第九章 力矩分配法

无剪力分配法的应用——符合倍数关系的多跨刚架
在一定条件下多跨刚架可以分解成几个单跨对称刚架，多跨刚 架的变形（内力）状态可以分解成几个单跨对称刚架的变形 （内力）状态。先讨论刚架在什么条件下才可能合并成一个多 跨刚架。 P1 A B1 nP1 B2 C 一、倍数定理
独立倍数刚架 D
i1

i2
ni2
的结构。是位移法解决基本未知量中无节点线位
移的结构其内力的一种近似方法 如果某结构为有节点线位移的结构，但 独立的节点线位移可以不作为位移法基 本未知量，而只以角位移为基本未知量， 因而也可以用力矩分配法计算。
C
A B 图（B）
图示刚架，若只取节点A的转角为基本未知量，也就是只在节 点A施加刚臂控制节点转动、不加水平链杆控制节点水平位移， 则竖杆AB成为上端定向支承、下端固端支承的单跨梁；梁BC仍 可看作左端固定、右端铰支的单跨梁（因A、C两点同时等量左 右移动时不引起内力，无侧移杆）。此时图D仍是各基本单跨 梁的组合体，可用位移法（留为作业），因此也可直接用力矩 分配法。 C C A
B1 i1
nP1
B2 ni1
ni2
C ni1
内力成比例而变形（位移）相等 刚架的串联 B1 B2 A i2 ni2 P=（1+n）P1 D i1

E1
E2

C ni1 F
F
刚架串联且荷载叠加后，两个刚架的内力和位移（变形）与原分开时相 同（刚度成比例时荷载也按比例分配）。 B A C 多跨刚架 P=（1+n）P i2 ni2 1 D i1 （n+1）i1 E ni1 F
由以上知：
1）此类结构中侧移杆皆为剪力静定杆的有侧移刚架可采用力
矩分配法（不这样称呼），此剪力静定杆在力矩分配和传递时 剪力为零，因此称为无剪力分配法。
2）求剪力静定杆的固端弯矩时，对节点角位移处施加刚臂，
按该端滑动、远端固定的杆在杆端剪力和杆上荷载共同作用下 通过查载常数表确定固端弯矩 （若某剪力静定杆上无直接作用荷载则可先由平衡条件求出杆 端剪力；将杆端剪力看作杆端荷载，按该端滑动、远端固定杆 件计算固端弯矩） 3）剪力静定杆件的转动刚度 S=i；传递系数 C= -1 。 4）AC杆的计算与以前一样。

i1
E1 E2
ni1

在刚架串联中两个中间柱子的变形相同，故可合二为一，其线刚度为两个相邻 柱线刚度之和，内力等于两个柱之和。
合成条件为：各单跨对称刚架的线刚度及结点水平荷载应符合倍数关系。
二、计算步骤 例: 10kN 2
3 2 ② ③ 9 4
三、应用条件
结构中有线位移的杆件其剪力是静定的。 即：刚架中除了无侧移杆外，其余有侧移杆件全是剪力静定杆。
P D PC PB A P P D P
P
PC
2P
3P
P PB A 柱剪力图
剪力分配法 （按侧移刚度分配）
例题1、用无剪力分配法求图示刚架的弯矩图。
5kN B 1kN/m C i1=4 i2=3 A 2m 2m 4m B
2、逐次释放节点转角，反号分配不平衡弯矩并传递
A SBA= iAB B SBE=3iBE C Q=0 D
A
Q=0
A
CBA= -1
A
D
Q=0
E MBC= iBC
A
A
CBC= -1 Q=0 -MBC
B
A
A
MBA= iAB
B
B
E
同前述单层刚架，在结点力矩作用下，剪力静定的杆件其剪
力均为零，也就是说在放松结点时，弯矩的分配与传递均在 零剪力条件下进行，这就是无剪力分配法名称的来源。
i1
E1
E2
ni1

1 2
ni1
F
刚架Ⅰ和刚架Ⅱ线刚度成1:n 刚架Ⅰ和刚架Ⅱ 荷载成1:n
位移

A
A B B C
B1
B2 C
内力成1: n 的关系 结论表明：两个刚架的线刚度与荷载均成比例时， 内力也成比例而变形相等。
h
独立倍数刚架
P1
A i2 D i1
解：选取结点角位移为基本 未知量，加刚臂成基本体系， 竖杆为剪力静定杆件，可用 无剪力分配法。
（1）求固端弯矩MF
A
MF BC
3 5 4 3.75 16
5KN
M
F BA
B
C
MF AB
ql 2 1 4 2 2.67 6 6 ql 2 5.33 3
（2）求杆端转动刚度S 、分配系数和传递系数C
-1.28 -6.61
M图(kN·m) 6.61
四、多层单跨剪力静定刚架
1、施加刚臂约束节点的转动，用于求固端弯矩。
MAB P1 D P1 P1
A P2
B E P2
A MBC
MBA
B
P1+P2
B
C MCB
C
1）AB、BC杆是剪力静定杆，由静力条件求出杆端剪力； 2）将杆端剪力作为杆端荷载，按该端滑动、另端固定求杆 件固端弯
B
SBA
SBC 1
B
i2
1
i2
C
0.2 0.8
3i1
-2.67 -3.75 1.28 5.14
-1.39 1.39 -5.33
i2 A
CBA 1
1.39
1.39 5.70
S BA i2 3 S BC 3i1 12
3 BA 0 .2 3 12 12 0.8 BC 3 12
9.4 无剪力分配法
一、两个概念
1、有侧移杆与无侧移杆
杆件两端没有垂直于杆轴的相对线位移，称无侧移杆
杆件两端在垂直杆轴的方向上有相对线位移，称有侧移杆
2、剪力静定杆 杆件内的各截面剪力可以 由静力平衡条件唯一确定 的杆称为剪力静定杆
B
A C
A
图（A）
二、无剪力分配法
1、刚架特点：竖杆为剪力静定杆，节点A水平移动时，竖杆除 受本身的弹性约束外无其他杆件或支座的约束。 位移法解题：一般A处加刚臂，C点加支杆，基本结构如右下图 力矩分配法：通常只适用于计算仅以节点角位移为基本未知量
A
图（C）
B
Aຫໍສະໝຸດ Baidu
A
图（D）
B
A
加刚臂阻止转动 放松节点使产生真实转角 A
A
C
A
C SAB= iAB
SAC= 3iAC
A
B
A
B
(节点A处产生 不平衡力矩)
(A处不平衡力矩 反号后待分配) MAB A
B 右1图因节点A,C 同时 水平移动，AC 杆作 刚体平 移不引起内力
SAB=iAB A 右2图A处实际转角时， 水平杆在A端有转动 Q=0 CAB=-1 刚度，AB杆受弯 -MAB B （参与A节点不平衡 力矩的分配）