ωx ＋φ＝π；“第四点”(即图像的“谷点”)时ωx ＋φ＝3π2；“第五点”时ωx ＋φ＝2π.考点三 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质例3 (2014·重庆改编)已知函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2≤φ<π2)的图象关于直线x ＝π3对称，且图象上相邻两个最高点的距离为π. (1)求ω和φ的值；(2)当x ∈[0，π2]时，求函数y ＝f (x )的最大值和最小值．解 (1)因为f (x )的图象上相邻两个最高点的距离为π，所以f (x )的最小正周期T ＝π，从而ω＝2πT＝2.又因f (x )的图象关于直线x ＝π3对称，所以2·π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 由－π2≤φ<π2得k ＝0所以φ＝π2－2π3＝－π6.综上，ω＝2，φ＝－π6.(2)由(1)知f (x )＝3sin(2x －π6)，当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )最大＝3；当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )最小＝－32.思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数； φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小正周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ(ω>0)的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π(k ∈Z )得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π(k ∈Z )得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得其对称中心．利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )来解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．教师选例考点四、函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像与性质的综合应用例4、如图是函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的部分图像，M ，N 是它与x 轴的两个交点，D ，C 分别为它的最高点和最低点，点F (0,1)是线段MD 的中点，MD ·MN ＝π218.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间．[解] (1)由已知F (0,1)是线段MD 的中点，可知A ＝2， ∵MD ·MN ＝T 4·T 2＝π218(T 为f (x )的最小正周期)，∴T ＝2π3，ω＝3，∴f (x )＝2sin(3x ＋φ)，设D 点的坐标为(x D,2)，则由已知得点M 的坐标为(－x D ，0)， ∴x D －(－x D )＝14T ＝14×2π3，则x D ＝π12，则点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫－π12，0， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－φ＝0. ∵0<φ<π2，∴φ＝π4，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (2)由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得2k π－3π4≤3x ≤2k π＋π4(k ∈Z )，得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12(k ∈Z )， ∴函数f (x )的单调递增区间为⎣⎡⎦⎤2k π3－π4，2k π3＋π12(k ∈Z )． [类题通法]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的性质(1)奇偶性：φ＝k π时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为奇函数；φ＝k π＋π2(k ∈Z )时，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数．(2)周期性：y ＝A sin(ωx ＋φ)存在周期性，其最小周期为T ＝2πω.(3)单调性：根据y ＝sin t 和t ＝ωx ＋φ的单调性来研究，由－π2＋2k π≤ωx ＋φ≤π2＋2k π，k ∈Z 得单调增区间；由π2＋2k π≤ωx ＋φ≤3π2＋2k π，k ∈Z 得单调减区间．(4)对称性：利用y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求得x .利用y ＝sin x 的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )求解，令ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )得其对称轴．课堂练习1．已知ω>0，函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫ωπx ＋π4的周期比振幅小1，则ω＝________. 解析：依题意周期为2πωπ＝3－1＝2，所以ω＝1. 答案：12.函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A >0，ω>0)的部分图像如图所示，则f (0)的值是________．解析：由图像可得A ＝2，由7π12－π3＝T 4，得T ＝π＝2πω，所以ω＝2，将点⎝⎛⎭⎫7π12，－2代入f (x )＝2sin(2x ＋φ)，得－2＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×7π12＋φ，所以sin ⎝⎛⎭⎫7π6＋φ＝－1，所以7π6＋φ＝3π2＋2k π(k ∈Z )，解得φ＝π3＋2k π(k ∈Z )，即f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，所以f (0)＝2sin π3＝2×32＝62.答案：623．函数f (x )＝cosπx 2cos π(x －1)2的最小正周期为________． 解析：因为f (x )＝cos πx 2cos π(x －1)2＝cos πx 2cos π2－πx 2＝sin πx 2cos πx 2＝12sin πx ，所以最小正周期为2ππ＝2.答案：24．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A 、ω、φ为常数，A >0，ω>0)在闭区间[－π，0]上的图像如图所示，则ω＝________.解析：由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像可知：T2＝⎝⎛⎭⎫－π3－⎝⎛⎭⎫－23π＝π3， 则T ＝23π.∵T ＝2πω＝23π，∴ω＝3.答案：34.4函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图像及三角函数模型的简单应用作业1．将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的取值为________． 答案 k π＋π4，k ∈Z解析 把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＋π4＝k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝k π＋π4，k ∈Z . 2．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是________． 答案 π，1解析 f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 所以最小正周期为π，振幅为1.3．已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________．答案 [k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z解析 由函数的图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点(512π，2)，∴2sin(2×512π＋φ)＝2，∴φ＝－π3＋2k π，k ∈Z ，∵|φ|<π2.∴取k ＝0，即得f (x )＝2sin(2x －π3)，其单调递增区间为[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈Z .4．已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间[－π3，π4]上的最小值为－2，则ω的取值范围是_____________．答案 (－∞，－2]∪[32，＋∞)解析 当ω>0时，－π3ω≤ωx ≤π4ω，由题意知－π3ω≤－π2，即ω≥32；当ω<0时，π4ω≤ωx ≤－π3ω，由题意知π4ω≤－π2，∴ω≤－2.综上可知，ω的取值范围是(－∞，－2]∪[32，＋∞)．5.设偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，KL ＝1，则f (16)的值为________．答案34解析 取K ，L 中点N ，则MN ＝12， 因此A ＝12. 由T ＝2得ω＝π.∵函数为偶函数，0<φ<π，∴φ＝π2， ∴f (x )＝12cos πx ， ∴f (16)＝12cos π6＝34. 6．已知函数f (x )＝cos x ·cos(x －π3)． (1)求f (2π3)的值； (2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合． 解 (1)f (2π3)＝cos 2π3·cos π3＝－cos π3·cos π3＝－(12)2＝－14. (2)f (x )＝cos x cos(x －π3)＝cos x ·(12cos x ＋32sin x ) ＝12cos 2x ＋32sin x cos x ＝14(1＋cos 2x )＋34sin 2x ＝12cos(2x －π3)＋14. f (x )<14等价于12cos(2x －π3)＋14<14， 即cos(2x －π3)<0， 于是2k π＋π2<2x －π3<2k π＋3π2，k ∈Z . 解得k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z .故使f (x )<14成立的x 的取值集合为{x |k π＋5π12<x <k π＋11π12，k ∈Z }． 7．已知函数f (x )＝cos x (sin x ＋cos x )－12. (1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f (α)的值； (2)求函数f (x )的最小正周期及单调递增区间．解 方法一 (1)因为0<α<π2，sin α＝22， 所以cos α＝22. 所以f (α)＝22×(22＋22)－12＝12. (2)因为f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x ＝22sin(2x ＋π4)， 所以T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 方法二 f (x )＝sin x cos x ＋cos 2x －12＝12sin 2x ＋1＋cos 2x 2－12＝12sin 2x ＋12cos 2x＝22sin(2x ＋π4)． (1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4， 从而f (α)＝22sin(2α＋π4)＝22sin 3π4＝12. (2)T ＝2π2＝π. 由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得 k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z . 所以f (x )的单调递增区间为[k π－3π8，k π＋π8]，k ∈Z . 8．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t (单位：h)的变化近似满足函数关系：f (t )＝10－3cos π12t －sin π12t ，t ∈[0,24)． (1)求实验室这一天的最大温差；(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？解 (1)因为f (t )＝10－2(32cos π12t ＋12sin π12t ) ＝10－2sin(π12t ＋π3)， 又0≤t <24，所以π3≤π12t ＋π3<7π3， －1≤sin(π12t ＋π3)≤1. 当t ＝2时，sin(π12t ＋π3)＝1； 当t ＝14时，sin(π12t ＋π3)＝－1. 于是f (t )在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.故实验室这一天最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.(2)依题意，当f (t )>11时实验室需要降温．由(1)得f (t )＝10－2sin(π12t ＋π3)， 故有10－2sin(π12t ＋π3)>11， 即sin(π12t ＋π3)<－12. 又0≤t <24，因此7π6<π12t ＋π3<11π6， 即10<t <18.故在10时至18时实验室需要降温．9．已知函数f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2. (1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx ·cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin(2ωx ＋π6)， 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2， 所以ω＝2，所以f (x )＝sin(4x ＋π6)． (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π3)的图象；再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin(2x －π3)的图象，所以g (x )＝sin(2x －π3)，因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3， 所以g (x )∈[－32，1] 又g (x )＋k ＝0在区间[0，π2]上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间[0，π2]上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1， 解得－32<k ≤32或k ＝－1，所以实数k 的取值范围是(－32，32]∪{－1}.。
高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质
高中数学：“剖析”函数y=asin（wxφ）的图像及性质展开全文“老师，为什么我用五点法作图，总是会出错呢？不是这里错，就是那里错！”“老师，我觉得在高中数学函数y=Asin(wx+φ)中，函数图像的变化是最容易错的，很多时候我都把几倍的变换弄成是几分之一的变换，真是头都大了！”“老师，有的题目稍微复杂一点，我就连解析式都求不出来了。
”……在高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的相关知识确实是很难，不仅要考虑的东西非常多，而且很多知识点都非常容易弄错。
在本省重点中学从事高中数学教学13年，教学实践还算是有些丰富，一直以来，这个知识点都是同学们最大的难点，我总是会话最多的时间去讲评、去给同学们做练习。
但是，同学们的吸收效率还是非常不理想，于是，我就自己花时间去总结。
学过这个内容的同学都知道，这个知识点的复杂以及考题的多变，很多时候类似的题目，同学们的答题效果也是非常不理想。
为了帮助同学们更好的学习，让同学们掌握方法才是关键，我自己抽出时间来总结了这个知识点。
我总结出了高中数学中国年y=Asin(wx+φ)的三个考点，并且选择了典型的例子给同学们讲解。
高中数学中，y=Asin(wx+φ)的考题变幻无常，同学们看了我举的例子以后一定要自己在做一些练习，强化一下，相信同学们一定会有所进步的。
一、用“五点法”作函数y=Asin(wx+φ)(A>0,W>0)的图像。
五点，及最高点、最低点以及与坐标轴的三个交点，凭这五点，即可完成一个函数图像的绘制。
这是解答函数题目的一个非常重要的步骤，考得最多。
二、三角函数图象的变换。
在高中数学中，函数图像的变换也是非常常考的点，在这一部分，同学们一定要分清楚w和φ不同倍数时的纵坐标和横坐标的变化。
三、函数y=Asin(wx+φ)的物理意义。
在高中数学的函数中，y=Asin(wx+φ)的物理意义比较简单，主要就是考它的周期和振幅、频率及相位。
以上三个就是高中数学中，函数y=Asin(wx+φ)的考点，同学们一定要把这3点吃透，这样在考试之中也会轻松很多。
2020年中学数学12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质(原卷版)
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.。
高中数学复习：函数y=Asin(wx+φ)练习及答案
高中数学复习：函数y=Asin(wx+φ)练习及答案1.要得到函数y ＝sin (2x +π3)的图象，只要将y ＝sin2x 的图象( ) A ．向左平移π3个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π6个单位 D ．向右平移π6个单位2.为了得到函数y ＝sin (2x −π6)的图象，可以将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π3个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π3个单位长度3.要得到函数y ＝√2cos x 的图象，只需将函数y ＝√2sin (2x +π4)图象上的所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 4.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 5.为了得到y ＝cos4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变6.将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A ．3π4B ．12πC ．38πD ．18π7.为得到函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象，只要把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变 B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变8.(1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝2cos (−12x +π4)的图象？ (2)如何由y ＝13sin (2x +π3)的图象得到y ＝sin x 的图象？9.为了得到函数y ＝3sin(2x ＋π5)，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝3sin(x ＋π5)，x ∈R 的图象上所有点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变10.已知简谐运动f (x )＝2sin (π3＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( )A ．T ＝6，φ＝π6 B ．T ＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π311.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P是摩天轮轮周上的定点，从P在摩天轮最低点开始计时，t分钟后P点距地面高度为h(米)，设h＝A sin(ωt＋φ)＋B(A＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )A．A＝8 B．ω＝π6 C．φ＝π2D．B＝1012.y＝f(x)是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y＝f(x)的解析式为( )A．y＝3sin(x＋1) B．y＝－3sin(x＋1)C．y＝3sin(x－1) D．y＝－3sin(x－1)13.已知函数y＝A sin(ωx＋φ)＋m的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A．y＝4sin(4x+π6)＋2 B．y＝2sin(2x+π3)＋2C．y＝2sin(4x+π3)＋2 D．y＝2sin(4x+π6)＋214.如图是函数y＝A sin(ωx＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是________.15.函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.16.在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T(单位：s)与摆长l(单位：m)的算术平方根成正比.(1)写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；(2)通常把周期为2s的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为0.994m，求在该地摆长为0.300m的单摆的周期.17.弹簧挂着的小球做上下运动，它在t秒时相对于平衡位置h厘米有下列关系确定h＝2sin(t−π).4(1)以t为横坐标，h为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象；(2)小球在开始震动时的位置在哪里？(3)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？(4)经过多少时间小球往复运动一次？(5)每秒钟小球能往复振动多少次？18.已知函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.19.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是( ) A．B．C．D．20.设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则( )A．f(x)的图象过点(0,12)B．f(x)在[5π12,2π3]上是减函数C．f(x)的一个对称中心是(5π12,0)D．f(x)的最大值是A21.函数y＝lg sin(π4－2x)的单调递增区间是()A．[kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z)B．[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)C．[kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z)D．(kπ−3π8,kπ−π8](k∈Z)22.关于f(x)＝4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x−π6)；③y＝f(x)图象关于(−π6,0)对称；④y＝f(x)图象关于x＝－π6对称.其中正确命题的序号为________.23.如下图，f(x)＝A sin(2ωx+φ)(ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜0).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－π，－π2]上的值域.24.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f(x)的解析式.25.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的一段图象如图所示.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)的单调减区间，并指出f(x)的最大值及取到最大值时x的集合.26.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图所示.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x＋π8)的零点.27.已知函数f(x)＝A sin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x0,2)和(x0＋2π，－2).(1)求f(x)的解析式及x0的值；(2)求f(x)的单调增区间；(3)若x∈[－π，π]，求f(x)的值域.答案1.要得到函数y＝sin(2x+π3)的图象，只要将y＝sin2x的图象( )A．向左平移π3个单位B．向右平移π3个单位C．向左平移π6个单位D．向右平移π6个单位【答案】C【解析】因为y＝sin(2x+π3)＝sin2(x+π6)，所以把y＝sin2x的图象上所有点向左平移π6个单位，就得到y＝sin2(x+π6)＝sin(2x+π3)的图象.2.为了得到函数y＝sin(2x−π6)的图象，可以将函数y＝cos2x的图象( )A．向右平移π6个单位长度B．向右平移π3个单位长度C．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度 【答案】B【解析】y ＝sin (2x −π6)＝cos [π2−(2x −π6)] ＝cos (2π3−2x)＝cos (2x −2π3)＝cos2(x −π3).3.要得到函数y ＝√2cos x 的图象，只需将函数y ＝√2sin (2x +π4)图象上的所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向左平行移动π8个单位长度 B ．横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)，再向右平行移动π4个单位长度 C ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动π4个单位长度 D ．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动π8个单位长度 【答案】C【解析】∵y ＝√2cosx ＝√2sin (x +π2)，∴y ＝√2sin (2x +π4)纵坐标不变→ 横坐标伸长到原来的2倍y ＝√2sin (x +π4)向左平行移动π4个单位长度→ y ＝√2sin (x +π2).4.为了得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象，只需把y ＝sin2x 的图象上所有的点( ) A ．向左平行移动12个单位长度 B ．向右平行移动12个单位长度 C ．向左平行移动1个单位长度 D ．向右平行移动1个单位长度 【答案】A【解析】∵y ＝sin(2x ＋1)＝sin2(x ＋12)，∴把y ＝sin2x 的图象上所有的点向左平行移动12个单位长度，即可得到函数y ＝sin(2x ＋1)的图象.5.为了得到y ＝cos4x ，x ∈R 的图象，只需把余弦曲线上所有点的( ) A ．横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B ．横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的14倍，横坐标不变 【答案】B【解析】ω＝4＞1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的14倍，纵坐标不变. 6.将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小值为( ) A ．3π4B ．12πC ．38πD ．18π【答案】C【解析】将函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ(φ＞0)个单位， 可得y ＝2sin[2(x －φ)＋π4]＝2sin(2x ＋π4－2φ)的图象. 再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)， 所得图象对应的函数为y ＝2sin(4x ＋π4－2φ).再根据所得图象关于直线x ＝π4对称，可得4×π4＋π4－2φ＝k π＋π2，k ∈Z ， 即φ＝－k π2＋3π8，故φ的最小值为3π8.7.为得到函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象，只要把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的( ) A ．横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变B ．横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变C ．纵坐标伸长到原来的3倍，横坐标不变D ．纵坐标缩短到原来的13倍，横坐标不变 【答案】A【解析】把函数y ＝sin(x ＋π4)图象上所有点的横坐标缩短到原来的13倍，纵坐标不变，可得函数y ＝sin(3x ＋π4)的图象.8.(1)如何由y ＝sin x 的图象得到y ＝2cos (−12x +π4)的图象？ (2)如何由y ＝13sin (2x +π3)的图象得到y ＝sin x 的图象？ 【答案】(1)∵y ＝2cos (−12x +π4)＝2cos (12x −π4)＝2cos (12x +π4−π2)＝2sin (12x +π4)，∴y ＝sin x 向左平移π4个单位→ y ＝sin (x +π4)横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍→y ＝2sin (12x +π4)＝2cos (−12x +π4).(2)y ＝13sin (2x +π3)横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍→ y ＝sin (2x +π3)纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍→y ＝sin (x +π3)向右平移π3个单位→y ＝sin x .9.为了得到函数y ＝3sin(2x ＋π5)，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝3sin(x ＋π5)，x ∈R 的图象上所有点的( )A ．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B ．横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变 C ．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D ．纵坐标缩短到原来的12倍，横坐标不变 【答案】B【解析】由函数图象变换的规则可知，函数y ＝3sin(2x ＋π5)，x ∈R 的图象可以由函数y ＝3sin(x ＋π5)，x ∈R 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变得到.10.已知简谐运动f (x )＝2sin (π3＋φ)(|φ|＜π2)的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T 和初相φ分别为( ) A ．T ＝6，φ＝π6 B ．T ＝6，φ＝π3 C ．T ＝6π，φ＝π6 D ．T ＝6π，φ＝π3 【答案】A【解析】由题意知图象经过点(0,1)，即2sin φ＝1， 又因|φ|＜π2可得，φ＝π6，由函数的周期得T ＝6.11.一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，t 分钟后P 点距地面高度为h (米)，设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，则下列结论错误的是( )A ．A ＝8B ．ω＝π6 C ．φ＝π2 D ．B ＝10 【答案】C【解析】一个匀速旋转的摩天轮每12分钟旋转一周，最低点距地面2米，最高点距地面18米，P 是摩天轮轮周上的定点，从P 在摩天轮最低点开始计时，t 分钟后P 点距地面高度为h 米，设h ＝A sin(ωt ＋φ)＋B (A ＞0，ω＞0，φ∈[0,2π))，所以T ＝12，ω＝π6，A ＝8，B ＝10，显然选项A 、B 、D 正确，C 错误.12.y ＝f (x )是以2π为周期的周期函数，其图象的一部分如下图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝3sin(x ＋1)B ．y ＝－3sin(x ＋1)C ．y ＝3sin(x －1)D ．y ＝－3sin(x －1) 【答案】D【解析】A ＝3，ω＝2πT＝1，由ω×1＋φ＝π，∴φ＝π－1，∴f (x )＝3sin[x ＋(π－1)]＝－3sin(x －1).13.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋m 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各解析式符合条件的是( )A ．y ＝4sin (4x +π6)＋2 B ．y ＝2sin (2x +π3)＋2 C ．y ＝2sin (4x +π3)＋2 D ．y ＝2sin (4x +π6)＋2 【答案】D【解析】∵最大值是4，故A 不符合题意. 又∵T ＝2πω＝π2，∴ω＝4，故排除B.又4x ＋π3＝π2＋k π(k ∈Z )⇒4x ＝π6＋k π(k ∈Z )⇒x ＝π24＋k π4＝π3(k ∈Z )，∴k ＝76∉Z ，排除C ，故选D.14.如图是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是________.【答案】A ＝1，T ＝43π，φ＝－3π4【解析】由图知周期T ＝43π，A ＝1， 又因为T ＝2πω，知ω＝32，再将点(π6，1)代入y ＝A sin(ωx ＋φ)＋2， 计算求出φ＝－3π4.15.函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是________.【答案】2，－π3【解析】∵在同一周期内，函数在x ＝5π12时取得最大值，x ＝11π12时取得最小值，∴函数的周期T 满足T2＝11π12－5π12＝π2，由此可得T ＝2πω＝π，解得ω＝2， 得函数表达式为f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又∵当x ＝5π12时取得最大值2， ∴2sin(2··5π12＋φ)＝2，可得5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，∵－π2＜φ＜π2，∴取k ＝0，得φ＝－π3.16.在同一地点，单摆在振幅很小的情况下，其周期T (单位：s)与摆长l (单位：m)的算术平方根成正比.(1)写出单摆的周期关于摆长的函数解析式；(2)通常把周期为2s 的单摆称为秒摆，若某地秒摆的摆长为0.994m ，求在该地摆长为0.300m 的单摆的周期.【答案】(1)∵周期T (单位：s)与摆长l (单位：m)的算术平方根成正比， ∴T ＝2π√1g .(2)∵某地秒摆的摆长为0.994m ， ∴2＝2π√0.994g，∴g ＝0.994π2，∴摆长为0.300m 的单摆的周期为2π√0.3000.994π2≈1.095.17.弹簧挂着的小球做上下运动，它在t 秒时相对于平衡位置h 厘米有下列关系确定h ＝2sin (t −π4).(1)以t 为横坐标，h 为纵坐标，作出这个函数在一个周期内的图象； (2)小球在开始震动时的位置在哪里？(3)小球的最高点和最低点与平衡位置的距离分别是多少？ (4)经过多少时间小球往复运动一次？ (5)每秒钟小球能往复振动多少次？【答案】(1)由题意可得h ＝2sin (t +π4)的图象，如图.(2)由题意可得当t ＝0时，h ＝2sin (t +π4)＝√2， 故小球在开始震动时的位置在(0，√2). (3)由解析式可得振幅A ＝2，故小球的最高点和最低点与平衡位置的距离均为2厘米. (4)可得函数的周期为T ＝2π，故小球往复运动一次需2π. (5)可得频率为12π，即每秒钟小球能往复振动12π次.18.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f (x )的解析式.【答案】∵14T ＝＝π8－(－π8)＝π4，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2.根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4，∴函数f(x)＝2sin(2x－π4).19.已知a是实数，则函数f(x)＝1＋a sin ax的图象不可能是( )A．B．C．D．【答案】D【解析】当a＝0时，f(x)＝1，C符合；当0＜|a|＜1时，T＞2π，且最小值为正数，A符合；当|a|＞1时，T＜2π，B符合.排除A、B、C，故选D.20.设函数f(x)＝A sin(ωx＋φ)(A≠0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象关于直线x＝2π3对称，它的周期是π，则( )A．f(x)的图象过点(0,12)B．f(x)在[5π12,2π3]上是减函数C．f(x)的一个对称中心是(5π12,0)D．f(x)的最大值是A【答案】C【解析】∵周期T＝π，∴2πω＝π，∴ω＝2.又∵f(x)的图象关于直线x＝2π3对称，∴2×2π3＋φ＝kπ＋π2(k∈Z)，φ＝kπ－5π6(k∈Z).又|φ|＜π2，∴φ＝π6.∴f(x)＝A sin(2x+π6).∴图象过(0,A2).当x＝5π12，2x＋π6＝π，即f(5π12)＝0时，(5π12,0)是f(x)的一个对称中心.21.函数y＝lg sin(π4－2x)的单调递增区间是()A．[kπ－π8，kπ＋π6)(k∈Z)B．[kπ－π8，kπ＋3π8](k∈Z)C．[kπ－5π8，kπ－π8)(k∈Z)D．(kπ−3π8,kπ−π8](k∈Z)【答案】D【解析】令2kπ＋π＜2x－π4≤2kπ＋3π2(k∈Z)，2kπ＋5π4＜2x≤2kπ＋7π4(k∈Z)，kπ＋5π8＜x≤kπ＋7π8(k∈Z)，故函数的单调递增区间是(kπ－3π8，kπ－π8](k∈Z).22.关于f(x)＝4sin(2x+π3)(x∈R)，有下列命题：①由f(x1)＝f(x2)＝0可得x1－x2是π的整数倍；②y＝f(x)的表达式可改写成y＝4cos(2x−π6)；③y＝f(x)图象关于(−π6,0)对称；④y＝f(x)图象关于x＝－π6对称.其中正确命题的序号为________.【答案】②③【解析】对于①，由f(x)＝0，可得2x＋π3＝kπ(k∈Z).∴x＝k2π－π6，∴x1－x2是π2的整数倍，∴①错；对于②，f(x)＝4sin(2x+π3)利用公式得f(x)＝4cos[π2−(2x+π3)]＝4cos(2x−π6)，∴②对；对于③，f(x)＝4sin(2x+π3)的对称中心满足2x＋π3＝kπ，k∈Z，∴x＝k2π－π6，k∈Z，∴(−π6,0)是函数y＝f(x)的一个对称中心，∴③对；对于④，函数y＝f(x)的对称轴满足2x＋π3＝π2＋kπ，k∈Z，∴x＝π12＋kπ2，k∈Z，∴④错.23.如下图，f(x)＝A sin(2ωx+φ)(ω＞0，A＞0，－π2＜φ＜0).(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在[－π，－π2]上的值域.【答案】(1)由题知A＝2，T＝43(2π3+π12)＝π，由周期公式得2ω＝2πT＝2，∴f(x)＝2sin(2x＋φ).又∵f(x)的图象过(0，－1)，∴2sinφ＝－1，又∵－π2＜φ＜0，∴φ＝－π6.∴f(x)＝2sin(2x－π6).(2)∵x∈[－π，－π2]，∴2x－π6∈[−13π6,−7π6]，∴2sin(2x－5π6)∈[－1,2]，∴函数f(x)在[－π，－π2]上的值域为[－1,2].24.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示，求f (x )的解析式.【答案】∵14T ＝π8－(－π8)＝π4，∴T ＝2πω＝π，解得ω＝2. 根据五点法作图可得2×π8＋φ＝0，求得φ＝－π4， ∴函数f (x )＝2sin(2x －π4).25.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，－π2＜φ＜π2)的一段图象如图所示. (1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )的单调减区间，并指出f (x )的最大值及取到最大值时x 的集合.【答案】(1)由图象可以得到函数f (x )的振幅A ＝3， 设函数周期为T ，则34T ＝4π－π4＝15π4，所以T ＝5π，则ω＝25，由ωx 0＋φ＝0，得25×π4＋φ＝0，所以φ＝－π10， 所以f (x )＝3sin(25x －π10). (2)由π2＋2k π≤25x －π10≤3π2＋2k π(k ∈Z )，得3π2＋5k π≤x ≤4π＋5k π(k ∈Z )，所以函数的减区间为(3π2＋5k π，4π＋5k π)，k ∈Z .函数f (x )的最大值为3，当且仅当25x －π10＝π2＋2k π，k ∈Z ，即x ＝3π2＋5k π(k ∈Z )时函数取得最大值.所以函数的最大值为3，取得最大值时的x 的集合为{x |x ＝3π2＋5k π(k ∈Z )}. 26.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0,0＜φ＜π2)的图象如图所示.(1)求函数y ＝f (x )的解析式；(2)求函数y ＝f (x ＋π8)的零点.【答案】(1)由图知A ＝2，T ＝2(5π8−π8)＝π，∴ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ). 又∵f (π8)＝2sin (π4+φ)＝2，∴sin(π4＋φ)＝1，∴π4＋φ＝π2＋2k π，∴φ＝π4＋2k π(k ∈Z ).∵0＜φ＜π2，∴φ＝π4， ∴函数的解析式为f (x )＝2sin(2x ＋π4).(2)由(1)知，f (x )＝2sin(2x ＋π4)，∴f (x ＋π8)＝2sin (2x +π2)＝2cos2x ＝0，∴2x ＝k π＋π2，即x ＝k π2＋π4(k ∈Z ). ∴函数y ＝f (x ＋π8)的零点为x ＝k π2＋π4(k ∈Z ).27.已知函数f (x )＝A sin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2)的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为(x 0,2)和(x 0＋2π，－2).(1)求f (x )的解析式及x 0的值；(2)求f (x )的单调增区间；(3)若x ∈[－π，π]，求f (x )的值域.【答案】(1)由题意作出f (x )的简图如图.由图象知A ＝2，由T 2＝2π，得T ＝4π， ∴4π＝2πω，即ω＝12，∴f (x )＝2sin(12x ＋φ)，∴f (0)＝2sin φ＝1.又∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴f (x )＝2sin(12x ＋π6).∵f (x 0)＝2sin(12x 0＋π6)＝2，∴12x 0＋π6＝π2＋2k π，k ∈Z ，∴(x 0,2)是y 轴右侧的第一个最高点，∴x 0＝2π3. (2)由－π2＋2k π≤12x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z ， 得－43π＋4k π≤x ≤23π＋4k π，k ∈Z ， ∴f (x )的单调增区间为[−4π3+4k π,2π3+kπ](k ∈Z ). (3)∵－π≤x ≤π，∴－π3≤12x ＋π6≤2π3，∴－√32≤sin (12x +π6)≤1， ∴－√3≤f (x )≤2，故f (x )的值域为[－√3，2].。
y=Asin(wx+ψ)的图象与性质(学生版)
sin()y A x ωϕ=+的图象与性质【知识要点】1.用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图用五点法画y ＝A sin(ωx ＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：x －φω －φω＋π2ω π－φω 3π2ω－φω 2π－φωωx ＋φ 0 π2 π 3π22π y ＝A sin(ωx ＋φ) 0 A 0 －A 0 2.函数y ＝sin x 的图象变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的步骤3.三角函数模型的应用(1)根据图像建立解析式或根据解析式作出图像． (2)将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．(3)利用收集到的数据作出散点图，并根据散点图进行函数拟合，从而得到函数模型．【课前小练】1.为了得到函数2sin(),36x y x R π=+∈的图象, 只需把函数2sin ,y x x R =∈的图象上所有的点（ ）A ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变) B ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)C ．向左平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)D ．向右平移6π个单位长度, 再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)2.函数()2sin(),(0,)22f x x ππωϕωϕ=+>-<<的部分图象如图所示,则,ωϕ的值分别是( )A ．2,3π-B.2,6π-C.4,6π-D.4,3π3.（2015高考陕西 理3）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为（ ）A ．5B ．6C ．8D ．104.函数y=sin （2x+φ）的图象沿x 轴向左平移 8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ 的一个可能的值为（ ）3.4A π .4B π C.0 .4D π-【例题解析】考点一 五点法作y ＝Asin(ωx ＋φ)+B 图像例1： （2015高考湖北 理17）某同学用“五点法”画函数π()sin()(0,||)2f x A x ωϕωϕ=+><在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+ 0 π2 π3π2 2πxπ35π6 sin()A x ωϕ+ 055-（Ⅰ）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置．．．．．．．．．．．，并直接写出函数()f x 的解 析式；（Ⅱ）将()y f x =图象上所有点向左平行移动θ(0)θ>个单位长度，得到()y g x =的图象. 若()y g x =图象的一个对称中心为5π(,0)12，求θ的最小值.变式1：（2014—2015武汉重点中学期末联考）设函数()sin(2)(0)f x x ϕπϕ=+-<<，()y f x =图象的一条对称轴是8x π=（Ⅰ）求函数()y f x =的单调增区间； （Ⅱ）画出函数()y f x =在区间[]0,π上的图象.考点二：函数)sin(ϕω+=x A y 的解析式确定y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的步骤和方法 (1)求A ，b ，确定函数的最大值M 和最小值m ，则A ＝M －m2，B ＝M ＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T ，则可得ω＝2πT.(3)求φ，特殊点带入.例2： （2015高考新课标1 理8）函数()f x =cos()x ωϕ+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为( )A ．13(,),44k k k Z ππ-+∈ B.13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ C ．13(,),44k k k Z -+∈ D ．13(2,2),44k k k Z -+∈变式2：函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ为常数，A ＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则)0(f 的值是________．变式3：已知a 是实数，则函数()1sin f x a ax =+的图象不可能．．．是（ ）D.C.B.A.2π2π2π2πππππ2221111OOO O y y y y xxxx变式4：函数()ϕω+=x y sin 的部分图象如右图，则ϕ、ω可以取的一组值是（ ） A. 2πω=，4πϕ=B. 3πω=，6πϕ=C. 4πω=，4πϕ=D. 4πω=，45πϕ=考点三：函数)sin(ϕω+=x A y 的图像变换例3： （2015高考山东 理3）要得到函数sin 43y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位C ．向左平移3π个单位D ．向右平移3π个单位变式5：要得到cos(3)4y x π=-的图象，则需要把将sin(3)4y x π=-的图象向左平移的距离最短的单位为_______变式6：要得到函数2cos y x =的图象，只需将函数2sin(2)4y x π=+的图象上所有的点的 A 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度B 横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 C 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动4π个单位长度 D 横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度考点四：)sin(ϕω+=x A y 型函数的图象与性质的综合应用例4： 函数 )62sin(3)(π+=x x f 的部分图象如图所示.（1）写出)(x f 的最小正周期及图中00,y x 的值； （2）求)(x f 在区间]12,2[ππ--上的最大值和最小值.变式7：已知函数)20,0,0)(sin()(πϕωϕω<<>>+=A x A x f 的图像与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为2π，且图像上一个最低点为)2,32(-πM .（1）求)(x f 的解析式； （2）当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求)(x f 的值域.考点五：)sin(ϕω+=x A y 型函数的应用举例例5： 为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人； ③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多． (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问哪几个月份要准备400份以上的食物？变式8：海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮。
新高考数学考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质考点分类讲义练习题附解析3
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.解析附后考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C 3、【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③. 4、【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B. 5、【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC. 6、【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ． 8、【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【答案】Df x在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象，【解析】①若()f x在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；由图1可知，()f x在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；②由图1、2可知，()10、【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-．【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[122-+．题型一 三角函数的性质1、【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax+=， 所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax ---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B 2、【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+， 对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ． 4、【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ． 5、【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD 6、【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：4 7、【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、【答案】π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D. 3、【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故选D. 5、【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[1,244442x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12，故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+=⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈， 所以2,6k k Z πϕπ=+∈， 因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确； 故选：D.2、【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω= ()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭， 12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。
函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象解题策略(解析版)
函数y=Asin(wx+φ)的性质与图象解题策略sin y x = cos y x = tan y x =图像定义域 R R,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k Z ∈时，max 1y =；当22x k ππ=-()k Z ∈时，min1y =-．当()2x k k Z π=∈时，max 1y =；当2x k ππ=+()k Z ∈时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是增函数；在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上是减函数．在[]()2,2k k k Z πππ-+∈上是增函数； 在[]2,2k k πππ+()k Z ∈上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭ ()k Z ∈上是增函数．对称性对称中心()(),0k k Z π∈ 对称轴()2x k k Z ππ=+∈对称中心(),02k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭ 对称轴()x k k Z π=∈对称中心(),02k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭无对称轴例1：1．（2022·北京·人大附中模拟预测）函数()cos (0)3f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的图像关于直线2x π=对称，则ω可以为（ ） A ．13B ．12C ．23D ．1【答案】C【详解】()cos()(0)3f x x πωω=->对称轴为：22(0)()3233x k k k k Z πππωπωπωω-=⇒-=⇒=+>∈函 数 性 质当0k =时，ω取值为23.故选:C.2.（多选）（2022·江苏南通·模拟预测）已知函数()sin 042f x x ππωω⎛⎫⎛⎫=+<< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭在区间()0,1上可能（ ）A ．单调递增B ．有零点C ．有最小值D ．有极大值【答案】AD【详解】因为01x <<且02πω<<，则444x πππωω<+<+，3444ππωπ<+<， 所以，函数()f x 在()0,1上不可能有零点，B 错；当442πππω<+≤时，即当04πω<≤时，()f x 在()0,1上单调递增，A 对；函数()f x 在()0,1上可能有极大值，但无最小值，C 错D 对.故选：AD. 举一三1．（2022·河北邯郸·二模）函数()πsin(2)3f x x =+在ππ,33⎛⎫- ⎪⎝⎭上的值域为（ ）A ．(]0,1B ．⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C ．⎛⎤⎥⎝⎦ D ．[]1,1- 【答案】C【详解】当ππ,33x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，ππ2,π33x ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，当ππ232x +=时，即π12x = 时，()πsin(2)3f x x =+取最大值1，当ππ233x +=-，即π3x =- 时，()πsin(2)3f x x =+取最小值大于 ，故值域为⎛⎤ ⎥⎝⎦2．（多选）（2022·北京东城·三模）下列函数中最小正周期不是π的周期函数为（ ） A ．sin y x = B ．sin y x =C ．cos y x =D ．tan y x =【答案】AC解：对于A 选项，sin y x =为偶函数，当0x ≥时，sin y x =，为周期函数，周期为2π；当0x <时，sin y x =-，为周期函数，周期为2π，但在整个定义域上，函数不具有周期性，故错误；对于B 选项，sin y x =的图像是将sin y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，进而函数为周期函数，周期是π，故正确；对于C 选项，cos cos y x x ==，故周期为2π，错误；对于D 选项，tan y x =图像是将tan y x =图像在x 轴下方的翻到x 轴上方，其周期性不变，故依然为π，正确；3．（2021·全国·高考真题）下列区间中，函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增的区间是（ ）A ．0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．3,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．3,22ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】A【详解】因为函数sin y x =的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对于函数()7sin 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()22262k x k k Z πππππ-<-<+∈，解得()22233k x k k Z ππππ-<<+∈，取0k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为2,33ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 则20,,233πππ⎛⎫⎛⎫⊆- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，A 选项满足条件，B 不满足条件；取1k =，可得函数()f x 的一个单调递增区间为58,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭， 32,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且358,,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，358,2,233ππππ⎛⎫⎛⎫⊄ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，CD 选项均不满足条件. 4．（2022·四川·绵阳中学实验学校模拟预测（文））若0απ<<，则sin20α>的概率为______ 【详解】∵0απ<<，022απ<<，由sin20α>可得02απ<<，即02πα<<，∴若0απ<<，则sin20α>的概率为122ππ=.六．函数y=Asin(wx+φ)的图象1、将函数sin y x =的图象上所有的点，向左（右）平移ϕ个单位长度，得到函数()sin y x ϕ=+的图象；再将函数()sin y x ϕ=+的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的1ω倍（纵坐标不变），得到函数()sin y x ωϕ=+的图象；再将函数()sin y x ωϕ=+的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A 倍（横坐标不变），得到函数()sin y A x ωϕ=+的图象。
高考数学专题复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质
高考数学专题复习：函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质一、单选题1．将函数sin 2()4y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为（ ） A ．cos y x =B ．cos 4y x =C ．sin y x =D ．sin 4y x =2．若函数()()sin 046f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后关于y 轴对称，则ω=（ ）A ．2B ．12C ．1D ．33．函数π()sin 2+4f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像，向右平移π4个单位长度后得到函数()g x 的解析式为（ ）A ．()sin 2g x x =B ．π()sin(2+)4g x x =C ．π()sin(2)4g x x =-D ．3π()sin(2)4g x x =+4．已知函数()sin f x x =，函数()g x 的图象可以由函数()f x 的图象先向右平移6π个单位长度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1(0)ωω>得到.若方程1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则ω的取值范围是（ ）A ．195,3⎛⎤⎥⎝⎦B ．195,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．2913,62⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2913,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移ϕ个单位，恰与()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象重合，则ϕ的取值可能是（ ）A ．3π B ．512π C ．2π D ．712π 6．为了得到sin 2y x =，x ∈R 的图象，只需把cos 2y x =，x ∈R 图像上所有的点（ ）． A ．向左平移π4个单位长度B ．向右平移π4个单位长度C ．向左平移π2个单位长度D ．向右平移π2个单位长度7．将函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移12π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到()g x 的图象，若()()129g x g x ⋅=，且[]12,0,2x x π∈，则12x x -的值为（ ）A ．2πB ．πC ．2π D ．4912π8．设函数()sin (0)6f x x πωωω⎛⎫=++> ⎪⎝⎭的图象如图，则函数f （x ）的图象的对称轴方程为（ ）A ．3x k ππ=+（k ∈Z ） B ．26k x ππ=+（k ∈Z ） C ．26k x ππ=-（k ∈Z ） D ．3x k ππ=-（k ∈Z ）9．已知函数()πsin()cos 3x f x x =+的图像向右平移3π个单位，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标不变，得到函数g (x )的图象，若()()()121214g x x x x g ⋅=≠，则12||x x -的最小值为（ ） A ．π 4B ．2πC ．πD ．2π10．已知函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()sin g x x =，要得到函数()y f x =的图象，只需将函数y g x 的图象上的所有点（ ）A ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π3个单位得到B ．横坐标缩短为原来的12，再向左平移π6个单位得到C ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π3个单位得到D ．横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移π6个单位得到11．要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像（ ）A ．向左平移3π个单位； B ．向左平移6π个单位；C ．向右平移3π个单位； D ．向右平移6π个单位12．已知函数()()0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象如图所示，则下列说法正确的个数为（ ）①3πϕ=；②()f x 在区间,03π⎛-⎫⎪⎝⎭上单调递增；③()f x 的一条对称轴为512x π=；④要想将()f x 变成一个偶函数，可以将()f x 的图象向左平移12π个单位.A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题13．将函数()sin 2f x x =的图像向左平移()0ϕϕ>个单位得到函数()cos2g x x =的图像，则ϕ的最小值是________．14．已知函数1()4sin 26f x x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数f （x ）的图象上所有点的横坐标变成原来的12倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，且当x ∈1,3a ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，()[]2,4g x ∈-，则a 的取值范围是________.15．将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到函数()g x 的图象．若函数()g x 的图象关于原点对称，则ϕ的一个取值为________．16．已知函数π()sin()(0,0,||)2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，()sin(2)g x A x ωϕ=-，给出以下说法：①将()y f x =的图象向左平移34个单位长度可以得到()g x 的图象；②()g x 的图象关于直线x =1对称； ③()g x 的图象关于点5(,0)2成中心对称；④()g x 在719(,)44上单调递减.其中所有正确说法的编号是________ 三、解答题 17．已知函数sin ωφf xA xB （其中A ，ω，ϕ，B 均为常数，0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式及其递增区间；（2）若先将函数()f x 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），再将图象向左平移m （0m >）个单位长度，得到函数()g x 的图象，若()g x 是偶函数，求实数m 的最小值.18．已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图像如图所示：（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图像上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图像，求函数()y g x =在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上的最大值及函数取最大值时相应的x 值．19．已知函数()()sin (0,0,02)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<的部分图象如图所示.（1）求函数()f x 的解析式；（2）若()()((0,))2g x f x t t π=+∈为偶函数，求t 的值.20．已知函数()2sin f x x ω=其中常数0>ω.（1）若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移6π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()y g x =的图象，区间[],a b （,a b ∈R 且a b <）满足：()y g x =在[],a b 上至少含有100个零点，在所有满足上述条件的[],a b 中，求b a -的最小值.21．某同学用“五点法”画函数()sin()0,||2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图象时，列表并填入的部分数据如下表：（1）请写出上表的122x x y ,,及函数()f x 的解析式；（2）将函数()f x 的图象向右平移3π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，求()g x 的解析式及()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的定义域.22．已知函数()2cos(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<． （1）若π=ϕ，完成下列表格并在给定的坐标系中，画出函数f （x ）在[0,]π上的图象；（2）若f （x ）为奇函数，求ϕ；（3）在（2）的前提下，将函数f （x ）的图象向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，求g （x ）的单调递减区间．参考答案1．D 【分析】根据图象平移，伸缩变换的原则，结合所给方程，化简整理，即可得答案. 【详解】将sin 2()4y x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R 的图象向右平移8π个单位长度，得到图象的解析式为sin 2sin 284y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，再将sin 2y x =的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，则所得图象的函数解析式为sin 4y x =， 故选：D ． 2．A 【分析】先求出平称后的函数解析式，再由其图像关于y 轴对称，可得其为偶函数，从而可求出ω的值 【详解】解：函数()()sin 046f x x πωω⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度后的解析式为sin sin 3636y x x πππωπωω⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因为其图像关于y 轴对称， 所以,362k k Z πωπππ-=+∈，解得32,k k Z ω=+∈， 因为04ω<<，所以2ω=， 故选：A 3．C 【分析】由平移变换得解析式．【详解】向右平移π4个单位长度后得：()sin 2()sin(2)444g x x x πππ⎡⎤=-+=-⎢⎥⎣⎦．故选：C ． 4．A 【分析】由图象变换得出()g x 的表达式，求出1()2g x =的解，正数解从小到大排序后，π大于第六个解，不小于第7个解，由此可得结论． 【详解】由题意()sin()6g x x πω=-，由1sin()62x πω-=，得(1)66k x k ππωπ-=+-，1(1)66k x k πππω⎡⎤=++-⎢⎥⎣⎦，k Z ∈， (1)66k k πππ++-中正数依次为3π，π，73π，3π，133π，5π，193π，…，1()2g x =在(0,)π上恰有6个根，则5193πππωω<≤，解得1953ω<≤．故选：A ． 5．D 【分析】首先根据平移规律，写出平移后的图象，再根据两图象重合，列式求ϕ的值. 【详解】()sin 23πf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图像向左平移ϕ个单位后得()sin 23y x πϕ⎡⎤=+-⎢⎥⎣⎦，0ϕ>，与图象()5sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭重合，所以522,36k k Z ππϕπ-=+∈，解得：7,12k k Z πϕπ=+∈， 当0k =时，712πϕ=. 故选：D 6．B 【分析】由诱导公式可得cos 2sin(2)2y x x π==+，结合sin()y A x ωϕ=+的图像变换规律即可得出结论.【详解】由诱导公式可得cos 2sin(2)sin 2()24y x x x ππ==+=+，所以将函数图像上的点向右平移4π个单位长度，即可得到sin 2y x =的图像. 故选：B 7．B 【分析】根据函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换规律，求得()g x 的解析式，再利用正弦函数的最大值，可得1()g x 和2()g x 相差一个周期的整数倍，从而判断1232x ππ+=，22232x πππ+=+或1232x ππ+=，22232x πππ+=+，进而求得12x x -的值．【详解】解：将函数()2sin(2)6f x x π=+的图象向左平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到()2sin(2)13g x x π=++的图象．若12()()9g x g x ⋅=，则1()g x 和2()g x 都取得最大值3， 故1()g x 和2()g x 相差一个周期的整数倍． 由[]12,0,2x x π∈，则122,2,43333x x πππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 故1232x ππ+=，22232x πππ+=+， 或1232x ππ+=，22232x πππ+=+，所以12x x π-= 故选：B ． 8．B 【分析】由图象得2ω=，再由正弦函数的对称轴方程可得答案. 【详解】 由图象可知，132ω+=，所以2ω=，所以 ()sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令()262x k k Z πππ+=+∈得()26k x k Z ππ=+∈， 故选：B. 9．B 【分析】先对函数化简，得1()sin 223f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再利用三角函数图像变换规律求出()1sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()()()121214g x x x x g ⋅=≠，可得1x 与2x 都是波峰或波谷的横坐标，从而可得答案 【详解】因为()sin cos 3f x x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭1sin cos 2x x x ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭1cos24x x =111sin 2sin 22223x x x π⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图像向右平移3π个单位得1sin 2233y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1sin 223x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再将图像上所有点的横坐标缩小到原来的一半得到()1sin 423g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()()1214g x g x ⋅=，所以()()1212g x g x ==或()()1212g x g x ==-，因为1x 与2x 都是波峰或波谷的横坐标，所以12min2x x T π-==，故选：B ． 10．B 【分析】根据正弦函数图象变化前后的解析式，确定图象的变换过程. 【详解】由()πsin 2()6f x x =+，而()sing x x =，∴将函数yg x 的图象上的所有点横坐标缩短为原来的12，再向左平移π6个单位得到()y f x =.故选：B 11．B 【分析】根据两个函数的解析式的特征，结合正弦型函数图像的变换性质进行求解即可.【详解】因为sin 2sin[2]36y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以要得到函数sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需将函数sin 2y x =的图像向左平移6π个单位即可， 故选：B 12．C 【分析】先根据图象特征求ω和ϕ，判断①正确，得到解析式，再利用代入验证法判断②正确③错误，利用图象平移判断④正确，即得正确说法的个数. 【详解】由图象知，7ππ2π4π123T ω⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，所以2ω=，函数()()2f x x ϕ=+， 由图象过π,03⎛⎫⎪⎝⎭知，2,3k k Z πϕππ⨯+=+∈，而2πϕ<，故π3ϕ=，故①正确，()32πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.,03x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，222,,333x πππππ⎛⎫⎛⎫+∈⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝-⎭-，所以函数单调递增，②正确；512x π=时，37πsin 2sin 16x π⎛⎫+=≠± ⎪⎝⎭，所以512x π=不是对称轴，③错误；()32πin f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭向左平移12π个单位得ππ2221232πy x x x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎛⎫=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是偶函数，所以④正确.综上，说法正确的个数为3个. 故选：C. 13．4π【分析】将cos 2x 化为sin 22x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，进而通过平移得到答案.【详解】由已知可得sin 2()cos2sin 22x x x πϕ⎛⎫+==+ ⎪⎝⎭，∴222k πϕπ=+，∴,4k k πϕπ=+∈Z ，∵0ϕ>，∴ϕ的最小值是4π． 故答案为：4π. 14．1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】利用图象变换知识可得()4sin()6g x x ππ=+，结合正弦函数的图象与性质可得结果.【详解】由题意可得()4sin()6g x x ππ=+，当1,3x a ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，(),666x a πππππ⎡⎤+∈-+⎢⎥⎣⎦，又()[]2,4g x ∈-，结合正弦函数的图象可得7266a ππππ≤+≤，所以113a ≤≤.故答案为：1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦.15．4π 【分析】根据平移后的可得函数()cos(22)g x x ϕ=+，根据题意可得(0)0g =可得22k πϕπ=+，取一值即可得解. 【详解】将函数()cos 2f x x =的图象向左平移(0)ϕϕ>个单位长度， 可得()cos(22)g x x ϕ=+，由函数()g x 的图象关于原点对称， 可得(0)cos(2)0g ϕ==, 所以22k πϕπ=+，42k ππϕ=+， 当0k =时，4πϕ=.故答案为：4π 16．①②③ 【分析】由给定的函数图象求出ω和ϕ并写出()f x ，()g x 的解析式，然后对四个命题逐一分析判断作答.【详解】令函数()f x 周期为T ，观察图象得75()3244T =--=，即6T =，则23T ππω==， 又当74x =时，()f x 取得最大值，于是有72()342k k Z ππϕπ⋅+=+∈，因||2ϕπ<，则有0,12k πϕ==-，所以()sin(),()sin()31236f x A xg x A x ππππ=-=+，因33()sin[()]sin()4341236f x A x A x ππππ+=+-=+，即g (x )的图象可以由y =f (x )的图象向左平移34个单位长度得到，①正确； 由()362x k k Z ππππ+=+∈得函数()g x 图象的对称轴为13()x k k Z =+∈，于是得直线x =1是g (x )图象的一条对称轴，②正确； 由()36x k k Z πππ+=∈得13()2x k k Z =-∈，()g x 图象的对称中心为1(3,0)()2k k Z -∈，则点5(,0)2是()g x 图像的一个对称中心，③正确； 当719(,)44x ∈时，37(,)3644x ππππ+∈，所以()g x 在7(,4)4单调递减，在19(4,)4上单调递增，④错误.故答案为：①②③17．（1）()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭；递增区间为：5(,)()1212k k k Z ππππ-++∈；（2）524π. 【分析】（1）根据图象可得函数的解析式为()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再解不等式222232k x k πππππ-<-<+，即可得到答案；（2）由题意()()sin 423g x x m π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，()g x sin 4423x m π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，由()g x 是偶函数，得432m k πππ-=+，k ∈Z ，从而求得答案；【详解】 （1）由图可知：3112A -==，3122B +==，31173212122T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭， 所以2T ππω==，所以2ω=，所以()()sin 22f x x ϕ=++.由1111sin 21126f ππϕ⎛⎫⎛⎫=++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，得113262k ππϕπ+=+，k ∈Z ， 所以23k πϕπ=-，k ∈Z ，因为2πϕ<，所以3πϕ=-.所以()sin 223f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.递增区间为：5(,)()1212k k k Z ππππ-++∈.（2）由题意：()()sin 423g x x m π⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，()g x sin 4423x m π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭因为()g x 是偶函数，所以432m k πππ-=+，k ∈Z ，所以5424k m ππ=+，k ∈Z ， 因为0m >，所以当0k =时，m 的最小值为524π. 18．（1）2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）24x π=时，函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π区间上的最大值为2．【分析】（1）根据函数的最值求出A 的值，根据函数的最小正周期求出ω的值，根据函数的最值点求出ϕ的值即得解；（2）首先求出()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再根据不等式的性质和三角函数的图象和性质求出最大值及函数取最大值时相应的x 值． 【详解】解：（1）如图可知，2,4126A T πππ⎡⎤⎛⎫==⨯--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，∴22Tπω==． ∵2sin 22122πϕπϕ⎧⎛⎫⨯+= ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪<⎪⎩， ∴3πϕ=，即函数解析式为2sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）根据图象变换原则得()2sin 43g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∵0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴44,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，∴2sin 4[3x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，当432x ππ+=，即24x π=时，函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π区间上的最大值为2．19．（1）())3f x x π=+；（2）12π.【分析】(1)利用函数图象信息求出A ，周期T 而得ω，再由最小值点求出ϕ即可作答； (2)利用正余弦型函数的奇偶性列式计算即得. 【详解】（1）由图知A =函数()f x 周期为T ，则373()41264T πππ=--=，T π=，于是得22T πω==，则()()2f x x ϕ=+，由77())1212f ππϕ⋅+=7322,122k k Z ππϕπ⋅+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，而02ϕπ<<，则3πϕ=，所以函数()f x的解析式为())3f x x π=+；（2）由(1)知()()2)3x t g x f x t π=+++=为偶函数，从而有2,32t k k Z πππ+=+∈，解得,122k t k Z ππ=+∈，又(0,)2t π∈，所以12t π=.20．（1）(30,4⎤⎥⎦；（2）1483π. 【分析】（1）求出()()2sin 0f x x ωω=>的单调递增区间，根据42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩解不等式组可得答案；（2）求出()g x 的零点相邻间隔依次为3π和23π，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）由()2222k x k k Z πππωπ-≤≤+∈得()2222k k x k Z ππππωωωω-≤≤+∈，()2sin f x x ω=的单调递增区间为()22,22k k k Z ππππωωωω⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦， 若()y f x =在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以令0k =，则22x ππωω-≤≤()0ω>， 根据题意有42232ππωππω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得304ω<≤所以ω的取值范围是(30,4⎤⎥⎦.（2）由()2sin 2f x x =可得，()2sin 212sin 2163g x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由()0g x =可得1sin 232x π⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，4x k ππ∴=-或712x k k Z ππ=-∈，，即()g x 的零点相邻间隔依次为3π和23π，故若()y g x =在[],a b 上至少含有100个零点，则b a -的最小值为21484950333πππ⨯+⨯=. 21．（1）1224π7π,,33x x y ===1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；（2）()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；2π2π,2π,Z 3k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭.【分析】（1）利用五点法依次代入计算参数,,A ωϕ，即得解析式，再代入计算解得122x x y ,,即可； （2）先利用图象变换得到()g x 的解析式，再根据对数的性质得到()g x ，即解不等式π1sin 62x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，即得结果.【详解】解：（1）依题意可知，20332πωϕππωϕ⎧-+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又ππsin 32f A A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭1π()23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，故由11ππ23x +=，21π3π232x +=，解得124π7π,33x x ==，又2221π3π()232f x y x ⎛⎫+== ⎪⎝⎭= （2）函数()f x 的图象向右平移3π个单位，得到1ππ1π23326y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再将所得图象上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()π6g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭； 函数()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦中，()0g x >，即()g x 所以()π6g x x ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭π1sin 62x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭，所以ππ5π2π2π,Z 666k x k k +<+<+∈，解得2π2π2π,Z 3k x k k <<+∈， 所以()12log y g x ⎡=⎢⎣⎦的定义域为2π2π,2π,Z 3k k k ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭. 22．（1）答案见解析；（2）2ϕπ=；（3）52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z . 【分析】（1）先填表，再作出函数的图象； （2）由题得2k πϕπ=+，给k 取值即得解；（3）求出()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，再利用复合函数单调性原理和三角函数的图象求解.【详解】解：（1）函数f （x ）在[0,]π的图象如下：（2）由()2cos(2)f x x ϕ=+，因为f （x ）为奇函数，则2k πϕπ=+，又0ϕπ<<，所以2ϕπ=． （3）由（2）知()2sin 2f x x =-，向右平移6π个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标变为原来的2倍后，可得()2sin 3g x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭．由22232k x k πππππ--+，得522()66k x k k ππππ-++∈Z ． 从而可得g （x ）的单调递减区间为52,2()66k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦Z ．。
2020年高考数学一轮复习专题21函数y=Asin(wxφ)的图象及应用(含解析)
专题21函数y=Asin（wx+φ）的图象及应用最新考纲1.了解函数y＝A sin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝A sin(ωx＋φ)的图象．2.了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响．3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.基础知识融会贯通1．y＝A sin(ωx＋φ)的有关概念y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)，x∈R 振幅周期频率相位初相A T＝2πωf＝1T＝ω2πωx＋φφ2.用五点法画y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示：x 0－φωπ2－φωπ－φω3π2－φω2π－φωωx＋φ0π2π3π22πy＝A sin(ωx＋φ)0 A 0－A 03.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种途径【知识拓展】1．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移φω个单位长度而非φ个单位长度．3．函数y＝A sin(ωx＋φ)的对称轴由ωx＋φ＝kπ＋π2，k∈Z确定；对称中心由ωx＋φ＝kπ，k∈Z确定其横坐标．重点难点突破【题型一】函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及变换【典型例题】已知向量（cos x ，），（sin x，cos2x），x∈R，设函数f（x）•．（1）求f（x）的表达式并完成下面的表格和画出f（x）在[0，π]范围内的大致图象；0 πx0 πf（x）（2）若方程f（x）﹣m＝0在[0，π]上有两个根α、β，求m的取值范围及α+β的值．【解答】解：（1）f（x ）sin2x cos2x＝sin（2x），0 πx 0 πf（x）0 1 0 ﹣1 如图示：（2）由图可知m∈（﹣1，）∪（，1），或，∴或．【再练一题】将函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y＝f（x）的图象，则（）A．y＝f（x）的图象关于直线对称B．f（x）的最小正周期为C．y＝f（x）的图象关于点对称D．f（x）在单调递增【解答】解：函数y＝sin2x的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，可得：y＝sin x，即f（x）＝sin x．根据正弦函数的图象及性质：可知：对称轴x，∴A不对．周期T＝2π，∴B不对．对称中心坐标为：（kπ，0），∴C不对．单调递增区间为[]，k∈Z，∴f（x）在单调递增．故选：D．思维升华 (1)y＝A sin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标．(2)由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【题型二】由图象确定y＝A sin(ωx＋φ)的解析式【典型例题】函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则f（π）＝（）A．1 B．C．D．2【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得：T•，解得：ω＝2，由于点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ，k∈Z，解得：φ＝2kπ，k∈Z，由于：0＜φ＜π，可得：φ，即y＝2sin（2x），可得：f（π）＝2sin（2π）＝1．故选：A．【再练一题】函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示．则函数f（x）的单调递增区间为（）A．B．C．D．【解答】解：根据函数y＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象，可得：T•，解得：ω＝2，由于点（，2）在函数图象上，可得：2sin（2φ）＝2，可得：2φ＝2kπ，k∈Z，解得：φ＝2kπ，k∈Z，由于：0＜φ＜π，可得：φ，即y＝2sin（2x），令2kπ2x2kπ，k∈Z，解得：kπx≤kπ，k∈Z，可得：则函数f（x）的单调递增区间为：[kπ，kπ]，k∈Z．故选：C．思维升华y＝A sin(ωx＋φ)中φ的确定方法(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．【题型三】三角函数图象性质的应用命题点1 三角函数模型【典型例题】如图，扇形OAB的半径为1，圆心角为，若P为弧上异于A，B的点，且PQ⊥OB交OB于Q点，当△POQ 的面积大于时，∠POQ的大小范围为．【解答】解：设∠POQ＝θ，则PQ＝sinθ，OQ＝cosθ，（0＜θ）．∴，由，得sin2θ，又2θ∈（0，π），∴2θ，则θ．∴∠POQ的大小范围为．故答案为：．【再练一题】海上一艘轮船以60nmile/h的速度向正东方向航行，在A处测得小岛C在北偏西30°的方向上，小岛D在北偏东30°的方向上，航行20min后到达B处测得小岛C在北偏西60°的方向上，小岛D在北偏西15°的方向上，则两个小岛间的距离CD＝nmile【解答】解：∵△ABC中，由题意可得：∠CAB＝120°，∠BAC＝30°，AB＝6020，∴由正弦定理，∴BC20，∵在△ABD中，由于∠DAB＝60°，∠ADB＝45°，由正弦定理可得：，可得：BD10，∴△BCD中，由余弦定理可得CD2＝（10）2+（20）2﹣2×1020cos45°，∴解得：CD＝10．即目标C、D之间的距离为10．故答案为：10．命题点2 函数零点(方程根)问题【典型例题】已知函数f（x）＝2sin（ωx）sin（ωx）（ω＞0），若函数g（x）＝f（x）在[0，]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（）A．[2，）B．（2，）C．[）D．（）【解答】解：f（x）＝2sin（ωx）sin（ωx）＝2sin（ωx）sin（ωx）＝﹣2cos（ωx）sin（ωx）＝﹣sin（2ωx），由g（x）＝f（x）0得f（x），即﹣sin（2ωx），得sin（2ωx），∵0≤x，∴0≤2ωx≤πω，则2ωxπω，∵sin，∴要使sin（2ωx），在0≤x上有三个根，∴2π≤ωπ4π，得2π≤ωπ，即2≤ω，即ω的取值范围是[2，），故选：A．【再练一题】已知函数，若函数F（x）＝f（x）﹣3的所有零点依次记为x1，x2，x3，…，x n，且x1＜x2＜x3＜…＜x n，则x1+2x2+2x3+…+2x n﹣1+x n＝（）A．B．445πC．455πD．【解答】解：函数，令2x kπ得x，k∈Z，即f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．∵f（x）的最小正周期为T＝π，0≤x，当k＝0时，可得第一根对称轴x，当k＝30时，可得x，∴f（x）在[0，]上有30条对称轴，根据正弦函数的性质可知：函数与y＝3的交点有30个点，即x1，x2关于对称，x2，x3关于对称，…，即x1+x22，x2+x32，…，x30+x31＝2将以上各式相加得：x1+2x2+2x3+...+2x28+2x29+2x30+x31＝2（）＝（2+5+8+ (89)455π故选：C．命题点3 三角函数图象性质的综合【典型例题】已知函数（ω＞0），且，当ω取最小值时，以下命题中假命题是（）A．函数f（x）的图象关于直线对称B．是函数f（x）的一个零点C．函数f（x）的图象可由的图象向左平移个单位得到D．函数f（x）在上是增函数【解答】解：f（x）sinωx cosωx+cosωx sinωx cosωx sin（ωx），∵f（）sin（π）＝0，∴πkπ，∴ω＝3k﹣1，k∈Z．∵ω＞0，∴ω的最小值为2．此时f（x）sin（2x）．∵f（）sin，∴当x时，f（x）取得最大值，故A正确；∵f（）＝0，∴x是f（x）的零点，故B正确；∵f（x）sin[2（x）]，∴f（x）的图象由g（x）的图象向右平移个单位得到，故C错误；∵f（x）的周期为T＝π，区间长度为，且当x时，f（x）取得最大值，∴f（x）在上是增函数，故D正确．故选：C．【再练一题】函数，若，且函数f（x）的图象关于直线对称，则以下结论正确的是（）A．函数f（x）的最小正周期为B．函数f（x）的图象关于点对称C．函数f（x）在区间上是增函数D．由y＝2cos2x的图象向右平移个单位长度可以得到函数f（x）的图象【解答】解：函数，∵，即2sinφ，∵φ∴φ又∵函数f（x）的图象关于直线对称，∴，k∈Z．可得ω＝12k﹣10，∵0＜ω＜12．∴ω＝2．∴f（x）的解析式为：f（x）＝2sin（2x）．最小正周期T，∴A不对．当x时，可得y≠0，∴B不对．令2x，可得，∴C不对．函数y ＝2cos2x 的图象向右平移个单位，可得2cos2（x ）＝2cos （2x ）＝2sin（2x ）＝2sin （2x ）．∴D 项正确．故选：D ．思维升华 (1)三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题． (2)方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数．(3)研究y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质时可将ωx ＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题．基础知识训练1．【山东省日照市2019届高三5月校际联合考试】将函数的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 由题意，将函数的图象向右平移6π个单位长度， 可得的图象.故选：C ．2．【辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟】已知函数的两个相邻的对称轴之间的距离为2π，为了得到函数的图象，只需将()y f x =的图象（ ）A ．向左平移6π个单位长度 B ．向右平移6π个单位长度C ．向左平移12π个单位长度 D ．向右平移12π个单位长度 【答案】D 【解析】 因为函数的两个相邻的对称轴之间的距离为2π， 所以()f x 的最小正周期为T π=，因此22Tπω==， 所以，因此，为了得到函数的图象，只需将的图象向右平移12π个单位长度. 故选D3．【安徽省合肥市2019届高三第三次教学质量检测】为了得到函数sin y x =的图像，只需将函数的图像（ ）A ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向右平移6π个单位 B ．横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，再向左平移6π个单位 C ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向右平移6π个单位D ．横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再向左平移6π个单位【答案】A 【解析】 把函数的图像上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变得到函数，再将函数的图像上所有点向右平移6π个单位得到函数sin y x =。
第06讲 函数y=Asin(wx ψ)的图象及其应用解析版)-2024年高考数学一轮(新教材新高考)
第06讲函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用(精讲+精练）目录第一部分：知识点精准记忆第二部分：课前自我评估测试第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换高频考点二：根据图象确定函数sin()y A x ωϕ=+的解析式高频考点三：五点法作图高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用角度2：函数的零点（方程的根）的问题角度3：三角函数模型第四部分：高考真题感悟第五部分：第06讲函数sin()y A x ωϕ=+的图象及其应用（精练）第一部分：知识点精准记忆1、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)在正弦函数sin y x =,[0,2]x π∈的图象上,五个关键点是:(0,0)(,1)2π(,0)π3(,1)2π-(2,0)π(2)在余弦函数cos y x =,[0,2]x π∈的图象上,五个关键点是:(0,1)(,0)2π(,1)π-3(,0)2π(2,1)π2、由sin y x =的图象变换得到sin()y A x ωϕ=+(0A >，0ω>)的图象的两种方法(1)先平移后伸缩(2)先伸缩后平移第二部分：课前自我评估测试1．（2022·全国·模拟预测）将函数()()4sin 023f x x πωω⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度后得到的函数图像关于原点对称，则函数()f x 图像的一条对称轴的方程是（）A ．2x π=B ．x π=C ．52x π=D ．134x π=【答案】D 【详解】将函数()4sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度后得到4sin 32y x ππωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图像，则由题知32k ππωπ-=，k ∈Z ，解得223k ω=-，k ∈Z ．又02ω<<，故23ω=，所以()24sin 33πf x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．令()112332x k k πππ+=+∈Z ，解得()11324x k k ππ=+∈Z ，当10k =时，解得4x π=，当11k =时，解得74x π=，当12k =时，解得134x π=，A 、B 、C 错误，D 正确.故选：D ．2．（2022·北京通州·模拟预测）将函数cos 22y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后，所得图象对应的函数为（）A ．sin 2y x =B ．sin 2y x =-C ．cos 2y x =D ．cos 2xy =-【答案】A 【详解】将函数cos 22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度后，所得图象对应的函数为cos 2cos 2sin 2222y x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：A.3．（2022·吉林吉林·模拟预测（文））将函数()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位后得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在[]0,π上的零点个数为()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【详解】()sin 2f x x =的图象向左平移6π个单位可得()ππsin 2sin 263g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，[]0,πx ∈，则ππ7π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，正弦函数y =sin t 在π7π,33t ⎡⎤∈⎢⎣⎦上有2个零点，故g (x )在[]0,π上有2个零点．故选：B ．4．（2022·北京师大附中高一期中）要得到函数2sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2sin 2y x =的图象（）A ．向左平移3π个单位B ．向右移3π个单位C ．向左平移6π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】D 【详解】由题设2sin 22sin 2()36y x x ππ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，所以只需把函数2sin 2y x =的图象向右平移6π个单位.故选：D5．（2022·陕西·榆林市第一中学高一期中（文））若函数()()πcos 20,02f x A x A ϕϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则()πf =（）A ．0B ．12C ．2D 【答案】D因为π,08⎛⎫⎪⎝⎭为五点作图法的第2点，所以ππ2π42k ϕ+=+，k ∈Z ．因为π02ϕ<<，所以π4ϕ=，又函数图象过点(，所以cos 4A π=2A =．所以()π2cos 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即()ππ2cos 4f ==．故选：D .第三部分：典型例题剖析高频考点一：函数sin()y A x ωϕ=+的图象变换例题1．（2022·河南·模拟预测（文））由函数sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则这个变换过程为（）A．向左平移π8个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）B．向左平移π4个单位长度，把所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变）C．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π4个单位长度D．把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），向左平移π8个单位长度【答案】A 【详解】sin 2y x =的图象经过图象变换得到函数πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象,可先平移后伸缩：将函数图象向左平移π8个单位长度得ππsin 2()sin(284y x x =+=+，再将所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），即可得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象；先伸缩后平移：把所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到1sin 2sin 2y x x =⨯=，再将图象左移π4个单位，得到πsin 4y x ⎛⎫=+ ⎝⎭的图象.故选：A例题2．（2022·河南许昌·三模（文））要得到函数2cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，只需把函数2cos 2y x =的图像上所有的点（）A．向右平移12π个单位长度B．向左平移12π个单位长度C．向右平移3π个单位长度D．向左平移6π个单位长度【答案】B【详解】把函数2cos 2y x =上所有的点向左平移12π个单位长度可得：2cos 22cos 2126y x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.故选：B.例题3．（2022·陕西·二模（理））要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x=的图象（）A．向左平移12π个单位长度B．向左平移512π个单位长度C．向右平移12π个单位长度D．向右平移512π个单位长度【答案】B 【详解】因为函数sin 2cos 2cos224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，5cos 2cos 2cos 236412y x x x ππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以要得到函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2y x =的图象向左平移512π个单位长度.故选：B.例题4．（2022·江西上饶·二模（理））为得到函数()2cos 23g x x π=-⎛⎫ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数()2sin 26f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图像（）A．向左平移4π个单位B．向左平移2π个单位C．向右平移4π个单位D．向右平移2π个单位【答案】D 【详解】对于A ，()f x 向左平移4π个单位得：2sin 22cos 24266f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-++=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，A 错误；对于B ，()f x 向左平移2π个单位得：2sin 226f x x πππ⎛⎫⎛⎫+=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22cos 22cos 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-+-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，B 错误；对于C ，()f x 向右平移4π个单位得：2sin 22cos 24266f x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 错误；对于D ，()f x 向右平移2π个单位得：2sin 226f x x πππ⎛⎫⎛⎫-=--+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2sin 22cos 22cos 26623x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，D 正确.故选：D.题型归类练1．（2022·安徽·高一期中）要得到πsin 23x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，只需将函数sin 2x y =的图象（）A ．向左平移π3个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移2π3个单位长度D ．向右平移2π3个单位长度【答案】D解：将sin 2x y =向右平移2π3个单位长度得到12ππsin sin 2323x y x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦．故选：D ．2．（2022·北京八中高一期中）要得到cos 2y x =的图象，只要将sin 2y x =的图象（）A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位【答案】C 【详解】解：因为sin 2cos 2cos224y x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以要得到cos 2y x =的图象，只要将sin 2y x =的图象向左平移4π个单位，故选：C.3．（2022·湖北·高一期中）要得到函数24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需将函数y x 的图象上所有的点的（）A ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向左平行移动8π个单位长度B ．横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度C ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度D ．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度【答案】B 【详解】由y x =可得2y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，把曲线2y x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的上的点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，则可得到22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再将该图象向右平移8π个单位，则可得24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，故B 正确.故选：B.4．（2022·全国·高三专题练习）要得到()sin 3y x =-的图象，需将()cos 3sin 32y x x =-的图象（）A ．向右平移π4个单位B ．向左平移π4个单位C ．向右平移π12个单位D ．向左平移π12个单位【答案】D 【详解】()πππcos3sin 3sin cos3cos sin 3sin 32444y x x x x x ⎛⎫=-=-=- ⎪⎝⎭πsin 312x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，由πsin 312y x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦向左平移π12得到()sin 3y x =-.故选：D高频考点二：根据图象确定函数sin()y A x ωϕ=+的解析式例题1．（2022·河南洛阳·一模（理））已知函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭在[],ππ-上的图象如图所示，现将其图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()g x 的图象，则()g x =（）A．2sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭B．32sin 43x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭C．32sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭D．82sin 33x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭【答案】A 【详解】根据变换可得209g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，对A ，22sin 3sin 0093ππ⎡⎤⎛⎫⨯-+== ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故A 符合；对B ，322sin sin 04932πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故B 不符合；对C ，322sin sin 02933πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 不符合；对D ，8222sin sin 039327πππ⎡⎤⎛⎫⨯-+=≠ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故D 不符合.故只有A 正确；故选：A.例题2．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知函数()()cos 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象大致如图所示．将函数()2236g x f x f x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的图象向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为偶函数，则θ=（）A．6πB．3πC．8πD．12π【答案】C 【详解】由图可知，1A =，22436πππω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，可得1ω=，又由五点画图法有106πϕ⨯+=，可得6πϕ=-，可得()cos 6f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()cos 2cos 2sin 2cos 22236664g x x x x x x πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++-=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，函数()g x 向左平移02πθθ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位后，所得函数为()()2222244h x x x ππθθ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，由奇偶性及02πθ<<，可得242θππ+=，可得8θπ=．故选：C例题3．（2022·全国·高三专题练习）函数()2sin()(0,||)2f x x πωϕωϕ=+><的部分图象如图所示，若12,(,)63x x ππ∈-，且()()12f x f x =，则()12f x x +=________．3【详解】由题意知，函数()=2sin()f x x ωϕ+中，周期2[()]36T πππ=--=，所以22T πω==，又函数图象过点(0)6π-，，即2()26k k Z πϕπ⨯-+=∈，，得23k k Z πϕπ=+∈，，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以()=2sin(2)3f x x π+；由2sin(2)23x π+=，得图象的最高点坐标为(2)12π，，因为12()63x x ππ∈-、，且12()()f x f x =，所以12=2126x x ππ+⨯=，故12)=2sin(263f x x ππ⎛⎫+⨯+= ⎪⎝⎭题型归类练1．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（其中0A >，0>ω，π2ϕ<的部分图象如图所示；将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，再向左平移π4个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 在（）上单调递减．A ．[]6π,5π--B ．[]2π,4πC ．[]4π,6πD ．[]4π,3π--【答案】D 【详解】根据函数()()cos f x A x ωϕ=+的图象，可得2A =，311ππ3π41264T =-=，则2ππT ω==，则2ω=，故()()2cos 2f x x ϕ=+；由π26f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，可得()π2π3k k Z ϕ+=∈，解得()π2π3k k Z ϕ=-+∈，因为π2ϕ<，可得π3ϕ=-，所以()π2cos 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将函数()f x 图象的横坐标伸长到原来的6倍后，得到1π2cos 33y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，再向左平移π4个单位后，得到()1π2cos 34g x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，令1π2ππ2π,34k x k k Z ≤-≤+∈，解得3π15π6π6π,44k x k k Z +≤≤+∈，令1ππ2π2π,34k x k k Z -+≤-≤∈，解得9π3π6π6π,44k x k k Z -+≤≤+∈，所以函数()g x 单调递增区间为9π3π[6π,6π],44k k k Z -++∈，单调递减区间为3π15π[6π,6π],44k k k Z ++∈，所以函数()g x 在[]6π,5π--上先增后减，在[]2π,4π上先减后增，在[]4π,6π上单调递增，在[]4π,3π--上单调递减.故选：D ．2．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()sin()0,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()f x 的图象关于点,03π⎛-⎫⎪⎝⎭对称B ．()f x 的图象向右平移6π个单位后得到sin2y x =的图象C ．()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦的最小值为D ．6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数【答案】D【详解】由图象知1(0)sin 2f ϕ==，又02πϕ<<，故6π=ϕ；再由图象知213f π⎛⎫=-⎪⎝⎭且2433T ππ<<，故23362πωππ+=，解得2ω=，即()sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于A ：由13f π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭知A 选项错误；又()f x 的图象向右平移6π个单位后得到的函数为sin 2sin 266f x x x ππ⎛⎫⎛⎫-=-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 选项错误；当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎣⎦，所以()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为122f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故C 错误.由sin 2cos 262f x x x ππ⎛⎫⎛⎫+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，6f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为偶函数，故D 选项正确.故选：D3．（2022·天津·二模）如图所示的曲线为函数()()cos f x A x ωϕ=-（0A >，0>ω，2πϕ<）的部分图象，将()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32，再将所得曲线向右平移8π个单位长度，得到函数()y g x =的图象，则（）A ．函数()g x 在513,2424⎡⎤⎢⎥⎣⎦ππ上单调递减B ．点3,08π⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 图象的一个对称中心C ．直线2x π=为()g x 图象的一条对称轴D ．函数()g x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】D 【详解】由图象知2A =，又2563212πππ+=，所以()f x 的一个最低点为5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭，而()f x 的最小正周期为22033T ππ=-=，所以23Tπω==又2cos 35512122f ππϕ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝= ⎪⎭⎛⎫⎝⎭，则2os 315c 1ϕπ⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭，所以()524k k Z ϕπππ-=+∈,即()24k k Z πϕπ=-∈，又2πϕ<，所以4πϕ=，所以()2cos 34⎛⎫=- ⎪⎝⎭f x x π，将函数()y f x =图象上的所有点的横坐标伸长到原来的32得2cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，再把所得曲线向右平移8π个单位长度得2cos 22sin 22⎛⎫=-= ⎪⎝⎭y x x π，即()2sin 2g x x =.由()2222k x k k Z ππππ-+≤≤+∈得()44k x k k Z ππππ-+≤≤+∈，所以()g x 在,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递增，在3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上单调递减，当513,2424x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，可知()g x 在5,244ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递增，在13,424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦递减，所以A 错误；因为3332sin 22sin 884g πππ⎛⎫=⨯=⎪⎝⎭所以3,08π⎛⎫⎪⎝⎭不是()g x 图象的一个对称中心，故B 错误；因为2sin 2s 0222in g πππ⎛⎫=⨯== ⎪⎝⎭，所以直线2x π=不是()g x 图象的一条对称轴，故C 错误；因为()g x 在35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以函数()g x 在3,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，故D 正确；故选：D .4．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A ．函数()f x 的图象关于直线3x π=对称B ．函数()f x 的图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．若方程()2f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数1,m ⎛∈- ⎝⎦D ．将函数()f x 的图象向左平移6π个单位可得到一个偶函数【答案】C 【详解】根据函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象，可得2A =，124312πππω⋅=-，∴2ω=.再根据五点法作图，可得23πϕπ⋅+=，∴3πϕ=，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.排除A ；排除B ；在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上，22,333x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，方程()2f x m =在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则实数1,2m ⎛∈-- ⎝⎦，故C 正确；将函数()f x 的图象向左平移6π个单位，可得22sin 2sin 233y x x ππ⎛⎫=++=- ⎪⎝⎭的图象，故所得函数为奇函数，故D 错误；故选C.5．（2022·广西·柳州市第三中学高二阶段练习（文））已知函数()2sin()(0,)g x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，将函数()g x 的图象向右平移6π个单位长度，得到函数()f x 的图象，则3512f π⎛⎫= ⎪⎝⎭__________.【答案】1【详解】由题图可知，周期T π=，22Tπω==，所以()2sin(2)()g x x ϕϕπ=+<，因为5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭在()g x 的图象上，所以52sin 26πϕ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以532,62k k Z ππϕπ+=+∈，得22,3k k Z πϕπ=+∈，因为ϕπ<，所以23ϕπ=，所以2g()2sin 23x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以2()2sin22sin 26633f x g x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故35352sin 22sin 611212363f ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯=-+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故答案为：1高频考点三：五点法作图例题1．（2022·江西·南昌十五中高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数()()()sin 0,0f x A x ωϕωϕπ=+><<在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x ωϕ+02ππ32π2πx1-5()sin A x ωϕ+0202-0(1)请将表中数据补充完整，并直接写出函数()f x 的解析式；(2)将()f x 的图象向右平行移动()0θθ>个单位，得到()g x 的图象.若()y g x =图象的一个对称中心为()3,0，求θ的最小值.【答案】(1)22sin()63y x ππ=+(2)1(1)由题意可得：x ωϕ+02ππ32π2πx-41-258()sin A x ωϕ+022-022sin()63y x ππ=+;(2)由题意得：2()2sin[()63g x x ππθ=-+，则由()y g x =图象的一个对称中心为()3,0得：2(3),Z 63k k ππθπ-+=∈，即=76,Z k k θ-∈，则当1k =时θ的最小值为1.例题2．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高一阶段练习）已知函数()3sin()326x f x π=++，()x R ∈．(1)用五点法画出它在一个周期内的闭区间上的图象；(2)求函数()f x 的单调递减区间；(3)说明此函数图象可由sin y x =的图象经怎样的变换得到.【答案】(1)图像见解析；(2)284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦(3)见解析.(1)列表如下图所示：x3π-23π53π83π113π26x π+02ππ32π2π()f x 3633图像如下：(2)由正弦函数的单调性得：322,2262x k k k Z πππππ+≤+≤∈，解得2844,33k x k k Z ππππ+≤≤+∈，故单减区间为：284,4,33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦.(3)把sin y x =的图像向左移动6π个单位，再把各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把各点的纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变；再把图像向上平移3个单位即可.题型归类练1．（2022·上海·华东师范大学附属天山学校高一期中）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x23π-3π103πx ωϕ+02ππ32π2πsin x ωϕ+010-10()f x 03(1)请填写上表的空格处；画出函数在此周期内的图像，并写出函数()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程()0f x m -=在区间[],ππ-上有解，求实数m 的取值范围？(3)将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，若函数()y g x ω=在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恰有．．10条对称轴，求ω的取值范围？【答案】(1)表和图像见解析，()123f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)2m ⎡∈-⎢⎣(3)3842ω≤<(1)解：由表得：1022433T ππππω⎛⎫=--== ⎪⎝⎭，则12ω=，A =，则()12f x x ϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将点3π⎛ ⎝6πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭所以3πϕ=，所以()123f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；(2)解：当[],x ππ∈-时，15,2366x πππ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，则11sin ,1232x π⎛⎫⎡⎤+∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x ⎡∈⎢⎣，因为关于x 的方程()0f x m -=在区间[],ππ-上有解，所以m ⎡∈⎢⎣；(3)解：将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，得到函数12y x =，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x x =，则()g x x ωω=，由0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，得0,4x πωω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，因为函数()y g x ω=在区间0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上恰有．．10条对称轴，所以1921242πππω≤<，解得3842ω≤<.2．（2022·上海市青浦高级中学高一阶段练习）某同学用“五点法”画函数()()sin 0,2f x A x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭在某一周期内的图像时，列表并填入的部分数据如下表：x23π-3π103πx ωϕ+02ππ32π2π()sin x ωϕ+01-1(2)写出函数()f x 的解析式，将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，再所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，求()g x 的解析式．(3)在（2）的条件下，若()()()21F x g x g x =⋅-在(0,2021)x π∈上恰有奇数个零点，求实数a 与零点个数n 的值．【答案】(1)答案见解析(2)()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭；()g x x=(3)2a =-，()F x 在()0,2021π共有3031个不同的零点(1)根据表中的数据可得20332πωϕππωϕ⎧-⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，解得123ωπϕ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故2312313232x x ππππ⎧⨯+=⎪⎪⎨⎪⨯+=⎪⎩，所以234373x x ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，又A =()21y =-=所以完善表如下：()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.函数图像如图：(2)由（1）知：()23x f x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，将函数()f x 的图像向右平移23π个单位，所得图像的解析式为：2332x x y ππ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，再将所得图像上各点的横坐标缩小为原来的12，纵坐标不变，得到函数()g x 的图像，故()g x x =.(3)()23sin sin 1F x x a x =+⋅-，()F x 的周期为2T π=，当(]0,2x π∈时，令sin t x =，考虑方程2310t at +-=的根情况，因为2120a ∆=+>，故2310t at +-=在R 必有两个不同的实数根1212,,t t t t t t ==<，因为()F x 在()0,2021π有奇数个零点，故[]11,1t ∈-或[]21,1t ∈-.若1211t t -<<<，则方程1sin t x =、2sin t x =在(]0,2π共有4个不同的实数根，在()0,π有0个实数根或2个实数根，故()0F x =在()0,2021π有20211440402-⨯=个根或202114240422-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.若()[]121,1,1,1t t ∈-∉-，则1sin t x =在(]0,2π共有2个不同的实数根，在()0,π有0个实数根或2个实数根，故()0F x =在()0,2021π有20211220202-⨯=个根或20211222020220222-⨯+=+=，与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去.同理[]()121,1,1,1t t ∉-∈-也不成立，所以11t =-或21t =，若11t =-，则2a =，此时2310t at +-=的根为211,13t t ==-，方程1sin 3x =、1sin x -=在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x =有两个不同的根，1sin x -=无解，所以()0F x =在()0,2021π有202113230322-⨯+=个根，与()F x 有奇数个零点矛盾，舍去；若21t =，则2a =-，方程2310t at +-=的根121,13t t =-=，方程1sin 3x -=、1sin x =在(]0,2π共有3个不同的实数根，而在()0,π上，1sin 3x -=无解，1sin x =有一个根，所以故()0F x =在()0,2021π有202113130312-⨯+=个根，符合题意.综上，2a =-，()F x 在()0,2021π共有3031个不同的零点.3．（2022·陕西·西安市临潼区铁路中学高一阶段练习）已知函数()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(1)其振幅为______，最小正周期为______，初相为_____；(2)列表并作出函数f (x )在长度为一个周期闭区间上的简图；(3)说明这个函数图像可由y ＝sin x 的图像经过怎样的变换得到.【答案】(1)振幅为2；最小正周期为4π；初相为6π(2)见解析；(3)先向左平移6π个单位；再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到.(1)由()2sin 26x x f π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可知，振幅为2；最小正周期为2412ππ=；初相为6π；(2)列表如下：x3π-23π53π83π113π26x π+02ππ32π2π()f x 022-0图像如下：(3)可以由y ＝sin x 的图像向左平移6π个单位；再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变；再把每一点的纵坐标变为原来的2倍，横坐标不变得到.高频考点四：三角函数图象、性质的综合应用角度1：图象与性质的综合应用例题1．（2022·四川遂宁·模拟预测（理））已知函数()sin()(0,0,π)f x A x A ϕωϕω=+>><的部分图象如图所示，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（）A．()g x 的最小正周期为π3B．()g x 在区间ππ,93⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增C．()g x 的图象关于直线x ＝4π9对称D．()g x 的图象关于点π(,0)9中心对称【答案】C由函数图象知，5πππ2,()212122T A ==--=，所以2ππ,2T T ω===，所以()2sin(2)f x x ϕ=+，因为函数图象过点5π(,2)12-，所以5π2sin(2)212ϕ⨯+=-，则5π3π2π,62k k Z ϕ+=+∈，解得2π2π,3k k Z ϕ=+∈，又π<ϕ，所以2π3ϕ=，所以2π()2sin(2)3f x x =+，将函数()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的23，得到2π()2sin(33f x x =+，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移π6个单位长度，得到π()2sin(36g x x =+，()g x 的最小正周期2π3T =，故A 错误；当ππ[,93x ∈时，ππ7π3[,]626x +∈，此时()g x 单调递减，故B 错误；令ππ3π,62x k k Z +=+∈，则ππ,39k x k Z =+∈，当1k =时，4π9x =，故C 正确；因为ππ2sin(3)296⨯+=，故D 错误．故选：C.例题2．（多选）（2022·黑龙江·双鸭山一中高一期中）函数()sin()f x A x ωϕ=+，π0,0,||2A ωϕ⎛⎫>>< ⎪⎝⎭部分图象如图所示，下列说法不正确是（）A．()f x 的图象关于直线2π3x =对称B．()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C．将函数2cos 2y x x =-的图象向左平移π2个单位得到函数()f x 的图象D．若方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-【答案】BD从图象可以看出，2A =，ππ13124T -=，因为0>ω，所以2ππω=，解得：2ω=，将π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入解析式，π2sin()26ϕ+=，其中π||2ϕ<，解得：π3ϕ=，所以π()2sin(2)3f x x =+，当2π3x =时，5π()2sin3f x ==故2π3x =不是π()2sin(2)3f x x =+的对称轴，A 错误；从图象可以看出()f x 的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称，B 正确；π2cos 22sin 26y x x x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π2个单位后得到π5π2sin 2π2sin 266y x x ⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 错误；π,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则π2ππ2,333x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，π()2sin(2)3f x x =+值域为⎡-⎣，且在π5π,212⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5π,012⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增，画出函数y =2sin x 对应图象如下：显然方程()f x m =在π,02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是(2,-，D 正确；故选：B角度1题型归类练1．（2022·安徽淮南·二模（理））函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中π0,0,||2A ωϕ>><）的图象如图所示，下列4个命题中错误．．的是（）A ．向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称B ．向右平移6π个单位长度后的图象关于坐标原点对称C ．π,03⎛⎫⎪⎝⎭是它的一个对称中心D ．单调递减区间是π7π2π,2π(Z)1212k k k ⎛⎫++∈ ⎪⎝⎭【答案】D根据图象可知1A =，()ππ0sin ,223f ϕϕϕ==<=，()π7π7ππsin ,sin 1312123f x x f ωω⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=⋅+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，7ππ3π242π,2,Z,012327k k k ωωω⋅+=+=+∈>，根据()f x 的图象可知37π7π2π7π18,,,412997T T ωω>>><，所以2ω=，()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.A 选项，根据()f x 图象可知，()f x 关于直线7π12x =对称，所以()f x 向左平移7π12个单位长度后图象关于y 轴对称，A 选项命题正确.B 选项，()f x 向右平移6π个单位长度后得ππsin 2sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，图象关于原点对称，B 选项命题正确.C 选项，π2ππsin 0333f ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以π,03⎛⎫ ⎪⎝⎭是()f x 的一个对称中心，C 选项命题正确.D 选项，ππ3ππ7π2π22π,ππ2321212k x k k x k +≤+≤++≤≤+，所以()f x 的减区间为π7ππ,π,Z 1212k k k ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，D 选项命题错误.故选：D2．（2022·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（文））已知函数()()sin 0,0,2πf x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位，得到()y g x =的图象，则下列有关()f x 与()g x 的描述正确的有______．（填序号）①方程()()3π60,2f x g x x ⎫⎛⎫+=∈ ⎪⎪⎝⎭⎭所有根的和为7π12；②不等式()()3g x f x ≥ππ5ππ,3262k k ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ③函数()y f x =与函数()y g x =图象关于7π24x =对称．【答案】③由图象可知：2A =，111212T πππ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭，2ω∴=；又2sin 0126f ππϕ⎛⎫⎛⎫-=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由五点法可知：06πϕ-+=，解得：6π=ϕ；()2sin 26f x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭，()2sin 22sin 24463g x f x x x ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦对于①，()()ππ2sin 22sin 263y f x g x x x ⎛⎫⎛⎫=+=++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭πππ2cos 22sin 222sin 23312x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由π22612x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得π3sin 2122x ⎛⎫- ⎪⎝⎭30π2x <<，所以ππ35π2121212x -<-<，所以5π24x =或3π8x =或29π24x =或11π8x =，所以在给定范围内方程根的和为19π6，故①错误；对于②，()()ππ2sin 2sin 2π33tan 23ππ32sin 2cos 263x x g x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭===-≥ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππππ2π332k x k +≤-<+，k ∈Z ，解得ππ5ππ,32122k k x ⎡⎫∈++⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，故②错误；对于③，因为()7π7ππ4ππ2sin 22sin 22sin 2126633f x x x x g x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-=-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()y f x =与()y g x =图象关于7π24x =对称，故③正确．故答案为：③3．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求函数()f x 的解析式；(2)将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，求函数()g x ≥.【答案】(1)()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)[,6k k k Zπππ+∈(1)解：由函数()f x 图象，可得2A =，3734632T πππ=+=，所以2T π=，因为0>ω，可得21Tπω==，所以()()2sin f x x ϕ=+，又因为()f x 图象过点7,26π⎛⎫-⎪⎝⎭，可得72sin()26πϕ+=-，即7sin()16πϕ+=-，所以732,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，又由02πϕ<<，所以3πϕ=，所以函数()f x 的解折式为()2sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭.(2)解：将()f x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，得到()2sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由()g x ≥sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭2222333k x k πππππ+≤+≤+，所以,6k x k k Z πππ≤≤+∈，即不等式()g x ≥[,],6k k k Z πππ+∈.角度2：函数的零点（方程的根）的问题例题1．（2022·山东·日照青山学校高一期中）已知函数()2sin f x x =，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度，再把所有点的横坐标缩小为原来的12（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象.(1)求函数()g x 的解析式及单调递增区间；(2)方程()25g x =在17,612ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上的根从小到大依次为123,,x x x ，求1232x x x ++的值.【答案】(1)()2sin 23g x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)123823x x x π++=(1)2sin 33f x x ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，()2sin 23g x x π⎛⎫∴=- ⎝⎭；令()222232k x k k πππππ-+≤-≤+∈Z ，解得：()51212k x k k ππππ-+≤≤+∈Z ，()f x ∴的单调递增区间为()5,1212k k k ππππ-++⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦Z (2)令()22sin 235g x x π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，即1sin 235x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；17,612x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，520,32x ππ⎡⎤∴-∈⎢⎥⎣⎦，设23x πθ=-，其中50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即1sin 5θ=，结合正弦函数5sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭的图象可知：方程1sin 5θ=在50,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦有3个解123,,θθθ，其中12θθπ+=，233θθπ+=；即122233x x πππ-+-=，2322333x x πππ-+-=，1256x x π∴+=，23116x x π+=，123823x x x π∴++=.例题2．（2022·江西·景德镇一中高一期中）已知函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻对称轴之间的距离是2π，若将()f x 的图象向右移6π个单位，所得函数()g x 为奇函数．(1)求()f x 的解析式；(2)若关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有三个解，求a 的取值范围．【答案】(1)()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(2)304a ≤<(1)解：因为图象相邻两对称轴之间的距离是2π，所以函数的最小正周期2T ππω==，解得2ω=，即()()sin 2f x x ϕ=+，因为()ππsin 2φsin 2φ63g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦为奇函数，所以3πφkπ-+=，k Z ∈，即3k πϕπ=+，k Z ∈，又因为0ϕπ<<，所以3πϕ=，()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，(2)解：因为()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以2,33x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()[]0,1f x ∈，当2332x πππ≤+≤时，解得012x π≤≤，223x πππ≤+≤时，解得123x ππ≤≤，即()f x 在0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()0sin 32f π==，sin 1122f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，sin 03f ππ⎛⎫== ⎪⎝⎭，函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦的图象如下所示：因为关于x 的方程2()()0f x f x a --=在0,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦上有三个解，令()t f x =，即20t t a --=，[]0,1t ∈，若21t =为方程20t t a --=的根，此时0a =，则10t =，不符合题意；依题意方程20t t a --=在[]0,1有两不相等实数根1t 、2t ，不妨令12t t <，且2,12t ⎫∈⎪⎪⎣⎭，1t ⎡∈⎢⎣⎭；若22t =为方程20t t a --=的根，此时34a =112t =-，此时符合题意；若2t ≠()2g t t t a =--则()()00100Δ0g g g ⎧>⎪>⎪⎪⎨<⎪⎝⎭⎪⎪>⎩，即00304Δ140a a a a ->⎧⎪->⎪⎪⎨<⎪⎪=+>⎪⎩，解得304a <<，综上可得304a -≤<；例题3．（2022·河南焦作·高一期中）已知函数()()cos f x A x ωϕ=+（0A >，0>ω，2πϕ≤）的部分图象大致如图．(1)求()f x 的单调递增区间．(2)将函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ，把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到函数()g x 的图象．若关于x 的方程()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，求实数m 的取值范围．【答案】(1)5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈(2)[)1,2(1)根据图象，可得1A =，由124312πππω⋅=-，得2ω=．所以()()cos 2f x x φ=+，由2012πϕ⨯+=，得6πϕ=-，所以()cos 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭．令2226k x k ππππ-≤-≤，Z k ∈，得51212k x k ππππ-+≤≤+，Z k ∈，所以()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，Z k ∈．(2)将函数()y f x =的图象向右平移4π个单位长度得到曲线C ：cos 2sin 2466y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，再把C 上各点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍得到()2sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象．由()0g x m -=在0,2π⎡⎤⎢⎣⎦上有两个不同的实数解，即2sin 26m x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有两个不同的实数解，因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，设26t x π=-，则5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则需直线y m =与2sin y t =的图象在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦两个不同的公共点．画出2sin y t =在5,66t ππ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时的简图如下：所以实数m 的取值范围为[)1,2．角度2题型归类练1．（2022·辽宁省康平县高级中学高一阶段练习）已知函数()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭.(1)若()()()12f x f x f x ≤≤，12min2x x π-=，求()f x 的对称中心；(2)已知05ω<<，函数()f x 图象向右平移6π个单位得到函数()g x 的图象，3x π=是()g x 的一个零点，若函数()g x 在[],m n （m ，n R ∈且m n <）上恰好有10个零点，求n m -的最小值；【答案】(1)(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z (2)139π(1)∵()2sin 216f x x πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期为22T πω=，又∵()()()12f x f x f x ≤≤，12min2x x π-=，∴()f x 的最小正周期是π，故22T ππω==，解得1ω=±，当1ω=时，()2sin 216f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ+=∈⇒=-+∈Z Z ，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z ；当1ω=-时，()2sin 216f x x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，由()()26122k x k k x k ππππ-+=∈⇒=-∈Z Z ，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z ；综上所述，()f x 的对称中心为(),1122k k ππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭Z 或(),1122k k ππ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z .(2)∵函数()f x 图象向右平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，∴()2sin 2163g x x ππωω⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭.又∵3x π=是()g x 的一个零点，22sin 103363g ππππωω⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1sin 362ππω⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，∴72366k πππωπ+=+或112366k πππωπ+=+，k ∈Z ，解得()36k k ω=+∈Z 或()56k k ω=+∈Z ，由05ω<<可得3ω=∴()52sin 616g x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，最小正周期3T π=.令()0g x =，则51sin 662x π⎛⎫-=-⎪⎝⎭即156266x k πππ-=-+或2556266x k πππ-=-+，k ∈Z ，解得139k x ππ=+或23k x π=，12,k k ∈Z ；若函数()g x 在[],m n （,m n m n ∈<R 且）上恰好有10个零点，故46T n m T <-<要使n m -最小，须m ､n 恰好为()g x 的零点，故()min 134399n m πππ-=⨯+=.2．（2022·陕西·西安中学高一期中）已知函数()sin()0,0,||2f x A x B A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示．(1)求函数()f x 的解析式；(2)将函数()y f x =的图象上所有的点向右平移12π个单位，再将所得图象上每一个点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数()y g x =的图象，若方程()0g x m -=在70,3π⎡⎤⎢⎣⎦上有三个不相等的实数根()123123,,x x x x x x <<，求m 的取值范围及()123tan 2x x x ++的值．【答案】(1)1()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭(2)53,42m ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭(1)由图示得：3111122,12222A B -⎛⎫===--= ⎪⎝⎭，又71212122T πππ=-=，所以T π=，所以22T πω==，所以1()sin(2)12f x x ϕ=++，又因为()f x 过点3,122π⎛⎫⎪⎝⎭，所以31sin 212212πϕ⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭，即πsin φ16⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2,62k k Z ππϕπ+=+∈，解得2,3k k Z πϕπ=+∈，又||2ϕπ<，所以3πϕ=，所以1()sin 2123f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭；(2)由已知得1()sin 126g x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，当70,3x π⎡⎤∈⎢⎣⎦时，5,662x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，令5,662t x πππ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，则11sin 1sin 1262x t π⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，。
第06讲 函数y=Asin(wx ψ)的图象及其应用(高频考点—精练)(原卷版)
15．（2022·全国·高一课时练习）已知函数 的部分图象如图所示，且相邻的两条对称轴之间的距离为6.
(1)求函数 的解析式；
(2)若将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变）得到函数 的图象，关于x的不等式 在 上有解，求实数t的取值范围.
16．（2022·全国·高三专题练习）已知函数
D．点 在前轮的右上位置，距离地面约为
二、多选题
9．（2022·江苏省如皋中学高三开学考试）函数 在一个周期内的图象如图所示，则（）．
A．该函数的解析式为
B．该函数图象的对称中心为 ，
C．该函数的单调递增区间是 ，
D．把函数 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，可得到该函数图象
10．（2022·江西抚州·高一期中）已知函数 的部分图象如图所示，把函数 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 倍，得到函数
C．向右平移 个长度单位D．向左平移 个长度单位
7．（2022·山西大附中高三阶段练习）阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．我国第一高楼上海中心大厦的阻尼器减震装置，被称为“镇楼神器”，如图1由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移y(m)和时间t(s)的函数关系为 ，如图2，若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为 ，且 ， ，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移大于0.5m的总时间为（）
（1）某同学利用五点法画函数 在区间 上的图象.他列出表格，并填入了部分数据，请你帮他把表格填写完整，并在坐标系中画出图象；
x
0
π
2π
0
2
0
0
（2）已知函数 .
（i）若函数 的最小正周期为 ，求 的单调递增区间；
函数y=Asin(wx+φ)的图象必考知识点综合测试题
f
x
的值域.
22．已知函数
f
x
2
sin
2x
3
,
x
R
．
（1）在给定的平面直角坐标系中，画函数
f
x
2
sin
2
x
3
, x
0,
的简图；
（2）求
f
x
2 sin
2x
3
,
x
,0 的单调增区间；
（3）函数 g x 3cos 2x 的图象只经过怎样的平移变换就可得到
f
x
2 sin
2x
3
故选：D．
【点睛】
本题考查三角函数图象平移变换，考查正弦函数的对称性，余弦函数的最值．掌握正弦函数
与余弦函数性质是解题关键．
12．B 【分析】
首先根据三角函数图象的对称性和重心的性质求得点 A 的坐标，根据周期确定 ，再根据
答案第 5页，总 17页
点 C 的坐标确定 ，确定解析式后，确定点 B, D 的坐标，结合正弦定理求△ACD 外接圆
3x
4
cos[3(
x
)]
12
，
要得到函数
y
cos
3x
4
的图象，
答案第 1页，总 17页
只需把函数
y
cos
3x
的图象上所有点向右平移
12
.
故选:D.
【点睛】
本题考查三角函数间的图像变换关系，属于基础题. 4．D 【分析】
根据左加右减的平移法则，写出新函数解析式，然后化简即可.
【详解】
6
2
2
3
f (x)
2 sin(2x
新高考数学复习知识点讲解与练习48---函数y=Asin(ωx+φ)的图象及应用
新高考数学复习知识点讲解与练习函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用知识梳理1．“五点法”作函数y＝A sin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的简图“五点法”作图的五点是在一个周期内的最高点、最低点及与x轴相交的三个点，作图时的一般步骤为：(1)定点：如下表所示．(2)作图：在坐标系中描出这五个关键点，用平滑的曲线顺次连接得到y＝A sin(ωx＋φ)在一个周期内的图象．(3)扩展：将所得图象，按周期向两侧扩展可得y＝A sin(ωx＋φ)在R上的图象．2．函数y＝A sin(ωx＋φ)中各量的物理意义当函数y＝A sin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示简谐振动时，几个相关的概念如下表：3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ωx＋φ)的图象的两种途径1．由函数y ＝sin x 的图象经过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，当先伸缩再平移时，要把x 前面的系数提取出来．2．复合形式的三角函数的单调区间的求法．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的单调区间的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体．若ω<0，要先根据诱导公式进行转化． 3．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)在x ∈[m ，n ]上的最值，可先求t ＝ωx ＋φ的范围，再结合图象得出y ＝A sin t 的值域．诊断自测1．判断下列说法的正误．(1)将函数y ＝3sin 2x 的图象左移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.()(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致．() (3)函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为T ，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为T2.()(4)由图象求解析式时，振幅A 的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的．()答案(1)×(2)×(3)√(4)√解析 (1)将函数y ＝3sin 2x 的图象向左平移π4个单位长度后所得图象的解析式是y ＝3cos2x .(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为⎪⎪⎪⎪⎪⎪φω.故当|ω|≠1时平移的长度不相等．2．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的振幅、频率和初相分别为()A ．2，1π，－π4B ．2，12π，－π4C ．2，1π，－π8D ．2，12π，－π8 答案A解析 振幅A ＝2，频率f ＝1T ＝ω2π＝1π，初相φ＝－π4.3．(2021·杭州二中月考)将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度，得到的函数为奇函数，则|φ|的最小值为() A.π12 B.π6 C.π3 D.5π6 答案B解析 将函数y ＝cos(2x ＋φ)的图象向右平移π3个单位长度得到的函数图象对应的函数解析式为y ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＋φ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3＋φ.因为得到的函数为奇函数，所以－2π3＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，解得φ＝7π6＋k π(k ∈Z )，则当k ＝－1时，|φ|取得最小值π6，故选B.4．要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象，只需将函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2图象() A ．向左平移π6个单位长度B ．向右平移π6个单位长度C ．向左平移π3个单位长度 D ．向右平移π3个单位长度 答案C解析 因为y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝－sin 2x ，故要得到函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2π3的图象，只需将函数y ＝－sin 2x 的图象向左平移π3个单位长度即可，故选C.5．(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________． 答案x ＝－5π24解析 将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，所得图象的函数解析式为y＝3sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x －π6＋π4＝ 3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π12.令2x －π12＝k π＋π2，k ∈Z ，得对称轴的方程为x ＝k π2＋7π24，k ∈Z ，分析知当k ＝－1时，对称轴为直线x ＝－5π24，与y 轴最近．6．如图是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2的部分图象，已知函数图象经过P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0两点，则ω＝________，φ＝________．答案2 －π3解析 因为f (x )过一个周期内的关键点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫7π6，0，故34T ＝7π6－5π12(T 为最小正周期)，即34·2πω＝3π4，解得ω＝2，由f (x )的图象经过点P⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋φ＝1，则5π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，则φ＝－π3＋2k π(k ∈Z )，又|φ|≤π2，则φ＝－π3.考点一 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及变换【例1】设函数f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx (ω＞0)的周期为π. (1)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；(2)(一题多解)说明函数f (x )的图象可由y ＝sin x 的图象经过怎样的变换而得到． 解f (x )＝sin ωx ＋3cos ωx＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫12sin ωx ＋32cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3，又∵T ＝π，∴2πω＝π，即ω＝2，∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (1)令z ＝2x ＋π3，则y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＝2sin z .列表，并描点画出图象：(2)法一 把y ＝sin x 的图象上所有的点向左平移3个单位，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象；再把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象上的点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；最后把y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，即可得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．法二 将y ＝sin x 的图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin 2x的图象；再将y ＝sin 2x 的图象向左平移π6个单位，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象；再将y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象上每一点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的图象．感悟升华 作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：(1)五点法作图，用“五点法”作y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z ＝ωx ＋φ，由z 取0，π2，π，32π，2π来求出相应的x ，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；(2)图象的变换法，由函数y ＝sin x 的图象通过变换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”．【训练1】设函数f (x )＝cos(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜0的最小正周期为π，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝32.(1)求ω和φ的值；(2)在给定坐标系中作出函数f (x )在[0，π]上的图象． 解 (1)∵T ＝2πω＝π，ω＝2，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π4＋φ＝32，∴sin φ＝－32，又－π2＜φ＜0，∴φ＝－π3.(2)由(1)得f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，列表：2x －π3－π3π2π32π53πX 0 π6 512π 23π 1112π π f (x )121－112描点画出图象(如图)．考点二 由图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解 析式【例2】 (1)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2＜φ＜π2的部分图象如图所示，则ω＝__________，φ＝________．(2)(一题多解)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为________．答案(1)2 －π3(2)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3解析 (1)由题图可知，3T 4＝34·2πω＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3， 得ω＝2.又函数过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，2，f (x )＝2sin(2x ＋φ)，故2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，得φ＝2k π－π3，k ∈Z ，∵－π2＜φ＜π2，∴φ＝－π3. (2)由题图可知A ＝2， 法一T 4＝7π12－π3＝π4， 所以T ＝π，故ω＝2， 因此f (x )＝2sin(2x ＋φ)，又⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0对应五点法作图中的第三个点， 因此2·π3＋φ＝π，所以φ＝π3，故f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. 法二 以⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，0为第二个“零点”，⎝ ⎛⎭⎪⎫7π12，－2为最小值点，列方程组⎩⎪⎨⎪⎧ω·π3＋φ＝π，ω·7π12＋φ＝3π2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ω＝2，φ＝π3，故f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.感悟升华 已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A 比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：(1)五点法，由ω＝2πT 即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x 0，则令ωx 0＋φ＝0(或ωx 0＋φ＝π)，即可求出φ；(2)代入法，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A ，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求．【训练2】 (1)已知f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)，函数f (x )的图象如图所示，则f (2 021π)的值为()A.2B ．－ 2 C.3D ．－ 3(2)(2021·镇海中学模拟)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<0)的部分图象如图所示，则φ＝________，为了得到g (x )＝A cos ωx 的图象，需将函数y ＝f (x )的图象最少向左平移________个单位长度．答案(1)B(2)－π6π3解析 (1)由函数的图象可得A ＝2，T ＝2πω＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－π2＝4π，解得ω＝12.又图象经过⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，0＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·π2＋φ，0<φ<π，φ＝3π4，故f (x )的解析式为f (x )＝2sin⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，所以f (2 021π)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2 021π＋3π4＝－ 2.故选B.(2)由题图知A ＝2，T ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π6＝π，所以ω＝2πT ＝2，所以f (x )＝2sin(2x ＋φ)，把点⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，2代入，得sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝1，所以2π3＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，即φ＝－π6＋2k π(k ∈Z )，又－π<φ<0，所以φ＝－π6，所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6；因为g (x )＝2cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3－π6，所以要得到函数g (x )的图象需将函数f (x )的图象最少向左平移π3个单位长度． 考点三 y ＝A sin(ωx ＋φ)图象与性质的综合应用【例3】(2021·浙江名师预测卷二)已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x .(1)当f (x )的最小正周期和单调递减区间； (2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π3时，求函数f (x )的值域．解(1)f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＋2cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x＝3cos 2x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－2x ＋1＝3cos 2x －sin 2x ＋1 ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋1， ∴f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π， 由2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π，k ∈Z 得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z ，即函数f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z )． (2)∵－π6≤x ≤π3，∴－π6≤2x ＋π6≤5π6，∴－32≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6≤1，∴f (x )的值域为[1－3，3]．感悟升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0)的单调区间和对称性的确定，基本思想是把ωx ＋φ看作一个整体．在单调性应用方面，比较大小是一类常见的题目，依据是同一区间内函数的单调性．对称性是三角函数图象的一个重要性质，因此要抓住其轴对称、中心对称的本质，同时还要会综合利用这些性质解决问题，解题时可利用数形结合思想． 【训练3】已知函数f (x )＝2cos x ·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－a ，π4＋a (a >0)上是减函数．(1)求f (x )的最小正周期和对称轴方程； (2)(一题多解)求实数a 的取值范围． 解 (1)f (x )＝2cos x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32cos x ＋12sin x ＝32(1＋cos 2x )＋12sin 2x＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋32. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2πω＝π.令2x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，解得x ＝k π2＋π12，k ∈Z ，所以f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π12，k ∈Z .(2)法一由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12上是减函数．因为π4∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12，所以要使得f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－a ，π4＋a 上是减函数， 只需满足⎩⎪⎨⎪⎧π4＋a ≤7π12，π4－a ≥π12，解得a ≤π6.又a >0，所以实数a 的取值范围⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6.法二 因为f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－a ，π4＋a 上是减函数，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋a －⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－a ≤T 2＝π2，即0<a ≤π4.由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π12，k π＋7π12(k ∈Z )上是减函数，所以π4－a ≥k π＋π12，且π4＋a ≤k π＋7π12，即a ≤k π＋π3，且a ≤－k π＋π6，k ∈Z .结合0<a ≤π4，解得k ＝0，所以0<a ≤π6.基础巩固题组一、选择题1．若函数y ＝sin(ωx －φ)(ω>0，|φ|<π2)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π上的图象如图所示，则ω，φ的值分别是()A ．ω＝2，φ＝π3B ．ω＝2，φ＝－2π3C ．ω＝12，φ＝π3D ．ω＝12，φ＝－2π3 答案A解析 由题图可知T ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝π，所以ω＝2πT ＝2，又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2·π6－φ＝0，所以π3－φ＝2k π(k ∈Z )，即φ＝π3－2k π(k ∈Z )，而|φ|<π2，所以φ＝π3，故选A. 2．(2021·镇海中学检测)设ω>0，将函数y ＝ sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向左平移π3个单位长度后与函数y ＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，则ω的最小值为() A.12 B.32 C.52 D ．1 答案B解析 将函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象向左平移π3个单位长度后得到图象对应的函数为y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋π6与函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6的图象重合，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋ωπ3＋π6＝ cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，即ωπ3＝2k π＋π2(k ∈Z )，解得ω＝6k ＋32(k ∈Z )，所以当k ＝0时，ω有最小值且为32，故选B.3．函数f (x )＝3sin π2x －log 12x 的零点的个数是()A ．2B ．3C ．4D ．5 答案D解析 函数y ＝3sin π2x 的周期T ＝2ππ2＝4，由log 12x ＝3，可得x ＝18.由log 12x ＝－3，可得x＝8.在同一平面直角坐标系中，作出函数y ＝3sin π2x 和y ＝log 12x 的图象(如图所示)，易知有5个交点，故函数f (x )有5个零点．4．(2020·全国Ⅲ卷)已知函数f (x )＝sin x ＋1sin x ，则() A ．f (x )的最小值为2 B ．f (x )的图象关于y 轴对称 C ．f (x )的图象关于直线x ＝π对称 D ．f (x )的图象关于直线x ＝π2对称 答案D解析 ∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0时，f (x )<0，∴f (x )min <0，A 错误；∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，关于原点对称，又f (－x )＝sin(－x )＋1sin （－x ）＝－f (x )，∴f (－x )≠f (x )，∴f (x )为奇函数，不是偶函数，B 错误；∵f (π－x )＝sin x ＋1sin x ，f (π＋x )＝－sin x －1sin x ，∴f (π－x )≠f (π＋x )，∴f (x )的图象不关于直线x ＝π对称，C 错误；∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，D 正确．故选D.5．(2019·天津卷)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g (x )．若g (x )的最小正周期为2π，且g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝()A ．－2B ．－ 2 C. 2 D ．2 答案C解析 因为f (x )是奇函数(显然定义域为R )，所以f (0)＝A sin φ＝0，所以sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.由题意得g (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12ωx ，且g (x )的最小正周期为2π，所以12ω＝1，即ω＝2.所以g (x )＝A sin x ，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝A sin π4＝22A ＝2，所以A ＝2.所以f (x )＝2sin 2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π8＝ 2.故选C.6．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω>0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是() A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6，k ∈Z C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3，k ∈Z答案B解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6.因为函数f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则函数f (x )的最小正周期为2πω＝π，解得ω＝2，则f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，令－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π2＋2k π，k ∈Z 得－π3＋k π≤x ≤π6＋k π，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3＋k π，π6＋k π，k ∈Z ，故选B. 二、填空题7．(2016·浙江卷)已知2cos 2x ＋sin 2x ＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，则A ＝________，b ＝________． 答案21解析 ∵2cos 2x ＋sin 2x ＝cos 2x ＋1＋sin 2x＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫22cos 2x ＋22sin 2x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4＋1＝A sin(ωx ＋φ)＋b (A ＞0)，∴A ＝2，b ＝1.8．(2018·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________．答案3解析 由题意知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0，所以3x ＋π6＝π2＋k π，k ∈Z ，所以x ＝π9＋k π3，k ∈Z ，当k＝0时，x ＝π9；当k ＝1时，x ＝4π9；当k ＝2时，x ＝7π9，均满足题意，所以函数f (x )在[0，π]上的零点个数为3.9．已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3 (ω>0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，且f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，则ω＝__________________. 答案143解析 依题意，x ＝π6＋π32＝π4时，y 有最小值，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4·ω＋π3＝－1， ∴π4ω＋π3＝2k π＋3π2 (k ∈Z )．∴ω＝8k ＋143 (k ∈Z )，因为f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π3上有最小值，无最大值，所以π3－π4≤πω，即ω≤12，令k ＝0， 得ω＝143.10．已知函数f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ，a ∈R ，则函数f (x )的最小正周期为________；振幅的最小值为________． 答案π22解析 由题意得f (x )＝a sin 2x ＋(a ＋1)cos 2x ＝a 2＋（a ＋1）2·sin(2x ＋φ)，其中tan φ＝a ＋1a ，所以函数f (x )的最小正周期为2π2＝π，a 2＋（a ＋1）2＝2a 2＋2a ＋1，Δ<0，所以当a ＝－22×2＝－12时，a 2＋（a ＋1）2取得最小值⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12＝22，即振幅的最小值为22. 三、解答题11．已知函数f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6，其中x ∈R ，ω＞0.(1)当ω＝1时，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)当f (x )的最小正周期为π时，求f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上取得最大值时x 的值．解 (1)当ω＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3＋cos π2＝32＋0＝32. (2)f (x )＝sin ωx ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6＝sin ωx ＋32cos ωx －12sin ωx＝12sin ωx ＋32cos ωx ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3.∵2π|ω|＝π，且ω＞0，得ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，得2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6， ∴当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝1.12．(2021·绍兴一中模拟)已知函数f (x )＝23sin x cos x －2cos 2x ＋1. (1)求f (x )的最小正周期；(2)若f (x )≥m 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，求m 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，∴f (x )的最小正周期为T ＝π.(2)令2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－m ≥0， 得m ≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上恒成立，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴－π6≤2x －π6≤5π6，∴－12≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1，∴－1≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤2，∴m ≤f (x )min ＝－1，即m 的取值范围为(－∞，－1]．能力提升题组13．已知函数f (x )＝a sin x ＋b cos x (a ≠0)在x ＝π4处得最小值，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 是()A ．偶函数且它的图象关于点(π，0)对称B ．偶函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称C ．奇函数且它的图象关于点(π，0)对称D ．奇函数且它的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0对称答案C解析 因为f (x )＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝ba 2＋b 2，因为函数在x ＝π4处取得最小值，所以π4＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，即φ＝2k π＋5π4(k ∈Z )，所以f (x )＝a 2＋b 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋5π4，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x ＝a 2＋b 2·sin(2π－x )＝－a 2＋b 2sin x 是奇函数，关于点(k π，0)(k ∈Z )对称，当k ＝1时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4－x 关于(π，0)对称，故选C.14．(2019·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5(ω>0)，已知f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点； ②f (x )在(0，2π)有且仅有2个极小值点； ③f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10单调递增；④ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910.其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④ 答案D解析 已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π5 (ω>0)在[0，2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a ，b )上，此时f (x )在(0，2π)有且仅有3个极大值点，但f (x )在(0，2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x ∈[0，2π]时，ωx ＋π5∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π5，2πω＋π5，由f (x )在[0，2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋π5<6π，得ω的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫125，2910，所以④正确；由④知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10时，π5<ωx ＋π5<πω10＋π5<49π100<π2，所以f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π10上单调递增，所以③正确．故选D.15．(一题多解)(2018·全国Ⅱ卷)若f (x )＝cos x －sin x 在[－a ，a ]是减函数，则a 的最大值是()A.π4B.π2C.3π4 D ．π 答案A解析 法一f (x )＝cos x －sin x ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4，且函数y ＝cos x 在区间[0，π]上单调递减，则由0≤x ＋π4≤π，得－π4≤x ≤3π4.因为f (x )在[－a ，a ]上是减函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ≥－π4，a ≤3π4，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.法二 因为f (x )＝cos x －sin x ，所以f ′(x )＝－sin x －cos x ，则由题意知f ′(x )＝ －sin x －cos x ≤0在[－a ，a ]上恒成立，即sin x ＋cos x ≥0，即2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4≥0在[－a ，a ]上恒成立，结合函数y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4的图象可知有⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋π4≥0，a ＋π4≤π，解得a ≤π4，所以0<a ≤π4，所以a 的最大值是π4，故选A.16．已知ω>0，在函数y ＝2sin ωx 与y ＝2cos ωx 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为23，则ω＝________． 答案π2解析 由⎩⎨⎧y ＝2sin ωx ，y ＝2cos ωx ，得sin ωx ＝cos ωx ，∴tan ωx ＝1，ωx ＝k π＋π4 (k ∈Z )． ∵ω>0，∴x ＝k πω＋π4ω (k ∈Z )．设距离最短的两个交点分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，不妨取x 1＝π4ω，x 2＝5π4ω，则|x 2－x 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪5π4ω－π4ω＝πω. 又结合图形知|y 2－y 1|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22－2×22＝22，且(x 1，y 1)与(x 2，y 2)间的距离为23， ∴(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2＝(23)2， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫πω2＋(22)2＝12，∴ω＝π2. 17．(2021·杭州质检)已知函数f (x )＝sin 2x － cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )．(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)求函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的值域．解(1)因为f (x )＝sin 2x －cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin 2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin x －12cos x 2＝sin 2x －34sin 2x ＋32sin x cos x －14cos 2x＝－14(cos 2x －sin 2x )＋34×2sin x cos x＝34sin 2x －14cos 2x＝12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以函数f (x )的最小正周期T ＝2πω＝2π2＝π.(2)因为x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4，所以2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5π6，π3.当2x －π6＝－π2，即x ＝－π6时，f (x )min ＝－12；当2x －π6＝π3，即x ＝π4时，f (x )max ＝34，所以函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，34.18．(2021·台州评估测试)已知函数f (x )＝cos 2x －23sin x ·cos x －sin 2x . (1)求函数f (x )的最小正周期和最大值；(2)问方程f (x )＝23在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6上有几个不同的实数根？并求这些实数根之和．解(1)因为f (x )＝cos 2x －3sin 2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，所以最小正周期T ＝2π2＝π.当2x －π6＝2k π－π2，k ∈Z ，即x ＝k π－π6，k ∈Z 时， 函数y ＝f (x )取得最大值2.(2)由2x －π6＝k π－π2，k ∈Z ，可得函数f (x )的对称轴为x ＝k π2－π6，k ∈Z ， 作出函数f (x )的图象如图所示21 / 21所以方程f (x )＝23在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，11π6上共有4个不同的实数根，且这些实数根关于x ＝5π6对称， 所以这些实数根之和为10π3.。
四川省资阳市高中数学高一升高二复习讲义 第4讲 函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质
函数y=Asin(wx+φ)的图像与性质及三角函数模型的简单应用一、复习旧知1、知识点形如sin()y A x ωϕ=+的函数 2、作业评讲 二、新课讲解重点：熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则处理sin()y A x k ωϕ=++与sin y x =图象间的关系难点：将三角函数式化为sin()y A x k ωϕ=++的过程以及已知sin()y A x k ωϕ=++的图象求参数,,A ωϕ的过程考点：熟练掌握平移、伸缩、振幅等变换法则处理sin()y A x k ωϕ=++与sin y x =图象间的关系将三角函数式化为sin()y A x k ωϕ=++的过程以及已知sin()y A x k ωϕ=++的图象求参数,,A ωϕ的过程合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，分析图象特征求参数值，研究三角函数的性质以及解析一些实际问题。
易混点：合理利用三角变换公式化简三角函数解析式，分析图象特征求参数值，研究三角函数的性质以及解析一些实际问题。
【分类教学】 ★知 识 梳理形如sin()y A x ωϕ=+的函数：（1）几个物理量：A ―振幅；1f T=―频率（周期的倒数）；x ωϕ+―相位；ϕ―初相；（2）函数sin()y A x ωϕ=+表达式的确定：A 由最值确定；ω由周期确定；ϕ由图象上的特殊点确定，（3）函数sin()y A x ωϕ=+图象的画法：①“五点法”――设X x ωϕ=+，令X ＝0，3,,,222ππππ求出相应的x 值，计算得出五点的坐标，描点后得出图象；②图象变换法：这是作函数简图常用方法。
（4）函数sin()y A x k ωϕ=++的图象与sin y x =图象间的关系：①函数sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标向左（ϕ>0）或向右（ϕ<0）平移||ϕ个单位得()sin y x ϕ=+的图象；②函数()sin y x ϕ=+图象的纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω，得到 函数()sin y x ωϕ=+的图象；③函数()sin y x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标变为原来的A 倍，得到函数sin()y A x ωϕ=+的图象；④函数sin()y A x ωϕ=+图象的横坐标不变，纵坐标向上（0k >）或向下（0k <），得到()sin y A x k ωϕ=++的图象。
y=Asin（wx+φ）的图像与性质-答案
y=Asin（wx+φ）的图像与性质-答案y=Asin(wx+φ)的图像与性质基础巩固训练1．将函数sin(2)3y x π=-的图象先向左平移6π，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（）． A ．cos y x =- B ．sin 4y x = C ．sin y x = D ．sin()6y x π=-解析：将函数s i n (2)3y x π=-的图象先向左平移6π得sin[2()]sin 263y x x ππ=+-=，然后将所得图象上所有的点的横坐标变为原来的2倍得1sin 2()sin 2y x x ==选C2．函数sin(2)(0)y x ??π=+≤≤是R 上的偶函数，则?的值是（）A 0 B4π C 2πD π 解析：C 当2π?=时，sin(2)cos 22y x x π=+=，而cos 2y x =是偶函数3. 函数b x A x f +?+ω=)s i n ()(的图象如图，则)(x f 的解析式和++=)1()0(f f S )2006()2(f f +?+的值分别为（）A ．12sin 21)(+π=x x f ， 2006=S B ．12sin 21)(+π=x x f ， 212007=SC ．12sin 21)(+π=x x f ， 212006=SD ．12sin 21)(+π=x x f ， 2007=S解析：B 观察图形知，12sin 21)(+π=x x f ，只知1)0(=f ，23)1(=f ，1)2(=f ，21)3(=f ，1)4(=f ，且以4为周期，4)3()2()1()0(=+++f f f f ，250142006+?=，∴)2004(5014)2006()3()2()1()0(f f f f f f +?=+?++++21200712312004)2006()2005(=+++=++f f . 4．若)10(sin 2)(<<=??x x f 在区间[0,]3π上的最大值是2，则?=________解析：[0,],0,0,3333x x x ππωππω∈≤≤≤≤<max 3()2sin,33344f x ωπωπωππω=====5．（广东省北江中学2009届高三上学期12月月考）已知()s i n ()(0,0,22f x A x A ππωω?=+>>-≤≤的图象如右图（Ⅰ）求()y f x =的解析式；（Ⅱ）说明()y f x =的图象是由sin y x =的图象经过怎样的变换得到?解: ( 1) 由图知A= 4由35466T πππ=-=,得109T π= 所以95ω=由9562ππ??+=,得5 π?= 所以,9()4sin()55f x x π=+(2) ①由sin y x =得图象向左平移5π单位得sin()5y x π=+的图象② 再由sin()5y x π=+图象的横坐标缩短为原来59得9sin()55y x π=+的图象③由9sin()55y x π=+的图象纵坐标伸长为原来的4倍得9()4sin()55f x x π=+的图象综合拔高训练6．已知存在实数φω,（其中Z ∈≠ωω,0）使得函数)cos(2)(φω+=x x f 是奇函数，且在??4,0π上是增函数。
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质(原卷版)
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A.10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2 3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题：①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π； ②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |9、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点 ③()f x 在（0,10π）单调递增④ω的取值范围是[1229510，) 其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③D ．①③④10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2- B． CD ．211、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________．12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20192、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π63、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.7、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π244、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π)5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______.题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为12、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
考点12 y=Asin(wx+φ)的图像与性质1、了解三角函数的周期性,画出 y =sin x , y =cos x , y =tan x 的图像,并能根据图像理解正弦函数、余弦函数在[ 0 ,2π ],正切函数的性质(如单调性、最大值和最小值、图像与 x 轴的交点等)2. 了解三角函数 y = A sin ( ωx + φ )的实际意义及其参数 A , ω ,φ 对函数图像变化的影响;能画出 y = A sin (ωx +φ )的简图,能由正弦曲线 y =sin x 通过平移、伸缩变换得到 y = A sin ( ωx + φ )的图像 .3. 会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型 .1. 三角函数的图像与性质是高考中的必考点,对这部分内容的考查,高考中大多以中、低档题为主,主要集中于对函数的周期、图像、单调性、值域(或最值)等几个方面的考查 . 要解决此类问题,要求学生熟练地掌握三角函数的图像,及正弦函数、余弦函数、正切函数的最基本的性质,并能运用这些性质去熟练地解题 .2. 利用三角函数的性质解决问题时,要重视化归思想的运用,即将复杂的三角函数转化为基本的正弦、余弦、正切函数来处理1、函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像的平移和伸缩变换以及根据图像确定 A , ω ,φ 问题是高考的热点,题型多样,难度中低档,主要考查识图、用图的能力,同时考查利用三角公式进行三角恒等变换的能力 . 2、要牢牢记住函数 f ( x ) = A sin ( ωx + φ )的图像和性质。
1、【2020年江苏卷】.将函数y =πsin(2)43x ﹢的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是____.【答案】524x π=-【解析】3sin[2()]3sin(2)6412y x x πππ=-+=- 72()()122242k x k k Z x k Z πππππ-=+∈∴=+∈当1k =-时524x π=-故答案为：524x π=-2、【2020年全国1卷】设函数()cos π()6f x x ω=+在[π,π]-的图像大致如下图，则f (x )的最小正周期为（ ）A. 10π9 B.7π6 C. 4π3D. 3π2【答案】C【解析】由图可得：函数图象过点4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭， 将它代入函数()f x 可得：4cos 096ππω⎛⎫-⋅+= ⎪⎝⎭又4,09π⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象与x 轴负半轴的第一个交点， 所以4962πππω-⋅+=-，解得：32ω=所以函数()f x 的最小正周期为224332T πππω=== 故选：C3、【2020年全国3卷】16.关于函数f （x ）=1sin sin x x+有如下四个命题： ①f （x ）的图像关于y 轴对称． ②f （x ）的图像关于原点对称． ③f （x ）的图像关于直线x =2π对称． ④f （x ）的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________． 【答案】②③【解析】对于命题①，152622f π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，152622f π⎛⎫-=--=- ⎪⎝⎭，则66f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象不关于y 轴对称，命题①错误；对于命题②，函数()f x 的定义域为{},x x k k Z π≠∈，定义域关于原点对称，()()()()111sin sin sin sin sin sin f x x x x f x x x x ⎛⎫-=-+=--=-+=- ⎪-⎝⎭，所以，函数()f x 的图象关于原点对称，命题②正确；对于命题③，11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫-=-+=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭， 11sin cos 22cos sin 2f x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫+=++=+⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭，则22f x f x ππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以，函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，命题③正确；对于命题④，当0x π-<<时，sin 0x <，则()1sin 02sin f x x x=+<<， 命题④错误. 故答案为：②③.4、【2020年天津卷】8.已知函数()sin 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．给出下列结论： ①()f x 的最小正周期为2π；②2f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值； ③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A. ① B. ①③C. ②③D. ①②③【答案】B【解析】因为()sin()3f x x π=+，所以周期22T ππω==，故①正确；51()sin()sin 122362f ππππ=+==≠，故②不正确； 将函数sin y x =的图象上所有点向左平移3π个单位长度，得到sin()3y x π=+的图象， 故③正确. 故选：B.5、【2020年山东卷】.下图是函数y = sin(ωx +φ)的部分图像，则sin(ωx +φ)= （ ）A. πsin(3x +）B. πsin(2)3x - C. πcos(26x +）D. 5πcos(2)6x - 【答案】BC【解析】由函数图像可知：22362T πππ=-=，则222T ππωπ===，所以不选A, 当2536212x πππ+==时，1y =-∴()5322122k k Z ππϕπ⨯+=+∈， 解得：()223k k ϕππ=+∈Z ，即函数的解析式为：2sin 22sin 2cos 2sin 236263y x k x x x ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=++=+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.而5cos 2cos(2)66x x ππ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭ 故选：BC.6、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 7、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π，π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④ B ．②④ C ．①④D ．①③【答案】C 【解析】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当ππ2x <<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误． 当0πx ≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当π0x -≤<时，()()sin sin f x x x =--2sin x =-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④正确，故选C ．8、【2019年高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中，以2π为周期且在区间(4π，2π)单调递增的是A ．f (x )=|cos2x |B ．f (x )=|sin2x |C ．f (x )=cos|x |D ．f (x )=sin|x |【答案】A【解析】作出因为sin ||y x =的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D ； 因为cos cos y x x ==，周期为2π，排除C ；作出cos2y x =图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递增，A 正确； 作出sin 2y x =的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间(4π，2π)单调递减，排除B ，故选A ．图1图2图39、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设函数()f x =sin （5x ωπ+）(ω＞0)，已知()f x 在[]0,2π有且仅有5个零点，下述四个结论：①()f x 在（0,2π）有且仅有3个极大值点 ②()f x 在（0,2π）有且仅有2个极小值点③()f x 在（0,10π）单调递增 ④ω的取值范围是[1229510，)其中所有正确结论的编号是 A ．①④ B ．②③ C ．①②③ D ．①③④【答案】D【解析】①若()f x 在[0,2π]上有5个零点，可画出大致图象， 由图1可知，()f x 在(0,2π)有且仅有3个极大值点.故①正确；②由图1、2可知，()f x 在(0,2π)有且仅有2个或3个极小值点.故②错误；④当()f x =sin （5x ωπ+）=0时，5x ωπ+=k π（k ∈Z ），所以ππ5k x ω-=， 因为()f x 在[0,2π]上有5个零点，所以当k =5时，π5π52πx ω-=≤，当k =6时，π6π52πx ω-=>，解得1229510ω≤<，10、【2019年高考天津卷理数】已知函数()sin()(0,0,||)f x A x A ωϕωϕ=+>><π是奇函数，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x ．若()g x 的最小正周期为2π，且4g π⎛⎫= ⎪⎝⎭38f π⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．2-B ． CD ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； 又12π()sin,2π,122g x A x T ωω=∴==∴2ω=，又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f =故选C. 11、【2018年高考江苏卷】已知函数()ππsin 2()22y x =+-<<ϕϕ的图象关于直线π3x =对称，则ϕ的值是________． 【答案】π6-【解析】由题意可得2sin π13⎛⎫+=± ⎪⎝⎭ϕ，所以2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，因为ππ22-<<ϕ，所以π0,.6k ==-ϕ 【名师点睛】由对称轴得2πππππ()326k k k +=+=-+∈Z ，ϕϕ，再根据限制范围求结果.函数()sin y A x B =++ωϕ（A >0，ω>0）的性质：(1)max min ,y A B y A B =+=-+； (2)最小正周期2πT =ω；(3)由()ππ2x k k +=+∈Z ωϕ求对称轴； (4)由()ππ2π2π22k x k k -+≤+≤+∈Z ωϕ求增区间;由()π3π2π2π22k x k k +≤+≤+∈Z ωϕ求减区间.12、【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值； （2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+， 故2sin cos 0x θ=， 所以cos 0θ=． 又[0,2π)θ∈， 因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y fx f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 2136212sin 22222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎫⎝⎭⎝⎭=+=--⎪⎪⎝⎭π1223x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+．题型一 三角函数的性质1、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-2019【答案】B 【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-. 故选B2、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B 【解析】因为函数()()cos f x x ωϕ=+的最小正周期为π，所以22πωπ==，又对任意的x ，都使得()3f x f π⎛⎫≥ ⎪⎝⎭， 所以函数()f x 在3x π=上取得最小值，则223k πϕππ+=+，k Z ∈， 即2,3k k Z πϕπ=+∈，所以()cos 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， 令222,3k x k k Z ππππ≤+≤+∈，解得,63k x k k Z ππππ-+≤≤+∈ ，则函数()y f x =在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故a 的最大值是3π. 故选B3、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为πB ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数【答案】B 【解析】()sin cos )4f x x x x π=+=+，对A ，()f x ∴的最小正周期为2π，故A 错误；对B ，()42f ππ==()y f x ∴=图象的一条对称轴方程为4x π=，故B 正确；对C ，()f x 的最小值为，故C 错误； 对D ，由[0,]2x π∈，得3[,]444x πππ+∈，则()f x 在[0,]2π上先增后减，故D 错误． 故选：B ．4、（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 2f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ）A ．4π B ．2π C ．πD ．2π【答案】B 【解析】()f x 的图象关于直线12x π=-对称，(0)()6f f π∴=-，即-1a =，则()sin 222sin 26f x x x x π⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，12()()4f x f x =-，1()2f x ∴=，2()2f x =-或1()2f x =-，2()2f x =，即1()f x ，2()f x 一个为最大值，一个为最小值， 则12||x x -的最小值为2T， T π=，12||x x ∴-的最小值为2π， 即12a x x -的最小值为2π.故选：B ．5、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ）A ．π-是()f x 的一个周期B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 【答案】ACD 【解析】()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的最小正周期为π，故π-也是其周期，故A 正确；()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移6π得到，故B 错误；()77()()sin sin 066323f f ππππππ⎛⎫+==-== ⎪⎝⎭，故C 正确； sin sin 17175()1262sin 132f πππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ =⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故D 正确. 故选：ACD6、.（2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模）已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，将函数()y f x =的图象向右平移π4个单位长度后，所得图象与原函数图象重合，则ω的最小值等于__________.【答案】4【解析】由题得12=,4,()42n n n Z ππωω⨯⨯∴=∈, 因为0>ω，所以ω的最小值等于4.故答案为：47、（2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题）已知函数()2sin()(0)3f x x πωω=+>的图象关于点,02π⎛⎫⎪⎝⎭对称，则ω的最小值为_____. 【答案】43. 【解析】由题意可得,32k k Z ππωπ⨯+=∈，求得22,3k k Z ω=-∈， 又0>ω，则ω的最小值为43， 故答案为：43. 8、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝2sin (2x ＋φ)⎝⎛⎭⎫－π2<φ<π2的图像关于直线x ＝π6对称，则f(0)的值为________．【答案】. 1【解析】由题意，f ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝±1，又因为－π2＜φ＜π2， －π6<π3＋φ<5π6，所以π3＋φ＝π2，即φ＝π6，所以f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，f(0)＝1.9、(2019苏锡常镇调研）函数()cos()(0)3f x x πωω=->的图像关于直线2x π=对称，则ω的最小值为 ．【答案】.32【解析】解法1：根据余弦函数的图像及性质，令ππωk x =-3，Z k ∈得ωππk x +=3，令23πωππ=+k 得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32 解法2：由条件可得1)2(±=πf ，即1)32cos(±=-πωπ，则ππωπk =-32，Z k ∈，解得k 232+=ω，Z k ∈，又因为0>ω，所以当0=k 时ω取得最小值为.32解后反思：利用整体思想，结合三角函数的图像及性质是解决这类问题的关键！10、(2019苏州期初调查） 已知函数f(x)＝sin (2x ＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x ＝－512π，则φ＝________．【答案】 π3【解析】因为函数f(x)的一条对称轴是x ＝－512π，所以2×⎝⎛⎭⎫－5π12＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，则φ＝k π＋4π3，k ∈Z ，又因为0≤φ<π，所以φ＝π3.11、(2019南京、盐城二模）若函数f(x)＝2sin (ωx ＋φ)(ω>0，0<φ<π)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，且相邻两条对称轴间的距离为π2，则f ⎝⎛⎭⎫π4的值为________．【答案】.3【解析】由相邻两条对称轴间的距离为π2，知其最小正周期T ＝2×π2＝π，从而得ω＝2πT ＝2ππ＝2，又f(x)＝2sin (2x ＋φ)的图像经过点⎝⎛⎭⎫π6，2，所以2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2，解得φ＝2k π＋π6(k ∈Z )，又因为0<φ<π，所以φ＝π6，故f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，即有f ⎝⎛⎭⎫π4＝2sin 2π3＝ 3.题型二 三角函数图像的变换1、（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位【答案】A 【解析】不妨设函数2y sin x =的图象沿横轴所在直线平移ϕ个单位后得到函数23y sin x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象． 于是，函数2y sin x =平移ϕ个单位后得到函数，sin 2()y x ϕ=+，即sin(22)y x ϕ=+， 所以有223k πϕπ=+，6k πϕπ=+，取0k =，6π=ϕ．答案为A ． 2、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．【答案】D 【解析】把cos 2y x =的图象向左平移4π个单位长度，得cos 2()cos(2)sin 242y x x x ππ=+=+=-的图象，再把所得图象各点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变，得图象的函数式为sin(22)sin 4y x x =-⨯=-， sin 42sin 2cos 2()cos 2y x x x f x x =-=-=，∴()2sin 2f x x =-，∴()2sin63f ππ=-=．故选：D.3、（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π24【答案】C【解析】由题意知，3()cos(2)sin(2)44g x x x ππ=+=+，其图像向左平移a 个单位得到函数3()sin(22)4f x x a π=++， 而函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，所以有32243a k πππ+=+5224a k ππ=-+，取1k =得1924a π=.答案选C.4、（2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟）函数f(x)＝sin(wx ＋φ)(w ＞0，φ＜2π)的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移6π个单位后得到的函数图象关于直线x ＝2π对称，则函数f(x)的解析式为（ ）A ．f(x)＝sin(2x ＋3π) B ．f(x)＝sin(2x －3π) C ．f(x)＝sin(2x ＋6π) D ．f(x)＝sin(2x －6π) 【答案】D【解析】因为函数()()f x sin ωx φ=+的最小正周期是π，所以2ππω=，解得ω2=，所以()()f x sin 2x φ=+， 将该函数的图像向右平移π6个单位后，得到图像所对应的函数解析式为ππy sin 2x φsin 2x φ63⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由此函数图像关于直线πx 2=对称，得： πππ2φk π232⨯+-=+，即πφk π,k Z 6=-∈，取k 0=，得πφ6=-，满足πφ2<，所以函数()f x 的解析式为()πf x sin 2x 6⎛⎫=-⎪⎝⎭，故选D. 5、（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为【答案】ACD【解析】由题：()22cos cos(2)1cos 2sin 2)24f x x x x x x ππ=-+-=+=+，由2y x =的图象向左平移8π个单位，得到)))84y x x ππ=+=+，所以选项A 正确；令222,242k x k k Z πππππ-≤+≤+∈，得其增区间为3[,],88k k k Z ππππ-+∈ ()f x 在(0,)8π单调递增，在(,)82ππ单调递减，所以选项B 不正确；解()0,2,4f x x k k Z ππ=+=∈，得：,28k x k Z ππ=-∈，[0,]x π∈， 所以x 取37,88ππ，所以选项C 正确；3[,0],2[,],sin(2)[24444x x x πππππ∈-+∈-+∈-，()[f x ∈， 所以选项D 正确. 故选：ACD6、（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 【答案】ABD【解析】函数()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图像向右平移2π个单位长度得到()ππsin 223g x x ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2πsin 23x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.由于7π7π2ππsin sin 112632g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故7π12x =是()g x 的对称轴，B 选项正确. 由于π2π2πsin sin 00333g ⎛⎫⎛⎫=-==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭是()g x 的对称中心，D 选项正确.由π2ππ2232x -≤-≤，解得π7π1212x ≤≤，即()g x 在区间π7π,1212⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，故A 选项正确、C 选项错误. 故选：ABD.7、(2019无锡期末） 已知直线y ＝a(x ＋2)(a>0) 与函数 y ＝|cos x|的图像恰有四个公共点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，D(x 4，y 4), 其中 x 1<x 2<x 3<x 4，则x 4＋1tan x 4＝________． 【答案】－2【解析】根据图形可得直线y ＝a(x ＋2)与函数y ＝－cos x 的图像相切于点(x 4，－cos x 4)，其中x 4∈⎝⎛⎭⎫π4，π.因为y ＝sin x ，由导数的几何意义可得a ＝sin x 4＝－cos x 4－0x 4＋2，化简得x 4＋1tan x 4＝－2.8、（2020届江苏省南通市高三下学期3月开学考试）将函数()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭（0>ω）的图象向左平移π3个单位长度后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为______. 【答案】12【解析】将函数f （x ）＝sin （ωx 6π-）（ω＞0）的图象向左平移3π个单位后，可得函数y ＝sin （ωx 36πωπ+-）的图象，再根据所得图象关于直线x ＝π对称，可得ωπ36πωπ+-=k π2π+，k ∈Z ， ∴当k ＝0时，ω取得最小值为12， 故答案为12．题型三 三角函数的解析式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( )A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象 B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 【答案】D【解析】因为函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭， 所以2sin 23πϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，因此2,32k k Z ππϕπ+=+∈，所以2,6k k Z πϕπ=+∈，因此()2sin(2)2sin 222sin 266f x x x k x ππϕπ⎛⎫⎛⎫=+=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；A 选项，把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，故A 错； B 选项，由3222,262k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得2,63k x k k Z ππππ+≤≤+∈，即函数()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的单调递减区间是：2,,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，故B 错； C 选项，由()2sin 206f x x π⎛⎫=+= ⎪⎝⎭得2,6x k k Z ππ+=∈，即,122k x k Z ππ=-+∈， 因此[]0,2x π∈，所以5111723,,,12121212x ππππ=，共四个零点，故C 错； D 选项，因为0,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以52,666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，因此1sin 2,162x π⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小值为1，故D 正确；故选：D.2、（2020·浙江温州中学3月高考模拟）已知()sin()f x A x ωφ=+（0,04,)2A πωφ><<<）过点1(0,)2，且当6x π=时，函数()f x 取得最大值1.（1）将函数()f x 的图象向右平移6π个单位得到函数()g x ，求函数()g x 的表达式； （2）在（1）的条件下，函数2()()()2cos 1h x f x g x x =++-，求()h x 在[0,]2π上的值域.【答案】(1)()sin(2)6g x x π=-；(2)[1,2]-.【解析】 (1)由函数()f x 取得最大值1，可得1A =,函数过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭得12sin φ=，,26ππφφ<= 12,6662f k k Z ππππωπ⎛⎫=⇒+=+∈ ⎪⎝⎭，∵04ω<<，∴2ω=()26f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()266g x f x sin x ππ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.(2) ()22226h x x cos x sin x π⎛⎫=+=+⎪⎝⎭， 710,,2,21266626x x sin x πππππ⎡⎤⎛⎫∈≤+≤-≤+≤ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，12226sin x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，值域为[]1,2-.。