一道三角考题的编制与思考

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初中数学知识归纳三角函数题的解题思路与方法

初中数学知识归纳三角函数题的解题思路与方法三角函数是初中数学中的重要内容之一，它在几何学和物理学等领域中有着广泛的应用。

解决三角函数题目需要掌握一定的解题思路和方法。

本文将对初中数学中与三角函数相关的题目进行归纳，并介绍解题的思路和方法。

一、正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最基本的函数之一，应用范围广泛。

在解决正弦函数题目时，我们可以采用以下步骤：1. 确定已知条件：首先，我们需要仔细阅读题目，了解已知条件，包括角度、边长等。

将已知条件记录下来，方便后续计算。

2. 判断使用的关系式：根据已知条件确定使用的正弦函数关系式。

在角度已知且需要求解边长的情况下，我们可以使用正弦函数的定义式sinθ = 对边/斜边，通过已知条件得出未知边长的值。

3. 计算未知边长：根据已知条件和所使用的关系式，进行计算并解方程，求解未知边长。

注意精确计算，包括乘除运算、开方运算等。

4. 检查和解释答案：计算出未知边长后，进行合理性检查。

验证计算结果是否符合题目要求，并解释答案的含义。

二、余弦函数的应用余弦函数是三角函数中另一个常见的函数，也广泛应用于几何学和物理学中。

解决余弦函数题目时，我们可以采用以下步骤：1. 确定已知条件：同样，我们需要仔细阅读题目，了解已知条件，包括角度、边长等。

将已知条件记录下来，方便后续计算。

2. 判断使用的关系式：根据已知条件确定使用的余弦函数关系式。

在两个边长已知且需要求解夹角的情况下，我们可以使用余弦函数的定义式cosθ = 邻边/斜边，通过已知条件得出未知夹角的值。

3. 计算未知夹角：根据已知条件和所使用的关系式，进行计算并解方程，求解未知夹角。

注意精确计算，包括乘除运算、开方运算等。

4. 检查和解释答案：计算出未知夹角后，进行合理性检查。

验证计算结果是否符合题目要求，并解释答案的含义。

三、三角函数的综合应用在实际问题中，三角函数常常与其他数学知识相结合，需要综合运用。

在解决综合应用题时，我们可以采用以下步骤：1. 问题理解与建模：首先，我们需要仔细阅读问题，理解问题的背景和要求。

“命题探源”——揭示一道三角考题的命题流程

因为０。＜４＜１２０。，所以Ａ＋３０。∈（３０。，１５０。），所以
又血＝２，ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ，ｑ导４＝ｂ２＋ｃ２－２ｂＣＣＯＳ÷，６２＋ｃ２＿ｂｃ：４，而ｂ２＋Ｃ２≥２６ｃ，所以２ｂｃ—ｂｃ≤４，ｂｃ≤４（当且仅当
ｓｉｎ（Ａ＋３０。）∈ｆｉｌ，１，Ｆ）ｆｌ：２血＋ｂ∈（订，２订］．
我们的解题能力不断提高，即可顺利解决相关问题．匝日
高中版十。？毒幺’７
万方数据
４７
三、逆向分析，拨云见日
“题目”条件的隐藏过程可按如下流程逐步揭示：
６２＋ｃ２＿ａ２＝ｂｃ车＝矛一ｂ２＝ｃ２—６ｃ车＝（ａ＋ｂ）（ａ—ｂ）＝（ｃ—ｂ）ｃ车＝（ｏ＋
ｓｉｎＡ：旦，ｓｉｎＢ：旦，ｓｉｎＣ：三．
２Ｒ２Ｒ２Ｒ
ｂ）（ｓｉｎＡ—ｓｉｎＢ）＝（ｃ—ｂ）ｓｉｎＣｅ（２＋ｂ）（ｓｉｎＡ—ｓｉｎＢ）＝（ｃ—ｂ）ｓｉｎＣ． “题目”所给的条件中含有数字２，为问题的进一步解答布下了疑难，而ａ＝２，故将条件中的２换为血是必然并不是偶然！
鍪萋掌一吾
“命题探源”
——揭示一道三角考题的命题流程
⑥江苏省启东市汇龙中学施伟琛
２０１４年８月
纵观历年各省市的高考试题或模拟试题，不难发现其来源大多为课本中的重要考查知识点或典型的例题、习题，在此基础上隐藏知识点的条件、改变条件的形式或结论，进而命制出崭新的题目．在解题过程中，只要我们找到问题的根源所在，即可将问题逆向求解．下面探究２０１４年全国新课标Ｉ卷１４题的命题过程，以抛砖引玉．
大，此时ＡＡＢＣ为等边三角形，故ＡＡＢＣ面积的最大值
为＿Ｖ
３．
２＋Ｆｃ２（产＝—－Ｘ乏／３云－一ｂｃ
：一—ｘ／—３－．又因ｏｄ＜ｑＴ所以４：霉．
２Ｏ

一道高考三角题的多种解法及思路

由００可知ｓ，以Ｅ（，）ｉｏｎ＞ｏ所
ｓ，一，一．ｉｃ一号ｃ＝ｎ。詈ｓ。４ｔ
思路２化成同名函数或求出
【ｚｃｚ１ｓＯｏ０。ｉ＋ｓ￣ｎ
得
ｓ外ｃ号ｉ。ｎｓ。一
舍去，因为，， ∈。
思路５变换．
‘
１
一
ｌｔｎａ＋ａ
＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一
詈・
解９ｉ升ｃｓｎ０＝一÷，ｓ
平方整理得
２ｉｓｎｓ口一４０＝２＜Ｉ
解万公）ｔ号ｔ６（式ａ＝则能令ｎ，
１ｔ一５２－￡３０２１＋＋＋，５：， ’苫： ’ ‘ ’ ｔ～ｚ
所以
，８号ｏ号ｃ－，ｏ＝ｏ．ｓ一ｔ一
（后同解８）以上给出了几种解法．中思路１键是求出其关ｓ，Ｓ解法１ｉＣ，ｎＯ利用平方关系和已知关系构造两
个方程解得ｓ，Ｏ；法２适当变换，ｉＣＳ解ｎ做利用 “ 。
思路４问什么设什么构造方程解方程，与列方程解方程思路同．解８令ｃｔｏ
，
ｓ６～．ｉｃ曩ｎ。ｓ
所０是程。÷一２０两以ｉ，方ｚ的ｓ０ｓｎｃ０＋１＝
题目已知ｓ＋ｃｓｉｎｏ＝一÷ ，Ｅ（，，０ｏ求）
思路求出ｓ，Ｏ口就可求出ｃｔ，个未ｉ０ＣＳ，ｎｏ两０
根得＝＿ｚ一．，ｚ－一号解詈或

发展辩证思维提升思维水平——一道三角求值例题教学的实践与思考

收稿日期：２０１２ — ０９ — ２５
生在这之前学习了两角和与差的余弦公式，其运用得到了强化，
作者简介：张乃贵（１９６６一），男，江苏兴化人，中学高级教师，特级教师，教育硕士，主要从事中学数学教育、初等数学、数学竞赛研究
２７
堂上学生 “ 依葫芦画瓢 ” ，模仿方法解题，教学效果还可以．但
时间一长，复习课上不少学生把模仿的、记忆的方法 “ 还给”
教师，重新回到自己的、原来固有的方法上，依旧重复 “ 昨天的故事 ” ．教师抱怨：“ 这个问题都讲过多遍，怎么还不会解？还
问题策略，只靠教师的 “ 告知 ” ，没有自己的感悟与理解是难以
例２是学生学习了两角和与差的正弦公式后课本给出的第
二个例题，其目的是让学生灵活运用两角和与差的正弦公式解
实现的．学生只有通过自己不断思考、实践、体会、反思、领
悟，才能掌握并达到融会贯通、运用自如的效果．对例２，课堂上，笔者采用的教学方式是走进学生的心田，展示学生自己的思考过程，让学生经历稍微烦琐运算过程，进入追求简捷运算
ｃ。ｓＪＢ＝、／一（｝）＝｝，
将Ｃ０８（￣＋卢）展开得到ＣＯＳ（＋卢）＝４ＣＯｓ一｝ｓｉｎ，
已知ＣＯＳ（Ｏｒ＋）＝，ｓｉｎ＝｝，Ｏ／，为锐角，求ｓｉｎ
解得ｓｉｎ＝．有不少学生没有计算出结果．二、学生解法产生的原因分析

一道三角填空题的教学与思考_陈经纬

．t
∈
0，45
时
( ) 递增，t ∈
4 5
，+
∞
时递减，f（ t） max
= 28．
∴ （ c + 2a） max = 2 槡7 ．本题也可以使用柯西不等式，限于篇幅，不再列出．变式 3 在 ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a = 1，A = 23π，当 b，c 变化时，
轮复习中“微专题”的使用（ J）．数学之友，2014 （ 8 ）， 78 － 80 ［2］阙东进．高三复习中实施微专题课堂教学的实践与思考－以“一类”平面向量与解析几何交汇的问题公开课为例（ J）．中学数学月刊，2017（ 2）： 37 － 40 ［3］王炯廉．回归课堂教学，有效培育学生的数学核心素养－以微专题“直线与圆的位置关系”教学设计为例（ J）．数学教学通讯，2017（ 9）： 20 － 22
的教学中慢慢渗透．
二、变式及升华
高考题及模拟题是由课本例题、习题及
平时我们非常熟悉的题目衍生而成的．通俗
地讲就是平时训练题的一个“变式 ”，所运用
的数学思想方法是一脉相承的，但是在强调
培养学生数学核心素养的当下，高考题及模
间内将解题过程中需要运用的数学思想和方
法传递给学生，让学生对问题的认识上升到
一个新的高度，以便下次遇到类似问题不再
陌生，这些一直是笔者在思考和研究的问题．
本文以一道三角填空题为例谈谈自己的认识
与实践，供同行参考．

近五年高考全国卷三角试题分析与备考建议

的三角函数值的记忆等 [３]．
三角公式记忆模糊或者不
准确导致这部分试题失分是许多考生的痛点．
在高三
复习中,不仅要牢固记忆三角公式,而且要非常熟练
评析:本题主要考查学生顺用、逆用三角公式以
三角公式的推导方法．
关键词:高考数学;三角函数;试题分析;备考建议
１问题提出
２近五年三角试题统计与分析
«普通高中数学课程标准 (
２０１７年版 )»中指出三
２．
１２０１８－２０２２年高考试卷中“三角”试题统计
角函数是函数主线中的单元之一 [１],也是普通高中数
３．
１三角函数的图象及性质
的形式考查三角函数的性质和图象、公式的应用;二
根据解析式研究三角函数的性质、根据图象和性
质确定三角函数的解析式、图象变换问题、值域问题
以及与平面向量相结合的综合问题是高考试题对三
综合以上统计情况,不难发现高考数学关于三角
部分的命题特点:(
１)考查分值较为稳定,在１５分左
右,每年会有个别卷分值高达３０分;(
２)考查难度有
所上升,需要考生灵活应用知识;(
３)三角函数的图象
及性质、三角恒等变换、解三角形是每年高考卷的必
形、解三角形
及变形、性质
质、解三角形

2023年高考全国卷三角试题分析与备考建议

02
备考建议
知识梳理
总结三角函数的基本概念、公式和定理。强调对三角函数图像和性质的掌握。梳理三角函数与其他数学知识的联系，如与解析几何、不等式等知识的结合。
能力提升
01
02
03
培养三角函数图像的绘制和识别能力。
提高对三角函数性质的运用和解题能力。
培养解决综合性三角函数问题的能力，如结合其他数学知识解决三角函数问题。
感谢您的观看
THANKS
方法优化
熟练掌握并灵活运用三角函数的恒等变换、周期性、对称性等性质。
培养对复杂三角函数问题的分解和转化能力，化繁为简。
针对自身薄弱点进行专项训练，如解三角函数的实际应用题、综合题等。
03
模拟试题与解析
模拟试题
• 题目：在三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知$a = 2，b = 3$，且三角形ABC的面积为 $\frac{1}{2}a^{2}\sin B$，则角A的大小为
试题分析
今年的三角试题考查了学生的基础知识和基本技能，同时强调了对解题方法和数学思想的考查。
试题涉及的知识点比较全面，涵盖了三角函数、解三角形、正弦定理和余弦定理等知识点。
Байду номын сангаас
试题的难度适中，适合不同层次的学生，但需要学生灵活运用知识点和解题方法。
试题涉及的实际应用问题可以提高学生的数学应用意识和解决实际问题的能力。
03
对于第三道题目，根据三角形面积公式$S = \frac{1}{2}bc\sin A$，结合已知条件可求出$\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}$，再利用正弦定理即可求出答案。
04

一道三角题的解法反思与别解

变化？试证明你的结论．
＝丌Ｙ＝ｃｔＣＳｏ／；ｏＡ＋— ｂｌ１ｌ１而５Ｏｃｓ＇Ａ十ｉ（
一
）
，并且
２［－（Ｃ］ｓ￣而＋万ｉＢ）ｎｒ２ｉ（研ｎＢ＋Ｃｓ）
— 一
由ｙ的表达式知其是一个关于Ａ、Ｂ、的三元函数．
函数，这在一定意义上也反映了（）、Ｊ、１中“ Ｅ｝是对称的” 的这一结论！利用函数的凸性是解决多元函数最值问题的一种有效方法，结合（）１的结论我们有了上面的解法，但对（的利用似乎不够充分．思维应１）该发散，为了更好、更直接地利用（）１的结论，又作如下探索，得到第（）的又一种新解法：２小题
（）２求ｙ的最小值．解（）１由于ｙｃｔ。Ａ＋
＝ｃｔ＋。
＋ —
途 ’ 本文将分别从对题目的认识、解题思路，的剖析以及别解来对题目进行反思．
１对第（）．１小题的反思与别解
本题的已知条件简单且明显，归纳出来主要
有如下三个：＞０Ｂ＞０Ｃ＞０Ａ＋Ｂ＋Ａ，，；
成的函数，与原解法殊途同归．并且由上分析
Ｒ
１ＯＡｓＢｓＣ＋ｃｓ）＋ＣＳ（ｎｉｉｎｏ（Ｂ＋）
ｓｎＡｓｎＢｉｉｉｓｎＣ１＋ＣＳＣＳＣＳＣＯＡＯＢＯ
过程，我们知道ｙ的表达式也可以缩小为的
ｓｎＡｎＢｓｎＣ ’ ｉｓｉｉ
Ａ１一ｔｎ‘ ａ
．
的值都不变” 并且知道在这样的表达式中，，各个变量的地位相当，即表达式具有某种对称性．本题的问法恰恰相反，而且互换、Ｂ之后表达式明显发生了变化，即表面看来ｙ的表达式并不对

一道三角试题引发的一点思考

数|学|研|究
一道三角试题引发的一点思考
许四军
（江苏省常州市北郊高级中学
摘要
江苏·常州
213022）
本文以一道有关三角的化简求值问题为引例，从不同角度去思考如何展开三角函数一章中多个知识点及方法的复习，从而帮助学生能迅速复习及巩固所学三角公式及方法，同时引导学生如何进行发散思维。关键词三角复习发散思维 G633.6 A 中图分类号：文献标识码：笔者在一次三角复习课时，遇到下面的一道关于三角化简的简单问题：引例：化简求值：本题考查三角恒等式的基本性质的运用，属于简单题。但是大家都知道三角函数在高考中的分量比较重，而本章的公式在高中数学各章中是最多的，对学生而言，记忆较为困难。通常情况下，在进行三角复习时，很多学生都是先花时间去整理归纳三角的公式，课后再去死记或者去默写，测试等方式去记忆这些公式。这样做当然无可厚非，训练多了，大部分学生都能记住并应用，但是对于一些后进生而言，可能比较困难。因为离散的东西总是不好记忆，如果像穿珠子一样，把这些公式用一根主线（如问题）全部串联在一起去记忆，是不是效果要好呢？经过实际教学情形，本文尝试对于引例给出以下不同解法，这些解法分别涉及到三角恒等式中的两角和与差的正余弦，正切公式、二倍角公式、辅助角公式以及平方差、完全平方公式等各个公式，涉及到拆角思想，三角中常见公式的逆向运用和 “1” 的巧用等思想方法，同时给出一些思维变式训练。通过本题的各种解法，可以发现这些知识点之间并不是相互孤立的，而是存在着密切的内在联系，它们就像一张知识网一样构成了一个有机整体。法一：利用二倍角余弦公式或拆角思想求出 15°的正余弦值 3 解： cos30° = cos2×15° = 1 2sin215° = 2cos215° 1 = 2 6 2 6 2 sin15° = cos15° = 解得，，。 4 4 3 这样，代入原式得结果为关于拆角思想，可将 15°拆 3 成 45° 30° 或 60° 45° 等，再结合两角差的正余弦公式可得结果。此外，可要求学生记住如何求 15°及 75°的正余弦值及 3， tan75° = 2 + 3。推导，进一步可得 tan15° = 2 法二：利用平方差公式，上下同乘以分子，再利用二倍角正余弦公式解：原式分子分母同时乘以 sin15° cos15°得 15° 15° 2 原式= 15°+ 15° 15° 15° 1 2 15° 15° 1 30° 3 = = = 2 2 15° 15° 30° 3 注：当然分子分母同时乘以 sin15° + cos15°也可。这样处理可得到平方差公式和完全平方公式的形式，这很容易想到三角中二倍角余弦公式和正弦公式。法三：上下同除以 15°的余弦，利用两角差的正切公式解：原式分子分母同除以 cos15° 得 15° 1 1 15° = 原式= 15°+1 1+ 15° 45° 15° 3 = ＝ tan(45° 15°)= tan30° = 1+ 45°· 15° 3 注：本解法利用了 1=tan45° 这个技巧，构造了两角差的正 136 切公式的展开式，逆向使用该公式可得结果。这里可向学生强调三角公式的逆向运用的重要性。法四：先判断正负号，然后利用二倍角正弦公式求平方值，再开根号。解：由于 0 ＜ sin15°＜ cos15°＜ 1，故原式的值必小于 0。 15° 15° 2 1 2 15° 15° = 这样，原式= 15°+ 15° 2 1+2 15° 15° 1 30° 3 = = 1+ 30° 3 注 1：此法容易让我们联想到，对任意角，下面三者： sin +cos ， sin cos ， sin cos (sin ± cos )2 = 1 ± 2sin cos ，间的平方关系为：进一步让学生思考，辨别，解决并总结以下问题：问题 1：求函数 f(x)=sinx+cosx 的值域；问题 2：求函数 f(x)=sin2 x+cosx 的值域；问题 3：求函数 f(x)=sin2 x+sinxcosx 的值域；问题 4：求函数 f(x)=sin x+cosx+sinxcosx)的值域。 5 ] [1 2 1+ 2] [ [ 2， 2]， [ 1，（答案分别为：，，， 1， 4 2 2 1] 2+ ） 2 注 2：方法延伸：结合本解法，思考以下变式训练： 1 1+ 已知 180°＜＜ 360°化简：（答案为 1+ 1 2 ）法五：利用辅助角公式及两角和与差的正余弦公式进行逆向化简。 2 2 sin15° cos15°) 解：由于 sin15° cos15° = 2 ( 2 2 2 = 2sin(15° 45° ) = ， 2 2 2 sin15° + cos15° = 2 ( sin15°+ cos15°) 同理， 2 2 6 = 2sin(15° +45°) = 2 3 把以上结果代入原式得结果为 3 注：一般地，对任意角，根据两角和与差的三角函数公式 2 asin +bcos = + 2sin ( + )，我们有下面的辅助角公式：其中满足 tan = 足 tan = ，或者，上式右边换成

解一类三角题得到的启示

命题设锐角ａ，： … ，ａ，ａ的正切值分别是
，，， … ’ ’ ’ ， … ’ 一７－，兀
奇怪！未能证明为错题，而获得了截然相反反
易一仍锐，ａ）言得ａ卢为角又ｔ，，ｎ一
所ｎａｃ — 一
的结论，１Ｉ竟然是正确的命题！者可以想题．读象，刻我是多么的诧异啊！此天下竟然有这等巧合
２１００年第ｌ期
中学数学月刊
・３・７
解一类三角题得到的启示
冒光明（苏省如皋市实验初中２６０）江２５０
请看这样两道三角题：
是不司思议！
题锐ａ的切分为，，ａ题，题２可否也如此胡改一番呢？ｌ若角，正值别丢１对卢则
仿题２２写出：．
题２３若锐角ａＪ的正切值分别为３．，，９，
设后来正切值为ｎ的角为Ａ，Ａ则一一
厶
专吉则一一一．，，ａ卢）手，
题２４若锐角，ｙ的正切值分别为８．，，
’
，
于题２１的ａ必是．中 “一 ’ 然大于再加｛，上
将题１中的“ 错写成了“”“＋ ’ ÷” ２，也错写成了
“
“ 就大号了所，・是．题不ｙ更于．以题２个命・ ” Ｉ假
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一道高三数学解三角形题目的多角度思考与应用

一道高三数学解三角形题目的多角度思考与应用马㊀建(中山纪念中学ꎬ广东中山５２８４５４)摘㊀要:以一道解三角形的最值问题为例ꎬ通过一题多解培养学生多角度㊁多侧面研究数学问题的能力ꎬ提升学生的数学学科素养.关键词:平面几何ꎻ解三角形ꎻ基本不等式ꎻ最值中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１６－００７９－０３收稿日期:２０２３－０３－０５作者简介:马建(１９８１－)ꎬ男ꎬ江苏省南通人ꎬ硕士ꎬ中学一级教师ꎬ从事数学教学研究.基金项目:广东省教育科学规划２０２２年度中小学教师教育科研能力提升计划项目课题基于数学表征的高中生运算素养培养实践研究 (项目编号:２０２２ＹＱＪＫ５５４)１题目呈现题目㊀在әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别是ａꎬｂꎬｃꎬＡ＝１２０ʎꎬＤ是边ＢＣ上一点ꎬＡＢʅＡＤ且ＡＤ＝３ꎬ则ｂ＋２ｃ的最小值是多少?２题目解析解法１㊀(利用正弦定理㊁三角函数和基本不等式求最值)如图１ꎬ因为Ａ＝１２０ʎꎬ所以Ｂ＋Ｃ＝６０ʎ.㊀图１在ＲｔәＡＢＤ中ꎬＡＢ＝ＡＤｔａｎＢꎬ即ｃ＝３ｔａｎＢ.因为øＣＡＤ＝１２０ʎ－９０ʎ＝３０ʎꎬ由正弦定理ꎬ得ＡＣｓｉｎøＡＤＣ＝ＡＤｓｉｎＣ.即ｂｓｉｎøＢ＋９０ʎ()＝３ｓｉｎ６０ʎ－Ｂ().所以ｂ＝３ｃｏｓＢｓｉｎ６０ʎ－Ｂ().所以ｂ＋２ｃ＝３ｃｏｓＢｓｉｎ６０ʎ－Ｂ()＋２３ｔａｎＢ＝３ｃｏｓＢ(３ｃｏｓＢ)/２－(ｓｉｎＢ)/２＋２３ｔａｎＢ＝３３/２－(ｔａｎＢ)/２＋２３ｔａｎＢ＝２３３－ｔａｎＢ＋２３ｔａｎＢ＝６３－ｔａｎＢ()ｔａｎＢ.因为０ʎ<Ｂ<６０ʎꎬ所以０<ｔａｎＢ<３.所以ｂ＋２ｃȡ２４３－ｔａｎＢ＋ｔａｎＢ()２＝８ꎬ９７当且仅当３－ｔａｎＢ＝ｔａｎＢꎬ即ｔａｎＢ＝３２时ꎬ等号成立.所以ｂ＋２ｃ的最小值为８.解法２㊀(用解析法和基本不等式求最值)以点Ａ为原点ꎬＡＤꎬＡＢ所在直线为坐标轴建立平面直角坐标系ꎬ如图２所示.图２因为øＢＡＣ＝１２０ʎꎬＡＤʅＡＢꎬ所以øＣＡＤ＝３０ʎꎬ直线ＡＣ的倾斜角为１５０ʎꎬ方程为ｙ＝－３３ｘ.设点Ｃ(３ｍꎬ－３ｍ)ꎬＢ(０ꎬｎ)ꎬｍ>３３ꎬ由Ｄ(３ꎬ０)ꎬｋＣＤ＝ｋＢＤꎬ得３ｍ３－３ｍ＝ｎ－３.所以ｎ＝－３ｍ３－３ｍ＝ｃꎬｂ＝２３ｍ.所以ｂ＋２ｃ＝２３ｍ＋－６ｍ３－３ｍ＝２３ｍ＋２３３ｍ－３＋２＝２３(ｍ－３３＋１/３ｍ－３/３＋３３)＋２ȡ２３(２３３＋３３)＋２＝８ꎬ当且仅当ｍ－３３＝３３ꎬ即ｍ＝２３３时＝成立.所以ｂ＋２ｃ的最小值为８.解法３㊀(用平面几何性质和基本不等式求最值)过点Ｂ作ＡＣ的平行线ꎬ交ＡＤ的延长线于点Ｅꎬ如图３.图３因为øＢＡＣ＝１２０ʎꎬＡＤʅＡＢꎬ所以øＣＡＤ＝３０ʎ.因为ＡＣ//ＢＥꎬ所以在ＲｔәＡＢＥ中ꎬＡＥ＝３ｃꎬＢＥ＝２ｃꎬＤＥ＝３ｃ－３.因为әＡＣＤʐәＥＢＤꎬ所以ＡＣＢＥ＝ＡＤＤＥ.即ｂ２ｃ＝３３ｃ－３＝１ｃ－１.所以ｂｃ－ｂ＝２ｃ.所以ｂ＋２ｃ＝ｂｃ＝１２ｂ２ｃɤ１２ｂ＋２ｃ２æèçöø÷２(由基本不等式可得ꎬ当且仅当ｂ＝２ｃ时＝成立).所以ｂ＋２ｃɤ１２ｂ＋２ｃ２æèçöø÷２ꎬ解得ｂ＋２ｃȡ８.所以ｂ＋２ｃ的最小值为８.解法４㊀(用等面积法和基本不等式求最值)ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ｂｃ３２＝３４ｂｃꎬＳәＡＢＣ＝ＳәＡＢＤ＋ＳәＡＣＤ＝３２ｃ＋１２ｂ３１２＝３ｃ２＋３ｂ４＝３４(ｂ＋２ｃ)ꎬ所以ｂ＋２ｃ＝ｂｃꎬ下同解法３.３拓展与辨析问题㊀将本题中的ｂ＋２ｃ换成其它的系数如: ｂ＋ｋｃꎬｋ>０ ꎬ可以应用上面的哪些方法?应用选择顺序１解法１辨析:用正弦定理把边转换成角ꎬ再利用三角函数㊁基本不等式可以解决此类问题ꎬ可以说是此类问题解法的首选方法ꎬ需０８要注意的是一定要考虑角的取值范围ꎬ最后用基本不等式或者导数方法可以求得最值.应用选择顺序２解法４辨析:利用等面积法可以很好地得出含有ｂ和ｃ之间的关系式ꎬ有了这个等式关系ꎬ接下来就可以用解法３进行解题ꎬ这个方法也是比较好的方法.应用选择顺序３解法１辨析:利用平行得到三角形相似ꎬ借助于相似得到比值关系ꎬ可以建立题目中的ｂ和ｃ之间的关系式ꎬ借助于这个关系式ꎬ可以进行基本不等式的构造ꎬ或者利用消元法得到关于一个变量的函数表达式ꎬ再用函数最值或者导数解决此类问题.应用选择顺序４解法２辨析:建立平面直角坐标系ꎬ把需要的量直接用坐标表示ꎬ巧设一个未知数ꎬ便于简化计算ꎬ想要求任何的ｋ对应的式子都能够准确表达出来.但也有小小瑕疵ꎬ如果对应的角度不是特殊角ꎬ那么表达和计算都会困难很多.其实ꎬ任何方法都是好的方法ꎬ不存在技巧ꎬ数学的学习要注重通性通法ꎬ新的教材背景下ꎬ我们更要关注通性通法ꎬ发展学生在数学学习中的核心素养的培养.教师和学生都要注重知识本质的理解和贯通ꎬ时机成熟了ꎬ各种新的方法就产生出来了.４方法应用实战练习㊀在әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别是ａꎬｂꎬｃꎬ已知ａ＝３ꎬｂｃｏｓ(Ａ－π６)－(１＋４３３)ａｓｉｎＢ２ｃｏｓＢ２＝０ꎬ求３ｂ＋４ｃ的最大值.解法１㊀由题意ꎬ得ｂｃｏｓ(Ａ－π６)－(１２＋２３３)ａｓｉｎＢ＝０.则ｓｉｎＢ(３２ｃｏｓＡ＋１２ｓｉｎＡ)－(１２＋２３３)ｓｉｎＡｓｉｎＢ＝０.因为ｓｉｎＢʂ０ꎬ所以３２ｃｏｓＡ－２３３ｓｉｎＡ＝０.解得ｔａｎＡ＝３４.因为Ａɪ(０ꎬπ)ꎬ所以ｓｉｎＡ＝３５.所以ｃｏｓＡ＝４５.由正弦定理ꎬ得ａｓｉｎＡ＝ｂｓｉｎＢ＝ｃｓｉｎＣ＝３３/５＝５.所以ｂ＝５ｓｉｎＢ.所以ｃ＝５ｓｉｎＣ.所以３ｂ＋４ｃ＝１５ｓｉｎＢ＋２０ｓｉｎＣ＝１５ｓｉｎＢ＋２０ｓｉｎ(Ａ＋Ｂ)＝１５ｓｉｎＢ＋２０(３５ｃｏｓＢ＋４５ｓｉｎＢ)＝３１ｓｉｎＢ＋１２ｃｏｓＢ＝１１０５ｓｉｎ(Ｂ＋φ)其中ꎬｔａｎφ＝１２３１ꎬ因为Ｂɪ(０ꎬπ－Ａ)ꎬ所以Ｂ＋φ＝π２时ꎬ３ｂ＋４ｃ取得最大值.所以３ｂ＋４ｃ的最大值为１１０５.解法２㊀前同解法１.ａ＝３ꎬｃｏｓＡ＝４５.由余弦定理ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＣꎬ得９＝ｂ２＋ｃ２－８５ｂｃ.所以ｂ２＋ｃ２＝９＋８５ｂｃ.所以(３ｂ＋４ｃ)２＝９ｂ２＋９ｃ２＋７ｃ２＋２４ｂｃ＝１９２５ｂｃ＋７ｃ２＋８１＝ｃ(１９２５ｂ＋７ｃ)＋８１＝５２２１ˑ２２１５ˑｃ(１９２５ｂ＋７ｃ)＋８１ɤ５２２１ˑ６４(３ｂ＋４ｃ)/２２[]２＋８１.所以８１１１０５(３ｂ＋４ｃ)２ɤ８１.所以３ｂ＋４ｃɤ１１０５ꎬ当且仅当３１ｃ＝３２ｂ时取得等号.参考文献:[１]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[Ｍ].北京:人民教育出版社ꎬ２０２０.[责任编辑:李㊀璟]１８。

三角形综合题观后感

三角形综合题观后感摘要：一、引言二、三角形综合题的解题思路1.分析题目条件2.运用几何知识3.逻辑推理三、观后感的启示1.解题方法的多样性2.学科间的融合3.培养综合素质四、结语正文：【引言】在近期的一次学习中，我接触到了一道关于三角形的综合题，这道题目不仅考验了我的几何知识，还让我对学科间的融合有了更深刻的认识。

通过对这道题目的解答，我收获颇丰，下面就来分享一下我的解题过程和观后感。

【三角形综合题的解题思路】1.分析题目条件这道题目给出了一个三角形ABC的已知条件，包括三条边的长度和三个内角的大小。

我首先要做的是分析这些条件，找出解题的关键信息。

2.运用几何知识在解题过程中，我运用了三角形的基本性质，如三角形内角和为180°，以及三角形两边之和大于第三边等性质。

这些基本性质为我后续的解题奠定了基础。

3.逻辑推理根据题目条件和几何知识，我开始进行逻辑推理。

我将题目中的信息逐一分析，并根据已知条件推出未知结论。

这一过程让我对三角形的性质有了更深刻的理解。

【观后感的启示】1.解题方法的多样性在解答这道题目时，我发现了多种解题方法。

有的方法简洁明了，有的方法则较为复杂。

这让我意识到，在面对问题时，要学会寻找最适合自己的解题方法。

2.学科间的融合这道题目不仅涉及几何知识，还需要运用逻辑推理和代数计算。

这让我认识到，学科间的融合是非常重要的。

在今后的学习中，我要注重跨学科的学习，提高自己的综合素质。

3.培养综合素质解答这道题目让我明白了，要想在学术上取得成绩，单纯掌握某一学科的知识是远远不够的。

我们要培养自己的综合素质，全面提升自己的学习能力。

【结语】通过解答这道三角形综合题，我收获了不仅仅是解题技巧，更是对学科间融合和综合素质培养的重视。

考研数学三角函数与解三角形题解题思路

考研数学三角函数与解三角形题解题思路解三角形是考研数学中的一个重要知识点，而三角函数是解三角形题的关键。

在考研数学中，解三角形题要求我们根据给定的条件，求解三角形的各个边长和角度。

在解三角形题中，使用三角函数是一种有效的解题思路。

首先，我们需要掌握三角函数的定义和性质。

在三角函数中，常见的包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

正弦函数表示的是一个角的对边与斜边的比值，余弦函数表示的是一个角的邻边与斜边的比值，正切函数表示的是一个角的对边与邻边的比值。

通过理解三角函数的定义，我们可以更好地理解解三角形题中的角度关系。

接下来，我们需要掌握解三角形题中常用的角度关系。

其中包括正弦定理和余弦定理。

正弦定理表达了三角形内的一个角的正弦与其对边之间的关系，余弦定理表达了三角形内的一个角的余弦与其邻边和斜边之间的关系。

通过灵活运用正弦定理和余弦定理，我们可以从给定的条件中推导出其他未知量，进而解出整个三角形。

在解三角形题中，我们还可以运用三角函数的性质来简化计算。

例如，对于一个锐角三角形，它的三个内角之和等于180度。

通过运用三角函数的性质，可以建立方程组解出未知量。

此外，在解三角形题中，还要特别注意角度的大小。

角度一般用弧度或者度来表示，但在解题中一般用度来计算。

因此，我们需要将弧度与度之间的转换进行灵活运用。

解三角形题还有一种特殊情况，即已知三角形的三个顶点坐标，需要求解三条边长和三个角的大小。

在这种情况下，我们可以使用向量的概念和运算来解题。

通过求解三个向量的模长，可以得到三个边长的大小，并通过向量的点积和叉积来计算三个角的大小。

总之，在解三角形题中，我们需要灵活运用三角函数的定义和性质，以及角度关系的定理。

通过有序地分析题目给定的条件，熟练地运用三角函数的计算和性质，能够高效地解出三角形的各个边长和角度。

当然，为了提高解题能力和速度，我们还需要通过大量的练习来巩固掌握这些知识和方法。

解三角形题是考研数学中的重要内容，掌握解题思路对于提高数学解题能力至关重要。

一线三角题型解题技巧

一线三角题型解题技巧
1. 嘿，你知道吗，一线三角题型关键就在找那个“特殊点”！就好像你找宝藏一样，一旦找到了，哇塞，很多问题就迎刃而解啦！比如看到那个特殊角，嘿，这不就是线索嘛！
2. 哎呀呀，对于一线三角题型，你可别死脑筋呀！要灵活运用已知条件，这就好比打游戏，你得巧妙组合技能呀！像那个边的关系，不就是你的秘密武器嘛！
3. 嘿哟，遇到一线三角题型别害怕呀！把它当成一个挑战，每次突破一点不就很有成就感嘛！比如说，抓住那个相等的角，不就像抓住了救命稻草一样啊！
4. 哇塞，解一线三角题型的时候，要学会观察图形哦！这就像欣赏一幅画一样，你得看出其中的美妙之处呀！那个相似三角形不就是隐藏的惊喜嘛！
5. 嘿，告诉你个小秘密，一线三角题型很多时候都有隐藏的线索哦！就像侦探找破案关键一样刺激！比如那个隐含的等量关系，找到了就感觉超棒呀！
6. 哎呀，一线三角题型呀，你得学会从复杂中找到简单呀！这可不简单呢，但一旦做到了，那感觉，爽歪歪呀！就好比在一堆乱麻中找到了那根关键的线头！
7. 哇哦，别小看一线三角题型哦！有时候一个小小的条件可能就是打开大门的钥匙呢！像那个不起眼的中线，说不定就是你的突破口呀！
8. 嘿嘿，一线三角题型其实没那么难啦！只要你用心去琢磨，肯定能搞定的呀！就好像爬山，一步步往上爬，总会登顶的呀！
我的观点结论就是：一线三角题型并不可怕，只要掌握了技巧，多加练习，就一定能够轻松应对！。

一道解三角形题引发的思考

一道解三角形题引发的思考背景：在高三一轮复习《解三角形》一节时，一道课堂练习题多种求解方案引发的思考。

主题：数学课堂教学要注重基本知识和基本解法讲清讲透，只有这样解题策略才能选准，遇到问题才能理出头绪，分辨出真伪。

本文以一道解三角形的习题在课堂上学生的几种解法，展开解三角形解题思路及根的个数的讨论。

从而引发对课堂教学中数学本源知识和学生另类做法的的处理方法的一些思考。

教学实录：师：布置练习题：已知△ABC中，三边分别为a，b，c，cosA=35，cosB=513，b=3，求边c.几分钟后，观察绝大多数学生计算不顺畅，我就迫不及待地展示正解了。

师：∵△ABC中，cosA=35，cosB=513，∴sinA=45，sinB=1213，∴sinC=sin（A+B）=5665，又∴b=3∴c=bsinCsinB=145.师：正准备总结此题，继续往下，却被某生打断。

生1：老师，我用余弦定理算出2个答案，怎么舍？前面一样：∵△ABC中，cosA=35，cosB=513，∴sinA=45，sinB=1213，用正弦定理a=bsinAsinB=135，再用余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA，且b=3，∴25c2-90c+56=0，∴c=145或45.师：很好，首先由条件需要确定满足条件的三角形唯一吗？再次思考出现两根时如何取舍。

生1：思考片刻说：题干一直两角和一边，那第三个角也唯一确定，又知一边，故三角形唯一，所以要舍一个。

三角形中可用两边和大于第三边以及大角对大边去判断。

师：那请试试。

生1：两边之和大于第三边满足，接着我就不太会了。

师：事实上至此，△ABC中，知道A，B和第三边，取舍边C，就需要比较C与A，B的大小关系sinC=sin（A+B）=5665>sinA=45所以c>a=135，故舍去45，c=145至此，我以为结束了。

可又有学生说我的方法和生1一样，但没经过讨论就只有一个解。

你看行不行？生2：前面和生1一样，最后b2=a2+c2-2accosB处理后得25c2-50c=0所以c=145或-45（舍）师：很好，用方程的思想避免了讨论，直接舍去了负值。

一道三角证明题的辩证思考

一道三角证明题的辩证思考侯典峰【摘要】唯物辩证法认为,质量互变规律、对立统一规律和否定之否定规律是支配自然界、社会和人类思维最一般的规律.数学中的辩证思想就是遵循这些规律,对数学对象矛盾双方的相互联系和相互制约关系认识的思维产物.对立统一思想是指人们认识事物辩证发展的一种思维法则,一分为二是对立统一思想的重要表现形式,数学中的一分为二思想,指的是在观察、分析、处理数学问题时,要多侧面,多角度、全方位地全面考虑,不仅要看到问题的一面,还要看到问题的另一面及这两个方面在一定条件下是可以相互转化的,只有运用一分为二的思想来观察、分析、处理,才不会使我们的视野局限于一隅,使我们思维更加开阔.在教学中,注重引导学生学会用辩证思想去观察分析事物,研究和解决问题,既可以为学生逐步确定辩证唯物主义世界观奠定基础,同时也对他们学习数学知识和提高思维能力有很大帮助.下面是笔者对一道三角证明题的直接与间接的论证,正面与反面的思考,多角度、全方位的探究.整理成文,与大家分享.【期刊名称】《中学数学》【年(卷),期】2011(000)013【总页数】3页(P24-26)【作者】侯典峰【作者单位】163316 黑龙江省大庆实验中学【正文语种】中文唯物辩证法认为，质量互变规律、对立统一规律和否定之否定规律是支配自然界、社会和人类思维最一般的规律.数学中的辩证思想就是遵循这些规律，对数学对象矛盾双方的相互联系和相互制约关系认识的思维产物.对立统一思想是指人们认识事物辩证发展的一种思维法则，一分为二是对立统一思想的重要表现形式，数学中的一分为二思想，指的是在观察、分析、处理数学问题时，要多侧面，多角度、全方位地全面考虑，不仅要看到问题的一面，还要看到问题的另一面及这两个方面在一定条件下是可以相互转化的，只有运用一分为二的思想来观察、分析、处理，才不会使我们的视野局限于一隅，使我们思维更加开阔.在教学中，注重引导学生学会用辩证思想去观察分析事物，研究和解决问题，既可以为学生逐步确定辩证唯物主义世界观奠定基础，同时也对他们学习数学知识和提高思维能力有很大帮助. 下面是笔者对一道三角证明题的直接与间接的论证，正面与反面的思考，多角度、全方位的探究.整理成文，与大家分享.题目已知α，β均为锐角，若sin α+()β=2sinα，则α＜β.分析发现题目条件给得比较少，第一感觉正面下手入口难寻找，应用正难则反策略来思考，反证法的确很巧.证明1 若α≥β，由α，β 均为锐角，可知0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且sinα≥sinβ，则这与sin α+()β=2sinα矛盾，故α＜β.证明2 若α≥β.由α，β，均为锐角，可知 0＜cosα＜1，0＜cosβ＜1，且sinα≥sinβ.一方面sin α+()β=2sinα≥sinα+sinβ;证明3 若α≥β，则2α≥α+β，又α，β 均为锐角，函数y=cosx在0，()π上单调递减，因此cos2α≤cos α+()β，即1-2 sin2α≤cos α+()β，又α，β均为锐角，0＜α+β＜π，cos α+()β≠1，与先前推导出的cos α+()β=1相矛盾，故α＜β.点评我们知道，直接从原命题的条件逐步推得结论成立，这种证明方法叫直接证明，而间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法，是从反面的角度思考问题的证明方法.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾，矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.反证法的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立;(2)从这个假设出发，通过推理论证，得出矛盾;(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.可能出现矛盾四种情况：①与题设矛盾;②与反设矛盾;③与公理、定理矛盾④在证明过程中，推出自相矛盾的结论.证明1中属于第①种情况，证明2、证明3属于第④种情况.反思回顾上述解法可发现，尽管条件与结论比较简单，若能找到合理切入点，推出矛盾角度还是比较多的，一个想法突然显现，此题证明能否选正面?经反复思考，琢磨，得到如下几个直接证明.证明 4 因为α，β 均为锐角，所以0＜cosβ＜1，0＜cosα＜1，由题意可知又sinα( cosβ-1)＜0，所以cosαsinβ-sinα＞0，故可得sinα＜cosαsinβ＜sinβ，而α，β 均为锐角，故α＜β.结合正弦函数的单调性可知α+β＞2α，α＜β.证明9 以原点为圆心，分别以1，2为半径作两个圆，在半径为2的第一象限内的圆弧上取一点 Q，使∠POQ=β，则易知P(2cosα，2sinα)，由题设条件sin(α+β)=2sinα可知PQ平行于x轴，于是∠OPQ=∠xOP=α.若若(如图2所示)，则OP，故α＜β.证明10 作△ABC，∠A=α，∠B=β，又因为sin(α+β)=2sinα，所以 c=2a，由余弦定理可知cosβ=由0＜cosβ＜1 知0＜故sinα＜sinβ，而y=sinx 在上为增函数，故α＜β.回顾综合法和分析法是直接证明的两种基本方法，综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的一种证明方法.思维特点是由因导果.而比较两个角的大小的这一类问题可以通过研究这两个角在同一个单调区间上的某一三角函数值的大小来求解，证明4、证明5、证明6、证明7、证明8就是从这一角度展开论证的，证明4、证明5用到了正弦函数在)上的单调性，证明6用到了正切函数在上的单调性，证明7结合分类讨论的思想从而顺利使用正弦函数在上的单调性求解，证明8借助比较法，通过α-β角的正弦值正负来判断α与β的差的符号完成证明，证明9、证明10则另辟蹊径，通过构造图形、构造三角形的方法完成证明.纵观以上7个直接证明不难发现，这之中的几个直接证明与先前的间接证明有着很密切的联系，如证明5与证明1的处理策略是完全相同的，证明4与证明2、证明8也都是通过作差比较，利用差值的符号加以论证的.按照一定的方向和路线，运用逻辑思维的方式，对问题进行一定范围内的纵深挖掘的思考方法称为直接思考，变换一下思维角度，从相反的方向去思考的一种思维方法称为逆向思维，对于某些问题，有时，若能改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能变得比较简单，解决变得轻而易举，有着意想不到的效果;有时，若能善于观察、善于联想，善于发现，深入思考后直接求解也可以是快速有效，解答简洁、优美、自然，在解决数学问题时，若能对问题多做一些辩证思考，用一分为二的思想看问题，就能创设更加广阔的思维空间，提高认识数学问题的层次、拓展数学的视野，优化思维品质，实现从有限(方法)到无限(问题)的飞跃.参考文献1 侯典峰.一道三角题的直接证明［J］.中学数学.2009，3(上)2 侯典峰.再谈一道三角题的证明［J］.中学数学.2011，1(上)3 侯典峰.化冰冷的美丽为绽放的绚丽——例谈题解研究［J］.数学通讯.2011，1、2(上)4 沈文选，杨清桃.数学思想领悟［M］.哈尔滨工业大学出版社.2008，1。

2022高考数学解三角形题型解题思路万能答题模板

2022⾼考数学解三⾓形题型解题思路万能答题模板
如果遇到⼀个很困难的问题，将它们分解为⼀系列的步骤，先解决问题的⼀部分，能解决多少就解决多少，尚未成功不等于失败。

特别是那些解题层次明显的题⽬，或者是已经程序化了的⽅法，每⼀步得分点的演算都可以得分，最后结论虽然未得出，但分数却已过半，这叫“⼤题拿⼩分”。

解三⾓形问题怎么答
1.解题路线图
(1) ①化简变形；②⽤余弦定理转化为边的关系；③变形证明。

(2) ①⽤余弦定理表⽰⾓；②⽤基本不等式求范围；③确定⾓的取值范围。

2.构建答题模板
①定条件：即确定三⾓形中的已知和所求，在图形中标注出来，然后确定转化的⽅向。

②定⼯具：即根据条件和所求，合理选择转化的⼯具，实施边⾓之间的互化。

③求结果。

④再反思：在实施边⾓互化的时候应注意转化的⽅向，⼀般有两种思路：⼀是全部转化为边之间的关系；⼆是全部转化为⾓之间的关系，然后进⾏恒等变形。

⾼考⼤题常见丢分原因
轻易放弃试题，难题不会做，可分解成⼩问题，分步解决，如最起码能将⽂字语⾔翻译成符号语⾔、设应⽤题未知数、设轨迹的动点坐标等，都能拿分。

也许随着这些⼩步骤的罗列，还能悟出解题的灵感。

解题步骤不规范，⼀定要按课本要求，否则会因不规范答题失分，避免“对⽽不全”如解概率题，要给出适当的⽂字说明，不能只列⼏个式⼦或单纯的结论。