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219457521_分类讨论思想在高中数学解题中的应用

分类讨论思想在高中数学解题中的应用陈燕飞(昆山陆家高级中学ꎬ江苏苏州２１５０００)摘㊀要:分类讨论是数学学科的重要思想之一ꎬ每年高考题都会涉及到分类讨论思想的考查ꎬ是高中数学教学的重点.为提高学生的分类讨论思想能力ꎬ促进其解题能力及数学学习成绩的提升ꎬ教学实践中应采用理论讲解和习题巩固相结合的教学方法ꎬ指导学生在不同题型中的应用分类讨论思想.关键词:分类讨论思想ꎻ高中数学ꎻ解题中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)１８－００１１－０３收稿日期:２０２３－０３－２５作者简介:陈燕飞(１９７７.９－)ꎬ男ꎬ江苏省如皋人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀分类讨论思想在高中数学解题中有着广泛的应用ꎬ不同习题分类讨论的切入点及讨论标准存在差异ꎬ因此ꎬ教学实践中应为学生做好解题示范ꎬ注意预留空白 ꎬ要求学生认真揣摩分类讨论的标准与过程ꎬ做好方法的归纳㊁整理ꎬ以便理解与掌握分类讨论法.１解答三角函数习题三角函数题中产生分类讨论的情况主要有周期㊁相位㊁图象的不确定等ꎬ解题时应从这些不确定的对象入手ꎬ运用已知条件尽可能的将不确定对象的范围进一步精确ꎬ通过分类讨论尝试推导出矛盾ꎬ从而解决问题.例１㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬωɪＮ∗ꎬ０<φ<π)图象上Ａ的坐标为(π２４ꎬ０)ꎬ一条对称轴为直线ｘ＝π６.当ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ则φ的值为(㊀㊀).Ａ.π６㊀㊀㊀Ｂ.π４㊀㊀㊀Ｃ.π３㊀㊀㊀Ｄ.２π３解析㊀由ｆ(ｘ)在区间(π６ꎬπ３)上单调ꎬ可得π３－π６＝π６ɤＴ２ꎬ即ꎬ１２ˑ２πωȡπ６ꎬ解得０<ωɤ６.因点Ａ在函数ｆ(ｘ)图象上ꎬ且直线ｘ＝π６为函数ｆ(ｘ)图象的一条对称轴ꎬ则π６－π２４＝π８.当π８＝Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π２ꎬ解得ω＝４满足题意ꎻ当π８＝３Ｔ４ꎬ此时Ｔ＝２πω＝π６ꎬ解得ω＝１２不满足题意ꎻ综上可得ｆ(ｘ)＝ｃｏｓ(４ｘ＋φ)ꎬ因直线ｘ＝π６为其一条对称轴ꎬ则４ˑπ６＋φ＝ｋπꎬｋɪＺꎬφ＝ｋπ－２π３ꎬｋɪＺꎬ又由０<φ<πꎬ则φ＝π３ꎬ选择Ｃ.１１点评㊀根据函数ｆ(ｘ)在给定区间的单调性ꎬ确定其周期范围ꎬ再运用周期公式得出ω的范围.结合图象中的已知点㊁对称轴进行分类讨论ꎬ看计算出的ω是否在解得的范围内ꎬ得出最终结果.２解答解三角形习题解三角形常用的知识点有正弦㊁余弦定理ꎬ但在运算的过程中可能会出现多种情况ꎬ此时需进行分类讨论.分类讨论的依据有三角形的内角的分类ꎬ边的分类等.分类讨论中ꎬ若某种情况能推出矛盾ꎬ则应舍去该种情况ꎻ如不能推出矛盾ꎬ则该种情况成立.例２㊀在钝角әＡＢＣ中ＡꎬＢꎬＣ对应边ａꎬｂꎬｃꎬ其中ａ>ｂꎬａ＝６ꎬ且满足３ｓｉｎＢ－３ｓｉｎＣ＝ｃｏｓＡꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ则әＡＢＣ的面积为(㊀㊀).Ａ.４㊀㊀㊀Ｂ.８㊀㊀㊀Ｃ.４２㊀㊀㊀Ｄ.８２解析㊀由ａ＝６ꎬ３ｃｏｓＢ－３ｃｏｓＣ＝ｃｏｓＡ以及正弦定理得到:３ｂ－３ｃ＝ａ＝６ꎬ则ｂ－ｃ＝２①ꎻ又由ｃｏｓ２Ａ＝２ｃｏｓ２Ａ－１ꎬｃｏｓ２Ａ＝－７９ꎬ得到ｃｏｓＡ＝ʃ１３.当ｃｏｓＡ＝１３时ꎬ由余弦定理得到:ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡꎬ即ꎬ３６＝ｂ２＋ｃ２－２３ｂｃ＝(ｂ－ｃ)２＋４３ｂｃ＝４＋４３ｂｃꎬ即ꎬｂｃ＝２４②ꎻ由①②得到ｂ＝６ꎬｃ＝４ꎬ不符合题意ꎬ舍去ꎻ当ｃｏｓＡ＝－１３时ꎬｃｏｓＡ＝１－ｃｏｓ２Ａ＝２２３ꎬ由余弦定理得到:４＋８３ｂｃ＝３６ꎬ此时ｂｃ＝１２ꎬ由①得到ꎬｂ＝１＋１３ꎬｃ＝－１＋１３ꎬ满足ａ>ｂꎬ则ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｃｏｓＡ＝１２ˑ１２ˑ２２３＝４２ꎬ选择Ｃ项.点评㊀根据题干中给出的等式ꎬ运用正弦定理进行转化得出ｃｏｓＡ的值有两个ꎻ分别对两个值讨论ꎬ发现ｃｏｓＡ＝１３不符合题意ꎬ而ｃｏｓＡ＝－１３符合题意ꎬ在ｃｏｓＡ＝－１３的条件下计算出әＡＢＣ的面积即可.３解答导数习题导数是高中数学中最易考查分类讨论思想的知识[１].分类讨论常出现对函数求导后ꎬ因参数值的不确定性ꎬ导致函数在不同区间的单调性不同.对参数分类讨论过程中ꎬ判断得出的参数值或范围是否符合题意.例３㊀已知函数ｆ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１ꎬｇ(ｘ)＝ａ(ｅｘ－１)ꎬ当ｘ>０时ꎬ有ｆ(ｘ)ȡｇ(ｘ)ꎬ则实数ａ能取到的最大整数为(㊀㊀).Ａ.１㊀㊀㊀㊀Ｂ.２㊀㊀㊀㊀Ｃ.３㊀㊀㊀㊀Ｄ.４解析㊀令ｈ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ｇ(ｘ)＝ｘｅｘ＋１－ａ(ｅｘ－１)＝(ｘ－ａ)ｅｘ＋ａ＋１ꎬ则ｈᶄ(ｘ)＝(ｘ－ａ＋１)ｅｘ.当ａɤ１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立ꎬ此时ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎬ要想满足题意只需ｈ(０)ȡ０ꎬ此时ｈ(０)＝１满足题意.当ａ>１时ꎬ令ｈᶄ(ｘ)＝０ꎬ解得ｘ＝ａ－１ꎬ则当０<ｘ<ａ－１时ｈᶄ(ｘ)<０ꎬｈ(ｘ)单调递减ꎻ当ｘ>ａ－１时ꎬｈᶄ(ｘ)>０ꎬｈ(ｘ)单调递增ꎻｈ(ｘ)ｍｉｎ＝ｈ(ａ－１)＝－ｅａ－１＋１＋ａꎬ要想满足题意只需－ｅａ－１＋１＋ａȡ０ꎬ即１＋ａȡｅａ－１.当ａ＝２时.３>ｅ成立ꎻ当ａ＝３时４>ｅ２不成立.综上分析ꎬ实数ａ能取到的最大整数为２ꎬ故选择Ｂ项.点评㊀求参数ａ能取到的最大整数ꎬ需将问题转化为恒成立问题ꎬ而恒成立对应求函数的最值ꎬ因此ꎬ分类讨论主要围绕求函数的最值展开ꎬ期间需灵活应用导数知识.４解答数列习题数列习题中分类讨论常出现的情况有公差和公比的不确定性㊁通项公式的不确定性等ꎬ尤其对于部２１分数列需将偶数项与奇数项的通项公式分开考虑ꎬ运算时应搞清楚奇㊁偶项的内在联系ꎬ保证推理的严谨性与正确性.例４㊀已知数列{ａｎ}中ａ１ɪＺꎬａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３ꎬ前ｎ项的和为Ｓｎꎬ若Ｓ１３＝ａｍꎬ则正整数ｍ＝(㊀㊀).Ａ.９９㊀㊀㊀Ｂ.１０３㊀㊀㊀Ｃ.１０７㊀㊀㊀Ｄ.１９８解析㊀由ａｎ＋１＋ａｎ＝２ｎ＋３得到ａｎ＋１－(ｎ＋１)－１＝－(ａｎ－ｎ－１)ꎬ则数列{ａｎ－ｎ－１}为公比１的等比数列ꎬ则ａｎ－ｎ－１＝(－１)ｎ－１(ａ１－２)ꎬ由数列{ａｎ}前ｎ项的和为Ｓｎ得到:Ｓ１３＝ａ１＋(ａ２＋ａ３)＋＋(ａ１２＋ａ１３)＝ａ１＋２(２＋４＋＋１２)＋３ˑ６＝ａ１＋１０２.当ｎ为奇数时ａ１－２＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬ解得ｍ＝１０３ꎻ当ｎ为偶数时ꎬ－(ａ１－２)＋ｎ＋１＝ａ１＋１０２ꎬｍ＝２ａ１＋９９由ａ１ɪＺꎬ则ｍ＝２ａ１＋９９只能为奇数ꎬ此时无解.综上分析ｍ＝１０３ꎬ选择Ｂ项.点评㊀数列的的通项公式中含有(－１)ｎ－１ꎬ导致数列的偶数项与奇数项的值不同ꎬ因此ꎬ需将其分开进行考虑ꎬ推理㊁计算出符合题意的结果.５解答圆锥曲线习题圆锥曲线是高中数学一个重难点ꎬ圆锥曲线习题中产生分类讨论的情况多种多样ꎬ尤以直线与圆锥曲线的关系不确定时为讨论的切入点ꎬ讨论过程中为减少运算量ꎬ提高运算效率ꎬ应认真观察图形ꎬ注重几何性质的应用.例５㊀已知Ｆ１ꎬＦ２为双曲线Ｃ:ｘ２－ｙ２ｂ２＝１(ｂ>０)的左㊁右焦点ꎬ过点Ｆ２的直线和双曲线交于ＡꎬＢ两点ꎬ当әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ则ｂ的所有取值的积为(㊀㊀).Ａ.２㊀㊀㊀Ｂ.３㊀㊀㊀Ｃ.２２㊀㊀㊀Ｄ.２３解析㊀(１)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图１时ꎬ设｜ＡＦ２｜＝ｍ(ｍ>ｃ－１)ꎬ则由双曲线定义可得｜ＡＦ１｜＝｜ＡＦ２｜＋２ａ＝ｍ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｍ＋２ꎬ可得｜ＢＦ２｜＝２ꎬ由双曲线的性质可得｜ＢＦ１｜－｜ＢＦ２｜＝｜ＡＢ｜－｜ＢＦ２｜＝ｍ＝２ꎬ则｜ＡＦ２｜＝｜ＢＦ２｜ꎬ则ＡＢʅＦ１Ｆ２ꎬ则２ｃ＝４ｃｏｓ３０ʎ＝２３ꎬ则ｃ＝３ꎬｂ＝２ꎻ图１㊀例５题解析(１)㊀㊀㊀㊀㊀图２㊀例５题解析(２) (２)当过点Ｆ２的直线和双曲线相交的情境如图２时ꎬ设｜ＢＦ２｜＝ｎ(ｎ>ｃ－１)ꎬ则｜ＢＦ１｜＝｜ＢＦ２｜＋２ａ＝ｎ＋２ꎬ由әＡＢＦ１为等边三角形ꎬ可得｜ＡＦ１｜＝｜ＢＦ１｜＝｜ＡＢ｜＝ｎ＋２ꎬ｜ＡＦ２｜＝２ｎ＋２ꎬ又由｜ＡＦ２｜－｜ＡＦ１｜＝２ｎ＋２－(ｎ＋２)＝２ꎬ解得ｎ＝２ꎬ则｜ＡＦ１｜＝４ꎬ｜ＡＦ２｜＝６ꎬ则әＡＦ１Ｆ２中由余弦定理可得｜Ｆ１Ｆ２｜２＝｜ＡＦ１｜２＋｜ＡＦ２｜２－２｜ＡＦ１｜ＡＦ２｜｜ｃｏｓ６０ʎ＝２７ꎬ则ｃ＝７ꎬ此时ꎬｂ＝６.结合以上两种情境可得ｂ的所有取值的积为２ˑ６＝２３ꎬ选择Ｄ项.点评㊀对于情况一ꎬ等边әＡＢＦ１位置较为特殊ꎬ可借助双曲线和等边三角形性质构建线段之间的关系求解.对于情况二ꎬ则需应用余弦定理进行运算.综上所述ꎬ应用分类讨论思想解答数学题时ꎬ应明确为何要进行分类讨论ꎬ分类讨论的依据是什么ꎬ怎样对分类讨论的结果进行合理取舍ꎬ等[２].解题教学中ꎬ为使学生掌握技巧㊁把握思路ꎬ既要展示经典例题ꎬ又要加强专题训练ꎬ启发学生的同时ꎬ帮助其积累丰富经验ꎬ增强应用能力.参考文献:[１]俞洁.高中数学问题中的分类讨论思想例谈[Ｊ].中学数学ꎬ２０２２(０３):３５－３６.[２]顾宣峰.分类讨论思想在高中数学解题中的应用[Ｊ].高中数理化ꎬ２０２１(Ｓ１):２０.[责任编辑:李㊀璟]３１。

论文题目范例

奖项：教学论文学科：小学语文获奖总数：60（篇）·1··2·奖项：教学论文学科：小学数学获奖总数：45（篇）·4·奖项：教学论文学科：小学品德获奖总数：30（篇）·5·奖项：教学论文学科：小学科学获奖总数：30（篇）·6·奖项：教学论文学科：小学英语获奖总数：30（篇）·7·奖项：教学论文学科：小学音乐获奖总数：20（篇）·8·奖项：教学论文学科：小学体育获奖总数：20（篇）·9·奖项：教学论文学科：小学美术获奖总数：26（篇）·10·奖项：教学论文学科：初中语文获奖总数：36（篇）奖项：教学论文学科：初中数学获奖总数：50（篇）奖项：教学论文学科：初中英语获奖总数：46（篇）奖项：教学论文学科：初中思想政治获奖总数：30（篇）奖项：教学论文学科：初中科学获奖总数：44（篇）奖项：教学论文学科：初中历史与社会获奖总数：30（篇）奖项：教学论文学科：初中音乐获奖总数：11（篇）奖项：教学论文学科：中学体育获奖总数：30（篇）奖项：教学论文学科：中学美术获奖总数：14（篇）奖项：教学论文学科：高中数学获奖总数：38（篇）奖项：教学论文学科：高中英语获奖总数：38（篇）奖项：教学论文学科：高中物理获奖总数：28（篇）奖项：教学论文学科：高中化学获奖总数：29（篇）奖项：教学论文学科：高中生物获奖总数：20（篇）奖项：教学论文学科：高中艺术获奖总数：7（篇）奖项：教学论文学科：中小学信息技术获奖总数：26（篇）奖项：教学论文学科：中小学综合实践活动、劳技获奖总数：40（篇）奖项：教学论文学科：综合（评价、教学管理、地方课程）获奖总数：16（篇）。

论文讲座心得体会(精选5篇)

论文讲座心得体会(精选5篇)论文讲座心得体会篇1论文讲座心得体会____年__月__日，我有幸参加了由学院组织的“论文写作与答辩”专题讲座。

这次讲座的主讲人是来自__大学的__教授，他从事教学工作长达__年，有着丰富的教学经验。

讲座的主题是关于学术论文的写作技巧、规范以及如何进行有效的答辩。

讲座的内容丰富多样，教授用深入浅出的方式讲解了学术论文写作的基本原则和技巧。

他强调了研究的重要性，告诫我们要有扎实的写作基础和严谨的学术态度。

讲座过程中，教授还分享了许多论文写作的实用技巧，如如何寻找合适的参考文献，如何设计合理的实验方案，以及如何有效地撰写和修改论文等。

在讲座过程中，我深刻地认识到了论文写作的重要性，并学到了很多实用的技巧和方法。

我意识到，写好一篇学术论文不仅需要扎实的学术基础，还需要良好的写作技巧和严谨的学术态度。

同时，我也明白了在答辩过程中如何有效地与评委进行交流的重要性。

通过这次讲座，我学到了很多实用的论文写作技巧和方法，例如：在写作过程中要时刻关注论文的逻辑性和条理性，要注重参考文献的选取和引用，以及要合理地设计实验方案和数据分析等。

同时，我也意识到了在论文写作过程中需要时刻保持严谨的学术态度，以确保论文的质量和准确性。

总的来说，这次讲座对我个人的学术研究和论文写作水平有了很大的提升。

我深刻地认识到了论文写作的重要性和技巧，并学到了很多实用的方法。

我感谢教授的精彩讲座，并期待在未来的学习和研究中能够更加深入地运用这些知识和技巧。

论文讲座心得体会篇2论文讲座心得体会X月X日晚，由数理学院举办的“数学建模”系列讲座之“数学建模与软件应用”在致远楼101教室开讲。

本次讲座由两位主讲人，分别是数学建模教研室主任王飞老师和来自台湾逢甲大学的李岳航教授。

两位老师就数学建模相关知识进行了深入剖析，并针对应用软件进行实例讲解。

在讲座中，王飞老师从数学建模的基本概念、数学建模的发展趋势、数学建模与计算机应用的关系等方面进行了深入讲解。

初中数学论文目录

070027 czsx070028 czsx070029 czsx070030 czsx070031 czsx070032 czsx070033 czsx070034 czsx070035 czsx070036 czsx070037 czsx070038 czsx070039 czsx070040 czsx070041 czsx070042 czsx070044 czsx070045 czsx070046 czsx070047 czsx070048 czsx070049 czsx070050 czsx070051 czsx070052 czsx070053 论文题目搭建问题平台开展自主创新学习师生关系与教学效果新课程理念下初中数学“陷阱”教学研究让合作学习成为学生成长的沃土试论七年级数学“潜能生”的成因及转化对策体验性生态课堂的几个设计策略在例题教学中提高学生问题解决的能力为学生撑起一片合作学习的蓝天——谈初中数学教学合作学习的误区及策略浅谈新课程中数学“课题学习”的策略引导学生在主动参与中体验数学精心创设教学情景，提高课堂教学效率提高数学教学有效性的若干思考新课标下应注重学生直觉思维能力培养浅谈“合作学习”材料的理解激发学习兴趣，建设高效课堂数学课堂教学中的“课堂提问”探究初中数学新课程改革中若干问题的思考数学中的估算与数感重视数学直觉思维的培养探究什么，怎样探究？我对初三复习的几点建议激发学生学习兴趣的内外因素的探讨概念课中的情境创设浅谈数学教学中学生提问能力的培养新课程理念下的初中数学学习兴趣培养作者单位鄞州区田莘耕中学鄞州区布政中学慈溪彭桥初中慈溪庵东中学慈溪逍林初中慈溪阳光实验余姚郑巷中学余姚梁辉中学余姚泗门镇中余姚老方桥中学奉化市锦屏中学奉化市锦屏中学宁海茶院乡初级中学宁海跃龙中学宁海跃龙中学宁海茶院乡初级中学镇海区三公司学校镇海区仁爱中学北仑区顾国和中学东海实验学校妙山中学庄桥中学修人学校庄桥中学三江中学作者姓名袁林春徐叶央岑利刚王毛王震颖勇君何智军等第三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖

宁研[2011]41号

宁研[2011]41号关于公布2011年宁国市中学数学教育优秀论文评选结果的通知各中学：2011年宁国市中学数学教育教学优秀论文经组织专家认真公正公平评选，共评出一等奖4篇，二等奖8篇，三等奖12篇。

现将评选结果公布如下：一等奖（4篇）序号学校姓名论文篇目1．宁国中学陈秋月让数学课堂“动”起来—数学情境创设的若干策略2．宁中初中洪明水初中数学课堂中有效开展合作学习的实践与思考3．甲路初中汪国荣如何做好农村初中数学学困生转化工作4．津河中学陈四龙对高中“数学学习困难生”的个案分析引发的思考二等奖（8篇）1．津河中学胡周文纠错式数学，让学生从“错折”中成长2．宁中初中邵俊对沪教版初中数学如何实施有效教学的思考3．宁中初中郭云飞把课堂真正还给学生让数学课堂“动”起来4. 胡乐初中王照明浅谈现阶段农村初中数学教学5．津河中学吴玮浅谈高中数学的“探究性学习”6. 宁阳学校秦定华创设情境活跃课堂7．宁阳学校陈丽组织“相似型”教学提高教学质量8．方塘初中程一增浅谈几何画板在初中数学教学中的应用三等奖（12篇）1．宁阳学校明文娟类比法在初中数学课堂中的应用2. 西津初中邵冬云新课程理念下的课堂问题情境创设的思考3. 宁阳学校赵长军关于《问题教学法》课题研究之心得4．宁中初中牛泽玲丰富内涵，纵向延伸，种好一亩三分地—浅谈如何提高数学课堂效率5．中溪初中王正国让学生自主地参与数学学习6．中溪初中吕玉宝试述学生数学符号感的养成与发展途径7．万家学校姚玉瑛如何使数学课堂由“黑白”变为“彩色”8．宁中初中邓洪霞以课程标准为导向，推进计算器进课堂9．天湖学校罗钢前向青草更青处漫溯—农村初中数学“课题学习”教学的反思10．港口初中陈志均农村初中数学小班化教学分层评价的实践与思考11．宁阳学校胡辉华刘晓宝浅议初中数学探究式教学12．河沥初中邓振葆课堂提问的目的和方法2011年5月3日。

关于公布2010年泰州市中学数学论文

关于公布2010年泰州市中学数学论文评比结果的通知各市（区）教育局教研室、泰州经济开发区社会事业局，市直各有关学校：2010年泰州市中学数学论文评比活动已经结束，共评出初中论文一等奖29篇、二等奖68篇、三等奖94篇；高中论文一等奖22篇、二等奖45篇、三等奖72篇。

现将评比结果予以公布。

（见附件）泰州市教育局教研室二〇一一年元月十八日附件：泰州市中学数学论文评比结果（从左向右依次是姓名、论文标题、作者单位）初中组一等奖（29篇）凌治国发展空间观念培养创新能力靖江市靖城中学巫锦娟合作学习之我见靖江市靖城中学叶玲学生自主学习，让数学课堂更有魅力靖江市刘国钧中学附中江亚兴浅谈数学教学中创新能力的培养靖江市实验学校陆军让课堂充满灵动和智慧靖江市外国语学校朱晶浅谈数学试卷评讲课的有效性泰兴实验初级中学张林生浅谈数学课后作业的设计泰兴市大生初中高飞浅谈解题反思对学生解题能力培养的作用泰兴市济川中学刘纪明让学生数学课上的错误变为“亮钻”泰兴市宣堡初级中学吴建兰农村初中数学老师如何利用多媒体教学泰兴宣堡初级中学陈东进浅谈数学“高效”课堂的构建姜堰市二附中王永宽对课堂教学有效性的几点思考姜堰市三水学校翟爱国初中数学课堂教学实施评价的评价与反思姜堰市四中杨牛扣实践新课程理念，优化课堂教学姜堰市四中杭燕初中生数学符号化的学习障碍及其对策姜堰市南苑学校张寿彬七年级数学教学中的缺失归因及对策姜堰市南苑学校任宏章有效数学思维的实践分析与培养途径兴化市板桥初中顾厚春中考数学复习课引导探究方法例说兴化市板桥初中孙春阳作业设计的现状雨存在问题的对策兴化市楚水学校范爱琴浅析新理念下的数学活动课兴化市楚水学校石彩萍初中数学例题及习题教学的影响因素兴化市垛田初中朱桂贤实施分层教学，力促减负增效兴化市老圩中心校丁鹏堂让数学课堂活起来的几点策略兴化市沈伦中心校杨美华我的教材观兴化市文正学校顾广林浅谈新课标理念下学生批判性思维的培养泰州九龙实验学校叶新和好问题情境的标准高港许庄初中朱菊明从“圆的定义”的教学谈创设问题情境高港中学朱静精心设“导”引生入胜省泰州中学附属初中孙颖浅谈有效性课堂教学的构建泰州市明珠实验学校二等奖（68篇）侯华芬初中学生数学阅读能力的培养靖江市城南中学朱远康初中数学课外实践活动初探靖江市礼士中学刘铮浅谈初中数学课堂的有效教学靖江市刘国钧中学附中沈金福例说“正难侧反”的数学思想靖江市刘国钧中学附中顾益明用数学课程标准指导数学教学改革靖江市第三中学刘卫炎初中数学教学中学生学习情感的培养靖江市马桥初中祝斌发展运算能力与数学教学靖江市实验学校陈丽明尊重，让数学课堂绽放最美的花朵靖江市团结初中陈金炎浅谈初中数学“学习兴趣”的激发和培养靖江市团结初中季学军谈如何精心设计数学课的“开场白”靖江市外国语学校龚智勇新课程理念下的数学教育与情感教育的统一靖江市外国语学校徐峰数学课堂实施有效教学的策略靖江市外国语学校谭登铭注重教学相长提升课堂教学水平靖江市新桥中学常静锋数学课上学生您自主靖江市越江初中顾跃浅谈在数学教学中如何培养学生的观察力泰兴济川中学顾中震浅谈数学“学困生”的转化泰兴市大生初中丁新建“学案导学”促进教师课堂角色的转换泰兴市分界镇湖头初中蒋乐初中数学问题情境的创设泰兴市黄桥初级中学王红梅矩形折叠创新题走进中考压轴题泰兴市黄桥初级中学凌涛一次函数教学的几点思考泰兴市济川中学刘晨光中考复习中的一个误区泰兴市济川中学徐建林让学生参与到数学学习中来泰兴市刘陈初级中学徐俊杰驾驭课堂教学的几点体会泰兴市刘陈初级中学马伟浅谈平分图形面积类题的解题策略泰兴市宁界初中张书美浅谈如何转化初中数学的“学困生”泰兴市曲霞初级中学田堃浅析数学开放性问题与数学创新意识的培养泰兴市西城初级中学刘振华“为有源头活水来”泰兴市西城初级中学周建明新课改下初中数学“问题教学法”初探泰兴市元竹镇初级中学张杰在课堂教学中炼出“创新”能力泰兴市张桥镇张桥初中朱建新浅谈学生学习主动性的培养泰兴市张桥镇张桥初中高荣兴对“变式教学”的一点思考姜堰市二附中峁桃平谈数学教师课堂语言的表达姜堰市二附中霍彩霞研究性学习在初中数学教学中的运用姜堰市二附中刘志兴浅谈在数学教学中如何培养学生的阅读能力姜堰市三水学校钱小刚例谈2010年中考方案设计型的题型和评析姜堰市三水学校郝跃林浅谈在初中数学教学中学生自学能力的培养姜堰市四中丁文忠初三数学复习课教学中小组合作学习的优势姜堰市四中黄桂萍把握课堂教学的切入点培养数学学习的创新力姜堰市南苑学校黄如银浅谈如何激发初中学生的数学学习兴趣姜堰市娄庄中学杨春旺把握数学课堂讨论的时机姜堰市淤溪初中钱小萍让思维的火花竞相迸发姜堰市仲院初中汤丽华贯彻新课改要求，培养学生创新能力兴化市板桥初中严俊松数学活动让数学课堂充满魅力兴化市板桥初中于建军如何上好农村初中数学课兴化市陈堡初中陆小泉数学练习与创新思维兴化市陈堡初中曹洪数学活动—一元一次方程应用的调查兴化市楚水学校刘增秀浅谈新课程理念下数学学习兴趣的培养兴化市大营中心校王华明数学课堂的点睛之笔兴化市戴泽初中周加枢反比例函数考点简析兴化市荻垛初中倪高文把数学与生活结合有效提高教学效率兴化市垛田初中沈应会让多媒体教育技术为数学课堂插上兴化市缸顾中心校张松云精选精练有效提高课堂训练效率兴化市顾庄学校陆小燕动手做数学的教学初探兴化市临城中心校孙爱华谈初高中数学教学的衔接兴化市茅山初中陶兴泉初中数学课堂教学中的问题与对策兴化市陶庄中心校鲍发前等积变形与等分面积兴化市文正学校王明桂提高数学教学效率的几点体会兴化市永丰中心校袁章华浅析游戏在初中数学中的重要作用海陵区电教中心第五建立立足“生本”，让数学课堂交流不再走过程泰州民兴实验学校李林军初中数学课堂有效教学情境创设策略初探泰州市泰东实验学校王瑞华例说数学教学中的情境设计方法高港孔桥初中李进浅谈数学教学中的情感教育高港实验学校唐传义利用自编读本提高初中生数学素养高港许庄初中何乐浅谈如何创设有效的数学情境高港永安中学褚伟对初中数学习题设置的几点建议高港中学黄丽霞高效课堂的构建—从培养学生的提问的能力说起省泰州中学附属初中帅富平浅谈初中数学中的几种解题思想方法泰州市明珠实验学校徐山整合数学学习，优化数学作业泰州市野徐初级中学三等奖（94篇）丁卫平如何构建优效的数学教学课堂靖江市外国语学校袁卫红卢霞关注问题设计，活跃学生思维靖江市外国语学校羊淑霞浅谈数学“学困生”的成因和转化靖江市外国语学校徐忠仪王灿龙也谈优效课堂中如何激发学生的学习热情靖江市外国语学校朱家熠让学生在探究中生成智慧靖江市外国语学校庞伟马卫东巧妙的变式精彩的课堂靖江市外国语学校陈炼浅议初一数学的入门教学靖江市外国语学校丁建红教学中拓展环节提问的策略思考靖江市外国语学校居斌叶云霞用拆项法代替十字相乘法的尝试与分析靖江市八圩初中刘勤浅析对学生非智力因素的培养靖江市长安初中封雯信息技术让数学教学更精彩靖江市城南中学严熀芬数学教学中应如何培养学生的创新能力靖江市靖城中学高季江数学教学中如何激发学生的学习兴趣靖江市靖城中学印师平“自主学习模式”在数学课堂中的运用靖江市礼士中学赵冬梅数学分层教学的探索与思考靖江市实验学校丁棋浅谈数学课堂教学模式靖江市实验学校黄林学会数学建模，解决实际情景问题靖江市土桥初中马银创设数学问题情境，激发学习兴趣靖江市土桥中学高峰浅谈数学教学中学生“提出问题”能力培养的策略靖江市团结初中杨小燕浅谈分类思想在数学中的应用泰兴市大生初中唐德华新课改下的教学程序设计泰兴市分界镇湖头初中王爱光谈数学学习技巧—快速记忆数学知识的方法泰兴市河失初级中学丁彩美归类剖析中考数学阅读理解题泰兴市黄桥初级中学袁珍探索初中数学教学的观点和方法泰兴市济川中学张杰重视学生的创新思维泰兴市济川中学戴小娟初探数学课堂数学思想与方法泰兴市济川中学孙小飞谈初中数学教师对教学反思的认识泰兴市济川中学肖红如何提高数学课堂教学中学生参与度泰兴市蒋华镇初级中学常惠愉快教学在初中数学教学中的运用泰兴市蒋华镇初级中学焦剑对开放式数学教学的摸索和思考泰兴市七圩镇初级中学张书公初中学生数学学习习惯和学习基础的培养泰兴市曲霞初级中学陈玉梅再谈初中数学学习兴趣的培养泰兴市曲霞初级中学丁爱学浅谈如何激发学生学习数学的兴趣泰兴市溪桥镇初中顾书春新课改下数学问题情境创设初探泰兴市元竹镇初级中学谢小明浅谈初中数学课堂教学中的小组合作学习泰兴市元竹镇初级中学徐晶晶新课程标准下初中数学分层教学初探泰兴市元竹镇初级中学徐晖初中数学“课题学习”的实践与反思泰兴市元竹镇初级中学袁文亮初中数学教学增效策略研究泰兴市张桥镇张桥初中匡新美如何上好初中数学试卷评讲课泰兴市张桥镇张桥初中宗翠花引导学生从错题集中获益泰兴宣堡初级中学王雨艮多媒体技术在中学数学教学中应用的优势与误区姜堰市石建华关于实现城乡互动教研活动效能最大化的思考姜堰市二附中宋海明有效注意牵手课堂效率姜堰市克强学校俞连山培养初中生数学应用意识的教学策略姜堰市克强学校李齐荣自“组”合作促教促学姜堰市克强学校刘小丽设计预习学案要注重培养学生的问题意识姜堰市励才学校刘新军浅谈初中数学应用能力的培养姜堰市梁徐中学俞月芹浅谈初中数学教学中情境创设的有效性姜堰市南苑学校万里且思且行收获快乐姜堰市南苑学校于仕兵浅谈初中生数学学习分化的原因及其对策姜堰市桥头初中丁晓玲初中课堂教学中如何实施小组合作学习姜堰市四中颜小兵浅谈初中数学课堂有效教学策略姜堰市四中朱伯琴处理好数学作业来“减负”“增效”的尝试姜堰市张甸初中周秀军浅谈新课改中数学实验的教学功能姜堰市张甸初中沈晓伟基于J2EE中学数学辅导教学系统研究兴化市安丰初中徐凤浅谈初中数学解题思维能力的培养兴化市安丰初中吴娟什么样的课才是一堂好的数学课兴化市安丰初中张仁荣高效数学课堂的研究与实践兴化市板桥初中朱筛东应用情景创设提高数学课堂效率兴化市边城学校韦海关改编问题情境，增强辐射功能兴化市陈堡初中王新明谈教学准备对数学教学效果的影响兴化市大邹初中叶月芹注重学用结合提高数学素养兴化市戴泽初中王华军浅谈初中数学思想方法教学兴化市戴泽初中马爱平浅议初中数学教学的课堂讨论兴化市戴泽初中杨永树浅谈学生数学能力的培养兴化市垛田初中吴桂余浅谈数学思想方法教学兴化市缸顾中心校李加勇刍议教师的数学教学语言兴化市海南初中蒋红权浅谈初中数学学困生的成因及转化兴化市海南初中李文全探究式教学法在数学教学中实践和应用兴化市景范学校姚朋军也谈数学思想方法的训练兴化市临城中心校刘赤金浅谈数学探索能力及其培养兴化市刘寨学校许作飞构建和谐课堂实施有效教学兴化市陶庄中心校王宏赣让意外资源亮丽课堂兴化市文正学校戴中岭学生自学能力的培学习洋思经验有感兴化市西郊中心校朱书梅浅谈多媒体信息技术与数学教学兴化市西郊中心校徐伯成数学课堂如何培养学生良好参与意识兴化市新垛中心校徐伯强数学概念教学中融入数学史的策略兴化市张郭中心校瞿宽亮遵循教学原则开展有效教学兴化市周奋中心校田锁勤浅议“头脑风暴”在几何证明中的应用泰州九龙实验学校朱桂平浅谈黄金分割教学中数学文化的渗透泰州九龙实验学校许春红优化课堂提问增强课堂实效泰州九龙实验学校朱玉珍浅谈初一数学后进生的防止和转化泰州市泰东实验学校王稳琴浅谈对数学课堂教学的思考泰州市泰东实验学校李琴霞浅谈在初中数学教学中如何创设情境高港孔桥初中李祥“方格图中的学问”活动设计高港许庄初中孙逢春把握思想方法提高解题效率高港许庄初中孙剑在“趣”中学数学高港许庄初中李山林浅谈运用化归基本原则解题高港许庄初中李勇浅谈初中数学概念的教学高港许庄初中陆玉娟对数学课堂实施有效教学的一点思考高港中学韩波浅议初中数学高效课堂教学的构建泰州市滨江实验学校许穆提高农村初中数学教学效率的有效途径泰州市明珠实验学校王建华加强课堂有效提问，优化数学课堂教学泰州市塘湾实验学校徐勇构建数学生活的美好乐园泰州市野徐初级中学高中组一等奖（22篇）秦江铭高中数学审题与解题步骤的“程序化”江苏省靖江中学马金仙浅谈高中数学研究性学习靖江市第一高级中学陆创建构主义学习理论下高中数学教学模式再探靖江市教师进修学校张双银高中数学合作学习研究现状的分析靖江市刘国钧中学黄渝轩立体几何与解析几何中的易错题分析江苏省泰兴中学张震话说“问题教学法”中问题的设计泰兴市第一高级中学陆美高中数学探索性问题的分类综述泰兴市第三高级中学张小刚数学语言学习困难成因及策略研究泰兴市第三高级中学丁中锋新课程中数学情景课堂教学有效组织策略泰兴市第四高级中学顾小平探究中学生数学建模意识的培养泰兴市第四高级中学秦承林数学教学中直线与平面基本概念的教学方法泰兴市第四高级中学刘昌龙新形势下，对构建数学生命课堂的几点感悟江苏省姜堰中学钱德平新课程背景下的数学课堂应贴近生活姜堰市第二中学金骏高中数学课堂教学中的小组合作学习方法探究姜堰市第二中学刘小明课堂的精彩生成离不开好的“问题链”姜堰市第二中学丁维军在分层教学中培养学生的思维能力姜堰市娄庄中学夏长海问渠哪得清如许为有源头活水来兴化中学戈帧祥数学教学与数学教学建模方法兴化周庄高中杨鹤云注重本质，返璞归真，适度形式化的教学体验江苏省泰州中学蒋亚平浅谈高中数学“分层次教学”泰州市第三高级中学王文忠谈数学学科初高中衔接教学泰州市第三高级中学王如进“二度设计”别样精彩泰州市民兴实验中学二等奖（45篇）杨喜霞关于数学课初始问题的思考江苏省靖江中学李琴对数学课堂笔记必要性的思考江苏省靖江中学方晓燕谈数学中提问艺术江苏省靖江中学倪伟探求高中数学教学的“最优解”江苏省靖江中学顾道勇对学生数学解题思维的几点认识靖江市刘国钧中学蔡春明数学教学中如何培养学生思维灵活性靖江市刘国钧中学蒋伟一道高考题引发的思考靖江市刘国钧中学叶小娟也谈分类讨论思想在高考解题中的运用江苏省黄桥中学孙美霞探究函数的周期性和对称性的联系泰兴市第一高级中学杨凯浅谈高中数学作业批改方法的心得泰兴市第一高级中学尹家新数列中解不定方程问题的探讨泰兴市第一高级中学张永丰大班条件下数学合作学习模式探索泰兴市第一高级中学赵爽浅析如何解决数学的开放题泰兴市第一高级中学白学峰解几中有关参数范围问题的求解策略泰兴市第二高级中学袁效德解题中张开联想的翅膀泰兴市第二高级中学徐琴立足课堂培养学生的探究能力泰兴市第三高级中学赵静试论新课程标准下高中数学的“分层教学”泰兴市第三高级中学刘凤高中数学教学中预习方法的探讨泰兴市第四高级中学徐学兵一节有成效的解题变式探究课泰兴市第四高级中学周燕平对零点存在性定理教学片断的反思与改进泰兴市第四高级中学蒋新红浅谈中学数学中一些非常规问题的解法泰兴市蒋华中学印玉泉浅谈数学解题中的数形结合泰兴市扬子江高级中学宋秋林浅谈“问题链导学”模式中问题链的创设策略姜堰市第二中学李小明卞小伟谈谈苏科版高中数学教材的实施姜堰市第二中学黄萍合理利用“问题链”进行有效“导学”姜堰市第二中学凌舜明高海燕数学教学如何激发学生兴趣姜堰市第二中学张秀凤优化数学问题教学，促进师生和谐对话姜堰市第二中学杨海萍新课程教学实践中的几个重要关系姜堰市娄庄中学凌春霞有关中学数学中的分类讨论思想姜堰市娄庄中学张玲霞提高数学后进生数学学习的动手能力姜堰市罗塘高级中学刘华荣浅谈高中生解决应用题时存在的问题及应对策略姜堰市溱潼中学陈兰红高中数学进行探究式教学的初探姜堰市张甸高级中学杨惠高中数学自主探究学习教学模式初探姜堰市张甸高级中学徐勇新课标下对高中数学课堂教学设计的探索江苏省兴化中学陈学俊导数思想在高中数学中的体现兴化文正学校唐晓芳良好心理+正确方法=解决数学学习“开头难”兴化一中姚红俊浅谈如何使数学课堂教学更有效兴化一中郑丽年高中数学考试评价的现状江苏省泰州中学陈莉让数学符号奏出美丽华章江苏省泰州中学徐美娟论数学思想在高中数学中的应用江苏省口岸中学张则煌浅谈有效课堂提问的策略江苏省口岸中学黄忠玉高三数学复习课在“主体参与”下的探究泰州实验中学王加勇试论数学教学中学生素质的培养泰州市第三高级中学顾学海轻松学习立体几何泰州市民兴实验中学申天渠主体参与教学的几点做法泰州市民兴实验中学三等奖（72篇）范继荣主体参与课堂教学江苏省靖江中学陈燕一道高考数学填空题的变题江苏省靖江中学张爱娟构建优效课堂，提高上课效率江苏省靖江中学龚才权一个数学老师眼中的一堂好课江苏省靖江中学张艳节奏和谐彰显效果江苏省靖江中学刘丽云领略初等对称函数的数学美江苏省靖江中学陶李云数学教学中学生良好认知结构的建构靖江市二中袁正涛高三艺术生数学复习策略靖江市二中叶栩鸿浅谈中学数学算法与问题解决策略靖江市季市中学王银萍有效课堂教学的组织与实施靖江市刘国钧中学施小峰浅议现代教学手段对中学数学教学的影响靖江市刘国钧中学常锐高三“新题”，活用“化归”泰兴市第一高级中学季扬利用函数与方程关系解一类问题泰兴市第一高级中学邱海燕浅析学生数学创新能力的培养泰兴市第一高级中学陶琴函数性质在数列中的应用泰兴市第一高级中学吴光亮高中学生数学概念课探索泰兴市第一高级中学徐士林高中数学合作学习课堂实践探索泰兴市第一高级中学阚丽波学生“数形结合”思想的培养泰兴市第二高级中学周辉阳高三数学试卷讲评课模式的尝试与探究泰兴市第三高级中学丁涛浅谈数学史在数学教学中的作用泰兴市第四高级中学丁正军浅议数学试卷讲评泰兴市第四高级中学叶亚军浅谈学生思维批判性的培养泰兴市第四高级中学周春艳小议数学文化与中学数学泰兴市第四高级中学吕兰红高中生数学语言能力的培养泰兴市横垛中学钱德秦浅议如何培养高中学生的自主探究能力泰兴市横垛中学任明娟浅谈函数思想在数学解题中的应用泰兴市横垛中学吴春林浅谈数形结合在解题中的运用泰兴市横垛中学蔡于兵浅谈数学教学中学生自信心的培养泰兴市蒋华中学封拥军影响高中数学成绩的原因及解决方法泰兴市蒋华中学。

山东省肥城市安站中学初中数学教师论文浅谈初中数学探究式教学过程与方法

山东省肥城市安站中学初中数学教师论文浅谈初中数学探究式教学过程与方法浅谈初中数学探究式教学过程与方法[摘要] 本文在新课程背景下，结合教学实例对初中数学探究式教学的基本过程，策略和方法进行了有益的探讨，概括了“创设问题----猜想假设---获取信息----建立……模型----解释交流----应用拓展”的教学过程，并讨论了初中数学探究式教学的一些策略和方法。

[关键词] 初中数学;探究式教学;基本过程;方法;策略探究式教学是一种新型教学模式，它以学生为根本出发点。

这种主体性教学要求教师从学生的实际和需要出发，尽量创设一种符合学生认知规律的、轻松和谐的学习氛围，鼓励学生自主探究和合作交流，并不断地自我反思，最终能灵活解决数学问题。

在几年的数学教学中，就课堂教学的方法改革方面做了一些有益的尝试，下面以我所进行一节数学探究式教学课《锐角三角函数》的教学实践作些探讨，与大家一起思考:一、初中数学探究式教学的基本过程所谓探究教学，是指在教师的组织和指导下，学生在学科领域或现实生活的情境中，主动地通过观察事物、发现问题，提出假设或猜想，经过调查、实验，搜集资料，建立模型，通过分析、思考、表达与交流、批判、反思等活动，积极地理解和建构知识，改善自身心理结构，形成正确的态度、价值观的过程和方式。

1、创设问题情境，引导学生提出问题，或提出问题引发学生探究首先我在黑板上画出一个任意的锐角，要求学生也各自在草纸上也画一个，然后在角的一条边上的向角的另一边作垂线，这样就围成了一个直角三角形;然后以同样的方法作出又一个直任取一点A1角三角形……如图所示:教师:大家可以看出AO比AO要长，而AB比AB也要长些，那么垂线AB与点到角顶点O的长度212211AO有什么样的关系呢,2、引导学生对问题提出猜想或假设教师:大家想想，它们可能有什么样的关系,学生:它们相减的差可能一样长;它们相减的差可能越来越小;它们相减的差可能越来越大;它们的比值可能一定;它们与角的大小不同而不同;可能没有规律……3、获得针对猜想或假设的有关信息4、运用信息建立数学模型教师:大家的想法很好，我都没想到会有这么多的可能，那么怎样才能证明我们的猜想正确与否呢, 学生:实践出真知～老师:好，现在各自测量它们的长度，看看会是怎么一种结果～要求精确到0.1mm。

东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文评比结果的

东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文评比结果的
通报
东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文奖评审工作已经结束，现将评比结果予以通报。

今年中学数学论文评选共收到论文424篇，经评审小组初评，共评选出298篇论文，再由评审小组复评。

全体评委坚持公平公正的原则，采取了个人评分和集体讨论相结合、定量评分与定性评价相结合的方式，历时两个月，共评选出一等奖8篇、二等奖86篇、三等奖116篇，获奖名单见附件。

本年度论文的总体水平较高，注重了前沿理论在教学中的应用、数学本质教学、高效课堂研究及信息技术的应用，体现了中学数学课程改革、高效课堂建设的理念，注重教法研究与学法指导，可操作性较强。

希望获奖的老师继续努力，戒骄戒躁，争取更大成绩，同时也希望学校对获奖的老师给予表扬，以资鼓励。

附件:东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文获奖名单
东莞市中学数学教学研究会
二○一四年十一月四日
附件：东莞市中学数学教学研究会2014年优秀论文获奖名单。

基于不等式章节中的高中生数学解题策略

基于不等式章节中的高中生数学解题策略王鹏瑞(上海市松江九峰实验学校㊀２０１６００)摘㊀要:不等式章节作为高中数学知识中的重要部分ꎬ教师要深入研究科学的教育手段和引导方式ꎬ帮助学生掌握合理的数学思考模式ꎬ构建适合自己的知识系统ꎬ才能更全面地分析数学问题ꎬ提高解题能力.本文就当下影响高中生在不等式知识方面解题能力提升的因素进行了阐述ꎬ就提升不等式章节解题能力的策略进行了探讨.以期促进高中数学教学的深入研究ꎬ为推进我国教学改革提供有利的参考.关键词:高中数学ꎻ不等式章节ꎻ解题策略中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２０)２８－００３１－０２收稿日期:２０２０－０７－０５作者简介:王鹏瑞(１９８７.２－)ꎬ男ꎬ吉林省安图人ꎬ本科ꎬ中学二级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀素质教育改革要以培养学生的学习能力㊁开发学生的思维为中心ꎬ特别是在高中数学课堂上ꎬ要重视对学生解题能力的锻炼ꎬ促进他们思维和创造力的培养.不等式章节作为数学教学的重要内容ꎬ其教学效果不够理想ꎬ当前的教学模式比较单一和固定ꎬ在方式和手段上不够科学ꎬ也不具有针对性ꎬ没有根据当下不等式的知识和结构变化来制定更加科学的教学方案ꎬ特别是在面对更加开放性的问题时ꎬ很多高中生的解题思维受到限制ꎬ无法进行扩展性地联想ꎬ导致数学能力一直无法提升.所以ꎬ教师要改变当前的现状ꎬ深入分析学生学习时的困难ꎬ通过他们出现的错误来掌握学生的学习状况ꎬ调整教学方案.㊀㊀一㊁影响高中生不等式解题能力提升的因素１.不等式题型复杂高中数学知识难度更高ꎬ特别是不等式包含的内容比较复杂ꎬ对学生思维能力的要求也更高ꎬ除了要掌握更多类型的基础理论知识以外ꎬ学生还必须要对这些理论知识进行多角度地探究㊁应用ꎬ并要学会挖掘其中的运用价值ꎬ学会对问题进行分析ꎬ提升举一反三的能力ꎬ对不同的知识点进行灵活转换ꎬ掌握科学的数学思维ꎬ才能对数学题目进行深入探究ꎬ找到解题的突破口ꎬ提升自身的能力.但在实际教学中ꎬ对于类型复杂的不等式问题ꎬ教师还没有找到针对性的培养策略ꎬ比如学生在解答含有多个变元以及结构复杂的不等式题目时ꎬ往往不能对其中考核的知识点进行把握ꎬ无法挖掘到题目和文字中有关数学知识的内涵ꎬ无法实现不等式概念与其他知识点的有效转换ꎬ也就给解题带来了更多的阻碍.２.知识结构的影响数学知识结构就是高中生在学习数学的过程中ꎬ对数学基础知识进行深入掌握ꎬ同时不断提升自己的学习能力ꎬ并能够将各类型的知识进行结合ꎬ对应用题进行全面分析ꎬ从而形成属于自己的思维模式和解题习惯ꎬ并在大脑中形成系统的知识结构.因此ꎬ科学的知识结构对学生的能力要求较高ꎬ而不同思维模式和理解能力存在差异的学生ꎬ其知识结构也是各不相同ꎬ这些差异性都会对学生的解题能力造成不同的影响.而在不等式章节的教学中ꎬ如果教师没有注意到这种差异ꎬ并对学生的知识结构进行分析ꎬ则很难对其进行针对性指导ꎬ也无法掌握学生在解题中的困难ꎬ这对培养学生的解题能力也是一种阻碍因素.㊀㊀二㊁不等式章节中数学解题策略１.以审题为前提ꎬ为解题充当杠杆要提升审题能力ꎬ首先要重视对学生理解能力的培养ꎬ加强其在审题过程中的分析和思考ꎬ才能深入挖掘到题目中的有效信息ꎬ并整合成数学知识ꎬ进行灵活运用.所以ꎬ教师要注意传授有效的审题技巧ꎬ比如对关键信息以及数据的把握ꎬ通过审题来理解题目所考查的知识点ꎬ１３根据已知信息来挖掘隐藏的知识点ꎬ并能够清晰地掌握解题的思路.这是解题之前的准备工作ꎬ也是关键内容ꎬ教师可以通过对不同题型的举例分析ꎬ帮助学生进一步掌握审题的技巧.其次ꎬ要重视培养学生良好的审题习惯ꎬ避免因为粗心而出现审题错误ꎬ比如看错数字㊁看错符号或者条件等低级错误.教师可以在平常的训练中ꎬ给学生制定审题的步骤和要求ꎬ比如先读题三遍ꎬ再将条件和数据都列举出来ꎬ挖掘隐藏条件.最后ꎬ要提高学生对已知条件和隐藏条件的分析能力ꎬ通过对信息的整合ꎬ发现问题的突破口ꎬ才能更加深入地进行探究.例１㊀已知关于ｘ的一元二次方程(５ｎ－３)ｘ２＋ｘ＋１＝０有实数根ꎬ求ｎ的取值范围.很多学生都能够发现该题目的三个已知条件ꎬ但是对于５ｎ－３ʂ０这个隐性条件ꎬ很少有学生可以分析出来.如果这个隐性条件不被发现ꎬ在解题中会出现错误.教师要对学生进行积极引导ꎬ培养他们发现条件的能力ꎬ才能提升审题意识ꎬ从而为解题奠定基础.２.理清思路ꎬ为解题搭建桥梁只有清晰的思路才能引导学生向正确的方向进行探索ꎬ找到问题的根源和出发点ꎬ才能有效利用相关的理论知识来解决实际问题.因此教师在不等式章节的教学中ꎬ要引导学生去把握解题的思路ꎬ引导学生将理论和实际问题结合起来ꎬ理清自己的思维ꎬ有条不紊地对题目进行深入分析ꎬ从而找到正确的解题方向ꎬ逐步推演出解题的思路.其中ꎬ学生必须在审题之后ꎬ去分析出题的意图和考查的知识点ꎬ根据自身的经验ꎬ结合所学的知识ꎬ将可能应用到的理论都理出来ꎬ再通过深入探索ꎬ找到一些解题的路径ꎬ不断尝试和排除ꎬ迅速找到最简便快捷的解题方法.例２㊀若直线ａｘ－ｂｙ＋２＝０(ａ>０ꎬｂ<０)被圆ｘ２＋ｙ２＋２ｘ－４ｙ＋１＝０截得的弦长为４ꎬ则１/ａ＋１/ｂ的最小值为.显然ꎬ经过审题ꎬ可以知道该题将不等式与解析几何的知识点融合起来ꎬ那么学生在审题后ꎬ就要知道需要根据圆的标准方程来得出圆心ꎬ再进行方程的代入.同时还要分析问题求解的形式ꎬ与题目条件进行对比ꎬ可以将问题用１的代换方法进行代入求解.可见ꎬ在解题的过程中ꎬ必须要对所有的条件进行认真分析ꎬ构建连续性的知识框架ꎬ才能提升解题的效率.例３㊀已知ａꎬｂ为正实数ꎬ２ｂ＋ａｂ＋ａ＝３０ꎬ求函数ｙ＝１/ａｂ的最小值.该题是一个二元函数的最值问题ꎬ教师可以先引导学生思考可以通过什么途径进行解答ꎬ比如可以使用消元ꎬ转化为一元函数问题ꎻ或者利用基本不等式的公式ꎬ考虑放缩后ꎬ通过解不等式的方式来解答.然后教师可以让学生深入思考需要用到什么相关的公式ꎬ帮助学生理清思路ꎬ才能更好地提高解题能力.３.激发创造力ꎬ为解题保驾护航随着学习难度不断加大ꎬ不等式题目的类型和包含的知识量也在不断增加ꎬ融入的知识点也更加复杂ꎬ包括不等式与函数㊁几何㊁向量㊁最值㊁代换等各种形式的题目ꎬ因此对学生分析和联想能力的要求也越来越高.学生不仅要掌握基本的解题方法ꎬ还要不断提升自身的创造力ꎬ才能培养举一反三的能力ꎬ在面对千变万化的题目时ꎬ能够挖掘题目中的有效信息ꎬ找到更多创新的解题思路ꎬ从而提升解题能力.首先ꎬ教师要对学生进行科学的训练ꎬ以质量为前提ꎬ摒弃刷题的传统模式ꎬ让学生能够有更多的空间和时间去思考和反思.可以根据知识点㊁解题角度㊁思路等各个类型来出题ꎬ让学生从易到难进行训练ꎬ寻找规律ꎬ掌握基本方法.其次要引导学生进行全面总结和反思ꎬ一道题目解完之后ꎬ要反过来去分析自身的思考角度和方法ꎬ进一步探索更加快捷的解题方式ꎬ从而不断积累经验ꎬ为创造力的培养奠定基础.例如教师可以让学生准备错题集ꎬ定期对自己的错题进行整理ꎬ发现自己易错的知识点ꎬ才能更加准确地进行反思和巩固ꎬ弥补自己的错误ꎬ不断优化自身的知识体系ꎬ提高解题的质量.在高中数学课堂上ꎬ培养学生的解题能力是基本的任务和目标ꎬ而不等式章节的内容又是重要的部分ꎬ也是当下考核评价的中心知识点ꎬ对学生综合素质和学科素养的培养具有重要的意义.面对学生出现的各种问题以及教学中的各种阻碍因素ꎬ教师应该保持耐心ꎬ深入分析原因ꎬ找到问题所在ꎬ再结合不同学生的问题来优化教学和指导方式ꎬ根据不等式知识的特点科学教学ꎬ重视对学生审题意识㊁创造能力以及思维方式的培养ꎬ帮助其掌握正确的解题思路ꎬ提高学生整体的解题能力.㊀㊀参考文献:[１]张筱溪.高中数学不等式的解题策略研究[Ｊ].知识窗(教师版)ꎬ２０１８(１２):３９.[２]石梅.高中数学中含参数不等式问题的解题策略[Ｊ].好家长ꎬ２０１８(６８):１２５.[３]吕亭.简述数学思维在高中数学不等式教学中的应用[Ｊ].南北桥ꎬ２０１７(３):７５.[责任编辑:李㊀璟]２３。

2016年湖南省优秀硕士及博士学位论文名单.

学科代码及名称 081601 测绘科学与技术 081702 化学工艺 081704 应用化学 081802 地质资源与地质工程 081901 采矿工程 082301 道路与铁道工程 082303 交通运输规划与管理 083002 环境工程 085201 机械工程 085201 机械工程 085218 矿业工程 085404 材料工程 100104 病理学与病理生理学 100104 病理学与病理生理学 100104 病理学与病理生理学 100401 流行病学与卫生统计学 100702 药剂学 101100 护理学 105101 内科学 105104 神经病学 105104 神经病学
学科代码及名称 010101 马克思主义哲学 070104 应用数学 070302 分析化学 071005 微生物学 071007 遗传学
导师姓名冯周卓唐先华张翼周育森马龙周艳宏帅词俊金展鹏刘祖铭杨续跃杨华明张治安周孑民孙克辉郭迎谢永芳李敏周子龙戴公连肖佳蔡昌盛
导师姓名朱建军王晖刘洪涛严家斌曹平陈宪麦黄合来王海鹰蔺永诚唐进元覃文庆张鸿段朝军孙仑泉邓昊胡国清李焕德雷俊周智广严新翔江泓
序号 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81
单位名称中南大学中南大学中南大学中南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学湖南大学
序号 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60

2020年度中国数学教育论文评选活动获奖者名单

一等奖
曹雪莹赵生初靖晶刘逸晴孙玉强薛亚乔蔡淑芬卓健民
陈曦王孟新李萌罗伟王杨乐周峻民
陈代丽张欣然李翱行罗文军王婷杨俊洁刘为宏
陈进平侯宝坤李加禄马丽王颖尹杰杰张永伟
陈玉玲胡素芬李丽敏米燕王安安翟敏张志刚
崔海娟黄之李犹艳裴子君王伯龙张舒赵春玲
邓冬华黄刚云刘佳邱静王光来自张朝立赵骅秋弓锋辉黄姗姗刘白丽任宗宇王加民张瑞兵赵佳瑶
郭晓玲黄贤明刘朝伟石晶晶王少东曹静慧周俊超
郭晓阳霍明霞刘光华司瑞霞王亦武张上伟周浩
韩毅贾思雨刘亦俊孙红强韦崇裕黄文辉朱宏勇
汪和平蒋波胡君嫦孙秋祥韦素萍张文涛朱松德
二等奖
陈瑞霞陈永霞达·巴特黄汝雷瑞弟李彪刘丽园栾晓芬马燕杨博谛王楠王晔西尔扎提·吐达洪夏爱彬张玲张秋花张书阳
符强如李爽潘峰王仪肖松柏张树华
甘沛源李海威苏青王艳梅徐杨张秀敏
耿娅李纪辉苏进强王宗藩徐建平张永伟
古君文郭施敏艾买提·海拉提汗陈阳彩孙美玉卫福山魏树娜郁来雷许云赵新赵春玲
丁晨彬马海燕王亚东张凯
丁春梅米存王昭丽张春梅
董洁欧璇吴敏张红绢
杜玉珍秦春荣吴景峰张群伟
符强如邵正海喜永发张苏妍
何璇王杰肖洋张艳红
黄明霞王婧谢涛赵鹏
为推进中学数学教育教学改革与发展，促进教育工作者理论素养和专业水平的提升，搭建优秀教学交流平台，在中国教育学会中学数学教学专业委员会的支持下，中国数学教育杂志社举办了“2020年度中国数学教育论文评选活动”。在收到的405篇参评论文中，评选出195篇获奖文章。现将评选结果公布如下。

2011年全国大学生数学建模竞赛B题一等奖论文

台的节点集合， cij i I , j J 为巡警服务台 j 到达路口 i 的最短距离。引入 0-1 变量 sij i I , j J ，当路口 i 分配给巡警服务台 j 管辖是为 1 ，当路口 i 不分配给巡警服务台 j 管辖是为 0。即：
1 , 路口i分配给服务台j管辖 sij 0 ，路口i不分配给服务台j管辖
92 ，j 1, 2 92 ， j 1, 2
20 ； 92
1 , 路口i分配给服务台j管辖 2. sij 其中： i 1, 2 92 ，j 1, 2 20 ； 0 ，路口i不分配给服务台j管辖， uij 3km 0 3. kij 其中 i 1, 2 20， j 1, 2 92 uij 3km 1 ， 1 ，服务台i对要道j进行封锁 3. xij ，其中 i 1, 2 20 ， j 1, 2 92 ； 0 ，服务台i不对要道j进行封锁 4.. c j ： j 巡警服务台的工作量，其中 j 1, 2 24 ；
二、问题分析ຫໍສະໝຸດ 建模思路问题一：（1）问题要求在城区 A 的 20 个巡警服务台位置确定的情况下，按照 3min 到达案发地的原则为各服务平台分配管辖范围。本文引入经典离散定位理论中的最大集合覆盖模型进行求解。记 I {1, 2
92} 为城区 A 的所有路口节点集合，J {1, 2
20} 为城区 A 巡警服务
由题目的要求可知，当 cij 3km 时，路口 i 可能分配给巡警服务台 j ，也可
4
能分配给其他可在 3min 到达 i 路口的巡警服务台，而不分配给平台 j ，故有 s ij 1 ；当 cij 3km 时，巡警服务台 j 不可能在规定的时间内到达路口 i ，故此时路口 i 不能分配给巡警服务台 j 管辖，故此时 sij 0 。根据上述的分配原则及每个路口只由一个巡警服务台进行管辖、每个巡警服务台至少要管辖一个路口，可建立最大集合覆盖模型，并借助数学软件 MATLAB 进行求解。（2）问题要求调度全区 20 个交巡警服务平台的警力资源，对进出 A 区的 13 条交通要道进行快速全封锁，且每个平台的警力最多封锁一个路口。本文将问题转化为：从 20 个服务平台中选出 13 个对 13 条交通要道进行封锁，且这 13 个平台所用的时间要最小的规划问题。本文引入 0-1 变量表示一个巡警服务台是否封锁一条交通要道，从而建立这个问题的 0-1 规划模型，并借助数学软件 LINGO 进行求解。（3）根据问题一（1）的分配方案可知：当标号为 39、61、28、29、38、92 的路口有案件发生时，标号为 2、7、15、 16、20 的巡警服务台的出警时间将超过 3min，即出警时间过长。此时每个巡警服务台的工作量分别为：

八届全国初等数学学术研究报告会

全国初等数学研究会
2012年第八届全国初等数学研究学术交流会
论文评选结果公布
全国第八届初等数学研究学术交流会论文评选结果已经揭晓。

本次大会共收到全国各省（市）选送的参评论文151篇，经过全国第七届初等数学研究学术交流会论文评审专家委员会的初评和复评，共评出133篇论文入选大会交流，126篇获奖，其中一等奖21篇、二等奖51篇、三等奖54篇；7篇未评奖。

现将评选结果予以公布。

入选论文、获奖论文题目及作者名单附后，部分论文刊在第四期中国初等数学杂志。

全国初等数学研究会
（福建省数学学会初等数学分会代章）
二○一二年八月一日
2018年第八届全国初等数学研究学术交流会入选、获奖论文名单
的幂级数展开式演绎高考题
三角形内切椭圆的广义
”型通项公式的探究。

高中论文题目

133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150
对新课程背景下计算器使用“度”的思考数学猜想例说数学解题中观察能力的培养利用课本例习题培养思维品质数学教学中应强化学生的问题意识新课程背景下别忘了研究新学生新课程下的数学思维能力培养新课观新视野新关系新课程背景下高中数学课堂有效性教学策略研究拿什么吸引你，我的学生数学教学中的创设情境整体优化数学课堂教育教学，全面提高教育教学质量把握平衡点，推进新课改对话教学的认识与实践对新课程背景下数学教学有效性的认识与探索问渠哪得清如许，唯有源头活水来用“本原性数学问题”驱动课堂概念自主探究，路在脚下
三等奖（共78篇）
73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 让我们携手,做学习的主人浅谈解题方法深化新课程改革关注学生能力培养浅议新课程理念下数学学习能力的培养数学课堂教学中的探索与交流立足教材、超越教材、激发思维错算是粗心吗高三文科数学复习策略 “变负为正” 差异性教学构建有效数学课浅谈高三学生数学审题能力的提高及培养策略让学生在“类比”中快乐学习浅谈数学教育心理学在高中数学课堂教学中的应用嘉兴高级中学嘉兴高级中学嘉兴高级中学嘉兴高级中学嘉兴高级中学嘉兴三中嘉兴三中嘉兴三中嘉兴市级中学嘉兴市第四高级中学嘉兴市第四高级中学
陈晓庆李海伟庄建飞谈建强李红虎张国斌王志刚程爱文张建新李晓燕綦丽丽刘志金沈洪学熊小琴佟立学沈国莲陈群莉沈玉
海宁市高级中学海宁市南苑中学海宁中学桐乡二中桐乡二中桐乡凤鸣高中桐乡凤鸣高中桐乡高级中学桐乡农技校桐乡市茅盾中学桐乡市茅盾中学桐乡市茅盾中学桐乡一中桐乡一中桐乡一中桐乡一中桐乡一中桐乡一中

关于2009年东莞市中学数学优秀教学论文评选结果的通报

关于2009年东莞市中学数学优秀教学论文评选结果的通报
各中学：
2009年中学数学论文评选共收到论文345篇，经评审小组初评，共评选出236篇论文，再由评审小组复评。

全体评委坚持公平公正的原则，采取了个人评分和集体讨论相结合、定量评分与定性评价相结合的方式，历时两个月，共评选出一等奖7篇、二等奖60篇、三等奖106篇，获奖名单见附件。

本年度论文的总体水平较高，注重了对课程标准与实验教材的研究，体现了中学数学课程改革的新理念，注重教法研究与学法指导，可操作性较强。

同时，还存在一些常见的问题，主要表现在：①部分论文的数学学科特点不明显；
②罗列例题，缺乏自己的观点和必要的理论依据。

希望获奖的老师继续努力，戒骄戒躁，争取更大成绩，同时也希望学校对获奖的老师给予表扬，以资鼓励。

附件2009年东莞市中学数学教学论文评选获奖名单
东莞市教育局教研室
东莞市中学数学教学研究会
二OO九年十二月十日
2009年东莞市中学数学教学论文评选获奖名单。

利用费马原理　求解最值问题

利用费马原理㊀求解最值问题王伟民(安徽省太和县宫集镇中心学校ꎬ安徽太和２３６６５２)摘㊀要:文章根据费马原理利用中等数学知识证明光的折射定律ꎬ以举例的方式说明费马原理在行程问题及其它相关问题中求解物理量最值时的应用.关键词:费马原理ꎻ光的折射定律ꎻ最小值ꎻ速度ꎻ总造价中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２８－０１０４－０３收稿日期:２０２３－０７－０５作者简介:王伟民(１９６４－)ꎬ男ꎬ本科ꎬ安徽省太和人ꎬ中学高级教师ꎬ从事中学物理教学研究.㊀㊀满足什么条件时间最短做功最少造价最低等问题是物理研究和生活中常见的最值问题.而费马原理说的是光在介质中两确定点之间传播时ꎬ总是沿光程(即时间)最短的路径传播ꎬ涉及到时间最短问题.如果对光的折射规律进一步推广ꎬ还可以推理出与行程问题有关的其他量存在最值的条件[１].所以ꎬ利用费马原理可以比较方便地解决一些相关的确定一些量最值的实际问题.１利用费马原理证明光的折射定律利用费马原理ꎬ很容易证明在同种均匀介质中光沿直线传播㊁光在反射时反射角等于入射角等光学规律.光在两种介质分界面发生折射时ꎬ折射角与入射角间的定量关系: 折射角与入射角正弦之比等于光在两种介质中传播速度之比这一规律ꎬ也可以通过费马原理进行逻辑推导.如图１所示ꎬ设ｌ是两种介质的分界面ꎬＡ㊁Ｏ分别是两种介质中的两定点ꎬ一条光线由Ａ点发出ꎬ经界面Ｂ点折射后传播至Ｏ点.以Ｏ为坐标原点ꎬ平行于分界面的方向为ｘ轴建立平面直角坐标系ꎬ设Ａ点坐标为Ａ(ａꎬｂ)ꎬ光在两种介质中的传播速度分别是ｖ１和ｖ２ꎬ入射角和折射角分别是α和βꎬ若Ｏ点到分界面的竖直距离为ｈ(ｈ<ｂ)ꎬ并设入射点Ｂ到ｙ轴的距离为ｘ.我们推导一下光从确定点Ａ经Ｂ传播到确定点Ｏ所用的时间最短时将会有怎样的结果.图１㊀光在两种介质中折射示意图㊀图２㊀落水及施救人员初始位置图示由图可知ꎬ光从Ａ点出发经Ｂ传播到Ｏ需要的时间为:ｔ＝ＡＢｖ１＋ＢＯｖ２＝(ｘ－ａ)２＋(ｂ－ｈ)２ｖ１＋ｘ２＋ｈ２ｖ２为确定时间的最小值ꎬ将时间ｔ对ｘ求导可得:ｔᶄ＝２(ｘ－ａ)２ｖ１(ｘ－ａ)２＋(ｂ－ｈ)２＋２ｘ２ｖ２ｘ２＋ｈ２＝ｘ－ａｖ１(ｘ－ａ)２＋(ｂ－ｈ)２＋ｘｖ２ｘ２＋ｈ２令ｔᶄ＝０可得:ｘ－ａｖ１(ｘ－ａ)２＋(ｂ－ｈ)２＋ｘｖ２ｘ２＋ｈ２＝０４０１ʑａ－ｘｖ１(ｘ－ａ)２＋(ｂ－ｈ)２＝ｘｖ２ｘ２＋ｈ２㊀(１)ʑａ－ｘ(ｘ－ａ)２＋(ｂ－ｈ)２ｘｘ２＋ｈ２＝ｖ１ｖ２ꎬ即ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｖ１ｖ２由于在分界面ｌ上选择不同的入射点Ｂ时ꎬ光从Ａ经Ｂ传播到Ｏ点的所有情况中不存在时间的最大值(从图１可以发现ꎬ入射点偏离Ｂ点较远时ꎬ偏离得越远ꎬ光从Ａ传播到Ｏ点所用的时间越长ꎬ不存在时间的最大值)ꎬ所以ꎬ当入射角α和折射角β满足关系式ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｖ１ｖ２时ꎬ光传播的时间最短.实际上ꎬ我们上面利用费马原理推导光的折射定律的推理过程中ꎬ得出的等式(１)是一个关于Ｂ点横坐标ｘ的一元方程ꎬ而实际问题需要在某个变化过程中求相关量的最大值或最小值时ꎬ往往需要确定类似光的折射问题中折射点位置的其他相关问题中转折点的位置ꎬ所以ꎬ确定方程(１)的解就显得尤为重要.对关于ｘ的方程ａ－ｘｖ１(ｘ－ａ)２＋(ｂ－ｈ)２＝ｘｖ２ｘ２＋ｈ２而言ꎬ经过整理化成高次整式方程的一般形式之后ꎬ得到的是一个关于ｘ的一元四次方程ꎬ由于这个方程是含有字母系数的方程ꎬ所以ꎬ只能用求根公式进行求解.我们知道ꎬ用公式法解一元四次方程ꎬ根据各系数关系的不同ꎬ需要按多个不同情况进行分类再解析ꎬ且多个情况下求根公式的表达式非常繁杂.我们不妨以不同实际问题中有具体数据的例子为例(这样得出的关于转折点位置坐标的方程ꎬ即便是一元四次整式方程ꎬ也是数字系数的方程ꎬ无需在分情况进行讨论)ꎬ来探究费马原理在不同问题中求解相关最值时的应用.２费马原理在行程问题确定时间最值时的应用例１㊀如图２所示ꎬ一幼童不慎落入河水中的Ｂ点ꎬ岸上的人员在Ａ处闻讯后ꎬ迅速跑步前去救援ꎬ已知救援人员得到信息时距离河岸３０ｍꎬ落水者距离河岸２４ｍꎬ二人水平距离为４７ｍꎬ若救援人员在岸上跑步的最大速度和水中游泳的最大速度分别是８ｍ/ｓ和２.８ｍ/ｓꎬ问救援人员最短在多长时间内可以到达落水幼童处?(结果保留分数)解析㊀救援人员有无数种救援路径可以选择ꎬ最容易想到的是图３所示的几种情形ꎬ由以上分析可知ꎬ这些都不是救援人员按最大速度到达落水幼童位置时间最短的行走路线ꎬ救援人员行走和游泳总时间最短的路径应该满足费马原理ꎬ即光的折射规律[２].图３㊀几种常见施救路径图示㊀㊀图４㊀相关角度和距离图示如图４所示ꎬ设救援人员按ＡＯ㊁ＯＢ两个方向分别在岸上和水中运行ꎬ设人在岸上和水中的速度分别是ｖ１和ｖ２ꎬ两段运行方向与垂直于河岸方向的夹角分别是α和βꎬ由光的折射定律可知ꎬ只有满足ｓｉｎαｓｉｎβ＝ｖ１ｖ２时ꎬ救援人员到达落水幼童处所用的时间最短.设救援人员到达河岸时的位置Ｏ与落水幼童间的水平距离为ｘꎬ则有:ｓｉｎα＝４７－ｘ(４７－ｘ)２＋３０２ꎬｓｉｎβ＝ｘｘ２＋２４２ʑ４７－ｘ(４７－ｘ)２＋３０２ｘｘ２＋２４２＝８２.８ꎬ解得:ｘ＝７ʑＡＯ＝３０２＋４０２＝５０ｍꎬＯＢ＝７２＋２４２＝２５ｍʑｔ最短＝ＡＢｖ１＋ＢＯｖ２＝５０８＋２５２.８＝４２５２８ｓ答:救援人员最短在４２５２８ｓ时间内可以到达落水幼童处.３费马原理在其它问题确定最值时的应用行程问题中ꎬ之所以可以根据费马原理确定时５０１间的最小值ꎬ是因为在上面的例子中ꎬ时间公式为ｔ＝ｓｖ.实际上ꎬ但凡与路程ｓ大小有关的量Ｐ(可以是物理量ꎬ也可以是其它量)ꎬ只要能写成Ｐ＝ｓｋ(ｋ为常量)的形式ꎬ并且物体在平面内确定的两点之间运动时ꎬ若一条直线把经过这两点的平面分成两部分ꎬ物体在这两部分平面运动对应的ｋ值是两个确定的常量ｋ１和ｋ２ꎬ那么ꎬ我们都可以根据费马原理确定物体从一个定点到另一个定点运动过程中ꎬ选择不同路径运动时对应量Ｐ的最值.比如ꎬ机械功的公式Ｗ＝Ｆｓ可以变形为Ｗ＝ｓ１Ｆꎻ里程单价为ａ时的总运费(或修路的总造价)Ｐ与路程ｓ关系式Ｐ＝ａｓ可变形为Ｐ＝ｓ１ａꎬ等等ꎬ所以ꎬ具备一定条件时ꎬ我们可以确定运动物体在两定点之间运动时做功的最值ꎬ以及车辆在两定点之间运货过程中运费的最值[３].例２㊀如图５所示ꎬＡ㊁Ｂ两城之间有一块宽度为２４ｋｍ的矩形沼泽地ꎬ两城到沼泽地边缘的垂直距离分别是１８ｋｍ和６ｋｍꎬ两城在平行于沼泽地边缘方向上的距离是３９ｋｍ.现欲在两城市之间修建一条高速公路.经测算陆地上公路的造价是０.７亿元/公里ꎬ沼泽地上公路造价是２亿元/公里ꎬ请设计公路的走向ꎬ使总造价最低ꎬ并求出最低总造价.解析㊀修建公路的造价Ｐ与每公里的造价(即单价)ａ和公路里程ｓ的关系为Ｐ＝ａｓꎬ可变形为Ｐ＝ｓ１ａꎬ满足费马原理的适用条件.由于沼泽地修建公路的单价较高ꎬ所以ꎬ在沼泽地修建公路单价的倒数较小ꎬ由费马原理可知ꎬ在Ａ㊁Ｂ两城市之间修建高速公路总造价最小时ꎬ公路的走向类似于一束光倾斜穿过一块平行玻璃板的情形ꎬ如图６所示ꎬ公路的走向应该沿ＡңＦңＧңＢ的方向设计.设陆地公路ＢＧ段在平行于沼泽地边缘方向上投影的长度是ｘꎬ则陆地公路ＡＦ段在平行于沼泽地边缘方向上投影的长度是３ｘ.图５㊀两城之间地况数据图示㊀㊀图６㊀两城之间修建公路示意图由ｓｉｎøＢＧＲｓｉｎøＨＧＦ＝１ａ陆地１ａ沼泽地＝ａ沼泽地ａ陆地可得:ｘｘ２＋６２３９－４ｘ(３９－４ｘ)２＋２４２＝２０７解得:ｘ＝８所以ꎬ陆地上公路总长度为ｓ陆地＝ＡＦ＋ＢＧ＝４ＢＧ＝４ｘ２＋６２＝４０ｋｍꎬ沼泽地上公路总长度为ｓ沼泽地＝ＦＧ(３９－４ｘ)２＋２４２＝２５ｋｍ因此ꎬ整个工程的最小总造价为Ｐ最小＝ｓ陆地ａ陆地＋ｓ沼泽地ａ沼泽地＝４０ˑ０.７＋２５ˑ２０亿元＝７８亿元答:修建公路的最低总造价为７８亿元.由上面的这些例子可以看出ꎬ费马原理不仅可以解决行程问题中特定情况下时间的最小值ꎬ也可以解决与行程问题类似的其他跟路程相关的有关量的最值[４].参考文献:[１]董强.对一道高一期末考试题的解法探究与推广[Ｊ].数理化解题研究ꎬ２０２２(７):６１－６４. [２]颜国英ꎬ张皓晶ꎬ郑原琛ꎬ李宝金ꎬ张雄.从费马原理的发展看最小概念[Ｊ].湖南中学物理ꎬ２０１９(３):３６－３８ꎬ４０.[３]俞郭遥ꎬ鲍成章ꎬ朱国强.费马原理解决两过程匀速运动极值问题[Ｊ].物理通报ꎬ２０１８(１０):７０－７２. [４]竺斌.高中物理极值问题的物理求解方法[Ｊ].物理教师ꎬ２０１８(１０):６８－７０.[责任编辑:李㊀璟] ６０１。

高中数学课堂合作学习几点应对策略王飞

高中数学课堂合作学习几点应对策略王飞发布时间：2023-06-16T08:47:46.233Z 来源：《中小学教育》2023年6期作者：王飞[导读] 在新教材与新课改的条件下，要求学生采用"自主、合作、探究式"学习方法陕西省汉中市洋县中学在新教材与新课改的条件下，要求学生采用"自主、合作、探究式"学习方法，可以极大提高学生学习高中数学学习的积极性。

笔者结合，本人对新旧教材以及在新旧教材使用中所采用的探究经验做一分享交流。

一、注重高中学生提出的数学问题，并认真作答在新课改条件下，要求学生是课堂学习的主人，学生能在课堂上发现问题、提出问题看起来是教育观、学习观，质的飞跃。

但在课堂教学中我们经常会遇到这样的现象，学生提出的问题教师一带而过，只顾按自己设计好的教案进行教学，学生的问题等于没提，有时根本没有正面回答学生提出的问题。

把学生的疑惑永远的保留下来这样的课堂从表面上看显示了教师的民主作用。

但实质上除了耗费课堂教学时间外，没有任何意义。

有的教师会说：学生提出的问题面太宽、千奇百怪。

只顾回答学生提出的问题就没有时间完成教学任务。

这里实际上涉及到两个问题：一是学生不会质疑，教师担心问题质量的底下，回脱离教学目标；二是学生提出的问题多而杂，涉及面广，教师担心自己缺乏调控能力，驾驭不了课堂。

由于学生知识水平和学习能力不足，刚开始提问时，往往仅从兴趣出发，不着边际。

这就需要教师去引导和帮助。

经过一定时间的指导和训练后，学生的质疑能力就会得到明显提高，问题的准确性也会逐步增加。

这就要求教师在备课时，不但要兼顾教材的重、难点，同时"备好学生"就显得更为关键，教师要对学生提出的问题进行充分的估计，上课时才能作到“多备”而“无患”真正作到了“教"和“学”的动态平衡，使学生提出的问题有的放矢。

二、教师对数学讲课时间的取舍新课标和新高考评价体系要求课堂上要充分体现学生的主体作用，教师多讲似乎违反了这一主体作用的体现，有的教师在教学过程中尽量少讲或不讲，似乎这样就能体现新课改的精神。

舟山市2010年高中数学论文评比结果公示(1)

舟山二中
王海艇
与圆锥曲线来个焦点访谈
普陀三中
虞威渭
试就几道浙江省高考创新题谈谈教学策略
普陀三中
李权海
从杭州市二模的一题浅析命题的严谨性
普陀三中
王海雷
用导数证明不等式
舟山中学
袁君飞
三等奖
谈高中数学新课程的教学的体会
普陀中学
谢明海
例说向量在三角函数当中的应用
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谈数列中的数论问题
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三角形中一组优美的结论
舟山市2010年高中数学论文评比结果公示
一等奖
一个抛物线问题的探究
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庄静红
预设因生成而更加精彩
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出错本无心纠错却有意——浅谈纠错教学的几点感悟
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高考题中立体几何的魔线魔形魔法
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金信军
浅谈学案教学法在高中数学课堂中的运用
白泉高级中学
蒋丰军
浅析有效的课堂教学
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例谈导数在不等式综合性问题中的贡献
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问渠那得清如许，为有源头活水来——浅谈平面向量与圆锥曲线的综合应用
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郑嫣娜
求二面角的“优化组合”
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李意海
在个性发展中求教学全面发展——谈高中数学中的分组分层教学
舟山二中
王桃芬
感受数学新课改的三步曲
舟山二中
林霞
应用化归与转化的解题思想培养学生创新思维
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洪小芳
悟错误、提能力
普陀中学
朱敏
《圆锥曲线切线的一个优美性质》的商榷及思考
普陀中学

S5的子群

S5的子群赵俊锋;王飞;贾有【摘要】小阶数对称群在有限群论研究中具有重要的作用,但随着n的增大,结构也越复杂.文章利用传递与正规性计算出了S5的所有子群,并给出了严格的证明.【期刊名称】《长治学院学报》【年(卷),期】2010(027)005【总页数】3页(P50-52)【关键词】共轭类;n次对称群;长度【作者】赵俊锋;王飞;贾有【作者单位】忻州师范学院专科部,山西忻州,034000;长治学院,数学系,山西长治,046011;忻州师范学院,专科部,山西忻州,034000【正文语种】中文【中图分类】O211.4对称群在群论发展史上起着十分重要的作用，关于对称群Sn子群的研究，文献［1］研究了S4子群的个数。

文献［2］研究了对称群S4及其正规子群的若干性质。

但当n>4时，对Sn的研究大部分都是借助于计算机编程来实现的。

例如文献［3］利用计算机给出了S5所有幂零子群和可解子群，文献［4］［5］利用计算机研究了S5的基本性质，本文经过计算并通过严格的证明给出了S5的所有子群。

定理 S5共有156个子群，可分为19个共轭类：平凡子群有两个共轭类：｛1｝，｛S5｝长度都为1；2阶子群都同构于C2，可分为2个共轭类，即：｛＜（12）＞g|g∈S5｝,长度为10；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为15；3阶子群都同构C3，有1个共轭类，即：｛＜（123）＞g|g∈S5｝，长度为10；4阶子群有3个共轭类，即：｛＜（1234）＞g|g∈S5｝，长度为15；｛＜（12）（34）＞g|g∈S5｝，长度为 15；｛＜（12）（34），（13）（24）＞g|g∈S5｝，长度为 5；其中＜（1234）＞≌C4，＜（12）（34）＞≌C2×C2，＜（12）（34），（12）（24）＞≌C2×C25阶子群都同构于C5，有1个共轭类，即：｛＜（12345）＞g|g∈S5｝，长度为 6；6阶子群有3个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3｝|g∈S5｝，长度为 10；｛＜（12），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；｛＜（12），（34），（345）＞g|g∈S5｝，长度为 10；其中 S｛1，2，3｝≌S3，＜（12），（345）>≌C6，＜（12），（34），（345）>≌S38阶子群都同构于D8，有1个共轭类，即：｛＜（12），（1423）＞g|g∈S5｝，长度为 15；10阶子群都同构于D10，有1个共轭类，即：｛＜（12345），（12），（35）＞g|g∈S5｝，长度为 6；12阶子群有两个共轭类，即：｛Ag｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为5；｛（S｛1，2｝×S｛3，4，5｝）｝，长度为10；其中 A｛1，2，3｝≌A4，S｛1，2｝×S｛3，4，5｝≌S2×S320阶子群都同构于＜x，y|y4=x5=1，xy=x2＞，有1个共轭类，｛＜（12345）（|2354）＞g|g∈S5｝，长度为 6；24阶子群都同构于S4，有1个共轭类，即：｛Sg｛1，2，3，4｝|g∈S5｝，长度为 560阶子群有1个共轭类，即：｛A5｝，长度为1.证明由（i1，i2，…，i）sσ=σ-（1i1，i2，…，i）sσ=（iσ1，iσ2，…，iσ）s，知S5中元素可分为7个共轭类，分别为：（｛1）｝；因为S5=120，由Largrange定理可知S5的子群的阶可能为：1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120。