大数定律与中心极限定律

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大数定理与中心极限定理

n
的随机变量，使得X Xi . 易知 i 1
E( X ) np D( X ) npq
由Lindeberg-Levy中心极限定理知
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
n
理解：在定理条件下，总有 X ~ N(np, npq).
三、中心极限定理的应用
➢ Lindeberg-Levy中心极限定理应用
其概率分布一定是正态分布。
定理4(De Moivre-Laplace中心极限定理) 设随机变量X ~ B(n, p)，则对于任意的实数x，有
lim
P
X
np
x
1
x t2
e 2 dt
n npq
2
证明：因为X ~ B(n, p)，由Bernoulli大数定理证明有
X1, X 2 , , X n为独立同分布于参数为p的两点分布
P
1 n
n i1
1 Xi n
n
E( Xi )
i1
1
D(1 n n i1
2
Xi)
1
M
n 2
所以
lim P n
1 n
n i1
Xi
1 n
n i1
E( Xi )
1
推论：设X1, X 2 , , X n , 是独立同分布
随机变量序列，且数学期望为，方
差 2，则对于任意的正实数有
lim
n
当观测次数n充分大时，“观测值得算术平均值接近期望值”是一个大概率事件，即下式以大概率成立：
1
n
n i 1
Xi
n充分大
E(X )

中心极限定理和大数定律

中心极限定理和大数定律中心极限定理和大数定律是统计学中非常重要的两个概念。

它们在统计学中被广泛应用，对于理解随机事件的规律性和分析数据具有重要意义。

本文将对中心极限定理和大数定律进行详细的阐述。

一、中心极限定理1. 定义中心极限定理是指当样本量足够大时，样本均值的分布近似于正态分布。

也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将近似于正态分布。

2. 原理中心极限定理的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）服从正态分布N（μ,σ^2/n）。

其中，μ代表总体均值，σ代表总体标准差。

3. 应用中心极限定理在实际应用中非常广泛。

例如，在质量控制过程中，我们可以通过抽取一小部分产品进行检测，并根据检测结果推断整个批次产品的质量状况。

而根据中心极限定理，我们可以通过抽取足够多的样本并计算样本均值，来推断总体均值和标准差，从而判断整个批次产品的质量是否符合要求。

二、大数定律1. 定义大数定律是指当样本量足够大时，样本平均值趋近于总体平均值。

也就是说，如果我们从总体中抽取足够多的样本，并计算每个样本的平均值，那么这些平均值将趋近于总体的平均值。

2. 原理大数定律的原理可以用数学公式表示为：当n趋向于无穷大时，样本均值（Xbar）趋近于总体均值（μ）。

3. 应用大数定律在实际应用中也非常广泛。

例如，在股票市场中，我们可以通过抽取一小部分股票进行分析，并根据分析结果预测整个市场的走势。

而根据大数定律，我们可以通过抽取足够多的股票并计算它们的收益率，来推断整个市场的平均收益率和风险水平。

三、中心极限定理和大数定律之间的关系1. 相似性中心极限定理和大数定律都是关于样本均值的定理，它们都是基于样本量足够大的前提条件下成立的。

2. 区别中心极限定理和大数定律的主要区别在于它们所描述的内容不同。

中心极限定理描述了样本均值的分布情况，而大数定律描述了样本均值与总体均值之间的关系。

大数定律和中心极限定理

大数定律和中心极限定理1 大数定律这里强调的是总体与样本大数定律就是说：当随机事件发生的次数足够多时，发生的频率趋近于预期的概率大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”2 赌徒缪误：1，2，4，8-----在赌钱时——输了就翻倍，一直到赢为止有人说：如果已经连续4次出现正面，接下来的第5次还是正面的话，就接连有5次“正面”，根据概率论，连抛5次正面的几率是1/25=1/32。

所以，第5次正面的机会只有1/32，而不是1/2。

以上混淆了“在硬币第1次抛出之前，预测接连抛5次均为正的概率”和“抛了4次正之后，第5次为正的概率”，既（11111）---- 1/32，(1111)1 ---- 1/2。

3 中心极限定理3.1 大数定律和中心极限定理的关系：上面通过赌徒谬误介绍了概率论中的大数定律。

大数定律说的是当随机事件重复多次时频率的稳定性，随着试验次数的增加，事件发生的频率趋近于预期的“概率”。

但大数定律并未涉及概率之分布问题。

此外大数定律说明了在一定条件下，当系统的个体足够多时，系统的算数平均值会集中在期望位置。

从这个角度，中心极限定理包含了大数定律。

因为中心极限定理在于揭示系统在期望附近的统计性质，即“以何种方式”集中在期望。

总的来说就是——大数定律反映的是频率->概率（或者认为广义的期望）；而中心极限定理反映的是——在整体结果下，结果内部发生各种情况下的一个概率分布情况。

3.2 那什么是中心极限定理？中心极限定理指的是分别适用于不同条件的一组定理，但基本可以用一句通俗的话来概括它们：大量相互独立的随机变量，其求和后的平均值以正态分布（即钟形曲线）为极限。

Eg：以二项分布为例进行解释（抛硬币）对于抛n次硬币，出现正面k次的一个分布情况，如下：但是对于二项分布不一定是对对称的，除了受抛的次数n影响，还受对应的概率p的影响3.3 晋级再后来，中心极限定理的条件逐渐从二项分布推广到独立同分布随机序列，以及不同分布的随机序列。

中心极限定理和大数定律

中⼼极限定理和⼤数定律⽬录依分布收敛定义若有⼀列分布函数 {F n} 和分布函数F，在F的每⼀个连续点，都有F n→F，则称F n弱收敛于F，记为F nω⟶F .定义若⼀列随机变量ξn的分布函数弱收敛于ξ的分布函数，则称ξn依分布收敛于ξ，记为ξnd⟶ξ .海莱第⼀定理若有⼀列分布函数 {F n} ，则存在单调不减右连续的函数F, 0≤F(x)≤1,x∈R 和⼦列 {F nk } ，使得对F的每⼀个连续点，都有F nk→F .海莱第⼆定理设有分布函数F，⼀列分布函数 {F n} ，F nω⟶F，若g(x) 在 R 上有界连续，则∫+∞−∞g(x)dF n(x)→∫+∞−∞g(x)dF(x)勒维连续型定理设有分布函数F，⼀列分布函数 {F n} ，若F nω⟶F，则相应的特征函数列 {fn(t)} 关于t在任何有限区间⼀致收敛于F的特征函数f(t) .逆极限定理设f n(t) 是分布函数F n(x) 的特征函数，如果对每个t,f n(t)→f(t) ，且f(t) 在t=0 连续，则f(t) ⼀定是某个分布函数F的特征函数，且F nω⟶F .例 4.1 ⽤特征函数法证明⼆项分布的泊松逼近定理.Proof.设ξn服从⼆项分布B(n,p) ，且lim，它的特征函数为f_n(t) = (p_ne^{it}+q_n),\ q_n = 1-p_n，则有\lim_{n\to\infty}f_n(t) = \lim_{n\to\infty}\left(1+\dfrac{np_n(e^{it}-1)}{n}\right)^n = e^{\lambda(e^{it}-1)}恰为泊松分布的特征函数，由逆极限定理即证.推论若有⼀列随机变量\xi_n和\xi，则下述等价\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi对任意有界连续函数，有Eg(\xi_n)\to Eg(\xi)对任意实数t有f_n(t)\to f(t)推论关于密度函数或分布列判断依分布收敛若对任意x,\ p_n(x)\to p(x)，则\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi若对任意j,\ p_n(x_j)\to p(x_j)，\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi性质若g(x)在\mathbb{R}上连续，则若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi，有g(\xi_n)\stackrel{d}\longrightarrow g(\xi)若有常数列\{a_n\},\ \{b_n\}，有分布函数F，⼀列分布函数\{F_n\}，若a_n\to a,\ b_n\to b,\ F_n\to F，则$F_n(a_nx+b_n)\to F(ax+b)若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi，则a_n\xi_n + b_n\stackrel{d}\longrightarrow a\xi +b中⼼极限定理德莫佛-拉普拉斯⽤S_n表⽰n重伯努利实验中成功的次数，设\Phi(x)为标准正态分布的分布函数，则\lim_{n\to\infty}P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le x\right) = \Phi(x)可以看出⼆项分布逼近正态分布，其中P(S_n=k) = b(k;n,p)也就是说，n次独⽴实验中成功\alpha<k\le\beta次的概率为P(\alpha<S_n\le\beta) = P\left(\dfrac{\alpha-np}{\sqrt{npq}}<\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le \dfrac{\beta-np}{\sqrt{npq}}\right) \approx \Phi\left(\dfrac{\beta-np} {\sqrt{npq}}\right) - \Phi\left(\dfrac{\alpha-np}{\sqrt{npq}}\right)需要注意这⾥是n个⼆项分布的累积，每个分布只有1次实验，类似于对分布的拆分：S_n本⾝是⼆项分布，但是这⾥将n次实验拆成了n个随机变量的累计.定义设有⼀列随机变量\xi_n，若有常数B_n>0,\ A_n使得\dfrac{1}{B_n}\sum_{k=1}^n\xi_k - A_n\stackrel{d}\longrightarrow N(0,1)则称\xi_n服从中⼼极限定理.林德贝格-勒维设\{\xi_n\}独⽴同分布，记S_n = \sum_{k=1}^n\xi_k,\ E\xi_1 = a,\ Var\xi_1 = \sigma^2，则中⼼极限定理成⽴，即\dfrac{S_n-na}{\sqrt{n}\sigma} \stackrel{d}\longrightarrow N(0,1)从⽽我们可以类似于上进⾏估计；特别的，当S_n是⼆项分布，有E\xi_1 = a,\ Var\xi_1 = pq .李雅普诺夫定理若\{\xi_n\}独⽴，存在常数\delta>0，使得\dfrac{1}{(\sum_{k=1}^nVar\xi_k)^{1+\delta/2}}\sum_{k=1}^nE|\xi_k-E\xi_k|^{2+\delta} \to 0则中⼼极限定理成⽴.依概率收敛由于两个不同的随机变量可以有相同的分布函数，故分布函数的收敛性不能反映随机变量序列取值之间的接近程度，因此需要引⼊另外的收敛性.定义设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 0是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，若有\forall \epsilon > 0,\quad \lim_{n\to\infty}P(|\xi_n-\xi|\ge\epsilon) = 0则称\xi_n依概率收敛于\xi，记作\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi .设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 0是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量若\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi，则\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow\xi若\xi_n\stackrel{d}\longrightarrow c，其中c为常数，则\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow c注意随机变量为c，则有分布列P(\xi=c) = 1，从⽽有分布函数F(x) = \left\{ \begin{aligned} &0,\quad x<c\\ &1,\quad x\ge c \end{aligned} \right.Loading [MathJax]/jax/element/mml/optable/BasicLatin.js马尔科夫不等式设\xi是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，f(x)是[0,\infty)上的⾮负单调不减函数，则有\forall x>0,\quad P(|\xi|>x)f(x) \le Ef(|\xi|)这⾥改写了不等式，注意到左边是⼀个类似于期望的格式，这样⽐较直观，事实上P(|\xi|>x)f(x) = \int_{|y|>x}f(x)dF(y) \le \int_{|y|>x}f(y)dF(y) \le \int_{\Omega}f(y)dF(y) = Ef(|\xi|)\xi_n\stackrel{P}\longrightarrow \xi当且仅当E\dfrac{|\xi_n-\xi|^2}{1+|\xi_n-\xi|^2} \to 0Proof.注意到f(x) = x^2/(1+x^2)⾮负单调不减，由上即证.弱⼤数定律伯努利⼤数定律设\{\xi_n\}独⽴同分布，P(\xi_n=1) = p,\ P(\xi_n=0) = 1-p,\ 0<p<1，记S_n = \sum_{i=1}^n\xi_i，则\dfrac{S_n}{n} \stackrel{P}\longrightarrow p设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量序列，若有常数列\{a_n\},\ \{b_n\}使得\dfrac{1}{a_n}\sum_{k=1}^n\xi_k - b_n \stackrel{P}\longrightarrow 0则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律.使⽤伯努利⼤数定律估计\xi_i\sim B(1,p),\quad S_n = \sum_{i=1}^n\xi_i则有估计P(S_n\le x) = P\left(\dfrac{S_n-np}{\sqrt{npq}}\le \dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}\right) \approx \Phi\left(\dfrac{x-np}{\sqrt{npq}}\right)其中q=1-p .切⽐雪夫⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴随机变量序列，E\xi_n = \mu_n,\ Var\xi_n = \sigma_n^2，若有\sum_{k=1}^n\sigma_k^2/n^2\to 0，则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k - \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k \stackrel{P}\longrightarrow 0Proof.考虑\sum_{k=1}^n\xi_k/n，则E\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k,\quad Var\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1}{n^2}\sum_{k=1}^n\sigma_k^2由切⽐雪夫不等式P\left(\left|\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n(\xi_k -\mu_k)\right|\ge\epsilon\right) \le \dfrac{1}{\epsilon^2}Var\left(\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k\right) = \dfrac{1} {\epsilon^2n^2}\sum_{k=1}^n\sigma_k^2 \to 0即证.马尔科夫⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴随机变量序列，E\xi_n = \mu_n，若有Var(\sum_{k=1}^n\xi_k^2)/n^2\to 0，则称\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\xi_k - \dfrac{1}{n}\sum_{k=1}^n\mu_k \stackrel{P}\longrightarrow 0证明是类似的，可以省去最后⼀步.⾟钦⼤数定律设\{\xi_n\}是定义在概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的独⽴同分布随机变量序列，E|\xi_1|<\infty，记\mu=E\xi_1,\S_n=\sum_{k=1}^n\xi_k，则\{\xi_n\}服从弱⼤数定律，即\dfrac{S_n}{n} \stackrel{P}\longrightarrow \mu平均收敛设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 1是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，E|\xi|^r<\infty,\ E|\xi_n|^r<\infty,\ n\ge1,\ 0<r<\infty，若E|\xi_n-\xi|^r \to 0则称\{\xi_n\}r阶平均收敛于\xi，记作\xi_n\stackrel{L_r}\longrightarrow\xi .强⼤数定律定义设\xi,\ \xi_n,\ n\ge 1是定义在同⼀概率空间(\Omega,\mathcal{F},P)上的随机变量，若存在\Omega_0\in\mathcal{F}使得P(\Omega_0) = 1，且对任意\omega\in\Omega_0有\xi_n(\omega)\to\xi(\omega)，则称\xi_n以概率1收敛或⼏乎必然收敛于\xi，记作\xi_n\to\xi\ \mathrm{a.s.}定义若有\Omega_0\in\mathcal{F}使得P(\Omega_0) = 1，且对任意\omega\in\Omega_0，\{\xi_n(\omega)\}是柯西基本列，即\xi_n(\omega)-\xi_m(\omega)\to 0，则称\xi_n以概率1是柯西基本列。

大数定律和中心极限定理课件

决策制定
中心极限定理可以帮助我们在不确定的情况下做出决策。例如，通过模拟大量可能的结果并计算其分布，可以评估不同决策的风险和收益。
04
大数定律与中心极限定理的关联与区别
关联性分析
大数定律和中心极限定理都是概率论中的重要定理，它们在某些方面存在关联。
大数定律描述了在大量独立重复试验中，大数定律是中心极限定理的一种特例，某一事件的相对频率趋于该事件的概率，当随机变量数量趋于无穷时，中心极限
而中心极限定理则说明无论独立随机变定理可以看作是大数定律的一种推广。量的分布是什么，它们的和或积的分布
都趋于正态分布。
差异性分析
大数定律和中心极限定理在适用范围和表现形式上存在差异。
大数定律的结论是相对频率趋于概率，而中心极限定理的结论是随机变量和的分布趋于正态分布。
大数定律适用于大量独立重复试验中某一事件的相对频率，而中心极限定理则适用于独立随机变量的和或积的分布。
02
中心极限定理
定义
• 中心极限定理：在大量独立同分布的随机变量下，这些随机变量的平均值的分布趋近于正态分布，即无论这些随机变量的分布是什么，只要样本量足够大，其平均值的分布都将呈现出正态分布的特征。
适用范围
中心极限定理适用于大量独立同分布的随机变量，这些随机变量的分布可以是离散的也可以是连续的。
在金融领域，中心极限定理也被广泛应用。例如，股票价格的波动可以看作是大量投资者决策的独立同分布的随机变量，因此股票价格的平均值（即指数）的分布也呈现出正态分布的特征。
03
大数定律与中心极限定理的应用
在统计学中的应用
样本均值和总体均值的近似
大数定律表明，当样本量足够大时，样本均值趋近于总体均值，这为统计学中的参数估计提供了基础。

大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的概念，它们被广泛应用于概率论、数理统计以及各种实际问题的分析与推导中。

本文将详细介绍大数定律与中心极限定理的概念、原理及应用，以期帮助读者更好地理解和应用这两个定律。

一、大数定律大数定律是指在随机试验中，当试验次数趋于无穷时，样本均值趋近于总体均值的概率趋于1的现象。

简言之，大数定律说明了在重复独立试验的过程中，随着试验次数增加，样本均值与总体均值之间的差距将会逐渐减小。

大数定律有多种形式，其中最为著名的是弱大数定律和强大数定律。

弱大数定律也称为大数定律的辛钦特例，它是在满足一定条件下，样本均值趋近于总体均值的概率收敛于1。

而强大数定律则对样本均值的收敛速度和稳定性做出了更严格的要求。

在实际应用中，大数定律可以用来解释和预测各种现象。

例如，当进行大规模的舆情调查时，可以通过随机抽样的方式来获取一部分样本，然后利用大数定律来推断出总体的舆情倾向。

此外，在生产过程中对产品质量的控制和检验中，也可以使用大数定律来判断产品的批量质量是否合格。

二、中心极限定理中心极限定理是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，当样本容量足够大时，样本均值的分布将近似服从于正态分布。

也就是说，无论总体分布是否服从正态分布，在大样本条件下，样本均值的分布都将趋于正态分布。

中心极限定理的重要性在于它提供了许多统计推断和参数估计的基础。

例如，在对总体均值进行估计时，可以利用样本均值的分布接近于正态分布来构建置信区间，从而对总体均值进行区间估计。

此外，中心极限定理还为假设检验提供了支持。

假设检验是统计推断的一种常用方法，通过对样本数据进行假设检验，可以判断总体参数是否与假设相符。

而中心极限定理则为假设检验提供了理论基础，使得假设检验的结果更加可靠和准确。

综上所述，大数定律和中心极限定理是统计学中两个重要的理论基础。

大数定律说明了随机试验中样本均值与总体均值的关系，而中心极限定理则揭示了样本均值的分布特征。

大数定律及中心极限定理

则 g(X n, Yn ) P g(a, b)
定理1 （切比雪夫定理旳特殊情况）设随机变量序
列 X1,X2,…,Xn, ...相互独立，且具有相同旳数学期望
和方差： E(Xk)=，D(Xk)=2 (k=1,2,...) , 则对任意
旳
> 0，有
lim P n
1 n
n
Xi
i 1
1
即
X
1 n
第五章大数定律及中心极限定理
§5.1 大数定律 §5.2 中心极限定理
§5.1 大数定律
定义1 设Y1, Y2 …,Yn ,...为一随机变量序列，a是常数，若对任意正数，有
lim
则称随机变量序列Y1, Y2 ,…,Yn , ... 依概率收敛于a ，
记为: Yn P a
性质：设 Xn P a, Yn P b , g(x, y)在点(a, b)连续,
100
于是, 一盒螺丝钉旳重量为 X Xi i 1
且 E( X i ) 100, D( X i ) 10, n 100
由中心极限定理
100
P{ X 10200} P{ i 1
Xi
10200}
P
100
Xi
i 1
n
n
10200 n n
P
X
1000 100
10200 1000
Φ
k 120 48
Φ
120 48
0.999
k 141.48,
至少供电142千瓦,才干确保以不不大于99.9%旳概率正常工作.
例3 在人寿保险企业里,有3000个同一年龄旳人参加保险.设在
一年内这些人旳死亡率为0.1%, 参加保险旳人在一年旳头一天交付保险费10元，死亡时，家眷可从保险企业领取2023元．求（1）保险企业一年中获利不不大于10000元旳概率；

3-3大数定律与中心极限定理

于1.
随机的即了当，n充取分值大接时近，于其n1 i数n1 X学i 差期不望多的不概再率是接
近于1.
推论设随机变量序列{ Xn } 独立且都服从某个分布，它们的数学期望及方差均存在，
即 EX k , DXk 2 , k 1,2, 则对于任意 0, 恒有
1 n
lim
n
P(
n
k 1
P{5200 7300 X 7300 9400 7300}
P{2100 X 2100} P{| X | 2100}.
由切比雪夫不等式
P{| X | 2100} 1 2 /(2100)2 1 (700 / 2100)2
11/ 9 8/ 9,
即每毫升白细胞数在5200 ~ 9400之间的概率不小于8/9.
D( X k
)
2 k
0, i
1,2,，记
Bn2
若k2. 存在正数
使得当 n 时,
1
B 2 n
n
E{| X k k |2 } 0,
k 1
k 1
n
则随机变量之和 X k
k 1
的标准化变量:
n
n n
nZnຫໍສະໝຸດ k 1X k E X k k1
n D X k
k 1
Xk k
k 1
X
k
) 1
[注] 一般地，我们要求出随机变量 X 的数学期望，必须知道随机变量X的分布。但实际中，我们往往在不知随机变量X的分布时，希望
知道EX，上述的推论告诉了我们,在不知随
机变量X的分布时求EX的方法，即用
1 n
n
k 1
X
k
来估计EX。当n充分大时，偏差不会太大。

大数定律与中心极限定理

解： EX i = 10, DX i = 100. 系统寿命X = ∑ X i
P{ X ≥ 350} = P{∑ X i ≥ 350}
i =1 30 i =1
30
= P{
∑X
i =1
30
350 − 300 ≥ } 30 × 100 30 × 100
i
− 300
∑X
k =1
n
近似 k~ N (nµຫໍສະໝຸດ , nσ )∞ n n =1
1 n 1 n lim P | ∑ X k − E ∑ X k |≥ ε = 0. n →∞ n k =1 n k =1
定理1( Markov)：若随机变量序列{ X n }∞=1 ,对∀n ≥ 1, n 1 n n→∞ DX n 存在; 且 2 D ∑ X k 0,则称{ X n }服从大数定律. → n k =1 proof ： 1 n 1 n 1 n 0 ≤ P | ∑ X k − E ∑ X k |≥ ε ≤ 2 2 D ∑ X k k =1 n k =1 n k =1 nε
第 k 个学生来参加会议的家长数,
Xk 则 X k 的分布律为 pk
0 1 2 0.05 0.8 0.15
易知 E ( X k ) = 1.1, D( X k ) = 0.19, ( k = 1,2,⋯,400)
根据独立同分布的中心极限定理独立同分布的中心极限定理，而 X = ∑ X k , 根据独立同分布的中心极限定理，
1 则 lim Fn ( x) = lim P{Yn ≤ x} = n →∞ n →∞ 2π
近似 n
∫
x
−∞
e
1 − t2 2

§4.4大数定律与中心极限定理

中心极限定理是概率论中最著名的结果之一，它不仅提供了计算独立随机变量之和的近似概率的简单方法，而且有助于解释为什么很多自然群体的经验频率呈现出钟形曲线这一值得注意的事实.
第四章结束 !
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
解: 任一时刻使用外线的分机数为X, X~B(200,0.2)
由题意, 求最小r, 使得 P(0≤X≤r)≥0.95
令： Xk 10
第k台分机用外线第k台分机不用外线
200
则：X Xk
由于 n 较大k,1故近似地, X~N(np,npq)=N(40,32) .
P(0≤X≤r)
Φ(r40)Φ(40)
设 X1, X2, …是独立同分布的随机
变量序列，且E(Xi)=，D(Xi)= 2 ，
i=1, 2, …，则
n
Xi n
x
lim P{i1
x}
n
n
-
1 e-t2 2dt
2
它表明, 当 n充分大时, n 个具有期望和方差的独立同分布的 r.v 之和近似服从正态分布.
定理. (棣莫佛－拉普拉斯定理)
切比雪夫
则对任意的ε>0，
ln im P{n 1|i n1Xin 1i n1E(Xi)|}1
证明: 切比雪夫大数定律主要的数学工具是
切比雪夫不等式.
E(|1 n
ni1
Xi)1 ni n1E(Xi)
D(1 ni n1Xi)n12 i n1D(Xi)K n
二 . 中心极限定理
如果一个量是由大量相互独立的随机因素的影响所造成，而每一个别因素在总影响中所起的作用不大. 则这种量一般都服从或近似服从正态分布.
在概率论中, 把无穷多随机变量和的分布收敛

大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是概率论中两个重要的定理，它们分别描述了随机变量序列的极限行为。

在统计学和概率论中，这两个定理被广泛应用于估计和推断，对于理解随机现象的规律具有重要意义。

一、大数定律大数定律是概率论中的一个基本定理，它描述了独立同分布随机变量序列的均值在概率意义下收敛于其数学期望的现象。

大数定律分为弱大数定律和强大数定律两种形式。

1. 弱大数定律弱大数定律又称为辛钦大数定律，它是概率论中最早被证明的大数定律之一。

弱大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的数学期望存在且有限，记为$E(X_i)=\mu$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to \infty}P(|\bar{X}_n-\mu|<\varepsilon)=1$，其中$\varepsilon$为任意小的正数。

弱大数定律的直观解释是，随着样本量的增加，样本均值会逐渐接近总体均值，即样本的平均表现会趋向于总体的真实情况。

这一定律在统计学中有着广泛的应用，例如在抽样调查、质量控制等领域中被频繁使用。

2. 强大数定律强大数定律是大数定律的另一种形式，它要求更高，即要求随机变量序列的方差有限。

强大数定律指出，对于独立同分布的随机变量序列$X_1, X_2, \cdots, X_n$，如果这些随机变量的方差存在且有限，记为$Var(X_i)=\sigma^2$，则随着样本量$n$的增大，样本均值$\bar{X}_n$以概率1收敛于数学期望$\mu$，即$\lim_{n \to\infty}P(\bar{X}_n=\mu)=1$。

强大数定律相比于弱大数定律更加严格，要求随机变量序列的方差有限，但在实际应用中，强大数定律的条件并不总是成立。

大数定律与中心极限定理总结

大数定律与中心极限定理总结一、引言在统计学中，大数定律和中心极限定理是两个非常重要的概念。

它们揭示了随机变量的一些基本性质，对于理解和应用统计学具有重要意义。

本文将对大数定律和中心极限定理进行总结，并通过事实举例来加深理解。

二、大数定律大数定律是指当随机变量的样本容量足够大时，样本均值会趋近于总体均值的现象。

根据大数定律，我们可以得出以下两个重要的大数定律：1. 辛钦大数定律辛钦大数定律是指当样本容量趋近于无穷大时，样本均值会收敛于总体均值。

这意味着随着样本容量的增加，我们可以更加准确地估计总体的特征。

举例：假设我们想要估计某地区成年人的平均身高。

我们可以随机抽取100个人的身高进行测量，并计算出样本均值。

然后，我们再随机抽取1000个人的身高进行测量，并计算出样本均值。

根据辛钦大数定律，当样本容量足够大时，这两个样本均值会非常接近，从而准确估计总体的平均身高。

2. 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律是指对于任意一个正数ε，当样本容量足够大时，样本均值与总体均值之间的差异小于ε的概率趋近于1。

这意味着大数定律的适用范围更广泛，不仅仅局限于样本均值的收敛性。

举例：假设我们有一个硬币，我们想要知道它正面朝上的概率。

我们可以进行一系列的抛硬币实验，每次记录正面朝上的次数，并计算出样本均值。

根据切比雪夫大数定律，当我们进行足够多的实验时，样本均值与真实的正面朝上的概率之间的差异将非常小。

三、中心极限定理中心极限定理是指当样本容量足够大时，样本均值的分布会趋近于正态分布。

中心极限定理是统计学中最重要的定理之一，它为许多统计推断方法的应用提供了理论基础。

举例：假设我们有一个班级，我们想要知道学生的平均考试成绩。

我们可以进行一次随机抽样，抽取若干个学生的考试成绩，并计算出样本均值。

然后，我们再进行多次随机抽样，并计算出每次抽样的样本均值。

根据中心极限定理，当样本容量足够大时，这些样本均值的分布将近似于正态分布，从而可以利用正态分布的性质进行统计推断。

5大数定律与中心极限定理

分布 P(2) .若随机变量Y100
100
Xi
，求 P190
Y100
210 .
i 1
解因为 X i 服从 P(2) ，i 1,2,
即 PX i
k
2k k!
e2 , (k
1,2,)
所以 E( X i ) 2, D( X i ) 2 ， i 1,2,,100
近似服从 Y100
N 200, 10
k 1
n
D( X k )
n k 1
Xk k
Bn
k 1
若对于一切实数x,有
lim P{Yn x} n
1
t2
e 2 dt
2
则称随机变量序列{Xk}服从中心极限定理.
• 定理(独立同分布的中心极限定理):设{Xk}为相互独立的随机变量序列,服从同一分布,且具有数学期望E(Xk)=μ和方差D(Xk)=σ2 ,则随机变量
t2
e 2 dt
lim lim n
np(1 p) n
np(1 p)
2
例: 设某妇产医院出生男孩的概率为 0.515，求在 10000 个新生儿中，出生的女孩不少于男孩的概率.
解法1 设X为10000个新生儿中男孩个数则X服从B(n,p)，其中n=10000，p=0.515
由德莫弗-拉普拉斯中心极限定理，所求概率为
20 100/12 20 100/12
20 100/12
1 1
0.387 t 2
e 2 dt 1 (0.387) 0.348
2
即有
P{V 105} 0.348
例: 在一家保险公司里有10000个人参加寿命保险，每人每年付12元保险费。在一年内一个人死亡的概率为0.6%，死亡时其家属可向保险公司领得1000元，问：

大数定律和中心极限定理

1 n
,则X n
P
证明: 利用切比雪夫不等式 :
P(|
Xn
0 | )
D(Xn )
2
1
n 2
0.
9
例：在n重贝努里试验中，若已知每次试验事件A出现的概率为0.75，试利用切比雪夫不等式计算, (1)若n=7500,估计A出现的频率在0.74至0.76 之间的概率至少有多大；（2）估计n,使A出现的频率在0.74至0.76之间的概率不小于0.90。
解：设在n重贝努里试验中，事件A出现的次数为X，
则X Bn,0.75,
E X np 0.75n, D X npq 0.1875n,
又
fn A
X n
(1) n 7500, P
0.74
X n
0.76
P X 0.75n 0.01n
1
0.1875n
0.01n 2
1
1875 7500
解：设X
i为第i次所倒的红酒重量(单位:ml),则X
相互独立且
i
分布相同,E(Xi ) 100, D(Xi ) 322,i 1, 2,L ,55.
根据独立同分布的中心极限定理:知
55
Xi 55100 近似
i 1
~ N 0,1，
32 55
所以
55
P{倒了55次后该瓶红酒仍有剩余} P{ Xi 6000} i 1
由德莫佛--拉普拉斯中心极限定理，知
Y
1500
1 10
近似
~ N (0,1).
1500
1 10
9 10
设教室需要设a个座位，由题意知a需要满足
a 1500 1
95% P{Y a} (

大数定律与中心极限定理

大数定律与中心极限定理大数定律和中心极限定理是数理统计中的两个重要概念，它们描述了随机现象的统计规律。

本文将介绍大数定律和中心极限定理的定义、作用和应用，并分析它们在实际问题中的重要性。

一、大数定律大数定律是指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋向于其数学期望。

大数定律分为两种形式：辛钦大数定律和伯努利大数定律。

辛钦大数定律是指对于独立同分布的随机变量序列，其算术平均值会以概率1收敛于其数学期望。

也就是说，随着试验次数的增加，随机变量的平均值将无限接近于其数学期望，而且以极高的概率收敛。

伯努利大数定律是指对于一系列相互独立的伯努利试验，当试验次数趋向于无穷大时，随机变量的频率会趋向于其概率。

也就是说，当我们对一个随机事件进行大量重复试验时，事件发生的频率将逐渐接近事件发生的概率。

大数定律的作用在于揭示了随机现象的规律性。

通过大数定律，我们可以准确估计随机变量的期望值或概率，并且通过增加样本量可以提高估计的准确性。

在实际应用中，大数定律常被用于统计推断、抽样调查、质量控制等领域。

二、中心极限定理中心极限定理是指在一定条件下，大量独立随机变量的和的分布近似于正态分布。

中心极限定理包括李雅普诺夫中心极限定理、林德伯格-列维中心极限定理和伯努利-拉普拉斯中心极限定理。

李雅普诺夫中心极限定理适用于具有有限方差的独立同分布随机变量序列。

当样本量足够大时，这些随机变量的和的分布将接近于正态分布。

林德伯格-列维中心极限定理适用于具有相同数学期望和方差的独立随机变量序列。

同样地，随着样本量的增加，这些随机变量的和的分布将趋于正态分布。

伯努利-拉普拉斯中心极限定理适用于大量相互独立的伯努利试验。

当重复伯努利试验的次数很大时，事件发生的次数将近似于正态分布。

中心极限定理的作用在于在不知道总体分布的情况下，通过大样本推断总体的统计规律。

它对于统计推断、假设检验、置信区间估计等方面具有重要意义。

总结起来，大数定律和中心极限定理是数理统计中两个基本的定理，它们揭示了随机现象的统计规律，为我们处理随机数据提供了重要依据。

大数定律与中心极限定理的区别

大数定律与中心极限定理的区别大数定律与中心极限定理的区别从数学方面来说，我们经常听到的大数定律、中心极限定理是两个不同的概念。

那么，他们之间究竟有什么联系呢？所以在数学上，人们常把一些数学规律叫做“大数定律”。

大数定律就是由正无穷到负无穷或者从负无穷到正无穷，再或者是正无穷到负无穷等无穷序列都有同样的大小。

例如： 0、 1、 -2、-4、 0…，它们可以组成一个无穷序列，也就是一个无穷大数。

在这种情况下，我们就说这个无穷序列是一个“大数”，并把它叫做“大数定律”。

而从负无穷到正无穷，即“大数定律”则由-∞到0，也是一个无穷序列，因此它也是一个“大数”，并且大于零。

1。

用归纳法证明。

大数定律在所有无穷序列中具有相同的大小；2。

用反证法证明。

中心极限定理在所有无穷序列中也具有相同的大小。

两者有没有联系呢？其实，这种联系只存在于集合论和概率论中，对于中心极限定理的研究已经很完善了，在本书中，我们主要学习关于大数定律的知识，因为我们的现代社会处处离不开数字。

大数定律是指“两个事物必然有相等的大小，比值必定相等”。

如果你仔细观察会发现，许多事物都遵循这一规律，例如，海拔高度、环球旅行、月球绕地球运动的周期、地球公转的周期……所以这一规律已经被应用在很多领域中了。

首先我们介绍最简单的“算术平均数”，因为它比较容易理解。

算术平均数（简称均值）是一个数列中的数据，按顺序排列时所得到的那个平均值。

在计算均值的过程中，有三个事情很重要：首先是排列方式，就是将数列中的数据按顺序排好，注意整个数列是否有共同的特征，是否可以重复使用；其次是顺序交换，就是将排好的数据按顺序交换；最后就是每次取值都要计算一遍，不要忘记。

其次，举出几个生活中的例子：比如每隔15天，工资就会加倍，比如从每年的6月25日到12月25日，全国每个人都享受高温假，这里都包含了15天，可见，我们每天都离不开均值，但并非所有的数列都符合大数定律，有些数列就不满足，例如斐波那契数列，它就不是大数定律。