精品2019九年级数学下册 第二十六章专题训练(一)反比例函数系数k的两个几何模型同步练习

专题训练(一) 反比例函数系数k 的两个几何模型

► 模型一 k 与三角形的面积

1．如图1－ZT －1，分别过反比例函数y ＝2019

x

(x ＞0)的图象上任意两点A ，B 作x 轴的垂线，垂足分别为C ，D ，

连接OA ，OB ，设△AOC 和△BOD 的面积分别是S 1，S 2，比较它们的大小，可得( )

图1－ZT －1

A ．S 1＞S 2

B ．S 1＝S 2

C ．S 1＜S 2

D ．大小关系不能确定

2．如图1－ZT －2，在平面直角坐标系中，A 是函数y ＝k

x

(x ＜0)图象上的点，过点A 作y 轴的垂线交y 轴于点

B ，点

C 在x 轴上．若△ABC 的面积为1，则k 的值为________．

图1－ZT －2

3．2017·湖州如图1－ZT －3，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线y ＝kx (k ＞0)分别交反比例函数y ＝1

x

和y

＝9x 在第一象限的图象于点A ，B ，过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，交y ＝1

x

的图象于点C ，连接AC .若△ABC 是等腰三角形，

则k 的值是__________．

图1－ZT －3

► 模型二 k 与四边形的面积

过反比例函数图象上的任意一点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，则可得两条垂线与x 轴、y 轴围成的矩形的面积等于|k |.反之根据矩形的面积结合图象所在象限可求得k 的值．

4．如图1－ZT －4，A ，B 两点在双曲线y ＝4

x

上，分别过A ，B 两点向坐标轴作垂线段，已知S 1＋S 2＝6，则S 阴

影

＝( )

图1－ZT －4

A ．4

B ．2

C ．1

D ．无法确定

5．如图1－ZT －5，函数y ＝－x 与y ＝－4

x

的图象相交于A ，B 两点，分别过A ，B 两点作y 轴的垂线，垂足分

别为C ，D ，则四边形ACBD 的面积为( )

图1－ZT －5

A ．2

B ．4

C ．6

D ．8

6．如图1－ZT －6，反比例函数y ＝k

x

(k >0)的图象与矩形ABCO 的两边相交于E ，F 两点．若E 是AB 的中点，S △BEF

＝2，则k 的值为________．

图1－ZT －6

7．如图1－ZT －7，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，矩形OABC 的边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，其中OA ＝6，OC ＝3.已知反比例函数y ＝k x

(k >0)的图象经过BC 边的中点D ，交AB 于点E .

(1)k 的值为__________；

(2)猜想△OCD 的面积与△OBE 的面积之间的关系，并说明理由．

图1－ZT －7

详解详析

1．[解析] B 根据k 的几何意义，得S 1＝S 2＝2019

2.

2．[答案] －2

[解析] ∵AB⊥y 轴，∴AB∥CO， ∴△AOB 的面积＝1

2AB·OB.

∵S △ABC ＝1

2AB·OB＝1，∴|k|＝2.

∵k＜0，∴k＝－2. 3．[答案] 3 77或15

5

[解析] ∵点B 是函数y ＝kx 和y ＝9x 的图象的交点，由y ＝kx ＝9x ，解得x ＝3

k (负值已舍去)，则y ＝3 k ，

∴点B 的坐标为(

3k

，3 k)．

∵点A 是函数y ＝kx 和y ＝1x 的图象的交点，由y ＝kx ＝1x ，解得x ＝1

k (负值已舍去)，

则y ＝k ，∴点A 的坐标为(1k

，k)．

∵BD⊥x 轴， ∴点C 的横坐标为

3k

，纵坐标为

13k

＝k

3， ∴点C 的坐标为(

3k ，

k

3

)，∴BA≠AC. 若△ABC 是等腰三角形，则分以下两种情况讨论： ①BA＝BC ，则

（

3

k －1k

）2＋（3 k －k ）2

＝3 k －k 3，解得k ＝3 77(负值已舍去)；

②AC＝BC ，则

（

3

k －1k

）2＋（k 3－k ）2

＝3 k －k 3，解得k ＝155(负值已舍去)．

综上所述，当△ABC 是等腰三角形时，k ＝3 77或15

5

.

4．[解析] C 根据题意，得S 1＋S 阴影＝S 2＋S 阴影＝4，所以S 1＝S 2，而S 1＋S 2＝6，所以S 1＝S 2＝3，所以S 阴影＝4

－3＝1.

5．D 6．[答案] 8

[解析] 设E ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ，k a ，则点B 的纵坐标也为k a . 因为E 是AB 的中点，所以点F 的横坐标为2a ，代入y ＝k x 得到点F 的纵坐标为k

2a ，

所以BF ＝k a －k 2a ＝k

2a

，

所以S △BEF ＝2＝12·k 2a ·a＝k

4，解得k ＝8.

7．解：(1)由题意可得C(0，3)，B(6，3)， 则BC 的中点D 的坐标为(3，3)． ∵函数y ＝k

x 的图象经过点D ，∴k＝9.

(2)相等．理由如下：

对于y ＝9x ，令x ＝6，则y ＝3

2，

∴E ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，32，即AE ＝32，

∴BE＝AB －AE ＝3

2

，

∴S △OBE ＝12BE·OA＝12×32×6＝9

2.

又∵S △OCD ＝12CD·OC＝12×3×3＝9

2，

∴S △OBE ＝S △OCD .