1.6 整式的乘法多项式与多项式相乘

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七年级数学下册整式的乘法整式的乘法多项式的乘法多项式乘多项式

次二项式的乘法
5. 已知(x＋3)(x－2)＝x2＋ax＋b，则 a，b 的值分别
是( B )
A．a＝－1，b＝－6 B．a＝1，b＝－6
C．a＝－1，b＝6
D．a＝1，b＝6
2019年6月9日
你是眼中最美的风景
6
6. 下列多项式相乘的结果为 x2 ＋ 3x － 18 的是
(D )
A．x2＋3x＋2
B．3(x－1)(x－2)
C．x2－3x＋2
D．x3－3x2＋2x
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你是眼中最美的风景
9
11. 计算：(a－b)(a＋2b)＝_a_2_＋__a_b_－__2_b_2_； (x＋5y)(2x－y)＝_2_x_2_＋__9_x_y－__5_y_2__．
12. 定义ac db为二阶行列式，规定它的运算法则为
2019年6月9日
你是眼中最美的风景
2
知识点多项式乘多项式
1. (2018·武汉)计算(a－2)(a＋3)的结果是( B )
A．a2－6
B．a2＋a－6
C．a2＋6
D．a2－a＋6
2. 下面的计算结果为 3x2＋13x－10 的是( C )
A．(3x＋2)(x＋5)
B．(3x－2)(x－5)
C．(3x－2)(x＋5)
2019年6月9日
你是眼中最美的风景
8
9. 若(x＋2)(x－1)＝x2＋mx＋n，则 m＋n＝( C )
A．1
B．－2
C．－1
D．2
10. (2018·镇江模拟)学校买来钢笔若干支，可以平均
分给(x－1)名同学，也可分给(x－2)名同学(x 为正整
数)．用代数式表示钢笔的数量不可能的是( A )

【教案】整式的乘法——多项式与多项式相乘

整式的乘法——多项式与多项式相乘教学目标：知识与技能1、探索多项式与多项式相乘的乘法法则。

2. 能灵活地进行整式的乘法运算。

过程与方法1、经历探索多项式与多项式相乘的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用以及“整体”和“转化”的数学思想；2、通过对乘法法则的探索，归纳与描述，发展有条理思考的能力和语言表达能力；情感、态度与价值观体验学习和把握数学问题的方法，树立学好数学的信心，培养学习数学的兴趣。

教学重点：多项式的乘法法则及其应用。

教学难点：探索多项式的乘法法则，灵活地进行整式的乘法运算。

关键：多项式的乘法应先转化为单项式与多项式相乘进行运算，进一步转化为单项式的乘法，紧紧扣住这一线索。

教学方法：小组合作，自主学习教学过程：一、课前练习师：前面我们学习了整式的乘法，快速做一做，看看你掌握的怎样？计算：2232)1(xy x ⋅- )1(2)2(x x --()x x x +24)3( x x x 9)1944)(4(2⋅--生：交流答案师：同学们看这道题怎样做？())()5(b n a m ++（多媒体展示）他和我们以前所学的有何不同？生：现在是多项式乘多项式师：那多项式乘多项式如何去计算呢？这节课我们一起来探究吧！二、学习目标（多媒体）师：看到这个课题你想学习哪些知识呢？生：交流师：（多媒体呈现）1、探究并了解多项式与多项式相乘的法则2、熟练的运用法则进行运算三、探求新知问题助学一：动手做一做：利用如下的长方形卡片拼成更大的长方形（多媒体）(学生活动)小组内展评作品，推选出最优秀的同学的作品给全班学生展示。

你能用不同的方法表示此长方形的面积吗？生1：(m+n)(a+b)生2：ma+mb+na+nb生3：(m+n)a+(m+n)b(m+n)(a+b)=(m+n)a+(m+n)b=ma+mb+na+nb问题助学二：(多媒体)1、你能试着说说(m +b )(n +a )=m (n +a ) + b (n +a ) 怎么来的吗？2、进一步完成m (n +a ) + b (n +a ) 的计算，并说说你的依据引导学生把其中一个因式()a b +看作一个整体，再利用乘法分配律来理解()m n +与()a b +相乘的结果，从而导出多项式与多项式相乘的法则。

多项式与多项式乘法法则

多项式与多项式乘法法则
多项式与多项式乘法法则如下：
多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式每一项，再把所得的积相加。

方法：
由多项式乘多项式法则可以得到
（a+b)(c+d)=a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd。

上面的运算过程，也可以表示为（a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd。

多项式乘以多项式就是利用乘法分配律法则得出的。

乘法（multiplication），是指将相同的数加起来的快捷方式。

其运算结果称为积，“x”是乘号。

从哲学角度解析，乘法是加法的量变导致的质变结果。

整数（包括负数），有理数（分数）和实数的乘法由这个基本定义的系统泛化来定义。

乘法也可以被视为计算排列在矩形（整数）中的对象或查找其边长度给定的矩形的区域。

矩形的区域不取决于首先测量哪一侧，这说明了交换属性。

两种测量的产物是一种新型的测量，例如，将矩形的两边的长度相乘给出其面积，这是尺寸分析的主题。

整式的乘法——多项式与多项式相乘优质课件

3 1 3 x 2 x 时，可在 4 4 3 1 草稿纸上作如下标注： 3 x 4 2 x 4 ，根据箭头指示，结
“箭头法”标注求解．如计算
1 1 ，合对象，即可得到－3x•2x， 3 x , 3 2 x , 3 4
知1－讲
(2) (x － 8y)(x － y)
= x2 － xy－ 8xy＋ 8y2 =x2 － 9xy＋ 8y2;
(3) (x ＋ y)(x2 － xy ＋ y2)
= x3 － x2y ＋x y2＋ x2y － xy2 ＋ y3 = x3 ＋ y3.
（来自《教材乘，为了做到不重不漏，可以用
＝x2＋xy－6y2－(2x2－9xy＋4y2)
＝x2＋xy－6y2－2x2＋9xy－4y2 ＝－x2＋10xy－10y2. 当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22 ＝－1－20－40 ＝－61.
知2－讲
总结
多项式乘法与加减相结合的混合运算，通常先算出相乘的结果，再进行加减运算，运算中特别要注意括号的运用和符号的变化；当两个多项式相减时， “－”后面的多项式通常用括号括起来，这样可以避
多项式与多项式相乘的法则
如图把一块原长a m、宽p m的长方形绿地，加长了 b m，加宽了qm. 你能用几种方法求出
q p a
b
扩大后的绿地面积？
知1－导
不同的表示方法： (a+b)(p+q)； a( p+q)+b (p+q)；
p(a+b)+q(a+b)；
ap+aq+bp+bq.
知1－导

京改版七年级数学下册6.3《整式的乘法(3)多项式与多项式相乘》说课稿

（3）培养学生团结协作、积极探究的精神风貌。
（三）教学重难点
1.教学重点：
（1）多项式与多项式相乘的定义和法则；
（2）运用多项式与多项式相乘的法则进行运算；
（3）多项式与多项式相乘的运算规律。
2.教学难点：
（1）多项式与多项式相乘过程中，如何将乘法运算转化为加法运算；
（2）多项式与多项式相乘的运算规律的理解和运用；
（二）教学反思
在教学过程中，可能预见的问题或挑战包括：
1.学生对抽象概念的理解困难；
2.学生在运算过程中出现错误；
3.学生参与度不高，互动效果不佳。
应对策略包括：
1.使用直观的教具和多媒体资源帮助学生理解抽象概念；
2.提供详细的解题步骤和反馈，帮助学生纠正运算错误；
3.设计有趣的问题和活动，激发学生的参与兴趣。
2.问题悬念导入：我会提出一个看似简单却富有挑战性的问题：“同学们，你们知道两个多项式相乘的结果是什么样子吗？”通过制造悬念，激发学生的好奇心和求知欲。
3.游戏导入：设计一个简单的数学游戏，让学生在游戏中自然过渡到多项式与多项式相乘的学习内容。
（二）新知讲授
在新知讲授阶段，我将按照以下步骤逐步呈现知识点，引导学生深入理解：
2.过程与方法：
（1）通过实例引导学生发现多项式与多项式相乘的规律；
（2）运用探究、讨论等方式，让学生在实际操作中掌握多项式与多项式相乘的方法；
（3）培养学生运用数学思想解决问题的能力，提高数学素养。
3.情感态度与价值观：
（1）激发学生对数学学习的兴趣，培养良好的学习习惯；
（2）通过解决实际问题，让学生体会数学在生活中的应用价值；
板书内容主要包括：
1.多项式与多项式相乘的定义和法则；

专题1.6整式的乘法(3)多项式乘多项式

2020-2021学年七年级数学下册尖子生同步培优题典【北师大版】专题1.6整式的乘法(3)多项式乘多项式姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________注意事项：本试卷满分100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．(2020秋•南关区校级期中)计算(a+3)(﹣a+1)的结果是()A．﹣a2﹣2a+3B．﹣a2+4a+3C．﹣a2+4a﹣3D．a2﹣2a﹣3【分析】运用多项式乘以多项式法则，直接计算即可．解析(a+3)(﹣a+1)＝﹣a2﹣3a+a+3＝﹣a2﹣2a+3．故选：A．2．(2020秋•朝阳区期中)若(x﹣3)(2x+1)＝2x2+ax﹣3，则a的值为()A．﹣7B．﹣5C．5D．7【分析】将题中所给等式左边利用多项式乘多项式的运算法则进行计算，再与等式右边比较即可得出答案．解析(x﹣3)(2x+1)＝2x2+x﹣6x﹣3＝2x2﹣5x﹣3，∵(x﹣3)(2x+1)＝2x2+ax﹣3，∴a＝﹣5．故选：B．3．(2020秋•偃师市期中)若(x2+px+8)(x2﹣3x+1)乘积中不含x2项，则p的值为() A．p＝0B．p＝3C．p＝﹣3D．p＝﹣1【分析】先利用多项式乘多项式法则，把(x2+px+8)(x2﹣3x+1)展开合并，根据积不含x2的项，得关于p 的方程，求解即可．解析(x2+px+8)(x2﹣3x+1)＝x4+px3+8x2﹣3x3﹣3px2﹣24x+x2+px+8＝x4+(p﹣3)x3+(9﹣3p)x2+(p﹣24)x+8．∵(x2+px+8)(x2﹣3x+1)乘积中不含x2项，∴9﹣3p＝0．∴p＝3．故选：B．4．(2020秋•射洪市期中)如果(x﹣3)(3x+m)的积中不含x的一次项，则m的值为() A．7B．8C．9D．10【分析】先根据多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，根据已知得出m﹣9＝0，求出即可．解析(x﹣3)(3x+m)＝3x2+mx﹣9x﹣3m＝3x2+(m﹣9)x﹣3m，∵(x﹣3)(3x+m)的积中不含x的一次项，∴m﹣9＝0，解得：m＝9，故选：C．5．(2020秋•房县期中)若x+y＝1且xy＝﹣2，则代数式(1﹣x)(1﹣y)的值等于() A．﹣2B．0C．1D．2【分析】先根据多项式乘以多项式法则进行计算，再变形，最后求出答案即可．解析∵x+y＝1，xy＝﹣2，∴(1﹣x)(1﹣y)＝1﹣y﹣x+xy＝1﹣(x+y)+xy＝1﹣1+(﹣2)＝﹣2，故选：A．6．(2020秋•西陵区校级期中)以下表示图中阴影部分面积的式子，不正确的是()A．x(x+5)+15B．x2+5(x+3)C．(x+3)(x+5)﹣3x D．x2+8x【分析】根据长方形和正方形的面积公式得出各个部分的面积，再逐个判断即可．解析阴影部分的面积为x(x+5)+3×5＝x(x+5)+15或x2+5(x+3)或(x+3)(x+5)﹣3x，即选项A、B、C不符合题意，选项D符合题意，故选：D．7．(2020秋•路南区期中)若关于x的多项式(2x﹣m)与(3x+5)的乘积中，一次项系数为25，则m的值() A．5B．﹣5C．3D．﹣3【分析】先求出两个多项式的积，再根据一次项系数为25，得到关于m的一次方程，求解即可．解析(2x﹣m)(3x+5)＝6x2﹣3mx+10x﹣5m＝6x2+(10﹣3m)x﹣5m．∵积的一次项系数为25，∴10﹣3m＝25．解得m＝﹣5．故选：B．8．(2020秋•思明区校级期中)如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是()A．x2+3x+6B．(x+3)(x+2)﹣2xC．x(x+3)+6D．x(x+2)+x2【分析】把楼房的平面图转化为三个矩形，求出三个矩形的面积和即可．解析S楼房的面积＝S矩形ABCD+S矩形DEFC+S矩形CFHG＝AD•AB+DC•DE+CF•FH．∵AB＝DC＝AD＝x，DE＝CF＝3，FH＝2，∴S楼房的面积＝x2+3x+6．故选：D．9．(2021•宁波模拟)已知a、b、c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果S＝(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)，那么()A．S是偶数B．S是奇数C．S的奇偶性与n的奇偶性相同D．S的奇偶不能确定【分析】弄清a+n+1，b+2n+2，c+3n+3的奇偶性即可．可将3数相加，可知和为偶数，再根据三数和为偶数必有一数为偶数的性质可得积也为偶数．解析(a+n+1)+(b+2n+2)+(c+3n+3)＝a+b+c+6(n+1)．∵a+b+c为偶数，6(n+1)为偶数，∴a+b+c+6(n+1)为偶数∴S是偶数．故选：A．10．(2020秋•沙河口区期末)若(x+a)(x+b)＝x2+4x+3，则a+b的值为()A．3B．﹣3C．4D．﹣4【分析】直接利用多项式乘以多项式运算法则去括号，进而得出a+b的值．解析∵(x+a)(x+b)＝x2+4x+3，∴x2+(a+b)x+ab＝x2+4x+3，∴a+b＝4．故选：C．二、填空题(本大题共8小题，每小题3分，共24分)请把答案直接填写在横线上11．(2020秋•浦东新区期中)计算：(3x+2)(2x﹣3)＝6x2﹣5x﹣6．【分析】运用多项式乘多项式的法则计算即可．解析原式＝6x2﹣9x+4x﹣6＝6x2﹣5x﹣6．故答案为：6x2﹣5x﹣6．12．(2020秋•香坊区校级期中)已知a﹣b＝6，ab＝5，则(a+1)(b﹣1)＝﹣2．【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．解析∵a﹣b＝6，ab＝5，∴(a+1)(b﹣1)＝ab﹣a+b﹣1＝ab﹣(a﹣b)﹣1＝5﹣6﹣1＝﹣2；故答案为：﹣2．13．(2020秋•浦东新区期中)将关于x的多项式x2+2x+3与2x+b相乘，若积中不出现一次项，则b＝﹣3．【分析】根据题意，利用多项式乘多项式法则计算，确定出b的值即可．解析根据题意得：(x2+2x+3)(2x+b)＝2x3+(4+b)x2+(6+2b)x+3b，由积中不出现一次项，得到6+2b＝0，解得：b＝﹣3．故答案为：﹣3．14．(2020秋•朝阳区期中)如图，现有A类、B类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，若要拼一个长为(3a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，则需要7张C类卡片．【分析】用长乘以宽，列出算式，根据多项式乘以多项式的运算法则展开，然后根据A、B、C类卡片的形状可得答案．解析∵(3a+b)(a+2b)＝3a2+6ab+ab+2b2＝3a2+7ab+2b2，∴若要拼一个长为(3a+b)，宽为(a+2b)的大长方形，则需要A类3张，B类2张，C类7张．故答案为：7．15．(2020秋•沙坪坝区校级期中)已知x﹣y＝7，xy＝5，则(2﹣x)(y+2)的值为﹣15．【分析】认真观察题目的特点，易发现(2﹣x)(y+2)化简后会出现，x﹣y，xy，可以进行整体代入即可求得答案．解析(2﹣x)(y+2)＝2y+4﹣xy﹣2x＝﹣xy﹣2(x﹣y)+4，把x﹣y＝7，xy＝5代入，原式＝﹣5﹣2×7+4＝﹣15．故答案为：﹣15．16．(2020秋•九龙坡区校级期中)已知(x﹣2)(x2+mx+n)的乘积项中不含x2和x项，则m+n＝6．【分析】直接利用多项式乘多项式计算，再得出m，n的值，即可得出答案．解析(x﹣2)(x2+mx+n)＝x3+mx2+nx﹣2x2﹣2mx﹣2n＝x3+(m﹣2)x2+(n﹣2m)x﹣2n∵(x﹣2)(x2+mx+n)的乘积项中不含x2和x项，∴m﹣2＝0，n﹣2m＝0，解得：m＝2，n＝4，∴m+n＝6．故答案为：6．17．(2020秋•崇川区校级期中)如果(m2+n2+1)与(m2+n2﹣1)的乘积为15，那么m2+n2的值为4．【分析】根据题意列出等式，再根据平方差公式进行计算，最后求出答案即可．解析解；∵(m2+n2+1)与(m2+n2﹣1)的乘积为15，∴(m2+n2+1)(m2+n2﹣1)＝15，∴(m2+n2)2﹣1＝15，即(m2+n2)2＝16，解得：m2+n2＝4(负数舍去)，故答案为：4．18．(2020秋•西峰区期末)若(x+m)(x+n)＝x2﹣7x+mn，则﹣m﹣n的值为7．【分析】按照多项式的乘法法则展开运算后解析∵(x+m)(x+n)＝x2+(m+n)x+mn＝x2﹣7x+mn，∴m+n＝﹣7，∴﹣m﹣n＝7，故答案为：7．三、解答题(本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 19．(2020秋•南岗区期末)化简：(1)(2x)3(﹣5xy2)；(2)(3x+2)(x+2)．【分析】(1)先算积的乘方，然后再利用单项式乘以单项式计算法则进行计算即可；(2)根据多项式乘以多项式的计算法则进行计算即可．解析(1)原式＝8x3•(﹣5xy2)＝﹣8x3•5xy2＝﹣40x4y2；(2)原式＝3x2+6x+2x+4＝3x2+8x+4．20．(2020秋•淅川县期末)已知(x2+mx+n)(x﹣1)的结果中不含x2项和x项，求m、n的值．【分析】把式子展开，合并同类项后找到x2项和x项的系数，令其为0，可求出m和n的值．解析(x2+mx+n)(x﹣1)＝x3+(m﹣1)x2+(n﹣m)x﹣n．∵结果中不含x2的项和x项，∴m﹣1＝0且n﹣m＝0，解得：m＝1，n＝1．21．计算：(1)(2a﹣1)(a﹣4)﹣(a+3)(a﹣1)；(2)t2﹣(t+1)(t﹣5)；(3)(x+1)(x2+x+1)；(4)(2x+3)(x2﹣x+1)．【分析】(1)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可；(2)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可；(3)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可；(4)根据多项式的乘法和合并同类项解答即可．解析(1)(2a﹣1)(a﹣4)﹣(a+3)(a﹣1)＝2a2﹣8a﹣a+4﹣a2+a﹣3a+3＝a2﹣11a+7；(2)t2﹣(t+1)(t﹣5)＝t2﹣t2+5t﹣t+5＝4t+5；(3)(x+1)(x2+x+1)；＝x3+x2+x+x2+x+1＝x3+2x2+2x+1；(4)(2x+3)(x2﹣x+1)＝2x3﹣2x2+2x+3x2﹣3x+3＝2x3+x2﹣x+3．22．(2020秋•新宾县期末)如图，某市有一块长(3a+b)米，宽为(2a+b)米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间空白处将修建一座雕像．(1)求绿化的面积是多少平方米．(2)当a＝2，b＝1时求绿化面积．【分析】(1)绿化面积＝长方形的面积﹣正方形的面积；(2)把a＝2，b＝1代入(1)求出绿化面积．解析(1)S绿化面积＝(3a+b)(2a+b)﹣(a+b)2＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝5a2+3ab；答：绿化的面积是(5a2+3ab)平方米；(2)当a＝2，b＝1时，绿化面积＝5×22+3×2×1＝20+6＝26．答：当a＝2，b＝1时，绿化面积为26平方米．23．如图1，长方形的两边分别是m+8，m+4．如图2的长方形的两边为m+13，m+3(其中m为正整数)．(1)求出两个长方形的面积S1、S2，并比较S1、S2的大小；(2)现有一个正方形，它的周长与图1的长方形的周长相等，试证明该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数，并求出这个常数．【分析】(1)利用长方形的面积＝长×宽易得S1，S2的大小，并用作差的方法进行比较；(2)利用正方形的周长与图1中的长方形的周长相等易得正方形的边长，从而得正方形的面积，再作差去解决问题．解析(1)∵S1＝(m+8)(m+4)＝m2+12m+32，S2＝(m+13)(m+3)＝m2+16m+39，m为正整数，∴S1﹣S2＝m2+12m+32﹣(m2+16m+39)＝﹣4m﹣7＜0，∴S1＜S2；(2)∵一个正方形的周长与图1中的长方形的周长相等，∴正方形的边长为2(m+8+m+4)÷4＝m+6，正方形的面积为(m+6)2＝m2+12m+36，∴m2+12m+36﹣(m2+12m+32)＝m2+12m+36﹣m2﹣12m﹣32＝4，∴该正方形的面积与图1的长方形的面积的差是一个常数4．24．(2020秋•岳麓区校级月考)定义：L(A)是多项式A化简后的项数．例如多项式A＝x2+2x﹣3，则L(A)＝3．一个多项式A乘以多项式B，化简得到多项式C(即C＝A×B)，如果L(A)≤L(C)≤L(A)+1，则称B是A的“郡园多项式”；如果L(A)＝L(C)，则称B是A的“郡园志勤多项式”．(1)若A＝x﹣2，B＝x+3；那么B是不是A的“郡园多项式”，说明理由；(2)若A＝x﹣2，B＝x2+ax+4是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求a的值？(3)若A＝x2﹣x+3m，B＝x2+x+m是关于x的多项式且B是A的“郡园志勤多项式”，求m的值？【分析】(1)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园多项式”的定义判断；(2)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园志勤多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解；(3)根据多项式乘多项式的法则计算，根据“郡园志勤多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解．解析(1)B是A的“郡园多项式”，理由如下：(x﹣2)(x+3)＝x2﹣2x+3x﹣6＝x2+x﹣6，x2+x﹣6的项数比A的项数多1项，则B是A的“郡园多项式”；(2)(x﹣2)(x2+ax+4)＝x3+ax2+4x﹣2x2﹣2ax﹣8＝x3+(a﹣2)x2+(4﹣2a)x﹣8，∵B是A的“郡园志勤多项式”，∴a﹣2＝0且4﹣2a＝0，解得a＝2．∴a的值是2；(3)(x2﹣x+3m)(x2+x+m)＝x4+x3+mx2﹣x3﹣2x2﹣mx+3mx2+3mx+3m2＝x4+(4m+1)x2+2mx+3m2，∵B是A的“郡园志勤多项式”，∴4m+1＝0或m＝0，解得m=−14或0．∴m的值是−14或0．。

北师大版七年级下数学学习笔记

第一章整式的运算1．1 整式Ⅰ学法导引整式是代数式中最基本的式子，通过实例去感受生活中常常用到的单项式、多项式，在列代数式的基础上，学会自己归纳各个概念的特征，会加深对概念的理解和运用．Ⅱ要点精讲1 重点：单项式、多项式、单项式的系数和次数、多项式的次数及各项系数的概念；准确地找出单项式的系数和次数、多项式的次数及各项系数；明确这些概念之间的区别和联系，单独的一个字母或数也是单项式．2 难点:确定单项式的系数、次数，多项式的项、次数。

3 易错点：单项式的系数是负数或分数时，漏掉“－”号或分母；在计算多项式的次数时，把各项的次数加起来作为次数，或把系数与次数的概念混淆．Ⅲ精典例题解析重点例1 求下列各单项式的系数及次数、多项式的次数及各项系数．解析在求单项式次数时，注意两点：（1）单独一个数次数为0；（2）次数为所有字母的指数和.在求多项式的次数时，先求多项式中每一项的次数，再取这些次数中的最高次数作为多项式的次数．答案剖析难点解析第一项的次数为2＋1＝3次、第二项的次数为1＋1＋2＝4次、第三项的次数为1次，第四项的次数为0次．点击易错点错解分析（1）把系数的分母丢掉、错把c的次数当成0．（2）第一项的次数是2，第二项的次数是1，第三项的次数为0，2＋1＋0＝3从而得到多项式的次数为3，错在不能把各项次数相加，Ⅳ能力升级综合能力升级单项式次数的逆向思维与方程综合运用可培养学生逆向思维的能力．答案由题意知：m＋2＝6，m＝4．所以方程mx＋2m＝2，即4x＋8＝12，解得x＝1．1．2 整式的加减Ⅰ学法导引在七年级上册学过的合并同类项、去括号的基础上去学习整式的加减，应通过自己的总结、归纳，认识到整式的加减实质就是合并同类项，有括号的应先去括号，然后再合并同类项．Ⅱ要点精讲1 重点：整式加减的法则的应用．掌握好整式加减的运算，首先掌握好同类项的概念，其次正确的合并同类项，运算时必须讲究算必有据，以理驭算．2 难点：（1）括号前是“－”号的去括号时，括号里的每一项必须改变符号；（2）括号前有因数的．先利用分配律将该数乘以括号里的每一项再去括号，预防发生符号错误．3 易错点：（1）去括号时，括号前面是“－”号，去掉“－”号和括号后，只改变第一项的符号，其他项没有变号；（2）合并同类项时出现找错、漏找同类项，或是系数相加减时出现错误．Ⅲ精典例题解析重点【例1】求下列各整式的和．解析解答此类题必须做到以下几点：（1）根据题意列出代数式；（2）会去括号；（3）会合并同类项．剖析难点解析后面－个括号前面有系数2，并且2的前面是负号，计算这类题，要先利用分配律，再去括号．点拨遇到这类的题，最好先用分配律．点击易错点错解分析将去括号与做乘法同时进行，结果顾此失彼．在计算这类题时，应先用分配律，把括号前面的数与多项式的每一项都相乘之后，再去括号然后合并同类项．Ⅳ能力升级综合能力升级将整式的加减与绝对值、完全平方式综合运用．应用创新能力升级要通过汁算回答，不能想当然．【例5】在－个直径为d的地球仪的赤道圈上用铁丝打－个箍，假设地球的赤道也是个圆，在地球的赤道上也有－个铁箍，现将两个铁箍的半径都增加1米，小明认为地球比地球仪大得多，所以赤道上铁箍的半径增加1米比地球仪上的铁箍半径增加1米需要增加的铁丝多得多，你认为这个说法正确吗？请说明理由．答案不正确．1．3 同底数幂的乘法Ⅰ学法导引注意同底数幂的乘法法则是如何归纳总结和证明的，在新旧知识的类比中加深对幂的意义和乘法意义的理解与应用，同时要防止把幂的乘法法则性质与整式的加法相混淆，为后面学习整式乘法打好基础．Ⅱ要点精讲1 重点：同底数幂的乘法法则是同底数幂相乘，底数不变指数相加，掌握好此法则的关键要注意公式左右特征，此公式要会逆用，法则的推广，底数即可以是单项式，也可以是多项式，三个或三个以上法则也适用．2 难点：法则的正确运用及灵活运用，灵活运用包括法则的推广、法则逆用和法则的迁移．3．易错点：把法则记错、符号问题及幂的乘法运算与整式的加法相混淆，乘法只要求同底数就可用性质计算，而加法不仅要求底数相同，而且指数也必须相同．Ⅲ精典例题解析重点剖析难点点击易错点错解分析错误原因都是本节的法则掌握的不准确．Ⅳ能力升级综合能力升级同底数幂的乘法与前面学过的整式的加减综合运用．解析此题是两个幂之积的和，在加号前面的两个幂是同底数的幂，可直接根据法则计算；在加号后面的两个幂也可看作是底数相同的幂，因为－（2x－1）＝（－1）²（2x－1）．应用创新能力升级逆用同底数幂的乘法法则，可对一些较大的数比较大小．解析解决此类问题的方法是化成几个数的乘积的形式，使其中的某个因数相同．比较另外的因数的大小，就可比较出原数的大小．1．4 幂的乘方与积的乘方Ⅰ学法导引运用观察归纳总结的方法得到幂的乘方的法则、积的乘方的法则，连同上一节的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方三个运算性质是整式乘法的基础，也是整式乘法的主要依据，在计算时注意符号，避免运算法则发生混淆．Ⅱ要点精讲两个公式中的底数，可以是一个数或一个字母，也可以是一个多项式，两个公式都可以逆用，简化计算.2 难点：两个法则的灵活运用和逆用．3 易错点：（1）幂的乘方法则用错，与同底数幂乘法法则混淆．（2）积的乘方法则用错．Ⅲ精典例题解析重点部析难点点拨计算时要注意运算顺序和正确运用相关的运算法则，要综合运用幂的三种运算法则，计算时一定要认真仔细，正确运用法则．点击易错点错解分析（1）错的根本原因没有真正理解幂的乘方的含义，将幂的乘方与同底数幂的乘法法则混淆，幂的乘方运算是转化为指数的乘法运算；同底数幂的乘法是转化为指数的加法运算．（2）乘积中的因式b没有乘方．Ⅳ能力升级综合能力升级同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整式加减综合运用．应用创新能力升级逆用同底数幂的乘方法则、乘法的运算律，可求某些式子的值．1．5 同底数幂的除法Ⅰ学法导引要善于进行多尝试、多观察，通过自己计算并归纳出同底数幂的除法法则，利用特殊情况得到零指数幂和负指数幂的意义，多发现问题并主动寻找解决问题的方法．Ⅱ要点精讲底数a若为零，则除数为零除法就没有意义了，公式后面的条件是法则的一部分，不要漏掉，应用这一法则时，必须明确底数是什么，指数是什么然后再按同底数幂除法法则进行计算，单独一个字母，其指数为1，而不是0；（3）指数概念从正整数指数幂推广到零指数幂以后，幂的4种法则仍然适用；（4）幂的4条运算法则对负整数指数幂仍然适用．2 难点：准确、熟练地运用法则进行同底数幂的除法运算；对负整数指数的意义的理解．3 易错点：（1）指数的运算混乱，底数不变，指数相减误认为指数相除；（2）运算顺序出现错误；（3）在应用零指数幂和负指数幂的规定时出错；（4）逆用法则时出错．Ⅲ精典例题解析重点解析此题需用同底数幂的除法法则进行计算，先转化成同底数的幂，再运用法则．点击易错点错解分析（1）错在指数不是相除而是相减；（3）错在运算顺序上，同级运算不能跳着运算，而应自左向右依次运算．Ⅳ能力升级综合能力升级同底数幂的乘法、同底数幂的除法、积的乘方、幂的乘方的综合运用．应用创新能力升级在一个式子中用幂的运算法则求多个字母的值．1．6 整式的乘法Ⅰ学法导引运用不同方式自主探索、自主发现、自主体验三类整式乘法的运算法则，达到真正理解法则的来源及实质．对于法则并能用自己的语言进行描述，明白多项式乘以多项式可转化为单项式乘以多项式，而单项式乘以多项式则可以化为单项式乘以单项式．Ⅱ要点精讲1 重点：三类整式乘法的法则．理解三者之间的转化思想方法．单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式．单项式乘法中若有乘方，乘法等混合运算，应按“先乘方、再乘法”的顺序进行．单项式与多项式相乘的法则：m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，即单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加．单项式乘以多项式转化成单项式乘以单项式，单项式乘以多项式，结果仍是多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，多项式中每一项都包含它前面的符号．多项式乘以多项式的法则：（m＋n）（a＋b）＝m（a＋b）＋n（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb，即多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．多项式乘多项式先转化成单项式乘以多项式，运算结果中有同类项的要合并同类项，并按某个字母的升幂或降幂排列．2 难点：灵活运用整式的乘法法则．运用单项式乘以单项式法则实际上把单项式的乘法变成了有理数的乘法和同底数幂的乘法运算．运用单项式乘以多项式的法则：法则中的“每一项”都包括它前面的符号；单项式乘以多项式其积仍是多项式，项数与原多项式的项数相同，计算时不要漏乘项；混合运算应注意运算顺序，最后结果中不允许有同类项．运用多项式乘以多项式的法则时，必须做到不重不漏，相乘时，按一定顺序进行，多项式与多项式相乘的结果仍是多项式，在未合并同类项之前，积的项数为两个多项式的项数之积．3 易错点：（1）使用运算法则错误及运算顺序错误．（2）计算中的符号问题和丢项问题．Ⅲ精典例题解析重点点拨（1）计算时要注意系数符号，利用单项式乘法法则，转化为同底数幂的乘法．（2）把多项式乘以单项式转化为单项式乘以单项式注意符号和不要漏乘．（3）多项式的每一项都包括它前面的符号，最后结果中应不含同类项．剖析难点解析题中的系数化成假分数计算比较方便．点拨不要漏掉任何一项，特别是当常数项是±1时不要漏乘．点击易错点错解分析（1）题漏掉了只在一个单项式里出现的字母z．（2）忽略了符号．Ⅳ能力升级综合能力升级把整式乘法与解方程知识综合运用，可求出能化为一元一次方程的解．点拨应用整式乘法法则先去括号，然后再合并同类项，再按照解一元一次方程的步骤求出方程的解．应用创新能力升级利用长方形面积公式与多项式的乘法建立某些字母间的关系式．［例5］在一块长为30米，宽为20米的长方形场地上建造一个游泳池，使四周人行道的宽都是x米，请用含x的代数式表示游泳池的面积y．答案由题意知游泳池的长为（30－2x）米，宽为（20－2x）米，点拨通过画出图形，使条件更加直观，从而正确写出长与宽的表达式．1．7 平方差公式Ⅰ学法导引亲身经历探索平方差公式的过程，善于总结规律，并尝试用语言描述这个规律．掌握公式的结构特征，理解平方差公式的实质是多项式乘法的特殊化，同时注意应用交换律，从中感受实践——理论——实践．Ⅱ要点精讲公式左边：因式的两个特征①两个因式均是二项式，②这两个因式中一项相同，另一项互为相反数；公式右边：它是相同项的平方与相反项的平方的差的形式，前后位置不能颠倒；公式中a、b具有广泛性，可以表示一个数、一个单项式、一个多项式．2 难点：判断是否符合公式的形式，从而正确地运用公式计算，判断时注意两个因式中一项完全相同，而另一项互为相反数这一显著特征；公式的逆用．3 易错点：(1)对公式结构不熟悉，在运用公式时不知哪项相当子公式中的a，哪项相当于公式中的b．(2)出现错用公式的现象．Ⅲ精典例题解析重点［例1］计算：(1)(2x＋3y)(2x－3y)；(2)题中相同项是3x，相反项是b与－b及－2与2，在第一个因式中把b与－2结合，第二个因式中，把－b与2结合，原式变为［3x ＋(b－2)］［3x－(b－2)］．Ⅳ能力升级综合能力升级对于－些复杂计算，要多观察发现题的特点，恰当的运用公式．解析直接计算繁琐，观察连乘积的每个因式，从第二个因式起每个因式均为2的偶次幂与1的和，注意到2－1＝1，用1乘原式值不变，这样构造出－个因式(2－1)后可连续使用平方差公式计算．1．8 完全平方公式Ⅰ学法导引和平方差公式一样，完全平方公式也是由两个特殊的多项式相乘得到的结论通过几何图形用观察、变化总结的方法得出完全平方公式，明确它的结构特征，并与平方差公式的结构特征进行比较，分清它们的异同．Ⅱ要点精讲1．重点：完全平方公式及其运用．完全平方公式：完全平方公式的结构特征：公式左边为两数和（或差）的平方；公式右边为三项：左边两数的平方和加上（或减去）左边两数之积的2倍．特别注意：①符号对应关系；②a、b具有一般性，它可以表示单项式、也可以表示多项式．Ⅲ精典例题解析重点［例1］运用完全平方公式计算：点拨当所给二项式中两项的符号相同时，选用“和”的完全平方公式．当所给二项式中两项符号相反时，一般选用“差”的完全平方公式．剖析难点解析（1）题先运用平方差公式，再运用完全平方公式．点拨本题综合运用了幂的性质、平方差公式与完全平方公式．点击易错点错解分析（1）错解一错在误把（－2a－3b）看作是“两数之差”，运用了“差”的完全平方公式进行计算，导致乘积项的符号出错；另一种错在结果中乘积项漏乘“2”．（2）错在第二步中的两个二项式完全相同，因此应用完全平方公式，而不能用平方差公式．Ⅳ能力升级综合能力升级利用公式变形可直接求某些代数式的值．［例4］已知：x＋y＝8，x－y＝4，求xy值．点拨可以不求x、y值，可用公式变形直接求出xy值．应用创新能力升级对于题目较长的问题，多读题，仔细分析，问题便可迎刃而解了．［例5］两个边长为a（a＞2）厘米的正方形，如果其中一个正方形的边长增加了2厘米，另一个正方形的边长减少了2厘米，请问这两个正方形面积的和有何变化?如有变化，请算出面积和增加（或减少）了多少?如果没有变化，说明为什么?第二章平行线与相交线2．1 台球桌面上的角Ⅰ学法导引互为余角、互为补角都是指两个角之间的数量关系，与它们的位置无关，理解和掌握余角、补角的性质对今后的学习很重要，对顶角是常见的几何图形，对顶角的性质在以后的几何学习中经常用到，要应用对顶角的性质，首先要理解，掌握对顶角的概念，通过辨析，认识对顶角．Ⅱ要点精讲1 重点：掌握互余、互补及对顶角的概念及其特征．2 难点：概念的理解和如何将理论和实际相结合，即怎样正确的运用．3 易错点：例如认为“∠1+∠2+∠3＝180°，则∠1，∠2，∠3互为补角”是正确的，概念模糊，对对顶角的特点掌握不清楚．Ⅲ精典例题解析重点【例1】如图2－1－1，O是直线AB上一点，∠AOE＝∠FOD＝90°，OB平分∠COD，图中与∠DOE互余的角有哪些？与∠DOE互补的角有哪些？并说明理由．解析既要寻找与∠DOE相邻的角，又要注意不相邻的角．答案图中与∠DOE互余的角有∠EOF、∠BOD、∠BOC．（1）∵∠FOD＝90°，∴∠DOE＋∠EOF＝90°；（2）∵∠AOE＋∠BOE＝180°，∠AOE＝90°，∴∠BOE＝90°∴∠DOE＋∠BOD＝90°（3）∵OB平分∠COD，∴∠BOC＝∠BOD．∵∠BOD＋∠DOE＝90°，∴∠BOC＋∠DOE＝90°．图中与∠DOE互补的角有∠BOF，∠COE．（1）∵∠AOE＝∠DOF，∴∠AOF＋∠EOF＝∠DOE＋∠EOF，∴∠AOF＝∠DOE,∵∠AOF＋∠BOF＝180°，∴∠DOE＋∠BOF＝180°；（2）∵∠BOC＋∠DOE＝∠EOF＋∠DOE＝90°，∴∠BOC＝∠EOF，∴∠BOC＋∠BOE＝∠EOF＋∠BOE，∴∠COE＝∠BOF．∵∠DOE+∠BOF＝180°，∴∠DOE+∠COE＝180°．剖析难点【例2】如图2－1－2，AB与CD相交于点O，OE平分∠AOD，∠AOC＝120°，求∠BOD、∠AOE的度数．解析∠BOD与∠AOC是对顶角，可得∠BOD度数，由于∠AOD与∠AOC互补，可知∠AOD度数，又OE平分∠AOD，可得∠AOE度数．答案∠BOD与∠AOC是对顶角，根据对顶角相等，可知∠BOD＝120°．点击易错点【例3】如图2－l－3，∠1和∠2是对顶角的图形个数有（） A．1个B．2个C．3个D．4个错解选B．错解分析选择B的原因是把图（2）中的∠1、∠2当成了对顶角．正解选AⅣ能力升级综合能力升级余角、补角知识与方程（组）知识相结合．应用创新能力升级利用余角、补角的知识解决“测建筑物高度”问题．【例5】雨后初晴，小明站在操场上点B的位置，看到大楼CD的顶部C在水泡E中的像（点B、E、D在同一直线上）．已知∠1＝∠2，∠A+∠2＝90°，∠l＝35°，求∠A的度数．（如图2－1－4）2．2 探索直线平行的条件Ⅰ学法导引识别同位角、内错角、同旁内角关键抓住“三线八角”，只有“三线”出现且必须是两线被第三线所截才能出现这三类角．判定两条直线平行时要正确判断出是什么角，什么关系，由此推出哪两条直线平行．Ⅱ要点精讲1 重点：掌握同位角、内错角、同旁内角在图形中的位置．2 难点：能正确识别同位角、内错角、同旁内角，因为它是识别平行线的基础，平行线是在以后的学习中经常出现的知识，它的识别对将来的学习有很大作用．3 易错点：对同位角、内错角、同旁内角的实质和特征掌握不熟．Ⅲ精典例题解析重点【例1】在下列图形中（如图2－2－1），∠1和∠2是同位角的是（）A．②③B．①②③C．①②④D．①④解析同位角、内错角、同旁内角的形成，都是由两条直线被第三条直线所截得到的，两个角应有一条边在同一直线上，①②④都具备同位角的特征，而③中的∠1与∠2不具备同位角的特征．答案应选C剖析难点【例2】如图2－2－2标有角号的8个角中共有同位角、内错角、同旁内角各几对？请分别写出来．答案同位角2对：∠1和∠3、∠5和∠8．内错角2对：∠3和∠6、∠4和∠7．同旁内角7对：∠1和∠8、∠2和∠3、∠2和∠7、∠3和∠7、∠4和∠5、∠4和∠6、∠5和∠6．点拨在图中角的个数较多的情况下，寻找同位角、内错角、同旁内角易发生遗漏．为避免遗漏，在寻找的过程中，应遵循先从最小数字的角开始，把与它有关的角都找出来；例如从∠1开始，把与它有关的角∠3与它是同位角；∠8与它是同旁内角，然后再去找与∠2有关的角，依次类推，就不会遗漏了．点击易错点［例3］如图2－2－3，∠1和∠2，∠3和∠4是内错角，问是哪两条直线被哪一条直线所截的？错解∠1和∠2是AD与BE被AC所截的内错角．∠3和∠4是AB与CD被BD所截的内错角．错解分析错解的原因是弄错了被截直线，具体找法：∠1和∠2公共边所在直线AC是截线，其余两边AB和CD是被截的两直线，∠3和∠4的截线是BD，被截两线是AD和BC．正解∠1和∠2是AB与CD被AC所截的内错角，∠3和∠4是AD 与BC被BD所截的内错角．Ⅳ能力升级综合能力升级既能正确识别同位角、内错角、同旁内角，又能正确运用平行线的三条判定定理．［例4］如图2－2－4，回答下列问题：①由∠C＝∠2，可以得出哪两条直线平行？并说明理由．②由∠2＝∠3，可以得出哪两条直线平行？并说明理由．③由∠D＋∠C＝180°，可以得出哪两条直线平行？并说明理由．答案①由∠2＝∠C，可得DC∥EF，理由是同位角相等，两直线平行；②由∠2＝∠3，可得EF∥AB，理由是内错角相等，两直线平行；③由∠D＋∠C＝180°，可得AD∥BC，理由是同旁内角互补，两直线平行．应用创新能力升级把两角关系转化成同位角、内错角、同旁内角的关系．［例5］如图2－2－5，直线a、b都与直线c相交，∠1＝47°，∠2＝133°，能判定a∥b吗？说明理由．解法1 ∵∠1＋∠2＝180°，∠2＋∠3＝180°，∴∠1＝∠3，∴a∥b．解法2 ∵∠3＝∠180°－∠2＝47°，∠5＝∠1＝47°，∴∠3＝∠5，∴a∥b．解法3 ∵∠3＝180°－∠2＝47°，∠4＝180°－∠1＝133°，∠3＋∠4＝180°，∴ a∥b2．3 平行线的特征Ⅰ学法导引本节应对照平行线的判定去学习，比较性质、判定之间的联系与区别更利于记忆和运用．Ⅱ要点精讲1 重点：掌握平行线的三个特征及它们的综合运用．2 难点：运用的过程中易与它的判定产生混淆．3 易错点：分不清条件结论，平行线的性质和判定相混淆．Ⅲ精典例题解析重点【例1】如图2－3－1，已知直线a∥b，直线c∥d，∠1＝105°，求∠2、∠3的度数．解析由a∥b,可得∠1＝∠2．从而求得∠2＝105°，又由c∥d，可得∠3＝∠2．从而求得∠3＝105°．答案∵ a∥b（已知），∴∠2＝∠1（两直线平行，内错角相等）．又∵∠1＝105°（已知），∴∠2＝105°．∵ c∥d（已知），∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等）．∴∠3＝105°．剖析难点【例2】如图2－3－2，已知∠1＝72°，∠2＝72°，∠3＝60°，求∠4的度数．解析本题是平行线的性质和判定的综合运用，由∠1＝∠2可得出a∥b，再由平行线的性质及对顶角相等可得出∠3＝∠4．答案∵∠1＝72°，∠2＝72°，（已知）∴∠1＝∠2（等式的性质），∴ a∥b（同位角相等，两直线平行）．∵∠3＝∠5（两直线平行，同位角相等），∵∠4＝∠5（对顶角相等），∴∠3＝∠4（等量代换），∵∠3＝60°（已知），∴∠4＝60°（等式性质）．点击易错点【例3】同位角一定相等吗？错解相等．错解分析同位角、内错角、同旁内角仅仅反映两角之间的位置关系．它们没有确定的数量关系．如图2－3－3，∠l与∠2是同位角，但它们不相等．只有在两条平行线被第三条直线所截的前提下，同位角才相等．同样也只有在这个前提下，内错角相等，同旁内角互补．正解不一定相等．Ⅳ能力升级综合能力升级不仅要熟悉图形、性质，还要善于进行等量转化，把待求的角逐步和已知条件建立联系．【例4】如图2－3－4，已知DE∥BC，∠D∶∠DBC＝2∶1，∠1＝∠2，求∠DEB的度数。

多项式与多项式相乘的法则及应用解析

多项式与多项式相乘的法则及应用解析多项式与多项式相乘在华师大版数学教材中，是八年级上册《整式的乘法》章节中的一个重要内容。

这一知识点主要介绍了多项式与多项式相乘的法则及其应用。

一、多项式与多项式相乘的法则多项式与多项式相乘的法则是：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。

这一法则实际上是乘法分配律的推广和应用。

具体来说，就是将一个多项式看作是一个整体，然后用这个整体去乘以另一个多项式的每一项，最后将得到的所有积相加。

例如，计算多项式(a+b)与(c+d)的乘积，可以按照以下步骤进行：1.用a乘以(c+d)的每一项，得到ac和ad。

2.用b乘以(c+d)的每一项，得到bc和bd。

3.将上述四个乘积相加，即(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd。

二、应用与注意事项1.合并同类项：在得到所有乘积后，需要合并同类项，使结果更为简洁。

2.符号判断：在相乘过程中，要注意符号的判断。

同号相乘得正，异号相乘得负。

3.实际应用：多项式与多项式相乘在解决实际问题时有着广泛的应用，如面积计算、体积计算、速度计算等。

三、教学建议在教学过程中，教师可以通过以下方式帮助学生更好地理解和掌握多项式与多项式相乘的法则：1.实例讲解：通过具体的实例来讲解法则，让学生更容易理解。

2.练习巩固：设计适量的练习题，让学生在实践中巩固所学知识。

3.总结归纳：引导学生总结归纳多项式与多项式相乘的法则和注意事项，形成系统的知识体系。

总之，多项式与多项式相乘是初中数学中的一个重要知识点，通过掌握其法则和注意事项，学生可以提高自己的数学素养和解决问题的能力。

整式的乘法第3课时多项式与多项式相乘课件-2023-2024学年人教版数学八年级上册

∴面积的差为m2＋16m＋64－（m2＋16m＋39）＝25，
∴该正方形的面积与图1中长方形的面积的差是一个常数.
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6.如图，在长为3a＋2，宽为2b－1的长方形铁片上，挖去长为2a＋4，宽为b的小长
方形铁片，求剩余部分的面积.
解：剩余部分的面积为（3a＋2）（2b－1）－b（2a＋4）＝6ab－3a＋4b－2－
2ab－4b＝4ab－3a－2.
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基础逐点练
知识点三
能力提升练
素养拓展练
（x＋p）（x＋q）＝x2＋（p＋q）x＋pq
＝7a2－6ab－22b2.
（5）（2x－1）（3x2＋2x＋1）.
解：原式＝6x3＋4x2＋2x－3x2－2x－1
＝6x3＋x2－1.
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基础逐点练
能力提升练
素养拓展练
4.先化简，再求值：（3x＋1）（2x－3）－（6x－5）（x－4），其中x＝－2.
解：原式＝6x2－9x＋2x－3－6x2＋24x＋5x－20
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素养拓展练
14.小明与小乐两人共同计算（2x＋a）（3x＋b），小明抄错为（2x－a）（3x＋
b），得到的结果为6x2－13x＋6；小乐抄错为（2x＋a）（x＋b），得到的结果
为2x2－x－6.
（1）式子中a，b的值各是多少？
解：（1）∵（2x－a）（3x＋b）＝6x2＋（2b－3a）x－ab＝6x2－13x＋6，
6
15
.
13.已知（x＋3）（x2＋ax＋b）的积中不含有x的二次项和一次项（a，b为常数）.

.整式的乘法.多项式与多项式相乘

这四部分的总面积是( ___ _平方米．由此可以得 am＋an＋bm＋bn ) 到一个等式，这个式是 (a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn．你能运用单项式乘以多项式的法则推导这个等式吗？ ◆知识链接—— [新知梳理]知识点
12.2.3 多项式与多项式相乘
新知梳理
► 知识点多项式与多项式相乘的法则每一项法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的 ____ 分别乘以另一个多项式的__ __，再把所得的 __ __．每一项积相加字母表达式： (m＋n )(a＋b)＝__ ma＋mb＋na＋nb__. 几何背景图：
[解析 ] 多项式与多项式相乘时，先用一个多项式的每一项“遍乘”另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
12.2.3 多项式与多项式相乘
解：(1)(3x ＋2y)(3x －2y) ＝3x ·3x ＋3x ·(－2y)＋2y·3x ＋2y·(－2y) ＝9x 2－6xy＋6xy－4y2 ＝9x 2－4y2. (2)(2ab－1)2＝(2ab－1)(2ab－1) ＝4a2b2－2ab－2ab＋1 ＝4a2b2－4ab＋1. (3)(2a3－3a＋5)(3－a2) ＝6a3－2a5－9a＋3a3＋15－5a2 ＝－2a5＋9a3－5a2－9a＋15.
12.2.3 多项式与多项式相乘
[备选例题 ] 有一种打印纸的长为 a cm、宽为 b cm ，在打印某文档设置页边距时，上、下均设置为 2.5 cm ，左、右均设置为 2.8 cm ，那么一张这样的打印纸的实际打印面积是多大？
解：依题意，得实际打印面积为 (a－5)(b－5.6)＝ab－5.6a－5b＋ 5×5.6 ＝(ab－5.6a－5b＋28)(cm 2 5.6a －5b＋28) cm 2.

整式的乘法多项式乘多项式教案

整式的乘法-多项式乘多项式教案一、教学目标1. 理解多项式乘多项式的概念和意义。

2. 掌握多项式乘多项式的计算方法和步骤。

3. 能够正确计算多项式乘多项式的题目。

二、教学内容1. 多项式乘多项式的概念和意义。

2. 多项式乘多项式的计算方法。

3. 多项式乘多项式的计算步骤。

三、教学重点与难点1. 教学重点：多项式乘多项式的计算方法和步骤。

2. 教学难点：理解多项式乘多项式的概念和意义。

四、教学方法1. 采用讲解法，讲解多项式乘多项式的概念、方法和步骤。

2. 采用示例法，给出具体的计算示例，让学生跟随老师一起计算。

3. 采用练习法，让学生通过练习题目，巩固所学知识。

五、教学步骤1. 导入新课：通过复习单项式乘多项式的知识，引出多项式乘多项式的新课。

2. 讲解概念：讲解多项式乘多项式的概念和意义。

3. 讲解方法：讲解多项式乘多项式的计算方法。

4. 讲解步骤：讲解多项式乘多项式的计算步骤。

5. 示例计算：给出具体的计算示例，让学生跟随老师一起计算。

6. 练习题目：让学生通过练习题目，巩固所学知识。

7. 总结讲解：总结本节课的重点和难点。

8. 布置作业：布置相关的练习题目，让学生课后巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂讲解互动：观察学生对多项式乘多项式概念的理解程度，以及他们对方法和步骤的掌握情况。

2. 练习题目完成情况：检查学生在练习中遇到的困难和错误，及时进行反馈和讲解。

3. 课后作业：通过学生提交的课后作业，评估他们对课堂所学内容的掌握程度。

七、教学反思1. 课堂讲解是否清晰易懂，学生是否能跟上教学进度。

2. 练习题目是否足够典型，是否能帮助学生巩固知识。

3. 教学方法是否适合学生，是否需要调整。

八、教学拓展1. 引导学生思考多项式乘多项式在实际问题中的应用。

2. 介绍多项式乘多项式的相关性质和定理。

3. 鼓励学生进行深入学习，探索更多相关知识。

九、课后作业1. 请学生完成课后练习题，巩固多项式乘多项式的知识。

14.1.6 整式的乘法——多项式与多项式相乘

＝x2＋xy－6y2－(2x2－9xy＋4y2)
＝x2＋xy－6y2－2x2＋9xy－4y2 ＝－x2＋10xy－10y2. 当x＝－1，y＝2时，原式＝－(－1)2＋10×(－1)×2－10×22 ＝－1－20－40 ＝－61.
练习：
1.先化简，再求值（1）x（x+2）-（x+1）（x-1），其中x=-0.5; （2）（x-2y）（x+3y）-（2x-y）（x-4y），其中x=-1,y=2
试一试
确定下列各式中m的值:（口答）
(1)(x+4)(x+9)= x2 + m x + 36 (2)(x-2)(x-18)=x2 + m x + 36
温馨提示:
（1）利用下式
(x+p)(x+q）=x2+(p+q)x+pq
(3)(x+3)(x+p)
=x2+
m x + 36
(4)(x-6)(x-p)=x2+ m x + 36 (1) m =13 (2) m = -20 (3) p =12, m=15
(a+b)
1
1 (p + q) = ap
2 +aq
3 +bp
4 +bq
3 4
多项式的乘法法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
例1 计算：
(1)(3x ＋ 1)(x ＋ 2); (1)(3x ＋ 1)(x ＋ 2) 解： = (3x ) • x ＋(3x ) × 2 ＋ 1 • x + 1 × 2 =3 x2 ＋ 6 x ＋ x ＋ 2 = 3 x2 ＋ 7x ＋ 2; (2) (x － 8y)(x － y); (3)(x ＋ y)(x2 － xy ＋ y2).

【说课稿】整式的乘法——多项式与多项式相乘

整式的乘法——多项式与多项式相乘一、教材分析：1、教材的地位和作用整式的乘法是整数运算的主要内容，是进一步学习因式分解、分式、方程以及其它数学内容的基础，学习多项式与多项式的乘法既是多项式的加法、单项式与单项式乘法的综合应用，也是学习15.2节乘法公式的基础。

通过本节课的学习，让学生体验数学与现实生活的联系，经历知识的形成过程，使学生思维的灵活性、广泛性、深刻性上得到进一步发展。

2、重难点及成因分析：重点：多项式与多项式的乘法法则。

难点：多项式与多项式的乘法的法则的推导及综合运用。

成因：多项式与多项式的乘法作为基本运算，在今后有着广泛的应用，要熟练地进行多项式与多项式的乘法，就得深刻理解运算法则。

多项式与多项式的乘法是多项式的加法、单项式与单项式乘法的综合应用，由于学生容易将各种运算混淆，容易忽视符号，造成运算结果的失误。

二、教学目标：1、知识与技能：⑴理解多项式与多项式的乘法法则。

⑵能够熟练地进行多项式与多项式的乘法运算。

2、过程与方法：⑴经历探索多项式与多项式的乘法法则的过程，进一步发展观察、归纳、概括的能力，发展学生有条理的思考及语言表达能力。

⑵经历探索多项式与多项式的乘法法则的过程，体会乘法分配律的作用和“化归”的思想。

3、情感态度价值观：⑴通过探究面积的不同表示方法活动，使学生体验探究的过程，培养学生的创新能力。

⑵通过把一个多项式看成一个整体，发展学生的转化能力。

⑶通过对多项式与多项式的乘法法则的探索，让学生获得成功的体验，锻炼克服困难的意志。

三、教学对象、方法及手段分析：本节的对象是八年级学生，他们前面已经学习了有理数、单项式与单项式乘法、单项式与多项式乘法等运算法则，已经具备了一定的运算能力。

本节学习，我采用“引导发现法”、“类比分析法”、“讲练结合法”，学生观察、探索、类比、归纳出多项式与多项式的乘法法则，用法则进行多项式与多项式乘法的运算，使学生理解认识事物的过程是由特殊（具体）到一般（抽象），又由一般（抽象）到特殊（具体），在不断反复中得到提高，培养学生初步的辩证唯物主义观点。

八年级数学上册 14.1.6 整式的乘法多项式与多项式相乘教学设计 (新版)新人教版八年级数学上册

多项式与多项式相乘一、教学内容分析第14章“整式的乘法与因式分解”是继“整式的加减”之后，初中阶段对整式的第二次的研究，是进一步学习因式分解、分式方程等知识的基础，同时它在实际生活中有着广泛的应用。

“多项式与多项式相乘”是本章重点内容之一，是单项式的乘法、同底数幂相乘、幂的乘方等运算法则的综合运用。

本课学习多项式与多项式相乘的法则，对学生初中阶段学好必备的基础知识与基本技能、解决实际问题起到基础作用，在提高学生的运算能力方面有重要的作用。

同时，对后续教学内容起到奠基作用。

教学目标1、知识与技能让学生理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算．2、过程与方法经历探索多项式与多项式相乘的运算法则的推理过程，体会其运算的算理．3、情感、态度与价值观通过推理，培养学生计算能力，发展有条理的思考，逐步形成主动探索的习惯．三、学习者特征分析从心理特征来说，初中阶段的学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。

但同时，这一阶段的学生好动，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住这些特点，一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。

四、教学策略选择与设计本节本节课采用以复旧孕新的引课方式，提高学生的学习兴趣和学习积极性。

充分遵循学生的认知规律，坚持启发式。

以启发引导法为主，进行讲解及练习，使学生能顺利地掌握重点、突破难点，逐步提高观察、分析、抽象的能力。

在课堂教学中，侧重引导学生体会知识所发生发展的过程，在教学中鼓励学生通过观察，进行分析、思考，并让他们进行小组讨论，找出新知识。

通过新方法的点拨使学生积极参与到教学中来，充分体现了学生的主体性。

五、教学重点及难点重点：多项式乘法法则的导出及其运用。

难点：在计算中确定积中各项的符号及防止漏项。

【学案】整式的乘法——多项式与多项式相乘

小黑板、彩粉笔、三角板等
学习内容
学习活动
设计意图
一、创设情境独立思考（课前20分钟）
1、阅读课本P 100～101页，思考下列问题：
（1）多项式与多项式相乘法则是什么？
（2）你能独立解答课本p101页例6吗？
2、独立思考后我还有以下疑惑：
.12999.
二、答疑解惑我最棒（约8分钟）
借助几何图形的直观，让学生对这个结论有直观感受
学习活动
设计意图
习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m+n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．
◆做一做(a+b)(m+n)=a(m+n)+b(m+n)=am+an+bm+bn
甲：
乙：
丙：
丁：
同伴互助答疑解惑
学习活动
设计意图
三、合作学习探索新知（约15分钟）
1、小组合作分析问题
2、小组合作答疑解惑
3、师生合作解决问题
【1】单项式乘以单项式的法则是什么？
【2】单项式乘以多项式的法则是什么？
【3】我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：
为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．
整式的乘法——多项式与多项式相乘
学习目标
1、理解多项式乘以多项式的法则，并能利用法则进行计算。
2、经历探索多项式与多项式相乘的法则的过程，并运用它们进行运算，逐步形成独立思考，主动探索的习惯。

《整式乘法《多项式与多项式相乘》优质课获奖教案4

按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。

2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。

从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。

本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。

《多项式与多项式相乘》教学目标：1、让学生了解多项式与多项式的法则，能正确运用法则进行运算.2、通过教学培养学生的运算能力.教学重点难点：重点：多项式乘以多项式的法则.难点：多项式与多项式相乘的计算.教学过程：一、复习引入复习单项式与多项式相乘的法则单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加.p（a+b）我们已会计算，那如果我们令p=x+y,p（a+b）就变成了﹙x+y﹚﹙a+b﹚,这个又怎样计算呢？这就是我们今天我们学的多项式与多项式相乘的问题二、新课为了扩大街心花园的绿地面积，把一块原长a米，宽m米的长方形绿地，增长了b米，加宽了n米.你能用几种方法求扩大后出绿地的面积？扩大后的绿地可以看成长为（a+b）米，宽为（m+n）米的长方形，所以这块绿地的面积为（a+b）（m+n）米2扩大后的绿地还可以看成是由四个小长方形组成，所以这块绿地的面积为（am+an+bm+bn）米2.因此（a+b）（m+n）= a（m+n）b（m+n）上面的等式提供了多项式与多项式相乘的方法.计算（a+b）（m+n），可以先把其中的一个多项式，如m+n，看成一个整体，运用单项式与多项式相乘的法则，得（a+b）（m+n）= a（m+n）+b（m+n），再利用单项式与多项式相乘的法则，得a（m+n）b（m+n）= am+an+bm+bn总体上看，（a+b）（m+n）的结果可以看作由a+b的每一项相乘m+n的每一项，再把所得的积相加而得到的，即a（m+n）b（m+n）= am+an+bm+bn观察总结得出法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.三、法则应用下面我们利用法则来做计算.例：计算（1）（3x+1）（x+2）（2）（x-8y）（x-y）（3）（x+y）（x2-xy+y2）解：（1）（3x+1）（x+2）（2）（x-8y）（x-y）= 3x2·x+（3x）·2+1·x+1×2 =x2-xy - 8x + 8y2= 3x2+6x+x+2 =x2-9xy+8y2= 3x2+7x+x+2（3）（x+y）（x2-xy+y2）=x3-x2y+xy2+x2y-xy2+y3=x3+y3注：不要漏掉任何一项，注意符号四、巩固练习1. （1）（2x+1）（x+3）：（2）（m+2m）（m-3m）=2x2+7x+3 =m2-m（3）（a-1）2（4）（a+3b）（a-3b）=a2-2a+1 =a2-9b2（5）（2x2 -1）（x-4）（6）（x2+3）（2x-5）= 2x3+8x2+x-4 =2x3-5x2-6x-15五、课堂小结：1、多项式与多项式相乘可以理解是用换元的方法，将一个多项式看成一个整体，将其转化为单项式与多项式相乘.我们直接运用法则时就是：先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.2、计算时不要漏项或者重复.3、混合运算时注意运算顺序，结果要简化.六、布置作业计算（1）（x-6）（x-3）（2）（3x+2）（x+2）（3）（4y-1）（y-5）（4）（x-2）（x2+4） [教学反思]学生对生活中的立体图形感兴趣，气氛极好，能认识圆柱、圆椎、正方体、长方体、棱柱、球，并能用自己的语言简单描述它们的某些特征，也能分别举出生活中的物体哪些是属于圆柱、圆椎、正方体、长方体、棱柱、球．本节课的教学活动，主要是让学生通过观察、动手操作，熟悉长方体、正方体的展开图以及图形折叠后的形状。