2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(二十六) 不等式性质、一元二次不等式
2018届高考数学理大一轮复习教师用书：第七章第一节不等式的性质及一元二次不等式 含解析 精品
第一节不等式的性质及一元二次不等式突破点(一) 不等式的性质1．比较两个实数大小的方法 (1)作差法⎩⎪⎨⎪⎧a －b >0⇔a >b (a ，b ∈R )，a －b ＝0⇔a ＝b (a ，b ∈R )，a －b <0⇔a <b (a ，b ∈R ).(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ab>1⇔a >b (a ∈R ，b >0)，ab ＝1⇔a ＝b (a ∈R ，b >0)，a b <1⇔a <b (a ∈R ，b >0).2．不等式的基本性质本节主要包括2个知识点： 1.不等式的性质；一元二次不等式.3.不等式的一些常用性质 (1)倒数的性质①a >b ，ab >0⇒1a <1b .②a <0<b ⇒1a <1b .③a >b >0,0<c <d ⇒a c >b d .④0<a <x <b 或a <x <b <0⇒1b <1x <1a . (2)有关分数的性质若a >b >0，m >0，则：①b a <b ＋m a ＋m ；b a >b －m a －m (b －m >0)．②a b >a ＋m b ＋m ；a b <a －m b －m (b －m >0).[例1] (1)已知a 1，a 2∈(0,1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M <N B ．M >N C ．M ＝ND ．不确定(2)若a ＝ln 22，b ＝ln 33，则a ________b (填“＞”或“＜”)．[解析] (1)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝(a 1－1)(a 2－1)，又∵a 1∈(0,1)，a 2∈(0,1)，∴a 1－1<0，a 2－1<0.∴(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0.∴M >N .(2)易知a ，b 都是正数，b a ＝2ln 33ln 2＝log 89＞1，所以b ＞a .[答案] (1)B (2)<[方法技巧] 比较两个数(式)大小的两种方法[例2] (1)如果a <b A.1a <1b B ．ab <b 2 C ．－ab <－a 2D ．－1a <－1b(2)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >bC ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d(3)(2016·西安八校联考)“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] (1)法一(性质判断)：对于A 项，由a <b <0，得b －a >0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a <b <0，得b (a －b )>0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a <b <0，得a (a －b )>0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a <b <0，得a －b <0，ab >0，故－1a －⎝⎛⎭⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确． 法二(特殊值法)：令a ＝－2，b ＝－1，则1a ＝－12>1b ＝－1，ab ＝2>b 2＝1，－ab ＝－2>－a 2＝－4，－1a ＝12<－1b＝1.故A 、B 、C 项错误，D 项正确．(2)取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<bc2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误． (3)x 1>3，x 2>3⇒x 1＋x 2>6，x 1x 2>9；反之不成立，例如x 1＝12，x 2＝20，x 1＋x 2＝412>6，x 1x 2＝10>9，但x 1<3.故“x 1>3且x 2>3”是“x 1＋x 2>6且x 1x 2>9”的充分不必要条件．[答案] (1)D (2)C (3)A [方法技巧]不等式性质应用问题的常见类型及解题策略(1)不等式成立问题．熟记不等式性质的条件和结论是基础，灵活运用是关键，要注意不等式性质成立的前提条件．(2)与充分、必要条件相结合问题．用不等式的性质分别判断p ⇒q 和q ⇒p 是否正确，要注意特殊值法的应用．(3)与命题真假判断相结合问题．解决此类问题除根据不等式的性质求解外，还经常采用特殊值验证的方法．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]设a ，b ∈[0，＋∞)，A ＝a ＋b ，B ＝a ＋b ，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤BB ．A ≥BC．A<B D．A>B解析：选B由题意得，B2－A2＝－2ab≤0，且A≥0，B≥0，可得A≥B.2.[考点二]若m＜0，n＞0且m＋n＜0，则下列不等式中成立的是()A．－n＜m＜n＜－m B．－n＜m＜－m＜nC．m＜－n＜－m＜n D．m＜－n＜n＜－m解析：选D法一：(取特殊值法)令m＝－3，n＝2分别代入各选项检验即可．法二：m＋n＜0⇒m＜－n⇒n＜－m，又由于m＜0＜n，故m＜－n＜n＜－m成立．3.[考点二]若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列结论：①ad＞bc；②ad＋bc＜0；③a－c＞b－d；④a(d－c)＞b(d－c)中，成立的个数是()A．1 B．2 C．3 D．4解析：选C∵a＞0＞b，c＜d＜0，∴ad＜0，bc＞0，∴ad＜bc，故①不成立．∵a＞0＞b＞－a，∴a＞－b＞0，∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0，∴a(－c)＞(－b)(－d)，∴ac＋bd＜0，∴ad＋bc＝ac＋bdcd＜0，故②成立．∵c＜d，∴－c＞－d，∵a＞b，∴a＋(－c)＞b＋(－d)，a－c＞b－d，故③成立．∵a＞b，d－c＞0，∴a(d－c)＞b(d－c)，故④成立．成立的个数为3.4.[考点二]设a，b是实数，则“a>b>1”是“a＋1a>b＋1b”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A因为a＋1a－⎝⎛⎭⎫b＋1b＝(a－b)(ab－1)ab，若a>b>1，显然a＋1a－⎝⎛⎭⎫b＋1b＝(a－b)(ab－1)ab>0，则充分性成立，当a＝12，b＝23时，显然不等式a＋1a>b＋1b成立，但a>b>1不成立，所以必要性不成立．突破点(二)一元二次不等式1．三个“二次”之间的关系2.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件(1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c >0或⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)不等式ax 2＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝b ＝0，c <0或⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.[例1] (1)－3x 2－2x ＋8≥0； (2)0＜x 2－x －2≤4；(3)ax 2－(a ＋1)x ＋1＜0(a ＞0)．[解] (1)原不等式可化为3x 2＋2x －8≤0， 即(3x －4)(x ＋2)≤0.解得－2≤x ≤43，所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－2≤x ≤43. (2)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－x －2＞0，x 2－x －2≤4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x 2－x －2＞0，x 2－x －6≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)(x ＋1)＞0，(x －3)(x ＋2)≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＞2或x ＜－1，－2≤x ≤3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为{}x |－2≤x ＜－1或2＜x ≤3. (3)原不等式变为(ax －1)(x －1)＜0， 因为a ＞0，所以a ⎝⎛⎭⎫x －1a (x －1)＜0.所以当a ＞1，即1a <1时，解为1a ＜x ＜1；当a ＝1时，解集为∅；当0＜a ＜1，即1a >1时，解为1＜x ＜1a .综上，当0＜a ＜1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1＜x ＜1a ； 当a ＝1时，不等式的解集为∅；当a ＞1时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a ＜x ＜1. [方法技巧]1．解一元二次不等式的方法和步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式． (2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根． (4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 2．解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式．(2)当不等式对应方程的实根的个数不确定时，讨论判别式Δ与0的关系．(3)确定无实根时可直接写出解集，确定方程有两个实根时，要讨论两实根的大小关系，从而确定解集形式．由一元二次不等式恒成立求参数范围上全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x 轴下方．另外，常转化为求二次函数的最值或用分离参数求最值．考法(一) 在实数集R 上恒成立[例2] 已知不等式mx 2－2x －m ＋1＜0，是否存在实数m 使得对所有的实数x ，不等式恒成立？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．[解] 不等式mx 2－2x －m ＋1＜0恒成立，即函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1的图象全部在x 轴下方．当m ＝0时，1－2x ＜0，则x ＞12，不满足题意；当m ≠0时，函数f (x )＝mx 2－2x －m ＋1为二次函数， 需满足开口向下且方程mx 2－2x －m ＋1＝0无解，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，Δ＝4－4m (1－m )＜0， 不等式组的解集为空集，即m 无解．综上可知不存在这样的实数m 使不等式恒成立． 考法(二) 在某区间上恒成立[例3] 设函数f (x )＝mx 2－mx －1(m ≠0)，若对于x ∈[1,3]，f (x )＜－m ＋5恒成立，求m 的取值范围．[解] 要使f (x )＜－m ＋5在[1,3]上恒成立，则mx 2－mx ＋m －6＜0，即m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6＜0在x ∈[1,3]上恒成立．法一：令g (x )＝m ⎝⎛⎭⎫x －122＋34m －6，x ∈[1,3]． 当m ＞0时，g (x )在[1,3]上是增函数， 所以g (x )max ＝g (3)＝7m －6＜0. 所以m ＜67，则0＜m ＜67.当m ＜0时，g (x )在[1,3]上是减函数，所以g (x )max ＝g (1)＝m －6＜0.所以m ＜6，则m ＜0.综上所述，m 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫m ⎪⎪0＜m ＜67或m ＜0. 法二：因为x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34＞0， 又因为m (x 2－x ＋1)－6＜0，所以m ＜6x 2－x ＋1.因为函数y ＝6x 2－x ＋1＝6⎝⎛⎭⎫x －122＋34在[1,3]上的最小值为67，所以只需m ＜67即可．因为m ≠0，所以m 的取值范围是mm ＜0或0＜m ＜67.考法(三) 在参数的某区间上恒成立时求变量范围[例4] 对任意m ∈[－1,1]，函数f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m 的值恒大于零，求x 的取值范围．[解] 由f (x )＝x 2＋(m －4)x ＋4－2m ＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，令g (m )＝(x －2)m ＋x 2－4x ＋4，则原问题转化为关于m 的一次函数问题． 由题意知在[－1,1]上，g (m )的值恒大于零，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (－1)＝(x －2)×(－1)＋x 2－4x ＋4>0，g (1)＝(x －2)＋x 2－4x ＋4>0，解得x <1或x >3.故当x 的取值范围是(－∞，1)∪(3，＋∞)时，对任意的m ∈[－1,1]，函数f (x )的值恒大于零．[易错提醒]解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．即把变元与参数交换位置，构造以参数为变量的函数，根据原变量的取值范围列式求解．能力练通 抓应用体验的“得”与“失”1.[考点一]不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x (x ＋2)>0，|x |<1的解集为( )A ．{x |－2<x <－1}B ．{x |－1<x <0}C ．{x |0<x <1}D ．{x |x >1}解析：选C 解x (x ＋2)>0，得x <－2或x >0；解|x |<1，得－1<x <1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为{x |0<x <1}．2.[考点一]已知不等式x 2－2x －3＜0的解集为A ，不等式x 2＋x －6＜0的解集为B ，不等式x 2＋ax ＋b ＜0的解集为A ∩B ，则a ＋b 等于( )A ．－3B ．1C ．－1D ．3解析：选A 由题意得，A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－3＜x ＜2}，∴A ∩B ＝{x |－1＜x ＜2}，由根与系数的关系可知，a ＝－1，b ＝－2，则a ＋b ＝－3.3.[考点二·考法(一)]若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析：选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝⎛⎭⎫－38<0，解得－3<k <0. 综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．4.[考点二·考法(二)]若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( )A ．[－4,1]B ．[－4,3]C ．[1,3]D ．[－1,3]解析：选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3.综上可得－4≤a ≤3.5.[考点二·考法(三)]要使不等式x 2＋(a －6)x ＋9－3a >0，|a |≤1恒成立，则x 的取值范围为________．解析：将原不等式整理为形式上是关于a 的不等式(x －3)a ＋x 2－6x ＋9>0.令f (a )＝(x －3)a ＋x 2－6x ＋9.因为f (a )>0在|a |≤1时恒成立，所以①若x ＝3，则f (a )＝0，不符合题意，应舍去．②若x ≠3，则由一次函数的单调性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)>0，f (1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－7x ＋12>0，x 2－5x ＋6>0，解得x <2或x >4.答案：(－∞，2)∪(4，＋∞)[全国卷5年真题集中演练——明规律] 1.(2014·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≥0}，B ＝{x |－2≤x ＜2}，则A ∩B ＝( )A ．[－2，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,1]D ．[1,2)解析：选A A ＝{x |x ≤－1或x ≥3}，故A ∩B ＝[－2，－1]，故选A.2．(2014·新课标全国卷Ⅱ)设集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}，则M ∩N ＝( ) A ．{1} B ．{2} C ．{0,1}D ．{1,2}解析：选D N ＝{x |x 2－3x ＋2≤0}＝{x |1≤x ≤2}，又M ＝{0,1,2}，所以M ∩N ＝{1,2}． 3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x 2－2x ＞0}，B ＝{x |－5＜x ＜5}，则( ) A ．A ∩B ＝∅ B ．A ∪B ＝R C ．B ⊆AD ．A ⊆B解析：选B 集合A ＝{x |x ＞2或x ＜0}，所以A ∪B ＝{x |x ＞2或x ＜0}∪{x |－5＜x ＜5}＝R ，故选B.[课时达标检测] 重点保分课时——一练小题夯双基，二练题点过高考[练基础小题——强化运算能力]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b.故C 项不成立．2．函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B 要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( )A ．(1,2)B ．[1,2]C ．[1,2)D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：选B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得m n ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：选B 不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<b c 2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －bc 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c >0知命题正确．答案：②③8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：[－2,2] 三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。
[推荐学习]2018年高考数学总复习第六章不等式第1讲不等式的性质与一元二次不等式课时作业
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第1讲 不等式的性质与一元二次不等式基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x ) B.f (x )＞g (x ) C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( ) A.1个B.2个C.3个D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C3.(2017·宁波十校联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x<2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)，∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析 由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a 2－4a ≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4. 答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( ) A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a2＝1，解得a ＝2.又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________. 解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，x 2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x 2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}. 答案 {x |x ＞1}7.若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，45. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________. 解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立， 由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋2 3.所以不等式的解集为{a |3－23＜a ＜3＋23}. (2)∵f (x )＞b 的解集为(－1，3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1，3，∴⎩⎪⎨⎪⎧（－1）＋3＝a （6－a ）3，（－1）×3＝－6－b 3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.即a 的值为3±3，b 的值为－3.10.某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件.若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域； (2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围.解 (1)由题意得，y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0.所以y ＝f (x )＝40(10－x )(25＋4x )， 定义域为x ∈[0，2].(2)由题意得40(10－x )(25＋4x )≥10 260， 化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11.下面四个条件中，使a >b 成立的充分而不必要的条件是( ) A.a >b ＋1 B.a >b －1 C.a 2>b 2D.a 3>b 3解析 A 项：若a >b ＋1，则必有a >b ，反之，当a ＝2，b ＝1时，满足a >b ，但不能推出a >b ＋1，故a >b ＋1是a >b 成立的充分而不必要条件；B 项：当a ＝b ＝1时，满足a >b －1，反之，由a >b －1不能推出a >b ；C 项：当a ＝－2，b ＝1时，满足a 2>b 2，但a >b 不成立；D 项：a >b 是a 3>b 3的充要条件，综上所述答案选A.答案 A12.(2017·丽水市调研)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，若不等式f (x )<0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <12或x >3，则f (e x )>0(e 是自然对数的底数)的解集是( )A.{x |x <－ln 2或x >ln 3}B.{x |ln 2<x <ln 3}C.{x |x <ln 3}D.{x |－ln 2<x <ln 3}解析 法一 依题意可得f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12(x －3)(a <0)，则f (e x)＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x －12(e x －3)(a <0)，由f (e x )＝a ⎝⎛⎭⎪⎫e x－12(e x －3)>0，可得12<e x <3，解得－ln 2<x <ln 3，故选D.法二 由题知，f (x )>0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12<x <3，令12<e x<3，得－ln 2<x <ln 3，故选D.答案 D13.(2017·宁波检测)若不等式x 2＋ax －2＞0在R 上有解，则实数a 的取值范围是________；若在区间[1，5]上有解，则实数a 的取值范围是________.解析 设f (x )＝x 2＋ax －2，∵f (x )开口向上，∴对任意a ∈R ，f (x )>0在R 上有解；由于Δ＝a 2＋8＞0恒成立，所以方程x 2＋ax －2＝0恒有一正一负两根，于是不等式x 2＋ax －2＞0在区间[1，5]上有解的充要条件是f (5)＞0，即a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞.答案 R ⎝ ⎛⎭⎪⎫－235，＋∞14.解关于x 的不等式ax 2－(2a ＋1)x ＋2＜0(a ∈R ). 解 原不等式可化为(ax －1)(x －2)＜0.(1)当a ＞0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0.因为方程(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a ＝0的两个根分别是2，1a ，所以当0＜a ＜12时，2＜1a ，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2＜x ＜1a ；当a ＝12时，原不等式的解集是∅；当a ＞12时，1a ＜2，则原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.(2)当a ＝0时，原不等式为－(x －2)＜0，解得x ＞2， 即原不等式的解集是{x |x ＞2}.(3)当a ＜0时，原不等式可以化为a (x －2)⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＜0，根据不等式的性质，这个不等式等价于(x －2)·⎝⎛⎭⎪⎫x －1a ＞0，由于1a＜2，故原不等式的解集是⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＜1a或x ＞2. 综上所述，当a ＜0时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＜1a或x ＞2；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ＞2}；当0＜a ＜12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪2＜x ＜1a ；当a ＝12时，不等式的解集为∅；当a ＞12时，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1a ＜x ＜2.15.已知二次函数f (x )的二次项系数为a ，且不等式f (x )>－2x 的解集为(1，3). (1)若方程f (x )＋6a ＝0有两个相等的根，求f (x )的解析式； (2)若f (x )的最大值为正数，求a 的取值范围. 解 (1)∵f (x )＋2x >0的解集为(1，3)，f (x )＋2x ＝a (x －1)(x －3)，且a <0，因而f (x )＝a (x －1)(x －3)－2x ＝ax 2－(2＋4a )x ＋3a .① 由方程f (x )＋6a ＝0， 得ax 2－(2＋4a )x ＋9a ＝0.② 因为方程②有两个相等的实根， 所以Δ＝[－(2＋4a )]2－4a ·9a ＝0， 即5a 2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15.由于a <0，舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f (x )＝－15x 2－65x －35.(2)由f (x )＝ax 2－2(1＋2a )x ＋3a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a 2＋4a ＋1a 及a <0，可得f (x )的最大值为－a 2＋4a ＋1a . 由⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋4a ＋1a >0，a <0，解得a <－2－3或－2＋3<a <0.故当f (x )的最大值为正数时，实数a 的取值范围是 (－∞，－2－3)∪(－2＋3，0).。
数学高考复习一元二次不等式及其解法专项检测(附答案)
数学高考复习一元二次不等式及其解法专项检测（附
答案）
含有一个未知数且未知数的最高次数为2的不等式叫做一元二次不等式，以下是一元二次不等式及其解法专项检测，请考生及时练习。
1.设二次函数f(x)=ax2+bx+c，函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m，n(m0的解集;
(2)假定a0，且a0，即a(x+1)(x-2)0.
当a0时，不等式F(x)0的解集为{x|x-1或x当a0时，不等式F(x)0的解集为{x|-10，且00.
f(x)-m0，即f(x)4的解集为{x|x1或xb}，
(1)求a，b;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc0.
解 (1)由于不等式ax2-3x+64的解集为{x|x1或xb}，所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根，且b1.
由根与系数的关系，得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc0为x2-(2+c)x+2c0，即(x-2)(x-c)0.
当c2时，不等式(x-2)(x-c)0的解集为{x|22时，不等式的解集为{x|20，
即=(m-2)2-4(m-1)(-1)0，得m20，
所以m1且m0.
(2)在m0且m1的条件下，
由于+==m-2，
所以+=2-
=(m-2)2+2(m-1)2.
得m2-2m0，所以02.
所以m的取值范围是{m|0
一元二次不等式及其解法专项检测及答案的全部内容就是这些，查字典数学网希望考生可以取得优秀的效果。
2018年高考数学总复习教师用书第六章 不等式 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式 Word版含答案
第讲不等式的性质与一元二次不等式最新考纲.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景；.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型；.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图.知识梳理.两个实数比较大小的方法()作差法()作商法.不等式的性质()对称性：＞⇔＜；()传递性：＞，＞⇒＞；＋⇔＞()可加性：＞＋；＋；＞，＞＋≥⇒⇒＞可乘性：＞，＞()⇒；；＞＞，＞＞＞⇒可乘方：＞＞()＞(∈；≥)，可开方：＞＞()⇒≥).，(∈＞.三个“二次”间的关系.判断正误(在括号内打“√”或“×”)()＞⇔＞.( )()若不等式＋＋＜的解集为(，)，则必有＞.( )()若方程＋＋＝(＜)没有实数根，则不等式＋＋＞的解集为.( )()不等式＋＋≤在上恒成立的条件是＜且Δ＝－≤.()解析()由不等式的性质，＞⇒＞；反之，＝时，＞⇒＞.()若方程＋＋＝(<)没有实根.则不等式＋＋>的解集为∅.()当＝＝，≤时，不等式＋＋≤也在上恒成立.答案()×()√()×()×.若＞＞，＜＜，则一定有( )＞＜＞＜解析因为＜＜，所以＞＞，两边同乘－，得－＞－＞，又＞＞，故由不等式的性质可知－＞－＞.两边同乘－，得＜.故选.答案.设集合＝{－－<}，＝{≤≤}，则∩等于( ).(，] .[，) .[－，) .(－，]解析∵＝{－－<}＝{－<<}，∴∩＝[，).答案.(·金华模拟)若不等式＋＋>的解集为，则＝，＝.解析由题意知，方程＋＋＝的两根为＝－，＝，又即解得答案－－.当＞时，若不等式＋＋≥恒成立，则的最小值为( ).－ .－.－ .－解析当Δ＝－≤，即－≤≤时，不等式＋＋≥对任意＞恒成立，当Δ＝－＞，则需解得＞，所以使不等式＋＋≥对任意＞恒成立的实数的最小值是－.答案.(必修改编)若关于的一元二次方程－(＋)－＝有两个不相等的实数根，则的取值范围是.解析由题意知Δ＝[(＋)]＋＞.即＋＋＞，解得＞－＋或＜－－.答案(－∞，－－)∪(－＋，＋∞)考点一比较大小及不等式的性质的应用【例】 ()已知实数，，满足＋＝－＋，－＝－＋，则，，的大小关系是( )≥>>≥>>>>。
(浙江版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题7.1 不等式的性质及一元二次不等式(讲)
第01节 不等式的性质及一元二次不等式【考纲解读】,21【知识清单】1.不等关系在日常生产生活中,不等关系更为普遍,利润的优化、方案的设计等方面都蕴含着不等关系，再比如几何中的两点之间线段最短，三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等，用数学中的不等式表示这些不等关系，建立数学模型，利用数学知识解决现实生活的不等关系. 对点练习【2016高考上海理数】设R a ∈，则“1>a ”是“12>a ”的（ ）（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件 【答案】A2.比较法比较大小的常用方法(1)作差法：一般步骤是：①作差；②变形；③定号；④结论．其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式．当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差．(2)作商法：一般步骤是：①作商；②变形；③判断商与1的大小；④结论． (3)特值法：若是选择题、填空题可以用特值法比较大小；若是解答题，可先用特值探究思路，再用作差或作商法判断．注意：用作商法时要注意商式中分母的正负，否则极易得出相反的结论． 对点练习若,,,a b c d 均为正实数，且>a b ，那么四个数b a 、a b 、++b c a c 、++a d b d由小到大的顺序是_________. 【答案】b a 、++bc a c 、++ad b d 、a b.3.不等式性质 (1)对称性：a >b ⇔b <a . (2)传递性：a >b ，b >c ⇒a >c . (3)可加性：a >b ⇒a ＋c >b ＋c .(4)可乘性：a >b ，c >0⇒ac >bc ；a >b ，c <0⇒ac <bc . (5)加法法则：a >b ，c >d ⇒a ＋c >b ＋d . (6)乘法法则：a >b >0，c >d >0⇒ac >bd . (7)乘方法则：a >b >0⇒a n>b n(n ∈N ，n ≥2)． (8)开方法则：a >b >0⇒na >nb (n ∈N ，n ≥2)．对点练习【2017届浙江台州高三4月调研】若，则“”是“”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】当，而 ，反过来也成立，所以是充要条件，故选C. 4.一元二次不等式的解法（1）将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax 2＋bx ＋c>0(a>0)或ax 2＋bx ＋c<0(a>0)． （2）计算相应的判别式．（3）当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．（4）利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集． 对点练习【2016高考新课标1理数】设集合{}2430A x x x =-+< ,{}230x x ->,则AB =（ ）（A ）33,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭ （B ）33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ （C ）31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ （D ）3,32⎛⎫⎪⎝⎭【答案】D【考点深度剖析】不等关系、不等式的性质的考查，往往与其它知识综合考查，如与函数、数列、几何、实际问题等相结合进行综合命题；对一元二次不等式的解法的考查，较多与集合的运算以及二次函数相结合． 【重点难点突破】考点1 应用不等式表示不等关系【1-1】用锤子以均匀的力敲击铁钉进入木板．随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度为前一次的1k(k ∈N *)，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉长度是钉长的47，试从中提炼出一个不等式组．(钉帽厚度不计)【解析】假设钉长为1，第一次受击后，进入木板部分的铁钉长度是47；第二次受击后，该次铁钉进入木板部分的长度为47k ，此时进入木板部分的铁钉的总长度为47＋47k ，有47＋47k ＜1；第三次受击后，该次钉入木板部分的长度为47k 2，此时应有47＋47k ＋47k 2，有47＋47k ＋47k2≥1.所以可从中提炼出一个不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧47＋47k＜1，47＋47k ＋47k2≥1.【1-2】将一个三边长度分别为5,12,13的三角形的各边都缩短x ，构成一个钝角三角形，试用不等式(组)表示x 应满足的不等关系． 【解析】由题意知⎩⎪⎨⎪⎧5－x >0，(5－x )＋(12－x )>13－x ，(5－x )2＋(12－x )2<(13－x )2.综合点评：求解数学应用题的关键是建立数学模型，只要把模型中的量具体化，就可以得到相应的数学问题，然后运用数学知识、方法、技巧等解决数学问题.在解决实际问题时，要注意变量的取值范围. 【触类旁通】【变式】已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与4枝康乃馨的价格之和小于20元，那么2枝玫瑰和3枝康乃馨的价格的比较结果是（ ） （A ）2枝玫瑰的价格高 （B ）3枝康乃馨的价格高 （C ）价格相同 （D ）不确定 【答案】A考点2 比较两数（式）的大小【2-1】下列各组代数式的关系正确的是________． ①x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9； ②(x －3)2＜(x －2)(x －4)； ③当x ＞1时，x 3＞x 2－x ＋1； ④x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． 【答案】 ①③④【解析】 ①2x 2＋5x ＋9－(x 2＋5x ＋6)＝x 2＋3＞0， 即x 2＋5x ＋6＜2x 2＋5x ＋9.②(x －2)(x －4)－(x －3)2＝x 2－6x ＋8－(x 2－6x ＋9) ＝－1＜0，即(x －2)(x －4)＜(x －3)2.③当x ＞1时，x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1) ＝(x －1)(x 2＋1)＞0， 即x 3＞x 2－x ＋1.④x 2＋y 2＋1－2(x ＋y －1)＝(x 2－2x ＋1)＋(y 2－2y ＋1)＋1＝(x －1)2＋(y －1)2＋1＞0， 即x 2＋y 2＋1＞2(x ＋y －1)． 【2-2】若55ln ,33ln ,22ln ===c b a ，则a,b,c 的大小关系是 ． 【答案】b a c >>【领悟技法】1、（利用比较法比较两数（式）的大小时，关键在于作差或商后的变形，需要分解因式或者通分等运算，一定化简彻底；2、构造函数法比较大小时，通常考虑所构造的函数图象特征或者函数的性质，尤其要注意利用单调性比较大小． 【触类旁通】【变式一】若0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，则将a ，b ，12，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________．【答案】 a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b【解析】∵0＜a ＜b 且a ＋b ＝1，∴a ＜12＜b ＜1，∴2b ＞1且2a ＜1，∴a ＜2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫a －122＋12＜12.即a ＜2ab ＜12，又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ＞1－12＝12，即a 2＋b 2＞12，a 2＋b 2－b ＝(1－b )2＋b 2－b ＝(2b －1)(b －1)，又2b －1＞0，b －1＜0，∴a 2＋b 2－b ＜0，∴a 2＋b 2＜b ，综上，a ＜2ab ＜12＜a 2＋b 2＜b .【变式二】设+∈R c b a ,,，求证：b a c a c b c b a c b a c b a +++⋅⋅≥⋅⋅222. 证明：由于不等式是关于c b a ,,对称的，不妨设c b a ≥≥，于是1222≥⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⎪⎭⎫⎝⎛⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=⋅⋅⋅⋅---+++ca cb ba b a c a c b c b a c a c b b a c b a c b a ，所以b a c a c b c b a c b a c b a +++⋅⋅≥⋅⋅222. 考点3 不等式的性质【3-1】若a ，b ∈R ，若a ＋|b |＜0，则下列不等式中正确的是( ) A ．a －b ＞0 B ．a 3＋b 3＞0 C ．a 2－b 2＜0 D ．a ＋b ＜0 【答案】D【3-2】根据条件：,,a b c 满足c b a <<，且0a b c ++=，有如下推理：（1） ()0ac a c -> （2） ()0c b a -< (3) 22cb ab ≤ (4) ab ac >其中正确的是（ ）A ．（1） （2）B ．(3) (4)C ．（1） (3)D ．（2） (4) 【答案】B【解析】由33c b a c a b c a <<⇒<++<，因为0a b c ++=，所以00c a <⎧⎨>⎩，对于b 的值可正可负也可为0，对于（1）错误，因为0ac <，而0a c ->，所以()0ac a c -<；对于（2）错误，因为0,0c b a <-<，从而()0c b a ->；对于（3）正确，因为20b ≥，当2b =时，220cb ab ==，当20b >时，由22c a cb ab <⇒<；对于（4）正确，因为0,a b c ab ac >>⇒>；综上可知，选B ．【领悟技法】1．判断一个关于不等式的命题的真假时，先把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题的真假，当然判断的同时可能还要用到其他知识，比如对数函数、指数函数的性质．2．特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法，在命题真假未定时，先用特殊值试试，可以得到一些对命题的感性认识，如正好找到一组特殊值使命题不成立，则该命题为假命题． 【触类旁通】【变式一】已知a ＞b ，则下列不等式中恒成立的是( )A ．ln a ＞ln b B.1a ＜1bC ．a 2＞abD ．a 2＋b 2＞2ab 【答案】D ．【变式二】已知下列三个不等式①ab ＞0；②c a ＞d b；③bc >ad .以其中两个作为条件，余下一个作结论，则可组成几个正确命题？ 【解析】(1)对②变形c a ＞d b ⇔bc －adab＞0，由ab ＞0，bc ＞ad 得②成立，∴①③⇒②.(2)若ab ＞0，bc －adab＞0，则bc ＞ad ，∴①②⇒③. (3)若bc ＞ad ，bc －adab＞0，则ab ＞0，∴②③⇒①. 综上所述可组成3个正确命题． 考点4 一元二次不等式的解法【4-1】已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c<0的解集是{x | x<－2⎭⎬⎫或x>－12，求不等式ax2－bx ＋c>0的解集．【答案】⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<2. 【解析】由条件知－2，－12是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，且a<0，∴－2－12＝－b a ，(－2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝ca.∴b ＝52a ，c ＝a.从而不等式ax 2－bx ＋c>0变为a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－52x ＋1>0.∵a<0，∴原不等式等价于2x 2－5x ＋2<0， 即(x －2)(2x －1)<0，解得12<x<2.∴不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<x<2. 【4-2】【2017届浙江嘉兴高三上基础测试】设集合2{|20}A x x x =-->，{|||3}B x x =<，则AB =（ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|23}x x <<C ．{|3123}x x x -<<-<<或D ．{|323}x x x -<<-<<或1 【答案】C【领悟技法】1.“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a <0时的情形转化为a >0时的情形．2.f (x )>0的解集即为函数y ＝f (x )的图象在x 轴上方的点的横坐标的集合，充分利用数形结合思想．3.简单的分式不等式可以等价转化，利用一元二次不等式解法进行求解． 【触类旁通】【变式一】【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初来联考】已知集合2{|230}A x x x =--<， 2{|31,}B y y x x R ==-+∈，则A B ⋂=（ ）A. {|31}x x -<≤B. {|12}x x ≤<C. {|11}x x -<≤D. {|13}x x << 【答案】C【解析】{}{}2|230 |1 3 A x x x x x =--<=-<<，{}{}2|31, | 1 B y y x x R y y ==-+∈=≤，则A B ⋂= {}|1 1 x x -<≤，故选C ． 考点5 一元二次不等式恒成立问题 【5-1】若不等式的解集是R ，则m 的范围是( )A.B.C.D.【答案】A【5-2】【2018河南南阳第一中学模拟】已知当11a -≤≤时， ()24420x a x a +-+->恒成立，则实数x 的取值范围是_____________. 【答案】()(),13,-∞⋃+∞【解析】试题分析：设()()()2244g a x a x x =-+-+，由于()24420x a x a +-+->恒成立，所以()0g a >，因此()()10{10g g ->->，整理得22560{320x x x x -+>-+>，解得【5-3】若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12成立，则实数a 的最小值为( )A ．0B ．－2C ．－52D ．－3【答案】C【解析】解法一：不等式可化为ax ≥－x 2－1，由于x ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12，∴a ≥－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x .∵f (x )＝x ＋1x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上是减函数， ∴⎝⎛⎭⎪⎫－x －1x max ＝－52.∴a ≥－52. 解法二：令f (x )＝x 2＋ax ＋1，对称轴为x ＝－a2.①⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≤0，f （0）≥0⇒a ≥0.(如图1)②⎩⎪⎨⎪⎧0＜－a 2＜12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2≥0⇒－1＜a ＜0.(如图2)③⎩⎪⎨⎪⎧－a 2≥12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≥0 ⇒－52≤a ≤－1.(如图3)图1图2图3综上 ①②③，a ≥－52.故选C .【领悟技法】(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图像在给定的区间上全部在x 轴下方． 【触类旁通】【变式一】对任意实数x ，若不等式4x－m ·2x＋1＞0恒成立，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，2)B ．(－2，2)C ．(－∞，2]D ．[－2，2] 【答案】A【变式二】已知()⎪⎩⎪⎨⎧>+--≤+-=,0,32,0,3422x x x x x x x f 不等式()()x a f a x f ->+2在[]1,+a a 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,-∞-B. ()0,∞-C. ()2,0D. ()0,2- 【答案】D【解析】试题分析：()x f 为R 上的减函数，故()()x a a x x a f a x f -<+⇔->+22，从而a x <2，所以()a a <+12，得2-<a .考点6 一元二次不等式的应用【6-1】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．【6-2】汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距离是分析事故的一个重要因素．在一个限速40 km/h 以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了，事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m ，乙车的刹车距离略超过10 m ，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)车速x (km/h)之间有如下关系：20.10.01s x x 甲＝＋，20.050.05s x x 乙＝＋.问：超速行驶应负主要责任的是谁？【答案】A【解析】由题意列出不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1x ＋0.1x 2>12，0.05x ＋0.005x 2>10，分别求解，得⎩⎪⎨⎪⎧ x <－40或x >30，x <－50或x >40.由于0x >，从而可得30 /40 /x km h x km h >>甲乙，.经比较知乙车超过限速，应负主要责任．【领悟技法】不等式应用问题常以函数、数列的模型出现，在解题中主要涉及不等式的解以及不等式的应用问题，解不等式应用题，重在审题，构造数学模型，这是解题关键．【触类旁通】【变式一】 某小商品2013年的价格为8元/件，年销量是a 件．现经销商计划在2014年将该商品的价格降至5.5元/件到7.5元/件之间，经调查，顾客的期望价格是4元/件．经测算，该商品价格下降后新增的年销量与实际价格和顾客期望价格的差成反比，比例系数为k .该商品的成本价为3元/件．(1)写出该商品价格下降后，经销商的年收益y 与实际价格x 的函数关系式；(2)设k ＝2a ，当实际价格最低定为多少时，仍然可以保证经销商2014年的收益比2013年至少增长20%?【变式二】某商品每件成本价为80元，售价为100元，每天售出100件．若售价降低x 成(1成＝10%)，售出商品数量就增加85x 成．要求售价不能低于成本价． (1)设该商店一天的营业额为y ，试求y 与x 之间的函数关系式y ＝f (x )，并写出定义域；(2)若再要求该商品一天营业额至少为10 260元，求x 的取值范围．【解析】(1)由题意得y ＝100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10·100⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋850x . 因为售价不能低于成本价，所以100⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 10－80≥0. 所以y ＝f (x )＝20(10－x )(50＋8x )，定义域为[0,2]．(2)由题意得20(10－x )(50＋8x )≥10 260，化简得8x 2－30x ＋13≤0.解得12≤x ≤134.所以x 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2. 【易错试题常警惕】易错典例1：已知不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，则不等式02<++a bx cx 的解集为（ ）A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-312|x x B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<312|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧>-<213|x x x 或 易错分析：由于对一元二次不等式解集的意义理解不够，故忽视了对a 、b 、c 符号的判断． 根据给出的解集，除知道31-和2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根外，还应知道0<a ，然后通过根与系数的关系进一步求解．正确解析：由于不等式02≥++c bx ax 的解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤≤-231|x x ，可知0<a ，且 31-，2是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根， ∴a b -=+-231，a c =⨯-2)31(，∴a b 35-=，a c 32-=． ∴不等式02<++a bx cx 可化为035322<+--a ax ax ，由于0<a ∴0135322<-+x x ，即03522<-+x x ，解得213<<-x ． ∴所求解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-213|x x ，选C ． 易错典例2：已知11,15,3x y x y x y -≤+≤≤-≤-求的取值范围．易错分析：利用不等式性质，11,15,x y x y -≤+≤≤-≤两式相加，得03,x ≤≤ 由15x y ≤-≤，得51x y -≤-+≤-，则30y -≤≤ ，所以，039x ≤≤，03y ≤-≤，从而0312x y ≤-≤分析：当312x y -=时，x=3,y=-3,而6x y -=不满足已知条件，显然结果有问题.这种通过求出x,y 的范围，再3x y -求的取值范围是一种较为典型的错误.事实上，11,15,x y x y -≤+≤≤-≤不等价于03,x ≤≤30y -≤≤，利用不等式性质进行同向不等式向加，已知条件11,15,x y x y -≤+≤≤-≤仅仅是后来得到的结果的充分条件，即前者成立，后者不一定成立.因此，这是一个不恒等变形，其中的x,y 的取值被扩大了.但是，并不等于说不等式的性质在这里就不能用.我们可以不改变原条件的前提下，整体地对原不等式进行向加．正确解析：11,x y -≤+≤通过观察将后式两边乘2，得22()10,x y ≤-≤于是1311x y ≤-≤.温馨提示：注意不等式性质的单向性．。
2018年高考数学课标通用(理科)一轮复习配套教师用书第七章 不等式 7.1 不等式的性质与一元二次不等式 W
必考部分第七章不等式不等式§不等式的性质与一元二次不等式考纲展示►.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组)的实际背景．．会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型．．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．考点不等式的性质.两个实数比较大小的方法(\\(－>⇔，，－＝⇔，，－<⇔，))错误!答案：()> ＝< ()> ＝<．不等式的基本性质续表<＋>＋>> >．不等式的一些常用性质()倒数的性质：①>，>⇒.②<<⇒.③>><<⇒.④<<<或<<<⇒.()有关分数的性质：若>>，>，则①<；>(－>)．②>；<(－>)．答案：()①< ②< ③> ④< <不等式性质的两个易错点：不等号的传递性；可乘性．()若＞，≥，则与的大小关系是．答案：＞解析：由＞，≥，得＞.()若＞，则与的大小关系是．答案：不确定解析：若＞，则＞；若＜，则＜；若＝，则＝..比较两个数大小的方法：差值法；商值法．()若>，且>，则与的大小关系是．答案：<解析：∵>，∴－<，又>，∴－＝<，即<.()与的大小关系是.答案：＞解析：＝＝·。
2018年高考数学—不等式专题
不等式(必修 5P80A3 改编 )若对于 x 的一元二次方程 x2－(m＋ 1)x－ m＝ 0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围是 ________.分析由题意知＝ [(m＋ 1)]2＋＞即2＋＋＞，4m 0. m 6m 1 0解得 m＞－ 3＋2 2或 m＜－ 3－2 2.答案(－∞，－ 3－2 2)∪(－3＋2 2，＋∞ )x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅱ卷 )若x，y 知足拘束条件x＋ y－3≥0，则z＝x－ 2y 的最小值为x－ 3≤ 0，________.分析画出可行域，数形联合可知目标函数的最小值在直线x＝ 3与直线 x－y＋1＝0 的交点 (3， 4)处获得，代入目标函数z＝x－2y获得－ 5.答案－52x－ y＋1≥0，(2016 ·全国Ⅲ卷 )设 x， y 知足拘束条件x－2y－1≤0，则＝z 2x x≤1，＋3y－5 的最小值为 _____.分析画出不等式组表示的平面地区如图中暗影部分所示.由题意可知，2 5 z当直线 y＝－3x＋3＋3过点 A(－1，－1)时，z获得最小值，即 z min＝2×(－ 1)＋3×(－1)－5＝－ 10.2x － y ≤ 0，(2017 ·西安检测 )已知变量 x ， y 知足 x －2y ＋ 3≥ 0，x ≥0，则 z ＝( 2)2x ＋y的最大值为 ________.分析作出不等式组所表示的平面地区，如图暗影部分所示.令 m ＝2x ＋y ，由图象可知当直线 y ＝－ 2x ＋ m 经过点 A 时，直线 y ＝－ 2x ＋m 的纵截距最大，此时 m 最大，故 z 最大 .由2x －y ＝0，x ＝1，x － 2y ＋3＝0， 解得y ＝2，即 A(1，2).代入目标函数 z ＝( 2)2x ＋y得， z ＝ ( 2)2×1＋2＝4.答案42x －y ≤0， (2016·北京卷 若 ， 知足 x ＋ y ≤ 3， 则 2x ＋ y 的最大值为 ())x yx ≥0，A.0B.3C.4D.5分析画出可行域，如图中暗影部分所示，令 z ＝ 2x ＋y ，则 y ＝－ 2x ＋ z ，当直线 y ＝－ 2x ＋ z 过点 A(1，2)时， z 最大， z max ＝ 4.答案 Cx ＋y ≤2， (2016 ·山东卷 )若变量 x ，y 知足 2x －3y ≤ 9，则 x 2＋ y 2的最大值是 ()x ≥0，A.4B.9C.10D.12分析作出不等式组所表示的平面地区，如图(暗影部分 )所示，x 2＋y 2 表示平面地区内的点到原点的距离的平方，由图易知平面地区内的点 A(3，－1)到原点的距离最大 .因此 x 2＋y 2 的最大值为32＋(－1)2＝10.答案Cx y(2015 ·福建卷 )若直线 a ＋ b ＝ 1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，则a ＋b 的最小值等于()A.2B.3C.4D.5x y1 1分析 由于直线 a ＋b ＝1(a ＞0，b ＞0)过点 (1，1)，因此 a ＋b ＝1.因此 ＋ ＝ ＋ 1 1 a b a b ＝ ＝时取 · ＋ ≥2＋2 ·＝ ，当且仅当 2a b (a b) a b ＝2＋b ＋a b a4a b“＝”，应选 C.答案 Cb 4a的最小值为 () (2016 ·合肥二模 )若 a ， b 都是正数，则 1＋a · 1＋ b A.7 B.8 C.9 D.10分析 ∵a ，b 都是正数，∴ 1＋ b 1＋ 4a b 4ab 4a a b ＝5＋ ＋ b ≥5＋2 · ＝9，当且仅a a b当 b ＝ 2a>0 时取等号 .应选 C.答案 C1 2(2015 ·湖南卷 )若实数 a ，b 知足 a ＋ b ＝ ab ，则 ab 的最小值为 ()A. 2B.2C.2 2D.4分析1 2 2 2 2依题意知 a ＞0，b ＞0，则 ＋ ≥ 2 ＝，a babab1 2当且仅当a＝b，即 b＝ 2a 时，“ ＝”建立 .1 2 2 22，由于＋＝ ab，因此ab≥，即 ab≥2a b ab因此 ab 的最小值为 2 2，应选 C 答案 C。
2018届广东省广州市高考数学一轮温习专项检测试题26不等式证明
不等式证明例1：设0>>b a ，求证：.ab ba b a b a >分析：发觉作差后变形、判定符号较为困难。
考虑到两边都是正数，能够作商，判定比值与1的大小关系，从而证明不等式。
证明：b a a b ba ab b a b a b ab a b a ---=⋅=)(，∵0>>b a ，∴.0,1>->b a b a ∴1)(>-b a b a ∴a b b a ba b a .1>又∵0>a b b a ，∴.ab b a b a b a >。
说明：此题考查不等式的证明方式——比较法(作商比较法)。
作商比较法证明不等式的步骤是：判定符号、作商、变形、判定与1的大小。
例2：关于任意实数a 、b ，求证444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）。
分析：那个题假设利用比较法来证明，将会很麻烦，因为，所要证明的不等式中有4()2a b +，展开后很复杂。
假设利用综合法，从重要不等式：222a b ab +≥动身，再恰本地利用不等式的有关性质及“配方”的技术可取得证明。
证明：∵ 222a b ab +≥（当且仅当22a b =时取等号）两边同加4444222():2()()a b a b a b ++≥+，即：44222()22a b a b ++≥（1） 又：∵222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）， 两边同加22222():2()()a b a b a b ++≥+∴222()22a b a b ++≥，∴2224()()22a b a b ++≥（2） 由（1）和（2）可得444()22a b a b ++≥（当且仅当a b =时取等号）。
说明：此题参考用综合法证明不等式。
综合法证明不等式主若是应用均值不等式来证明，要注意均值不等式的变形应用，一样式子中显现有平方和乘积形式后能够考虑用综合法来解。
高考达标检测(二十六)不等式性质、一元二次不等式
高考达标检测（二十六）不等式性质、一元二次不等式一、选择题1. （2018唐山一模）下列命题中，正确的是（）A. 若a>b, c>d，贝U ac>bdB. 若ac>bc,则a>ba bC .若~2V 2,贝U a<bc cD.若a>b, c>d，则a—c>b—d解析：选 C 取a= 2, b= 1, c=—1, d=—2，可知 A 错误；当c<0 时，ac>bc? a<b,、 a b 2••• B 错误；T -2V-2 ,.•. C M 0,又c >0 ,••• avb, C 正确；取a= c= 2, b= d= 1,可知D 错c c误.2. 若a, b是任意实数，且a>b,则下列不等式成立的是（）A-却 B. 3 a< i bbC. lg（a—b）>0D. >1a解析：选B法一：因为函数f（x）= 1 x在R上是减函数，又a>b,所以3 a< 1 b,故选B.法二：取a= £, b= —£则a2=1, b2= £ a2vb2, lg（a—b）= |£<0, b<0<1,3 2 94 6 a故排除A、C、D选项，选B.3.已知集合M = {x|x2—4x>0}, N = {x|m<x<8}，若M n N= {x|6<x<n},则m+ n=（）A. 10B. 12C. 14D. 16解析：选 C M = {x|x2—4x>0} = {x|x>4 或x<0}, N = {x|m<x<8},由于M n N = {x|6<x<n},. m= 6, n= 8, • m+ n= 14,故选 C.― 2 一4. （2018重庆检测）不等式不<1的解集是（）A. （―汽一1）U （1,+^ ）B. （1 ,+^ ）C. （―汽一1）D. （—1,1）2 2 1 一x解析：选A •••亠<1 —1<0，即——<0,x+ 1 x + 1 x + 1该不等式可化为(X + 1)(x—1)>0,.・.XV—1或x>1.5.不等式f(x) = ax2—x—c>0的解集为｛x|—2VXV1｝，则函数y= f(—x)的图象为()解析：选B 由根与系数的关系得 」=—2+ 1, — c =— 2,得a =— 1, c =— 2,a a f(x)=— x ? — x + 2(经检验知满足题意),—f(— x)=— x ?+ x + 2,其图象开口向下，对1称轴为x = 2,结合图象知选B.236. (2018合肥一模)若不等式2kx + kx —孑。
2018年高考数学(理)总复习高考达标检测(二十六) 不等式性质、一元二次不等式
高考达标检测（二十六） 不等式性质、一元二次不等式一、选择题1．(2017·唐山一模)下列命题中，正确的是( ) A ．若a>b ，c>d ，则ac>bd B ．若ac>bc ，则a>b C ．若a c 2<bc2，则a<bD ．若a>b ，c>d ，则a －c>b －d解析:选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c<0时，ac>bc ⇒a<b ，∴B 错误；∵a c 2<b c2，∴c≠0，又c 2>0，∴a<b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．2．若a ，b 是任意实数，且a>b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B 、⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13bC ．lg(a －b)>0D 、ba>1解析:选B 法一:因为函数f(x)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，又a>b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，故选B 、法二:取a ＝13，b ＝－12，则a 2＝19，b 2＝14，a 2<b 2，lg(a －b)＝lg 56<0，b a <0<1，故排除A 、C 、D 选项，选B 、3．已知集合M ＝{x|x 2－4x>0}，N ＝{x|m<x<8}，若M∩N＝{x|6<x<n}，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析:选C M ＝{x|x 2－4x>0}＝{x|x>4或x<0}，N ＝{x|m<x<8}， 由于M∩N＝{x|6<x<n}，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，故选C 、 4．(2016·重庆检测)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1)解析:选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－xx ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x<－1或x>1、5．不等式f(x)＝ax 2－x －c>0的解集为{x|－2<x<1}，则函数y ＝f(－x)的图象为( )解析:选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca ＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f(x)＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f(－x)＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，对称轴为x ＝12，结合图象知选B 、6．(2017·合肥一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析:选D 当k ＝0时，显然成立；当k≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k<0，k 2－4×2k×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k<0、综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．7．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析:选B 原不等式为(x －a)(x －1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即1<a≤3、综上可得－4≤a≤3、8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析:选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则: y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间． 二、填空题9．(2017·武汉一模)已知存在实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围是__________． 解析:∵ab 2>a>ab ，∴a≠0， 当a>0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b<1，解得b<－1；当a<0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b>1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案:(－∞，－1)10．(2017·河南六市一联)不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析:∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16、 ∴a>4或a<－4、答案:(－∞，－4)∪(4，＋∞)11．已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x≥0，bx 2－3x ，x<0为奇函数，则不等式f(x)<4的解集为________．解析:因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x≥0，－x 2－3x ，x<0.当x≥0时，由x 2－3x<4，解得0≤x<4； 当x<0时，由－x 2－3x<4解得x<0， 所以不等式f(x)<4的解集为(－∞，4)． 答案:(－∞，4)12．若关于x 的不等式ax 2－|x|＋2a<0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析:ax 2－|x|＋2a<0⇒a<|x|x 2＋2，当x≠0时，|x|x 2＋2≤|x|2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号), 当x ＝0时，|x|x 2＋2＝0<24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x|＋2a<0的解集为空集，只需a≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞、 答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 三、解答题13．求不等式12x 2－ax>a 2(a ∈R)的解集． 解:原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a)(3x －a)>0，令(4x ＋a)(3x －a)＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a 3、当a>0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a<0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 4，＋∞、 14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应地提高比例为0、75x ，同时预计年销售量增加的比例为0、6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解:(1)由题意得，y ＝[12(1＋0、75x)－10(1＋x)]×10 000(1＋0、6x)(0<x<1)， 整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x<1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y － 12－10 ×10 000>0，0<x<1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x>0，0<x<1，解得0<x<13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内． 15．(2017·江西八校联考)已知函数f(x)＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R 、(1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x>0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f(x)≤a 成立，试求a 的取值范围． 解:(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4、因为x>0，所以x ＋1x≥2、当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立．所以y≥－2、所以当x ＝1时，y ＝f xx 的最小值为－2、(2)因为f(x)－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f(x)≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g(x)＝x 2－2ax －1，则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g 0 ≤0，g 2 ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a≥34、故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞、。
2018届高三数学理一轮复习课后作业：第六章 不等式 第1节 不等式的性质、一元二次不等式 含解析 精品
课时作业 A 组 基础对点练1．(2017·江西七校联考)若a 、b 是任意实数，且a ＞b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2＞b 2 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13bC ．lg(a －b )＞0D ．b a >1解析：法一：因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，又a ＞b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13b ，故选B.法二：取a ＝13，b ＝－12，则a 2＝19，b 2＝14，a 2＜b 2，lg(a －b )＝lg 56＜0，ba ＜0＜1，故排除A ，C ，D 选项，选B. 答案：B2．不等式(1＋x )(1－x )＞0的解集是( ) A ．{x |－1＜x ＜1} B ．{x |x ＜1}C ．{x |x ＜－1或x ＞1}D ．{x |x ＜1且x ≠－1}解析：不等式可化为(x ＋1)(x －1)<0，解得－1<x <1.故选A. 答案：A3．(2017·广州调研)已知集合U ＝{1,2,3,4,5,6}，A ＝{2,3}，B ＝{x ∈Z |x 2－6x ＋5<0}，则∁U (A ∩B )＝( ) A ．{1,5,6} B ．{1,4,5,6} C ．{2,3,4}D ．{1,6}解析：因为B ＝{x ∈Z |x 2－6x ＋5＜0}＝{x ∈Z |1＜x ＜5}＝{2,3,4}，所以A ∩B ＝{2,3}，则∁U (A ∩B )＝{1,4,5,6}，故选B. 答案：B4．若a <0，则下列不等式成立的是( ) A ．2a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞(0.2)aB ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞(0.2)a ＞2aC ．(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞2aD ．2a ＞(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a解析：法一：若a ＜0，根据指数函数的性质可知(0.2)a >⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ＞1，又2a ＜0，所以(0.2)a＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞2a ，故选C.法二：因为a ＜0，不妨设a ＝－1，则⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，(0.2)－1＝5,2a ＝－2，所以(0.2)a ＞⎝ ⎛⎭⎪⎫12a＞2a ，结合选项可知选C.答案：C5．(2017·济南一中检测)若一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，则a＋b 的值是( ) A ．10 B ．－10 C ．14D ．－14解析：因为一元二次不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，13，所以－12，13是一元二次方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根，则⎩⎪⎨⎪⎧14a －12b ＋2＝0，19a ＋13b ＋2＝0，解得a ＝－12，b ＝－2，则a ＋b ＝－14. 答案：D6．关于x 的不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是( ) A ．a ＜0或a ＞4 B ．0＜a ＜2 C ．0＜a ＜4D ．0＜a ＜8解析：因为不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分必要条件是Δ＝a 2－4a ＜0，即0＜a ＜4，结合选项知不等式x 2－ax ＋a ＞0(a ∈R )在R 上恒成立的充分不必要条件是0<a <2. 答案：B7．(2017·厦门模拟)对于0＜a ＜1，给出下列四个不等式：①log a (1＋a )＜log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；②log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ；③a 1＋a ＜a 1＋1a ；④a 1＋a ＞a 1＋1a .其中正确的是( )A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④解析：由于0＜a ＜1，所以函数f (x )＝log a x 和g (x )＝a x 在定义域上都是单调递减函数，而且1＋a ＜1＋1a ，所以②与④是正确的． 答案：D8．(2017·皖南八校联考)“不等式x (x －2)＞0成立”是“不等式2x ＜1成立”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：不等式x (x －2)＞0等价于x ＞2或x ＜0，不等式2x ＜1等价于x ＞2或x ＜0，故选C. 答案：C9．若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪2，＋∞)D ．－2,2]解析：依题意x 2＋ax ＋1≥0对x ∈R 恒成立，∴a 2－4≤0，∴－2≤a ≤2. 答案：D10．(2017·太原模拟)若6＜a ＜10，a2≤b ≤2a ，c ＝a ＋b ，那么c 的取值范围是( ) A ．9,18] B ．(15,30) C ．9,30]D ．(9,30)解析：∵a 2≤b ≤2a ，∴3a 2≤a ＋b ≤3a ，即3a2≤c ≤3a . ∵6＜a ＜10，∴9＜c ＜30.故选D. 答案：D11．已知a ＋b >0，则a b 2＋b a 2与1a ＋1b 的大小关系是________．解析：a b 2＋b a 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＝a －b b 2＋b －a a 2＝(a －b )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1b 2－1a 2＝(a ＋b )(a －b )2a 2b 2.∵a ＋b ＞0，(a －b )2≥0， ∴(a ＋b )(a －b )2a 2b 2≥0.∴a b 2＋b a 2≥1a ＋1b . 答案：a b 2＋b a 2≥1a ＋1b12．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥2，－1，x ＜2，则不等式x 2·f (x )＋x －2≤0的解集是________．解析：当x ≥2时，原不等式可化为x 2＋x －2≤0，解得－2≤x ≤1，此时x 不存在；当x ＜2时，原不等式可化为－x 2＋x －2≤0，解得x ∈R ，此时x ＜2，综上可得原不等式的解集为{x |x ＜2}．答案：{}x |x ＜213．(2017·扬州中学调研)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎨⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)． 答案：(－∞，4)14．(2017·成都诊断)若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，求实数a 的取值范围．解析：ax 2－|x |＋2a ＜0⇒a <|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号)，当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0＜24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a ＜0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为24，＋∞)．B 组 能力提速练1．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2 B ．a c ＞bc ⇒a ＞b C.⎭⎬⎫a ＞b ab ＜0⇒1a ＞1bD ．⎭⎬⎫a ＞b ab ＞0⇒1a ＞1b解析：当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a ＞b 不能得到ac 2＞bc 2，故A 错误；当c ＜0时，a c ＞b c ⇒a ＜b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab ＞0⇔⎩⎨⎧ ab ＞0a ＜b 或⎩⎨⎧ab ＜0a ＞b ，故选项D 错误，C 正确．故选C. 答案：C2．(2017·长春质检)若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，则关于x 的不等式ax 2＋bxx －1＞0的解集为( )A ．(－2,0)∪(1，＋∞)B ．(－∞，0)∪(1,2)C ．(－∞，－2)∪(0,1)D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(－∞，－2)，故a ＜0，x ＜b a ，∴ba ＝－2，b ＝－2a ，∴ax 2＋bx x －1＝ax 2－2ax x －1＞0，由于a ＜0，∴x 2－2xx －1＜0，解得x ＜0或1＜x ＜2，故选B. 答案：B3．(2017·郑州质量预测)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2x ，x ≥0，x 2－2x ，x ＜0，若关于x 的不等式f (x )]2＋af (x )－b 2＜0恰有1个整数解，则实数a 的最大值是( ) A ．2 B ．3 C ．5D ．8解析：作出函数f (x )的图象如图中实线部分所示，由f (x )]2＋af (x )－b 2＜0得－a －a 2＋4b 22＜f (x )＜－a ＋a 2＋4b 22，若b ≠0，则f (x )＝0满足不等式，即不等式有2个整数解，不满足题意，所以b ＝0，所以－a ＜f (x )＜0，且整数解x 只能是3，当2＜x ＜4时，－8＜f (x )＜0，所以－8≤－a ＜－3，即a 的最大值为8，故选D. 答案：D4．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解析：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3， ∴原不等式可化为a 2－6a －3＜0， 解得3－23＜a ＜3＋2 3.∴原不等式的解集为{}a |3－23＜a ＜3＋23.(2)f (x )＞b 的解集为(－1,3)等价于方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3，等价于⎩⎪⎨⎪⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.5．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R . (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x ＞0)的最小值；(2)对于任意的x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解析：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x ＞0，所以x ＋1x≥2.当且仅当x ＝1x 时，即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“∀x ∈0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在0,2]上恒成立即可． 所以⎩⎨⎧g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎨⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0， 解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.。
2018届高三(新课标)数学(理)大一轮复习课时达标检测(三十三) 不等式的性质及一元二次不等式 Word版含
课时达标检测（三十三）不等式的性质及一元二次不等式[练基础小题——强化运算能力]．若>>，则下列不等式不成立的是( )．><．＋<<解析：选∵>>，∴<，且>，＋>，又()＝是减函数，∴<.故项不成立．．函数()＝的定义域为( )．(－]．[－]．[－)．(－∞，－]∪[，＋∞)解析：选要使函数()＝有意义，则(\\((－((＋(≥，＋≠，))解得－<≤，即函数的定义域为(－]．．已知>>，＋＋＝，则下列不等式成立的是( )．>．>．>．>解析：选因为>>，＋＋＝，所以>＋＋＝，所以>，又>，所以>，故选.．不等式组(\\(－＋<，－＋>))的解集是( )．() ∪()．(－∞，)∪(，＋∞)∪(，＋∞) 解析：选∵－＋<，∴<<.又∵－＋>，∴(－)(－)>，∴<或>，∴原不等式组的解集为∪()．．已知关于的不等式＋＋>的解集为－，，则不等式－＋－>的解集为．解析：依题意知，)，))∴解得＝－，＝，∴不等式－＋－>，即为－＋＋>，即－－<，解得－<<.所以不等式的解集为(－)．答案：(－)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题．设集合＝{＋－≤}，集合为函数＝的定义域，则∩等于( )．(]．() ．[]．[)解析：选＝{＋－≤}＝{－≤≤}，由－>得>，即＝{>}，所以∩＝{<≤}．．已知，，∈，则下列命题正确的是( )．>⇒>>⇒>⇒>⇒>解析：选当＝时，＝，＝，故由>不能得到>，故错误；当<时，>⇒<，故错误；因为－＝>⇔(\\(>，<))或(\\(<，>，))故选项错误，正确．故选.．已知>，且≠，＝＋，＝＋，则( )．≤．≥．>．<解析：选由题易知>，>，两式作商，得＝(＋)－(＋)＝(－)，当>时，(－)>，所以(－)>＝，即>；当<<时，(－)<，所以(－)>＝，即>.综上，对任意的>，≠，都有>.．若不等式组(\\(－－≤，＋－(＋(≤))的解集不是空集，则实数的取值范围是( )．[－，＋∞)．(－∞，－]．[－)．[－]解析：选不等式－－≤的解集为[－]，假设(\\(－－≤，＋－(＋(≤))的解集为空集，则不等式＋－(＋)≤的解集为集合{<－或>}的子集，因为函数()＝＋－(＋)的图象的对称轴方程为＝－，所以必有(－)＝－－>，即<－，则使(\\(－－≤，＋－(＋(≤))的解集不为空集的的取值范围是≥－.．若不等式＋－>在区间[]上有解，则的取值范围是( )．(，＋∞)解析：选由Δ＝＋>，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[]上有解的充要条件是()＞，解得＞－，故的取值范围为.．在上定义运算：(\(),\())))＝－，若不等式(\(－),\())))≥对任意实数恒成立，则实数的最大值为( )．－．－解析：选由定义知，不等式(\(－),\())))≥等价于－－(－－)≥，∴－＋≥－对任意实数恒成立．∵－＋＝＋≥，∴－≤，解得－≤≤，则实数的最大值为.二、填空题．已知，，∈，有以下命题：①若<，则<；②若<，则<；③若>，则·>·.。
2018版高考数学大一轮复习第七章不等式第1讲不等式的性质与一元二次不等式试题理新人教版
2018版高考数学大一轮复习 第七章 不等式 第1讲 不等式的性质与一元二次不等式试题 理 新人教版基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.若f (x )＝3x 2－x ＋1，g (x )＝2x 2＋x －1，则f (x )，g (x )的大小关系是( ) A.f (x )＝g (x )B.f (x )＞g (x )C.f (x )＜g (x )D.随x 的值变化而变化解析 f (x )－g (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1＞0⇒f (x )＞g (x ). 答案 B2.已知下列四个条件：①b ＞0＞a ，②0＞a ＞b ，③a ＞0＞b ，④a ＞b ＞0，能推出1a ＜1b成立的有( ) A.1个 B.2个 C.3个D.4个解析 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1b，②、④正确.又正数大于负数，①正确，③错误，故选C. 答案 C3.(2017·河北省三市联考)若集合A ＝{x |3＋2x －x 2>0}，集合B ＝{x |2x<2}，则A ∩B 等于( ) A.(1，3) B.(－∞，－1) C.(－1，1)D.(－3，1)解析 依题意，可求得A ＝(－1，3)，B ＝(－∞，1)， ∴A ∩B ＝(－1，1). 答案 C4.若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1＜0}＝∅，则实数a 的取值范围是( ) A.{a |0＜a ＜4} B.{a |0≤a ＜4} C.{a |0＜a ≤4}D.{a |0≤a ≤4}解析由题意知a ＝0时，满足条件.a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，Δ＝a2－4a≤0，得0＜a ≤4，所以0≤a ≤4.答案 D5.已知函数f (x )＝－x 2＋ax ＋b 2－b ＋1(a ∈R ，b ∈R )，对任意实数x 都有f (1－x )＝f (1＋x )成立，若当x ∈[－1，1]时，f (x )＞0恒成立，则b 的取值范围是( )A.(－1，0)B.(2，＋∞)C.(－∞，－1)∪(2，＋∞)D.不能确定解析 由f (1－x )＝f (1＋x )知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，即a 2＝1，解得a ＝2. 又因为f (x )开口向下，所以当x ∈[－1，1]时，f (x )为增函数，所以f (x )min ＝f (－1)＝－1－2＋b 2－b ＋1＝b 2－b －2，f (x )＞0恒成立，即b 2－b －2＞0恒成立，解得b ＜－1或b ＞2. 答案 C 二、填空题6.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x2＋2x ，x≥0，－x2＋2x ，x ＜0，则不等式f (x )＞3的解集为________.解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x≥0，x2＋2x ＞3或⎩⎪⎨⎪⎧x ＜0，－x2＋2x ＞3，解得x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}.答案 {x |x ＞1}7.(2016·重庆模拟)若关于x 的不等式ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，则关于x 的不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为________.解析 由已知ax ＞b 的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，15，可知a ＜0，且b a ＝15，将不等式ax 2＋bx －45a ＞0两边同除以a ，得x 2＋b a x －45＜0，即x 2＋15x －45＜0，解得－1＜x ＜45，故不等式ax 2＋bx －45a ＞0的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－1，45.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，458.不等式a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，则实数λ的取值范围为________.解析 因为a 2＋8b 2≥λb (a ＋b )对于任意的a ，b ∈R 恒成立，所以a 2＋8b 2－λb (a ＋b )≥0对于任意的a ，b ∈R 恒成立，即a 2－λba ＋(8－λ)b 2≥0恒成立，由二次不等式的性质可得，Δ＝λ2b 2＋4(λ－8)b 2＝b 2(λ2＋4λ－32)≤0， 所以(λ＋8)(λ－4)≤0， 解得－8≤λ≤4. 答案 [－8，4] 三、解答题9.已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞b 的解集为(－1，3)，求实数a ，b 的值.解 (1)由题意知f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3＞0，即a 2－6a －3＜0，解得3－23＜a ＜3＋23.。
2018届高三(新课标)数学(理)大一轮复习课时达标检测(三十三)不等式的性质及一元二次不等式Word版含解
课时达标检测（三十三） 不等式的性质及一元二次不等式[练基础小题——强化运算能力]1．若a >b >0，则下列不等式不成立的是( ) A.1a <1bB ．|a |>|b |C ．a ＋b <2abD.⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b解析：选C ∵a >b >0，∴1a <1b ，且|a |>|b |，a ＋b >2ab ，又f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12b.故C 项不成立．2．函数f (x )＝ 1－xx ＋2的定义域为( ) A ．[－2,1] B ．(－2,1]C ．[－2,1)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析：选B 要使函数f (x )＝1－xx ＋2有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧(1－x )(x ＋2)≥0，x ＋2≠0，解得－2<x ≤1，即函数的定义域为(－2,1]．3．已知x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，则下列不等式成立的是( ) A ．xy >yz B ．xz >yz C ．xy >xzD ．x |y |>z |y |解析：选C 因为x >y >z ，x ＋y ＋z ＝0，所以3x >x ＋y ＋z ＝0，所以x >0，又y >z ，所以xy >xz ，故选C.4．不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3<0，2x 2－7x ＋6>0的解集是( )A ．(2,3) B.⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3) C.⎝⎛⎭⎫－∞，32∪(3，＋∞) D ．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：选B ∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.又∵2x 2－7x ＋6>0，∴(x －2)(2x －3)>0，∴x <32或x >2，∴原不等式组的解集为⎝⎛⎭⎫1，32∪(2,3)． 5．已知关于x 的不等式ax 2＋2x ＋c >0的解集为－13，12，则不等式－cx 2＋2x －a >0的解集为________．解析：依题意知，⎩⎨⎧－13＋12＝－2a ，－13×12＝ca ，∴解得a ＝－12，c ＝2，∴不等式－cx 2＋2x －a >0，即为－2x 2＋2x ＋12>0，即x 2－x －6<0，解得－2<x <3.所以不等式的解集为(－2,3)．答案：(－2,3)[练常考题点——检验高考能力]一、选择题1．设集合A ＝{x |x 2＋x －6≤0}，集合B 为函数y ＝1x －1的定义域，则A ∩B 等于( ) A ．(1,2) B ．[1,2] C ．[1,2) D ．(1,2]解析：选D A ＝{x |x 2＋x －6≤0}＝{x |－3≤x ≤2}，由x －1>0得x >1，即B ＝{x |x >1}，所以A ∩B ＝{x |1<x ≤2}．2．已知a ，b ，c ∈R ，则下列命题正确的是( ) A ．a >b ⇒ac 2>bc 2 B.a c >bc ⇒a >b C.⎭⎬⎫a >b ab <0⇒1a >1bD.⎭⎬⎫a >b ab >0⇒1a >1b解析：选C 当c ＝0时，ac 2＝0，bc 2＝0，故由a >b 不能得到ac 2>bc 2，故A 错误；当c <0时，a c >b c ⇒a <b ，故B 错误；因为1a －1b ＝b －aab >0⇔⎩⎪⎨⎪⎧ab >0，a <b 或⎩⎪⎨⎪⎧ab <0，a >b ，故选项D 错误，C 正确．故选C.3．已知a >0，且a ≠1，m ＝a a 2＋1，n ＝a a ＋1，则( )A ．m ≥nB ．m >nC ．m <nD ．m ≤n解析：选B 由题易知m >0，n >0，两式作商，得m n ＝a (a 2＋1)－(a ＋1)＝a a (a －1)，当a >1时，a (a －1)>0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n ；当0<a <1时，a (a －1)<0，所以a a (a－1)>a 0＝1，即m >n .综上，对任意的a >0，a ≠1，都有m >n .4．若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－4]B ．[－4，＋∞)C ．[－4,3]D ．[－4,3)解析：选B 不等式x 2－2x －3≤0的解集为[－1,3]，假设⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为空集，则不等式x 2＋4x －(a ＋1)≤0的解集为集合{x |x <－1或x >3}的子集，因为函数f (x )＝x 2＋4x －(a ＋1)的图象的对称轴方程为x ＝－2，所以必有f (－1)＝－4－a >0，即a <－4，则使⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －3≤0，x 2＋4x －(1＋a )≤0的解集不为空集的a 的取值范围是a ≥－4.5．若不等式x 2＋ax －2>0在区间[1,5]上有解，则a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－235，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤－235，1 C ．(1，＋∞)D.⎝⎛⎦⎤－∞，－235 解析：选A 由Δ＝a 2＋8>0，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根．于是不等式在区间[1,5]上有解的充要条件是f (5)＞0，解得a ＞－235，故a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－235，＋∞. 6．在R 上定义运算：⎝⎛⎭⎫a c b d ＝ad －bc ，若不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32解析：选D 由定义知，不等式⎝⎛⎭⎫x －1a ＋1 a －2x ≥1等价于x 2－x －(a 2－a －2)≥1，∴x 2－x ＋1≥a 2－a 对任意实数x 恒成立．∵x 2－x ＋1＝⎝⎛⎭⎫x －122＋34≥34，∴a 2－a ≤34，解得－12≤a ≤32，则实数a 的最大值为32.二、填空题7．已知a ，b ，c ∈R ，有以下命题： ①若1a <1b ，则c a <c b ；②若a c 2<b c 2，则a <b ；③若a >b ，则a ·2c >b ·2c .其中正确的是__________(请把正确命题的序号都填上)．解析：①若c ≤0，则命题不成立．②由a c 2<b c 2得a －bc 2<0，于是a <b ，所以命题正确．③中由2c >0知命题正确．答案：②③8．若0<a <1，则不等式(a －x )⎝⎛⎭⎫x －1a >0的解集是________． 解析：原不等式为(x －a )⎝⎛⎭⎫x －1a <0，由0<a <1得a <1a ，∴a <x <1a. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪a <x <1a9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x ＜0为奇函数，则不等式f (x )＜4的解集为________．解析：若x >0，则－x <0，则f (－x )＝bx 2＋3x .因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，即bx 2＋3x ＝－x 2－ax ，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x ＜0.当x ≥0时，由x 2－3x ＜4解得0≤x ＜4；当x ＜0时，由－x 2－3x ＜4解得x ＜0，所以不等式f (x )＜4的解集为(－∞，4)．答案：(－∞，4)10．(2016·西安一模)若关于x 的二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是________．解析：不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，相当于二次函数y ＝x 2＋mx ＋1的最小值非负，即方程x 2＋mx ＋1＝0最多有一个实根，故Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m ≤2.答案：[－2,2] 三、解答题11．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6. (1)解关于a 的不等式f (1)>0；(2)若不等式f (x )>b 的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值． 解：(1)∵f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋6， ∴f (1)＝－3＋a (6－a )＋6＝－a 2＋6a ＋3>0， 即a 2－6a －3<0，解得3－23<a <3＋2 3. ∴不等式的解集为{a |3－23<a <3＋23}． (2)∵f (x )>b 的解集为(－1,3)，∴方程－3x 2＋a (6－a )x ＋6－b ＝0的两根为－1,3， ∴⎩⎨⎧－1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－6－b3，解得⎩⎨⎧a ＝3±3，b ＝－3.故a 的值为3＋3或3－3，b 的值为－3.12．已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R. (1)若a ＝2，试求函数y ＝f (x )x (x >0)的最小值；(2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解：(1)依题意得y ＝f (x )x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x －4.因为x >0，所以x ＋1x ≥2.当且仅当x ＝1x 时， 即x ＝1时，等号成立． 所以y ≥－2.所以当x ＝1时，y ＝f (x )x 的最小值为－2. (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“对任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧ g (0)≤0，g (2)≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34.则a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫34，＋∞.。
2018版高考数学(理)一轮复习文档：第七章7.2 一元二次不等式及其解法含解析
1．“三个二次”的关系判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ〈0二次函数y＝ax2＋bx＋c（a>0）的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 （a>0）的根有两相异实根x1，x2（x1〈x2）有两相等实根x1＝x2＝－错误!没有实数根2。
常用结论(x－a)(x－b）>0或（x－a）(x－b）〈0型不等式的解法【知识拓展】（1）错误!〉0(〈0）⇔f(x)·g(x)〉0（〈0)．(2)错误!≥0(≤0)⇔f(x)·g(x)≥0（≤0)且g(x）≠0。
以上两式的核心要义是将分式不等式转化为整式不等式．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）若不等式ax2＋bx＋c〈0的解集为（x1，x2)，则必有a〉0.( √) (2)若不等式ax2＋bx＋c〉0的解集是（－∞，x1)∪(x2，＋∞),则方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1和x2.（√）(3）若方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c>0的解集为R.（×)（4）不等式ax2＋bx＋c≤0在R上恒成立的条件是a〈0且Δ＝b2－4ac≤0.(×）(5)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象开口向下，则不等式ax2＋bx＋c<0的解集一定不是空集．（√）1．(教材改编）不等式x2－3x－10>0的解集是( ）A．(－2，5）B．（5，＋∞）C．（－∞，－2) D．（－∞，－2)∪（5,＋∞）答案D解析解方程x2－3x－10＝0得x1＝－2，x2＝5，由于y＝x2－3x－10的图象开口向上，所以x2－3x－10〉0的解集为(－∞，－2）∪(5，＋∞)．2．设集合M＝｛x｜x2－3x－4<0}，N＝{x｜0≤x≤5｝，则M∩N等于（)A．（0,4］B．［0，4）C．[－1，0) D．(－1，0]答案B解析∵M＝｛x|x2－3x－4<0}＝{x｜－1<x〈4},∴M∩N＝［0，4)．3．(教材改编）y＝log2（3x2－2x－2)的定义域是________________．答案（－∞，错误!)∪（错误!，＋∞）解析由题意，得3x2－2x－2〉0，令3x2－2x－2＝0得x1＝错误!，x2＝错误!,∴3x2－2x－2〉0的解集为（－∞，错误!）∪(错误!,＋∞）．4．(教材改编)若关于x的不等式ax2＋bx＋2〉0的解集是(－错误!，错误!)，则a＋b＝________.答案－14解析∵x1＝－错误!，x2＝错误!是方程ax2＋bx＋2＝0的两个根，∴错误!解得错误!∴a＋b＝－14.5．不等式x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则实数a的取值范围是________________．答案(－∞，－4］∪[4，＋∞）解析∵x2＋ax＋4≤0的解集不是空集，则x2＋ax＋4＝0一定有解．∴Δ＝a2－4×1×4≥0，即a2≥16，∴a≥4或a≤－4.题型一一元二次不等式的求解命题点1 不含参的不等式例1 求不等式－2x2＋x＋3〈0的解集．解化－2x2＋x＋3<0为2x2－x－3>0，解方程2x2－x－3＝0得x1＝－1，x2＝错误!，∴不等式2x2－x－3〉0的解集为（－∞，－1）∪(错误!,＋∞）,即原不等式的解集为（－∞，－1）∪(错误!,＋∞）．命题点2 含参不等式例2 解关于x的不等式：x2－(a＋1)x＋a〈0.解由x2－（a＋1)x＋a＝0,得(x－a)（x－1)＝0，∴x1＝a,x2＝1，①当a>1时，x2－（a＋1）x＋a〈0的解集为｛x|1<x〈a}，②当a＝1时,x2－（a＋1)x＋a<0的解集为∅,③当a<1时，x2－（a＋1)x＋a<0的解集为｛x｜a〈x〈1}．引申探究将原不等式改为ax2－（a＋1)x＋1〈0，求不等式的解集．解若a＝0，原不等式等价于－x＋1<0，解得x>1.若a<0,原不等式等价于(x－错误!)(x－1）〉0，解得x<错误!或x〉1。
2018版高考数学(理)一轮复习题库：第七章第2讲一元二次不等式及其解法含解析
第2讲 一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式错误!≤0的解集是（ )A ．(－∞，－1）∪(－1,2］B ．（－1,2]C ．（－∞，－1)∪[2，＋∞)D ．[－1,2]解析 ∵错误!≤0⇔错误!⇔错误!∴x ∈(－1,2］．答案 B2. 若集合{},{}x A x x B x x-2=-1≤2+1≤3=≤0,则A B ⋂=（ ） A. {}x x -1≤<0 B 。
{}x x 0<≤1C 。
{}x x 0≤≤2 D.{}x x 0≤≤1解析 因为集合{},{}A x x B x x =-1≤≤1=0<≤2,所以A B ⋂={}x x 0<≤1，选B 。
答案 B3．设a >0，不等式－c <ax ＋b 〈c 的解集是｛x |－2<x 〈1},则a ∶b ∶c ＝ ( )．A ．1∶2∶3B ．2∶1∶3C ．3∶1∶2D ．3∶2∶1解析 ∵－c <ax ＋b <c ，又a 〉0，∴－错误!<x 〈错误!。
∵不等式的解集为{x |－2<x 〈1｝，∴错误!∴错误!∴a∶b∶c＝a∶a2∶错误!＝2∶1∶3。
答案B4．不等式（x2－2)log2x>0的解集是( )．A．(0，1)∪(2,＋∞) B．（－错误!，1）∪(错误!，＋∞) C．(错误!，＋∞）D．(－错误!，错误!)解析原不等式等价于错误!或错误!∴x〉错误!或0〈x<1，即不等式的解集为(0，1）∪(错误!，＋∞）．答案A5．已知二次函数f(x）＝ax2－（a＋2)x＋1(a∈Z)，且函数f（x)在(－2，－1)上恰有一个零点，则不等式f（x)〉1的解集为（)．A．(－∞,－1）∪(0，＋∞）B．（－∞，0）∪(1，＋∞）C．（－1，0) D．(0,1）解析∵f(x)＝ax2－(a＋2)x＋1，Δ＝(a＋2)2－4a＝a2＋4>0,∴函数f（x）＝ax2－(a＋2）x＋1必有两个不同的零点,又f（x）在(－2,－1)上有一个零点，则f(－2)f(－1)<0，∴（6a＋5）（2a＋3）<0，∴－错误!〈a<－错误!，又a∈Z，∴a＝－1，不等式f（x）>1即为－x2－x>0，解得－1<x〈0.答案C6．设函数f（x）＝错误!若f（－4)＝f（0），f（－2）＝0，则关于x 的不等式f（x）≤1的解集为( )．A．(－∞,－3］∪［－1，＋∞) B．［－3,－1］C．［－3,－1]∪（0，＋∞）D．［－3，＋∞）解析当x≤0时,f（x)＝x2＋bx＋c且f(－4)＝f（0）,故其对称轴为x＝－错误!＝－2，∴b＝4。
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高考达标检测（二十六） 不等式性质、一元二次不等式一、选择题1．(2017·唐山一模)下列命题中，正确的是( ) A ．若a >b ，c >d ，则ac >bd B ．若ac >bc ，则a >b C ．若a c 2<bc2，则a <bD ．若a >b ，c >d ，则a －c >b －d解析:选C 取a ＝2，b ＝1，c ＝－1，d ＝－2，可知A 错误；当c <0时，ac >bc ⇒a <b ，∴B 错误；∵a c 2<b c2，∴c ≠0，又c 2>0，∴a <b ，C 正确；取a ＝c ＝2，b ＝d ＝1，可知D 错误．2．若a ，b 是任意实数，且a >b ，则下列不等式成立的是( ) A ．a 2>b 2B 、⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13bC ．lg(a －b )>0D 、b a>1解析:选B 法一:因为函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x在R 上是减函数，又a >b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫13a <⎝ ⎛⎭⎪⎫13b，故选B 、法二:取a ＝13，b ＝－12，则a 2＝19，b 2＝14，a 2<b 2，lg(a －b )＝lg 56<0，b a <0<1，故排除A 、C 、D 选项，选B 、3．已知集合M ＝{x |x 2－4x >0}，N ＝{x |m <x <8}，若M ∩N ＝{x |6<x <n }，则m ＋n ＝( ) A ．10 B ．12 C ．14D ．16解析:选C M ＝{x |x 2－4x >0}＝{x |x >4或x <0}，N ＝{x |m <x <8}， 由于M ∩N ＝{x |6<x <n }，∴m ＝6，n ＝8，∴m ＋n ＝14，故选C 、 4．(2016·重庆检测)不等式2x ＋1<1的解集是( ) A ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－1) D ．(－1,1) 解析:选A ∵2x ＋1<1，∴2x ＋1－1<0，即1－x x ＋1<0，该不等式可化为(x ＋1)(x －1)>0，∴x <－1或x >1、5．不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2<x <1}，则函数y ＝f (－x )的图象为( )解析:选B 由根与系数的关系得1a ＝－2＋1，－ca＝－2，得a ＝－1，c ＝－2，∴f (x )＝－x 2－x ＋2(经检验知满足题意)，∴f (－x )＝－x 2＋x ＋2，其图象开口向下，对称轴为x ＝12，结合图象知选B 、6．(2017·合肥一模)若不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则k 的取值范围为( )A ．(－3,0)B ．[－3,0)C ．[－3,0]D ．(－3,0]解析:选D 当k ＝0时，显然成立；当k ≠0时，即一元二次不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立，则⎩⎪⎨⎪⎧k <0，k 2－4×2k ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－38<0，解得－3<k <0、综上，满足不等式2kx 2＋kx －38<0对一切实数x 都成立的k 的取值范围是(－3,0]．7．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4,3]的子集，则a 的取值范围是( ) A ．[－4,1] B ．[－4,3] C ．[1,3]D ．[－1,3]解析:选B 原不等式为(x －a )(x －1)≤0，当a <1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a ≥－4即可，即－4≤a <1；当a ＝1时，不等式的解为x ＝1，此时符合要求；当a >1时，不等式的解集为[1，a ]，此时只要a ≤3即可，即1<a ≤3、综上可得－4≤a ≤3、8．某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备采用提高售价来增加利润．已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少10件．那么要保证每天所赚的利润在320元以上，销售价每件应定为( )A ．12元B ．16元C ．12元到16元之间D ．10元到14元之间解析:选C 设销售价定为每件x 元，利润为y ，则:y ＝(x －8)[100－10(x －10)]，依题意有，(x －8)[100－10(x －10)]＞320， 即x 2－28x ＋192＜0， 解得12＜x ＜16，所以每件销售价应为12元到16元之间． 二、填空题9．(2017·武汉一模)已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是__________．解析:∵ab 2>a >ab ，∴a ≠0， 当a >0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b >1，此式无解．综上可得实数b 的取值范围为(－∞，－1)． 答案:(－∞，－1)10．(2017·河南六市一联)不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．解析:∵不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集， ∴Δ＝a 2－4×4>0，即a 2>16、 ∴a >4或a <－4、答案:(－∞，－4)∪(4，＋∞)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ，x ≥0，bx 2－3x ，x <0为奇函数，则不等式f (x )<4的解集为________．解析:因为f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，可得a ＝－3，b ＝－1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ，x ≥0，－x 2－3x ，x <0.当x ≥0时，由x 2－3x <4，解得0≤x <4； 当x <0时，由－x 2－3x <4解得x <0， 所以不等式f (x )<4的解集为(－∞，4)． 答案:(－∞，4)12．若关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为空集，则实数a 的取值范围为________．解析:ax 2－|x |＋2a <0⇒a <|x |x 2＋2，当x ≠0时，|x |x 2＋2≤|x |2x 2×2＝24(当且仅当x ＝±2时取等号), 当x ＝0时，|x |x 2＋2＝0<24，因此要使关于x 的不等式ax 2－|x |＋2a <0的解集为空集，只需a ≥24，即实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞、 答案:⎣⎢⎡⎭⎪⎫24，＋∞ 三、解答题13．求不等式12x 2－ax >a 2(a ∈R)的解集． 解:原不等式可化为12x 2－ax －a 2>0， 即(4x ＋a )(3x －a )>0，令(4x ＋a )(3x －a )＝0，解得x 1＝－a 4，x 2＝a3、当a >0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－a 4∪⎝ ⎛⎭⎪⎫a3，＋∞； 当a ＝0时，不等式的解集为(－∞，0)∪(0，＋∞)； 当a <0时，不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，a 3∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－a4，＋∞、 14．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10 000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应地提高比例为0、75x ，同时预计年销售量增加的比例为0、6x ，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x 应在什么范围内？解:(1)由题意得，y ＝[12(1＋0、75x )－10(1＋x )]×10 000(1＋0、6x )(0<x <1)， 整理得y ＝－6 000x 2＋2 000x ＋20 000(0<x <1)． (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有⎩⎪⎨⎪⎧y －－，0<x <1，即⎩⎪⎨⎪⎧－6 000x 2＋2 000x >0，0<x <1，解得0<x <13，所以投入成本增加的比例应在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13范围内． 15．(2017·江西八校联考)已知函数f (x )＝x 2－2ax －1＋a ，a ∈R 、(1)若a ＝2，试求函数y ＝f xx(x >0)的最小值； (2)对于任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立，试求a 的取值范围．解:(1)依题意得y ＝f x x ＝x 2－4x ＋1x ＝x ＋1x－4、因为x >0，所以x ＋1x≥2、当且仅当x ＝1x时，即x ＝1时，等号成立．所以y ≥－2、 所以当x ＝1时，y ＝f xx的最小值为－2、 (2)因为f (x )－a ＝x 2－2ax －1，所以要使得“任意的x ∈[0,2]，不等式f (x )≤a 成立”只要“x 2－2ax －1≤0在[0,2]上恒成立”．不妨设g (x )＝x 2－2ax －1，则只要g (x )≤0在[0,2]上恒成立即可．所以⎩⎪⎨⎪⎧g ，g，即⎩⎪⎨⎪⎧0－0－1≤0，4－4a －1≤0，解得a ≥34、故a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞、高考达标检测（一） 集 合一、选择题1．(2017·郑州质量预测)设全集U ＝{x ∈N *|x ≤4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{2,4}，则∁U (A ∩B )＝( )A ．{1,2,3}B ．{1,2,4}C ．{1,3,4}D ．{2,3,4}解析:选A 因为U ＝{1,2,3,4}，A ∩B ＝{4}，所以∁U (A ∩B )＝{1,2,3}，故选A 、 2．(2017·福州模拟)集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x<8}，则A ∩B ＝( ) A ．{－3} B ．{－1,2} C ．{－3，－1,2}D ．{－3，－1,2,4}解析:选C 由题意知，集合A ＝{－3，－1,2,4}，B ＝{x |2x<8}＝{x |x <3}，则A ∩B ＝ {－3，－1,2}，故选C 、3．(2017·重庆适应性测试)设全集U ＝R ，集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈R ⎪⎪⎪x －1x －2>0，B ＝{x ∈R|0<x <2}，则(∁U A )∩B ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2)C ．(1,2)D ．[1,2]解析:选B 依题意得∁U A ＝{x |1≤x ≤2}，(∁U A )∩B ＝{x |1≤x <2}＝[1,2)，选B 、 4．(2017·武汉调研)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x 2＋2x －8>0}，则A ∪B ＝( )A ．(－∞，－4)∪[－2，＋∞)B ．(2,3]C ．(－∞，3]∪(4，＋∞)D ．[－2,2)解析:选A 因为B ＝{x |x >2或x <－4}，所以A ∪B ＝{x |x <－4或x ≥－2}，故选A 、 5．(2016·浙江高考)已知集合P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，则P ∪(∁R Q )＝( )A ．[2,3]B ．(－2,3]C ．[1,2)D ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)解析:选B ∵Q ＝{x ∈R|x 2≥4}，∴∁R Q ＝{x ∈R|x 2＜4}＝{x ∈R|－2＜x ＜2}． ∵P ＝{x ∈R|1≤x ≤3}，∴P ∪(∁R Q )＝{x ∈R|－2＜x ≤3}＝(－2,3]．6．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析:选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3、 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示:所以A *B 中的元素共有10个．7．(2017·吉林一模)设集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，若A ∩B 中只有一个元素，则实数a 的取值范围是( )A ．{a |a <1}B ．{a |0≤a <1}C ．{a |a ≥1}D ．{a |a ≤1}解析:选B 由题意知，集合A ＝{0,1}，集合B ＝{x |x >a }，画出数轴(图略)．若A ∩B 中只有一个元素，则0≤a <1，故选B 、8．设P 和Q 是两个集合，定义集合P －Q ＝{x |x ∈P ，且x ∉Q }，如果P ＝{x |log 2x <1}，Q ＝{x ||x －2|<1}，那么P －Q ＝( )A ．{x |0<x <1}B ．{x |0<x ≤1}C ．{x |1≤x <2}D ．{x |2≤x <3}解析:选B 由log 2x <1，得0<x <2， 所以P ＝{x |0<x <2}． 由|x －2|<1，得1<x <3， 所以Q ＝{x |1<x <3}．由题意，得P －Q ＝{x |0<x ≤1}． 二、填空题9．(2017·辽宁师大附中调研)若集合A ＝{x |(a －1)·x 2＋3x －2＝0}有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析:由题意知，集合A 有且仅有两个子集，则集合A 中只有一个元素．当a －1＝0，即a ＝1时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23，满足题意；当a －1≠0，即a ≠1时，要使集合A 中只有一个元素，需Δ＝9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18、综上可知，实数a 的值为1或－18、答案:1或－1810．(2017·湖南岳阳一中调研)已知集合A ＝{x |x <a }，B ＝{x |1<x <2}，且A ∪(∁R B )＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析:由∁R B ＝{x |x ≤1或x ≥2}， 且A ∪(∁R B )＝R ， 可得a ≥2、 答案:[2，＋∞)11．(2017·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件:①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A 、则集合A ＝________、(用列举法表示)解析:假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案:{a 2，a 3}12．(2016·北京高考)某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品，第二天售出13种商品，第三天售出18种商品；前两天都售出的商品有3种，后两天都售出的商品有4种．则该网店①第一天售出但第二天未售出的商品有________种； ②这三天售出的商品最少有________种．解析:设三天都售出的商品有x 种，第一天售出，第二天未售出，且第三天售出的商品有y 种，则三天售出商品的种类关系如图所示．由图可知:①第一天售出但第二天未售出的商品有19－(3－x )－x ＝16(种)． ②这三天售出的商品有(16－y )＋y ＋x ＋(3－x )＋(6＋x )＋(4－x )＋(14－y )＝43－y (种)．由于⎩⎪⎨⎪⎧16－y ≥0，y ≥0，14－y ≥0，所以0≤y ≤14、所以(43－y )min ＝43－14＝29、 答案:①16 ②29 三、解答题13．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解:(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}． 易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}．(2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)，易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3、故实数a 的取值范围是(2,3)．14．(2017·青岛模拟)若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围．解:(1)证明:若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1，即m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1； 若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1，即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．。