第九章 力矩分配法
力矩分配法步骤
力矩分配法步骤
力矩分配法是一种常用的工程计算方法，用于计算多个力矩作用下的物体平衡情况。以下是力矩分配法的步骤：
1. 确定物体的支撑点和质心位置。支撑点是物体受力的点，质心是物体受力后所处的重心位置。
2. 根据物体的几何形状和质量分布，计算出每个力矩的大小和方向。力矩是由力和力臂（即力作用点到支撑点的距离）组成的向量。
3. 将每个力矩沿着垂直于力臂的方向进行分解，得到平行于支撑面和垂直于支撑面的两个力矩。
4. 对于平行于支撑面的力矩，将它们相加，得到总的平行力矩。对于垂直于支撑面的力矩，将它们相加，得到总的垂直力矩。
5. 根据平行力矩和垂直力矩的大小关系，判断物体是处于平衡状态还是失衡状态。如果平行力矩和垂直力矩大小相等，则物体处于平衡状态；否则，物体处于失衡状态。
6. 如果物体处于失衡状态，需要调整力矩的大小和方向，直到物体处于平衡状态。可以通过移动力作用点、改变力的大小或方向等方式来调整力矩。
通过以上步骤，可以使用力矩分配法计算物体在多个力矩作用下的平衡情况，并调整力矩使物体处于平衡状态。
- 1 -
力矩分配法
力矩分配法
简介
力矩分配法是一种常用的工程分析方法，用于计算和分析
物体受到的力的分布情况以及力矩的平衡。根据力矩分配法，物体处于平衡状态时，所有作用于物体上的力矩和为零。利用这个原理，可以计算物体上各点的力的大小和分布。
基本原理
力矩是一个力在距离某一点的作用线上产生的旋转效果。
当物体受到多个力作用时，在平衡状态下，力的合力和力矩的合力都为零。根据力矩的定义，可以得到如下的力矩分配方程：
其中，表示物体上所有力矩的代数和。
力矩分配法的步骤
力矩分配法一般包括以下几个步骤：
1.给定各个力的大小和作用点位置。
2.计算每个力的力矩。力的力矩可以通过力乘以力臂
得到，力臂是力的作用点到某一参考点的直线距离。
3.将各个力矩代入力矩分配方程，求解未知力的大小
和作用点位置。可以利用代数方程或者力矩图等方法进行计算。
4.验证计算结果，检查力矩的合力是否为零，以验证
平衡状态。
5.如果力矩不为零，则需要重新调整力的大小和作用
点位置，再次计算和验证。
力矩分配法的应用
力矩分配法在工程中有广泛的应用。以下是一些常见的应用例子：
1.结构平衡：力矩分配法可以用于计算结构上各个部
分受力的平衡情况，如梁、桁架等结构的受力分析。
2.机械设计：力矩分配法可以用于计算机械装置中各
个零件受力的分布情况，如齿轮传动、支撑结构等。
3.车辆平衡：力矩分配法可以应用于汽车、飞机等交
通工具的平衡分析，确保车辆的稳定性和安全性。
4.物体悬挂：力矩分配法可以计算物体悬挂时各个支
点的受力情况，如吊车、吊车臂等。
总结
力矩分配法是一种常用的力学分析方法，通过计算力矩的平衡来推导出物体上各点的力的分布情况。它在工程中的应用非常广泛，可以用于结构平衡、机械设计、车辆平衡等领域。使用力矩分配法可以帮助工程师更好地理解和分析各种力的作用情况，从而设计出更加稳定和安全的结构和设备。
第九章-力矩分配法原理
M图（kN.m)
7.13 0.79
－0.79 E
可不急传递
19
100kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
A
i=1.92 1 i=1.37 2 i=2.4
3
i=1
B
2.5m
3.5m
2m
4.8
μ
0.513 0.478 0.363 0.637
m
78.1 －102.0 102.0 －33.3
μCD=0.6 μCB=106 . 4
§9-2 多结点的力矩分配
A 15kN/m
↓↓ ↓↓↓ ↓
B
i=3
4m
150kN ·m
C
i=1
i=2
8m
8m
M 89.1
30.8 － 30.8
30.8
36.4 113.6
36.4
10kN
D
E
2m
20 －20
20
30 89.1
M图（kN·m)
113.6
17
§9-2 多结点的力矩分配
例9.3 力矩分配法计算并画M图。
20kN/m
↓↓ ↓↓↓↓↓ ↓↓
2i
i
i
i
3m
20kN/m A↓↓↓↓↓↓
4i
力矩分配法
分配系数
1K
S1K S1K
分配弯矩 = 不平衡力矩反号 x 分配系数
传递弯矩 = 分配弯矩 x 传递系数
（3）计算杆端最后弯矩 近端弯矩 = 固端弯矩 + 分配弯矩 远端弯矩 = 固端弯矩 + 传递弯矩
例 2. 求解图示连续梁并作M图。
上的不平衡力矩。 （5）宜从不平衡力矩较大的结点开始分配。
思考: 求解图示结构 C 支座的反力。
B
C
看
Baidu Nhomakorabea
谁
a
做
l
EI = 常数
得
快!
A
D
l
解法一：力法（略）
Z1
解法二：位移法1
B
典型方程：
r11Z1 R1 0
6i
r11 7i R1 l a A
6a
Z1 7l
支座反力：
R2
69ia 7l 2
-0.7 0.3 0.4
92.6 -92.6
-14.7 -7.3 2.2 -1.5 -0.7
41.3 -41.3
据此可作出结构的弯矩图（略）。
能否用力
矩分配法
B
C
求解？
l
EI = 常数
A
D
结构力学第9章__力矩分配法(新)
Sik Sik
i
ik 1
i
3 传递系数：近端发生转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值.
Cik
M ki M ik
1
2
0
远端为固定端 远端为铰支端
1 远端为平行支链杆
9-2 单结点的力矩分配——基本运算
例题
M
ii
ii
4/7 3/7
固端弯矩
-M
分配、传递 2M/7
← 4M/7 3M/7
→
0
杆端弯矩 2M/7
96 64 → 32
-23.6 ← -47.3 -47.3 → -23.6 14.2 9.4 → 4.7
-1.2 ← 0.7 0.5 →
-2.3 -2.3 → -1.2 0.3
-0.1 -0.2
200.9 -200.9
237.3 -237.3 87.7
200.9
237.3
87.7
9-4计算结果的校核
5m
B
C
EI=常数
A
D
125kNm
ABCD部分: 弯矩图一样 剪力图一样 轴力图不一样
5m 5m
9-4计算结果的校核
平衡条件:每次分配时,自然满足
变形协调条件:
M ik
4iiki
2iikk
M
f ik
M ki
2iik i
第九章力矩分配法原理
3）叠加1）、2）步结果得到杆端的最后弯矩。 计算过程可列表进行。
例9.1 力矩分配法计算并画M图。
解：1）求μ
μAB= 4/9 μAC= 2/9
μAD= 3/9
2）求Mg MABg= 50
MBAg= － 50
MADg=－ 80
∑MAg=MABg+MADg+MACg － M =50+－80－15= －45 kN·m
A
④
⑤A
i
B
i
B
i
B
i 4i>SAB>3i
§9-1 力矩分配法的基本概念
二、力矩分配法的基本原理
1、单结点结构在结点力偶作用下的力矩分配法
M1A=4i1Aθ=S1Aθ
S 1A M S
B
M
A
1
M1B=3i1Bθ=S1Bθ
S 1B M S
M
θ
M1B
1 M1A
M1C=i1Cθ=S1Cθ
S 1C M
S
C M1C
∑M1= M1A+M1B+M1C－M=0
M
S
a)分配系数与分配弯矩 (∑μ=1)
1 j
S1 j S
——分配系数，μ1j等于杆1j的转动刚度S1j与交于结
点1的各杆转动刚度之和的比值(j=A，B，C)。
第九章-力矩分配法习题解答
1、清华5-6 试用力矩分配法计算图示连续梁，并画其弯矩图和剪力图。
C
清华
V图
M
(kN
解：（1）计算分配系数：
32
0.6
324
4
0.4
324
BA
BA
BA BC
BC
BC
BA BC
s i
s s i i
s i
s s i i
μ
μ
⨯
===
+⨯+⨯
⨯
===
+⨯+⨯
（2）计算固端弯矩：固端弯矩仅由非结点荷载产生，结点外力偶不引起固端弯矩，结点外力偶逆时针为正直接进行分配。
33606
67.5
1616
F
AB
F
BA
M
Pl
M
=
⨯⨯
===⋅
kN m
（3）分配与传递，计算列如表格。
（4）叠加固端弯矩和分配弯矩或传递弯矩，得各杆端的最后弯矩，作弯矩图如图所示。
（5）根据弯矩图作剪力图如图所示。
015
3027.
6
015
3032.
6
3517.5
8.75
6
AB BA
AB AB
AB BA
BA BA
BC CB
BC CB
M M
V V
l
M M
V V
l
M M
V V
l
++
=-=-=
++
=-=--=
+--
==-=-=
5kN
5kN
kN
2、利用力矩分配法计算连续梁，并画其弯矩图和剪力图。
4m
1m
2m
2m
原结构
简化结构
·
解：（1）计算分配系数：,4,34
BA BC BA BC EI
i i i S i S i =
====令 430.429
0.5714343BC BA BA BC BA BC BA BC s s i
i
s s i i
s s i i
μμ=
===
==++++
（2）计算固端弯矩：CD 杆段剪力和弯矩是静定的，利用截面法将外伸段从C 处切开，让剪力直接通过支承链杆传给地基，而弯矩暴露成为BC 段的外力偶矩，将在远端引起B 、C 固端弯矩。
结构力学——力矩分配法
结构力学——力矩分配法
结构力学是研究物体在外力作用下的变形和破坏行为的学科。其中，力矩分配法是一种求解结构梁的内力和变形的常用方法之一、本文将介绍力矩分配法的基本理论和应用。
首先，对于结构力学的研究，我们需要了解一些基本概念。力矩是由力的作用点与旋转轴之间的距离和力的大小决定的。在结构力学中，我们通常考虑作用在梁上的力和力矩。梁是一种常见的结构元件，可以将其看作是在两个固定点之间作用的力的集合。
在力矩分配法中，我们将梁分割成若干个小段，然后逐段计算每个小段的内力和变形。假设有一根长度为L，截面形状均匀的梁，并且在两个固定点之间施加了一系列分布力。我们可以将梁分割成n个小段，每个小段的长度为Δx=L/n。
接下来，我们需要计算每个小段的内力和变形。首先，我们可以根据材料力学的基本原理得出梁的拉伸、压缩和弯曲的力学方程。然后，我们可以根据小段的切线方向和切线上的任意一点来推导出该小段的内力和弯曲方程。最后，我们将内力分量在小段两端的力矩分配系数和位置矩分配系数进行合成，从而得出该小段的内力和弯曲方程。
在力矩分配法中，一个重要的概念是力矩分配系数。力矩分配系数是一个无量纲的参数，用来表示力和力矩在小段两端分配的比例。在计算力矩分配系数时，我们可以根据梁的几何形状和分布力的位置，利用力矩的基本原理进行推导。力矩分配系数是力矩分配法的核心，它可以帮助我们计算出每个小段的内力和变形。
在实际应用中，力矩分配法通常用于求解多跨梁的内力和变形。我们可以将多跨梁分割成若干个小段，并根据力矩分配法计算出每个小段的内力和变形。然后，我们可以将各个小段的内力和变形进行叠加，得出整个多跨梁的内力和变形。
力矩分配法
第9章 力矩分配法
固定
SAB=4i
铰支
SAB=3i
滑动
SAB=i
自由
SAB=0
传递系数C 1/2 0 -1
无意义
§9.1
力矩分配法的基本概念
2.传递系数 传递系数表示当近端有转角时，远端弯矩与近端弯矩的比值， 用符号C表示。对等截面直杆来说，传递系数C由远端支承情况 决定，如图9.2所示。其数值分别为：远端固定端：c=1/2；远 端铰支座：C = 0；远端滑动支座：C＝－1。
0
§9.3
多结点的力矩分配法
多节点的力矩分配法
多结点时仍考虑先固定结点，求出不平衡力矩；再逐个结 点放松，从不平衡力矩最大的结点开始，依次分配、传递， 直至传递弯矩趋近于零；叠加各杆端的固端弯矩和分配或传 递弯矩的最终杆端弯矩。
计算步骤： a) 固定刚结点，求固端弯矩和不平衡力矩； b) 计算分配、传递系数； c) 逐个结点进行反号不平衡力矩的分配与传递； d) 叠加求最终杆端弯矩； e) 绘内力图。
§9.3
多结点的力矩分配法
【例9-2】 用力矩分配法计算图9.6（a）所示两结点多跨超静定梁，
画出梁的弯矩图。
【解】（1）固定结点。固 定结点B和C，计算各杆的固 端弯矩。 （2）计算B、C结点上的不 平衡力矩。 （3）计算分配系数。分别 计算相交于结点B和结点C的 各杆杆端的分配系数。 （4）放松结点，计算分配 弯矩和传递弯矩，填入计算 表中，如图9.6（b）所示。 （5）停止分配、传递计算 后，将杆端所有固端弯矩、 分配弯矩、传递弯矩（即表 中同一列的弯矩值）代数相
第九章 力矩分配法
第9章 力矩分配法
基本名词定义
劲度系数 杆件AB（如图）的A断转动单 位角时，A端（近端）的弯矩 MAB称为该杆端的劲度系数，用 SAB表示。
劲度系数标志该杆端抵抗 转动能力的大小，又称为转动 刚度。与杆件的线刚度有关， 与杆件另一端（远端）的支承 情况有关。
第9章 力矩分配法
传递系数：远端（B端）弯矩与近端（A端）弯矩的比值，用 CAB表示。
4m 9.18
B C D
第9章 力矩分配法
解：运算过程如图Βιβλιοθήκη Baidu示
A EI A B EI
C
EI
D
B BA BC 1/2 1/2 -25 +20 +1.43 +0.10 -125 +90 -45 +40 +40
C CB CD 4/7 3/7 +90 +67.5 -90 -67.5 +20
D
MF
AB
DC 0
第 9章 第 9章
力矩分配法
例题: 试用弯矩分配法计算图示刚架，绘弯矩图。
120kN B i=2 20kN/m
AB
S AB S AB S AB S AB 42 0.39 S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5 S AC 42 0.39 S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5 S AD 3 1.5 0.22 S AC S AD 4 2 4 2 3 1.5
9力矩分配法
M
F AB
ql 2
/ 12
100kN .m
M
F BA
100kN .m
M
F BC
M
F CB
0
放松状态:
M
d BA
BA
(
M
u B
)
57.1
M
d BC
BC
(
M
u B
)
42.9
M
C AB
CM BA
28.6
M
C CB
0
最终杆端弯矩:
M AB 100 28.6 128.6
A EI
4m 4m
10kN / m
C B EI
6m
M F 40
分 配
1.25
传
递
0.5 0.5 40 45 0
2.5 2.5 0
M 38.75 42.5 42.5 0
42.5
38.75 40kN
10kN / m
M
10
例2.计算图示刚架,作弯矩图
解: S1B 3i S1A 4i
M
u B
---不平衡力矩,顺时针为正
固端弯矩---荷载引起的单跨梁两 端的杆端弯矩,绕杆端顺时针为正.
第9章 力矩分配法
2
B
EI
10 m
10 m
10 m
u M2
M ql / 12 100 F M M1FA M12 50 F F M M21 M2 B 100 放松结点2(结点1固定): S21 4i S 2 B 3i 21 0.571 2 B 0.429
F 21 u 1 u 2 2
5m
100
50
M F 100
分 配 传 递
0 .6 0 .4 50 0 30 20
0
20
0
M 100
20
20
20
20
二.多结点力矩分配
固定状态: M1FA ql 2 / 8 150 F M12 ql2 / 12 100
A
q 12kN / m
EI
1
EI
40
40 kN
A
EI
B
4m
EI
C
4m
6m
M F 40
分 配 传 递
0 .5 0 .5 40 45 2 .5 2 .5
0 0
1.25
M 38.75
42 .5 42 .5
40 kN
0
45 10kN / m
38.75kN.m
42 .5
10 kN / m
力矩分配法步骤
力矩分配法步骤
一、力矩分配法概述
力矩分配法是一种常用的结构力学计算方法，通过将外力作用于结构的力矩分配到各个构件上，进而求解结构的内力和变形。本文将介绍力矩分配法的基本步骤，以帮助读者理解并运用该方法。
二、确定支座反力
在应用力矩分配法之前，首先需要确定结构的支座反力。通过平衡条件和约束条件，可以求解出支座反力的大小和方向。
三、选择适当的截面
根据结构的几何形状和材料力学性质，选择适当的截面进行内力计算。一般情况下，选择在结构中能够产生最大弯矩或剪力的截面进行计算。
四、计算截面的惯性矩
根据所选截面的几何形状，计算出截面的惯性矩。惯性矩是描述截面抗弯刚度大小的物理量，计算时需要考虑截面形状和材料的分布。
五、计算截面的受力矩
根据外力作用点与截面的相对位置关系，计算出截面上的受力矩。受力矩的计算需要考虑外力的大小和方向，以及结构的几何形状。六、应用力矩分配公式
根据力矩分配法的基本原理，将截面上的受力矩按比例分配到各个构件上。分配的比例通常根据截面的惯性矩和构件的刚度来确定。七、计算构件的内力
根据分配到各个构件上的受力矩和构件的刚度，计算出各个构件的内力。一般情况下，根据受力矩的大小和方向可以确定构件的弯矩和剪力。
八、计算构件的变形
根据构件的内力和材料的力学性质，计算出构件的变形。变形的计算可以采用弹性力学的基本理论，考虑构件的材料性质和几何约束条件。
九、检验计算结果
对于复杂的结构系统，需要对计算结果进行检验。可以通过平衡条件、力的平行四边形法则和位移相容性等原理来检验计算结果的准确性。
十、总结
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无剪力分配法的应用——符合倍数关系的多跨刚架
在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚 架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形 （内力）状态。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多 跨刚架。 P1 A B1 nP1 B2 C 一、倍数定理
独立倍数刚架 D
i1
i2
ni2
的结构。是位移法解决基本未知量中无节点线位
移的结构其内力的一种近似方法 如果某结构为有节点线位移的结构，但 独立的节点线位移可以不作为位移法基 本未知量，而只以角位移为基本未知量， 因而也可以用力矩分配法计算。
C
A B 图（B）
图示刚架，若只取节点A的转角为基本未知量，也就是只在节 点A施加刚臂控制节点转动、不加水平链杆控制节点水平位移， 则竖杆AB成为上端定向支承、下端固端支承的单跨梁；梁BC仍 可看作左端固定、右端铰支的单跨梁（因A、C两点同时等量左 右移动时不引起内力，无侧移杆）。此时图D仍是各基本单跨 梁的组合体，可用位移法（留为作业），因此也可直接用力矩 分配法。 C C A
B1 i1
nP1
B2 ni1
ni2
C ni1
内力成比例而变形（位移）相等 刚架的串联 B1 B2 A i2 ni2 P=（1+n）P1 D i1
E1
E2
C ni1 F
F
刚架串联且荷载叠加后，两个刚架的内力和位移（变形）与原分开时相 同（刚度成比例时荷载也按比例分配）。 B A C 多跨刚架 P=（1+n）P i2 ni2 1 D i1 （n+1）i1 E ni1 F
由以上知：
1）此类结构中侧移杆皆为剪力静定杆的有侧移刚架可采用力
矩分配法（不这样称呼），此剪力静定杆在力矩分配和传递时 剪力为零，因此称为无剪力分配法。
2）求剪力静定杆的固端弯矩时，对节点角位移处施加刚臂，
按该端滑动、远端固定的杆在杆端剪力和杆上荷载共同作用下 通过查载常数表确定固端弯矩 （若某剪力静定杆上无直接作用荷载则可先由平衡条件求出杆 端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动、远端固定杆 件计算固端弯矩） 3）剪力静定杆件的转动刚度 S=i；传递系数 C= -1 。 4）AC杆的计算与以前一样。
i1
E1 E2
ni1
在刚架串联中两个中间柱子的变形相同，故可合二为一，其线刚度为两个相邻 柱线刚度之和，内力等于两个柱之和。
合成条件为：各单跨对称刚架的线刚度及结点水平荷载应符合倍数关系。
二、计算步骤 例: 10kN 2
3 2 ② ③ 9 4
三、应用条件
结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。 即：刚架中除了无侧移杆外，其余有侧移杆件全是剪力静定杆。
P D PC PB A P P D P
P
PC
2P
3P
P PB A 柱剪力图
剪力分配法 （按侧移刚度分配）
例题1、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。
5kN B 1kN/m C i1=4 i2=3 A 2m 2m 4m B
2、逐次释放节点转角，反号分配不平衡弯矩并传递
A SBA= iAB B SBE=3iBE C Q=0 D
A
Q=0
A
CBA= -1
A
D
Q=0
E MBC= iBC
A
A
CBC= -1 Q=0 -MBC
B
A
A
MBA= iAB
B
B
E
同前述单层刚架，在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪
力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在 零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。
i1
E1
E2
ni1
1 2
ni1
F
刚架Ⅰ和刚架Ⅱ线刚度成1:n 刚架Ⅰ和刚架Ⅱ 荷载成1:n
位移
A
A B B C
B1
B2 C
内力成1: n 的关系 结论表明：两个刚架的线刚度与荷载均成比例时， 内力也成比例而变形相等。
h
独立倍数刚架
P1
A i2 D i1
解：选取结点角位移为基本 未知量，加刚臂成基本体系， 竖杆为剪力静定杆件，可用 无剪力分配法。
（1）求固端弯矩MF
A
MF BC
3 5 4 3.75 16
5KN
M
F BA
B
C
MF AB
ql 2 1 4 2 2.67 6 6 ql 2 5.33 3
（2）求杆端转动刚度S 、分配系数和传递系数C
-1.28 -6.61
M图(kN·m) 6.61
四、多层单跨剪力静定刚架
1、施加刚臂约束节点的转动，用于求固端弯矩。
MAB P1 D P1 P1
A P2
B E P2
A MBC
MBA
B
P1+P2
B
C MCB
C
1）AB、BC杆是剪力静定杆，由静力条件求出杆端剪力； 2）将杆端剪力作为杆端荷载，按该端滑动、另端固定求杆 件固端弯
B
SBA
SBC 1
B
i2
1
i2
C
0.2 0.8
3i1
-2.67 -3.75 1.28 5.14
-1.39 1.39 -5.33
i2 A
CBA 1
1.39
1.39 5.70
S BA i2 3 S BC 3i1 12
3 BA 0 .2 3 12 12 0.8 BC 3 12
9.4 无剪力分配法
一、两个概念
1、有侧移杆与无侧移杆
杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆
杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆
2、剪力静定杆 杆件内的各截面剪力可以 由静力平衡条件唯一确定 的杆称为剪力静定杆
B
A C
A
图（A）
二、无剪力分配法
1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A水平移动时，竖杆除 受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。 位移法解题：一般A处加刚臂，C点加支杆，基本结构如右下图 力矩分配法：通常只适用于计算仅以节点角位移为基本未知量
A
图（C）
B
Aຫໍສະໝຸດ Baidu
A
图（D）
B
A
加刚臂阻止转动 放松节点使产生真实转角 A
A
C
A
C SAB= iAB
SAC= 3iAC
A
B
A
B
(节点A处产生 不平衡力矩)
(A处不平衡力矩 反号后待分配) MAB A
B 右1图因节点A,C 同时 水平移动，AC 杆作 刚体平 移不引起内力
SAB=iAB A 右2图A处实际转角时， 水平杆在A端有转动 Q=0 CAB=-1 刚度，AB杆受弯 -MAB B （参与A节点不平衡 力矩的分配）