高中数学 第一章 三角函数 1-1-2弧度制课件 新人教A版必修4
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高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
180
答案: 5 r ad
8
r5 a d.
8
(2)因为1rad=( 1 8 0 °),
所以- 5 rad=-( 5 ×
12
12
答案:-75°
)°1=8 0-75°.
2.(1) 1 π9 =6π+ .
3
3
(2)-315°=- 7 = -2π+ .
4
4
【方法技巧】进行角度制与弧度制的互化的原则和
{|2n， nZ} {| （ 2n1） ， nZ}
4
4
{|k， kZ}. 4
2.(1)以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以OB为终边
6
的角为- 2 +2kπ(k∈Z).所以阴影部分(不包括边界)
3
内的角的集合为 { |－ 2 ＋ 2 k ＋ 2 k ， k Z } .
【解析】所求角的集合为
{ |2 k 2 k ＋ 或 2 k ＋ 2 2 k ＋ ， k Z } ． 33
2.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴 影部分(不包括边界)内的角的集合.
【解析】30°= ,150°= . 5
【解析】(1)330°和60°的终边分别对应 － 和 ，
63
所表示的区域位于 － 与之间且跨越x轴的正半轴,
63
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
{ |2 k － 2 k ＋ ， k Z } ．
6
3
(2)210°和135°的终边分别对应 － 5 所和 表3，示的
弧长为l,半径为r,
l＋ 2 r＝10， ①
答案: 5 r ad
8
r5 a d.
8
(2)因为1rad=( 1 8 0 °),
所以- 5 rad=-( 5 ×
12
12
答案:-75°
)°1=8 0-75°.
2.(1) 1 π9 =6π+ .
3
3
(2)-315°=- 7 = -2π+ .
4
4
【方法技巧】进行角度制与弧度制的互化的原则和
{|2n， nZ} {| （ 2n1） ， nZ}
4
4
{|k， kZ}. 4
2.(1)以OA为终边的角为 +2kπ(k∈Z);以OB为终边
6
的角为- 2 +2kπ(k∈Z).所以阴影部分(不包括边界)
3
内的角的集合为 { |－ 2 ＋ 2 k ＋ 2 k ， k Z } .
【解析】所求角的集合为
{ |2 k 2 k ＋ 或 2 k ＋ 2 2 k ＋ ， k Z } ． 33
2.若将本例2中变成如图所示的图形,写出终边落在阴 影部分(不包括边界)内的角的集合.
【解析】30°= ,150°= . 5
【解析】(1)330°和60°的终边分别对应 － 和 ，
63
所表示的区域位于 － 与之间且跨越x轴的正半轴,
63
所以终边落在阴影部分(不包括边界)的角的集合为
{ |2 k － 2 k ＋ ， k Z } ．
6
3
(2)210°和135°的终边分别对应 － 5 所和 表3，示的
弧长为l,半径为r,
l＋ 2 r＝10， ①
1.1.2弧度制 课件(人教A版必修4)
的 形 式.
例 10 不能写成
3
而应写成 2 4
3
3
3
的 形 式,
1、（1）把 1480 写成 2k（k Z）的形式， 其中0
(2)若 4，0，且与（1）中的终边
相同，求 .
2、如图,已知角的终边区域, 求出角的范围.
y
450
0 (1)
x
| 2
4
2
2
y
450
0
x
( )
(2)
度量角的制度——弧度制。
如图，把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角 叫做1弧度的角，记作1rad，读作1弧度.
1弧度圆心角的大小与所在圆的半径的大小是 否有关？为什么？
r
A
B
1rad r
O
约定： 正角的弧度数为正数， 负角的弧度数为负数， 零角的弧度数为0.
用弧度做单位来度量角的制度叫做 弧度制
如果将半径为r圆的一条半径OA，绕圆心
| 2 ( )
3、 终边与X轴重合；
| ( )
4、 终边与Y轴正半轴重合；
|
2
2
( )
5、 终边与Y轴负半轴重合；
|
2
3
2
( )
6、 终边与Y轴重合；
|
2
( )
7、第一象限内的角；
|
2
2
2
( )
8、第二象限内的角；
|
2
2
2
( )
9、第三象限内的角；
| 2
满足的表达式
。
若角 和 的终边关于 x 轴对称, 则 与 满足
的表达式
。
若角 和 的终边关于原点对称, 则 与 满足的表
【数学】1.1.2《弧度制》课件(新人教A版必修4)
0° 30° 45° 60° 90° 120°
0
2
6
4
3
2
3
135° 150° 180° 210° 225° 240°
3
5
π
4
6
270° 300° 315° 330° 360°
3
2
2π
4、用弧度来度量角，实现角的集合 与实数集R之间建立一一对应的关系：
正角
正实数
对应角的 弧度数
零角
比值
弧长 半径
与半径 大小无关
B2
B1
L2
B
L1
L
O
A
r r1r2
A1
A2
AB r
AB r
=定值，
设α =nº，AB 弧长为l，半径OA为r，
则 l n 2 r l n 2
，
360
r 360
可以看出，等式右端不含
半径，表示弧长与半径的
比值跟半径无关，只与α的 大小有关。
② 平角、周角的弧度数： 平角= rad、周角=2 rad.
③ 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是 负数，零角的弧度数是0.
④角的弧度数的绝对值: l
r （l为弧长，r为半径）
360°=2 rad 180°= rad
1°= 180
rad
0.01745
rad
1
rad=
180
A.半圆所对的圆心角是 rad； B.周角的大小是2 ；
C.1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径； D.长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度.
6. 用弧度制表示弧长及扇形面积公式：
高中数学必修4全册课件ppt人教版
跟踪训练 3．(1)已知某扇形的圆心角为75°，半径为15 cm， 求扇形的面积； (2)已知扇形的周长为20 cm，面积为9 cm2，求扇形的 圆心角的弧度数．
解：(1)扇形的圆心角为 75×1π80＝51π2，扇形半径为 15 cm. ∴扇形的面积 S＝12|α|·r2＝12×51π2×152＝3785π(cm2)．
长及扇形面积． (1)43π；(2)165°. 【解】 (1)l＝|α|·r＝43π×10＝430π(cm)， S＝12|α|·r2＝12×43π×102＝2030π(cm2)．
(2)165°＝1π80×165 rad＝1112π rad. ∴l＝|α|·r＝ 1112π×10＝565π(cm)， S＝12l·r＝12×565π×10＝2675π(cm2)．
③yx叫做 α 的 正切 ，记作 tan α ，即tan α＝yx (x≠0).
对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余
【名师点评】 (1)弧长公式 l＝|α|·r 与扇形面积公式 S＝12 |α|·r2＝12l·r 在应用公式时，圆心角 α 的单位必须是弧度． (2)扇形的弧长公式和面积公式涉及四个量：面积 S，弧长 l，圆心角 α，半径 r，已知其中的三个量一定能求得第四 个量(通过方程求得)，已知其中的两个量能求得剩余的两 个量(通过方程组求得)．
若弧是一个半圆，则其圆心角的弧度数是多少？ 若弧是一个整圆呢？
弧度制
一般地，正角的弧度数是一个正数，负角 的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0，如果 半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为l，那么，
角a的弧度数的绝对值是 | a | = l / r
l
注：“弧度”不是弧长，它是一
a
个比值。值有正负。
高中数学人教A版必修4课件：1.1.2弧度制
(2)将下列各弧度角化为角度：①－51π2 rad；②139π.
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
思路点拨：
解：(1)①∵1°＝1π80 rad， ∴112°30′＝1π80×112.5 rad＝58π rad. ②－315°＝－315×1π80＝－74π. (2)①∵1 rad＝1π80°， ∴－51π2 rad＝－51π2×1π80°＝－75°. ②139π＝139π×1π80°＝1 140°.
(2) 的面积．
思路点拨：(1) 设出圆心角为θ → 建方程组 → 解方程组得解 (2) 化度为弧度 → 求弧长 → 求扇形面积
解：(1)设扇形圆心角的弧度数为 θ(0＜θ＜2π)，弧长为 l， 半径为 r，
依题意有
l＋2r＝10，
①
12lr＝4.
进行角度制与弧度制的互化的策略以及注意点 (1)原则：牢记 180°＝π rad，充分利用 1°＝1π80 rad 和 1 rad ＝1π80°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为 α，角度数为 n，则 α rad＝α·1π80°；n°＝n·1π80.
(3)注意点 ①用“弧度”为单位度量角时，“弧度”二字或“rad” 可以省略不写． ②用“弧度”为单位度量角时，常常把弧度数写成多少π 的形式，如无特别要求，不必把π写成小数． ③度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度．
3.解析弧度制下弧长公式、扇形的面积公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|R，S＝12lR＝12|α|R2(其中 α 为圆心角的弧度数，R 为扇 形的半径)． 要把握好上述公式，需注意以下三个方面： (1)由上述公式可知，由 α、l、R、S 中的两个量可以求出 另外的两个量，即“知二求二”．
【即时演练】
－247π 是第________象限的角． 解析：∵－247π＝－6π－34π，而－34π 是第三象限的角， ∴－247π 是第三象限的角． 答案：三
人教A版高中数学必修四《1.1.2弧度制》ppt课件.ppt
• 20、No man is happy who does not think himself so.——Publilius Syrus认为自己不幸福的人就不会幸福。2020年8月5日星期三11时1分19秒11:01:195 August 2020
• 21、The emperor treats talent as tools, using their strongpoint to his advantage. 君子用人如器，各取所长。上午11时1分19秒上午11时1分11:01:1920.8.5
3
．
1．什么叫1弧度角? 2.“角度制”与“弧度制”的联系与区别； 3．弧长公式与扇形面积公式．
把希望建筑在意欲和心愿上面的人们，二十 次中有十九次都会失望。
——大仲马
• 1、Genius only means hard-working all one's life. (Mendeleyer, Russian Chemist) 天才只意味着终身不懈的努力。20.8.58.5.202011:0311:03:10Aug-2011:03
• •
THE END 8、For man is man and master of his fate.----Tennyson人就是人，是自己命运的主人11:0311:03:108.5.2020Wednesday, August 5, 2020
9、When success comes in the door, it seems, love often goes out the window.-----Joyce Brothers成功来到门前时，爱情往往就走出了窗外。 11:038.5.202011:038.5.202011:0311:03:108.5.202011:038.5.2020
高一数学必修4课件：1-1-2弧度制
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
3π 3 (2)β1＝ 5 ＝5×180° ＝108° ，设 θ＝k· ＋β1(k∈Z)， 360° 由－720° ≤θ<0° ，得－720° 360° ≤k· ＋108° ， <0° ∴k＝－2 或－1， ∴－720° ～0° 之间与 β1 有相同终边的角是：－612° 和－ π 252° 2＝－ ＝－60° ，β ， 3 设 γ＝k· －60° 360° (k∈Z)，则由－720° 360° ≤k· －60° ， <0° 从而 k＝－1 或 k＝0，因此在－720° ～0° 之间与 β2 有相同终边 的另一个角为－420° .
成才之路· 数学
人教A版 ·必修4
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
三角函数
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1 任意角和弧度制
第一章 三角函数
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1．1.2 弧度制
第一章 三角函数
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
下列表述中正确的是(
)
A．一弧度是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．一弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径长的弧所对的圆心角的大小， 它是角的一种度量单位
[答案] D
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
第一章
1.1 1.1.2
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
高一数学人教A版必修4第一章1.5 函数y=Asin(wx+j)的图象2课时课件(共63张PPT)
变为原来的
1
w
倍.
3. y=sinx 与 y=Asinx
设 A =2, 画出 y=sinx 和 y=2sinx 的图象.
在 x 坐标相同的情况下,
y
y=2sinx 图象上各点的 y 坐标
2 y=2sinx
是 y=sinx 的 2 倍.
11
将 y=sinx 的图象沿 y 轴 方向伸长到原来的 2 倍即得
(1)
y
=
4sin
1 2
x,
xR;
(2) y = 12cos3x, xR;
(3)
y
=
3sin(
2x
+
6
),
xR;
);
(2) y=sin3x;
(4)
y
=
2sin(
2x
4
).
解: (3)
将 y=sinx 的图象向右
平移 个单位即得
3
y
=
sin(
x
3
)
的图象.
y
1
11
6
O 543 27 x 1 32 6 3 2 3
练习: (课本55页)
1. 画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的
简图:
(1) (3)
yy==s12ins(inxx;3
得到
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
的图象.
y
2
y
=
2sin(
1 3
x
6
)
1
y
=7sin(3x56
)
13
y
=
sin(
1 3
x
《红对勾》2015-2016学年人教A版高中数学必修4课件1-1-2弧度制
l 么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝ r .
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
3．角α＝6这种表达方式正确吗？ 答：正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省 去了．
角度与弧度的互化
4．在同一个式子中，角度制与弧度制能否混用？为什 么？
答：角度制和弧度制是表示角的两种不同的度量方 法，两者有着本质的不同，因此在同一个表达式中不能出 现两种度量方法的混用，如α＝2kπ＋30°，k∈Z是不正确的 写法，应写成α＝2kπ＋6π，k∈Z.
扇形的弧长和面积的计算
【例 3】 已知一扇形的周长为 8 cm，当它的半径 和圆心角取什么值时，扇形的面积最大？并求出最大面 积．
【分析】 (1)用哪些量表达扇形的周长？(半径和弧 长)
(2)扇形的面积公式是什么？能否用半径表示？(S＝ 12lr，能)
(3)如何求扇形面积的最大值？(利用二次函数)
答：随着半径的变化，弧长也在变化，但对于一定大 小的圆心角所对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，与 半径的大小无关．
任意角的弧度数与实数的对应关系
(1)正角：正角的弧度数是一个 正数 (2)负角：负角的弧度数是一个 负数 (3)零角：零角的弧度数是 0 . (4)如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那
角度制与弧度制的互化
【例 2】 设 α1＝510°，α2＝－750°，β1＝45π，β2＝ －161π.
(1)将 α1，α2 用弧度表示出来，并指出它们各自终边 所在的象限；
(2)将 β1，β2 用角度表示出来，并在[－360°，360°) 内找出与它们终边相同的所有的角．
【分析】 首先利用 1°＝18π0rad 可将角度化成弧度，利 用 1rad＝18π0°可将弧度化成角度，然后再根据要求指出 α1， α2 终边所在的象限，与 β1，β2 终边相同且在[－360°，360°) 内的角．
高中数学人教版必修4 1.1.2弧度制 课件2
[解析] 设扇形的弧长为 l，则 l＝αR＝23π，
∴该扇形的面积 S＝12lR＝12×23π×1＝π3.
命题方向四：弧度制下终边相同的角的表示方法
将下列各角化成 2kπ＋α(0<α<2π，k∈Z)的形式，并指出角的终边所 在的象限．
(1)247π；(2)396π.
[解析] (1)∵274π＝6π＋34π， ∴274π与34π终边相同． 又∵34π是第二象限角，∴274π是第二象限角．
跟踪练习
把α＝1 690°写成β＋2kπ(k∈Z，β∈[0,2π))的形式．
[解析] 1 690°＝1π80×1 690＝8π＋2158π.
命题方向三：扇形面积公式的应用
一个半径大于 2 的扇形，其周长 c＝10，面积 S＝6，求这个扇 形的半径 R 和圆心角 α 的弧度数.
[解析] 设扇形的半径为 R(R>2)，弧长为 l，由题意得
(2)396π＝6π＋36π＝6π＋π2，∴396π与π2的终边相同． 又∵π2是象限界角，∴396π也是象限界角，它不属于任何象 限．
[点评] 用弧度表示的与角α终边相同的角的一般形式为：β＝2kπ＋ α(k∈Z)．这些角所组成的集合为{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}．
1°＝__1_8_0____rad≈0.01745rad，
1rad＝___1_π8_0__°_≈57.3°＝57°18′.
1
3．在弧度制下，弧长公式为l＝θr，扇形面积公式为S＝__2_lr_______.
预习效果展示
1.(2014·浙江临海市杜桥中学高一月考)下列转化结果错误 的是( )
A．67°30′化成弧度是38πrad B．123π化成度是 600° C．150°化成弧度是56πrad D．1π2化成度是 15°
人教版高中数学课件-三角函数
单位来度量角的单位制叫做弧度制
2．角的弧度数的计算
如果半径为 l
r
的圆的圆心角
α
所对弧的长为
l，那么，角
α
的弧度数的绝对
值是|α|＝___r ___．
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判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1 弧度是 1 度的圆心角所对的弧．( ) (2)1 弧度是长度为半径的弧．( ) (3)1 弧度是 1 度的弧与 1 度的角之和．( ) (4)1 弧 度 是 长 度 等 于 半 径 的 弧 所 对 的 圆 心 角 ， 它 是 角 的 一 种 度 量 单 位．( ) 【解析】 根据弧度制的定义知(4)正确． 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
图 1－1－7
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【解】
π 因为 30°＝ 6
rad，210°＝7π 6
rad，
这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线 AB 上的角为 α＝kπ＋
π
π
6 ，k∈Z，而终边在 y 轴上的角为 β＝kπ＋ 2 ，k∈Z，从而终边落在阴影部分
内的角的集合为θkπ＋π6 <θ<kπ＋π2 ，k∈Z.
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【精彩点拨】 在进行角度与弧度的换算时，关键是抓住π rad＝180°，
π 1°＝180 rad 这一关系．
ππ
ππ
【自主解答】 (1)①20°＝20×180＝ 9 ；②－15°＝－15×180＝－12；
③172π＝172π×1π80°＝105°；④－151π＝－151π×1π80°＝－396°. (2)因为－157°30′＝－157.5°＝－3125×1π80 rad＝－78π rad.
2016版高中数学人教A版必修四课件：第一章§3弧度制
解析：对于 A，60°＝60×1π80＝π3 ；对于 B，－130π＝－130× 180°＝－600°；对于 C，－150°＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ150×1π80＝－56π；对 于 D，π 12＝112×180°＝15°.
栏目 第十一页，编辑于星期五：二十三导点 四引十九分。
第一章 三 角 函 数
3．已知圆的半径为2，则弧长为4的弧所对的圆心角α(0<α<2π)的 弧度数为________． 2 解析：|α|＝rl＝42＝2. 4，．面若π3积扇S形＝的__圆_心__角__为_．60°，π6半径为1，则扇形的弧长l＝________ 解析：因为 α＝60°＝π3 ，r＝1，所以 l＝|α|·r＝π3 ， S＝12r·l＝12×1×π3 ＝π6 .
果都是不同的，二者要注意不能混淆．
栏目 第十六页，编辑于星期五：二十三导点 四引十九分。
5．角度制与弧度制换算的要点
第一章 三 角 函 数
栏目 第十七页，编辑于星期五：二十三导点 四引十九分。
第一章 三 角 函 数
角度与弧度的互化
(1)把 112°30′化为弧度； (2)将－152π rad 化为度． (链接教材 P10 例 1、例 2)
(2)一些特殊角的角度数与弧度数的对应关系
角度
120 135 150
0° 15° 30° 45° 60° 75° 90°
数
°°°
弧度
π π π π 5π π 2π 3π 5π
数
0 12
6
4
3 12 2
3
4
6
角度 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360°
栏目 第十四页，编辑于星期五：二十三导点 四引十九分。
新人教A版高一数学必修四第一章 三角函数1.1.2弧度制
[归纳升华] 角度与弧度互化技巧
在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得 到：度数×1π80＝弧度数，弧度数×1π80°＝度数.
1．将下列角度与弧度进行互化： (1)5611π；(2)－71π2 rad；(3)10°；(4)－855°.
解析： (1)5611π＝5611×180°＝15 330°；
2．5 弧度的角的终边所在的象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析： 因为32π<5<2π，因此 5 弧度的角的终边在第四象限．
答案： D
3．扇形圆心角为 216°，弧长为 30π，则扇形半径为________．
解析： 216°＝216×1π80＝6π5 ，l＝α·r＝6π5 r＝30π，∴r＝25. 答案： 25
(3)如图所示，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的圆心 角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
[边听边记] (1)由公式|α|＝rl，可知圆的半径变为原来的 2 倍，弧长也变为原 来的 2 倍时，圆心角大小不变；但扇形面积 S＝12lr，故面积变为原来的 4 倍．
(2)设扇形的弧长为 l，半径为 r，则 l＋2r＝40，则 S＝12lr＝12(40－2r)r＝20r －r2，所以 r＝10 时，扇形面积最大，此时 l＝40－2r＝20，圆心角的弧度数 α＝rl ＝2100＝2.
π (2)如图，330°角的终边与－30°角的终边相同，将－30°化为弧度，即－ 6 ，
而 75°＝75×1π80＝51π2 ，
∴终边落在阴影部分内(不包括边界)的角的集合为
θ|
2kπ－π6 ＜θ＜2kπ＋51π2 ，k∈Z.
人教A版高中数学必修四任意角的三角函数教学PPT精品课件
概念拓展
课堂小结
类比
当r=1
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念再探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
单位圆：
r=1
直角坐标系中，以原点为圆
O
x
心，以单位长为半径的圆。
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念形成】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
O
x
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念复习】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
直角三角形中 线段比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【概念初探】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
y
y
O
x
线段比--坐标比
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
概念形成
概念应用
概念拓展
课堂小结
类比
？
演示，观察 相应的坐标比值。
人教A版必修四第一章
《任意角的三角函数》
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
O r=1 P
x
〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰〰 〰〰 〰〰 〰〰〰
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究 概念形成 概念应用 概念拓展 课堂小结 y
情景《引三入角函数概》整念体复设习计 概念探究
【探究发现】
弧度制课件(共20张PPT)高一数学(人教A版2019必修第一册)
(2)求圆心角 所在的扇形的弧长 及弧所在的弓形的面积 .
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
【解析】（1）半径为6的圆 中，弦 的长为6，
所以三角形 为正三角形，
π
所以弦 所对圆心角 为 3 ，
（2）由弧长公式得： = =
扇形的面积
又 △ =
1
2
扇形
=
1
2
=
×6×6×
3
2
1
2
° =
= (
)° ≈ . °
新知2：扇形的弧长和面积公式：
例6.利用弧度制证明下列关于扇形的公式：
(1) = ；(2) =
1
2 ；(3)
2
=
1
.
2
其中是圆的半径，(0 < < 2)为圆心角，是扇形的弧长，是扇形的面积.
1
2
× 10 × 10
= 25 − 50 cm 2 ；
2 + = 6
=1
=2
（2）由已知得 1 = 2 ，解得
或
，
=
4
=
2
2
∴ = 4或 = 1
典型例题
题型二：扇形的弧长及面积公式的应用
【对点训练3】已知一扇形的中心角是120°，所在圆的半径是 10cm，求：
（1）扇形的弧长；
（4） 6
（3）
= −
2π
3
11π
9
19π
6
×
=
=
×
π
6
×
2π
；
3
×
180
π
180
π
180
π
180
人教版高二数学必修4电子课本课件【全册】
数学必修4电子课本课 件【全册】
1 .1 任意角和弧度制
人教版高二数学必修4电子课本课 件【全册】
1.2 任意角的三角函数
人教版高二数学必修4电子课本课 件【全册】
阅读与思考 三角学与天文学
人教版高二数学必修4电子课本课 件【全册】
人教版高二数学必修4电子课本 课件【全册】目录
0002页 0104页 0123页 0192页 0233页 0286页 0361页 0363页 0407页 0451页 0473页 0475页 0549页 0618页 0650页 0871页
第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ 信息技术应用 阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 小结 第二章 平面向量 阅读与思考 向量及向量符号的由来 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.5 平面向量应用举例 小结 第三章 三角恒等变换 信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表 小结 后记
1 .1 任意角和弧度制
人教版高二数学必修4电子课本课 件【全册】
1.2 任意角的三角函数
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阅读与思考 三角学与天文学
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第一章 三角函数 1.2 任意角的三角函数 1.3 三角函数的诱导公式 探究与发现 函数y=Asin（ωx+φ）及函数y=Acos（ωx+φ 信息技术应用 阅读与思考 振幅、周期、频率、相位 小结 第二章 平面向量 阅读与思考 向量及向量符号的由来 2.3 平面向量的基本定理及坐标表示 2.5 平面向量应用举例 小结 第三章 三角恒等变换 信息技术应用 利用信息技术制作三角函数表 小结 后记
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【分析】
角度制与弧度制之间的换算可以利用1°＝
π 180
弧度，1弧度＝
180
π
°≈57.3°来完成，对于某些特殊角也可以利
用180°＝π这个关系来实现换算．
【解】 112°30′＝2225×1π80＝58π. 36°＝36×1π80＝π5. －152π＝－152π×18π0°＝－75°. 3．5＝3.5×18π0°≈3.5×57.3°＝200.55°(或 200°33′)．
解析 (1)－300°＝－300×1π80＝－53π. (2)85π＝85×180°＝288°.
答案 (1)B (2)C
三 扇形面积、弧长公式的应用
【例 3】 如图，扇形 AOB 的面积是 4 cm2，它的周长是 10 cm，求扇形的中心角 α 的弧度数及弦 AB 的长．
【解】 设A︵B长为 lcm，扇形半径为 rcm，则由题意得
【错解】
图中以OB为终边的角240°＝240×
π 180
＝
4 3
π，
而135°＝34π，所以图中终边在阴影部分的角的集合为
α|43π＋2kπ≤α≤34π＋2kπ，k∈Z.
【错因分析】 错解中的角的集合实际上是一个空集．当 出现跨越x轴的非负半轴的区域时，需把第一个角写成负角， 使不等式成立．
【正解】 图中以OB为终边的240°角与－120°角的终边重 合，－120°＝－120×1π80＝－23π，而135°＝135×18π0＝34π，阴 影部分位于－23π与34π之间，且跨越x轴的非负半轴，
2．角度与弧度的换算公式
3．角与实数的对应 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与实数集R之间 建立起________的关系：每一个角都有________的一个实数 (即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯 一的一个角(即弧度数等于这个实数的角)与它对应．
自
1 1.(1)360
l＋2r＝10， 12l·r＝4，
解得rl＝＝24，，
或rl＝＝81， (不合题意，舍去)． ∴α＝24＝12(弧度)． ∴弦 AB＝2×4sin14＝8sin14(cm)．
规律技巧 1灵活运用扇形弧长公式，面积公式列方程 组求解是解决此类问题的关键.
2一般地说，在几何图形中研究角时其范围是[0，2π.
所以终边在阴影部分的角的集合为 α|－23π＋2kπ≤α≤34π＋2kπ，k∈Z.
达标测试 1.当α＝5 rad，则角α的终边所在的象限为( ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
答案 D
2．－300°化为弧度是( )
A．－43π
B．－53π
C．－74π
D．－76π
解析 ∵1°＝1π80rad，∴－300°＝－53πrad.
(2)半径长
圆心角
弧度制
弧度
我
(3)正数
负数
0
l r
校
π 180
对
2.π
180
π
°
3.一一对应 唯一
思考探究1 弧度制的角的大小是否与它所在的圆的半径
有关？
提示 根据1弧度角的定义，圆周长是2π个半径，所以圆
周角是2π弧度，所以1弧度角就是
1 2π
圆周角，与圆的大小即半
径无关．
思考探究2 角α＝6这种表达方式正确吗？
(2)弧度制 把长度等于________的弧所对的________叫做1弧度的 角．以弧度作为单位来度量角的单位制，叫做________，它的 单位符号是rad，读作________，通常略去不写．
(3)角的弧度数的求法 正角的弧度数是一个________，负角的弧度数是一个 ________，零角的弧度数是________．如果半径为r的圆的圆 心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值|α|＝ ________.
π
7π 6
4π 3
3π 2
5π 3
11π 6
2π
2.扇形面积与弧长公式 在弧度制下，弧长公式和扇形的面积公式分别为： l＝|α|r，S＝12lr＝12|α|r2. (1)由上述公式可知，由α，r，l，S中的两个量可以求出另 外两个量． (2)运用弧度制下的弧长公式明显比角度制下的公式简单 的多，但要注意它的前提是α为弧度数．
答案 B
3．若角α与β的终边互相垂直，则α与β的关系是( )
A．β＝α＋π2
B．β＝α±π2
C．β＝α＋2kπ＋π2(k∈Z) D．β＝2kπ＋α±2π(k∈Z)
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误区警示 用弧度制表示角时“弧度”二字可以省略不 写，而用角度制表示角时要特别注意单位“°”不能丢，因为 1°与1是完全不同的两个角.
变式训练 2 (1)－300°化为弧度是( )
A．－43π
B．－53π
C．－74π
D．－76π
(2)85π化为度数是( )
A．278°
B．280°
C．288°
D．318°
【解析】 “度”与“弧度”是度量角的两种不同单位，
A正确；∵1°＝
336600°，1＝
∴C正确；弧度制角只与弧长与半径的比值有
关，与圆半径无关，因此D错误．
【答案】 D
规律技巧 由弧度制的定义可知：一定大小的圆心角α所 对应的弧长与半径的比值是唯一确定的，牢记1 rad的定义及弧 度数的意义是解决本题的关键.
提示 正确．角α＝6表示6弧度的角，这里将“弧度”省
去了.
名师点拨 1.角度制与弧度制 (1)弧度制的建立，使一个角的弧度数就是一个实数，这 样实数的集合与角的集合建立了一一对应关系． (2)角度制与弧度制的一个重要区别是角度制是60进位 制，弧度制是10进位制．
(3)角度制与弧度制不能混用．比如“
第一章 三角函数
§1.1 任意角和弧度制
1．1.2 弧度制
课前预习目标
课堂互动探究
课前预习目标
梳理知识 夯实基础
学习目标 1.理解并掌握弧度制的定义． 2．掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式． 3．熟练地进行角度制与弧度制的换算． 4．了解角的集合与实数集之间建立的一一对应关系.
课前热身 1.角的单位制 (1)角度制 规定周角的________为1度的角，用度作为单位来度量角 的单位制叫做角度制．
π 6
＋k·360°”或“60°
＋2kπ”的写法是不允许的，尤其是当角用字母表示时更要注
意，如角α是在弧度制下，就不能写成“k·360°＋α”等．
(4)用“度”作为单位度量角时，“度”或“°”不能省
略；用“弧度”作为单位度量角时，“弧度”两字可以省
略．如sin3是指sin(3 rad)，这时的弧度数“3”在形式上是一个不
(3)比值
l r
只反映了弧所对圆心角的大小，不反映圆心角的
方向，应注意|α|＝rl中的绝对值符号，否则会漏解．
课堂互动探究
剖析归纳 触类旁通
典例剖析 一 角度与弧度概念的理解
【例1】 下列各种说法中，错误的是( ) A．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B．1°的角是周角的3160，1 rad的角是周角的21π C．根据弧度的定义，180°的角一定等于π rad的角 D．不论是用角度制还是用弧度制度量角，它们都与圆的 半径长短有关
变式训练3
如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6， 求弓形ACB的面积．
解 S扇形AOB＝12×112800π×62＝12π， S△AOB＝12×62×sin120°＝9 3， ∴S弓形ACB＝S扇形AOB－S△AOB＝12π－9 3.
易错探究 【例4】 用弧度表示顶点在原点，始边与x轴非负半轴重 合，终边在图中阴影部分的角的集合．
变式训练1 下列说法正确的是( ) A．1弧度就是一度的圆心角所对的弧 B．一弧度是长度为半径的弧 C．1弧度是一度的弧与一度的角之和 D．一弧度是长度等于半径的弧所对的圆心角
解析 由1弧度的定义可知D正确．
答案 D
二 角度与弧度的互化
【例2】 把下列各角用另一种度量制表示出来：
112°30′；36°；－152π；3.5.
名数，应理解为名数．常常把弧度数写成“多少π”的形式，
如无特别要求，不必把π写成小数的形式．
(5)一些需要记住的特殊角的弧度数
度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150°
弧度 0
π 6
π 4
π 3
π 2
2π 5π 36
180° 210° 240° 270° 300° 330° 360°