高等数学B资料：习题课(6)

1
1
且在 1上 x，y，z 具有轮换对称性，
∴ zdS 4zdS 4 xdS ，故应选（C）。
1
3．圆柱面 x 2 z 2 a 2 被圆柱面x 2 y 2 a 2 所截部分的
面积为（ ）.
（A） 8a2, （B） 4a2, （C）2a2, （D） a2.
解：由图形的对称性可知，
圆柱面 x2 z2 a2 被圆柱 面 x2 y2 a2 所截部分的
积则分C， B故A应构该成用正G向re封en闭公曲式线。。
2
，dx
的项，无法
y
A(1, 1)
B(1, 1)
P e y 12 xy ，Q xe y cos y ，
P e y 12 x ， Q e y ，Q P 12x. o
y
x
x y
x
I
C
(e
BA
y
1
2xy)dx(
xe
y
cosy)dy
BA
12
D
xdxd
xdy y2
，其中
C
是由点A(1,0)
经半圆周 y 1 x2 到点B(1,0) 再沿直线 x y1 到
y
点 E(1,2) 的路径。
解：
P
4
y x2
y
2
，Q
4
xdy x2 y
2
，
∵
P y
y2 4 x2 (4x2 y2)2
Q x
，
B(1,0)
O
x
A(1,0)
∴ Q P 0 ，( x, y)(0,0) 。 x y
C f ( x2 y2 )( xdx ydy) 。
解： P xf ( x2 y2 ) ，Q yf ( x2 y2 ) ，
∵ P 2xyf ( x2 y2 ) Q ， ∴曲线积分与路径无关，
y
x
取 AB ： y 0, dy 0, x:0 2 作为积分路径。
C f ( x2 y2)(xdx ydy)AB02 f ( x2)xdx
1 2
2
2.
2．设 ： x2 y2 z2 a2(z0) ，1为在第一卦限的部分 ，
则有（ C ）
（A） xdS 4 xdS ； （B） ydS 4 xdS ；
1
1
（C） zdS 4 xdS ； （D） xyzdS 4 xyzdS 。
1
1
解：∵xdS 0 ， xyzdS 0 ， xdS ydS xyzdS0 ，
习 题 课 （6）
一、填空题
1．设 C 为闭曲线 x y 2 ，取逆时针方向，则
C
axdy x
bydx y
4(a b)
。
解：
C
axdybydx x y
代入C: x y 2
1 2
Caxdybydx
Green公式
1(a 2
b)dxdy
D
4(a
b).
2．设 为平面 x y z4 被圆柱 x2 y2 1 截下的有限部分，
E(1,2)
4．设曲线积分 xy2dx y( x)dy 与路径无关，其中( x) 具 C
有连续导数，且(0)0 ，计算
(1,1)
x
y2d
x
y(
x)dy
的值。
(0,0)
解： P xy 2 ， Q y( x) ，
∵曲线积分与路径无关，∴ P 2xy Q y( x) ，
y
x
( x)2x ，( x) x2 C ，
令u x2
14
20 f
(u)du2.
二、选择题
1．设 C 是圆周 x2 y2 2x ，则C xds （ D ）。
（A）0；（B）1；（C） ；（D）2 。
解 另解：：C 设 的极C 坐 的标 线密 方度程为1，2c则osC 的，质 量2 M2，，
Cdsx且 dsM12C222x2cddoss2x2d21d，,故8C02xcdoss22d。8
z x2 y2R2
x2 z2 R2
面积为它位于第一卦限内
oR
y
的部分 的面积 S 的 8 倍， x R
在 xOy 平面内的投影为
Dxy {(x, y) 0 xa, 0 y a2 x2 }，
的方程为 z a2 x2 ，( x, y)Dxy ，
S ds 1(zx )2 (z y )2dxdy
y
11(e12x)dx
0ex
1 2e.
1
2．求 I C
x x2
y y
2
dx
x x2
y y
2
dy
，其中
C
从点A(a,
0)
经
上半椭圆
x2 a2
y2 b2
1(
y0)
到达点B(a,
0)
的弧段，且 0 b a
。
解：当( x, y)(0,0)时 ，
y
C1
P
x x2
y y2
，Q
x y x2 y2
，
C
A(a, 0) oo B(a, 0)
代入 (0)0 ，得C 0 ，( x) x2 。
取 y x ， x: 01 作为积分路径，则
(1,1) x
y2dx
y(
x)dy
(1,1)xy2dx yx2dy
1
2
x
3dx
1
.
(0,0)
(0,0)
0
2
或 du PdxQdy xy2dx yx2dyd 1( x2 y2 ), 2
(1,1)xy2dx yx2dy 1( x2 y2 ) (1,1) 1.
(
x
y
)dxdy0,
C1 的参数方程为 x acost ， y asint ，t : 0 ，
x y
x y
C1 x2 y2dx x2 y2 dy
1 a2
0[(acost
as
int
)(as
int
)(acost
as
int
)(acost
)]d
t
0dt. 故I0 。
3．计算曲线积分
C
ydx 4x2
x
P y2 x2 2xy Q
且 y
( x2 y2 )2
，. x
添加辅助线C1 : x 2 y 2 a 2 , y0 , 方向是从点B(a, 0)
到点 A(a, 0) ，则
x y
x y
I C x2 y2dx x2 y2 dyCC1C1,
x y
x y
Q P
CC1
x2
y2
dx
x
2
y
2
dy
Dxy
(0,0)
2
(0,0) 2
y
注：由于本题并未要求 ( x) ，故可沿 ( 0 ,1) (1,1)
则 zdS 4 3 。
解： ： z4 x y ，dS 3dxdy ，
在 xoy 面上的投影区域为 Dxy {( x, y) x2 y2 1} 。
zdS (4 x y) 3dxdy4 3 dxdy4 3.
Dxy
Dxy
3．设
f
(u)
具有连续导数，且
4
0
f
(u)du4
，C
为半圆
周 y 2x x2 ，起点为A(0,0) ，终点为 B(2,0) ，则
D xy
1
a1
a2x2
a
Dxy
Baidu Nhomakorabea
a2 x2 dxdya0
a2 x2 dx0
dy
a 0adxa 2 .
三、解答题
1．计算曲线积分 I C(e y 12xy)dx( xe y cosy)dy ，其中
C 为曲线 y x2 上从 A(1, 1) 到B(1, 1) 的一段。
分解：析添：加若辅化助为定线积段分BA计：算，y 则1 会，出x:现111e1x