第11章 位移法
第十一章-位移法
X
3
0
即：
M
AB
4i A
2i B
6i
l
M BA
2i A
4i B
6i
l
为杆件AB的刚度方 程（转角位移方程）
§11-2 等截面杆件的刚度方程
讨论：当分别作用有单位位移情况
当 A 1，B 0， 0 时：
则有：
M M
AB BA
4i 2i
当 1， A 0，B 0 时：
则有：
M
AB
M BA
第 十 章 位移法
本章主要内容
➢位移法的基本概念 ➢等截面杆件的刚度方程 ➢无侧移刚架的计算 ➢有侧移刚架的计算 ➢位移法的基第本八章 位体移法 系 ➢位移法应用举例 ➢对称结构的计算
§11-1 位移法的基本概念
一.基本思路
如下图为一个对称结构承受对称荷
载 P。结点B只发生竖向位移 ，
水平位移为零。在位移法中，我们
在上例中，如只有二根杆，则结构是静定的，当杆数 3 时，结构
是超静定的。可见用位移法计算时，计算方法并不因结构的静定或 超静定而有所不同。
§11-1 位移法的基本概念
三.总结位移法计算的要点
要点：
(1) 位移法的基本未知量是位移。 (2) 位移法的基本方程是平衡方程。 (3) 建立基本方程的过程分为两步：
pq
11X1 12 X 2 13 X 3 1P 0 21X1 22 X 2 23 X 3 2P 0 31X1 32 X 2 33 X 3 3P 0
解力法方程，得：
X1 X2
？ ？
X 3 0
A
B
运用力法解，取基本体系如下：
pq
X1
X2
结构力学习题及答案(武汉大学)
结构力学习题第2章平面体系的几何组成分析2-1～2-6 试确定图示体系的计算自由度。
题2-1图题2-2图题2-3图题2-4图题2-5图题2-6图2-7～2-15 试对图示体系进行几何组成分析。
若是具有多余约束的几何不变体系，则需指明多余约束的数目。
题2-7图题2-8图题2-9图题2-10图题2-11图题2-12图题2-13图题2-14图题2-15图题2-16图题2-17图题2-18图题2-19图题2-20图题2-21图2-1 1W=2-1 9W-=2-3 3W-=2-4 2W=-2-5 1=W-2-6 4=W-2-7、2-8、2-12、2-16、2-17无多余约束的几何不变体系2-9、2-10、2-15具有一个多余约束的几何不变体系2-11具有六个多余约束的几何不变体系2-13、2-14几何可变体系为2-18、2-19 瞬变体系2-20、2-21具有三个多余约束的几何不变体系第3章静定梁和静定平面刚架的内力分析3-1 试作图示静定梁的内力图。
（a）（b）(c) (d)习题3-1图3-2 试作图示多跨静定梁的内力图。
（a）（b）(c)习题3-2图3-3～3-9 试作图示静定刚架的内力图。
习题3-3图习题3-4图习题3-5图习题3-6图习题3-7图习题3-8图习题3-9图3-10 试判断图示静定结构的弯矩图是否正确。
(a)(b)(c)(d)部分习题答案3-1 （a ）m kN M B ⋅=80（上侧受拉），kN F RQB 60=，kN F L QB 60-=（b ）m kN M A ⋅=20（上侧受拉），m kN M B ⋅=40（上侧受拉），kN F RQA 5.32=，kN F L QA 20-=，kN F LQB 5.47-=，kN F R QB 20=(c) 4Fl M C =（下侧受拉），θcos 2F F L QC =3-2 (a) 0=E M ，m kN M F ⋅-=40（上侧受拉），m kN M B ⋅-=120（上侧受拉）（b ）m kN M RH ⋅-=15(上侧受拉)，m kN M E ⋅=25.11（下侧受拉）（c ）m kN M G ⋅=29(下侧受拉)，m kN M D ⋅-=5.8(上侧受拉)，m kN M H ⋅=15(下侧受拉) 3-3 m kN M CB ⋅=10（左侧受拉），m kN M DF ⋅=8（上侧受拉），m kN M DE ⋅=20（右侧受拉） 3-4 m kN M BA ⋅=120（左侧受拉）3-5 m kN M F ⋅=40（左侧受拉），m kN M DC ⋅=160（上侧受拉），m kN M EB ⋅=80(右侧受拉)3-6 m kN M BA ⋅=60（右侧受拉），m kN M BD ⋅=45（上侧受拉），kN F QBD 46.28=3-7 m kN M C ⋅=70下（左侧受拉），m kN M DE ⋅=150（上侧受拉），m kN M EB ⋅=70(右侧受拉) 3-8 m kN M CB ⋅=36.0（上侧受拉），m kN M BA ⋅=36.0（右侧受拉） 3-9 m kN M AB ⋅=10（左侧受拉），m kN M BC ⋅=10（上侧受拉） 3-10 （a ）错误 （b ）错误 （c ）错误 （d ）正确第4章 静定平面桁架和组合结构的内力分析4-1 试判别习题4-1图所示桁架中的零杆。
11第十一章 位移法
第二、基本结构在△1单独作用 时的计算（如右上图）
——使基本结构在Ｂ点发生结点 位移△1，结点Ｃ仍被锁住。先求 出杆ＢＡ、ＢＣ的杆端力，再 由平衡条件求出约束力Ｆ１１， Ｆ２１。
F11 B 1
C
F21
A
D 2 C F22
F12
第三、基本结构在△２单独作用 时的计算（如右下图） ——使基本结构在Ｃ点发生结点位移 △２，结点Ｂ仍被锁住。先求出杆 ＢＡ、ＣＤ的杆端力，再由平衡 条件求出约束力Ｆ１２，Ｆ２２。 B
1、如图示单跨超静定杆件AB，EI为常数，杆端A和B的角位移分别为 θA、θB，杆端A和B在垂直于杆轴方向上的相对位移为Δ。杆端 A和B的弯矩和剪力分别为MAB、MBA、QAB、QBA。
MAB
A
EI l
B
QAB
MBA QBA
杆端力和杆端位移的正负规定： ①杆端转角θ A、θ B ，弦转角 β ＝Δ /l都以顺时针为正。 ②杆端弯矩对杆端以顺时针为 正；剪力QAB、QBA同前规定。
住，得到无结点位移的超静定结构。
三、位移法的基本体系 ——把荷载和基本未知位移加在基本结构上，得到的体系。 B 2i C 4m D 2 D
2 B 2i
1
C
2 A 4m
i 基本结构 8m
i
3kN/m
i
原结构 8m
i
D
2
B 3kN/m
1
2i
C
A
i 基本体系 8m
i
A
4m
第四节
位移法方程
一、位移法的建立 （以下图所示结构为例，说明位移法方程的建立） q
第三节
位移法的基本未知量和基本体系 超静定结构计算的总原则:
结构力学11.4 结构的原始刚度矩阵
§11-4结构的原始刚度矩阵整体分析：即建立求解基本未知量的结构刚度方程。
而位移法中求解的基本未知量是结点位移，包括线位移与角位移。
考虑如上图所示刚架，有4个结点，3个单元，受结点荷载的作用。
至于非结点荷载作用的情况，需要将其转化为等效的结点荷载，这将在后面的内容中进行专门介绍。
这里，暂只考虑结点荷载作用的情况。
各单元的局部坐标系与整体坐标系如下图所示。
各单元的单元刚度矩阵，进行坐标变换后，得到整体坐标系下各单元的单元刚度矩阵如下1221][22211211⎥⎦⎤⎢⎣⎡=①①①①①k k k k k ，2332][33322322⎥⎦⎤⎢⎣⎡=②②②②②k k k k k ，43][44433433⎥⎦⎤⎢⎣⎡=③③③③③k k k k k 34每个结点，有x 方向线位移、y 方向线位移与角位移3个位移分量。
结构的结点位移列向量为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=1111}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=2222}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=3333}{ϕv u Δ，⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=4444}{ϕv u Δ⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=4321}{ΔΔΔΔΔ与结点位移列向量对应的结点外力（包括荷载和反力）列向量为结构刚度方的建立前面学习位移法时，已经知道，位移法方程，即结构的刚度方程，就是结点的平衡方程。
所以，通过结点的平衡条件，可建立结构的刚度方程。
下面，以结点2为例，如图示。
结点2的3个平衡方程为②①222x x x F F F +=，②①222y y y F F F +=，②①222M M M +=写成矩阵形式，有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧=⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧②②②①①①222222222M F F M F F M F F y x y x y x ，即，}{}{}{222②①F F F +=单元杆端力，可用杆端位移表示为}]{[}]{[}{2221212①①①①①δδk k F +=，}]{[}]{[}{3232222②②②②②δδk k F +=得到，}]{[}]){[]([}]{[}{323222221212Δk Δk k Δk F ②②①①+++=此即结点2的平衡方程。
结构力学11.3 单元刚度矩阵的坐标变换)
e j
M
e j
e j
则有
{F e} [T ]{F e}
cos sin 0 0
0 0
sin cos 0 0
0 0
0
01 0
0 0
[T
]
，称为，坐标变换矩阵。
0
0 0 cos sin 0
0
0
0
sin
cos
0
即 [k e ] [T ]T [k e ][T ]{ e} 87
结构力学讲稿
此即单元刚度矩阵的坐标变换式。 整体坐标系下，单元刚度方程为 {F e} [k e ]{ e}
可将单元刚度方程按端结点 i、j 进行分块，有
第十一章 矩阵位移法
可得
{Fie}
[kiei
]{
e i
}
[kiej
0
00 0
0 1
坐标变换矩阵的性质—正交矩阵
第十一章 矩阵位移法
[T]是一个正交矩阵，即
[T ]1 [T ]T
杆端力的坐标变换关系式为
{F e} [T ]{F e}
同理，杆端位移的坐标变换关系式为
{ e} [T ]{ e}
由{F e} [T ]1{F e} ，{F e} [k e ]{ e} ，{F e} [k e ]{ e} ，得
{F
e}
M
e i
FNej
，{
e}
ie
u
e j
，{F
e}
M
e i
Fxej
第11章 位移法
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
a、取一杆分析（拆 修改）
i
结点只有竖向 位移 ，如设 FP 法求出，各杆 FP 伸长量即知， 从而内力确定；
Δ
Δ
ui
FNi
EAi FN i ui li
杆件刚度方程
5 / 98
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
a、取一杆分析（拆 修改） b、综合成结构（搭 复原）
解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。
7 / 98
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
施加约束锁住结点，将结构变为两根超静定杆， 求荷载作用的弯矩图。 F1 q q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
i
Δ
EAi FN i ui li
Δ
FP
ui
FNi
由位移协调 由结点平衡
F
ui sin i
Ni
sin i FP
FP EAi 2 li sin/ 98i 6
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
先化整为零，再集零为整
通过化整为零得到杆件刚度方程，即在知道每个 杆件由于杆件的形常数和载常数的基础上确立杆 端位移和杆端力的关系； 通过集零为整建立结点平衡方程，即利用体系位 移协调和部件平衡条件建立关于结点的平衡方程;
29 / 98
第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
2. 直接平衡法
等截面直杆的转角位移方程：各种因素共同作用下杆 端弯矩的表达式称为转角位移方程。 ① 两端固定梁转角位移方程：
第十一章 位移法
B E C
A
D l
③结构带无限刚性梁时，梁端结点转动不是独立的结点 位移。若柱子平行，则梁端结点转角=0，若柱子不平行，则 梁端结点转角可由柱顶侧移表示出来。 ④对于平行柱刚架不论横梁是平的，还是斜的，柱子等 高或不等高，柱顶线位移都相等。
a
§11-4 位移法典型方程
Δ2 Δ1
F1P F2P F1
位移法计算步骤可归纳如下：（P22）
§11-5 位移法计算连续梁 及无侧移刚架
20kN A
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
i 3m
B
i
C
3m
20kN 15 B
6m
9
2kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
1）确定基本未知量Δ1=θB ； 15 2）确定位移法基本体系； A 3）建立位移法典型方程；
C
k11D1 F1P 0
mAB
q ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓B
l，EI
M1
l
ql2/2
X1=1
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
MP
ql2/8
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ M图
ql 2 m AB 8
mBA 0
由跨间荷载引起的杆端力称为载常数（表11-2）。 单跨超静定梁简图
q A
↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓ ↓↓
5、已知杆端弯矩求剪力：取杆 件为分离体建立矩平衡方程：
M AB M BA 0 QAB QAB l
QAB
θB
QBA
P
转角位移方程
MAB QAB MAB
‘ Q’ AB
QBA MBA
注：1、MAB,MBA绕杆端顺时 针转向为正。 0 Q 2、 AB 是简支梁的剪力。
第11章 位移法
Kij=Kji？ 反力互等定理
FiP ：基本结构在荷载单独作用下，附加约束i处产生的约束力
结构力学——第11章 位移法 11
11.1、位移法
A A
A A A
θ=1 B
B
1
4i
6i l
12i
l
6i
3i
l
6i
0
l2
θ=1
B
B 1
3i
3i
l
3i
i
l
0
l2
16
θ=1
B
－i
0
结构力学——第11章 位移法
11.2、等截面直杆的形常数和载常数
3、载常数
固端力与杆件所受荷载的形式有关，故称为载常数。
固端力：三类基本构件只受荷载作用时所得到的杆端力
i
6m 2kN/m
C
2）按照静力条件，列出位移法方程；
k111 F1P 0
15
A 3）求位移法方程中的各项系数； （画 M1 、MP图，求对应的约束力） P220-221表11.1、2 4）解方程，求位移；
C
MP
F1P 9 F1P=15－9=6 k11
4i Δ1=1 3i
F1P 6 1 k11 7i
F1P=40-41.7= -1.7kNm 41.7 F2P=41.7kNm
40 F2P
A B F1P 41.7 B E
D
C
结构力学——第11章 位移法
2m
21
A 4I C B i 5I i i=EI/l=EI 3I 0.75 i 0.5i 2）按照静力条件，列出位移法方程； 3I E k111 k12 2 F1P 0
位 移 法
1．D-山梨醇的制备 山梨醇是葡萄糖在氢作还原剂，镍作催化剂的条件
下，将葡萄糖醛基还原成醇羟基而制得的。
工艺过程 将水加热至70~75℃，在不断搅拌下逐渐加 入葡萄糖至全溶，制成50%葡萄糖水溶液，再加入活性炭 于75℃，搅拌10min，滤去炭渣，然后用石灰乳液调节滤 液pH8.4，备用。当氢化釜内氢气纯度≥99.3%，压强 >0.04Mpa时可加入葡萄糖滤液，同时在触媒槽中添加活性 镍，利用糖液冲入釜内，以碱液调节pH为8.2~8.4，然后 通蒸汽并搅拌。当温度达到120~135℃时关蒸汽，并控制 釜温在150~155℃，压强在3.8~4.0MPa。取样化验合格后， 在0.2~0.3MPa压强下压料至沉淀缸静置沉淀，过滤除去催 化剂，滤液经离子交换树脂交换，活性炭处理，即得D-山 梨醇。
概述
应用:维生素C（Vitamin C，VC）又名抗坏血酸，化学名称 为L-2,3,5,6-四羟基-2-己烯酸-γ-内酯。是人体不可缺少的要 素，维生素C是细胞氧化-还原反应中的催化剂，参与机体新 陈代谢，增加机体对感染的抵抗力。其结构式为：
性质：维生素C是一种白色或略带淡黄色的 结晶或粉末，无臭、味酸、遇光色渐变深， 水溶液显酸性。易溶于水，略溶于乙醇，不 溶于乙醚、氯仿和石油醚等有机溶剂。水溶 液在pH为5~6之间稳定，若pH值过高或过 低，并在空气，光线和温度的影响下，可促 使内酯环水解，并可进一步发生脱羧反应而 成糠醛，聚合易变色。
6．粗品Vc的精制
配料比为粗Vc（析纯）：蒸馏水：活性炭：乙醇=1： 1.1：0.06：0.6（质量比）。将粗品Vc真空干燥（0.9MPa， 45℃，20~30min），除去挥发性杂质（盐酸、丙酮），加 蒸馏水搅拌，待Vc溶解后，加入活性炭，搅拌5~10min， 压滤，滤液至结晶罐，加入50L乙醇，降温后加晶种使结
结构力学 第三十八讲 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
以上结构各杆都考虑轴向变形的影响。若刚架的杆 件不考虑轴向变形，则结点位移未知量编号及单元定 位向量如下：
2(1,0,2) ①
② 1(0,0,0)
3(1,0,3) 4(1,0,4)
③ 5(0,0,0)
{}(1) [1,0,2,1,0,3]T {}(2) [1,0,2,0,0,0]T {}(3) [1,0,4,0,0,0]T
3
1、结点位移未知量编号（整体码）1 为了确定各单元的定位向量，
要按照结点编号从小到大的顺序对
A①
②
0 4
C0
x
结构每个结点的未知量u、v、θ 0 B
y
统一进行编号。
0 0
若某个结点位移未知量等于零，则整体码编号为零。
则图示刚架的位移向量和相应结点力向量为：
（1） uA
（（32））
vAA
（4） C
F
F1 F2
F1 F2
4i1 2i2
4i2
4i2
2i2 3i3
4i4
12
或写为： F K K 为整体刚度矩阵
第十一章 矩阵位移法
二、直接刚度法
F1
直接刚度法以传统位移法的 基本体系为力学模型。
1
F2
② 2③
i2
i3
分别建立单元局部坐标和整 i1 ① 体坐标如图。
i4 ④
1、结点位移分量的统一编码―整体码（总码） 图11-9所示刚架整体结构的结点位移向
量 ：
(1 2 3 4)T
(uA vA A c )T
相应结点力向量为： {F}=(F1 F2 F3 F4)T
2、单元定位向量?
图11－9
第十一章 矩阵位移法 2、单元定位向量
第11章 矩阵位移法
O
x y (2) x (1)
(2)
y (1)
y
为了使图形看起来简洁清爽，一般不再标出单 元坐标系，通常在各单元的杆轴上绘一箭头表明 x 轴的正向即可，如图（b）所示。
O 2 2 1 3 x 2 1 O 2 3 x
x y (2) x
(1)
(2)
1
y (1)
2）弯曲受力状态下，杆端剪力及杆端弯矩同垂 直于杆轴方向的相对线位移及杆端转角之间的关系
两端固定的单跨超静定梁AB，在无外荷载的
作用时，其位移法的转角位移方程为
M AB M BA FQAB 4 EI 2 EI 6 EI A B 2 AB l l l 2 EI 4 EI 6 EI A B 2 AB l l l 6 EI 6 EI 12 EI FQBA 2 A 2 B 3 AB l l l
第11章
矩阵位移法
11-1
概
述
承接结构力学I
第8章 （传统）位移法 第11章 矩阵位移法
为什么要学习矩阵位移法?
现代的建筑结构日益复杂，杆件数目庞大，传统的以 手算为基础的力法和位移法不可能有效解决大型复杂结构
的受力分析问题，因此需要借助于计算机来完成电算工作
，也即需要通过结构分析程序来进行结构受力分析。 当今众多著名的结
E：弹性模量、I：横截面惯性矩
将式子写成矩阵形式，即可得单元坐标系中一 般单元的单元刚度方程
EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 4 EI l 0 6 EI l2 2 EI l EA l 0 0 EA l 0 0 0 12 EI l3 6 EI l2 0 12 EI l3 6 EI l2 0 6 EI l2 2 EI l 0 6 EI 2 l 4 EI l
位移法 结构力学知识点概念讲解
位移法1.概述力法和位移法是分析超静定结构的两种基本方法。
力法在19世纪末就已经应用于各种超静定结构的分析。
随后，由于钢筋混凝土结构的出现，大量高次超静定刚架逐渐增多，如果仍用力法计算将十分麻烦。
于是20世纪初又在力法的基础上建立了位移法。
力法的基本思路是先解除超静定结构上的多余约束，代之以多余未知力，以多余未知力为基本未知量，一般取静定结构为基本结构进行计算。
利用位移协调条件建立力法基本方程，求出多余未知力，然后进一步求出结构的内力。
位移法的基本思路和力法相反。
位移法是以结构的结点位移作为基本未知量，以单跨超静定梁为计算的基本单元。
先设法确定出单根杆件的杆端内力，用杆端位移来表示，这些杆端位移应与其所在结点的其他杆端位移相协调。
然后用力的平衡条件建立位移法基本方程，确定出未知的结点位移,从而进一步求出整个结构的内力。
为了说明位移法的基本概念，我们来分析图1a所示的刚架位移。
（a）原结构（b）基本结构图1在荷载作用下，刚架产生的变形如途中虚线所示，设结点B 的转角为1∆，根据变形协调条件可知，汇交于结点B 的BA 杆、BC 杆两杆端也该有同样的转角1∆。
为了简化计算，在受弯杆件中，忽略杆件的轴向变形和剪切变形的影响，假设弯曲变形很小，因此可以假定结构变形后受弯杆件的两端之间的距离不变。
根据这些假定，B 结点就只有角位移没有线位移。
这样1b B 我们将第一步和第二步的结果叠加，得到的基本结构的变形和原结构一致。
我们注意到原结构在B 点并没有附加刚臂，也不存在约束力矩，所以可得11F ＋P F 1＝0 （1）这里的11F 是基本结构在B 点发生转角1∆时，产生在附加刚臂中的反力矩。
用11k 来表示基本结构在B 点处发生单位转角1∆＝1时，产生在附加刚臂中的反力矩，则式（1）可以写成01111=+∆P F k （2）式(2)我们称为位移法基本方程。
11k 、P F 1我们可以用上一章学习的力法确定，然后我们可求出1∆，进而求出原结构的全部内力。
第11章 位移法
r22 P 1 2
l2
⇁2 R2P
0
对R 于1P；系附数加是和链r1附1=自杆7加i由上链, 项的杆可反上分力的为，反两可力，类分r：别2R1、1P在=r附图22和加(aR刚)、2P臂。(b可上)、分的(c别反）在力中图矩用(ra截1)1、、面(r法b1)2、、割(和断c)
两中柱取顶结端点，1为取隔柱离顶体端，以由上力横矩梁平部衡分方为程隔∑M离1体=0，求由得表：查r11出=7i杆, 端
MBA代替X2，上式可写成
MAB= 4iA+2i B－ MBA= 4i B +2i A－
(6—1）
式中
是此两端固定的梁在荷载、温度变化等外因作用下的杆 端弯矩，称为固端弯矩。
7
MAB= 4iA+2iB __ MBA= 4iB +2iA__
(6—1）
上式是两端固定的等截面梁的杆端弯矩的一般公式，通常
l
EI=常数
23
4
L
(a)
P
3
4
(b)基本结构
R11
1
Z1
=
2 R21 1
R12
2 Z2
R1P
R22 1
P
2
R2P
3
4
3
4
3
4 13
R1=R11+R12+R1P=0 式中第一个下标表示该反力的位置， R2=R21+R22+R2P=0 第二个下标表示引起该反力的原因。
设以 r11、r12分别表示由单位位移 力矩， 以 r21、r22分别表示由单位位移 上的反力，则上式可写成
4、5、6 三个固定 端 都是不动的点，结
△
结构力学 第三十九、四十讲矩阵位移法
Y P1 4kN
M
4kN M P1 5kN m
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
因此
0
12kN
FP
(1)
＝10k0N
m
12kN
10kN m
0
4kN
(2) 5kN m
Y P1
M P1
X P2
Y P2
M P2 )T
第十一章 矩阵位移法
在表11-1中给出了几种典型荷载所引起的固端约束
力 FP。将e 固端约束力 反F号P，e 即得到单元等效结点
荷载 （局P部坐e 标系）：
(e)
(e)
Pe FP
（11－55）
2、单元的等效结点荷载 Pe（(e)整体坐标系）
第十一章 矩阵位移法
第十一章 矩阵位移法
目录
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程 §11-6 计算步骤和应用举例
第十一章 矩阵位移法
§11-5 矩阵位移法基本方程
一、整体刚度方程的意义
F [K] （11-48）
整体刚度方程（11-48）是根据原结构的位移法基本体
系建立的，它表示由结点位移 推算结点力F（ 即在基
向相反,则取负。
第十一章 矩阵位移法
例11-3 试求图11-9a所示刚架在图11-13给定荷载下 的等效结点荷载向量{Pe}。
解：（1）求局部坐标系中的
固端约束力 FP (e)
单元①：由表11-1第1行，
q 4.8k,N / m 得a ：l 5m
X P1 0
Y P1 12kN
M
P1
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第十一章 位移法 第三节 确定独立结点位移
位移法的基本结构是单跨梁系
刚架在荷载作用下结构发生了变形，结点C、D发生了转 动和移动。为了阻止结点移动，在结点D(或结点C)上加 一附加链杆(其作用是阻止结点线位移而不限制结点转 动)。在原结构上，凡属各杆互相刚结的结点(包括组合 结点)，都应加入一附加刚臂，而全铰结点不需附加刚臂， 故只需清点刚结点的数目。
1. 典型方程法
用位移法计算图(a)所示刚架时，首先要将其变为位移 法基本结构。 由于原结构只有结点B能转动，故需在结点B上加一刚臂 1，以阻止其转动。
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第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
1. 典型方程法
修改的结构变成了两个两端固定梁BA和BC组成的位移 法基本结构。 基本结构与原结构的差别 表现为：无转角，给结点 施加了一个反力矩。
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第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
1. 典型方程法
③ 主系数kii表示基本体系在Zi =1作用下产生的第i个附加 约束中的反力（矩）, kii恒大于零； ④ 付系数kij表示基本体系在Zj =1作用下产生的第i个附加 约束中的反力（矩）；根据反力互等定理有kij = kji ，付系 数可大于零、等于零或小于零。 ⑤ 由于位移法的主要计算过程是建立方程求解方程，而 位移法方程是平衡条件，所以位移法校核的重点是平衡条件 （刚结点的力矩平衡和截面的投影平衡）。
第十一章 位移法 第三节 确定独立结点位移
【例题】确定所示结构的位移法基本结构。 【解】在结点F加一个附加链杆，这时结点F不能移动。F、B 二结点不移动，结点E也就不移动了。E、A二结点不移动，结 点D也就不移动了。可见，只要加一个支杆，一排结点就都不 移动了，不管梁是水平的，还是斜的。 在刚结点D、E处加入二个附加刚臂。 位移法基本结构如图示。
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第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
a、取一杆分析（拆 修改）
i
结点只有竖向 位移 ，如设 FP 法求出，各杆 FP 伸长量即知， 从而内力确定；
Δ
Δ
ui
FNi
EAi FN i ui li
杆件刚度方程
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第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
a、取一杆分析（拆 修改） b、综合成结构（搭 复原）
A
C
ql 2 R1P 12
ql 2 A 96i
B
4i A
F11
A
4i A
2i A
A
C
C
F11 8iห้องสมุดไป่ตู้A
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B
ql2/48
B
2i A
第十一章 位移法 第二节 确定超静定单跨梁的杆端力
1、杆端力和杆端位移的正负规定
①杆端转角θA、θB，弦转角β＝Δ/l 都以逆时针为 正。 ②杆端弯矩对杆端以逆时针为正，对结点或支 座以顺时针为正。
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第十一章 位移法 第三节 确定独立结点位移
刚架铰化以判断加附加链杆的个数
刚架变成铰结体系，该体系需增加两根链杆才能组成几何 不变体系。原结构加上这两个链杆后各结点就不能移动了.
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第十一章 位移法 第三节 确定独立结点位移
寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数
在结点线位移固定的情况下，刚架各刚结点上附加 刚臂后就形成单跨梁系的基本结构了。
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第十一章 位移法 第三节 确定独立结点位移
寻找刚架刚结点数以判断加附加刚臂的个数
为了得到基本结构，有些情况并不需要把所有结点都变成 不动结点。如图(a)所示结构中，对联结CD与DE杆而言， 结点D为刚结点，也有转角位移。又如图(b)所示结构中， EF附属部分为一静定简支梁。
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FP
1 FP l 8
1 FP l 8
q
1 2 ql 12
FP
1 2 ql 12
5 FP l 32
3 FP l 16 1 2 ql 8
q
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第十一章 位移法 第三节 确定独立结点位移
结构的结点位移
独立结点线位移
独立结点角位移
确定未知量总原则：在原结构的结点上逐渐增加附加约 束，直到能将结构拆成具有已知形常数和载常数的单跨 梁为止。未知量个数要最少。 独立角位移个数等于位移未知的刚结点个数；独立结点 线位移个数等于结构铰化后为使铰结体系几何不变所要 加的最少链杆数。 在结点上施加附加约束以消除独立位移即得位移法的基 本结构，对应独立角位移处施加限制转动的刚臂；对应 独立线位移处施加限制平移的链杆支座。
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第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
1. 典型方程法
B
FP A
C
l 2 l 2
Z1
基本体系
EI=常数
l
FP
Z1 基本未知量
基本结构与原结构有两点区别：
R1 0
基本方程
原结构在外因作用下有结点位移，而基本结构在外因作用下是无结 点位移的； 原结构无附加约束，而基本结构有附加约束。
F1 F11 R1P 0 ql 2 8i A 0 12
因此，位移法分析 中应解决的问题是: ①确定单跨梁在各 种因素作用下的 杆端力。 ②确定结构独立的 结点位移。 ③建立求解结点位 移的位移法方程.
ql2/24 5ql2/48
R1P
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
q
ql2/12
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第十一章 位移法
超静定结构计算
满足基本假设的几何不变体系在一定外因作用下 内力和位移的物理关系是一一对应的；力满足平衡条 件；位移满足协调条件。
当以多余未知力为基本未知量作为突破口时采取 的方法就是力法；当以某些结点位移作为基本未知量 作为突破口时采取的方法就是位移法。 超静定结构计算的总原则：欲求超静定结构先取一 个基本体系，然后让基本体系在受力方面和变形方 面与原结构完全一样。
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第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
1. 典型方程法 注意：
① 位移法方程的物理意义：基本体系在荷载等外因和各 结点位移共同作用下产生的附加约束中的反力（矩）等于零。 实质上是原结构应满足的平衡条件。 ② 位移法典型方程中每一项都是基本体系附加约束中的 反力（矩）。其中：RiP表示基本体系在荷载作用下产生的 第 i 个附加约束中的反力（矩）,称为自由项。kijZj 表示基 本体系在Zj作用下产生的第 i 个附加约束中的反力（矩）；
【例题】确定所示结构的位移法基本结构。 【解】该结构为一阶形梁，若用位移法计算，应将变截面处取 为一个结点。铰结体系如图(b)所示，容易看出结点C能上下移 动，需加入一附加支杆(图(c))。 此外，还应在结点C处加入一附加刚臂。 位移法基本结构如图(d)所示。
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第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
解方程可得出结点位移，进而确定杆件内力。
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第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
施加约束锁住结点，将结构变为两根超静定杆， 求荷载作用的弯矩图。 F1 q q
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/12 ↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
F1P
q
ql2/12
A
C F1P
ql 2 F1P 12
ql2/12
A l
βA EI=常数
C
A
θA
C
B
F1=0
A A
A A F1 0 A A F1 0
B
4i A
F11
A
2i A
B l
θA
C
4i A
F11 8i A
F11
人为施加力偶，使结点产生角位移，求单杆弯矩图。 B
2i A
4i
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4i
第十一章 位移法 第一节 位移法基本概念
结构力学
第十一章 位移法
学习内容
位移法的基本概念。 单跨超静定梁的形常数、载常数和转角位移方程。 位移法基本未知量和位移法基本结构的确定。 用位移法计算刚架和排架。 利用对称性简化位移法计算。 直接用结点、截面平衡方程建立位移法方程。
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第十一章 位移法
学习目的和要求
目的：位移法是超静定结构计算的基本方法之一，许多 工程中使用的实用计算方法都是由位移法演变出来的，是本 课程的重点内容之一。 要求：熟练掌握位移法基本未知量和基本结构的确定、 位移法典型方程的建立及其物理意义、位移法方程中的系数 和自由项的物理意义及其计算、最终弯矩图的绘制。熟记一 些常用的形常数和载常数。掌握利用对称性简化计算。重点 掌握荷载作用下的计算，了解其它因素作用下的计算。 位移法方程有两种建立方法，写典型方程法和直接平衡方 程法。要求熟练掌握一种，另一种了解即可。
消除差别的办法是使附加约束上的总反力等于零。
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第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
1. 典型方程法
B
FP A
C
l 2 l 2
Z1
基本体系
EI=常数
l
FP
Z1 基本未知量
R1 0
基本方程
R1是基本体系在结点位移Z1和荷载共同作用下产生的附加约 束中的反力（矩），按叠加原理 R1等于各个因素分别作用 时产生的附加约束中的反力（矩）之和。于是得到位移法典 型方程： k Z R 0
欲消除其差别，需将刚臂 1即结点B转动一个应有的 即实际的角度Z。
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第十一章 位移法 第四节 建立位移法基本方程
1. 典型方程法
刚臂转到应有角度时，结构恢复了附加刚臂前的自然状态， 去掉刚臂，也会停留在原处，而不会再转动，即使不去掉刚 臂，刚臂也不会起作用，即此时刚臂的反力矩 R1=0 由原结构变为基本结构，再由基本结构恢复为原结构的 过程为：先加刚臂，固定结点后，加上荷载，此时刚臂产生 反力矩。然后，转动刚臂，放松结点。转动一点，刚臂的反 力矩就减少一点，转动到应有位置时，刚臂的反力矩就变为 零了。 结构受两种作用，由叠加原理可分解为结点位移和杆 中荷载两种情况。只有外力作用而无转角Z1的影响的杆和 只有杆端位移影响的杆。可用形常数和载常数求得。