第九章 力矩分配法
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结构力学-力矩分配法
MB=150－90=60
2）去掉约束，相当于
m －150 A－15
M－1－50175
200kN150M－B 90 20kN/m
MB
－3B0 151020
－30↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ －－12900
C
在结点加上负的不平衡
力矩，并将它分给各个 175
杆端及传递到远端。
mBA 300
mBC 120 －MB=－6090
注意：
• ①结点集中力偶m顺时针为正，产生正的分配弯矩。 • ②分配系数 μ1j 表示1j杆1端承担结点外力偶的比率，它
等于该杆1端的转动刚度S1j与交与结点1的各杆转动刚度 之和的比值，即：μ1j＝S1j/ΣS1j ，且Σ μ1j＝1 （3）
• ③只有分配弯矩才能向远端传递。
• ④分配弯矩是杆端转动时产生的近端弯矩，传递弯矩 是杆端转动时产生的远端弯矩。
• 用力矩分配法计算多结点的连续梁和无侧移刚架，只要 逐次放松每一个结点，应用单结点的基本运算，就可逐 步渐近求出杆端弯。以图1所示连续梁为例加以说明。
转动刚度
在确定杆端转动刚度时：近端看位移（是否为单位位移）
远端看支承（远端支承不同，转动刚度不同）。
下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB
MAB
MAB
θ MAB
1
√ ① ②
1
MAB
1
③④
1
Δ
转动刚度SAB=4i是（ ）
A
i
B
A
i
√ √ B ①
③
A
i
B
④
A
i
4i>SAB>3i
√B ②
A
i⑤ B
i
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结构力学第9章__力矩分配法(新)
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
①求固端弯矩； ②将会交于结点的固端弯矩之和按分配系数分配给每一个杆端。 ③各杆按各自的传递系数向远端传递。 ④将固端弯矩和分配（或传递的弯矩）相加，得杆端最后弯矩。
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
12kN/m
i
6m
16kN
2i
3m
3m
0.4 0.6
固端弯矩 -36
第9章 渐进法及超静定力的影响线 9-1 力矩分配法的基本概念 9-2 单结点的力矩分配法 9-3 多结点的力矩分配法 9-4 计算结果的校核
9-1力矩分配法的基本概念
M
4
2 i12 1
i14
i13
3
4i12Δ1
2i12Δ1
i13Δ1 i13Δ1
3i14Δ1
M12 4i121 M13 i131 M14 3i141
M
1 M21 2 M12 M31 M13 M41 0 M14
9-1力矩分配法的基本概念
1 转动刚度：梁端发生单位转角产生的弯矩。
M ik Sik 1
4iik 远端为固定端
S ik
3iik iik
远端为铰支端 远端为平行支链杆
0 远端为自由端
2 分配系数：与转动刚度成正比
ik
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
第九章-力矩分配法原理
等截面直杆的传递系数
CAB=1/2 SBA=2i
A
i
B
CAB=0
SBA=0
A
i
B
CAB= －1 SBA=－i
A
i
B
i
4
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
固定支座
4i
1/2
铰支座
3i
0
定向支座
i
－1
问题：下列那种情况的杆端弯矩MAB=SAB？
MAB
MAB
θ MAB
1
8m
4m
4m
最后弯矩 0
86.6 －86.6 124.2 －124.2
15
§9-2 多结点的力矩分配
例9.2 力矩分配法计算并画M图。
A 15kN/m
↓↓ ↓↓↓ ↓
B
150kN ·m ∑MCg =－140 10kN
C
D
E
i=3
i=1
i=2
4m
8m
8m
2m
μ
Mg 40
3/7 4/7 ∑MBg =108 80
1、转动刚度S：表示杆端对转动的抵抗能力。 使AB杆件的A杆端发生单位转角时在A端所需施加的力矩，记作SAB 习惯上将发生转动的杆端称为“近端”，而杆件的另一端称为“远端
当远端是不同支承时，等截面杆的转动刚度AiB
1
A
i
B
1
A
i
B
1
A
BB
2
§9-1 力矩分配法的基本概念
如果把近端改成固定支座，转动刚度SAB的数值不变， 此时SAB表示当固定支座发生单位转角时在A端引起的杆端弯矩。
09第九章_力矩分配法
09第九章_力矩分配法第九章力矩分配法本章的问题：A.力矩分配法的适用条件是什么？B.什么叫固端弯矩？约束力矩如何计算？C.什么是转动刚度、分配系数和传递系数？D.什么是不平衡力矩？如何分配？E.力矩分配法的计算步骤如何？F.对于多结点的连续梁和无侧移的刚架是如何分配和传递弯矩的？力矩分配法是位移法的渐近法。
适用于连续梁和无结点线位移的刚架。
§ 9－1力矩分配法的基本概念力矩分配法的理论基础是位移法，属于位移法的渐近方法。
适用范围：是连续梁和无结点线位移的刚架。
针对本方法，下面介绍有关力矩分配法的几个相关概念。
1、名词解释（1）转动刚度转动刚度表示杆端对转动的抵抗能力。
杆端的转动刚度以S表示，它在数值上等于使杆端产生单位转角时需要施加的力矩。
图9－1给出了等截面杆件在A端的转动刚度S AB的数值。
关于S AB 应当（1）在S AB（2）S AB在图9－1中，由图9－1远端固定：远端简支：远端滑动：远端自由：i图9－1各种结构的转动刚度（2）分配系数图9－2所示三杆AB 、AD 、AC 在刚结点A 连接在一起。
远端B 、C 、D 端分别为固定端，滑动支座，铰支座。
假设有外荷载M 作用在A 端，使结点A 产生转角θA ，然后达到平衡。
试求杆端弯矩 M AB 、 M AC 、 M AD 。
由转动刚度的定义可知：M AB = S AB θA = 4i AB θA M AC = S AC θA = i AC θA M AD= S AD θA = 3i AD aθM A θ=式中将A θ即：杆AB的转动刚度与交于A点的各杆的转动刚度之和的比值。
注意：同一结点各杆分配系数之和应等于零。
即Σμ=μAB+μAC+μAD=1总之：作用于结点A的力偶荷载M，按各杆端的分配系数分配于各杆的A端。
（3）传递系数在图9－2中，力偶荷载M作用于结点A，使各杆近端产生弯矩，同时也使各杆远端产生弯矩。
由位移法的刚度方程可得杆端弯矩的具体数值如下：M AB = 4i ABθA M B A = 2i ABθAM AC = i ACθA M CA =－i ACθAM AD =3i ADθA M DA = 0由上式可看出，远端弯矩和近端弯矩的比值称为传递系数用C AB表示。
力矩分配法
iAB=EI/8=3i iBC=EI/6=4i
4(3i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2
, 3(4i) /[4(3i) 3(4i)] 1/ 2 BC
BA
将分配系数写在B结点下方的方框内。
(2) 计算各杆端的固端弯矩MF(查表8-1)。
ql2 1282
MF
64kN m
AB
12
图见图9-4(b)所示 。
为了计算更加简单起见,分配弯矩Mμ,及传递弯矩MC的具体 算式可不必另写,而直接在图9-4表格上进行即可. 例9-2 计算图9-5(a)所示刚架的M图。
解: (1) 计算分配系数 。
设i=EI/4, iAB=EI/4=i, iAC=EI/4=i, iAD=2EI/4=2i。
BA
BA
BA
AB
AB
AB
以上就是力矩分配法的基本思路,概括来说:先在B结点加上附加 刚臂阻止B结点转动,把连续梁看作两个单跨粱,求出各杆的固端弯矩 MF,此时刚臂承受不平衡力矩MB(各杆固端弯矩的代数和),然后去掉
附加刚臂,即相当于在B结点作用一个反向的不平衡力矩(-MB)，求 出各杆端的分配弯矩及传递弯矩MC，叠加各杆端弯矩即得原连续 梁各杆端的最后弯矩。连续梁的M、FS图及支座反力则不难求出。 用力矩分配法作题时,不必绘图9-3(b)、(c)所示图,而是按一定的格 式进行计算,即可十分清晰地说明整个计算过程,举例如下。
第一步放松C结点。
C结点的不平衡力矩MC=60-88=-28kN·m，将其反号分配：
M 283/ 7 12kN m M 28 4 / 7 12kN m
CD
CB
80kN
60kN
11kN/m
(a)
第九章力矩分配法原理
∑MAg = －45
MABg
M=15
－ 50
50
－ 80
10 1/2 20 10 15
A MADg
－ 40
70 10 － 65
70 65
－1
－10
40 100
－ 10 C
B
A
D
10
80
M图（kN ·m)
C
§9-2 多结点的力矩分配
力矩分配法计算多结点结构，只要逐次放松每一个结点，应用单结 点力矩分配法的基本运算，就可逐步地渐近地求出杆端弯矩。
2、传递系数C： 当杆件的近端发生转动时，其远端弯矩与近端弯矩的比值：
C M远 M近
∴远端弯矩可表达为： M BA CAM B AB
等截面直杆的传递系数
CAB=1/2 SBA=2i
A
i
B
CAB=0
SBA=0
A
i
B
CAB= －1 SBA=－i
A
i
B
i
§9-1 力矩分配法的基本概念
等截面直杆的转动刚度和传递系数如下表：
§9-1 力矩分配法的基本概念
2、单结点结构在跨中荷载作用下的力矩分配法
1）锁住结点，求固端弯矩及 结点不平衡力矩
200kN
20kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
M AB g
结2点00不 6平衡1力50kN 矩要8反号分配.
m μ
A
3i
3m
M BA g
20结0点 6不平15衡0k力N矩 m
=8固端弯矩之和
A
④
⑤A
i
B
i
B
i
B
i 4i>SAB>3i
9力矩分配法
CB 1
CD 0
③传递系数
1 CCB 2
CBC 0
第9章 力矩分配法
§9-3 对称结构的计算
取一半结构进行计算，注意杆件截半后，线刚度增倍。 例9-3-1 求矩形衬砌在上部土压力作用下的弯矩图。
q
A EI1 F
B
EI2
K
l2
C
解：设梁的线刚度为i1=EI1/l1 柱的线刚度为i2=EI2/l2
⑸最后一轮循环最后一个结点分配后只向其他结点传递。
第9章 力矩分配法
⑹不能同时放松相邻结点（因定不出其转动刚度和传递系数）， 但可以同时放松所有不相邻的结点，以加快收敛速度。
A
B
C
D
E
B、D同时分配后向C传递，C分配后再同时向B、D传递，如此循 环。
A
B
C
D
E
F
B、D同时分配后同时向C、E传递，C、E同时分配后再同时向B、 D传递，如此循环。
A
B
15.86 3m 3m
C M (kNm) 6m
结点
A
B
C
解：① 不平衡力矩
m
g AB
Pl 8
20 6 8
15
m
g BA
Pl 8
15
mBgC
ql2 8
9
mBg
m
g BA
mBgC
6
杆端
AB
BA BC CB ②分配系数
分配系数
4/7 3/7
固端弯矩 -15
15
-9 0
平衡
分配传递 -1.72 -3.43 -2.57 0
第9章 力矩分配法
§9-1 力矩分配法的基本概念
第9章 力矩分配法
§9.3
多结点的力矩分配法
【例9-2】 用力矩分配法计算图9.6（a）所示两结点多跨超静定梁，
画出梁的弯矩图。
【解】（1）固定结点。固 定结点B和C，计算各杆的固 端弯矩。 （2）计算B、C结点上的不 平衡力矩。 （3）计算分配系数。分别 计算相交于结点B和结点C的 各杆杆端的分配系数。 （4）放松结点，计算分配 弯矩和传递弯矩，填入计算 表中，如图9.6（b）所示。 （5）停止分配、传递计算 后，将杆端所有固端弯矩、 分配弯矩、传递弯矩（即表 中同一列的弯矩值）代数相
2. 在静定结构中，除了荷载作用以外,其他因素如支座移动、温 度改变、制造误差等，都不会引起内力。在超静定结构中,任何上述
§9.4
超静定结构的特性
3. 静定结构在任一约束遭到破坏后,即丧失几何不变性,因而就不 再承受荷载。而超静定结构由于具有多余约束,在多余约束遭到破坏 后,仍能保持其几何不变性，因而还具有一定的承载能力。
4. 局部荷载作用对超静定结构比对静定结构影响的范围大。 例如图9-8a)所示连续梁，当中跨受荷载作用时，两边跨不仅发生 弯曲变形，且产生内力。而图9-8b)所示多跨静定梁，受同样荷载作 用时，两边跨只随着转动，但不产生内力。因此,超静定结构比静定 结构的内力分布要均匀些。
小结 力矩分配法是建立在位移法基础上的一种数值逼近法，不 需要求解未知量。对于单结点结构，计算结果是精确结果； 对于两个及以上结点的结构，力矩分配法是一种近似计算方 法，但其误差是收敛的，即是可以循环计算直至误差在允许 范围内。 力矩分配法计算过程中需要注意以下两点： 1. 在运用力矩分配法解题的过程中，变形过程被想象成两 个阶段：第一阶段是固定结点，加载，得到的分配法求杆端 弯矩，并作M图。
分配系数 固端（A）
9力矩分配法
21.4
6.1
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
1.8 3.5 2.6
… … ...
14
q 12kN / m
A
EI
1 EI
10m
10m
2 EI
10m
BA
q 12kN / m
1
B 2
q 12kN / m
A
M
u 1
ql2 / 8
1
ql2 / 12
M
u 2
2
B MF 0
28.6
100
-28.6 -57.1 -42.9
分0
配
21.4
6.1
传 递
0.429 0.571 0.571 0.429 150 -100 100 0 0 -28.6 -57.1 -42.9 0 -9.2 -12.2 -6.1 1.8 3.5 2.6 0 -0.8 -1.0
-9.2 -12.2 -6.1
1.8
6.1
SAB 4i
AiB SAB 3i
对等直杆，SAB只与B端的
支撑条件有关。
A端一般称为近端（本端），
AiB
B端一般称为远端（它端）。
SAB i
4
M
d BA
SBA B
M
d BC
SBC B
M
u B
M
d BA
M
d BC
0
B
S BA
1 SBC
(
M
u B
)
M
d BA
S BA SBA SBC
q 12kN / m B
第九章 力矩分配法和近似法PPT课件
数。
M B AC A BM A B (91 )
5
第九章 力矩分配法和近似法
SAB = 4i
三、弯矩分配系数m
如用位移法求1解：
D 设iAAD点M 有iA力AZ C1 矩iAMB ，B 求MMAB、MAC和MM M M ADA A A B C D 4 3 iiA iA A C B SD SAABA A B=A =11 3 iiS S S A A A B C D Z Z Z 11 1
m Aj 1
A
7
第九章 力矩分配法和近似法
例9-1: 试用力矩分配法计算图示刚架，EI为常数。
解1）AE的内力是静定的，原结
E
20kN
构可转换为9-3b图进行计算
4m
C
2）计算A结点各杆的弯矩分配系数
A
80
D
SAB
4EI 4
EI
S AC
EI 4
4m
SAD
3EI 4
3EI 4
由（9-2）式计算各杆的分配系数
近端
A
fA l
MBA = 2 iAB fA
远端
B
远端固定
CAB
MBA MAB
1 2
远端铰支
MAB = 3iABfA
A
fA
MAB= iABfA
A
fA
MBA = 0
B
MBA = - iAB fA
B
CAB
MBA MAB
0
远端定向
CAB
MBA MAB
1
杆AB仅在近端A有转角时，引起远端B的弯矩MBA称为传 递弯矩，各杆远端弯矩分别等于各杆近端弯矩乘以传递系
mAB
8 0.39 84.58
第九章 力矩分配法
BC ( M B ) M BC
例1. 用力矩分配法作图示连续梁 （1）B点加约束 的弯矩图。 167.2 M图(kN· m) 200 6 115.7 F 200kN 150 kN m MAB = 20kN/m 8 90 300 F= 150 kN m M BA EI EI C B A 2 20 6 90kN m MBCF= 3m 6m 3m 8 MB= MBAF+ MBCF= 60 kN m 200kN 60 20kN/m （2）放松结点B，即加-60进行分配 C 设i =EI/l B A 计算转动刚度： -150 150 -90 SBA=4i SBC=3i + -60 4i 0.571 0.429 BA 0.571 分配系数： 4i 3i C A -17.2 -34.3 B -25.7 0 0.571 A -150
Hale Waihona Puke 第9章 力矩分配法【例9-6】设图示连续梁支座A顺时针转动了0.01rad，支座B、C分别下沉了
ΔB =3cm和ΔC =1.8cm，试作出M图，并求D端的角位移θD。已知 EI=2×104kN· m2。
A =0.01rad
B A EI
B
C EI =3cm 4m EI
C =1.8cm
D
4m 3.47 A
分 配 与 传 递
-5.72
+2.86 +2.86 -0.41 +0.21 +0.20 -81.93 +81.93
-11.43 -8.57
4i 0.625 4i 3 0.8i DE BA 0.375
2、计算固端弯矩
F M DE 2kN m F M DC 5.62kN m F M CD 9.38kN m
第9章 力矩分配法
2ql
11 32
l
A
l
l
结点 杆端
B B1
A A1
1 1A 1B 1C 1/2 3/8 1/8
C C1
2ql
ql 2 / 4
MF 0 所得的结果是 分配 0 传递 近似解吗? M 0 q
-1/4 1/4 1/8
0
0
3 64
3 64
3 3 9 3 16 32 64 64
11 32 1 16 1 3 64 64
练习
20 kN / m 40 kN .m
求不平衡力矩
A
EI
B
EI
C
6m
20 kN / m
4m
40 kN .m
60
A
60
B
40 kN .m
u MB
C
M 60 40 100kN.m
u B
作图示梁的弯矩图(利用传递系数的概念)
20kN.m A
EI
60
40kN.m
10 kN
B
EI
C
6m
4m
练习:作弯矩图
1.固定结点，计算固端弯矩 f M AB ql2 / 12 100kN.m f M BA 100kN.m
q 12kN / m
A
EI
B
EI
C
M M 0 分配系数： 4i 4 BA 0.571 4i 3i 7 3i 3 BC 0.429 4i 3i 7 2.放松结点 不平衡力矩：M B 100kN.m 分配弯矩：
… … ...
A
q 12kN / m
EI
1
力矩分配法
21.4
6.1
21 0.571 2B 0.429
-9.2 -12.2 -6.1
放松结点1(结点2固定):
1.8
6.1
S12 4i S1A 3i
12 0.571 1A 0.429
1.8 3.5 2.6
… … ...
q 12kN / m
A
EI
1 EI
2 EI
B A q 12kN / m
R1
转动刚度：使AB杆的A端产生单位转动，在A端所需施加
的杆端弯矩称为AB杆A端的转动刚度，记作SAB。
1S AB
Ai B
1 4i A
i
B
S AB 4i A iB
对等直杆，SAB只与B端的 支撑条件有关。
S AB 3i
A端一般称为近端（本端），
A iB
B端一般称为远端（它端）。
S AB i
一.基本概念 固定状态: 固端弯矩---荷载引起的单跨梁两
数总和恒等于1。
SBA 4i SBC 3i
BA 4i /(3i 4i) 4 / 7 0.571 A
B
M
u B
B
C
BC 3i /(3i 4i) 3 / 7 0.429
M
d BA
BA
(
M
u B
)
57.1
M
C AB
CM
d BA
0.5 (57.1)
2
1
3
B
q 64 1
C 64
1
16
l
2ql
EI C
11
A
结构力学 第二十九讲力矩分配法和近似法
计算对象：杆端弯矩； 计算方法：逐渐逼近的方法； 适用范围：连续梁和无侧移刚架。
一、转动刚度S（劲度系数、抗弯刚度）：
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
11对等直杆，源自AB与杆的i（材料的S性AB质=i、横截面1的形状和尺寸、杆长）
= ∑S1j
式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端转动刚度的总和。
Z1 1 4i12
2
4
2i12 3i13 1 i14
解典型方程得：
Z1=
3
(c) M1图
按叠加法
计算各杆端的最后弯矩。
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M13=
M14= 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按转动刚度大小的比例分配给近端，因 此称为分配弯矩，m12 、m13 、m14 等称为分配系数， 其计算公式为
及远端支承有关，而与近端支承无关。
SAB = 4i
二、弯矩分配系数m
如用位移法求1解：
D
设iAAD 点M 有iA力AZC1矩iAMB ，B 求MMAB、MAC和MMMMADAAABDC
4iABSZAB1=3iS ABZ1
iAC Z1 1 SAC Z1 3iADSZAB1=1i SAD Z1
目录
第九章 力矩分配法和近似法
§9-1 力矩分配法的基本概念 §9-2 用力矩分配法计算连续梁和
无结点线位移的刚架 §9-4 多层多跨刚架的近似计算
教学内容
第九章 力矩分配法和近似法
教学内容：力矩分配法的基本概念，用力矩分配法计算连 续和无结点线位移的刚架，多层多跨刚架的近似计算，反 弯点。 教学要求： 1、理解力矩分配法的物理意义，转动刚度、分配系数、 传递系数概念的物理意义，多层多跨刚架的近似计算； 2、掌握力矩分配法中正负号规定，能够根据远端的不同 支承条件熟练地写出各种情形的杆端转动刚度、向远端的 传递系数，并计算分配系数；掌握力矩分配法的主要环节， 力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架。 重点： 力矩分配法的基本原理，连续梁和无结点线位移 刚架的计算。 难点：多层多跨刚架的近似计算。
一、转动刚度S（劲度系数、抗弯刚度）：
表示杆端对转动的抵抗能力。 在数值上 = 仅使杆端发生单位转动时需在杆端施加的力矩。
SAB=4i
SAB=3i
11对等直杆，源自AB与杆的i（材料的S性AB质=i、横截面1的形状和尺寸、杆长）
= ∑S1j
式中∑S1j代表汇交于结点1的各 杆端转动刚度的总和。
Z1 1 4i12
2
4
2i12 3i13 1 i14
解典型方程得：
Z1=
3
(c) M1图
按叠加法
计算各杆端的最后弯矩。
结点1的各近端弯矩为：
M12=
M13=
M14= 以上各式右边第一项为荷载产生的弯矩，即固端弯矩。 第二项为结点转动Z1角所产生的弯矩，这相当于把不 平衡力矩反号后按转动刚度大小的比例分配给近端，因 此称为分配弯矩，m12 、m13 、m14 等称为分配系数， 其计算公式为
及远端支承有关，而与近端支承无关。
SAB = 4i
二、弯矩分配系数m
如用位移法求1解：
D
设iAAD 点M 有iA力AZC1矩iAMB ，B 求MMAB、MAC和MMMMADAAABDC
4iABSZAB1=3iS ABZ1
iAC Z1 1 SAC Z1 3iADSZAB1=1i SAD Z1
目录
第九章 力矩分配法和近似法
§9-1 力矩分配法的基本概念 §9-2 用力矩分配法计算连续梁和
无结点线位移的刚架 §9-4 多层多跨刚架的近似计算
教学内容
第九章 力矩分配法和近似法
教学内容：力矩分配法的基本概念，用力矩分配法计算连 续和无结点线位移的刚架，多层多跨刚架的近似计算，反 弯点。 教学要求： 1、理解力矩分配法的物理意义，转动刚度、分配系数、 传递系数概念的物理意义，多层多跨刚架的近似计算； 2、掌握力矩分配法中正负号规定，能够根据远端的不同 支承条件熟练地写出各种情形的杆端转动刚度、向远端的 传递系数，并计算分配系数；掌握力矩分配法的主要环节， 力矩分配法计算连续梁和无结点线位移刚架。 重点： 力矩分配法的基本原理，连续梁和无结点线位移 刚架的计算。 难点：多层多跨刚架的近似计算。
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i1
E1 E2
ni1
在刚架串联中两个中间柱子的变形相同，故可合二为一，其线刚度为两个相邻 柱线刚度之和，内力等于两个柱之和。
合成条件为：各单跨对称刚架的线刚度及结点水平荷载应符合倍数关系。二、计算步骤 例: 10源自N 23 2 ② ③ 9 4
三、应用条件
结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。 即：刚架中除了无侧移杆外，其余有侧移杆件全是剪力静定杆。
P D PC PB A P P D P
P
PC
2P
3P
P PB A 柱剪力图
剪力分配法 （按侧移刚度分配）
例题1、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。
5kN B 1kN/m C i1=4 i2=3 A 2m 2m 4m B
B
SBA
SBC 1
B
i2
1
i2
C
0.2 0.8
3i1
-2.67 -3.75 1.28 5.14
-1.39 1.39 -5.33
i2 A
CBA 1
1.39
1.39 5.70
S BA i2 3 S BC 3i1 12
3 BA 0 .2 3 12 12 0.8 BC 3 12
无剪力分配法的应用——符合倍数关系的多跨刚架
在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚 架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形 （内力）状态。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多 跨刚架。 P1 A B1 nP1 B2 C 一、倍数定理
独立倍数刚架 D
i1
i2
ni2
-1.28 -6.61
M图(kN·m) 6.61
四、多层单跨剪力静定刚架
1、施加刚臂约束节点的转动，用于求固端弯矩。
MAB P1 D P1 P1
A P2
B E P2
A MBC
MBA
B
P1+P2
B
C MCB
C
1）AB、BC杆是剪力静定杆，由静力条件求出杆端剪力； 2）将杆端剪力作为杆端荷载，按该端滑动、另端固定求杆 件固端弯
2、逐次释放节点转角，反号分配不平衡弯矩并传递
A SBA= iAB B SBE=3iBE C Q=0 D
A
Q=0
A
CBA= -1
A
D
Q=0
E MBC= iBC
A
A
CBC= -1 Q=0 -MBC
B
A
A
MBA= iAB
B
B
E
同前述单层刚架，在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪
力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在 零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。
解：选取结点角位移为基本 未知量，加刚臂成基本体系， 竖杆为剪力静定杆件，可用 无剪力分配法。
（1）求固端弯矩MF
A
MF BC
3 5 4 3.75 16
5KN
M
F BA
B
C
MF AB
ql 2 1 4 2 2.67 6 6 ql 2 5.33 3
（2）求杆端转动刚度S 、分配系数和传递系数C
i1
E1
E2
ni1
1 2
ni1
F
刚架Ⅰ和刚架Ⅱ线刚度成1:n 刚架Ⅰ和刚架Ⅱ 荷载成1:n
位移
A
A B B C
B1
B2 C
内力成1: n 的关系 结论表明：两个刚架的线刚度与荷载均成比例时， 内力也成比例而变形相等。
h
独立倍数刚架
P1
A i2 D i1
A
图（C）
B
A
A
图（D）
B
A
加刚臂阻止转动 放松节点使产生真实转角 A
A
C
A
C SAB= iAB
SAC= 3iAC
A
B
A
B
(节点A处产生 不平衡力矩)
(A处不平衡力矩 反号后待分配) MAB A
B 右1图因节点A,C 同时 水平移动，AC 杆作 刚体平 移不引起内力
SAB=iAB A 右2图A处实际转角时， 水平杆在A端有转动 Q=0 CAB=-1 刚度，AB杆受弯 -MAB B （参与A节点不平衡 力矩的分配）
由以上知：
1）此类结构中侧移杆皆为剪力静定杆的有侧移刚架可采用力
矩分配法（不这样称呼），此剪力静定杆在力矩分配和传递时 剪力为零，因此称为无剪力分配法。
2）求剪力静定杆的固端弯矩时，对节点角位移处施加刚臂，
按该端滑动、远端固定的杆在杆端剪力和杆上荷载共同作用下 通过查载常数表确定固端弯矩 （若某剪力静定杆上无直接作用荷载则可先由平衡条件求出杆 端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动、远端固定杆 件计算固端弯矩） 3）剪力静定杆件的转动刚度 S=i；传递系数 C= -1 。 4）AC杆的计算与以前一样。
9.4 无剪力分配法
一、两个概念
1、有侧移杆与无侧移杆
杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆
杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆
2、剪力静定杆 杆件内的各截面剪力可以 由静力平衡条件唯一确定 的杆称为剪力静定杆
B
A C
A
图（A）
二、无剪力分配法
1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A水平移动时，竖杆除 受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。 位移法解题：一般A处加刚臂，C点加支杆，基本结构如右下图 力矩分配法：通常只适用于计算仅以节点角位移为基本未知量
的结构。是位移法解决基本未知量中无节点线位
移的结构其内力的一种近似方法 如果某结构为有节点线位移的结构，但 独立的节点线位移可以不作为位移法基 本未知量，而只以角位移为基本未知量， 因而也可以用力矩分配法计算。
C
A B 图（B）
图示刚架，若只取节点A的转角为基本未知量，也就是只在节 点A施加刚臂控制节点转动、不加水平链杆控制节点水平位移， 则竖杆AB成为上端定向支承、下端固端支承的单跨梁；梁BC仍 可看作左端固定、右端铰支的单跨梁（因A、C两点同时等量左 右移动时不引起内力，无侧移杆）。此时图D仍是各基本单跨 梁的组合体，可用位移法（留为作业），因此也可直接用力矩 分配法。 C C A
B1 i1
nP1
B2 ni1
ni2
C ni1
内力成比例而变形（位移）相等 刚架的串联 B1 B2 A i2 ni2 P=（1+n）P1 D i1
E1
E2
C ni1 F
F
刚架串联且荷载叠加后，两个刚架的内力和位移（变形）与原分开时相 同（刚度成比例时荷载也按比例分配）。 B A C 多跨刚架 P=（1+n）P i2 ni2 1 D i1 （n+1）i1 E ni1 F