高三年级高考数学(理)五大解答题训练+拓展题型(七)

∴ bn +1 − bn =
1 2n 1 * (n∈ N ) n −1 2
利用累差迭加即可求出数列 {bn } 的通项公式： bn = 2 − （Ⅱ）由（Ⅰ）知 an = 2n −
n
n , 2 n −1
∴ Sn = ∑ (2k −
k =1 n
n n k k ) = (2 k ) − ∑ ∑ k −1 k −1 2 k =1 k =1 2 n
∴ f ( x) 在 (0,1) 上单调递增，在 (1, +∞) 上单调递减
（Ⅱ）在函数 f ( x) 上不存在两点 A、B 使得它存在“中值伴侣切线”。 假设存在两点 A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ) ，不妨设 0 < x1 < x2 ，则
……6 分
1 1 2 y1 = ln x1 − ax12 + (a − 1) x1 ， y2 = ln x2 − ax2 + (a − 1) x2 2 2 1 2 2 y2 − y1 (ln x2 − ln x1 ) − 2 a ( x2 − x1 ) + (a − 1)( x2 − x1 ) = = x2 − x1 x2 − x1
代入： f ( x) =
'
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又 a > 0 ∴ 0 < x < 1 即 f ( x) 在 (0,1) 上单调递增 当 f ( x) < 0 时， −
'
……4 分
(ax + 1)( x − 1) < 0 由 x > 0 ，得 (ax + 1)( x − 1) > 0 x
又 a > 0 ∴ x > 1 即 f ( x) 在 (1, +∞ ) 上单调递减
解答题训练（七） 限时 60 分钟
三、解答题: 本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程. 18． （本小题满分 14 分） 在 ∆ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且满足 cos （Ⅰ）求 ∆ABC 的面积； （Ⅱ）若 b + c = 6 ，求 a 的值．
解答题训练（七）参答
18． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）因为 cos
A 2 5 3 4 2 A ，∴ cos A = 2 cos = − 1 = ,sin A = ， 2 5 2 5 5 ��� � ���� 1 又由 AB ⋅ AC = 3 得 bc cos A = 3, ∴ bc = 5 ，∴ S ∆ABC = bc sin A = 2 2
体内一动点 ( 包括表面 ) ，若
AP = x AB + y AD + z AA1 ，且 0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1。则 P 点所有可能的位置所构成的几
何体的体积是 。
课后拓展答案：
1．108 2．
1 6
2(
x2 − 1) x1 …… 11 分 x2 +1 x1
令
x2 2(t − 1) 4 4 ，即 ln t + = t ，则 t > 1 ，上式化为： ln t = = 2− =2 x1 t +1 t +1 t +1
4 1 4 (t − 1)2 ' ' ， g (t ) = − 由 t > 1, g (t ) > 0 ， = 2 2 t +1 t (t + 1) t (t + 1)
3 1 1 10 ， MK = BO = ， ∴ AM = 2 2 2 2
∴ cos ∠MAK =
AK 3 3 10 = = MA 10 10
3 10 10
……14 分
∴ 直线 AM 与面 AOC 所成角的余弦值是
21． （本小题满分 15 分） 解： （Ⅰ）∵ e =
c 3 3 1 ，∴ c = = a, b = a ，又 P(2,1) 在椭圆上，代入椭圆方程， a 2 2 2
M ( x 0 , y 0 ) （其中 x 0 ∈ ( x1 , x 2 ) ）使得点 M 处的切线 l // AB ，则称 AB 存在“伴侣
切线”.特别地， 当 x0 =
x1 + x 2 时， 又称 AB 存在“中值伴侣切线”.试问： 在函数 f ( x) 2
上是否存在两点 A 、 B 使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出 A 、 B 的坐标， 若不存在，说明理由．
∴∠MAK 是直线 AM 与面 AOC 所成的角
∵ AC = 2 3，BD = 2， ∴ AO = 3，OK =
2 2 2
……10 分
3 2 9 3 ，∴ AK = 4 2
在 ∆AOK 中， AK = AO + OK − 2 AO iOK icos ∠AOK =
在 Rt ∆AMK 中，∵ AK =
=
k AB
ln x2 − ln x1 1 − a ( x1 + x2 ) + a − 1 x2 − x1 2
……8 分
在函数图象 x0 =
x1 + x2 处的切线斜率 2 x1 + x2 2 x +x )= − a i 1 2 + (a − 1) 2 x1 + x2 2
k = f ' ( x0 ) = f ' (
20． （本小题满分 14 分） 已知菱形 ABCD 的边长为 2，对角线 AC 与 BD 交于点 O ，且 ∠ABC = 120 ，M 为 BC 的中点.将此菱形沿对角线 BD 折成二面角 A − BD − C . （Ⅰ）求证：面 AOC ⊥ 面 BCD ； （Ⅱ）若二面角 A − BD − C 为 60 时，求直线 AM 与面 AOC 所成角的余弦值．
b = a − 1 …2 分
1 1 (ax + 1)( x − 1) − ax + b 得 f ' ( x) = − ax + a − 1 = − x x x (ax + 1)( x − 1) ' 当 f ( x) > 0 时， − > 0 由 x > 0 ，得 (ax + 1)( x − 1) < 0 x
得：
ln x2 − ln x1 1 2 x +x − a( x1 + x2 ) + a − 1 = − a i 1 2 + (a − 1) x2 − x1 2 x1 + x2 2
化简得：
ln x2 − ln x1 2 x 2( x2 − x1 ) = ， ln 2 = = x2 − x1 x1 + x2 x1 x2 + x1
若令 g (t ) = ln t +
∴ g (t ) 在 (1, +∞) 上单调递增，
g (t ) > g (1) = 2 这表明在 (1, +∞) 内不存在 t ，使得 ln t +
4 =2 t +1
综上所述，在函数 f ( x) 上不存在两点 A、B 使得它存在“中值伴侣切线”。…15 分
课后拓展：
……6 分
（Ⅱ）菱形沿对角线 BD 折成二面角 A − BD − C 后，∵ AO ⊥ BD, CO ⊥ A BD ，
∴∠AOC 是二面角 A − BD − C 的平面角，
即 ∠AOC = 60
�
……8 分
O B M KC
D
作 MK ⊥ OC ，连接 AK ， 由 MK // BD，BD ⊥ 面AOC，得：MK ⊥ 面AOC
而
∑ (2k ) = n(n + 1) ,又 ∑
k =1 n
k 是一个典型的错位相减法模型， k −1 k =1 2
∴ S n = n(n + 1) +
易得
∑2
k =1
k
k −1
= 4−
n+2 2n −1
n+2 −4 2n −1
20． （本小题满分 14 分）
AO ⊥ BD ⎫ BD ⊥ 面AOC ⎫ ⎪ 证： （Ⅰ） CO ⊥ BD ⎬ ⇒ ⎬ ⇒ 面AOC ⊥ 面BCD BD ⊆ 面 BCD ⎭ AO ∩ CO = O ⎪ ⎭
由韦达定理得： x1 + x2 = −2 m, x1 x2 = 2 m − 4
2
1 5 AB = 1 + i 4m2 − 4(2m2 − 4) = i 16 − 4m2 = 5 i 4 − m 2 4 2
P 到直线 AB 的距离： d =
2m 5
，
……12 分
2m 1 S∆PAB = i 5 i 4 − m2 i = (4 − m2 ) m2 ≤ 2 2 5
1．有红、黄、蓝三种颜料可供选择去涂图中标号为 1,2,3…9 的 9 个小正方形（如图） ，使得 任意相邻（有公共边 的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色， ．．．． 则符合条件的所有涂法共有 种。 1 4 7 2 5 8 3 6 9
2 ． 在边长为 1 的正方体 ABCD − A1 B1C1 D1 中， P 为正方
A A D O D
�
�
⇒
B M C
O B M
C
21． （本小题满分 15 分） 已知椭圆
3 x2 y2 ，点 P ( 2,1) 是椭圆上一定点，若斜率 + 2 = 1, (a > b > 0) 的离心率为 2 2 a b
为
1 的直线与椭圆交于不同的两点 A 、 B . 2
（Ⅰ）求椭圆方程； （Ⅱ）求 ∆PAB 面积的最大值．
22． （本小题满分 15 分） 已知函数 f ( x) = ln x −
1 2 ax + bx 2
(a > 0) 且导数 f ' (1) = 0 .
（Ⅰ）试用含有 a 的式子表示 b ，并求 f ( x) 单调区间; （ Ⅱ ） 对 于 函 数 图 象 上 的 不 同 两 点 A( x1 , y1 ), B ( x 2 , y 2 ) ， 如 果 在 函 数 图 象 上 存 在 点
当 4 − m = m , 即 m = ± 2 时， S ∆PAB 有最大值 2
2
2
……15 分
22． （本小题满分 15 分） 解： （ Ⅰ ） f ( x) 的 定 义 域 为 (0, +∞)
∵ f ' ( x) =
1 − ax + b ， f ' (1) = 1 − a + b = 0 得 ： x
4 1 x2 y 2 2 2 ， ∴ a = 8, b = 2 ，椭圆方程为： + = 1 + = 1 ……6 分 a2 b2 8 2 1 x+m， 2
得：
（Ⅱ）设直线 AB 的方程为： y =
1 ⎧ y = x+m ⎪ ⎪ 2 2 2 与椭圆联列方程组得， ⎨ 2 ，代入得： 2 x + 4mx + 4m − 8 = 0 …8 分 2 ⎪ x + y =1 ⎪ 2 ⎩8 ∵ ∆ = 16m 2 − 8(4m 2 − 8) > 0 ，解得， −2 < m < 2
（Ⅱ）对于 bc = 5 ，又 b + c = 6 ，∴ b = 5, c = 1 或 b = 1, c = 5 ， 由余弦定理得 a = b + c − 2bc cos A = 20 ，∴ a = 2 5
2 2 2
19． （本小题满分 14 分） 解： （Ⅰ）由已知有
an+1 an 1 = + n + 1 n 2n
� ���� A 2 5 ��� ， AB ⋅ AC = 3 ． = 2 5
19． （本小题满分 14 分） 在数列 {an } 中， a1 = 1, an +1 = (1 + )an + （Ⅰ）设 bn =
1 n
n +1 2n
an ，求数列 {bn } 的通项公式； n
（Ⅱ）求数列 {an } 的前 n 项和 S n ．