2010高考数学萃取精华30套(1)
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2010高考数学萃取精华30套（1）
1．重庆一模
21．（12分）已知抛物线、椭圆和双曲线都经过点()1,2M ，它们在x 轴上有共同焦点，椭圆和双曲线的对称轴是坐标轴，抛物线的顶点为坐标原点。
（Ⅰ）求这三条曲线的方程；
（Ⅱ）已知动直线l 过点()3,0P ，交抛物线于,A B 两点，是否存在垂直于x 轴的直线l '被以AP 为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，求出l '的方程；若不存在，说明理由。
21．（12分）
解：（Ⅰ）设抛物线方程为()220y px p =>，将()1,2M 代入方程得2p =
2
4y x ∴= 抛物线方程为: ………………………………………………（1分）
由题意知椭圆、双曲线的焦点为()()211,0,1,0,F F -∴ c=1…………………（2分） 对于椭圆，()()22
2122112114222a M F M F =+=+++-+=+
()
2
2
2
2
2
2
2
1212
322
2221
322222
a a
b a
c x
y
∴=+∴=+
=+∴=-=+∴+
=++ 椭圆方程为：
………………………………（4分）
对于双曲线，122222a M F M F '=-=-
2
222
2
2
21
322
222
1
322222
a a
b
c a x
y
'∴=
-'∴=-'''∴=-=-∴-
=-- 双曲线方程为：
………………………………（6分）
（Ⅱ）设AP 的中点为C ，l '的方程为：x a =，以AP 为直径的圆交l '于,D E 两点，D E 中点为H 令()11113,,,22x y A x y +⎛⎫
∴
⎪⎝⎭ C ………………………………………………（7分） ()()2
2
1
1
11
11322
3123
2
2
D C AP x
y x C H a x
a ∴==-++=
-=
-+
()()()22
2
2
2
2111
2
12
1
132344-2324622222
D H
D C
C H
x y x a a x a a
a D H
D E D H l x ⎡⎤⎡⎤∴=-=
-+--+⎣⎦⎣
⎦=-+==-+=∴=='= 当时,为定值;
为定值此时的方程为： …………（12分）
22．（14分）已知正项数列{}n a 中，16a =，点()1,n n n A a a +在抛物线21y x =+上；数列{}n b 中，点
(),n n B n b 在过点()0,1，以方向向量为()1,2的直线上。
（Ⅰ）求数列{}{},n n a b 的通项公式；
（Ⅱ）若()()()
n n a f n b ⎧⎪=⎨⎪⎩, n 为奇数, n 为偶数，问是否存在k N ∈，使()()274f k f k +=成立，若存在，求出k 值；
若不存在，说明理由；
（Ⅲ）对任意正整数n ，不等式
1
1202111111n n
n
n a
a
n a b b b +-
≤⎛⎫
⎛⎫⎛⎫-++++
⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭ 成立，
求正数a 的取值范围。 22．（14分）
解：（Ⅰ）将点()1,n n n A a a +代入21y x =+中得
()11111115:21,21
n n n n n n a a a a d a a n n l y x b n ++=+∴-==∴=+-⋅=+=+∴=+ 直线 …………………………………………（4分）
（Ⅱ）()()()521n f n n ⎧+⎪=⎨+⎪⎩
, n 为奇数, n 为偶数………………………………（5分）
()()()()()()
27274275421,42735227145,2
4k k f k f k k k k k k k k k k ++=∴++=+∴=+∴++=+∴== 当为偶数时，为奇数， 当为奇数时，为偶数， 舍去综上，存在唯一的符合条件。
……………………（8分）
（Ⅲ）由
1
1202111111n n
n
n a
a
n a b b b +-
≤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++++ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝
⎭
()
()()
()
121212111111111231
11111123111111111125123
1232424123
2525
n n n n n a b b b n f
n b b b n f
n
b b b b n f
n n n n n f n b n n n ++⎛⎫
⎛⎫⎛⎫≤
+++ ⎪ ⎪ ⎪
+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫
⎛⎫⎛⎫=
+++
⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫
⎛⎫⎛⎫∴+=
+++
+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭+⎛⎫++++∴=
⋅+=
⋅=
⎪+++⎝⎭ 即记
()()()()
()22
m in
2523416161
41615
1,144
51,
315
54
5
015
n n n n n
n f n f n f n f
n f a +⋅
+++=>++∴+>∴==⋅=∴<≤
即递增，
………………………………（14分）
2．南京三模
21.（本小题满分12分）将圆O: 4y x 22=+上各点的纵坐标变为原来的一半 (横坐标不变),
得到曲线C.
(1) 求C 的方程;
(2) 设O 为坐标原点, 过点)0,3(F 的直线l 与C 交于A 、B 两点, N 为线段AB 的中点, 延长线段ON 交C 于点E.
求证: ON 2OE =的充要条件是3|A B |= . 21．（本小题满分12分）
解: (1)设点)y ,x (P '' , 点M 的坐标为)y ,x ( ,由题意可知⎩
⎨⎧='=',y 2y ,
x x ………………(2分)
又,4y x 22='+'∴1y
4
x
4y 4x 2
2
2
2=+⇒=
+.
所以, 点M 的轨迹C 的方程为
1y
4
x
2
2
=+.………………(4分)
(2)设点)y ,x (A 11 , )y ,x (B 22 , 点N 的坐标为)y ,x (00 ,
㈠当直线l 与x 轴重合时, 线段AB 的中点N 就是原点O, 不合题意,
舍去; ………………(5分) ㈡设直线l : ,3my x +
=
由⎪⎩⎪⎨⎧=++=4
y 4x 3my x 22消去x,
得01my 32y )4m (2
2=-++………………①
∴,4
m m 3y 2
0+-
=………………(6分)