人教A版选修2-2 3.1.1 数系的扩充和复数的概念 学案 (1)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
数系的扩充和复数的概念
3.1.1 数系的扩充和复数的概念
预习课本P102~103,思考并完成下列问题
(1)实数系经过扩充后得到的新数集是什么?复数集如何分类?
(2)复数能否比较大小?复数相等的充要条件是什么?纯虚数、虚数、实数、复数关系如何?
[新知初探]
1.复数的有关概念
(1)复数
①定义:形如a+b i(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做虚数单位,满足i2=-1,实部是a,虚部是b.
②表示方法:复数通常用字母z表示,代数形式为z=a+b i(a,b∈R).
(2)复数集
①定义:全体复数所成的集合.
②表示:通常用大写字母C表示.
[点睛] 复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+b i(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i.
(2)复数的虚部是实数b而非b i.
(3)复数z =a +b i 只有在a ,b ∈R 时才是复数的代数形式,否则不是代数形式. 2.复数相等
在复数集C ={}a +b i|a ,b ∈R 中任取两个数a +b i ,c +d i(a ,b ,c ,d ∈R),我们规定:a +b i 与c +d i 相等的充要条件是a =c 且b =d .
3.复数的分类
对于复数a +b i ,当且仅当b =0时,它是实数;当且仅当a =b =0时,它是实数0;当b ≠0时,叫做虚数;当a =0且b ≠0时,叫做纯虚数.这样,复数z =a +b i 可以分类如下:
复数z ⎩
⎪⎨
⎪⎧
实数b =0,虚数b ≠0
当a =0时为纯虚数.
[点睛] 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
[小试身手]
1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若a ,b 为实数,则z =a +b i 为虚数.( ) (2)若a 为实数,则z =a 一定不是虚数.( )
(3)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0,那么这两个复数相等.( ) 答案:(1)× (2)√ (3)√
2.在2+7,2
7i,8+5i ,(1-3)i,0.68这几个数中,纯虚数的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
答案:C
3.若a -2i =b i +1,a ,b ∈R ,则a 2
+b 2
=________. 答案:5
4.设m ∈R ,复数z =-1-m +(2m -3)i. (1)若z 为实数,则m =________; (2)若z 为纯虚数,则m =________. 答案:(1)3
2
(2)-1
复数的概念及分类
[典例] (1)给出下列三个命题:①若z ∈C ,则z 2
≥0;②2i -1的虚部是2i ;③2i 的实部是0.其中真命题的个数为( )
A .0
B .1
C .2
D .3
(2)当m 为何实数时,复数z =m 2-m -6m +3
+(m 2
-2m -15)i.①是虚数;②是纯虚数.
[解析] (1)对于①,当z ∈R 时,z 2
≥0成立,否则不成立,如z =i ,z 2
=-1<0,所以①为假命题;对于②,2i -1=-1+2i ,其虚部是2,不是2i ,②为假命题;对于③,2i =0+2i ,其实部是0,③为真命题.故选B.
[答案] B
(2)①当⎩
⎪⎨⎪⎧
m +3≠0,
m 2
-2m -15≠0,
即m ≠5且m ≠-3时,z 是虚数.
②当⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
-m -6m +3=0,m 2-2m -15≠0,
即m =3或m =-2时,z 是纯虚数. [一题多变]
1.[变设问]本例(2)中条件不变,当m 为何值时,z 为实数?
解:当⎩
⎪⎨⎪⎧
m +3≠0,m 2
-2m -15=0,即m =5时,z 是实数.
2.[变设问]本例(2)中条件不变,当m 为何值时,z >0. 解:因为z >0,所以z 为实数,需满足
⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
-m -6m +3>0,
m 2-2m -15=0,
解得m =5.
3.[变条件]已知z =log 2(1+m )+ilog 12(3-m )(m ∈R),若z 是虚数,求m 的取值范围.
解:∵z 是虚数,∴log 1
2
(3-m )≠0,且1+m >0,
即⎩⎪⎨⎪
⎧
3-m >0,3-m ≠1,1+m >0,
∴-1 ∴m 的取值范围为(-1,2)∪(2,3). 复数分类的关键 (1)利用复数的代数形式,对复数进行分类,关键是根据分类标准列出实部、虚部应满足的关系式.求解参数时,注意考虑问题要全面,当条件不满足代数形式z =a +b i(a ,b ∈R)时应先转化形式. (2)注意分清复数分类中的条件 设复数z =a +b i(a ,b ∈R),则①z 为实数⇔b =0,②z 为虚数⇔b ≠0,③z 为纯虚数⇔a =0,b ≠0.④z =0⇔a =0,且b =0. 复数相等 [典例] (1)已知x 2 -y 2 +2xy i =2i ,求实数x ,y 的值; (2)关于x 的方程3x 2-a 2x -1=(10-x -2x 2 )i 有实根,求实数a 的值. [解] (1)∵x 2 -y 2 +2xy i =2i , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 -y 2 =0,2xy =2, 解得⎩⎪⎨ ⎪⎧ x =1,y =1 或⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ x =-1,y =-1. (2)设方程的实数根为x =m , 则3m 2 -a 2 m -1=(10-m -2m 2 )i , ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 3m 2-a 2m -1=0,10-m -2m 2=0, 解得a =11或a =-715 . 复数相等问题的解题技巧 (1)必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等,虚部与虚部相等列方程组求解.