导数的几何意义1

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导数的几何意义是什么

导数的几何意义是什么导数作为微积分中的重要概念，不仅在数学理论研究中有着重要地位，还在实际问题的求解中起到了至关重要的作用。

导数的几何意义是指在几何上，导数代表了函数曲线在某一点处的切线斜率。

它使我们能够通过函数图像来理解函数的变化规律及其在特定点的切线性质。

本文将重点论述导数的几何意义以及相应的应用。

一、导数的定义及计算在开始讨论导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义及计算方法。

对于函数y=f(x)，在点x处的导数可以通过下式计算得出：f'(x) = lim(h->0) [(f(x+h) - f(x))/h]根据这一定义，我们可以求得函数在任意一点处的导数值。

导数的计算可以采用一些常用的方法，如基本函数求导法则、链式法则、乘积法则和商法则等。

二、导数的几何意义1. 切线斜率导数的最直观的几何意义就是切线斜率。

当我们计算出函数在某一点的导数后，这个导数值便代表了函数曲线在该点处的切线斜率。

对于一个凸函数而言，导数可以告诉我们曲线在该点是上升还是下降，以及上升或下降的速度有多快。

2. 极值点导数在几何中还有一个重要的意义是寻找函数的极值点。

当函数在某一点的导数为0时，这一点可能是函数的极大值点或极小值点。

通过求导，我们可以找到函数在哪些点处可能存在极值，并进一步帮助我们寻找函数图像上的极值点，从而得出函数的极值。

3. 凹凸性函数图像的凹凸性也可以通过导数来判断。

当函数的导数在某一区间内始终大于0时，函数图像在该区间内是上凸的；而当导数在某一区间内始终小于0时，函数图像在该区间内是下凸的。

这种通过导数判断凹凸性的方法在优化问题中具有重要应用。

三、导数的应用导数的几何意义不仅在数学理论研究中起到关键作用，也在实际问题的求解中发挥了巨大的作用。

1. 最优化问题在经济学、物理学等领域中，最优化问题是非常常见的。

通过求解函数的导数，我们可以确定函数的最大值和最小值，从而帮助解决各种最优化问题。

1导数的概念及其几何意义-简单难度-讲义 - 副本

导数的概念及其几何意义知识讲解一、导数的概念1.函数的平均变化率：定义：一般地，已知函数()y f x =，0x ，1x 是其定义域内不同的两点，记10x x x ∆=-， 10y y y ∆=-10()()f x f x =-00()()f x x f x =+∆-，则当0x ∆≠时，商00()()f x x f x yx x+∆-∆=∆∆称作函数()y f x =在区间00[,]x x x +∆（或00[,]x x x +∆）的平均变化率．注：这里x ∆，y ∆可为正值，也可为负值．但0x ∆≠，y ∆可以为0．2．函数的瞬时变化率、函数的导数：瞬时变化率：设函数()y f x =在0x 附近有定义，当自变量在0x x =附近改变量为x ∆时，函数值相应的改变00()()y f x x f x ∆=+∆-．如果当x ∆趋近于0时，平均变化率00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆趋近于一个常数l （也就是说平均变化率与某个常数l 的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数），那么常数l 称为函数()f x 在点0x 的瞬时变化率．函数的导数：“当x ∆趋近于零时，00()()f x x f x x+∆-∆趋近于常数l ”可以用符号“→”记作：“当0x ∆→时，00()()f x x f x l x +∆-→∆”，或记作“000()()lim x f x x f x l x∆→+∆-=∆”，符号“→”读作“趋近于”．函数在0x 的瞬时变化率，通常称为()f x 在0x x =处的导数，并记作0()f x '．这时又称()f x 在0x x =处是可导的．于是上述变化过程，可以记作“当0x ∆→时，000()()()f x x f x f x x +∆-'→∆”或“0000()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆”．3．可导与导函数：定义：如果()f x 在开区间(,)a b 内每一点都是可导的，则称()f x 在区间(,)a b 可导．这样，对开区间(,)a b 内每个值x ，都对应一个确定的导数()f x '．于是，在区间(,)a b 内，()f x '构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数()y f x =的导函数．记为()f x '或y '（或x y '）．注：导函数通常简称为导数．如果不特别指明求某一点的导数，那么求导数指的就是求导函数．二、导数的几何意义1.导数的几何意义：意义：设函数()y f x =的图象如图所示．AB 为过点00(,())A x f x 与00(,())B x x f x x +∆+∆的一条割线．由此割线的斜率是00()()f x x f x y x x +∆-∆=∆∆，可知曲线割线的斜率就是函数的平均变化率．当点B 沿曲线趋近于点A 时，割线AB 绕点A 转动，它的最终位置为直线AD ，这条直线AD 叫做此曲线过点A 的切线，即000()()lim x f x x f x x∆→+∆-=∆切线AD 的斜率．由导数意义可知，曲线()y f x =过点00(,())x f x 的切线的斜率等于0()f x '．2.求曲线的切线方程方法：若曲线()y f x =在点00(,)P x y 及其附近有意义，给横坐标0x 一个增量x ，相应的纵坐标也有一个增量00()()y f x x f x =+-，对应的点00(,)Q x x y y ++.则PQ 为曲线()y f x =的割线.当0x →时Q P →,如果割线PQ 趋近于一确定的直线，则这条确定的直线即为曲线的切线.当然，此时割线PQ 的斜率yx就趋近于切线的斜率.切线的方程为00()y y k x x -=-.典型例题一．选择题（共14小题）1．（2018•德阳模拟）已知函数f （x ）在R 上存在导数f′（x ），下列关于f （x ），f′（x ）的描述正确的是（）A ．若f （x ）为奇函数，则f′（x ）必为奇函数B．若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数C．若f（x）不为周期函数，则f′（x）必不为周期函数D．若f（x）为偶函数，则f′（x）必为偶函数【解答】解：对于A：例如：f（x）=x3为奇函数，则f′（x）=3x2，为偶函数，故A错误，对于B：f（x）是可导函数，则f（x+T）=f（x），两边对x求导得（x+T）′f'（x+T）=f'（x），f'（x+T）=f'（x），周期为T．故若f（x）为周期函数，则f′（x）必为周期函数．故B正确，对于C：例如：f（x）=sinx+x不是周期函数，当f′（x）=cosx+1为周期函数，故C错误，对于D：例如：f（x）=x2为偶函数，则f′（x）=2x为奇函数，故D错误，故选：B．2．（2018春•东安区校级期中）设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（）A．， B．[0，）∪[，π）C．，D．，【解答】解：y′=3x2﹣≥﹣，tanα≥﹣，∴α∈[0，）∪[，π），故选：B．3．（2018春•福州期末）已知函数y=f（x）的图象在点M（1，f（1））处的切线方程是+2，则f（1）+f′（1）的值等于（）A．1 B．C．3 D．0【解答】解：由已知点点M（1，f（1））在切线上，所以f（1）=，切点处的导数为切线斜率，所以，即f（1）+f'（1）=3，故选C．4．（2018春•咸阳期末）若y=f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）=（）A．B．2 C．3 D．【解答】解：∵，∴•=1，即f′（a）=1，则f′（a）=，故选：D．5．（2018春•吉安期中）设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则导函数y=f′（x）的图象可能为（）A．B．C．D．【解答】解：由f（x）的图象判断出可得从左到右函数的单调性在y轴左侧先增，再减，在y轴的右侧，函数单调递减，∴导函数y=f′（x）的图象可能为区间（﹣∞，0）内，先有f′（x）＞0，再有f′（x）＜0，在（0，+∞）再有f′（x）＞0．故选：A．6．（2018春•思明区校级月考）已知函数f（x）的图象如图所示，f′（x）是函数f（x）的导函数，则下列数值排序正确的是（）A．2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4） B．2f′（4）＜2f′（2）＜f（4）﹣f（2）C．2f′（2）＜2f′（4）＜f（4）﹣f（2） D．f（4）﹣f（2）＜2f′（4）＜2f′（2）【解答】解：由函数f（x）的图象知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＞0，∴f′（2），f′（4），f（4）﹣f（2）＞0，由此可知f′（x）在（0，+∞）上恒大于0，其图象为一条直线，∵直线的斜率逐渐增大，∴f′（x）单调递增，∴f′（2）＜f′（4），∴2f′（2）＜2f′（4），∵f′（2）＜＜f′（4），∴2f′（2）＜f（4）﹣f（2）＜2f′（4）故选：A．7．（2018春•菏泽期中）已知函数y=f（x），其导函数y=f'（x）的图象如图，则对于函数y=f（x）的描述正确的是（）A．在（﹣∞，0）上为减函数B．在x=0处取得最大值C．在（4，+∞）上为减函数D．在x=2处取得最小值【解答】解：当0＜x＜2或x＞4时，f′（x）＜0，故函数f（x）在（0，2），（4，+∞）上单调递减，当2＜x＜4或x＜0时，f′（x）＞0，故函数f（x）在（2，4）（﹣∞，0）上单调递增，∴当x=0或x=4时函数取的极大值，∴函数f（x）最大值为，max{f（0），f（4）}，无最小值，故选：C．8．（2018春•镇安县校级期中）定义在R上函数f（x），若（x﹣1）f′（x）≤0，则下列各式正确的是（）A．f（0）+f（2）＞2f（1） B．f（0）+f（2）＜2f（1）C．f（0）+f（1）=2f（1）D．f（0）+f（2）与2f（1）大小不定【解答】解：当x＜1时，则f′（x）≥0；当x＞1时，则f′（x）≤0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，1），单调递减区间为（1，+∞），所以，f（0）＜f（1），f（2）＜f（1），将上述两个不等式相加得f（0）+f（2）＜2f（1），故选：B．9．（2018•榆林三模）定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b）满足，，则称函数f（x）是[a，b]上的“双中值函数”．已知函数f（x）=x3﹣x2+a是[0，a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A．，B．（，）C．（，1） D．（，1）【解答】解：由题意可知，∵f（x）=x3﹣x2+a，f′（x）=3x2﹣2x在区间[0，a]存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=f′（x2）==a2﹣a，∵f（x）=x3﹣x2+a，∴f′（x）=3x2﹣2x，∴方程3x2﹣2x=a2﹣a在区间（0，a）有两个不相等的解．令g（x）=3x2﹣2x﹣a2+a，（0＜x＜a）则，＞＞＞＜＜解得；＜＜．∴实数a的取值范围是（，1）故选：C．10．（2018春•商丘期中）已知函数f（x）=（x3﹣2x）e x，则的值为（）A．﹣e B．1 C．e D．0【解答】解：∵f（x）=（x3﹣2x）e x，∴f′（x）=（x3+3x2﹣2x﹣2）e x，∴=f′（1）=（1+3﹣2﹣2）e=0，故选：D．11．（2018春•路南区校级期中）过函数f（x）=图象上一点（2，﹣2）及邻近一点（2+△x，﹣2+△y）作割线，则当△x=0.25时割线的斜率为（）A．B．C．1 D．【解答】解：根据题意，函数f（x）=，当△x=0.25时，2+△x=2.25，故﹣2+△y==﹣，则△y=﹣﹣（﹣2）=，此时割线的斜率K==；故选：B．12．（2016秋•宿州期末）一个物体的运动方程为s=t2﹣t+2（其中s的单位是米，t的单位是秒），那么物体在t=4秒的瞬时速度是（）A．6米/秒B．7米/秒C．8米/秒D．9米/秒【解答】解：∵s=s（t）=t2﹣t+2，∴s'（t）=2t﹣1，∴根据导数的物理意义可知物体在4秒末的瞬时速度为为s'（4），即s'（4）=2×4﹣1=7（米/秒），故选：B．13．（2016秋•福州期末）一质点做直线运动，由始点经过t秒后的距离为s=t3﹣t2+2t，则t=2秒时的瞬时速度为（）A．8m/s B．10m/s C．16m/s D．18m/s【解答】解：s′=3t2﹣2t+2∴s′（2）=12﹣4+2=10∴t=2时的瞬时速度为10m/s．故选：B．14．（2017春•东坡区校级月考）函数f（x）的图象如图所示，则下列关系正确的是（）A．0＜f'（2）＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）B．0＜f'（2）＜f（3）﹣f（2）＜f'（3）C．0＜f'（3）＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）D．0＜f（3）﹣f（2）＜f'（2）﹣f'（3）【解答】解：由函数f（x）的图象可知：当x≥0时，f（x）单调递增，且当x=0时，f（0）＜0，∴f′（2），f′（3），f（3）﹣f（2）＞0，由此可知f′（x）＞0，∵直线的斜率逐渐减小，∴f′（x）单调递减，∴f′（2）＞f′（3），∵f（x）为凸函数，∴f（3）﹣f（2）＜f′（2）∴0＜f′（3）＜f（3）﹣f（2）＜f′（2），故选：C．二．填空题（共4小题）15．（2018•南开区一模）若曲线y=e x+e﹣x的一条切线的斜率是，则切点的横坐标为ln2．【解答】解：∵f（x）=e x+e﹣x，∴f′（x）=e x﹣e﹣x，设切点的横坐标为x0，可得e x0﹣e﹣x0=整理可得2（）2﹣3﹣2=0，解得=2，或=（舍去）∴x0=ln2故答案为：ln216．（2018春•昌吉市期末）如图函数f（x）的图象在点P处的切线为：y=﹣2x+5，则f（2）+f′（2）=﹣1．【解答】解：∵函数y=f（x）的图象在点x=2处的切线方程是y=﹣2x+5，∴f′（2）=﹣2，f（2）=﹣4+5=1，∴f（2）+f′（2）=﹣2+1=﹣1，故答案为：﹣117．（2017秋•龙海市校级期末）某物体做直线运动，其运动规律是（t 的单位是秒，s的单位是米），则它在t=2的瞬时速度为．（单位：米/秒）【解答】解：根据题意，s=t2+，则其导数s′=2t﹣，该物体在3秒末的瞬时速度就是t=3时的导数值，即s′|t=2=4﹣=，故答案为：．18．（2018春•平罗县校级期中）如果质点A按照规律s=5t2运动，则在t=3时的瞬时速度为30．【解答】解：∵质点A按照规律s=5t2运动，∴s′=10t，当t=3时，∴在t=3时的瞬时速度为s′=10×3=30．故答案为：30．。

导数的几何意义

A. a = e, b = −1
B. a = e, b = 1
C. a = e−1, b = 1
D. a = e−1, b = −1
方法总结
切点又叫公共点, 即在曲线上也在切线上. 导数的几何意义: 在切点处的导数值等于曲线在切点处切线的斜率.
练
1.
曲线
y
=
2 ln x + 1 x2
在点
(1, 1)
§1 导数的几何意义
一知识梳理
1. 求导公式
函数类型解析式
导函数
常函数 y = c
y′ = 0
幂函数 y = xα
y′ = αxα−1
指数函数 y = ax(a > 0, a ̸= 1)
y′ = ax ln a
特殊情况 y = ex
y′ = ex
对数函数特殊情况
y = loga x(a > 0, a ̸= 1) y = ln x
.
例
2.
(2015
年陕西卷)
设曲线
y
= ex
在点
(0, 1)
处的切线与曲线
y
=
1 x
(x
>
0)
在点
P
处的切线垂直,
则
P 的坐标为
.
例 3. 已知直线 y = x + 1 与曲线 y = ln(x + a) 相切, 则 a =
.
例 4. 过点 (−1, 0) 作抛物线 y = x2 + x + 1 的切线, 则其中一条切线为
A. 2x + y + 2 = 0
B. 3x − y + 3 = 0

高考数学之导数几何意义

高考数学之导数几何意义一.知识点睛导数的几何意义：函数y=f（x）在点x=x0 处的导数f’（x0）的几何意义是曲线在点x=x0 处切线的斜率。

二.方法点拨1.求切线①若点是切点：(1)切点横坐标x0 代入曲线方程求出y0(2)求出导数f′(x)，把x0代入导数求得函数y＝f(x)在点x=x0处的导数f′(x0)(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)．②点（x0，y0）不是切点求切线：（1）设曲线上的切点为(x1，y1)；(2)根据切点写出切线方程y－y1＝f′(x1)(x－x1) (3)利用点（x0，y0）在切线上求出（x1，y1）；(4)把（x1，y1）代入切线方程求得切线。

2.求参数，需要根据切线斜率，切线方程，切点的关系列方程：①切线斜率k=f′(x0) ②切点在曲线上③切点在切线上三．常考题型(1)求切线(2)求切点(3)求参数⑷求曲线上的点到直线的最大距离或最小距离(5)利用切线放缩法证不等式四．跟踪练习1.（2016全国卷Ⅲ）已知f(x)为偶函数，当x＜0时，f(x)=f （-x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，-3）处的切线方程是2.（2014新课标全国Ⅱ）设曲线y=ax -ln （x+1）在点（0,0）处的切线方程为y=2x ，则a= A. 0 B.1C.2D.33.（2016全国卷Ⅱ）若直线y=kx+b 是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln （x+1）的切线，则b=4.（2014江西）若曲线y=e -x 上点P 处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P 的坐标是5.（2014江苏）在平面直角坐标系中，若曲线y=ax 2+x b （a ，b 为常数）过点P （2，-5），且该曲线在点P 处的切线与直线7x+2y+3=0平行，则a+b=6.（2012新课标全国）设点P 在曲线y=21e x 上，点Q 在曲线y=ln （2x ）上，则▕PQ ▏的最小值为A.1-ln2B.2（1-ln2）C.1+ln2D.2(1+ln2)7.若存在过点（1,0）的直线与曲线y=x 3和y=ax 2+415x -9都相切，则a 等于8.抛物线y=x 2上的点到直线x -y -2=0的最短距离为A. 2B.827C. 22D. 19.已知点P 在曲线y=14 x e 上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是10.已知函数f （x ）=2x 3-3x.（1）求f （x ）在区间[-2，1]上的最大值；（2）若过点P （1，t ）存在3条直线与曲线y=f （x ）相切，求t 的取值范围.11. 已知函数f （x ）=4x -x 4，x ∈R.(1) 求f （x ）的单调区间(2) 设曲线y=f （x ）与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y=g （x ），求证：对于任意的实数x ，都有f （x ）≤g （x ）(3) 若方程f （x ）=a （a 为实数）有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2-x 1≤-3a +431.。

导数几何含义

o x0 X0+△xx
2.导数的概念函数 y f (x) 在 x x0 处的导数可以表示为
lim lim f (x0)'＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
类比平均变化率的几何意义， f ( x0 ) 的几何意义又是什么呢？
从代数的角度：当△x→0时，割线PQ的斜率的极限，
y=f(x)
kPQ
y ＝ x
f
( x0
x) x
f
(x0 )
y
Q(x1,y1)
即：当△x→0时，割线
△y
PQ的斜率的极限，就是曲线
P(x0,y0)
△x
M
在点P处的切线的斜率，
o
x
lim lim 所以：k切线＝ x0
y x
x0
f (x0 x) f (x0 )
x
f x0
归纳小结
导数的几何意义
2、切线的斜率：
lim lim k切线＝f (x0)
y x0 x
x0
f (x0 x) f (x0 ) x
3、求切线方程的步骤：
(1)求切线斜率 k f (x0 ) (2)切线方程为：y y0 f (x0 )(x x0 )
4.求曲线的切线方程时,要注意区分“过”一点与 “在”某点求切线问题
讲授新课
问题探究
观察如图
3 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2,3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0, f x0
时, 割线PPn的变化趋势是
什么?
y
y fx
P1
T
P
O
x

3.1.3导数的几何意义1(1)

y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
B C
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ
y ＝ x
f ( x x) x
f (x)
y=f(x)
y
Q(x1,y1)
在 x x0 处的瞬时变化率 ,反映了函
数 f x 在 x x0 附近的变化情况. 那么,导数 f ' x0 的几何意义是什么呢?
观察如图
1 .1 2 ,当点
Pn xn , f xn n 1, 2, 3, 4
沿着曲线
f x趋近于点 Px0 , f x0
时,割线PPn的变化趋势是
l1
所以,在t t0附近曲线比
较平坦, 几乎没有升降.
2当t t1时,曲线ht在t1 O
t0
t1
t2
图1.1 3
t
l2
处的切线l1的斜率h`t1 0.所以,在t t1附近曲线下
降,即函数ht在t t1附近单调递减. 3当t t2时,曲线ht在t2处的切线l2的斜率h`t2 0.
所以,在t t2附近曲线下降,即函数ht在t t1附近也
（2）求曲线y=f(x)=x2+1在点P(1,2)处的切线方程.
解：y
|x
1
lim
x0
[(1
x)2
1] x
(12
1)
lim 2x x2 2 x0 x
切线方程：y 2 2(x 1) 即：2x y 0

导数的几何意义及导数公式

导数的几何意义及导数公式导数是微积分中的一个重要概念，它描述了函数在特定点的变化率。

导数的几何意义是描述函数曲线在其中一点的切线的斜率。

本文将详细介绍导数的几何意义以及导数的计算公式。

一、导数的几何意义在几何中，我们知道曲线上每一点的切线可以用斜率来描述。

而导数就是函数在其中一点的切线的斜率，它告诉我们函数在该点的变化情况。

导数的几何意义可以通过以下两个方面来理解：1.切线的斜率导数是切线的斜率，它表示函数在特定点上的变化速率。

如果导数是正数，那么函数在该点上是递增的；如果导数是负数，那么函数在该点上是递减的。

导数的绝对值越大，曲线在该点附近的变化速率越大；导数的绝对值越小，曲线在该点附近的变化速率越小。

2.切线的方向导数不仅告诉我们切线的斜率，还告诉我们切线的方向。

如果导数是正数，那么切线是向上倾斜的；如果导数是负数，那么切线是向下倾斜的。

导数等于零表示切线是水平的，也就是曲线上的极值点。

通过以上两个方面，我们可以通过导数来近似描述函数在任意点的行为，从而更好地理解函数的性质。

二、导数的计算公式导数的计算公式是一系列可以计算导数的规则。

下面是一些常见的导数计算公式：1.常数规则如果f(x)=c，其中c是常数，那么f'(x)=0。

这是因为常数的导数为零，表示该常数没有变化。

2.幂规则如果f(x) = x^n，其中n是整数，那么f'(x) = nx^(n-1)。

这是指数函数的导数公式。

3.常见函数的导数公式- 如果f(x) = sin(x)，那么f'(x) = cos(x)。

- 如果f(x) = cos(x)，那么f'(x) = -sin(x)。

- 如果f(x) = tan(x)，那么f'(x) = sec^2(x)。

-如果f(x)=e^x，那么f'(x)=e^x。

- 如果f(x) = ln(x)，那么f'(x) = 1/x。

4.和、差的导数规则如果f(x)和g(x)是可导函数，那么(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)，(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。

导数的几何意义与计算

导数的几何意义与计算导数是微积分中的重要概念，它既有几何意义，也有计算方法。

在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率，而在计算上，导数代表了函数的变化率。

一、导数的几何意义：在几何上，导数表示了函数图像在其中一点的切线斜率。

具体而言，设函数f(x)在点x=a处可导。

则函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数图像在点(x=a,f(a))处的切线的斜率。

这也可以理解为函数f(x)在点x=a处的瞬时变化率。

对于曲线上的任意一点，导数给出了曲线在该点处的瞬时变化情况。

以函数y=x^2为例，我们可以计算出其在点(1,1)处的导数。

首先，我们求得函数在该点的切线方程，即y-1=2(x-1)，然后求出斜率为2，表示函数在该点附近变化的速率。

在图像上，可以看到切线的斜率为正，说明函数在该点的右侧局部增加。

二、导数的计算：导数的计算方法有很多种，下面介绍两种常见的计算方法：导数定义和导数的基本公式。

1.导数定义：导数的定义是通过函数的极限来计算的。

设函数f(x)在点x=a处连续，则f(x)在点x=a处的导数f'(a)定义为：f'(a) = lim(x->a) [f(x)-f(a)] / (x-a)也就是说，导数f'(a)是函数f(x)在x=a处的极限值。

以函数y=x^2为例，我们来计算其在点x=1处的导数。

根据导数定义，我们有：f'(1) = lim(x->1) [x^2-1] / (x-1)= lim(x->1) (x+1)=2所以函数y=x^2在点x=1处的导数为22.导数的基本公式：导数的基本公式可以通过一些公式和规则直接计算导数，而不需要通过极限的定义。

下面是几个常用的导数公式：(1)常数规则：若c是一个常数，则导数f(x)=c的结果为0。

(2)幂规则：若f(x)=x^n，其中n是一个非零常数，则导数f'(x)=n*x^(n-1)。

导数的几何意义和物理意义

导数的几何意义和物理意义导数是微积分中一项重要的概念。

它可以描述函数在某一点上的变化率，以及函数在该点上的切线斜率。

导数不仅在数学领域中有着广泛的应用，同时也在几何学和物理学中具有重要的意义。

本文将探讨导数的几何意义和物理意义，并解释它们在现实世界中的具体应用。

一、导数的几何意义在几何学中，导数可以解释为函数图像在某一点的切线斜率。

当我们研究函数图像的形状和特征时，导数可以帮助我们理解函数在不同点上的变化趋势和曲线的曲率。

1. 切线斜率：对于函数f(x)，它在某一点x=a处的导数f'(a)代表了函数图像在该点上的切线斜率。

切线斜率可以告诉我们函数在该点上是递增还是递减，并且可以用来寻找曲线上的最高点或最低点。

通过计算导数，我们可以获得函数在某一点上的局部变化率信息。

2. 切线和曲率：导数还可以描述函数在某一点上的曲线特征，如弯曲和曲率半径。

具体而言，导数的正负性可以告诉我们函数图像在该点上是凸还是凹，以及变化的速度和方向。

这有助于我们更好地理解函数的形状和变化趋势。

二、导数的物理意义导数在物理学中也有着广泛的应用。

它可以描述物理量之间的关系及其变化率，从而帮助我们理解和解释各种物理现象。

1. 速度和加速度：导数可以解释物体在运动过程中的速度和加速度。

对于物体的位移函数，它的导函数就是速度函数，而速度函数的导函数则是加速度函数。

通过计算导数，我们可以获得物体运动的速度和加速度的具体数值。

这在运动学中有着广泛的应用。

2. 斜率和变化率：导数还可以解释函数关系中的斜率和变化率。

在物理学中，我们经常遇到各种变化率的概念，如功率、流量和速率等。

通过计算导数，我们可以获得这些物理量的具体数值，并了解它们的变化规律。

3. 最优化问题：导数在物理学中还可以用来解决最优化问题。

例如，在力学中，我们希望找到一条曲线，使得物体的作用量或路径在满足一定条件下达到最小值或最大值。

通过计算导数，我们可以找到该曲线上的极值点，从而解决这类问题。

导数的几何意义和物理意义

导数的几何意义和物理意义导数是微积分学中的重要概念，它具有丰富的几何意义和物理意义。

本文将分别从几何和物理两个角度，详细探讨导数的几何意义和物理意义。

一、导数的几何意义导数在几何中有着重要的意义。

在几何上，导数表示了函数曲线在某一点上的切线斜率。

具体来说，对于函数f(x)，如果在点x=a处存在导数，那么导数f'(a)就是函数曲线在该点上的切线的斜率。

切线斜率的意义在于它反映了函数曲线的变化速率。

当函数的导数为正时，表示函数在该点上递增；当函数的导数为负时，表示函数在该点上递减；而导数等于零时，表示函数在该点上取得极值。

利用导数，我们可以精确地描述函数曲线的变化趋势。

此外，导数还可以用来计算函数曲线在某一点的局部变化率。

例如，当我们求解速度函数的导数时，得到的导数表示了物体在该时刻的瞬时加速度。

这就引出了导数在物理意义方面的应用。

二、导数的物理意义导数在物理学中有着广泛的应用，其中最为常见的是它对位移、速度和加速度的描述。

1. 位移：对于一维运动而言，物体在某一时刻的位移可以表示为位移函数的导数。

例如，当我们求解位移函数的导数时，得到的导数就表示了物体在该时刻的瞬时速度。

2. 速度：速度是指物体在单位时间内所改变的位移，它是位移关于时间的导数。

具体而言，速度函数的导数表示了物体在某一时刻的瞬时加速度。

3. 加速度：加速度是指物体在单位时间内所改变的速度，它是速度关于时间的导数。

当我们求解速度函数的导数时，得到的导数表示了物体在该时刻的瞬时加速度。

通过上述例子可以看出，导数在物理学中的应用十分广泛。

它不仅可以描述物体的运动状态，还可以帮助我们分析运动规律，解决各种与运动相关的问题。

结论综上所述，导数具有重要的几何意义和物理意义。

从几何上看，导数表示了函数曲线在某一点上的切线斜率，反映了函数曲线的变化速率；从物理上看，导数用于描述位移、速度和加速度等与运动相关的概念。

通过对导数的研究和应用，我们可以深入理解函数的特性和物体的运动规律，为实际问题的解决提供了有力的工具和方法。

导数的几何意义及常用函数的导数

3.利用导数求曲线的切线方程,要注意已知点是否在曲线
上.如果已知点在曲线上,则以该点为切点的切线方程为
－()＝′()(－)；若已知点不在切线上,则设出切
点(, ()),表示出切线方程,然后求出切点.
学习目标
常见函数的导数
1.掌握常见函数的导数公式.
2.灵活运用公式求某些函数的导数.
要点二
利用导数公式求函数的导数

= ;

解
′＝(－)′＝－－；
=
解
′

=
;

′
=

′
=
−

()＝log.
解
′ = ′ =

;

=

;

跟踪演练
跟踪演练2 求下列函数的导数：

= ; = () ;
3.对于正弦、余弦函数的导数,一是注意函数名称的变化,
二是注意函数符号的变化.
下节课再见谢谢！
两点,求与直线平行的曲线＝的切线方程.
解
∵ ′＝()′＝,设切点为(, ),
则′|＝＝,
−
又∵的斜率为 = +=1,而切线平行于

∴ = = ,即 = ,
所以切点为

,

.

∴所求的切线方程为 − = − ,即 − − = .
fx0＋Δx－fx0
＝f′(x0),物理意义是运动
Δx
物体在某一时刻的瞬时速度.
的斜率,即 k＝Δx
lim
→0
课堂小结
2.“ 函数 () 在点处的导数 ” 是一个数值 , 不是变

导数的概念及几何意义

（1）求物体在时间区间[t0 , t0 t] 上所经过的路程 :
S S(t0 t) S(t0 ) ，
（2）求物体在时间区间[t0 , t0 t] 上的平均速度:
v S S(t0 t) S(t0 ) ，
t
t
（3）求 t0
时刻的速度: v(t0 )
lim v
t 0
lim
t 0
S(t0
x0 点的导数，记作
f ( x0 ) ，或 y xx0
，
或 dy dx
x x0
，即
f ( x0 )
lim y x0 x
lim
x0
f (x0
x) x
f ( x0 )
lim f ( x) f ( x0 )
x x0
x x0
7
1.1 导数的概念与导数的几何意义
若极限 lim y 不存在，则称函数 f x0 x
f( x0 )
lim
x0
y x
lim x0
f ( x0 x) x
f ( x0 )
lim f ( x) f ( x0 ) ；
x x0
x x0
9
1.1 导数的概念与导数的几何意义
若极限 lim y 存在，则称此极限为 f ( x) 在 x0 x
点 x0 处的右导数，记为 f( x0 ) ，即
f (t) f ( x0 ) 。 t x0
（2）由导数定义可得， v(t0 ) s(t0 ) （导数的物理意义）；
k f ( x0 ) （导数的几何意义）；
8
1.1 导数的概念与导数的几何意义
（2）单侧导数
定义 2 若极限 lim y 存在，则称此极限为 f ( x) x0 x

2016届原创§30 导数和定积分的几何意义

(5)(2014年江西)若曲线 y x ln x上点P处的切线平行于直线 (e,e) 2 x y 1 0, 则点P的坐标是_______ (6).《金考案》P：38 曲线 y e
5 x
(2014年广东) 5x＋y－3=0 2 在点(0,3)处的切线方程为_________
右中
§30 导数和定积分的几何意义
一、导数的几何意义：
1.一导：切线的斜率割线极限是切线必须切点横坐标知一有二基本功一导本身即斜率切点坐标及斜率在即切点过待定
2.二导：曲线的曲率二导意义是曲率大凹小凸○拐点
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积有上有下代数和四个推论要熟知前上为正下相反同理可得右为前化繁为简巧割补

b
a
f ( x)dx a [ f ( x) 0]dx
b
[ f1 ( x) f 2 ( x)]dx
a
b
[ f 前 ( x) f 后 ( x)]dx
a
b
二、定积分的几何意义：
一重积分是面积有上有下代数和常见结论要熟知前上为正下相反同理可得右为前化繁为简巧割补
⑤ e dx e C ⑦ sin xdx cos x C
⑧
cos xdx sin x C
⑨ [af ( x) bg ( x)]dx a f ( x)dx b g ( x)dx ⑩ [ f ( x)dx]/ f ( x) ,

f / ( x)dx f ( x) C
y f 前 ( x)
y f 后 ( x)
xa
xb
b 前
[f

导数的概念几何意义与运算

导数的概念几何意义与运算一、导数的概念导数是微积分的重要概念之一，是描述函数变化速度的衡量工具。

对于一条曲线上的任意一点，其导数值表示了该点处的切线斜率。

导数的定义为：若函数f(x)在点x0处有定义，那么函数在该点的导数为：f'(x0) = lim(h→0) [f(x0+h) - f(x0)] / h其中 lim 表示极限，h 表示的是 x 的增加量。

导数的概念可以推广到函数的各种高阶导数，分别表示函数变化的速率、加速度、变化的变化率等。

二、导数的几何意义1.切线斜率：导数可以看作是函数曲线在其中一点处切线的斜率。

特定点处的切线斜率表示了函数在该点的变化速度。

2.函数的增减性：若函数在其中一区间内的导数恒大于0，则函数在该区间上是递增的；若导数恒小于0，则函数在该区间上是递减的。

导数的正负性能够直观地反映函数的增减趋势。

3.极值点：若函数在其中一点的导数为0，那么这个点称为函数的极值点。

导数为0相当于切线水平，函数在这一点上由增转为减或由减转为增。

三、导数的运算法则1.常数乘法：对于常数k，(k*f(x))'=k*f'(x)。

2.求和与差：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。

3.乘法法则：(f(x)*g(x))'=f'(x)*g(x)+f(x)*g'(x)。

4.商法则：(f(x)/g(x))'=[f'(x)*g(x)-f(x)*g'(x)]/[g(x)]^25.复合函数求导：对于复合函数y=f(g(x))，若g(x)在点x处可导，而f在g(x)处可导，则y也在点x处可导，且y'=f'(g(x))*g'(x)。

四、应用举例1.速度和加速度：对于一个物体的位移函数s(t)，其导数s'(t)表示在时间t的瞬时速度。

二次导数s''(t)则表示在时间t的瞬时加速度。

导数的几何意义

导数的几何意义
玉山县樟村中学
王道远
复习回顾
导数的概念 1．定义：设函数y＝f(x)，当自变量x从x0变到x1时，函 Δy 数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为＝ Δx fx1－fx0 fx0＋Δx－fx0 x1－x0 ＝，当x1趋于x0，即Δx趋于0 Δx 时，如果平均变化率趋于一个
解：先求y 2 x 3在x 1处的导数
f (1 x) f (1) 2(1 x) 3 2 13 x x 6 6x 2(x) 2 . 令x趋于零，可知y 2 x 3在x 1处的导数为f , (1) 6 则函数y 2 x 3在点（ 1，f（ 1）） (1,2)处的切线斜率为 6 因此切线方程 y 6x 4
P
o
x
yy f Biblioteka x)B割线l
B,
A
切线
o
x0
x
导数的几何意义：函数 y f ( x)在x0处的切线的斜率
例题讲解
例1
已知函数y f ( x) x 2 , x0 2. (1)分别对x 2,1,0.5求y x 2 在区间 [ x0 , x0 x]上的平均变化率。 (2)求函数y x 2 在x0 2处的导数。
（ 1）x 2,1,0.5时，区间 [ x0 , x0 x]相应为[2,0],[2,1],[2,1.5]. 解： y x 2 在这些区间上的平均变化率分别为 f (0) f (2) 0 2 (2) 2 2 2 2 f (1) f (2) (1) 2 (2) 2 3 1 1 f (1.5) f (2) (1.5) 2 (2) 2 3.5 0.5 0.5
作业

导数的几何意义及四则运算

内也单调、连续且可导，有
f
f (x)
( x)
在对应区间I
1.
x
( y)
证
任取
由y
x
f(
Ix
x)
, 给 x 一个增量 x，且
的单调性可知，y 0,
(x 0, x x Ix
于是有
y x
1 x
)
,
f (x) 连续，y 0 (x 0),
y
又知 (
即
y)
f
(
0， f ( x)
x) 1
( y)
也可简写为
(1u1 2u2 nun ) 1u1 2u2 nun
证明（略）
15
定理3 设函数 y u(x)及y v(x) 都在点 x 处可导，则 f (x) u(x)v(x)也在 x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x)v( x) u( x)v( x) u( x)v( x)
( x) ( x ) (sin x) (ln π)
1 1 cos x. 2x
13
例2已知 y 2x3 5x2 3x 7，求 y.
解 y (2x3 5x2 3x 7) 2( x3 ) 5( x2 ) 3( x) (7) 2 3x2 5 2x 3 0 6x2 10x 3.
不连续,一定不可导.
4. 判断可导性
直接用定义;
连续看左右导数是否存在且相等.
11
§2-4 求导法则
一、函数的和、差、积、商的求导法则
定理1 设函数 u(x)及 v( x) 都在点x处可导，则 f ( x) u( x) v( x)也在x 处可导，且其导数为
f ( x) u( x) v( x) 其中、为常数.

导数的几何意义与像解析

导数的几何意义与像解析导数是微积分中的重要概念之一，它不仅在数学中有着重要的应用，也在几何学中具有重要的意义。

本文将探讨导数的几何意义以及如何通过像解析来理解导数。

一、导数的几何意义导数可以理解为函数在某一点上的斜率或者切线的斜率。

具体而言，函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)表示了函数在该点处的切线的斜率。

通过几何意义来理解导数，我们可以将导数看作是函数曲线在某一点处的切线的斜率。

这表示了函数在该点的变化率，即函数在该点附近的局部斜率。

当导数为正时，表示函数逐渐增加；当导数为负时，表示函数逐渐减少；当导数为零时，表示函数的变化趋于平缓。

例如，考虑函数f(x) = x^2，在x=1处的导数f'(1)为2。

这意味着函数在x=1处的切线的斜率为2，即切线与x轴的夹角为45度。

可以想象，随着x的增加，函数的值以一个较大的斜率逐渐增加。

二、像解析像解析是一种将几何图形转化为代数表达式的方法，通过像解析，我们可以将几何问题转化为代数问题，从而更好地理解导数的几何意义。

像解析的主要思想是将几何图形中的点的坐标表示为代数形式。

在几何问题中，点的坐标通常采用(x, y)表示，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。

而在导数的几何意义中，我们需要将点的坐标表示为函数的表达式。

举例说明，考虑函数f(x) = x^2，在点x=a处的导数f'(a)表示函数在该点处的切线的斜率。

通过像解析，我们可以将切线的斜率表示为函数f(x)在点x=a处的导数f'(a)的表达式。

具体操作如下：首先，我们需要计算导数f'(x)的表达式，对于函数f(x) = x^2，导数f'(x) = 2x。

然后，将x的值替换为a，即得到导数f'(a)的表达式，即f'(a) = 2a。

因此，函数f(x) = x^2在点x=a处的切线的斜率为2a。

像解析的方法可以帮助我们更好地理解导数的几何意义，将几何问题转化为代数问题，从而更加灵活地应用导数的概念。

导数的几何意义

导数的几何意义导数是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理领域中有着广泛的应用。

导数的几何意义是指导数在几何学中的解释和应用。

本文将从几何的角度解释导数的意义，并探讨它在几何领域中的应用。

一、导数的定义在探讨导数的几何意义之前，我们首先来回顾一下导数的定义。

在微积分中，导数代表了函数在某一点上的变化率。

对于函数 f(x)，它的导数可以表示为 f'(x)或者 dy/dx。

导数的定义是函数在某一点上的极限值，即：f'(x) = lim(h->0) [f(x+h)-f(x)] / h这个定义告诉我们，导数是函数在某一点上的瞬时变化率。

接下来，我们将从几何的角度来解释导数的几何意义。

二、几何上，导数可以理解为函数曲线在某一点上的切线斜率。

具体来说，如果函数 f(x) 在点 P 上的导数为 f'(x)，那么这意味着函数曲线在点 P 上的切线的斜率为 f'(x)。

根据这一几何意义，我们可以得出一些结论。

首先，如果函数在某一点上导数为正，那么函数曲线在该点上是向上的；如果导数为负，曲线则向下。

其次，导数为零的点则代表函数曲线上的极值点，可能是极大值或者极小值。

最后，如果导数不存在，意味着函数曲线在该点上有垂直切线。

三、导数的应用导数的几何意义不仅仅是理论上的解释，它在几何领域中有着广泛的应用。

以下是一些导数的具体应用示例：1. 曲线的切线和法线：通过导数可以得出函数曲线在某点上的切线斜率，从而求得切线方程。

同时，切线的斜率的相反数就是法线的斜率，可以进一步求得法线方程。

2. 极值点与拐点：导数为零的点代表函数曲线上的可能极值点，通过求解导函数为零的方程可以找到极值点。

同时，通过导数的变化情况可以判断函数曲线上的拐点。

3. 函数图形的草图绘制：通过分析导数的正负和零点，可以画出函数图形的大致形态，包括增减性、极值和拐点等信息。

4. 空间曲面的切平面：对于二元函数，通过求偏导数可以得到切平面的方程，从而进一步研究空间曲面的性质。