高中数学必修2圆的一般方程

(D ) ( D)4,6,3
( A)4,6,3
(2)
2 + y 2 2ax y + a = 0 x
是圆的方程的充要条件是
1 1 1 ( A)a < ( B)a > (C )a = 2 2 2 (3)圆 x2 + y 2 + 8x 10y + F = 0 与 x
轴所得的弦长是
1 ( D)a ≠ 2
令 2a = D , 2b = E , a + b r = F
2 2 2
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结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝
结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ 问：是不是任何一个形如
x + y 2ax 2 3ay + 3a = 0
2 2 2
可以得到不同的圆： 可以得到不同的圆： （1）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？ ）这些圆的圆心是否都在某一条直线上？ （2）这些圆是否有公切线？（留后） ）这些圆是否有公切线？ 留后）
例2：已知一曲线是与两个定点O(0，0)， 已知一曲线是与两个定点O(0，0)， O(0
练习： 判断下列方程能否表示圆的方程, 练习： 判断下列方程能否表示圆的方程 若能写出圆心与半径 圆心（ 半径3 （1）x2+y2-2x+4y-4=0 是 圆心（1，-2）半径3 ）
圆心（ （2）2x2+2y2-12x+4y=0 是 圆心（3，-1）半径 10 ）
（3）x2+2y2-6x+4y-1=0 ）
设圆的方程为 x + y + Dx + Ey + F = 0
2 2
把点A，B，C的坐标代入得方程组 把点 ， ， 的坐标代入得方程组
6 + 6D + F = 0 2 8 + 8E + F = 0
2
F =0
D = 6, E = 8.
所求圆的方程为： 所求圆的方程为：
2 + y2 6x 8y = 0 x
1、A ＝ C ≠ 0 、 2、B=0 、 3、 、
D2＋E2－4AF＞0 ＞
}
二元二次方程 表示圆的一般方程
9. [简单的思考与应用] (1)已知圆
2 + y 2 + Dx + Ey + F = 0 x
( B ) 4,6,3 (C ) 4,6,3
的圆心坐标为
(-2,3),半径为4,则D,E,F分别等于
经验积累： 经验积累：
注：用待定系数法求圆的方程的步骤： 用待定系数法求圆的方程的步骤： １．根据题意设出所求圆的方程为标准式或 一般式。 一般式。 ２．根据条件列出关于ａ，ｂ，ｃ或Ｄ，Ｅ， 根据条件列出关于ａ，ｂ，ｃ或 ａ，ｂ，ｃ Ｆ的方程。 的方程。 ３．解方程组，求出ａ，ｂ，ｃ或Ｄ，Ｅ， 解方程组，求出ａ，ｂ，ｃ或 ａ，ｂ，ｃ Ｆ的值，代入方程，就得到要求的方程． 的值，代入方程，就得到要求的方程．
D
y
轴相切,则这个圆截
( A)6
(B )5
(C )4
A ( D )3
(4)点
A(3,5) 是圆
2+ y24x 8y 80= 0 x
的一条弦的中点,
则这条弦所在的直线方程是
x + y 8 = 0
圆的一般方程与圆的标准方程在应用上的比较
(1)若已知条件涉及圆心和半径 我们一般采用 若已知条件涉及圆心和半径,我们一般采用 若已知条件涉及圆心和半径 圆的标准方程较简单. 圆的标准方程较简单 练习： 练习： 求过点A(5,1), 圆心为(8,3)的圆的方程.
变题： 的三个顶点坐标为A(-1,5)、 变题：△ABC的三个顶点坐标为 的三个顶点坐标为 、 B(-2,-2)、C(5,5)，求其外接圆的方程。 、 ，求其外接圆的方程。
例2：已知一曲线是与两定点 ：已知一曲线是与两定点O(0,0)、P(3,0) 、 距离的比为1/2的点的轨迹 求此曲线的方程， 的点的轨迹， 距离的比为 的点的轨迹，求此曲线的方程， 并画出曲线。 并画出曲线。 取不同的非零实数时， 例3、当a取不同的非零实数时，由方程 、 取不同的非零实数时
所以形如x Dx＋Ey＋ 4F>0） 所以形如x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 （D2+E2-4F>0） 可表示圆的方程
圆的一般方程： 圆的一般方程：
x2 ＋y
2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝
4F>0） （D2+E2-4F>0）
圆的一般方程与标准方程的关系： 圆的一般方程与标准方程的关系： 一般方程 的关系
3.已知直线 1:mx-y=0，l2:x+my-m-2=0 已知直线l 已知直线 ， 求证：对于m∈ 的交点P在一个定圆上 求证：对于 ∈R,l1,l2的交点 在一个定圆上 更多资源xiti123.taobao.com 更多资源
知识回顾：
(1) 圆的 标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2 标准方程: 特征：直接看出圆心与 特征：直接看出圆心与半径 圆心
不是
（4）x2+y2-12x+6y+50=0 不是 ） （5）x2+y2-3xy+5x+2y=0 不是 ）
圆的一般方程： 圆的一般方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ 4F>0） （D2+E2-4F>0） 二元二次方程： 二元二次方程：A x2 +Bxy＋Cy 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＋ ＝ 的关系:
设圆的方程为( x 8) + ( y + 3) = r
2 2
2
把点(5,1)代入得r = 13,
2
( x 8) + ( y + 3) = 13
2 2
故圆的方程为x + y 6 x 8 y = 0
2 2
圆的一般方程与圆的标准方程在运用上的比较
(2).若已知三点求圆的方程 我们常采用圆的一 若已知三点求圆的方程,我们常采用圆的一 若已知三点求圆的方程 般方程用待定系数法求解. 般方程用待定系数法求解 求过三点A(0,0), B(6,0), C (0,8)的圆的方程. 练习： 练习：
x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 方程表示 ＋ ＋ ＝ 的曲线是圆呢？ 的曲线是圆呢？ 请举例
把方程： 把方程：x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 ＋ ＋ ＝ D 2 E 2 D2 + E 2 4 F 配方可得： 配方可得： ( x + ) + ( y + ) = 2 2 4
（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（ ） 时 表示以（ 为圆心， 为圆心，以(
指出下面圆的圆心和半径：
(x-1)2+(y+2)2=2 (x+2)2+(y-2)2=5 (x+a)2+(y-2)2=a2 (a≠0)
展开， 标准方程（ 把圆的 标准方程（x-a)2+(y-b)2=r2 展开，得
x + y 2 2ax 2by + a 2 + b2 r 2 = 0
2
由于a,b,r均为常数 均为常数 由于
本节课用的数学方法和数学思想方法: ①数学方法: 配方法 (求圆心和半径 数学方法 求圆心和半径). 求圆心和半径 ②数学思想方法: 数学思想方法 (ⅰ) 问题转化和分类讨论的思想 ⅰ (原则是不重复 不遗漏 原则是不重复,不遗漏 原则是不重复 不遗漏) (ⅱ)方程的思想 (待定系数法 ⅱ 方程的思想 待定系数法) 待定系数法 (ⅲ)数形结合的思想 ⅲ 数形结合的思想
1 A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， A(3，0)距离的比为 的点的轨迹， 2
求此曲线的方程，并画出曲线。 求此曲线的方程，并画出曲线。
y
直译法
M(x,y)
.
（-1，0） O
.
.
A(3,0)
x
x + y + 2x 3 = 0
2 2
知a、b、r 、 、 （x-a)2+(y-b)2=r2 配 圆的方程 方 展 开
1.若实数 满足等式 若实数x,y满足等式 若实数 满足等式(x-2)2+y2=3，那么 ，
y 的最大值 x
2.已知 已知P(2,0),Q(8,0)，点M到点 的距离是它到点 的距离 到点P的距离是它到点 已知 ， 到点 的距离是它到点Q的距离 的轨迹方程， 的1/5，求M的轨迹方程，并求轨迹上的点到直线 ， 的轨迹方程 并求轨迹上的点到直线l:8x-y-1=0 的最小距离 3.已知 已知P(x,y)为圆 2+y2-6x-4y+12=0上的点 为圆x 已知 为圆 上的点 (1)求 y 的最小值 求 x (2)求x2+y2的最大值与最小值 求 4.已知圆 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问：是否存在斜率为 的直线 已知圆 问 是否存在斜率为1的直线 被圆C截得得弦 为直径的圆过原点， 使l被圆 截得得弦 为直径的圆过原点，若存在，写出 被圆 截得得弦AB为直径的圆过原点 若存在， 直线方程
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10. [课堂小结] (1)本节课的主要内容是圆的一般方程,其表达式为
2 + y 2 + Dx + Ey + F x D 2 + E 2 4 F > 0 = 0
(2)[圆的一般方程与圆的标准方程的联系] 配方 → 标准方程(圆心,半径) 一般方程 ← 展开 (3)给出圆的一般方程,如何求圆心和半径? (用配方法求解) (4)要学会根据题目条件,恰当选择圆方程形式: 我们一般采用圆的标准方程较简单. ①若知道或涉及圆心和半径,我们一般采用圆的标准方程较简单 若知道或涉及圆心和半径 我们一般采用圆的标准方程较简单 ②若已知三点求圆的方程,我们常常采用圆的一般方程用待定系数 若已知三点求圆的方程 我们常常采用圆的一般方程用待定系数 法求解. 法求解
练习 1。点P(5a+1,12a)在圆 。 在圆(x-1)2+y2=1的内部，则a的取值 的内部， 的内部 的取值 在圆 . 范围是
2t 1 t 2 , 2.点P( )与圆 2+y2=1的位置关系是 ( ) 与圆x 的位置关系是 点 2 2 与圆 1+ t 1+ t
A 在圆内 Ｂ在圆外 C 在圆上 D与t有关 与 有关
1 D2 + E2 4F 2
D E , ） 2 2
) 为半径的圆
（2）当D2+E2-4F=0时，方程只有一组解 ） 时 方程只有一组解X=-D/2
D E y=-E/2，表示一个点（ 2 , 2 ） ，表示一个点（
（3）当D2+E2-4F＜0时，方程（1）无实数解，所以 ） ＜ 时 ）无实数解， 不表示任何图形。 不表示任何图形。
X2+y2+Dx+Ey+F=0
知D、E、F 、 、
D2+E2 －4F>0
例题巩固： 例题巩固：
表示圆时， 例１．方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆时， 方程 表示圆时 m的取值范围是（ 的取值范围是（ 的取值范围是 ）
1 A. < m<1 B. m >1 4
C.m < 1 1 D. m< 或m >1 4 4
1 2 2 D + E 4F （1）a=-D/2，b=-E/2，r= ） ， ， 2 易于看出圆心 （2）标准方程易于看出圆心与半径 ）标准方程易于看出圆心与
一般方程突出形式上的特点： 一般方程突出形式上的特点： 突出形式上的特点
x2与y2系数相同并且不等于 ； 系数相同并且不等于0； 没有xy这样的二次项 没有 这样的二次项