高中数学必修2圆的一般方程
高中数学必修二课件：圆的一般方程(42张PPT)
立来判断，也可把左端配方，看右端是否为大于零的常数．
[精解详析]
法一：由方程x2＋y2－4mx＋
2my＋20m－20＝0， 可知D＝－4m，E＝2m，F＝20m－20， ∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝ 20(m－2)2， 因此，当m＝2时，它表示一个点， 当m≠2时，原方程表示圆的方程， 此时，圆的圆心为(2m，－m)， 1 半径为r＝2 D2＋E2－4F＝ 5|m－2|.
(1)2x2＋y2－7x＋5＝0；
(2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0；
(3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0； (4)2x2＋2y2－4x＝0.
解：(1)2x2＋y2－7x＋5＝0，
x2的系数为2，y2的系数为1.
∵2≠1，∴不能表示圆． (2)x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0， ∵方程中含xy项， ∴此方程不能表示圆． (3)x2＋y2－2x－4y＋10＝0.
法一：由x2＋y2－2x－4y＋10＝0知：
D＝－2，E＝－4，F＝10. ∵D2＋E2－4F＝(－2)2＋(－4)2－4×10 ＝20－40＝－20<0. ∴此方程不能表示圆．
法二：x2＋y2－2x－4y＋10＝0. 配方：(x－1)2＋(y－2)2＝－5， ∴方程x2＋y2－2x－4y＋10＝0不能表示圆． (4)∵2x2＋2y2－4x＝0， ∴x2＋y2－2x＝0， ∴(x－1)2＋y2＝1. ∴表示以(1,0)为圆心，1为半径的圆．
高一数学必修二 4.1.2 圆的一般方程
当m=2时,D2+E2-4F=0,原方程表示一个点;
当m≠2时,D2+E2-4F>0,原方程表示圆的方程,
此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为
r= 1 2
������2 + ������2-4������ =
5|������ − 2|.
题型一 题型二 题型三
精选例题
解法二:原方程可化为(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2, 当m=2时,原方程表示一个点; 当m≠2时,原方程表示圆的方程,
此时,圆的圆心坐标为(2m,-m),半径为 r= 5|������ − 2|.
反思形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示 圆时有如下两种方法:(1)由圆的一般方程的定义判断D2+E2-4F是 否为正.若D2+E2-4F>0,则方程表示圆,否则不表示圆.(2)将方程配 方变形成“标准”形式后,根据圆的标准方程的特征,观察是否可以表 示圆.
5
故 m 的取值范围为
-∞,
1 5
.
(2)将方程 x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0 化成标准方程为
(x+m)2+(y-1)2=1-5m.
故圆心坐标为(-m,1),半径 r= 1-5������.
高中数学 必修2：4.1 圆的方程
4.1 圆的方程
一、圆的标准方程
1．圆的标准方程
2．圆的标准方程的推导
如图，设圆的圆心坐标为(,)C a b ，半径长为r (其中a ,b ,r 都是常数，r >0).设()，M x y 为该圆上任意一点，那么圆心为C 的圆就是集合{}
|P M MC r ==.由两点间的距离公式，得圆上任意一点M 的坐标(x ,y )r = ①，①式两边平方，得222()()=x a y b r -+-.
3．点与圆的位置关系
圆C ：222()(0())x a y b r r -+-=>，其圆心为,()C a b ，半径为r ，点00(,)P x y ，设
||d PC ==.
二、圆的一般方程
1．圆的一般方程的定义
当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F +++=+表示一个圆，这个方程叫做圆的一般方程，其中圆心为
，半径r =.
2．圆的一般方程的推导
把以(,)a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，并整理得22222220x y ax by a b r +--++-=.取2222,2,D a E b F a b r =-=-=+-，得：
220x y Dx Ey F +++=+ ①.
把①的左边配方，并把常数项移到右边，得22224()()224
D E D E F x y +-+++=. 当且仅当时，方程表示圆，且圆心为，半径长为
； 当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22
D E x y =-=-，所以它表示一个点； 当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
2018-2019数学必修2：第二章2.2圆的一般方程
4F＞0)，则圆心坐标为(－D2 ，－E2)．
－E2＝D2 ，
D＝－6，
由题意可得 （22＋－24D）＋2－F＝4E0＋，F＝0，解得EF＝ ＝68， ，
所以圆的一般方程为 x2＋y2－6x＋6y＋8＝0，
化为标准方程为(x－3)2＋(y＋3)2＝10.
在本例中“圆心在y＝－x上”改为“圆心在y
2．圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是( D )
A．(2，3)
B．(－2，3)
C．(－2，－3)
D．(2，－3)
解析：化成标准方程为(x－2)2＋(y＋3)2＝13，
所以圆心为(2，－3)．
3．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)表示的曲 线关于y＝x对称，那么必有( A ) A．D＝E B．D＝F C．E＝F D．D＝E＝F 解析：由题得该方程表示圆，且圆心在y＝x上，再结合一般 方程的意义，可得D＝E.
1．圆的一般方程 方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 (1)当_D_2_＋__E_2_－__4_F_＝__0__时，方程表示一个点，该点的坐标为(－
D2 ，－E2)； (2)当__D_2_＋__E_2_－__4_F_<__0_时，方程不表示任何图形； (3)当__D_2_＋__E_2_－__4_F_>__0_时，方程表示的曲线为圆，它的圆心坐
必修2——4.1.2圆的一般方程
2 2
2
2
２、当
D E 4F 0
2 2
时，
D E 方程表示一个点 ( , ) 2 2
3、当
D E 4F 0
2 2
时，
方程不表示任何图形．
概念
2
圆的一般方程
2
x y Dx Ey F 0
( D E 4F 0)
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
2 2
先将方程配方，变形为
D E D E 4F x y 2 2 4
2 2
2
2
１、当 D E 4F 0 时，方程表示圆
2 2
圆心
D E ( , ) 2 2
半径长 1 2 2 D E 4F 2
D E D E 4F x y 2 2 4
由已知圆过三点O，M1，M2把三点坐标代入圆的 方程，得
F 0 D E F 2 0 4 D 2 E F 0
解得
D 8, E 6, F 0
所以，所求圆的方程是 x y 8 x 6 y 0
2 2
例2、已知线段 AB的 B端坐标是(4, 3), 端点 A在圆( x 1) 2 y 2 4上运动. 求线段中点 M的轨迹方程
2
人教版数学必修2 第4章 圆与方程 圆的一般方程
2 2
4 .1.2 圆的一般方程
x 2 y 2 Dx Ey F 0
配方, 得
D E D E 2 x Dx y Ey F 0 4 4 4 4 整理, 得 D 2 E 2 D 2 E 2 4F (x ) ( y ) 2 2 4
4 .1.2 圆的一般方程
( x a )2 ( y b )2 r 2
展开得
x 2 2ax a 2 y 2 2by b2 r 2
整理得
x 2 y 2 2ax 2by (a 2 b2 r 2 ) 0
一般地， 圆的标准方程可表示为
x 2 y 2 Dx Ey F 0
2 2
(*)
(1) 当D 2 E 2 4F 0时, 方程(*)表示一个圆； ( 2 )当D 2 E 2 4F 0时, 方程(*)表示一个点； ( 3 )当D 2 E 2 4F 0时, 方程(*)不表示任何图形 .
完成课本P123练习 1,2
例1.求过三点A(2,2), B(5,3), C (3,1)的圆的方程.
解：
例2. 圆C与x轴交于A(1,0), B( 3,0)两点, 被y轴所截弦长为 2 3, 求圆C的方程. 解：
例3. 已知B(2,0),点A为圆x y 1上动点，求线段AB的
人教A高中数学必修二4.1.2 圆的一般方程
例5、已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),
端点A在圆x12y2 4上运动，求线段
AB的中点M的轨迹方程.
点M的轨迹是
参变量简单化
x2y2Dx E y F0 ①
结论:
● 任何圆都可以（展开）用形如：
x2y2Dx E y F0
二元二次方程表示.
思考:
● 反之是否成立？
即：x2y2Dx E y F0
是否一定表示圆？
思考:
● 形如：x2y2Dx E y F0
的二元二次方程是否一定表示圆？
人教版高中数学必修2
4.1.2圆的一般方程
复习回顾:
1、圆的标准方程是什么？ 2、其中圆心的坐标和半径各是什么？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样 的式子？
思考:
● 将圆的标准方程展开会得怎样的式
子？
x a 2 y b 2r2
展开、整理
x 2 y 2 2 a 2 x b a y 2 b 2 r 2 0
谢谢！
1.成为世界上经济增长速度最快的国 家，创 造了世 界经济 增长史 上的新 奇迹。 1.否定商 品经济 的存在 ，否定 市场及 价值规 律对经 济的调 节作用 。 35、生命是以时间为单位的，浪费别 人的时 间等于 谋财害 命;浪费 自己的 时间， 等于慢 性自杀 。—— 鲁迅 36、社会上崇敬名人,于是以为名人的 话就是 名言, 却忘记 了他之 所以得 名是那 一种学 问或事 业--鲁迅 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。 39、事先写出自己所要提出的每点意 见，以 合乎逻 辑的顺 序表达 出来： 言简意 骇，抓 住重点 。 2、人生的成功，不在于拿到一幅好 牌，而 是怎样 将坏牌 打好。 3、人生的路每一个人都要走一趟， 同样是 一条路 每一个 人走起 来却有 着不同 的感受 ，是好 是坏那 就要靠 几分的 机缘与 自己的 抉择。 38、推销员接近顾客的方式，往往决 定自己 在他们 心目中 的地位 是“接 单者” 还是“ 建议者 ”。
高中数学必修2圆与方程(教师用)
圆的方程知识点与题型
1. 确定圆方程需要有三个互相独立的条件.圆的方程有两种形式，要注意各种形式的圆方程的适用范围.
(1) 圆的标准方程：(x －a)2
＋(y －b)2
＝r 2
，其中(a ，b)是圆心坐标，r 是圆的半径； (2) 圆的一般方程：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0 (D 2
＋E 2
－4F ＞0)，圆心坐标为(2
,2E
D --
)，半径为r ＝2
422F
E D -+
2. 直线与圆的位置关系的判定方法.
(1) 法一：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：x 2
＋y 2
＋Dx ＋Ey ＋F ＝0.
消元⎩⎨⎧=++++=++002
2F Ey Dx y x C By Ax 一元二次方程⎪⎩
⎪⎨⎧⇔<∆⇔=∆⇔>∆−−→−相离
相切相交
判别式
000 (2) 法二：直线：Ax ＋By ＋C ＝0；圆：(x －a)2
＋(y －b)2
＝r 2
，圆心(a ，b)到直线的距离为d ＝
⎪⎩
⎪
⎨⎧⇔>⇔=⇔<→+++相离相切相交r d r d r d B A C Bb Aa 2
2. 3. 两圆的位置关系的判定方法.
设两圆圆心分别为O 1、 O 2，半径分别为r 1、 r 2， ｜O 1O 2｜为圆心距，则两圆位置关系如下： ｜O 1O 2｜＞r 1＋r 2⇔两圆外离；｜O 1O 2｜＝r 1＋r 2⇔两圆外切； ｜r 1－r 2｜＜｜O 1O 2｜＜r 1＋r 2⇔两圆相交；
｜O 1O 2｜＝｜r 1－r 2｜⇔两圆内切； ０＜｜O 1O 2｜＜｜r 1－r 2｜⇔两圆内含. 一、圆的方程
高中数学必修2直线与圆常考题型：圆的一般方程
圆的一般方程
【知识梳理】
圆的一般方程
(1)圆的一般方程的概念：
当D 2＋E 2－4F ＞0时，二元二次方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0叫做圆的一般方程．
(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：
圆的一般方程x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0(D 2＋E 2－4F ＞0)表示的圆的圆心为(－D 2，－E 2
)，半径长为12
D 2＋
E 2－4
F . 【常考题型】
题型一、圆的一般方程的概念辨析
【例1】 若方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0表示圆，
求(1)实数m 的取值范围；
(2)圆心坐标和半径．
[解] (1)据题意知
D 2＋
E 2－4
F ＝(2m )2＋(－2)2－4(m 2＋5m )＞0，
即4m 2＋4－4m 2－20m ＞0， 解得m ＜15
， 故m 的取值范围为(－∞，15
)． (2)将方程x 2＋y 2＋2mx －2y ＋m 2＋5m ＝0写成标准方程为(x ＋m )2＋(y －1)2＝1－5m ， 故圆心坐标为(－m,1)，半径r ＝1－5m .
【类题通法】
形如x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法： ①由圆的一般方程的定义令D 2＋E 2－4F ＞0，成立则表示圆，否则不表示圆，②将方程配方后，根据圆的标准方程的特征求解，应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．
【对点训练】
1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．
数学必修二课件4.1.2圆的一般方程
1 2 2 2 半径r＝2 D ＋E －4F＝ 2 |a|.
13
• 圆的一般方程的求法
【例2】 (2015年吉林高一检测)已知圆C：x2＋y2＋Dx＋ Ey＋3＝0，圆心在直线x＋y－1＝0上且圆心在第二象限，半径 为 2，求圆的一般方程．
1
• 4.1.2 圆的一般方程
2
目标定位 重点难点 1.正确理解圆的方 重点：百度文库用待定系 程的形式及特点， 数法求圆的一般 会由一般式求圆 方程，标准方程 心和半径． 与一般方程的互 2．会在不同条件下 化． 求圆的一般式方 难点：求动点的轨 程. 迹方程.
3
1．圆的一般方程的定义 2＋E2－4F>0 (1)当D _____________ 时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做
2
7
• 3．思一思：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定 表示圆吗？若能表示圆，写出D，E，F满足 的条件. D2＋E2－4F D E
【解析】将方程配方得 x＋ 2 2＋ x＋ 2 2＝
4
，
若该方程表示圆的方程，需D2＋E2－4F>0，故方程x2＋y2＋Dx ＋Ey＋F＝0不一定表示圆的方程，只有D2＋E2－4F>0时，该 方程才表示一个圆．
11
• 1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求 其圆心和半径． • (1)x2＋y2＋x＋1＝0； • (2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)； • (3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．
数学必修二圆的方程知识点总结
数学必修二圆的方程知识点总结
数学必修二圆的方程知识点总结
总结是指对某一阶段的工作、学习或思想中的经验或情况加以总结和概括的书面材料，它可以给我们下一阶段的学习和工作生活做指导，快快来写一份总结吧。但是却发现不知道该写些什么，以下是小编收集整理的数学必修二圆的方程知识点总结，希望能够帮助到大家。
圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r；
（2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点；当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，
需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的`位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l的距离为，则有；；
（2）过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程（3）过圆上一点的切线方程：圆（x—a）2+（y—b）2=r2，圆上一点为（x0，y0），则过此点的切线方程为（x0—a）（x—a）+（y0—b）（y—b）=r2
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）
之间的大小比较来确定。
设圆，
两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d）之间的大小比较来确定。
人教版数学必修2课件-圆的一般方程
例4. 等腰三角形的顶点A的坐标是 (4, 2)，底边一个端点B的坐标是 (3, 5)，求另一端点C的轨迹方程， 并说明它是什么图形.
例5. 长为2a的线段AB的两个端点 A和B分别在x轴和y轴上滑动，求 线段AB的中点的轨迹方程.
练习 1. P.123练习第3题. 2. 已知一曲线是与两定点O(0, 0),A(3, 0) 的距离的比为 1 的点的轨迹，求这个
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
4
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点 ( D , E ). 22
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
①
x
D 2
y
E
2
D2
E2
4F
②
2 2
4
(2) 当D2＋E2－4F＝0时，方程①表示点 ( D , E ). 22
(3) 当D2＋E2－4F＜0时，方程①没有实 数解，因而它不表示任何图形．
结 论：
当D2＋E2－4F＞0时， 方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个圆， 这个方程叫做圆的一般方程．
例1.求过三点O(0, 0), M1(1, 1), M2(4, 2) 的圆的方程, 并求这个圆的半径长和圆 心坐标.
2
圆的方程公式一般式
圆的方程公式一般式
圆是数学中的一个重要概念，它具有许多独特的性质和特点。圆的方程公式一般式为x^2 + y^2 = r^2，其中(x, y)是圆上任意一点的坐标，r是圆的半径。
圆的美妙之处在于它的完美对称性和无限延伸性。无论我们从哪个角度观察，圆都是一样的，没有任何尖锐的边缘或角落。这种和谐的形状给人一种安心和宁静的感觉。
在自然界中，我们可以看到许多圆形的事物。例如，太阳是一个巨大的圆形物体，它给我们带来温暖和光明。月亮也是一个圆形的天体，它的光芒在黑暗的夜空中照亮了我们的世界。
圆也在人类的日常生活中扮演着重要角色。例如，我们常见的钟表就是圆形的，它帮助我们记录时间，让我们能够高效地组织我们的生活。轮胎也是圆形的，它们给汽车提供了平稳的行驶和舒适的乘坐体验。
除了实际应用，圆也在艺术领域中得到了广泛的运用。许多艺术家喜欢使用圆形来表达他们的创作理念。圆的柔和曲线和无限延伸的特性使得它成为了许多优美画作和雕塑的主题。
总的来说，圆作为一个数学概念和几何形状，具有丰富的内涵和广泛的应用。它不仅存在于自然界和我们的日常生活中，还在艺术中扮演着重要角色。圆给人一种和谐、完美和平静的感觉，让我们感
受到宇宙中的秩序和美丽。无论是在数学上还是在现实生活中，圆都是一种令人赞叹的形状。
人教A高中数学必修二4. 圆的一般方程
x2y26x8y0
半径为 r1 D2E24F5 2
圆心为 3 , 4
人 教 A 高 中数 学必修 二4. 圆 的 一 般方程
人 教 A 高 中数 学必修 二4. 圆 的 一 般方程
结论：在使用待定系数法求圆方程时，何 时选择圆标准方程，何时选择圆的一般方 程？
通常情况下，如果题目所给的已知条 件容易求圆心坐标、半径或需要用圆心、 半径列方程，则设出圆的标准方程，如果 已知条件和圆心坐标或半径没有直接关系， 则设出圆的一般方程。
8．能够由具体的阅读材料进行拓展和 迁移， 联系相 关的文 学名著 展开分 析，提 出自己 的认识 和看法 ，说出 自己阅 读文学 名著的 感受和 体验。
9巧妙结合故事情节，在尖锐的矛盾冲 突中， 充分深 刻显示 人物复 杂内心 世界， 突出了 对人物 性格的 刻画， 使其有 血有肉 ，栩栩 如生。
xD 22yE 22D2E 424F
结论:
● 形如：x2y2Dx E y F0①
的二元二次方程不一定表示圆？
wenku.baidu.com
⑴ 当 D2E24F0时，①式表示圆，其
圆心为 ( D , E ) ，半径为 1 D2 E2 4F
22
2
另外：
⑵ 当 D2E24F0时，①式表示点( D , E )
22
⑶ 当 D2E24F0时，①式不表示图形.
必修二数学圆与方程知识点总结
必修二数学圆与方程知识点总结
必修二数学圆与方程知识点总结
总结就是把一个时段的学习、工作或其完成情况进行一次全面系统的总结，它可以提升我们发现问题的能力，因此十分有必须要写一份总结哦。总结一般是怎么写的呢？下面是小编收集整理的必修二数学圆与方程知识点总结，希望对大家有所帮助。
必修二数学圆与方程知识点总结1
圆的一般方程
圆的标准方程是一个关于x和y的二次方程，将它展开并按x、y 的降幂排列，得：
x+y—2ax—2by+a+b—R=0
设D=—2a，E=—2b，F=a+b—R；则方程变成：
x+y+Dx+Ey+F=0
任意一个圆的方程都可写成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比较，可以看出它有这样的特点：
（1）x2项和y2项的系数相等且不为0（在这里为1）；
（2）没有xy的乘积项。
Ax+Bxy+Cy+Dx+Ey+F=0
圆的端点式：
若已知两点A（a1，b1），B（a2，b2），则以线段AB为直径的圆的方程为（x—a1）（x—a2）+（y—b1）（y—b2）=0 圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
经过圆x+y=r上一点M（a0，b0）的切线方程为a0·x+b0·y=r 在圆（x+y=r）外一点M（a0，b0）引该圆的两条切线，且两切点为A，B，则A，B两点所在直线的方程也为a0·x+b0·y=r。
圆的性质有哪些
1、圆是定点的距离等于定长的点的集合
2、圆的内部可以看作是圆心的距离小于半径的点的集合
3、圆的外部可以看作是圆心的距离大于半径的点的集合
4、同圆或等圆的半径相等。
圆是一种几何图形，指的是平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合。这个给定的点称为圆的圆心。作为定值的距离称为圆的半径。当一条线段绕着它的一个端点在平面内旋转一周时，它的另一个端点的轨迹就是一个圆。圆的直径有无数条；圆的对称轴有无数条。圆的直径是半径的2倍，圆的半径是直径的一半。
高中数学必修二圆的一般式方程
2 2
(2)当D E 4F 0时,
方程x y
2
D E Dx Ey F 0表示点 ( , ) 2 2
2 2
(3)当D E 4F 0时,
方程x y
2
Dx Ey F 0不表示任何图形 .
[定义] : 圆的一般方程
x y
2
2
Dx Ey F 0
展开
一般方程
标准方程
[探究]：
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
(1).若已知条件涉及圆心和半径,我们一般 采用圆的标准方程较简单. 例1： 解：
把点(5,1)代入方程, 得r 13,
2
故所求圆的方程为:
(2) .若已知三点求圆的方程,我们常采用 圆的一 般方程用待定系数法求解
例题1. 自点A(-3，3)发射的光线l 射到x轴上，被x轴反射， 其反射光线所在的直线与圆x2+y2-4x-4y+7=0相切，
求反射光线所在直线的方程.
A(-3，3) • C(2, 2)
•
• B(-3，-3)
思考题：
已知圆C:x 2 y 2 m 0与直线x y 1 0相交于P, Q两点， O为坐标原点，若OP OQ, 求m的值。
展开后，会得出怎样的形式？
2 2ax 2by 2 2 2 0 2 y x a b r
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(D ) ( D)4,6,3
( A)4,6,3
(2)
2 + y 2 2ax y + a = 0 x
是圆的方程的充要条件是
1 1 1 ( A)a < ( B)a > (C )a = 2 2 2 (3)圆 x2 + y 2 + 8x 10y + F = 0 与 x
轴所得的弦长是
1 ( D)a ≠ 2
令 2a = D , 2b = E , a + b r = F
2 2 2
百度文库
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ 问：是不是任何一个形如
x + y 2ax 2 3ay + 3a = 0
2 2 2
可以得到不同的圆： 可以得到不同的圆： （1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？ ）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？ （2）这些圆是否有公切线？（留后） ）这些圆是否有公切线？ 留后）
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， 已知一曲线是与两个定点O(0，0)， O(0
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程, 练习： 判断下列方程能否表示圆的方程 若能写出圆心与半径 圆心（ 半径3 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 ）
圆心（ （2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 ）
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0 ）
设圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组 把点 ， ， 的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = 6, E = 8.
所求圆的方程为： 所求圆的方程为：
2 + y2 6x 8y = 0 x
1、A ＝ C ≠ 0 、 2、B=0 、 3、 、
D2＋E2－4AF＞0 ＞
}
二元二次方程 表示圆的一般方程
9. [简单的思考与应用] (1)已知圆
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x
( B ) 4,6,3 (C ) 4,6,3
的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
经验积累： 经验积累：
注：用待定系数法求圆的方程的步骤： 用待定系数法求圆的方程的步骤： １．根据题意设出所求圆的方程为标准式或 一般式。 一般式。 ２．根据条件列出关于ａ，ｂ，ｃ或Ｄ，Ｅ， 根据条件列出关于ａ，ｂ，ｃ或 ａ，ｂ，ｃ Ｆ的方程。 的方程。 ３．解方程组，求出ａ，ｂ，ｃ或Ｄ，Ｅ， 解方程组，求出ａ，ｂ，ｃ或 ａ，ｂ，ｃ Ｆ的值，代入方程，就得到要求的方程． 的值，代入方程，就得到要求的方程．
D
y
轴相切,则这个圆截
( A)6
(B )5
(C )4
A ( D )3
(4)点
A(3,5) 是圆
2+ y24x 8y 80= 0 x
的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
x + y 8 = 0
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
(1)若已知条件涉及圆心和半径 我们一般采用 若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用 若已知条件涉及圆心和半径 圆的标准方程较简单. 圆的标准方程较简单 练习： 练习： 求过点A(5,1), 圆心为(8,3)的圆的方程.
变题： 的三个顶点坐标为A(-1,5)、 变题：△ABC的三个顶点坐标为 的三个顶点坐标为 、 B(-2,-2)、C(5,5)，求其外接圆的方程。 、 ，求其外接圆的方程。
例2：已知一曲线是与两定点 ：已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0) 、 距离的比为1/2的点的轨迹 求此曲线的方程， 的点的轨迹， 距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程， 并画出曲线。 并画出曲线。 取不同的非零实数时， 例3、当a取不同的非零实数时，由方程 、 取不同的非零实数时
所以形如x Dx＋Ey＋ 4F>0） 所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
圆的一般方程： 圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝
4F>0） （D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系： 圆的一般方程与标准方程的关系： 一般方程 的关系
3.已知直线 1:mx-y=0，l2:x+my-m-2=0 已知直线l 已知直线 ， 求证：对于m∈ 的交点P在一个定圆上 求证：对于 ∈R,l1,l2的交点 在一个定圆上 更多资源xiti123.taobao.com 更多资源
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 标准方程: 特征：直接看出圆心与 特征：直接看出圆心与半径 圆心
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是 ） （5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是 ）
圆的一般方程： 圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ 4F>0） （D2+E2-4F>0） 二元二次方程： 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＋ ＝ 的关系:
设圆的方程为( x 8) + ( y + 3) = r
2 2
2
把点(5,1)代入得r = 13,
2
( x 8) + ( y + 3) = 13
2 2
故圆的方程为x + y 6 x 8 y = 0
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程 我们常采用圆的一 若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 若已知三点求圆的方程 般方程用待定系数法求解. 般方程用待定系数法求解 求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程. 练习： 练习：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示 ＋ ＋ ＝ 的曲线是圆呢？ 的曲线是圆呢？ 请举例
把方程： 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ D 2 E 2 D2 + E 2 4 F 配方可得： 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ） 时 表示以（ 为圆心， 为圆心，以(
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
展开， 标准方程（ 把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 2ax 2by + a 2 + b2 r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数 均为常数 由于
本节课用的数学方法和数学思想方法: ①数学方法: 配方法 (求圆心和半径 数学方法 求圆心和半径). 求圆心和半径 ②数学思想方法: 数学思想方法 (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 ⅰ (原则是不重复 不遗漏 原则是不重复,不遗漏 原则是不重复 不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法 ⅱ 方程的思想 待定系数法) 待定系数法 (ⅲ)数形结合的思想 ⅲ 数形结合的思想
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。 求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直译法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x 3 = 0
2 2
知a、b、r 、 、 （x-a)2+(y-b)2=r2 配 圆的方程 方 展 开
1.若实数 满足等式 若实数x,y满足等式 若实数 满足等式(x-2)2+y2=3，那么 ，
y 的最大值 x
2.已知 已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点 的距离是它到点 的距离 到点P的距离是它到点 已知 ， 到点 的距离是它到点Q的距离 的轨迹方程， 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线 ， 的轨迹方程 并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离 3.已知 已知P(x,y)为圆 2+y2-6x-4y+12=0上的点 为圆x 已知 为圆 上的点 (1)求 y 的最小值 求 x (2)求x2+y2的最大值与最小值 求 4.已知圆 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为 的直线 已知圆 问 是否存在斜率为1的直线 被圆C截得得弦 为直径的圆过原点， 使l被圆 截得得弦 为直径的圆过原点，若存在，写出 被圆 截得得弦AB为直径的圆过原点 若存在， 直线方程
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10. [课堂小结] (1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F x D 2 + E 2 4 F > 0 = 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 → 标准方程(圆心,半径) 一般方程 ← 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解) (4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: 我们一般采用圆的标准方程较简单. ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单 若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用圆的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 若已知三点求圆的方程 我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. 法求解
练习 1。点P(5a+1,12a)在圆 。 在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值 的内部， 的内部 的取值 在圆 . 范围是
2t 1 t 2 , 2.点P( )与圆 2+y2=1的位置关系是 ( ) 与圆x 的位置关系是 点 2 2 与圆 1+ t 1+ t
A 在圆内 Ｂ在圆外 C 在圆上 D与t有关 与 有关
1 D2 + E2 4F 2
D E , ） 2 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解 ） 时 方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2，表示一个点（ 2 , 2 ） ，表示一个点（
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以 ） ＜ 时 ）无实数解， 不表示任何图形。 不表示任何图形。
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F 、 、
D2+E2 －4F>0
例题巩固： 例题巩固：
表示圆时， 例１．方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时， 方程 表示圆时 m的取值范围是（ 的取值范围是（ 的取值范围是 ）
1 A. < m<1 B. m >1 4
C.m < 1 1 D. m< 或m >1 4 4
1 2 2 D + E 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= ） ， ， 2 易于看出圆心 （2）标准方程易于看出圆心与半径 ）标准方程易于看出圆心与
一般方程突出形式上的特点： 一般方程突出形式上的特点： 突出形式上的特点
x2与y2系数相同并且不等于 ； 系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项 没有 这样的二次项