2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
2019高三数学(北师大版理科)一轮训练题课时规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 Word版含
课时规范练二元一次不等式(组)与简单的线性规划
问题
基础巩固组
.(北京,理)若满足则的最大值为()
.(天津,理)设变量满足约束条件则目标函数的最大值为()
.
.
.(山东,理)已知满足约束条件则的最大值是()
.给出平面区域如图所示,其中()()(),若使目标函数(>)取得最大值的最优解有无穷多个,则的值是()
. .
.
.(江西新余一中模拟七,理)若实数满足条件则的最大值为()
.不等式组的解集记为,有下面四个命题:
:任意()∈≥,
:存在()∈≥,
:任意()∈≤,
:存在()∈≤,
其中的真命题是()
.(河北武邑中学一模,理)若变量满足不等式组且的最大值为,则实数的值为()
〚导学号〛
.(全国Ⅲ,理)若满足约束条件则的最小值为.
已知实数满足条件若目标函数的最小值为,则其最大值为.
.在平面直角坐标系中为不等式组所表示的平面区域上一动点,则的最小值是.
.(山东潍坊二模,理改编)某化肥厂用三种原料生产甲乙两种肥料,生产吨甲种肥料和生产吨乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:已知生产吨甲种肥料产生的利润万元,生产吨乙种肥料产生的利润为万元,现有种原料吨种原料吨种原料吨,在此基础上安排生产,则生产甲乙两种肥料的利润之和的最大值为万元.
原料
肥料
甲
乙。
2019届一轮复习北师大版二元一次不等式(组)及其简单的线性规划问题课件
解析：先将已知数据列成表，如表所示： 消耗 产品量 A 产品/百吨 B 产品/百吨 资金/百万元 场地/百平方米 2 3 2 1
然后根据此表设未知数，列出限制条件． 2x＋3y≤14， 2x＋y≤9， 于是，设生产 A 产品 x 百吨，生产 B 产品 y 百吨，则有 x≥0， y≥0. 2x＋3y≤14， 2x＋y≤9， 答案： x≥0， y≥0
「基础小题练一练」 1．图中阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是( )
A．x－y－1≥0 C．x－y－1≤0
B．x－y＋1≥0 D．x－y＋1≤0
解析：直线对应的方程为 x－y－1＝0， 即对应的区域，在直线的下方， 当 x＝0，y＝0 时，0－0－1<0， 即原点在不等式 x－y－1<0 对应的区域内， 则阴影(包括直线)表示的区域满足的不等式是 x－y－1≥0.
答案：A
x＋3y≤3， y 满足约束条件x－y≥1， (2017 年全国卷Ⅰ)设 x， 2． y≥0， ( ) A．0 C．2 B．1 D．3
则 z＝x＋y 的最大值为
解析：不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线 y＝－x，当直 线经过点 A(3,0)时，z＝x＋y 取得最大值，此时 zmax＝3＋0＝3，故选 D.
)
解析：由题意知不等式组所表示的平面区域为一个三角形区域，设为△ABC，则 1 A(1,0)，B(0,1)，C(1,1＋a)且 a>－1.∵S△ABC＝2，∴ (1＋a)×1＝2，解得 a＝3. 2
答案：D
0≤x≤2， 4．已知不等式组x＋y－2≥0， kx－y＋2≥0 ________．
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．二元一次不等式(组)的解集 满足二元一次不等式(组)的 x 和 y 的取值构成的有序数对(x，y) ， 叫做二元一次 不等式(组)的解，所有这样的 有序数对(x，y) ，构成的集合称为二元一次不等式 (组)的解集．
2019探究理数(北师大版)练习：第六章 第二节 基本不等式含解析
课时作业A 组——基础对点练1．若对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，则a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a>15C ．a<15D ．a ≤15解析：因为对任意x>0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ， 而对x ∈(0，＋∞)，xx 2＋3x ＋1＝1x ＋1x＋3≤12x ·1x＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a<b ，则下列不等式中正确的是( )A ．a<b<ab<a ＋b 2B ．a<ab<a ＋b 2<bC ．a<ab<b<a ＋b 2D.ab<a<a ＋b 2<b解析：因为0<a<b ，所以a －ab ＝a(a －b)<0，故a<ab ；b －a ＋b2＝b －a 2>0，故b>a ＋b 2；由基本不等式知a ＋b2>ab ，综上所述，a<ab<a ＋b2<b ，故选B. 答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y)·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3y x ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是( )A ．a ＋b ≥2abB.1a ＋1b >1abC.b a ＋ab≥2D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab>0，所以ba >0，ab >0，所以ba ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 答案：C5．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋14>lg x(x>0)B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x|(x ∈R)D.1x 2＋1>1(x ∈R)解析：对选项A ，当x>0时，x 2＋14－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x －122≥0，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x<0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x|2＋1≥2|x|，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立．答案：C6．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2 B ．2 C ．22D ．4解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a>0，b>0，∴abab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥22.法二：由题设易知a>0，b>0，∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C.答案：C。
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第六节对数与对数函数含解析
2019版同步优化探究理数北师大版练习：第二章第六节对数与对数函数含解析1 / 11 / 1课时作业A 组 —— 基础对点练1的定义域是 ( )1．函数y ＝log 2 x － 2A ．(－∞， 2)B ．(2，＋∞ )C ． (2,3)∪(3，＋∞ )D ．(2,4)∪(4，＋∞ )x －2＞ 0，分析：要使函数存心义应知足log 2 x －2 ≠ 0，x ＞2，解得 x ＞2 且 x ≠ 3.应选 C.即x －2≠1，答案： C．设 0.5，y ＝ log 3 ， ＝ ，则2 x ＝3 2 z cos 2() A ． z ＜x ＜y B ．y ＜z ＜ x C ． z ＜y ＜xD ．x ＜z ＜y分析：由指数函数 y ＝3x 的图像和性质可知 30.5＞1，由对数函数 y ＝ log 3x 的单一性可知 log 32＜ log 33＝ 1，又 cos 2＜0，因此 30.5＞1＞log 32＞0＞cos 2，应选 C.答案： C3．(2016 ·高考全国卷Ⅱ )以下函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x 的定 义域和值域同样的是 ( )A ． y ＝xB ．y ＝lg xC ． y ＝2xD ．y ＝1x分析：函数 y ＝10lg x 的定义域为(0 ，＋ ∞ ，又当 x>0 时， ＝ lg x ＝ ，故函数)y 10 x 的值域为 (0，＋ ∞ )．只有 D 选项切合．答案： D．函数y3x ，x ∈ －∞， 1 ，的值域为 ()＝4 log 2x ， x ∈ [1 ，＋∞A ． (0,3)B ．[0,3]。
【精编】2019版理数(北师大版)练习：第六章第一节不等式的性质、一元二次不等式含解析
课时作业A组——基础对点练1．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是( )A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，故选C.答案： C2．函数f(x)＝1－xx＋2的定义域为( )A．[－2,1] B．(－2,1]C．[－2,1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f(x)＝1－xx＋2有意义，则⎩⎨⎧1－x x＋2≥0，x＋2≠0，解得－2<x≤1，即函数的定义域为(－2,1]．答案：B3．已知集合A＝{x∈N|x2－x－6＜0}，则集合A的子集的个数为( )A．3 B．4C．7 D．8解析：不等式x2－x－6＜0的解集为{x|－2＜x＜3}，又x∈N，所以A＝{0,1,2}，故集合A的子集的个数为23＝8，故选D.答案：D4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝( ) A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.答案：A5．若a>b>0，则下列不等式不成立的是( )A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .故C 项不成立． 答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D7．不等式(1＋x )(1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .答案：B9．不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)C.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎨⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A.答案：A11．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为 ．解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a，－13×12＝c a，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)． 答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是 ．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a 14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)． 答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >b c⇒a >bC.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎨⎧ab >0，a <b或⎩⎨⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0， 且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0， 而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎝ ⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32. 答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎨⎧m >1，a >1，或⎩⎨⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎨⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m －1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0<b <a <1，则下列结论不一定成立的是( ) A.1a <1bB.a >b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<b <a <1时，1a <1b恒成立；对于B ，函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<b <a <1时，a >b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．|a |>|b | B.1a －b >1aC.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a成立，由a <b <0得a －b <0，∴a (a －b )>0， 由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B. 答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝，c ＝f (21.6)，则a ， b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，∴b ＝＝f (－log 23)＝f (log 23)．∵log 23＝log 49>log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在 (－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数， 则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5] 解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝5－12＋t －42＝20，由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝5－12＋t －42≤20⇒2≤t ≤6，故选C. 答案：C9．函数f (x )＝⎩⎨⎧|3x －4|x ≤2，2x －1x >2，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎨⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎨⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D. 答案：D10．若不等式组⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －a ＋1≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －1＋a ≤0的解集不为空集的a的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0， 得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π， 即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围．解析：不等式x2＋mx＋1≥0的解集为R，相当于二次函数y＝x2＋mx＋1的最小值非负，即方程x2＋mx＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m2－4≤0，解得－2≤m≤2.。
2019届高三文科数学同步优化探究(北师大版)课件：6-3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
易错通关
1．画平面区域时避免失误的重要方法就是首先使二元一次 不等式化为 ax＋by＋c＞0(a＞0)． 2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内 使目标函数取得最值的点不一定只有一个， 也可能有无数多 个，也可能没有．
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x＋2y＝1， 最小，由 2x＋y＝－1，
x＝－1， 解得 y＝1.
课时作业
∴zmin＝－5.
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5． (2018· 郑州模拟)某校今年计划招聘女教师 a 名， 男教师 b 2a－b≥5， 名，若 a，b 满足不等式组a－b≤2， a＜7， 划招聘教师最多 x 名，则 x＝________.
边界直线 包括__________
公共部分 各个不等式所表示平面区域的___________
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教材通关
2.线性规划中的基本概念 名称 约束条件 线性约束条件 意义 由变量 x，y 组成的___________ 不等式(组) 由 x，y 的 一次 不等式(或方程)组成 的不等式(组) 关于 x，y 的函数 解析式 ，如 z＝ 2x＋3y 等 关于 x，y 的 一次 解析式
2x＋3y－3≤0， 2x－3y＋3≥0， y＋3≥0
对应的可行域， 如图
中阴影部分所示．易求得可行域的顶点 A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，当直 线 z＝2x＋y 过点 B(－6，－3)时，z 取得最小值，zmin＝2×(－6) －3＝－15，选择 A. 法二：易求可行域顶点 A(0,1)，B(－6，－3)，C(6，－3)，分别 代入目标函数，求出对应的 z 的值依次为 1，－15,9，故最小值 为－15.
“二元一次不等式确定平面区域”方法的优化探究
２０２３年１１月上半月㊀学习指导㊀㊀㊀㊀二元一次不等式确定平面区域 方法的优化探究◉江苏省苏州市田家炳实验高级中学㊀邓志敏◉江苏省苏州市桃坞高级中学㊀缪诣欣㊀㊀摘要:在高中数学教学中,教师如果能引领学生通过研究㊁讨论㊁总结,形成一些简捷㊁实用的方法或 二级结论 ,将会对学生解决数学实际问题提供有力的帮助．本文中尝试在 简单的线性规划问题 中,传授给学生一种快速确定二元一次不等式所确定的平面区域的办法,力求贴近学生实际,便于有效理解㊁记忆和运用．关键词:线性规划问题;二元一次不等式确定的平面区域; 左右侧判定法１对教材意义的认识简单的线性规划问题 是数学实际应用的典范,是培养学生 数学建模 思想和能力的重要理想素材．对于高中学子而言,简单的二元变量线性规划问题贴近生活实际,让他们觉得数学 并不遥远 ．而且,高中阶段 线性规划 问题一般涉及在一定条件下合理配置资源,为使某种目的达到最佳,统筹人力㊁物力等作出最优决策而提供数学解决依据．因此,该学习内容能够激发学生学习数学的兴趣,提高运用所学知识解决实际问题的积极性,并在问题解决中获得 成功体验 ．该内容能进一步加深学生对 函数 的理解,多角度锻炼学生 数形结合 能力,培养学生 应用数学 意识,是增强学生分析㊁解决问题能力的良好载体[１]．２问题的提出㊁解决及结论的推广２．１问题的提出关于二元一次不等式(组)所表示的平面区域的确定,以A x＋B y＋C＞０或A x＋B y＋C＜０,A２＋B２ʂ０为例,一般有以下三种方法:(１)取点判别法:直线定边界,一点定区域, 合则在,不合则不在 ．(２)B符号判别法:直线定边界,符号定区域, 同上异下 ．(３)A符号判别法:直线定边界,符号定区域, 同右异左 ．其中后两种判别法具体叙述如下:已知二元一次函数f(x,y)＝A x＋B y＋C(A２＋B２ʂ０)．①B符号判别法:若Bʂ０,则有点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０上方⇔B与f(x１,y１)同号;点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０下方⇔B与f(x１,y１)异号．②A符号判别法:若Aʂ０,则有点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０右侧⇔A与f(x１,y１)同号;点P１(x１,y１)在直线A x＋B y＋C＝０左侧⇔A与f(x１,y１)异号．良好的教学载体往往蕴含着丰富的数学思想和深刻的教育内涵．笔者对这部分内容作了一些研究,在研究和教学实践过程中一直思索如下三个问题:一是哪种方法更贴近学生实际二是怎样揭示数学本质的思维,培养学生能力?三是怎样让学生快速㊁有效记忆数学知识和结论,以达到切实理解和准确运用?２．２问题的解决方法:左右侧判定法．背景:在平面直角坐标系中,一旦直线A x＋B y＋C＝０(A２＋B２ʂ０)的位置确定,则直线把平面区域分为 左上㊁右下 和 左下㊁右上 两大类情况,如图１㊁图２．图１㊀㊀㊀图２结论１㊀对于二元一次不等式A x＋B y＋C＞０或A x＋B y＋C＜０(A２＋B２ʂ０),若A＞０,则有:７４学习指导２０２３年１１月上半月㊀㊀㊀不等式A x ＋B y ＋C ＜０表示的区域,在直线A x ＋B y ＋C ＝０的左侧 (含左上㊁左下);不等式A x ＋B y ＋C ＞０表示的区域,在直线A x ＋B y ＋C ＝０的右侧 (含右上㊁右下)．背诵口诀:(在A ＞０的前提下)不等号小于零,区域在直线左侧;不等号大于零,区域在直线右侧．简称左小右大!证明及思维引导(以斜率为正的情况为例):设f (x ,y )＝A x ＋B y ＋C (A ２＋B ２ʂ０)．(１)在直线左侧任取一点P １(x １,y １),则它离直线 有一小段距离 ,想一想怎样才能 刻画或计算 这个距离?图３(２)引导学生作直线y ＝y １交直线l 于点P ０,设P ０的坐标为(x ０,y １),如图３,则 距离 可以考虑用与 x １－x ０ 相关的式子来表示．(３)进一步思考,怎样计算能够出现 x １－x ０?(４)由P ０(x ０,y １)在直线l 上,则f (x ０,y １)＝０．考虑f (x １,y １)＝f (x １,y １)－f (x ０,y １)＝(A x １＋B y １＋C ) (A x ０＋B y １＋C )＝A (x １－x ０)．因为P １(x １,y １)在直线l 左侧,所以x １－x ０＜０,而A ＞０,则f (x １,y １)－f (x ０,y １)＜０,故f (x １,y １)＜０,即直线左侧区域的点(x ,y )必满足A x ＋B y ＋C ＜０．因此A ＞０时,不等式A x ＋B y ＋C ＜０表示的区域在直线A x ＋B y ＋C ＝０的左侧 ．同理,若在直线右侧取点,则x １－x ０＞０,由A ＞０,得f (x １,y １)－f (x ０,y １)＞０,故f (x １,y １)＞０,即直线右侧区域的点(x ,y )必满足A x ＋B y ＋C ＞０．因此当A ＞０时,不等式A x ＋B y ＋C ＞０表示的区域在直线A x ＋B y ＋C ＝０的右侧 ．２．３结论的推广根据结论１不难得出直线l 同侧的两个点对应的二元函数的值符号相同,异侧的两个点对应的二元函数值符号相反,于是有如下结论:结论２㊀已知二元一次函数f (x ,y )＝A x ＋B y ＋C (A ２＋B ２ʂ０),则有:①点P １(x １,y １),P ２(x ２,y ２)在直线A x ＋B y ＋C ＝０同侧⇔f (x １,y １) f (x ２,y ２)＞０;②点P １(x １,y １),P ２(x ２,y ２)在直线A x ＋B y ＋C ＝０异侧⇔f (x １,y １) f (x ２,y ２)＜０．证明略,可以留作学生思考．相信在结论１的基础上,结论２很容易被学生接受．３方法对比和体会取点判别法 ,即取特殊点,计算函数值,判断点与直线的位置关系再确定平面区域．而 A ,B 符号判别法 需由A (或B )的符号与不等式的符号的异同来确定平面区域,其口诀 同上异下 同右异左 的理解具有一定的难度．相比之下,笔者认为 左右侧判定法 是对 A 符号判定法 的深化和进一步简便,优势在于:(１)从根本上避免了 取点判别法 和 A ,B 符号判别法 中代入求f (x １,y １)的计算过程;(２)先将不等式(或直线)的系数A 化为 正 ,符合直线的 一般式方程 系数A 为正的要求,以及学生的一般思维习惯;(３)对于给定的二元一次不等式(组),要快速判定相关区域得到线性规划问题的 可行域 只需两步:①在坐标系中快速画出直线A x ＋B y ＋C ＝０(A ２＋B ２ʂ０)．②依据结论１的口诀 左小右大 ,快速确定相关区域．４运用举例例㊀已知实数x ,y 满足x －３y ＋６＜０,x －y ＋２ȡ０,{求２x ＋y 的取值范围．图４解:在坐标系中分别作出两条直线(如图４),则x －３y ＋６＜０表示的平面区域在直线x －３y ＋６＝０(虚线)左上侧,x －y ＋２ȡ０表示的区域在直线x －y ＋２＝０(实线)的右下侧,故可行域应是图中的阴影区域,且两直线的交点坐标为(０,２)．设z ＝２x ＋y ,得y ＝－２x ＋z ,当斜率为－２的直线经过点(０,２)时,纵截距z 最小,且z m i n ＝２ˑ０＋２＝２．故２x ＋y 的取值范围是(２,＋ɕ)．参考文献:[１]刘洪见．对二元一次不等式确定平面区域的探究[J ]．语数外学习(高考数学),２０１１(５):５９Ｇ６０．Z８４。
高中同步优化探究理数(北师大版)练习：第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·武汉市模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－4解析：不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x－2y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (1,0)时，z 取得最大值，此时z max ＝1，故选B.答案：B2．已知实数x ，y 满足不等式|x |＋|2y |≤4，记Z ＝x ＋y ，则Z 的最小值为( ) A ．－2 B ．－6 C ．－4D ．－8解析：|x |＋|2y |≤4表示的平面区域为如图所示的四边形ABCD 内部及其边界，由图可知当直线y ＝－x ＋Z 经过点C (－4,0)时，Z 取得最小值，所以Z min ＝0＋(－4)＝－4.答案：C3．(2018·长沙市模拟)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝8x ·2y 的最大值是( ) A ．33 B ．32 C ．35D ．34解析：z ＝8x ·2y ＝23x ＋y ，求z 的最大值就是求3x ＋y 的最大值，设t ＝3x ＋y ，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点B (1,2)时，t 取得最大值，t max ＝3＋2＝5，则z max ＝25＝32. 答案：B4．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：画出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域，如图阴影部分，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1,3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C. 答案：C5．(2018·兰州实战模拟)已知M (－4,0)，N (0，－3)，P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则△PMN 面积的取值范围是( )A ．[12,24]B ．[12,25]C ．[6,12]D ．[6，252]解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M (－4,0)，N (0，－3)的直线的方程为3x ＋4y ＋12＝0，而它与直线3x ＋4y ＝12平行，其距离d ＝|12＋12|32＋42＝245，所以当P 点在原点O 处时，△PMN 的面积最小，其面积为△OMN 的面积，此时S △OMN ＝12×3×4＝6；当P 点在线段AB 上时，△PMN 的面积最大，为12×32＋42×245＝12，故选C.答案：C6．(2018·太原市模拟)已知D ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0，给出下列四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x ＋y ＋1≥0；p 2：任意(x ，y )∈D,2x －y ＋2≤0；p 3：存在(x ，y )∈D ，y ＋1x －1≤－4；p 4：存在(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≤2.其中真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：因为D ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0}表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以z 1＝x ＋y 的最小值为－2，z 2＝2x －y 的最大值为－2，z 3＝y ＋1x －1的最小值为－3，z 4＝x 2＋y 2的最小值为2，所以命题p 1为假命题，命题p 2为真命题，命题p 3为假命题，命题p 4为真命题，故选C.答案：C7．若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12 C.22D.22－1解析：作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域，如图．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.选B. 答案：B8．(2018·洛阳市统考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为( )A ．{2，－1}B ．{a ∈R|a ≠2}C ．{a ∈R|a ≠－1}D ．{a ∈R|a ≠2且a ≠－1}解析：不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝－ax ＋y 得y ＝ax ＋z ，若a ＝0，直线y ＝ax ＋z ＝z ，此时最大的最优解只有一个，满足条件．若a >0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠2.若a <0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠－1.选D.答案：D9．(2018·沈阳质量监测)实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤2x ＋2x ＋y －2≥0，x ≤2则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2,6)处m 取最大值4，在C (2,0)处取最小值－2，所以m ∈[－2,4]，所以z 的最大值是4，故选B. 答案：B10．(2018·武昌区调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3D ．5或－3解析：根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为(a －12，a ＋12)，则a －12＋a (a ＋12)＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 答案：B11．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5解析：作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小． 由⎩⎨⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案：D12．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为 ．解析：约束条件对应的平面区域是以点(1，12)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点(1，12)时，z 取得最大值32. 答案：3213．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y的最小值为 ．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5. 答案：－514．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于 ．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－115．对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0表示的平面区域有公共点，则实数a 的最大值是 ．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0的可行域如图中阴影部分所示．而直线l ：y ＝kx －k －1过定点P (1，－1)，对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与可行域有公共点，当k ＝5时，直线l ：y ＝5x －6经过可行域的点A ，联立，得⎩⎨⎧ y ＝5x －6，x ＋y ＝6，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2,4)，点A 是直线x ＝a 上的点，可得a 的最大值是2. 答案：2B 组——能力提升练1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x 、y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( ) A ．－1 B ．－52＋17C.13D ．－75解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r＝2，z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.答案：D2．已知区域D ：⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0的面积为S ，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k 的值为( ) A.13 B.12 C ．2D ．3解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则直线y ＝kx ＋1过BC 中点E .由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即B (2,3)．又C (1,0)，∴BC 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则32＝32k ＋1，解得k ＝13，故选A.答案：A3．(2018·合肥市质检)设x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a 的值为( ) A ．－72 B ．0C ．1D ．－72或1解析：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a >－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1代入2x ＋y ＝72得a ＝1，故选C.答案：C4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，若x 2＋2y 2≥m 恒成立，则实数m的最大值为( )A ．5 B.43 C. 2D.83解析：设t ＝2y ，则y ＝22t ，因为实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，且x 2＋2y 2≥m 恒成立，所以实数x ，t满足条件⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0，且x 2＋t 2≥m 恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 向AB 作垂线，垂足为D ，则x 2＋t 2的最小值为|OD |2＝83，所以m ≤83，所以m 的最大值为83，故选D. 答案：D5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( ) A ．5 B ．29 C ．37D ．49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分，因为圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C. 答案：C6．设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋2y －2≥0，2x ＋y －7≤0z ＝a 2x ＋y (0<a <2)的最大值为5，则a ＝( ) A ．1 B.12 C.22 D.32解析：如图，画出可行域，∵z ＝a 2x ＋y ，∴y ＝－a 2x ＋z ，求z 的最大值，即求直线y ＝－a 2x ＋z 在y 轴上的最大截距，显然当直线y ＝－a 2x ＋z 过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由⎩⎨⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0，解得A (2,3)，则2a 2＋3＝5，可得a ＝1.故选A. 答案：A7．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ≥0时，如图(1)所示，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4，即k ＝－12.故选D.答案：D8．已知P (x ，y )为区域⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2D ．2 2解析：由⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )， 由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2. ∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A. 答案：A9．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，则z ＝3x ＋5y 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－8,3]C ．(－∞，9]D ．[－8,9]解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋15z ，15z表示直线y ＝－35x ＋15z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越大．由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A 时z 最小；当z ＝3x ＋5y 经过点B 时z 最大，由⎩⎨⎧ x －4y ＝3，y ＝0可得B (3,0)，此时z max ＝9，由⎩⎨⎧x －4y ＝3，x －2y ＝1可得A (－1，－1)，此时z min ＝－8，所以z ＝3x ＋5y 的取值范围是[－8,9]． 答案：D10．(2018·贵阳监测)已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[1,3]D ．[1,4]解析：作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D. 答案：D11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2x ＋y ≤4－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．26解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，由目标函数有最小值，得c >0，作出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎨⎧ 6x ＋2y ＝10x ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1，将其代入直线－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎨⎧ －2x ＋y ＋5＝0x ＋y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入直线z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20，故选A. 答案：A12．(2018·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y－mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A ．－209 B ．1 C ．2D ．5解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时， z 取最大值，由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案：B13．已知a >0，实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝ .解析：根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线x ＝1，x ＋y ＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线2x ＋y ＝1，从图中可以发现，直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点为(1，－1)，从而有点(1，－1)在直线y ＝a (x －3)上，代入可得a ＝12. 答案：1214．(2018·石家庄模拟)动点P (a ，b )在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0内运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是 ． 解析：画出可行域如图，ω＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1， 设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)15．(2018·云南五市联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1，则z ＝y ＋1x ＋1的最大值是 ． 解析：不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是表示平面区域中的动点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)所在直线的斜率．由图知，当点P 运动到点A 时，z 取得最大值．因为A (0,1)，所以z max ＝1＋10＋1＝2. 答案：216．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2，若x 2＋y 2的最大值为m ，最小值为n ，则mx ＋ny 的最小值为 ．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2表示的平面区域，如图中阴影部分所示，即△ABC 及其内部，其中A (1,2)，B (2,1)，C (2,3)．令u ＝x 2＋y 2，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方．显然在点C 处x 2＋y 2取得最大值m ，则m ＝22＋32＝13.而原点到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|－3|12＋12＝32，且|OA |＝|OB |＝5，∴x 2＋y 2的最小值n ＝(32)2＝92.故mx ＋ny ＝13x ＋92y ，令z ＝13x ＋92y ，可得y ＝－269x ＋29z ，故当直线y ＝－269x ＋29z 经过点A (1,2)时，z 取得最小值，最小值为z ＝13×1＋92×2＝22. 答案：22。
2019(北师大版)探究文数练习：第六章 第三节 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 【含答案】
课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·武汉市模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－4解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x －2y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (1,0)时，z 取得最大值，此时z max ＝1，故选B.答案：B2．已知实数x ，y 满足不等式|x |＋|2y |≤4，记Z ＝x ＋y ，则Z 的最小值为( ) A ．－2 B ．－6 C ．－4D ．－8解析：|x |＋|2y |≤4表示的平面区域为如图所示的四边形ABCD 内部及其边界，由图可知当直线y ＝－x ＋Z 经过点C (－4,0)时，Z 取得最小值，所以Z min ＝0＋(－4)＝－4.答案：C3．(2018·长沙市模拟)已知变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝8x ·2y 的最大值是( )A ．33B ．32C ．35D ．34解析：z ＝8x ·2y ＝23x ＋y ，求z 的最大值就是求3x ＋y 的最大值，设t ＝3x ＋y ，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点B (1,2)时，t 取得最大值，t max ＝3＋2＝5，则z max ＝25＝32. 答案：B4．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：画出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域，如图阴影部分，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1,3)，∴x ∈[1,2]，y∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C. 答案：C5．(2018·兰州实战模拟)已知M (－4,0)，N (0，－3)，P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则△PMN 面积的取值范围是( ) A ．[12,24] B ．[12,25] C ．[6,12]D ．[6，252]解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M (－4,0)，N (0，－3)的直线的方程为3x ＋4y ＋12＝0，而它与直线3x ＋4y ＝12平行，其距离d ＝|12＋12|32＋42＝245，所以当P 点在原点O 处时，△PMN 的面积最小， 其面积为△OMN 的面积，此时S △OMN ＝12×3×4＝6；当P 点在线段AB 上时，△PMN 的面积最大，为12×32＋42×245＝12，故选C.答案：C6．(2018·太原市模拟)已知D ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0，给出下列四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x ＋y ＋1≥0；p 2：任意(x ，y )∈D,2x －y ＋2≤0；p 3：存在(x ，y )∈D ，y ＋1x －1≤－4；p 4：存在(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≤2.其中真命题的是( ) A ．p 1，p 2 B ．p 2，p 3 C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：因为D ＝{(x ，y )|⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0}表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以z 1＝x ＋y 的最小值为－2，z 2＝2x －y 的最大值为－2，z 3＝y ＋1x －1的最小值为－3，z 4＝x 2＋y 2的最小值为2，所以命题p 1为假命题，命题p 2为真命题，命题p 3为假命题，命题p 4为真命题，故选C.答案：C7．若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12C.22D.22－1解析：作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域，如图．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为⎝⎛⎭⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.选B.答案：B8．(2018·洛阳市统考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为( ) A ．{2，－1} B ．{a ∈R|a ≠2}C ．{a ∈R|a ≠－1}D ．{a ∈R|a ≠2且a ≠－1}解析：不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝－ax ＋y 得y ＝ax ＋z ，若a ＝0，直线y ＝ax ＋z ＝z ，此时最大的最优解只有一个，满足条件．若a >0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠2.若a <0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠－1.选D.答案：D9．(2018·沈阳质量监测)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≤2x ＋2x ＋y －2≥0，x ≤2则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2,6)处m 取最大值4，在C (2,0)处取最小值－2，所以m ∈[－2,4]，所以z 的最大值是4，故选B. 答案：B10．(2018·武昌区调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥a x －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( )A ．－5B ．3C ．－5或3D ．5或－3解析：根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为(a －12，a ＋12)，则a －12＋a (a ＋12)＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 答案：B11．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5解析：作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小．由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)， 此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案：D12．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为________．解析：约束条件对应的平面区域是以点(1，12)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点(1，12)时，z 取得最大值32.答案：3213．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y 的最小值为________．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5. 答案：－514．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于__________．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时， z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－115．对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0表示的平面区域有公共点，则实数a 的最大值是________．解：作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0的可行域如图中阴影部分所示．而直线l ：y ＝kx －k －1过定点P (1，－1)，对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与可行域有公共点，当k ＝5时，直线l ：y ＝5x －6经过可行域的点A ，联立，得⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝5x －6，x ＋y ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2,4)，点A 是直线x ＝a上的点，可得a 的最大值是2. 答案：2B 组——能力提升练1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x 、y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( )A ．－1B ．－52＋17C.13D ．－75解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r ＝2，z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.答案：D2．已知区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0的面积为S ，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k 的值为( ) A.13 B.12 C ．2D ．3解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则直线y ＝kx ＋1过BC 中点E .由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即B (2,3)．又C (1,0)，∴BC 的中点为E ⎝⎛⎭⎫32，32，则32＝32k ＋1，解得k ＝13，故选A. 答案：A3．(2018·合肥市质检)设x ， y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a 的值为( )A ．－72B ．0C ．1D ．－72或1解析：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a >－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1代入2x＋y ＝72得a ＝1，故选C.答案：C4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，若x 2＋2y 2≥m 恒成立，则实数m 的最大值为( )A ．5B.43C. 2D.83解析：设t ＝2y ，则y ＝22t ，因为实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，且x 2＋2y 2≥m 恒成立，所以实数x ，t 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0，且x 2＋t 2≥m 恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 向AB 作垂线，垂足为D ，则x 2＋t 2的最小值为|OD |2＝83，所以m ≤83，所以m 的最大值为83，故选D. 答案：D5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( ) A ．5 B ．29 C ．37 D．49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分，因为圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C. 答案：C6．设变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0x ＋2y －2≥0，2x ＋y －7≤0z ＝a 2x ＋y (0<a <2)的最大值为5，则a ＝( )A ．1 B.12 C.22D.32解析：如图，画出可行域，∵z ＝a 2x ＋y ，∴y ＝－a 2x ＋z ，求z 的最大值，即求直线y ＝－a 2x ＋z 在y 轴上的最大截距，显然当直线y ＝－a 2x ＋z 过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0，解得A (2,3)，则2a 2＋3＝5，可得a＝1.故选A.答案：A7．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ≥0时，如图(1)所示，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝⎛⎭⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝⎛⎭⎫－2k ＝－4，即k ＝－12.故选D.答案：D8．已知P (x ，y )为区域⎩⎪⎨⎪⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 内的任意一点，当该区域的面积为4时，z ＝2x －y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．2 2解析：由⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )， 由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2.∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A. 答案：A9．若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，则z ＝3x ＋5y 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－8,3]C ．(－∞，9]D ．[－8,9]解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋15z ，15z 表示直线y ＝－35x ＋15z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越大．由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A 时z 最小；当z ＝3x ＋5y 经过点B 时z 最大，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，y ＝0可得B (3,0)，此时z max ＝9，由⎩⎪⎨⎪⎧x －4y ＝3，x －2y ＝1可得A (－1，－1)，此时z min ＝－8，所以z ＝3x ＋5y 的取值范围是[－8,9]．答案：D10．(2018·贵阳监测)已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM→的取值范围是( ) A ．[－1,0] B ．[0,1] C ．[1,3] D ．[1,4]解析：作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D. 答案：D11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2x ＋y ≤4－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( )A ．20B ．22C ．24D ．26解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，由目标函数有最小值，得c >0，作出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎪⎨⎪⎧ 6x ＋2y ＝10x ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2y ＝－1，将其代入直线－2x ＋y ＋c ＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋y ＋5＝0x ＋y ＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入直线z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20，故选A.答案：A12．(2018·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y －mx (m >0)的最大值为1，则m的值是( ) A ．－209B ．1C ．2D ．5解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时， z 取最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案：B13．已知a >0，实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________.解析：根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线x ＝1，x ＋y ＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线2x ＋y ＝1，从图中可以发现，直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点为(1，－1)，从而有点(1，－1)在直线y ＝a (x －3)上，代入可得a ＝12.答案：1214．(2018·石家庄模拟)动点P (a ，b )在区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0内运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是________．解析：画出可行域如图，ω＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1，设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)15．(2018·云南五市联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1，则z ＝y ＋1x ＋1的最大值是________．解析：不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是表示平面区域中的动点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)所在直线的斜率．由图知，当点P 运动到点A 时，z 取得最大值．因为A (0,1)，所以z max ＝1＋10＋1＝2.答案：216．已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2，若x 2＋y 2的最大值为m ，最小值为n ，则mx ＋ny 的最小值为________．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2表示的平面区域，如图中阴影部分所示，即△ABC 及其内部，其中A (1,2)，B (2,1)，C (2,3)．令u ＝x 2＋y 2，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方．显然在点C 处x 2＋y 2取得最大值m ，则m ＝22＋32＝13.而原点到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|－3|12＋12＝32，且|OA |＝|OB |＝5，∴x 2＋y 2的最小值n ＝(32)2＝92.故mx ＋ny ＝13x ＋92y ，令z ＝13x ＋92y ，可得y ＝－269x ＋29z ，故当直线y ＝－269x ＋29z 经过点A (1,2)时，z 取得最小值，最小值为z ＝13×1＋92×2＝22.答案：22。
2019版同步优化探究理数(北师大版)练习：第六章 第一节 不等式的性质、一元二次不等式 Word版含解析
课时作业A组——基础对点练1．已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是()A．xy>yz B．xz>yzC．xy>xz D．x|y|>z|y|解析：因为x>y>z，x＋y＋z＝0，所以3x>x＋y＋z＝0，所以x>0，又y>z，所以xy>xz，故选C.答案：C2．函数f(x)＝1－xx＋2的定义域为()A．[－2,1] B．(－2,1]C．[－2,1) D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f(x)＝1－xx＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x)(x＋2)≥0，x＋2≠0，解得－2<x≤1，即函数的定义域为(－2,1]．答案：B3．已知集合A＝{x∈N|x2－x－6＜0}，则集合A的子集的个数为()A．3 B．4C．7 D．8解析：不等式x2－x－6＜0的解集为{x|－2＜x＜3}，又x∈N，所以A＝{0,1,2}，故集合A的子集的个数为23＝8，故选D.答案：D4．已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，则A∩B＝() A．[－2，－1] B．[－1,2)C．[－1,1] D．[1,2)解析：A＝{x|x≤－1或x≥3}，故A∩B＝[－2，－1]，选A.答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b 解析：∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |， a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12a <⎝ ⎛⎭⎪⎫12b .故C 项不成立． 答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D7．不等式(1＋x )(1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( ) A ．m ≥n B ．m >n C ．m <nD ．m ≤n 解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得mn ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a －1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .答案：B9．不等式组⎩⎨⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32∪(2,3)．答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x <x 2成立的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1)D ．(1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A.答案：A11．若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x－a >0的解集为 ． 解析：依题意知，⎩⎪⎨⎪⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x－a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2，3)． 答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a >0的解集是 ．解析：原不等式为(x －a )⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a .答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪a <x <1a14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是 ．解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)． 答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集．解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为(－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >bC.⎭⎪⎬⎪⎫a >bab <0⇒1a >1b D.⎭⎪⎬⎪⎫a >bab >0⇒1a >1b 解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎨⎧ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0， 且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0， 而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫ab cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12 B ．－32 C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32. 答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎨⎧m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m －1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0<b <a <1，则下列结论不一定成立的是( ) A.1a <1b B.a >b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<b <a <1时，1a <1b 恒成立；对于B ，函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<b <a <1时，a >b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．|a |>|b | B.1a －b >1aC.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a <b <0得a －b <0，∴a (a －b )>0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a ·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B. 答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a＝f (log 47)，b ＝，c ＝f (21.6)，则a ， b ，c 的大小关系是( )A ．c <a <bB ．c <b <aC ．b <c <aD ．a <b <c解析：∵f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数， ∴b ＝＝f (－log 23)＝f (log 23)．∵log 23＝log 49>log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在 (－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数， 则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5]解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2＝20，由题意，圆C上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2≤20⇒2≤t ≤6，故选C.答案：C9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|(x ≤2)，2x －1(x >2)，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，53B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3 C ．(－∞，1)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫53，＋∞D ．(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤53，3，故选D.答案：D10．若不等式组⎩⎨⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集， 因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0，即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0， 得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12， ∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围． 解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章 第二节 基本不等式
课时作业 A 组——基础对点练1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，即a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a 2>0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b 2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3yx ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >1ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 答案：C5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 答案：C6．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 法二：由题设易知a >0，b >0， ∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C. 答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4 b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，故选D. 答案：D8．(2018·银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ． [－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x ＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2>2ab C.a b ＋ba≥2 D ．|a b ＋b a|≥2解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立； 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立； 对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋ab ≥2不成立；对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab|≥2|b a |·|ab|＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋ab |≥2恒成立． 答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b 2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >pD ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b2)，即q >p ，∴r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B12．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.解析：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36. 答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，则1x ＋4y 的最小值为________．解析：2x －3＝(12)y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x ＋4y )(x＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥13(5＋2y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2x 时取等号)． 答案：315．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 解析：设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元． 答案：160B 组——能力提升练1．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16解析：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×2 2x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.答案：C2．若a ，b ，c ∈ (0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.5－1 B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a 2＋4ab＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D. 答案：D3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．21解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12. 答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315 B ．2 C.94D ．3解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2 4(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23， y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 答案：C5.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．答案：B6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos(B －π3)＝b ＋c ，△ABC的外接圆半径为3，则△ABC 周长的取值范围为( ) A ．(3,9] B ．(6,8] C ．(6,9]D ．(3,8]解析：由2a cos(B －π3)＝b ＋c ，得a cos B ＋3a sin B ＝b ＋c ，由正弦定理得3sin A sin B ＋sinA cosB ＝sin B ＋sin(A ＋B )，即3sin A sin B ＝sin B ＋cos A sin B ，又sin B ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin(A －π6)＝12，由0<A <π得－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.又△ABC 的外接圆半径为3，∴23＝asin A⇒a ＝23sin A ＝3. b ＋c ＝23sin B ＋23sin C ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(32sin B ＋32cos B )＝6(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，由0<B <2π3得，π6<B ＋π6<5π6，故3<6sin(B ＋π6)≤6，∴6<a ＋b ＋c ≤9.答案：C7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，x＋y ≤－2，故选D. 答案：D8．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋y4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：B9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：B10．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1 ＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 答案：A11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.334B.34C.332D.32解析：根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b 可得a －b ＝c (a －c )a ＋b ，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b ＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.答案：A12．(2018·宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元． 答案：2 2013．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：114．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a ，b ，c ，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这里p ＝12(a ＋b ＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________. 解析：已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，所以三角形的三边长为a ＝6，c ＝2b ，p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(3b 2＋3－b )(3＋3b2－2b )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(b 2＋3)(3－b 2)＝ (9b 24－9)(9－b 24) ＝34(b 2－4)(36－b 2)≤34×b 2－4＋36－b22＝12，当且仅当b 2－4＝36－b 2，即b ＝25时取等号，此时a ＝6，b ＝25，c ＝45，三角形存在，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，所以sin A ＝35.答案：35。
2019版同步优化探究文数(北师大版)练习：第六章 第二节 基本不等式 Word版含解析
课时作业 A 组——基础对点练1．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，即a 的取值范围是( )A ．a ≥15B ．a >15C ．a <15D ．a ≤15解析：因为对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，所以对x ∈(0，＋∞)，a ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫x x 2＋3x ＋1max ，而对x ∈(0，＋∞)，x x 2＋3x ＋1＝1x ＋1x ＋3≤12x ·1x ＋3＝15， 当且仅当x ＝1x 时等号成立，∴a ≥15.答案：A2．(2018·厦门一中检测)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D.ab <a <a ＋b2<b解析：因为0<a <b ，所以a －ab ＝a (a －b )<0，故a <ab ；b －a ＋b 2＝b －a 2>0，故b >a ＋b2；由基本不等式知a ＋b 2>ab ，综上所述，a <ab <a ＋b2<b ，故选B.答案：B3．(2018·山东名校调研)若正数x ，y 满足3x ＋y ＝5xy ，则4x ＋3y 的最小值是( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：由3x ＋y ＝5xy ，得3x ＋y xy ＝3y ＋1x ＝5，所以4x ＋3y ＝(4x ＋3y )·15(3y ＋1x )＝15(4＋9＋3yx ＋12x y )≥15(4＋9＋236)＝5，当且仅当3y x ＝12xy ，即y ＝2x 时，“＝”成立，故4x ＋3y 的最小值为5. 答案：D4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B.1a ＋1b >1ab C.b a ＋ab≥2 D ．a 2＋b 2>2ab解析：因为ab >0，所以b a >0，a b >0，所以b a ＋ab ≥2b a ·ab＝2，当且仅当a ＝b 时取等号． 答案：C5．下列不等式一定成立的是( ) A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x ≥2(x ≠k π，k ∈Z)C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：对选项A ，当x >0时，x 2＋14－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122≥0，∴lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14≥lg x ，故不成立；对选项B ，当sin x <0时显然不成立；对选项C ，x 2＋1＝|x |2＋1≥2|x |，一定成立；对选项D ，∵x 2＋1≥1，∴0<1x 2＋1≤1，故不成立． 答案：C6．若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A. 2 B ．2 C ．2 2D ．4解析：法一：由已知得1a ＋2b ＝b ＋2aab ＝ab ，且a >0，b >0，∴ab ab ＝b ＋2a ≥22ab ，∴ab ≥2 2. 法二：由题设易知a >0，b >0， ∴ab ＝1a ＋2b ≥22ab，即ab ≥22，选C. 答案：C7．(2018·天津模拟)若log 4(3a ＋4 b )＝log 2ab ，则a ＋b 的最小值是( ) A ．6＋2 3 B ．7＋2 3 C ．6＋4 3D ．7＋4 3解析：因为log 4(3a ＋4b )＝log 2ab ，所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，即3a ＋4b ＝ab ，且⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋4b >0，ab >0，即a >0，b >0，所以4a ＋3b ＝1(a >0，b >0)，a ＋b ＝(a ＋b )·(4a ＋3b )＝7＋4b a ＋3ab≥7＋24b a ·3a b ＝7＋43，当且仅当4b a ＝3ab时取等号，故选D. 答案：D8．(2018·银川一中检测)对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2) B ．[－2，＋∞) C ． [－2,2]D ．[0，＋∞)解析：当x ＝0时，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，此时a ∈R ，当x ≠0时，则有a ≥－1－|x |2|x |＝－(|x |＋1|x |)，设f (x )＝－(|x |＋1|x |)，则a ≥f (x )max ，由基本不等式得|x |＋1|x |≥2(当且仅当|x |＝1时取等号)，则f (x )max ＝－2，故a ≥－2.故选B. 答案：B9．当x >0时，函数f (x )＝2xx 2＋1有( )A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值2解析：f (x )＝2x ＋1x ≤22x ·1x ＝1.当且仅当x ＝1x ，x >0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.答案：B10．(2018·南昌调研)已知a ，b ∈R ，且ab ≠0，则下列结论恒成立的是( ) A ．a ＋b ≥2ab B ．a 2＋b 2>2ab C.a b ＋ba≥2 D ．|a b ＋b a|≥2解析：对于A ，当a ，b 为负数时，a ＋b ≥2ab 不成立； 对于B ，当a ＝b 时，a 2＋b 2>2ab 不成立； 对于C ，当a ，b 异号时，b a ＋ab ≥2不成立；对于D ，因为b a ，a b 同号，所以|b a ＋a b |＝|b a |＋|ab|≥2|b a |·|ab|＝2(当且仅当|a |＝|b |时取等号)，即|b a ＋ab |≥2恒成立． 答案：D11．设f (x )＝ln x,0<a <b ，若p ＝f (ab )，q ＝f (a ＋b 2)，r ＝12(f (a )＋f (b ))，则下列关系式中正确的是( ) A ．q ＝r <p B ．p ＝r <q C ．q ＝r >pD ．p ＝r >q解析：∵0<a <b ，∴a ＋b 2>ab ，又f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上单调递增，故f (ab )<f (a ＋b2)，即q >p ，∴r ＝12(f (a )＋f (b ))＝12(ln a ＋ln b )＝ln ab ＝f (ab )＝p ，∴p ＝r <q .故选B.答案：B12．已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝4，则1a ＋1＋1b ＋3的最小值为__________．解析：∵a ＋b ＝4，∴a ＋1＋b ＋3＝8， ∴1a ＋1＋1b ＋3＝18[(a ＋1)＋(b ＋3)]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b ＋3 ＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋b ＋3a ＋1＋a ＋1b ＋3≥18(2＋2)＝12， 当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝3，b ＝1时取等号， ∴1a ＋1＋1b ＋3的最小值为12.答案：1213．已知函数f (x )＝4x ＋ax (x >0，a >0)在x ＝3时取得最小值，则a ＝__________.解析：f (x )＝4x ＋ax ≥24x ·a x ＝4a ，当且仅当4x ＝ax，即a ＝4x 2时取等号，则由题意知a ＝4×32＝36. 答案：3614．(2018·邯郸质检)已知x ，y ∈(0，＋∞)，2x －3＝(12)y ，则1x ＋4y 的最小值为________．解析：2x －3＝(12)y ＝2－y ，∴x －3＝－y ，∴x ＋y ＝3.又x ，y ∈(0，＋∞)，所以1x ＋4y ＝13(1x ＋4y )(x＋y )＝13(5＋y x ＋4x y )≥13(5＋2y x ·4x y )＝3(当且仅当y x ＝4xy，即y ＝2x 时取等号)． 答案：315．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 解析：设底面的相邻两边长分别为x m ，y m ，总造价为T 元，则V ＝xy ·1＝4⇒xy ＝4.T ＝4×20＋(2x ＋2y )×1×10＝80＋20(x ＋y )≥80＋20×2xy ＝80＋20×4＝160(当且仅当x ＝y 时取等号)．故该容器的最低总造价是160元． 答案：160B 组——能力提升练1．设正实数x ，y 满足x >12，y >1，不等式4x 2y －1＋y 22x －1≥m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．2 2B ．4 2C ．8D ．16解析：依题意得，2x －1>0，y －1>0，4x 2y －1＋y 22x －1＝[(2x －1)＋1]2y －1＋[(y －1)＋1]22x －1≥4(2x －1)y －1＋4(y －1)2x －1≥4×2 2x －1y －1×y －12x －1＝8，即4x 2y －1＋y22x －1≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝1y －1＝12x －1y －1＝y －12x －1，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝2时，取等号，因此4x 2y －1＋y 22x －1的最小值是8，m ≤8，m 的最大值是8，选C.答案：C2．若a ，b ，c ∈ (0，＋∞)，且ab ＋ac ＋bc ＋25＝6－a 2，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A.5－1 B.5＋1 C ．25＋2D ．25－2解析：由题意，得a 2＋ab ＋ac ＋bc ＝6－25，所以24－85＝4(a 2＋ab ＋ac ＋bc )≤4a 2＋4ab＋b 2＋c 2＋4ac ＋2bc ＝(2a ＋b ＋c )2，当且仅当b ＝c 时等号成立，所以2a ＋b ＋c ≥25－2，所以2a ＋b ＋c 的最小值为25－2，故选D. 答案：D3．(2018·保定调研)设△ABC 的内角A ， B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且C ＝π3，a ＋b ＝λ，若△ABC 面积的最大值为93，则λ的值为( ) A ．8 B ．12 C ．16D ．21解析：S △ABC ＝12ab sin C ＝34ab ≤34·(a ＋b 2)2＝316λ2＝93，当且仅当a ＝b 时取“＝”，解得λ＝12. 答案：B4．已知x ，y 都是正数，且x ＋y ＝1，则4x ＋2＋1y ＋1的最小值为( )A.1315 B ．2 C.94D ．3解析：由题意知，x ＋2>0，y ＋1>0，(x ＋2)＋(y ＋1)＝4，则4x ＋2＋1y ＋1＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4(y ＋1)x ＋2＋x ＋2y ＋1≥14⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤5＋2 4(y ＋1)x ＋2·x ＋2y ＋1＝94，当且仅当x ＝23， y ＝13时，4x ＋2＋1y ＋1取最小值94. 答案：C5.(3－a )(a ＋6)(－6≤a ≤3)的最大值为( ) A ．9 B.92 C ．3D.322解析：因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知，(3－a )(a ＋6)≤(3－a )＋(a ＋6)2＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．答案：B6．已知在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos(B －π3)＝b ＋c ，△ABC的外接圆半径为3，则△ABC 周长的取值范围为( ) A ．(3,9] B ．(6,8] C ．(6,9]D ．(3,8]解析：由2a cos(B －π3)＝b ＋c ，得a cos B ＋3a sin B ＝b ＋c ，由正弦定理得3sin A sin B ＋sinA cosB ＝sin B ＋sin(A ＋B )，即3sin A sin B ＝sin B ＋cos A sin B ，又sin B ≠0，∴3sin A －cos A ＝1，∴sin(A －π6)＝12，由0<A <π得－π6<A －π6<5π6，∴A －π6＝π6，∴A ＝π3.又△ABC 的外接圆半径为3，∴23＝asin A⇒a ＝23sin A ＝3. b ＋c ＝23sin B ＋23sin C ＝23[sin B ＋sin(2π3－B )]＝23(32sin B ＋32cos B )＝6(32sin B ＋12cos B )＝6sin(B ＋π6)，由0<B <2π3得，π6<B ＋π6<5π6，故3<6sin(B ＋π6)≤6，∴6<a ＋b ＋c ≤9.答案：C7．若2x ＋2y ＝1，则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0] C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]解析：∵2x ＋2y ≥22x ·2y ＝22x ＋y (当且仅当2x ＝2y 时等号成立)，∴2x ＋y ≤12，∴2x ＋y ≤14，x＋y ≤－2，故选D. 答案：D8．若两个正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1，且不等式x ＋y4<m 2－3m 有解，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,4) B ．(－∞，－1)∪(4，＋∞) C ．(－4,1)D ．(－∞，0)∪(3，＋∞) 解析：∵不等式x ＋y 4<m 2－3m 有解，∴⎝⎛⎭⎫x ＋y 4min <m 2－3m ，∵x >0，y >0，且1x ＋4y ＝1，∴x ＋y4＝⎝⎛⎭⎫x ＋y 4⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝4x y ＋y 4x ＋2≥24x y ·y 4x ＋2＝4，当且仅当4x y ＝y4x，即x ＝2，y ＝8时取等号， ∴⎝⎛⎭⎫x ＋y4min ＝4，∴m 2－3m >4，即(m ＋1)(m －4)>0，解得m <－1或m >4，故实数m 的取值范围是 (－∞，－1)∪(4，＋∞)． 答案：B9．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0.则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y －2z 的最大值为( )A ．0B ．1 C.94D ．3解析：xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z ＝－1y 2＋2y ＝－⎝⎛⎭⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1. 答案：B10．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n ，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8a n 的最小值是( )A.92B.72 C ．22＋12D ．22－12解析：a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n (1＋n )2，∴S n ＋8a n ＝n (1＋n )2＋8n ＝12⎝⎛⎭⎫n ＋16n ＋1 ≥12⎝⎛⎭⎫2n ·16n ＋1 ＝92， 当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n 的最小值是92，故选A. 答案：A11．已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b ，b ＝3，则△ABC 的面积的最大值为( ) A.334B.34C.332D.32解析：根据正弦定理由sin A －sin B ＝c (sin A －sin C )a ＋b 可得a －b ＝c (a －c )a ＋b ，得a 2－b 2＝c (a －c )，即a 2＋c 2－b 2＝ac ，故a 2＋c 2－b 22ac ＝12＝cos B ，∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.又由b ＝3，可得a 2＋c 2＝ac ＋3，故a 2＋c 2＝ac ＋3≥2ac ，即ac ≤3，当且仅当a ＝c ＝3时取等号，故ac 的最大值为3，这时△ABC 的面积取得最大值，为12×3×sin π3＝334.答案：A12．(2018·宝鸡模拟)某工厂需要建造一个仓库，根据市场调研分析，运费与工厂和仓库之间的距离成正比，仓储费与工厂和仓库之间的距离成反比，当工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费为5万元，当工厂和仓库之间的距离为________千米时，运费与仓储费之和最小，最小为________万元．解析：设工厂和仓库之间的距离为x 千米，运费为y 1万元，仓储费为y 2万元，则y 1＝k 1x (k 1≠0)，y 2＝k 2x(k 2≠0)，∵工厂和仓库之间的距离为4千米时，运费为20万元，仓储费用为5万元，∴k 1＝5，k 2＝20，∴运费与仓储费之和为⎝⎛⎭⎫5x ＋20x 万元， ∵5x ＋20x≥25x ×20x ＝20，当且仅当5x ＝20x，即x ＝2时，运费与仓储费之和最小，为20万元． 答案：2 2013．(2018·青岛模拟)已知实数x ，y 均大于零，且x ＋2y ＝4，则log 2x ＋log 2y 的最大值为__________．解析：因为log 2x ＋log 2y ＝log 22xy －1≤log 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2y 22－1＝2－1＝1，当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2，y ＝1时等号成立，所以log 2x ＋log 2y 的最大值为1. 答案：114．在希腊数学家海伦的著作《测地术》中记载了著名的海伦公式，利用三角形的三条边长求三角形面积，若三角形的三边长分别为a ，b ，c ，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )，这里p ＝12(a ＋b ＋c )．已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，则其面积取最大值时，sin A ＝________. 解析：已知在△ABC 中，BC ＝6，AB ＝2AC ，所以三角形的三边长为a ＝6，c ＝2b ，p ＝12(6＋b ＋2b )＝3＋3b2，其面积S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(3b 2＋3－b )(3＋3b2－2b )＝ (3＋3b 2)(3b 2－3)(b 2＋3)(3－b 2)＝ (9b 24－9)(9－b 24) ＝34(b 2－4)(36－b 2)≤34×b 2－4＋36－b22＝12，当且仅当b 2－4＝36－b 2，即b ＝25时取等号，此时a ＝6，b ＝25，c ＝45，三角形存在，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝45，所以sin A ＝35.答案：35。
2019版同步优化文数第六章 第一节 不等式的性质、一元二次不等式
课时作业 A 组——基础对点练1．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C. 答案：C 2．函数f (x )＝1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]． 答案：B3．已知集合A ＝{x ∈N|x 2－x －6＜0}，则集合A 的子集的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．7D ．8解析：不等式x 2－x －6＜0的解集为{x |－2＜x ＜3}，又x ∈N ，所以A ＝{0,1,2}，故集合A 的子集的个数为23＝8，故选D. 答案：D4．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( ) A ．[－2，－1] B ．[－1,2) C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，选A. 答案：A5．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b .故C 项不成立． 答案：C6．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2)D ．(1,2]解析：A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}． 答案：D7．不等式(1＋x )( 1－x )>0的解集是( ) A ．{x |－1<x <1} B ．{x |x <1}C ．{x |x <－1或x >1}D ．{x |x <1且x ≠－1}解析：原式可化为(x ＋1)(x －1)<0， ∴－1<x <1. 答案：A8．已知a >0，且a ≠1，m ＝aa 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：由题易知m >0，n >0，两式作商，得m n ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n . 答案：B9．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3)B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 答案：B10．下列选项中，使不等式x <1x<x 2成立的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,0)C ．(0,1)D ． (1，＋∞)解析：当x >0时，原不等式可化为x 2<1<x 3，解得x ∈∅，当x <0时，原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧x 2>1，x 3<1，解得x <－1，选A. 答案：A11．若a ， b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列命题正确的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .① 又ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2. 答案：B12．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为⎝⎛⎭⎫－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为__________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)13．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是__________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 14．已知关于x 的不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：不等式x 2－ax ＋2a >0在R 上恒成立，即Δ＝(－a )2－8a <0，∴0<a <8，即a 的取值范围是(0,8)． 答案：(0,8)15．已知f (x )是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x .求不等式f (x ＋2)＜5的解集． 解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－4x <5的解集为[0,5)，又f (x )为偶函数，所以f (x )<5的解集为(－5,5)．所以f (x ＋2)<5的解集为 (－7,3)．B 组——能力提升练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B. a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >bc⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c ∈R ，函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c .若f (0)＝f (4)>f (1)，则( ) A ．a >0,4a ＋b ＝0 B ．a <0,4a ＋b ＝0 C ．a >0,2a ＋b ＝0 D ．a <0,2a ＋b ＝0解析：∵f (0)＝f (4)>f (1)， ∴c ＝16a ＋4b ＋c >a ＋b ＋c ， ∴16a ＋4b ＝0，即4a ＋b ＝0， 且15a ＋3b >0，即5a ＋b >0， 而5a ＋b ＝a ＋4a ＋b ，∴a >0.故选A. 答案：A3．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎪⎫a b cd ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( ) A ．－12B ．－32C.12D.32解析：由定义知，不等式⎝ ⎛ x －1a ＋1⎭⎪⎫a －2x≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.答案：D4．“(m －1)(a －1)>0”是“log a m >0”的一个( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当(m －1)(a －1)>0时，有⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1，或⎩⎪⎨⎪⎧m <1，a <1，当m <0，a <0时，log a m 无意义，故log a m >0不一定成立；当log a m >0时，则⎩⎪⎨⎪⎧ m >1，a >1或⎩⎪⎨⎪⎧0<m <1，0<a <1，则(m －1)(a －1)>0恒成立，故“(m －1)·(a －1)>0”是“log a m >0”的必要不充分条件．故选B. 答案：B5．若0<b <a <1，则下列结论不一定成立的是( ) A.1a <1b B.a >b C ．a b >b aD ．log b a >log a b解析：对于A ，函数y ＝1x 在(0，＋∞)上单调递减，所以当0<b <a <1时，1a <1b 恒成立；对于B ，函数y ＝x 在(0，＋∞)上单调递增，所以当0<b <a <1时，a >b 恒成立；对于C ，当0<a <1时，函数y ＝a x 单调递减，所以a b >a a ，函数y ＝x a 单调递增，所以a a >b a ，所以a b >a a >b a 恒成立．所以选D. 答案：D6．若a <b <0，则下列不等式中不成立的是( ) A ．|a |>|b | B.1a －b >1a C.1a >1bD ．a 2>b 2解析：由不等式的性质可得|a |>|b |，a 2>b 2，1a >1b 成立．假设1a －b >1a 成立，由a <b <0得a －b <0，∴a (a －b )>0，由1a －b >1a ⇒a (a －b )·1a －b >1a ·a (a －b )⇒a >a －b ⇒b >0，与已知矛盾，故选B.答案：B7．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数．设a ＝f (log 47)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫log 123，c ＝f (21.6)，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．b <c <aD ．a <b <c解析：∵f (x )是定义在 (－∞，＋∞)上的偶函数，∴b ＝f (log 123)＝f (－log 23)＝f (log 23)．∵log 23＝log 49>log 47,21.6>2，∴log 47<log 49<21.6.∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，∴f (x )在[0，＋∞)上为减函数，则f (log 47)>f (log 49)>f (21.6)，即c <b <a ，故选B. 答案：B8．(2018·武汉调研)已知圆C ：(x －1)2＋(y －4)2＝10和点M (5，t )，若圆C 上存在两点A ，B ，使得MA ⊥MB ，则实数t 的取值范围为( ) A ．[－2,6] B ．[－3,5] C ．[2,6]D ．[3,5]解析：当MA ，MB 与圆相切时，|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2＝20，由题意，圆C 上存在两点使MA ⊥MB ，则|CM |＝(5－1)2＋(t －4)2≤20⇒2≤t ≤6，故选C. 答案：C9．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|3x －4|(x ≤2)，2x －1(x >2)，则f (x )≥1的解集为( )A.⎣⎡⎦⎤1，53 B.⎣⎡⎦⎤53，3C ．(－∞，1)∪⎣⎡⎭⎫53，＋∞D ．(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3解析：不等式f (x )≥1等价于⎩⎪⎨⎪⎧x >2，2x －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤2，|3x －4|≥1，解之得x ≤1或53≤x ≤3，所以不等式的解集为(－∞，1]∪⎣⎡⎦⎤53，3，故选D. 答案：D10．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图像的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4. 答案：B11．设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为________．解析：由8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立， 得Δ＝(－8sin α)2－4×8cos 2α≤0， 即64sin 2α－32(1－2sin 2α)≤0，得到sin 2α≤14，∵0≤α≤π，∴0≤sin α≤12，∴0≤α≤π6或5π6≤α≤π，即α的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π. 答案：⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 12．若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，求实数m 的取值范围．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.。
高考领航北师大数学理总复习 第6章第3课时 二元一次不等式组与简单的线性规划问题含解析
【A 级】 基础训练1．(2014·北京市海淀区高三调研)不等式组⎩⎨⎧x ≥1x ＋y －4≤0kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．0D ．1解析：注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D. 答案：D2．(2012·高考辽宁卷)设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ≤10，0≤x ＋y ≤20，0≤y ≤15，则2x ＋3y 的最大值为( ) A ．20 B ．35 C ．45D ．55解析：画出可行域如图：设z ＝2x ＋3y ，最优解为A (5,15)． 代入得z ＝2×5＋3×15＝55.故选D. 答案：D3．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋2y －3≤0x ＋3y －3≥0.y －1≤0若目标函数z ＝ax ＋y 仅在点(3,0)处取得最大值，则实数a 的取值范围为( )A ．(3,5)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞C ．(－1,2)D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1解析：作出可行域如图．可知A (3,0)，由y ＝－ax ＋z 取最大值时，直线截距最大，故－a ＜－12，即a ＞12. 答案：B4．(2012·高考湖北卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ≥－1，x ＋y ≥1，3x －y ≤3，则目标函数z ＝2x ＋3y 的最小值是________． 解析：画出可行域如图．最优解A (1,0)，∴z ＝2x ＋3y 的最小值z min ＝2×1＋3×0＝2.答案：25．已知点(x ，y )满足⎩⎨⎧x ≥0y ≥0x ＋y ≤1，则u ＝y －x 的取值范围是________．解析：作出可行域如图， 作出y －x ＝0，由A (1,0)，B (0,1)，故过B 时u 最大，u max ＝1，过A 点时u 最小，u min ＝－1. 答案：[－1,1]6．(2013·高考北京卷)设D 为不等式组⎩⎨⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的平面区域，区域D上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为________．解析：作出不等式组表示的可行域，利用数形结合思想求解．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0表示的区域D 如图阴影部分所示．由图知点P (1,0)与平面区域D 上的点的最短距离为点P (1,0)到直线y ＝2x 的距离d ＝|2×1－0×1|12＋22＝255. 答案：2557．若变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －2y ＋1≤02x －y ≥0x ≤1，求点P (2x －y ，x ＋y )所表示区域的面积．解：设⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＝a x ＋y ＝b⇒⎩⎨⎧x ＝a ＋b 3y ＝2b －a 3，代入x ，y 的关系式得： ⎩⎪⎨⎪⎧a －b ＋1≤0a ≥0a ＋b －3≤0，作出可行域如图所示，易得阴影面积S ＝12×2×1＝1.8．已知⎩⎨⎧x －y ＋2≥0，x ＋y －4≥0，2x －y －5≤0，求(1)z ＝x ＋2y －4的最大值； (2)z ＝x 2＋y 2－10y ＋25的最小值； (3)z ＝y ＋1x ＋1的范围． 解：作出可行域如图，并求出顶点的坐标A(1,3)、B (3,1)、C (7,9)．(1)易知可行域内各点均在直线x ＋2y －4＝0的上方，故x ＋2y －4＞0， 将C (7,9)代入得z 最大值为21.(2)z ＝x 2＋(y －5)2表示可行域内任一点(x ，y )到定点M (0,5)的距离的平方，过M 作直线AC 的垂线，易知垂足N 在线段AC 上，故z 的最小值是|MN |2＝⎝⎛⎭⎪⎫|0－5＋2|22＝92.(3)z ＝y ＋1x ＋1表示可行域内任一点(x ，y )与定点Q (－1，－1)连线的斜率的变化范围．因为k QA ＝2， k QB ＝12，故z 的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.【B 级】 能力提升1．(2013·高考四川卷)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，最小值为b ，则a －b 的值是( )A ．48B ．30C ．24D ．16解析：先将不等式2y －x ≤4转化为x －2y ≥－4，画出不等式组表示的平面区域，并找出目标函数y ＝x 5＋z5的最优解，进而求得a ，b 的值．∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，2y －x ≤4，x ≥0，y ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤8，x －2y ≥－4，x ≥0，y ≥0，由线性约束条件得可行域为如图所示的阴影部分，由z ＝5y －x ，得y ＝x 5＋z5.由图知目标函数y ＝x 5＋z5，过点A (8,0)时，z min ＝5y －x ＝5×0－8＝－8，即b ＝－8.目标函数y ＝x 5＋z5过点B (4,4)时，z max ＝5y －x ＝5×4－4＝16，即a ＝16.∴a －b ＝16－(－8)＝24，故选C. 答案：C2．(2013·高考山东卷)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎨⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的区域上一动点，则直线OM 斜率的最小值为( ) A ．2 B ．1 C ．－13D ．－12解析：画出图形，数形结合得出答案．如图所示，⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －2≥0，x ＋2y －1≥0，3x ＋y －8≤0所表示的平面区域为图中的阴影部分．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y －1＝0，3x ＋y －8＝0， 得A (3，－1)．当M 点与A 重合时，OM 的斜率最小，k OM ＝－13. 答案：C3．(2012·高考福建卷)若直线y ＝2x 上存在点(x ，y )满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m ，则实数m 的最大值为( )A ．－1B ．1 C.32D ．2解析：如图所示约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，x ≥m表示的可行域如阴影部分所示．当直线x ＝m 从如图所示的实线位置运动到过A 点的位置时，m 取最大值．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，y ＝2x 得A 点坐标为(1,2)，∴m 的最大值是1，故选B. 答案：B4．(2014·大冶模拟)已知函数f (x )＝x 2－4x ＋3，集合M ＝{(x ，y )|f (x )＋f (y )≤0}，集合N ＝{(x ，y )|f (x )－f (y )≥0}，则集合M ∩N 的面积是________．解析：由题意得f (x )＋f (y )＝x 2－4x ＋3＋y 2－4y ＋3＝(x －2)2＋(y －2)2－2，故集合M ＝{(x ，y )|(x －2)2＋(y －2)2≤2}，同理可得集合N ＝{(x ，y )|(x －2)2－(y －2)2≥0}，则集合M ∩N 所描述的图形为如图阴影部分．可求得S ＝2×12r 2a ＝2×12×(2)2×π2＝π.答案：π5．(2014·连云港模拟)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，则x 2＋y 2的最大值为________．解析：作出可行域如图．由图可知A 点到原点的距离最大，而由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3x －y ＋5＝0得A (3,8)，故x 2＋y 2的最大值为32＋82＝73.答案：736．(2013·高考安徽卷)设函数f (x )＝ax －(1＋a 2)x 2，其中a ＞0，区间I ＝{x |f (x )＞0}．(1)求I 的长度(注：区间(α，β)的长度定义为β－α)；(2)给定常数k ∈(0,1)，当1－k ≤a ≤1＋k 时，求I 长度的最小值．解析：(1)因为方程ax －(1＋a 2)x 2＝0(a >0)有两个实根x 1＝0，x 2＝a 1＋a 2，故f (x )>0的解集为{x |x 1<x <x 2}．因此区间I ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 1＋a 2，区间I 的长度为a 1＋a 2. (2)设d (a )＝a 1＋a 2，则d ′(a )＝1－a 2(1＋a 2)2(a >0)． 令d ′(a )＝0，得a ＝1.由于0<k <1，故当1－k ≤a <1时，d ′(a )>0，d (a )单调递增；当1<a ≤1＋k 时，d ′(a )<0，d (a )单调递减．所以当1－k ≤a ≤1＋k 时，d (a )的最小值必定在a ＝1－k 或a ＝1＋k 处取得．而d (1－k )d (1＋k )＝1－k1＋(1－k )21＋k 1＋(1＋k )2＝2－k 2－k 32－k 2＋k 3<1， 故d (1－k )<d (1＋k )．因此当a ＝1－k 时，d (a )在区间[1－k,1＋k ]上取得最小值1－k 2－2k ＋k 2. 7．(创新题)某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润ω(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ，所以利润ω＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300.(2)约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧ 5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .整理得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ≤200，x ＋y ≤100，x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N 目标函数为ω＝2x ＋3y ＋300.作出可行域．如图所示：初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，ω有最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝50，y ＝50.最优解为A (50,50)，所以ωmax ＝550元．所以，每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大为550元．。
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课时作业 A 组——基础对点练1．(2018·武汉市模拟)若实数x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2，则z ＝x －2y 的最大值是( )A ．2B ．1C ．0D ．－4解析：不等式组⎩⎨⎧x ≥0，y ≥0，2x ＋y ≤2表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线x－2y ＝0，平移该直线，当直线经过点A (1,0)时，z 取得最大值，此时z max ＝1，故选B.答案：B2．已知实数x ，y 满足不等式|x |＋|2y |≤4，记Z ＝x ＋y ，则Z 的最小值为( ) A ．－2 B ．－6 C ．－4D ．－8解析：|x |＋|2y |≤4表示的平面区域为如图所示的四边形ABCD 内部及其边界，由图可知当直线y ＝－x ＋Z 经过点C (－4,0)时，Z 取得最小值，所以Z min ＝0＋(－4)＝－4.答案：C3．(2018·长沙市模拟)已知变量x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x －2y ＋3≥0，x ≥0，则z ＝8x ·2y 的最大值是( ) A ．33 B ．32 C ．35D ．34解析：z ＝8x ·2y ＝23x ＋y ，求z 的最大值就是求3x ＋y 的最大值，设t ＝3x ＋y ，作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线3x ＋y ＝0，平移该直线，当直线经过点B (1,2)时，t 取得最大值，t max ＝3＋2＝5，则z max ＝25＝32. 答案：B4．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1，则z ＝2|x －2|＋|y |的最小值是( )A ．6B ．5C ．4D ．3解析：画出不等式组⎩⎨⎧y ≥x ＋2，x ＋y ≤6，x ≥1表示的可行域，如图阴影部分，其中A (2,4)，B (1,5)，C (1,3)，∴x ∈[1,2]，y ∈[3,5]．∴z ＝2|x －2|＋|y |＝－2x ＋y ＋4，当直线y ＝2x －4＋z 过点A (2,4)时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 有最小值，∴z min ＝－2×2＋4＋4＝4，故选C. 答案：C5．(2018·兰州实战模拟)已知M (－4,0)，N (0，－3)，P (x ，y )的坐标x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12，则△PMN 面积的取值范围是( )A ．[12,24]B ．[12,25]C ．[6,12]D ．[6，252]解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥03x ＋4y ≤12表示的平面区域如图中阴影部分所示．又过点M (－4,0)，N (0，－3)的直线的方程为3x ＋4y ＋12＝0，而它与直线3x ＋4y ＝12平行，其距离d ＝|12＋12|32＋42＝245，所以当P 点在原点O 处时，△PMN 的面积最小，其面积为△OMN 的面积，此时S △OMN ＝12×3×4＝6；当P 点在线段AB 上时，△PMN 的面积最大，为12×32＋42×245＝12，故选C.答案：C6．(2018·太原市模拟)已知D ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0，给出下列四个命题：p 1：任意(x ，y )∈D ，x ＋y ＋1≥0；p 2：任意(x ，y )∈D,2x －y ＋2≤0；p 3：存在(x ，y )∈D ，y ＋1x －1≤－4；p 4：存在(x ，y )∈D ，x 2＋y 2≤2.其中真命题的是( )A ．p 1，p 2B ．p 2，p 3C ．p 2，p 4D ．p 3，p 4解析：因为D ＝{(x ，y )|⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －y ＋2≤03x －y ＋6≥0}表示的平面区域如图中阴影部分所示，所以z 1＝x ＋y 的最小值为－2，z 2＝2x －y 的最大值为－2，z 3＝y ＋1x －1的最小值为－3，z 4＝x 2＋y 2的最小值为2，所以命题p 1为假命题，命题p 2为真命题，命题p 3为假命题，命题p 4为真命题，故选C.答案：C7．若实数x ，y 满足：|x |≤y ≤1，则x 2＋y 2＋2x 的最小值为( ) A.12 B ．－12 C.22D.22－1解析：作出不等式|x |≤y ≤1表示的可行域，如图．x 2＋y 2＋2x ＝(x ＋1)2＋y 2－1，(x ＋1)2＋y 2表示可行域内的点(x ，y )到点(－1,0)距离的平方，由图可知，(x ＋1)2＋y 2的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝12，所以x 2＋y 2＋2x 的最小值为12－1＝－12.选B. 答案：B8．(2018·洛阳市统考)已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧x ＋y －2≤0x －2y －2≤02x －y ＋2≥0，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则实数a 的取值集合为( )A ．{2，－1}B ．{a ∈R|a ≠2}C ．{a ∈R|a ≠－1}D ．{a ∈R|a ≠2且a ≠－1}解析：不等式组对应的平面区域如图中阴影部分所示．由z ＝－ax ＋y 得y ＝ax ＋z ，若a ＝0，直线y ＝ax ＋z ＝z ，此时最大的最优解只有一个，满足条件．若a >0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠2.若a <0，则直线y ＝ax ＋z 的纵截距最大时，z 取得最大值，若z ＝y －ax 取得最大值时的最优解有且只有一个，则a ≠－1.选D.答案：D9．(2018·沈阳质量监测)实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≤2x ＋2x ＋y －2≥0，x ≤2则z ＝|x －y |的最大值是( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：依题意画出可行域如图中阴影部分所示，令m ＝y －x ，则m 为直线l ：y ＝x ＋m 在y 轴上的截距，由图知在点A (2,6)处m 取最大值4，在C (2,0)处取最小值－2，所以m ∈[－2,4]，所以z 的最大值是4，故选B. 答案：B10．(2018·武昌区调研)设x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ＋y ≥ax －y ≤－1，且z ＝x ＋ay 的最小值为7，则a ＝( ) A ．－5 B ．3 C ．－5或3D ．5或－3解析：根据约束条件画出可行域如图1中阴影部分所示：可知可行域为开口向上的V 字型．在顶点处z 有最小值，顶点为(a －12，a ＋12)，则a －12＋a (a ＋12)＝7，解得a ＝3或a ＝－5.当a ＝－5时，如图2，虚线向上移动时z 减小，故z →－∞，没有最小值，故只有a ＝3满足题意．选B. 答案：B11．若变量x 、y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≤0，y ≤1，x >－1，则(x －2)2＋y 2的最小值为( )A.322B. 5C.92D ．5解析：作出不等式组对应的平面区域如图，设z ＝(x －2)2＋y 2，则z 的几何意义为区域内的点到定点D (2,0)的距离的平方， 由图知C 、D 间的距离最小，此时z 最小． 由⎩⎨⎧ y ＝1，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，即C (0,1)，此时z min ＝(x －2)2＋y 2＝4＋1＝5，故选D. 答案：D12．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为 ．解析：约束条件对应的平面区域是以点(1，12)、(0,1)和(－2，－1)为顶点的三角形，当目标函数y ＝－x ＋z 经过点(1，12)时，z 取得最大值32. 答案：3213．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x －3≤0，则z ＝x －2y的最小值为 ．解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，由z ＝x －2y 得y ＝12x －12z ，作直线y ＝12x 并平移，观察可知，当直线经过点A (3,4)时，z min ＝3－2×4＝－5. 答案：－514．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋5≥0，x ＋y ≥0，x ≤3，若使得z ＝ax ＋y 取最大值的点(x ，y )有无数个，则a 的值等于 ．解析：先根据约束条件画出可行域，如图中阴影部分所示，当直线z ＝ax ＋y 能和直线AB 重合时，z 取得最大值的点(x ，y )有无数个，∴－a ＝k AB ＝1，∴a ＝－1.答案：－115．对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0表示的平面区域有公共点，则实数a 的最大值是 ．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x ≥a ，x ＋y ≤6，x －2y ≤0的可行域如图中阴影部分所示．而直线l ：y ＝kx －k －1过定点P (1，－1)，对任意k ∈[1,5]，直线l ：y ＝kx －k －1都与可行域有公共点，当k ＝5时，直线l ：y ＝5x －6经过可行域的点A ，联立，得⎩⎨⎧ y ＝5x －6，x ＋y ＝6，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，所以A (2,4)，点A 是直线x ＝a 上的点，可得a 的最大值是2. 答案：2B 组——能力提升练1．在平面直角坐标系中，不等式组⎩⎨⎧x ＋y ≤0，x －y ≤0，x 2＋y 2≤r 2(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x 、y 满足上述约束条件，则z ＝x ＋y ＋1x ＋3的最小值为( )A ．－1B ．－52＋17C.13D ．－75解析：作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知14πr 2＝π，解得r＝2，z ＝x ＋y ＋1x ＋3＝1＋y －2x ＋3，易知y －2x ＋3表示可行域内的点(x ，y )与点P (－3,2)的连线的斜率，由图可知当点(x ，y )与点P 的连线与圆x 2＋y 2＝r 2相切时斜率最小．设切线方程为y －2＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k ＋2＝0，则有|3k ＋2|k 2＋1＝2，解得k ＝－125或k ＝0(舍)，所以z min ＝1－125＝－75，故选D.答案：D2．已知区域D ：⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，3x －y －3≤0的面积为S ，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则k 的值为( ) A.13 B.12 C ．2D ．3解析：作出不等式组对应的区域，如图中阴影部分所示．直线y ＝kx ＋1过定点A (0,1)，点集T ＝{(x ，y )∈D |y ≥kx ＋1}在坐标系中对应区域的面积为12S ，则直线y ＝kx ＋1过BC 中点E .由⎩⎨⎧ x －y ＋1＝0，3x －y －3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝3，即B (2,3)．又C (1,0)，∴BC 的中点为E ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，32，则32＝32k ＋1，解得k ＝13，故选A.答案：A3．(2018·合肥市质检)设x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0，若z ＝2x ＋y 的最大值为72，则a 的值为( ) A ．－72 B ．0C ．1D ．－72或1解析：由z ＝2x ＋y 存在最大值，可知a >－1，显然a ＝0不符合题意．作出不等式组⎩⎨⎧x ≥0，x ＋y －2≤0，ax －y －a ≤0所表示的平面区域，如图1或图2中阴影部分所示，作直线2x ＋y ＝0，平移该直线，易知，当平移到过直线x ＋y －2＝0与ax －y －a ＝0的交点时，z 取得最大值，由⎩⎨⎧x ＋y －2＝0，ax －y －a ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝aa ＋1，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋2a ＋1，y ＝a a ＋1代入2x ＋y ＝72得a ＝1，故选C.答案：C4．已知实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，若x 2＋2y 2≥m 恒成立，则实数m的最大值为( )A ．5 B.43 C. 2D.83解析：设t ＝2y ，则y ＝22t ，因为实数x ，y 满足条件⎩⎨⎧4x －y －8≤0，2x －3y ＋6≥0，x ＋y －2≥0，且x 2＋2y 2≥m 恒成立，所以实数x ，t满足条件⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0，且x 2＋t 2≥m 恒成立，⎩⎪⎨⎪⎧8x －2t －16≤0，4x －32t ＋12≥0，2x ＋2t －4≥0表示的平面区域如图中阴影部分所示，过点O 向AB 作垂线，垂足为D ，则x 2＋t 2的最小值为|OD |2＝83，所以m ≤83，所以m 的最大值为83，故选D. 答案：D5．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎨⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则 a 2＋b 2的最大值为 ( ) A ．5 B ．29 C ．37D ．49解析：平面区域Ω为如图所示的阴影部分，因为圆心C (a ，b )∈Ω，且圆C 与x 轴相切，所以点C 在如图所示的线段MN 上，线段MN 的方程为y ＝1(－2≤x ≤6)，由图形得，当点C 在点N (6,1)处时，a 2＋b 2取得最大值62＋12＝37，故选C. 答案：C6．设变量x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0x ＋2y －2≥0，2x ＋y －7≤0z ＝a 2x ＋y (0<a <2)的最大值为5，则a ＝( ) A ．1 B.12 C.22 D.32解析：如图，画出可行域，∵z ＝a 2x ＋y ，∴y ＝－a 2x ＋z ，求z 的最大值，即求直线y ＝－a 2x ＋z 在y 轴上的最大截距，显然当直线y ＝－a 2x ＋z 过点A 时，在y 轴上的截距取得最大值．由⎩⎨⎧x －y ＋1＝02x ＋y －7＝0，解得A (2,3)，则2a 2＋3＝5，可得a ＝1.故选A. 答案：A7．若x ，y 满足⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0，且z ＝y －x 的最小值为－4，则k 的值为( )A ．2B ．－2 C.12D ．－12解析：作出线性约束条件⎩⎨⎧x ＋y －2≥0，kx －y ＋2≥0，y ≥0的可行域．当k ≥0时，如图(1)所示，显然此时z ＝y －x 无最小值．当k <－1时，z ＝y －x 取得最小值2；当k ＝－1时，z ＝y －x 取得最小值－2，均不符合题意．当－1<k <0时，如图(2)所示，此时可行域为点A (2,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0，C (0,2)所围成的三角形区域，当直线z ＝y －x 经过点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ，0时，有最小值，即－⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k ＝－4，即k ＝－12.故选D.答案：D8．已知P (x ，y )为区域⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a内的任意一点，当该区域的面积为4时，z＝2x －y 的最大值是( ) A ．6 B ．0 C ．2D ．2 2解析：由⎩⎨⎧y 2－x 2≤0，0≤x ≤a 作出可行域如图，易求得A (a ，－a )，B (a ，a )， 由题意知S △OAB ＝12·2a ·a ＝4，得a ＝2. ∴A (2，－2)，当y ＝2x －z 过A 点时，z 最大，z max ＝2×2－(－2)＝6.故选A. 答案：A9．若x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧y ≤0，x －2y －1≥0，x －4y －3≤0，则z ＝3x ＋5y 的取值范围是( )A ．[3，＋∞)B ．[－8,3]C ．(－∞，9]D ．[－8,9]解析：作出可行域，如图所示的阴影部分，由z ＝3x ＋5y ，得y ＝－35x ＋15z ，15z表示直线y ＝－35x ＋15z 在y 轴上的截距，截距越大，z 越大．由图可知，当z ＝3x ＋5y 经过点A 时z 最小；当z ＝3x ＋5y 经过点B 时z 最大，由⎩⎨⎧ x －4y ＝3，y ＝0可得B (3,0)，此时z max ＝9，由⎩⎨⎧x －4y ＝3，x －2y ＝1可得A (－1，－1)，此时z min ＝－8，所以z ＝3x ＋5y 的取值范围是[－8,9]． 答案：D10．(2018·贵阳监测)已知O 是坐标原点，点A (－1,2)，若点M (x ，y )为平面区域⎩⎨⎧x ＋y ≥2x ≤1y ≤2上的一个动点，则OA →·OM →的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[0,1]C ．[1,3]D ．[1,4]解析：作出点M (x ，y )满足的平面区域，如图中阴影部分所示，易知当点M 为点C (0,2)时，OA →·OM →取得最大值，即为(－1)×0＋2×2＝4，当点M 为点B (1,1)时，OA →·OM →取得最小值，即为(－1)×1＋2×1＝1，所以OA →·OM →的取值范围为[1,4]，故选D. 答案：D11．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥2x ＋y ≤4－2x ＋y ＋c ≥0，目标函数z ＝6x ＋2y 的最小值是10，则z 的最大值是( ) A ．20 B ．22 C ．24D ．26解析：由z ＝6x ＋2y ，得y ＝－3x ＋z2，由目标函数有最小值，得c >0，作出不等式组所表示的可行域的大致图形如图中阴影部分所示，由图可知当直线y ＝－3x ＋z2经过点C 时，直线的纵截距最小，即z ＝6x ＋2y 取得最小值10，由⎩⎨⎧ 6x ＋2y ＝10x ＝2，解得⎩⎨⎧x ＝2y ＝－1，将其代入直线－2x ＋y ＋c＝0，得c ＝5，即直线方程为－2x ＋y ＋5＝0，平移直线3x ＋y ＝0，当直线经过点D 时，直线的纵截距最大，此时z 取最大值，由⎩⎨⎧ －2x ＋y ＋5＝0x ＋y ＝4，得⎩⎨⎧x ＝3y ＝1，即D (3,1)，将点D 的坐标代入直线z ＝6x ＋2y ，得z max ＝6×3＋2＝20，故选A. 答案：A12．(2018·石家庄质检)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x ≥1，y ≥－1，4x ＋y ≤9，x ＋y ≤3，若目标函数z ＝y－mx (m >0)的最大值为1，则m 的值是( ) A ．－209 B ．1 C ．2D ．5解析：作出可行域，如图所示的阴影部分．∵m >0，∴当z ＝y －mx 经过点A 时， z 取最大值，由⎩⎨⎧ x ＝1，x ＋y ＝3，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝2，即A (1,2)，∴2－m ＝1，解得m ＝1.故选B. 答案：B13．已知a >0，实数x ，y 满足⎩⎨⎧x ≥1x ＋y ≤3y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a＝ .解析：根据题意，如图，在坐标系中画出相应的区域的边界线x ＝1，x ＋y ＝3，再画出目标函数取得最小值时对应的直线2x ＋y ＝1，从图中可以发现，直线2x ＋y ＝1与直线x ＝1的交点为(1，－1)，从而有点(1，－1)在直线y ＝a (x －3)上，代入可得a ＝12. 答案：1214．(2018·石家庄模拟)动点P (a ，b )在区域⎩⎨⎧x ＋y －2≤0，x －y ≥0，y ≥0内运动，则ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是 ． 解析：画出可行域如图，ω＝a ＋b －3a －1＝1＋b －2a －1， 设k ＝b －2a －1，则k ∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)，所以ω＝a ＋b －3a －1的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞)．答案：(－∞，－1]∪[3，＋∞)15．(2018·云南五市联考)已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1，则z ＝y ＋1x ＋1的最大值是 ． 解析：不等式组⎩⎨⎧1≤x ＋y ≤2，－1≤x －y ≤1表示的平面区域如图中阴影部分所示，目标函数z ＝y ＋1x ＋1＝y －(－1)x －(－1)的几何意义是表示平面区域中的动点P (x ，y )与定点Q (－1，－1)所在直线的斜率．由图知，当点P 运动到点A 时，z 取得最大值．因为A (0,1)，所以z max ＝1＋10＋1＝2. 答案：216．已知x ，y 满足⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2，若x 2＋y 2的最大值为m ，最小值为n ，则mx ＋ny 的最小值为 ．解析：作出不等式组⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，x ＋y －3≥0，x ≤2表示的平面区域，如图中阴影部分所示，即△ABC 及其内部，其中A (1,2)，B (2,1)，C (2,3)．令u ＝x 2＋y 2，其表示阴影部分的点到坐标原点的距离的平方．显然在点C 处x 2＋y 2取得最大值m ，则m ＝22＋32＝13.而原点到直线x ＋y －3＝0的距离d ＝|－3|12＋12＝32，且|OA |＝|OB |＝5，∴x 2＋y 2的最小值n ＝(32)2＝92.故mx ＋ny ＝13x ＋92y ，令z ＝13x ＋92y ，可得y ＝－269x ＋29z ，故当直线y ＝－269x ＋29z 经过点A (1,2)时，z 取得最小值，最小值为z ＝13×1＋92×2＝22. 答案：22。