1.1.3集合的基本运算

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• 本节重点：交集与并集的概念． • 本节难点：弄清交集与并集的概念及符号 之间的联系和区别．
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1．正确理解和区分集合的“交”、“并”运 算： ①A与B的交集是由A与B的所有的公共元素组 成的集合．当两个集合 A 与 B 无公共元素时， A∩B＝∅. A与B的并集是由A的所有元素和B的所有元 素组成的集合，当两个集合有公共元素时， 公共元素在A∪B中只能出现一次． ②要注意“且”与“或”的含义，注意“且” 与“或”和“交”与“并”分别对应．
3.并集与交集的性质
A (1) A A _____ φ (2)A _____ B∩A (3)A B _____ A B (4)A B _____, A B _____ A (5)A B 则 A B _____
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当 堂 练
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1 1 1 [解析] ∵A∩B＝{ }，∴ ∈A，且 ∈B. 2 2 2 43 12 1 (2) －2a＋b＝0 2· a＝－ 9 ∴ ，解之得 12 1 26 b· ( ) ＋2(a＋2)＋5＋b＝0 b＝－ 9 2 1 26 2 于是 A＝{x|18x ＋43x－26＝0}＝{2，－ 9 }． 1 19 2 B＝{x|26x ＋25x－19＝0}＝{2，－13}． 1 26 19 ∴A∪B＝{ ，－ ，－ }. 2 9 13
[解析]
A∩B＝{(x，y)|4x＋y＝6}∩{(x，y)|3x＋2y＝ ＝{(1,2)}．
4x＋y＝6 7}＝(x，y) 3x＋2y＝7
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[ 例 5] 已知集合 A ＝ { － 4 ， 2a － 1 ， a2} ， B ＝ {a － 5 ， 1 － a ， 9} ，分别求适合下列条件的 a 值． (1)9∈A∩B； (2){9}＝A∩B. [ 分 析 ] 9∈A∩B 与 {9} ＝ A∩B 意 义 不 同 ， 9∈A∩B说明9是A与B的一个公共元素，但A 与B中允许有其它公共元素．{9}＝A∩B，说 明A与B的公共元素有且只有一个9.
B={x|x是新华中学高一年级参加跳高比赛的同学},
求A∩B. 解:A∩B={x|x是新华中学高一年级既参加百米赛 跑又参加跳高比赛的同学}.
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例7 设平面内直线l1上的点的集合为L1 , 直线l2上点 的集合为L2 , 试用集合的运算表示l1 , l2的位置关系.
解 : (1)直线l1 , l2 相交于一点P可表示为 L1 L2 {点P}; (2)直线l1 , l2 平行可表示为 L1 L2 ; (3)直线l1 , l2 重合可表示为 L1 L2 L1 L2 .
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A (1) A A ______ A (2) A ______ B∪A (3) A B ______ (4) A A B, B A B, A B A B B (5) A B则A B ______
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[例] 设集合M＝{m∈Z|－3<m<2}， N＝{n∈Z|－1≤n≤3}，则M∩N＝( B ) A．{0,1} B．{－1,0,1} C．{0,1,2} D．{－1,0,1,2}
[ 解析 ] ∵ M ＝ { － 2 ，－ 1,0,1} ， N ＝ { － 1,0,1,2,3}，∴M∩N＝{－1,0,1}，故选B.
1.1.3 集合的基本运算
考察下列各个集合,你能说出集合C与集合A,B 之间的关系吗? (1) A={1,3,5}, B={2,4,6} ,C={1,2,3,4,5,6} (2) A={x|x是有理数},B={x|x是无理数}, C={x|x是实数}.
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1.并集
一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所 组成的集合,称为集合A与B的并集,记作A∪B,(读作 “A并B”).即 A∪B={x|x∈A,或x∈B}
1 则两组都没报名的人数为3x＋1. 根据 Venn 图(如图所示)可得(30－x)＋(33 1 －x)＋x＋(3x＋1)＝50，解得 x＝21.
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[例7] 设集合 A＝{y∈R|y ＝x2＋1 ，x∈R}，B ＝{y∈R|y＝x＋1，x∈R}，则A∩B＝( )
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(1) 设 A ＝ {1 ， 2} ， B ＝ {2 ， 3 ， 4} ，则 A∩B ＝ {2} ．
∅ (2)设A＝{x|x<1}，B＝{x|x>2}，则A∩B＝ .
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(3)设 S＝{x|2x＋1>0}， T＝{x|3x－5<0}， 则 S∩T＝ A．∅ 5 C．{x|x>3} 1 B．{x|x<－2} 1 5 D．{x|－2<x<3}
D.
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(4)设A＝{1,2}，B＝{a,3}，若A∩B＝{1}，则 a＝ 1 ；若A∩B≠∅，则a＝ 1或2 .
(5)设A＝{x|x>－1}，B＝{x|x<－2}， 则A∩B＝ ∅ .
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一些性质（补充）： (A∩B)∩C＝A∩(B∩C)； (A∪B)∪C＝A∪(B∪C)； A∩(B∪C)＝(A∩B)∪(A∩C)； A∪(B∩C)＝(A∪B)∩(A∪C)．
•
总结评述：(1)中检验的是集合A、B中的 元素是否是互异的，a＝3时，B中元素a－5 与1－a相同，所以a＝3应舍去；(2)中进一 步检验A与B有没有不是9的公共元素，a＝5 时，A＝{－4，9，25}，B＝{0，－4，9}， 这时A∩B＝{－4，9}≠{9}，所以a＝5应舍 去．
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[解析] (1)∵9∈A∩B，∴9∈A ∴2a－1＝9或a2＝9，∴a＝5或a＝±3. 检验知：a＝5或a＝－3满足题意． (2)∵{9}＝A∩B，∴9∈A∩B， ∴a＝5或a＝±3. 检验知：a＝5时，A∩B＝{－4，9}不合题 意， ∴a＝－3.
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• 已知：A＝{x|2x2－ax＋b＝0}，B＝{x|bx2＋ (a＋2)x＋5＋b＝0}，且A∩B＝{ } } ，求 A∪B.
1 1 [分析] 由交集的定义知2∈A，且2∈B，于是可得关于 a、b 的二元方程组．解方程组求 a、b 的值，即可得集合 A、 B，再求 A∪B.
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A．{(0,1)，(1,2)} C．{(1,2)}
Байду номын сангаас2017/9/20 36
[解析] 设U＝{高一(3)班学生}，A＝{高一(3) 班参加语文小组的学生 }，B＝{高一(3)班参 加数学小组的学生}，则A∩B＝{高一(3)班既 参加语文小组又参加数学小组的学生}． • 有card(U)＝15＋card(A∪B)＝15＋card(A)＋ card(B) － card(A∩B) ＝ 15 ＋ 20 ＋ 22 － 10 ＝ 47(人)．故高一(3)班有47名学生．
• 要使A∪B＝R，则a≤1.
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7．你会求解下列问题吗？ 集合A＝{x|－2≤x<1}． (1)若B＝{x|x>m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m<－2 . (2)若B＝{x|x<m}，A⊆B，则m的取值范围 是 m≥1 . (3)若B＝{x|x<m－5或x≥2m－1}，A∩B＝ ∅，则m的取值范围是 1≤m≤3 .
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• 50名学生报名参加A、B两项课外活动小组， 报名参加A组的人数是全体学生数的五分 之三，报名参加B组的人数比报名参加A组 的人数多3人，两组都没报名的人数比同 时报名参加A、B两组人数的三分之一多1 人．求同时报名参加两组的人数．
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[解析]
设同时报名参加两组的人数为 x，
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例4 设A={4,5,6,8}, B={3,5,7,8},求A∪B.
解: A∪B={4,5,6,8} ∪ {3,5,7,8} ={3,4,5,6,7,8}
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例5 设集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3} 求A∪B.
解: A∪B={x|-1<x<2} ∪ {x|1<x<3}
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2．利用数形结合的思想，将满足条件的集合 用韦恩图或数轴一一表示出来，从而求集 合的交集、并集，这是既简单又直观且是 最基本、最常见的方法，要注意灵活运 用． 3．集合元素的互异性在解决集合的相等关系、 子集关系、交集等时常遇到，忽视它很多 时候会造成结果失误，解题时要多留 意．解决集合问题时，常常要分类讨论， 要注意划分标准的掌握，做到不重、不漏， 注意检验．
={x|-1<x<3}
注：本题还可以用数轴法。
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2.交集
考察下列各个集合,你能说出集合A,B与集合C 之间的关系吗?
(1)A={2,4,6,8,10}, B={3,5,8,12} ,C={8};
(2) A={x|x是新华中学2004年9月在校的女同学},
B={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级同学},
C={x|x是新华中学2004年9月入学的高一级女同 学}.
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一般地,由属于集合A且属于集合B的所有 元素组成的集合,称为A与B的交集,记作 A∩B,(读作“A交B”),即 A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
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例6 新华中学开运动会,设 A={x|x是新华中学高一年级参加百米赛跑的同学}
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若集合A＝{x|－2≤x≤3}，B＝{x|x<－1或x>4}， 则集合A∩B等于( ) A．{x|x≤3或x>4} B．{x|－1<x≤3} C．{x|3≤x<4} D．{x|－2≤x<－1} [答案] D [解析] 将集合A、B表示在数轴上，由数轴 可得A∩B＝{x|－2≤x<－1}，故选D.
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已知集合 A ＝ {1 ， 2 ， 3} ， B ＝ {2 ， m ， 4} ， A∩B＝{2，3}，则m＝________. [解析] 由题意知m＝3. [答案] 3
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6 ． 已 知 集 合 A ＝ {x|x≤1} ， B ＝ {x|x≥a} ， 且 A∪B ＝ R ， 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 ________． • [答案] a≤1 • [ 解析 ] 将集合 A 、 B 分别表示在数轴上， 如图所示．
，
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[ 例 6] 高一 (3) 班的学生中，参加语文课外小 组的有20人，参加数学课外小组的有22人， 既参加语文又参加数学小组的有10人，既未 参加语文又未参加数学小组的有15人，问高 一(3)班共有学生几人？ • [分析] 借助Venn图可直观地得出有限集元 素的个数．用 card(A) 表示集合 A中所含元素 的个数，则计数公式 card(A∪B) ＝ card(A) ＋ card(B)－Card(A∩B)
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若已知x∈A∪B，那么它包含三种情形： • ①x∈A且x∉B； • ②x∈B且x∉A； • ③x∈A且x∈B，这在解决与并集有关问题 时应引起注意．
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• 在求A∩B时，只要搞清两集合的公共元素 是什么或公共元素具有怎样的性质即 可．反之，若已知a∈A∩B，那么就可以 断定a∈A且a∈B；若A∩B＝∅，说明集合 A与B没有公共元素．
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[ 例 3] 已知 A ＝ {(x ， y)|4x ＋ y ＝ 6} ， B ＝ {(x ， y)|3x＋2y＝7}，则A∩B＝________.
[分析] 集合 A 和 B 的元素是有序实数对(x，y)，A、B 的解集．
4x＋y＝6 的交集即为方程组 3x＋2y＝7