15--第十五章复数
新概念一册lesson15-18-名词单复数
Lesson 15-18名词单复数1. 名词变复数的规则变化：2、可数名词的不规则变化：(1)改元音字母为复数man--men男人，woman--women女人，foot--feet脚，goose--geese鹅tooth--teeth牙齿，mouse--mice老鼠，child--children 小孩(2)单复数同形deer鹿，sheep 羊(3)表示某国人的复数名词①Chinese中国人Japanese 日本人单复数同形②two German s两个德国人three Australian s 三个澳大利亚人，③two American s两个美国人four Canadian s四个加拿大人④two English men两个英国人two French men两个法国人(4) 常以复数形式出现的名词jeans牛仔裤，earphones耳塞, trousers裤子, glasses眼镜, shoes鞋子, sunglasses太阳眼镜Lesson 15-18名词单复数练习一、把下列学过的单词变成复数air-hostess ____________ blouse ____________ book ____________ carpet _____________ case _______________ colour ____________dog _____________ dress______________ friend ______________ German___________ housewife ____________ knife ___________life______________ man _____________ mechanic _____________ milkman ______________ nurse _____________ officer_____________ pencil ______________ house ________________ policeman _____________ postman ____________ skirt ______________ suit _______________ teacher ______________ tie ______________ tourist _______________ watch ____________ wife ______________ woman____________二、把下列单数的句子改成复数的句子例：I am a student. We are students.1.He is a driver. ________________________________________2.Is she American? _______________________________________3.Is this umbrella nice? ________________________________________4.Lily’s friend is Danish. _________________________________________5.Here is your book. _________________________________________6.Is it a yellow coat? _________________________________________7.Is your sister thin? _________________________________________8.This is my passport. __________________________________________9.It is your father’s book. _________________________________________10.Is that your case? _________________________________________。
第十五章复数高中数学竞赛标准教材
第十五章复数(高中数学竞赛标准教材)第十五章复数一、基础知识1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcosθ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。
若0≤θ2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|= .如果用eiθ表示cosθ+isinθ，则z=reiθ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则 a-bi称为z的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|；（8）|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2；（9）若|z|=1，则。
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z1=r1(cosθ1+isinθ1), z2=r2(cosθ2+isinθ2)，则z1z2=r1r2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z1z2=r1r2ei(θ1+θ2)棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]n=rn(cosnθ+isinnθ)开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。
高考数学 真题分类汇编：专题(15)复数(理科)及答案
专题十五 复数1.【20xx 高考新课标2，理2】若a 为实数且(2)(2)4ai a i i +-=-，则a =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】B【解析】由已知得24(4)4a a i i +-=-，所以240,44a a =-=-，解得0a =，故选B ．【考点定位】复数的运算．【名师点睛】本题考查复数的运算，要利用复数相等列方程求解，属于基础题．2.【20xx 高考四川，理2】设i 是虚数单位，则复数32i i-( ) （A ）-i （B ）-3i （C ）i. （D ）3i【答案】C【解析】32222i i i i i i i i-=--=-+=，选C. 【考点定位】复数的基本运算.【名师点睛】复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可.3.【20xx 高考广东，理2】若复数()32z i i =- ( i 是虚数单位 )，则z =（ ）A ．32i -B ．32i +C ．23i +D ．23i -【答案】D ．【解析】因为()3223z i i i =-=+，所以z =23i -，故选D ．【考点定位】复数的基本运算，共轭复数的概念．【名师点睛】本题主要考查复数的乘法运算，共轭复数的概念和运算求解能力，属于容易题；复数的乘法运算应该是简单易解，但学生容易忘记和混淆共轭复数的概念，z a bi =+的共轭复数为z a bi =-．4.【20xx 高考新课标1，理1】设复数z 满足11z z+-=i ，则|z|=( )（A ）1 （B （C （D ）2【答案】A【解析】由11z i z +=-得，11i z i -+=+=(1)(1)(1)(1)i i i i -+-+-=i ，故|z|=1，故选A. 【考点定位】本题主要考查复数的运算和复数的模等.【名师点睛】本题将方程思想与复数的运算和复数的模结合起来考查，试题设计思路新颖，本题解题思路为利用方程思想和复数的运算法则求出复数z ，再利用复数的模公式求出|z|,本题属于基础题，注意运算的准确性.5.【20xx 高考北京，理1】复数()i 2i -=（ ）A ．12i +B ．12i -C ．12i -+D ．12i --【答案】A考点定位：本题考查复数运算，运用复数的乘法运算方法进行计算，注意21i =-.【名师点睛】本题考查复数的乘法运算，本题属于基础题，数的概念的扩充部分主要知识点有：复数的概念、分类，复数的几何意义、复数的运算，特别是复数的乘法与除法运算，运算时注意21i =-，注意运算的准确性,近几年高考主要考查复数的乘法、除法，求复数的模、复数的虚部、复数在复平面内对应的点的位置等.6.【20xx 高考湖北，理1】 i 为虚数单位，607i 的共轭复数．．．．为（ ） A ．i B ．i - C ．1 D ．1-【答案】A【解析】i i i i -=⋅=⨯31514607,所以607i 的共轭复数．．．．为i ，选A . 【考点定位】共轭复数.【名师点睛】复数中，i 是虚数单位,24142434111()n n n n i i i i i i i n +++=-==-=-=∈Z ；，，，7.【20xx 高考山东，理2】若复数z 满足1z i i=-，其中i 为虚数为单位，则z =（ ） （A ）1i - （B ）1i + （C ）1i -- （D ）1i -+【答案】A 【解析】因为1z i i=-，所以，()11z i i i =-=+ ，所以，1z i =- 故选：A. 【考点定位】复数的概念与运算.【名师点睛】本题考查复数的概念和运算，采用复数的乘法和共轭复数的概念进行化简求解. 本题属于基础题，注意运算的准确性.8.【20xx 高考安徽，理1】设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B 【解析】由题意22(1)2211(1)(1)2i i i i i i i i +-+===-+--+，其对应的点坐标为(1,1)-，位于第二象限，故选B.【考点定位】1.复数的运算；2.复数的几何意义.【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .9.【20xx 高考重庆，理11】设复数a +bi （a ，b ∈R ），则（a +bi ）（a -bi ）=________.【答案】3【解析】由a +得=，即223a b +=，所以22()()3a bi a bi a b +-=+=.【考点定位】复数的运算.【名师点晴】复数的考查核心是代数形式的四则运算，即使是概念的考查也需要相应的运算支持．本题首先根据复数模的定义得a +，复数相乘可根据平方差公式求得()()a bi a bi +-22()a bi =-22a b =+，也可根据共轭复数的性质得()()a bi a bi +-22a b =+．10.【20xx 高考天津，理9】i 是虚数单位，若复数()()12i a i -+ 是纯虚数，则实数a 的值为 .【答案】2-【解析】()()()12212i a i a a i -+=++-是纯虚数，所以20a +=，即2a =-.【考点定位】复数相关概念与复数的运算.【名师点睛】本题主要考查复数相关概念与复数的运算.先进行复数的乘法运算，再利用纯虚数的概念可求结果，是容易题.11.【20xx 江苏高考，3】设复数z 满足234z i =+（i 是虚数单位），则z 的模为_______.【解析】22|||34|5||5||z i z z =+=⇒=⇒=【考点定位】复数的模【名师点晴】在处理复数相等的问题时，一般将问题中涉及的两个复数均化成一般形式，利用复数相等的充要条件“实部相等，虚部相等”进行求解.本题涉及复数的模，利用复数模的性质求解就比较简便：2211121222||||||||||||.||z z z z z z z z z z ==⋅=，， 12.【20xx 高考湖南，理1】已知()211i i z -=+（i 为虚数单位），则复数z =（ ） A.1i + B.1i - C.1i -+ D.1i --【答案】D.【考点定位】复数的计算.【名师点睛】本题主要考查了复数的概念与基本运算，属于容易题，意在考查学生对复数代数形式四则运算的掌握情况，基本思路就是复数的除法运算按“分母实数化”原则，结合复数的乘法进行计算，而复数的乘法则是按多项式的乘法法则进行处理.13.【20xx 高考上海，理2】若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ．【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i a b z i ++-=+⇒==⇒=+且 【考点定位】复数相等，共轭复数【名师点睛】研究复数问题一般将其设为(,)z a bi a b R =+∈形式，利用复数相等充要条件：实部与实部，虚部与虚部分别对应相等，将复数相等问题转化为实数问题：解对应方程组问题.复数问题实数化转化过程中，需明确概念，如(,)z a bi a b R =+∈的共轭复数为(,)z a bi a b R =-∈，复数加法为实部与实部，虚部与虚部分别对应相加.【20xx 高考上海，理15】设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【答案】B【解析】若1z 、2z 皆是实数，则12z z -一定不是虚数，因此当12z z -是虚数时，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”成立，即必要性成立；当1z 、2z 中至少有一个数是虚数，12z z -不一定是虚数，如12z z i ==，即充分性不成立，选B.【考点定位】复数概念，充要关系【名师点睛】形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫复数，其中a ，b 分别是它的实部和虚部．若b ＝0，则a ＋b i 为实数；若b ≠0，则a ＋b i 为虚数；若a ＝0且b ≠0，则a ＋b i 为纯虚数．判断概念必须从其定义出发，不可想当然.。
高中数学竞赛第十五章 复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。
所有复数构成的集合称复数集。
通常用C 来表示。
2．复数的几种形式。
对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。
因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。
因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。
若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。
若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。
3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。
模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ⋅=⋅；（3）2||z z z =⋅；（4）2121z z z z =⎪⎪⎭⎫⎝⎛；（5）||||||2121z z z z ⋅=⋅；（6）||||||2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则zz 1=。
高考数学一轮复习 第十五章复数课件 新人教选修2
()
失分警示：混淆了复数和虚数概念，误认为共轭复数 就是共轭虚数，当得到z－ ＝2bi时，就认为是纯虚数， 错误地选B.有些同学考虑问题是从特殊到一般，他举出一 些共轭的复数，例如：2＋3i,2－3i,3i，－3i，但又漏掉了 实数，犯了分类不清的错误．错误地选B.复数概念不清， 忽略了a、b的取值范围，当得到z－ ＝2bi时，想象b≠0， 错误地选B.
[反思归纳] 熟练掌握复数代数形式的运算法则及i的 方幂的运算以及(1±i)2＝±2i， ＝i等运算结果能使运算 更加简捷．
【例3】 设关于x的方程是x2－(tanθ＋i)x－(2＋i)＝ 0；
(1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋ (k∈Z)，方程无纯虚数根.
()
失分警示：对i的乘方的性质i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝ － 1 ， i4n ＋ 3 ＝ － i 掌 握 不 好 而 见 到 高 达 2009 次 幂 时 无 从 下 手．
启示：熟练掌握并灵活应用i的乘方的性质，进行有 关问题的代数运算，比较方便．
答案：A
三、误用韦达定理产生混淆
5．已知方程x2＋x＋1＝0，则|x1－x2|＝______. 答案：
●回归教材
1．设复数z＝a＋bi(a，b∈R)，则z为纯虚数的必要不
充分条件是
()
A．a＝0
B．a＝0且b≠0
C．a≠0且b＝0 D．a≠0且b≠0
解析：由纯虚数的概念可知：a＝0且b≠0是复数z＝a
＋bi(a，b∈R)为纯虚数的充要条件，而题中要选择的是
必要不充分条件．因此，要选择的应该是由“且”字连接
3．复数的分类： 复数z＝a＋bi中，
二、复数相等的条件 若复数z1＝x1＋y1i，z2＝x2＋y2i(x1，y1，x2，y2∈R)， 则z1＝z2⇔
新概念第一册lesson15-16单复数
Dialogue
Passport Your passports, please. (祈使句) ---Here they are. (复数)
Here it is. （单数）
Dialogue
Question2：luggages(行李)
Are these your cases?
---No, they aren't. Our cases are brown.
兄弟 楼上 领带
tie
大概 白色的
white
hat 帽子 his 他的 smart 时髦的 her 她的
dog 狗 catch 抓住 father 父亲 blouse女衬衫
Ch-EN
课文复习
1.你的连衣裙是什么颜色的？
What colour’s your new
2.d是re绿ss色? 的。 It’s green.
• 相同的领带 • 相同的工作 • 相同的票
相同的帽子
the same number 相同的号码
the same umbrella
相同的雨伞 相同的名字
语法回顾（二）
问:What colour is your…(名词)？
你的…是什么颜色的？
blackboard
答: It’s + 颜色。
是…色的。
词汇课堂 教学目标：
Lesson 15
Your passports, please.
请出示你们的护照。
看书复习单 词课文
colour 颜色 相同的 same
sister
姐，妹
谁的whose
green 绿色
可爱的lovely
mother 母亲
蓝色
b的lue
复数知识点
§15. 复 数 知识要点1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.⑵复数及其相关概念： ① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）； ② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ； ③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i. ⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示. ⑶两个复数相等的定义：0==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.注：①若21,z z 为复数，则 1若021 z z +，则21z z - .（×）[21,z z 为复数，而不是实数]2若21z z ，则021 z z -.（√）②若Cc b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是cb a ==的必要不充分条件.（当22)(ib a =-，0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离. 由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00 r r z z =-. ⑵曲线方程的复数形式：①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程. ②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202ZZ z z a a a z z z z ，）表示以且（ =-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.④），（2121202z z a a z z z z =---表示以21ZZ ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a=，此方程表示两条射线）.⑶绝对值不等式：设21z z ，是不等于零的复数，则①212121z z z z z z +≤+≤-.左边取等号的条件是），且（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.左边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012 λλλR z z ∈=. 注：nn n A A A A A A A A A A 11433221=++++- .3. 共轭复数的性质：zz = 2121z z z z +=+a z z 2=+，i 2b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅2121z z z z =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(=注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z nn②对任何z ，21,z z C∈及+∈N n m ,有③nn n nm nm nm nmz z z z zz zz z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(212142===i i 就会得到11=-的错误结论.②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平方法.⑵常用的结论：1,,1,,143424142=-=-==-=+++nn n n ii i i i i i)(,0321Z n iiii n n n n ∈=++++++i ii i ii i i -=+-=-+±=±11,11,2)1(2若ω是1的立方虚数根，即i2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：)(0,01,1,,121223Z n n n n∈=++=++===++ωωωωωωωωωω①z z R z =⇔∈.②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.注：||||z z =.6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=. 辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作zarg .注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值. ②辐角是多值的，都相差2π的整数倍. ③设,+∈R a 则πππ23)arg(,2arg ,)arg(,0arg=-==-=ai ai a a .⑵复数的代数形式与三角形式的互化：)sin (cos θθi r bi a +=+，22bar +=，rb ra ==θθsin ,cos .⑶几类三角式的标准形式：)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r )]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r)]2sin()2[cos()cos (sin θπθπθθ-+-=+i r i r7. 复数集中解一元二次方程：在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根ab x 22,1∆±-=；若∆=0，则有二相等实数根ab x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根aib x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）.②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立. 8. 复数的三角形式运算：)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r nn+=+第三章 数系的扩充与复数一、基础知识【理解去记】1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。
复数知识点讲义范文
复数知识点讲义范文复数是英语中名词的一种形式，用于表示多于一个的数量。
在复数形式中，名词通常会改变其拼写或者加上特定的后缀。
本文将介绍一些英语中的复数知识点。
1.一般规则大多数英语名词的复数形式是在末尾加上-s，比如book-books、cat-cats、dog-dogs等。
例外情况：- 如果名词以s、x、ch、sh、o结尾，复数形式则在末尾加上-es，比如bus-buses、box-boxes、watch-watches、dish-dishes、potato-potatoes等。
- 如果名词以辅音字母+y结尾，则应把y改成i，再加上-es，比如baby-babies、party-parties等。
- 如果名词以元音字母+y结尾，则直接加上-s，比如day-days、key-keys等。
2.不规则复数形式有一些名词的复数形式不按照一般规则进行变化，需要记住其特殊形式。
- 以-f或-fe 结尾的名词，复数形式中f或fe变为v再加上-es，比如wife-wives、leaf-leaves等。
- 以-us结尾的名词，复数形式中-us变为-i，比如bus-buses、focus-foci等。
- 有些名词的复数形式和单数形式相同，比如sheep-sheep、deer-deer等。
3.复数形式与动词一致在英语句子中，名词的复数形式与相应的动词一致。
主语是复数形式，谓语动词也需要用复数形式。
例如：- The cats are playing in the garden.- The students are studying for their exams.4.不可数名词一些名词是不可数名词，表示不可分割的事物或者抽象的概念，没有复数形式。
这些名词不可以用于不定冠词a/an和只用于不可数名词的量词如many、a few等。
例如：- water（水）：We need some water.- information（信息）: The information is useful.5.复数形式在固定搭配中的应用有一些英语短语或固定搭配中使用了特殊的复数形式。
复数部分知识点总结
复数部分知识点总结复数形式的构成规则在英语中，大多数名词的复数形式是通过在单数形式的词尾加上-s或-es来构成的。
具体规则如下：1. 对大多数名词，在其单数形式的词尾加上-s构成复数形式。
例如：book → books, dog → dogs, cat → cats等。
2. 对以-s、-sh、-ch、-x、-o结尾的名词，在其单数形式的词尾加上-es构成复数形式。
例如：bush → bushes, box → boxes, potato → potatoes等。
3. 对以辅音字母+y结尾的名词，将y改为i，再加上-es构成复数形式。
例如：baby → babies, city → cities, pony → ponies等。
4. 对以f或fe结尾的名词，通常将f或fe变为v，再加上-es构成复数形式。
例如：leaf → leaves, wife → wives, wolf → wolves等。
特殊情况虽然上面提到的规则是常见的复数形式构成规则，但是也有一些名词的复数形式并不遵循这些规则，有一些名词的复数形式需要特别注意。
1. 一些名词的复数形式与其单数形式完全相同。
例如：sheep、deer、fish等。
2. 一些名词的复数形式是通过改变其内部结构来构成的。
例如：man → men, woman → women, foot → feet, tooth → teeth等。
常见错误在使用复数形式时，有些学习者容易犯一些常见的错误，例如：1. 错误地将复数形式用于不可数名词。
不可数名词是指不能用作复数形式的名词，如water、milk、money等。
因此，当表达多个不可数名词时，应使用相应的量词来表达数量，而不是直接用复数形式。
2. 错误地构成名词的复数形式。
一些学习者容易弄混名词的复数形式的规则，导致构成错误的复数形式。
因此，在学习名词的复数形式时需要特别注意规则及其特殊情况。
练习题为了帮助读者更好地掌握复数形式的知识点，下面提供一些练习题：1. 写出以下名词的复数形式：a. childb. tomatoc. storyd. toothe. woman2. 选择正确的复数形式：a. The ____(child/children) are playing in the playground.b. There are three ____(tomato/tomatoes) on the table.c. This book has many interesting ____(story/stories).d. We should brush our ____(tooth/teeth) twice a day.e. The ____(woman/women) are walking in the park.总结复数形式是英语中的一个基础知识点，掌握复数形式的规则和用法对于正确理解和运用英语语言是非常重要的。
新概念英语第一册第15课 名词变复数
New words and expressions
customs n. 海关
officer n. 官员
girl
n. 女孩，姑娘
Danish adj.& n. 丹麦人
friend n. 朋友
Norwegian
adj.& n. 挪威人
passport n. 护照
brown adj. 棕色的
She is friendly to _______.
Norwegian --- Norway挪威 (欧洲国家) I come from ____. I am ______.
What color is her passport?
Her passport is green.
_____ is brown.
They are tourists.
Text [课文]
▪ CUSTOMS OFFICER:
Are you Swedish?
▪ GIRLS:
No, we are not. We are Danish.
▪ CUSTOMS OFFICER:
Are your friends S:
国家
家庭
工厂
草莓
city-cities party-paties story-stories dictionary-dictionaries
城市
派对
故事
字典
(5)以元音字母（a e i o u）加y结尾,直接加s
play-plays boy-boys toy-toys ray-rays
话剧
男孩
玩具 射线
▪ CUSTOMS OFFICER:
That's fine.
复数15-1
6．b－ai＝(a＋bi)·(－i)，－b＋ai＝(a＋bi)i；
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第十五章
复数
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( ) 数 学 配 统 编 教 材 版
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第十五章
复数
●易错知识 一、概念理解错误 1．复数(2m2 －3m－2)＋(m2 －3m＋2)i表示纯虚数的 充要条件是__________________．(其中m∈R)
m(m－2) ＝0， m－1 (2)由 m2＋2m－3≠0. 解得 m＝0，或 m＝2.
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( ) 数 学 配 统 编 教 材 版
∴当 m＝0 或 m＝2 时，z 为纯虚数.
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第十五章
复数
m(m－2) <0， m－1 (3)由 m2＋2m－3>0. 解得m<－3或1<m<2，
( )
答案：A
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第十五章
复数
失分警示：对i的乘方的性质i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝ －1，i4n＋3 ＝－i掌握不好而见到高达2009次幂时无从下 手．
《 走 向 高 考 》 高 考 总 复 习 · ( 数 学 配 统 编 教 材 版
启示：熟练掌握并灵活应用i的乘方的性质，进行有
1．掌握好复数的基本概念及形如a＋bi(a，b∈R)的
复数表示实数、虚数、纯虚数的充要条件．要注意a＋bi 表示纯虚数时，不要忽略a＝0且b≠0这一条件．
(
2．在进行复数运算时，不能把实数集的某些法则和
性质搬到复数集上来，如不等式的性质、绝对值的定义， 偶次方非负等，要熟练掌握复数加、减、乘、除的运算法
新概念第一册lesson15-16单复数
the same number
the same umbrella 相同的雨伞
the same name
相同的名字
语法回顾（二）
问:What colour is your…(名词)？
你的…是什么颜色的？
答: It’s + 颜色。是来自色的。blackboard
词汇课堂 教学目标：
会拼读新单词，学习 新单词的用法。
本课重点语法（一）
名词单数变复数
2 1 4 6
9 8
3
10 7
5
What’s this in English?
It’s an apple.
What are these?
They are two apples.
--What’s this? --It’s a pen. --What are these? --They are pens.
Dialogue
Passport Your passports, please. (祈使句) ---Here they are. (复数) Here it is. （单数）
Dialogue
Question2：luggages(行李) Are these your cases? ---No, they aren't. Our cases are brown. Here they are. be动词单数：am, is, are Is this your case? 复数：are No, it isn't. eg:We/You/They are students
eg. 她是一名老师。 She is a teacher.
eg. 你是一名工程师。 You are an engineer.
新高一复数知识点汇总
新高一复数知识点汇总在英语学习中，复数是一个重要的语法知识点。
学好复数形式的使用对于提高英语表达能力至关重要。
本文将对新高一阶段常见的复数知识点进行汇总和总结，帮助同学们更好地掌握复数形式的使用。
一、复数的基本形式和变化规则1. 大多数名词在其单数形式末尾加上“-s”来表示复数，例如：book - books, girl - girls。
2. 以s、x、ch、sh结尾的名词，在其单数形式末尾直接加上“-es”来表示复数，例如：bus - buses, box - boxes, match - matches。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，将y变为i，再加上“-es”来表示复数，例如：city - cities, fly - flies。
4. 以“o”字母结尾的名词，一般在其单数形式末尾加上“-es”来表示复数，例如：tomato - tomatoes, hero - heroes。
但也有一些名词只加“-s”，例如：photo - photos。
5. 以“f”或“fe”结尾的名词，通常将“f”或“fe”变为“ves”来表示复数，例如：leaf - leaves, knife - knives。
6. 一些特殊名词的复数形式需要进行变化，例如：man - men, woman - women, child - children。
二、不可数名词除了可数名词的复数形式外，还存在一类名词为不可数名词，无复数形式。
这类名词表示无法具体计数的事物，例如：water、milk、rice等。
在表达数量时，可以使用量词来修饰不可数名词，例如：a glass of water、a cup of milk。
三、复数名词的用法注意事项1. 复数名词与动词在句子中的一致性：当主语为复数名词时，动词要用复数形式。
例如：The students are studying in the classroom.2. 复数名词与不定代词的搭配：当不定代词each、every、everyone等修饰复数名词时，谓语动词要用单数形式。
初一复数知识点总结
初一复数知识点总结复数是指表示两个或两个以上的人或物的单词，在英语中，名词复数形式的构成有规则可循，但也有一定的不规则性。
在初中阶段，学生开始接触并学习英语复数形式的构成规则，因此掌握英语复数形式的知识对于初中学生来说至关重要。
下面我们来总结一下初一学生需要掌握的英语复数知识点。
一、名词复数的构成规则1. 一般情况下，在名词后面加-s构成复数形式，如：book-books, pen-pens, cat-cats等。
2. 以s, x, sh, ch结尾的名词，在末尾加-es构成复数形式，如：bus-buses, box-boxes,brush-brushes, watch-watches等。
3. 以辅音字母+y结尾的名词，把y变成i再加-es构成复数形式，如：baby-babies, city-cities等。
4. 以o结尾的名词，一般在末尾加-es构成复数形式，如：hero-heroes, potato-potatoes等。
5. 以辅音字母+o结尾的名词，直接在末尾加-s构成复数形式，如：photo-photos, radio-radios等。
6. 以f或fe结尾的名词，变f或fe为v再加-es构成复数形式，如：leaf-leaves, life-lives 等。
二、不规则名词的复数形式除了按照一般规则构成复数形式的名词外，还有一些名词的复数形式需要特别记忆。
这些名词的复数形式是不规则的，需要学生多加注意，下面列举一些常见的不规则名词的复数形式：1. 单复数同形：fish-fish, sheep-sheep, deer-deer, moose-moose等。
2. 单数变复数：child-children, foot-feet, tooth-teeth, mouse-mice, man-men, woman-women等。
3. 变位复数：man-men, woman-women, ox-oxen, goose-geese, die-dice等。
高一复数知识点笔记
高一复数知识点笔记复数是英语中的一种词形变化形式，用于表示多个数量。
在英语中，除了一些特殊情况外，复数通常是通过在词尾添加-s或-es来形成的。
而在有些情况下，名词的复数形式会发生其他的变化。
下面是一些高中一年级学生需要掌握的复数知识点笔记。
一、一般规则复数形式大多数英语名词的复数形式是在词尾加-s。
例如：- book（书）→ books（书籍）- dog（狗）→ dogs（狗）- cat（猫）→ cats（猫）对于以辅音字母加-y结尾的名词，变为复数时，通常将-y改为-ies。
例如：- baby（宝宝）→ babies（宝宝们）- city（城市）→ cities（城市）以辅音字母加-o结尾的名词一般在复数形式时，加-es。
例如：- tomato（番茄）→ tomatoes（番茄）- mango（芒果）→ mangoes（芒果）以-sh、-ch、-x、-s结尾的名词，复数形式时加-es。
例如：- brush（刷子）→ brushes（刷子）- watch（手表）→ watches（手表）- box（盒子）→ boxes（盒子）- bus（公共汽车）→ buses（公共汽车）以-f或-fe结尾的名词在复数形式时，通常将-f或-fe变为-ves。
例如：- leaf（叶子）→ leaves（叶子）- knife（刀）→ knives（刀）二、不规则复数形式有一些英语名词的复数形式不符合一般规则，需要记住这些特殊的变化。
例如：- man（男人）→ men（男人）- woman（女人）→ women（女人）- child（孩子）→ children（孩子们）- foot（脚）→ feet（脚）- tooth（牙齿）→ teeth（牙齿）三、名词本身为复数形式有些英语名词的复数形式与单数形式相同，直接作为复数使用。
例如：- sheep（绵羊）→ sheep（绵羊）- fish（鱼）→ fish（鱼）- deer（鹿）→ deer（鹿）四、集体名词集体名词是用来表示一组人、物或动物的名词，其复数形式取决于是否强调成员个体的多寡。
高一复数知识点总结归纳
高一复数知识点总结归纳高一英语学习中，复数是一个重要的语法知识点。
正确理解和使用复数形式对于理解英语句子的意思、正确表达自己的观点至关重要。
本文将对高一英语学习中遇到的复数知识点进行总结和归纳。
1. 一般规则————大部分可数名词在英语中，大部分可数名词的复数形式可以通过在单数形式末尾加上“-s”来构成。
例如：- cat（猫）→ cats（猫们）- book（书）→ books（书们）2. 以s、x、ch、sh结尾的名词以字母“s”、“x”、“ch”、“sh”结尾的名词，其复数形式通常在词尾加上“-es”。
例如：- bus（公共汽车）→ buses（公共汽车们）- box（盒子）→ boxes（盒子们）- church（教堂）→ churches（教堂们）- brush（刷子）→ brushes（刷子们）3. 以辅音字母+y结尾的名词以辅音字母+y结尾的名词，其复数形式通常先将“y”变为“i”，再加上“-es”。
例如：- city（城市）→ cities（城市们）- baby（婴儿）→ babies（婴儿们）4. 不规则复数形式在英语中，有一些名词的复数形式是不规则的，需要特别注意。
例如：- man（男人）→ men（男人们）- woman（女人）→ women（女人们）- child（孩子）→ children（孩子们）- tooth（牙齿）→ teeth（牙齿们）- foot（脚）→ feet（脚们）5. 不可数名词另外需要注意的是，有一些名词是不可数的，它们没有复数形式。
例如：- water（水）- milk（牛奶）- information（信息）- advice（建议）6. 复数形式的用法除了理解和构成复数形式外，我们还需要学会正确使用复数形式。
- 表示一般事实或客观事实时，可以使用复数形式。
例如：- Dogs are loyal animals.（狗是忠诚的动物。
）- 表示一类对象或一类人时，可以使用复数形式。
复数知识点精心总结
复数知识点考试内容：复数的概念．复数的加法和减法．复数的乘法和除法．数系的扩充．考试要求：（1)了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．1。
⑴复数的单位为i,它的平方等于－1,即。
⑵复数及其相关概念：①复数—形如a + b i的数（其中)；②实数—当b = 0时的复数a + b i，即a；③虚数—当时的复数a + b i;④纯虚数—当a = 0且时的复数a + b i,即b i.⑤复数a + b i的实部与虚部—a叫做复数的实部，b叫做虚部（注意a，b都是实数）⑥复数集C—全体复数的集合，一般用字母C表示。
⑶两个复数相等的定义：。
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小。
注:①若为复数，则若，则.（×）[为复数，而不是实数]若，则。
（√)②若，则是的必要不充分条件.(当,时，上式成立）2。
⑴复平面内的两点间距离公式:。
其中是复平面内的两点所对应的复数，间的距离。
由上可得:复平面内以为圆心，为半径的圆的复数方程：。
⑵曲线方程的复数形式：①为圆心，r为半径的圆的方程.②表示线段的垂直平分线的方程。
③为焦点，长半轴长为a的椭圆的方程（若，此方程表示线段）。
④表示以为焦点，实半轴长为a的双曲线方程（若，此方程表示两条射线)。
⑶绝对值不等式：设是不等于零的复数，则①.左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.②。
左边取等号的条件是，右边取等号的条件是.注：。
3。
共轭复数的性质:，（a + b i）（)注：两个共轭复数之差是纯虚数. (×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的］4 ⑴①复数的乘方：②对任何，及有③注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式,否则会得到荒谬的结果，如若由就会得到的错误结论.②在实数集成立的. 当为虚数时，，所以复数集内解方程不能采用两边平方法。
复数知识点总结高职
复数知识点总结高职复数是英语语法中的一个重要知识点，它指的是表示两个或两个以上的人、事物或概念的词语形式。
在英语中，复数的形式通常是在词尾加上-s或-es，但也有少数例外。
复数形式的掌握对于正确理解和运用英语语法至关重要。
下面将详细总结复数的各种知识点：一、名词的复数形式1. 一般情况下，名词的复数形式可以在词尾加上-s，如：book - books，desk - desks。
2. 以-s, -sh, -ch, -x, -z结尾的名词，其复数形式需要在词尾加上-es，如：box - boxes，bus - buses。
3. 以辅音+y结尾的名词，其复数形式需要将y改为i，再加上-es，如：city - cities，baby - babies。
4. 以o结尾的名词，大多数需要在词尾加上-es，如：tomato - tomatoes，echo - echoes。
但也有少数例外，如：piano - pianos，photo - photos。
5. 一些不规则的名词，复数形式需要进行单独记忆，如：man - men，woman - women，child - children。
6. 以-f或-fe结尾的名词，需要将f或fe改为v，再加上-es，如：leaf - leaves，wife - wives。
7. 以-us结尾的名词，其复数形式大多数需要改为-i，如：cactus - cacti，focus - foci。
8. 以-is结尾的名词，大多数需要改为-es，如：analysis - analyses，thesis - theses。
9. 以-on结尾的名词，其复数形式通常需要改为-a，如：phenomenon - phenomena，criterion - criteria。
10. 以-men结尾的名词，其复数形式需要进行单独记忆，如：ox - oxen，child - children。
11. 复数名词作主语时，谓语动词通常是复数形式，如：The books are on the table.12. 一些名词的复数形式与单数形式相同，如：sheep - sheep，deer - deer。
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第十五章复数
1．（2006年福建卷）设,,,a b c R ∈则复数()()a bi c di ++为实数的充要条件是 （D ）
（A ）0ad bc -= （B ）0ac bd -= （C ）0ac bd += （D ）0ad bc +=
2．（2006
）
A ．i
B ．i -
C i
D i
1
i i
===-故选A 3．（2006年广东卷）若复数z 满足方程022=+z ，则=3z A.22± B. 22- C. i 22- D. i 22±
4．由i z i z z 2220232±=⇒±=⇒=+，故选D.
5．（2006年广东卷）对于任意的两个实数对（a ,b ）和(c,d),规定（a ,b ）＝(c,d)当且仅当a ＝c,b ＝d;运算“⊗”为：),(),(),(ad bc bd ac d c b a +-=⊗，运算“⊕”为：),(),(),(d b c a d c b a ++=⊕，设R q p ∈,，若
)0,5(),()2,1(=⊗q p 则=⊕),()2,1(q p
A. )0,4(
B. )0,2(
C.)2,0(
D.)4,0(-
6．由)0,5(),()2,1(=⊗q p 得⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=-2
10252q p q p q p , 所以)0,2()2,1()2,1(),()2,1(=-⊕=⊕q p ,故选B.
7．（2006年陕西卷）复数10
(1)1i i
+-等于（ C ） （A ）1i + （B ）1i -- （C ）1i - （D ）1i -+
8．( 2006年重庆卷)复数2i
321++i 的值是__171010i +_. 9．（2006年全国卷II ）
3(1－i )2
＝ (A ) （A ）32i （B ）－32
i （C ）i （D ）－i 10．（2006年四川卷）复数的虚部为 （D ）
（A ）3 （B ）3- （C ）2 （D ）2-
11．（2006年四川卷）非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意,a b G ∈，都有a b G ⊕∈； （2）存在e G ∈，使得对一切a G ∈，都有a e e a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”；现给出下列集合和运算：
①{},G =⊕非负整数为整数的加法 ②{},G =⊕偶数为整数的乘法 ③{},G =⊕平面向量为平面向量的加法 ④{},G =⊕二次三项式为多项式的加法
⑤{},G =⊕虚数为复数的乘法
其中G 关于运算⊕为“融洽集”______①，③__________;（写出所有“融洽集”的序号）
12．（2006年天津卷）i 是虚数单位，=+i
i 1（ A ） A ．i 2121+ B ．i 2121+- C ．i 2121- D ．i 2
121--
13. （2006年湖北卷）设x 、y 为实数，且
i
i y i x 315211-=-+-，则x +y =___4_______. 13．解填4。
由i i y i x 315211-=-+-知，5(1)(12)(13)2510
x y i i i +++=+，即 5(1)2(12)5(13)x i y i i +++=+，即(525)(5415)0x y x y i +-++-=，故
5250,54150.x y x y +-=⎧⎨+-=⎩解得1,5.x y =-⎧⎨=⎩
4x y +=。
14．（2006年全国卷I ）如果复数2()(1)m i mi ++是实数，则实数m =
A ．1
B ．1-
C
D ．
14．两句话：⑴ 如果一个复数是实数，那只需要一个条件：虚部为0；⑵ 如果一个复数是纯虚数，那可就得俩条件：实部为0且虚部不为0。
从第3小题和此题来看，这份卷子属于“温柔派”风格 —— 总是在同类问题中选择最简单的。
具体到本题，
()()21m i mi ++展开后，“原始项”共四项，但是我们并不关心实部项，虚部项为：21m mi i ⨯+⨯，只需：()3101m i m +=⇒=-。
选B
15．（2006年江西卷）已知复数z 3i ）z ＝3i ，则z ＝（ D ）
A ．32
2i B. 344 C. 322 D.344
解：
z 故选D 16．（2006年北京卷）在复平面内，复数1i i +对应的点位于 (D) （A ）第一象限
（B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限
17．（2006年上海卷）若复数z 同时满足z －-z ＝2i ，-z ＝iz （i 为虚数单位），则z ＝ -1+i ．
18．（ 2006年浙江卷）已知
11m ni i
=-+，m n i 其中，是实数，是虚数单位，m ni +=则 ( C )
(A)1+2i (B) 1-2i (C)2+i (D)2-I
19． （2006年上海春卷）已知复数w 满足i (i )23(4w w -=-为虚数单位），|2|5-+=
w w
z ，求一个以z 为根的实系数一元二次方程. 19. [解法一] i 2i
21i 34,i 34)i 21(-=++=∴+=+w w ， ……4分 i 3|i |i
25+=-+-=∴z . ……8分 若实系数一元二次方程有虚根i 3+=z ，则必有共轭虚根i 3-=z .
10,6=⋅=+z z z z ， ∴ 所求的一个一元二次方程可以是01062=+-x x . ……12分
[解法二] 设i b a w +=R)(∈b a 、
b a b a 2i 2i 34i +-=-+，
得 ⎩⎨⎧-==-,23,24a b b a ∴ ⎩
⎨⎧-==,1,2b a i 2-=∴w ， ……4分 以下解法同[解法一].。