极坐标方程

• 标方程是(1-e2)x2+y2-2pe2x-e2p2=0
•
x2 + — = 1的左焦点为极点，长轴 y2 • (2) 以椭圆 — 25 16 • 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的
• 长度单位相同，求椭的极坐标方程。 • 分析：根据已知条件，可设所求的椭圆的 ep • 极 坐标方程为 = ———，由椭圆的直角坐标 1-ecos 3 • 方程求得 a=5，b=4，c=3，e= —， 5 3/5 • 16/3 25 = —，代入上式 = ————= 16 • p= -3+ — 3 3 1-3/5•cos 16 • ———— 5-3cos
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例 6 通过抛物线y2=8x的焦点F，作一条倾斜 角为/4的直线，交抛物线于A、B两点，求 焦点弦|AB|的值。 A y 分析：可用以往学过 1 的方法求焦点弦的长。 也可建立极坐标系解决。 o F x 2 B 点F为极点，x轴正半轴 为极轴，它的极坐标方程为
4 4 4 • = ———，1= ————，2= ———— 1-cos 1-cos5/4 1-cos/4 • |AB|= 1 + 2=…=16
• 是什么，化为直角坐标方程后知道它表示的 • 是三条直线：y=0或x=1或x=-1
ep • P54 例 4 化圆锥曲线的极坐标方程= ——— 1-ecos • 为直角坐标方程。
•
解：把原极坐标方程化为 -ecos=ep
• =e cos +p)， = x2+y2 ， x = cos • x2+y2=e(x+p)，两边平方得 • x2+y2=e2(x2+2px+p2)，整理，所求的直角坐
• • o
a
• P(，) x
=asec =asec(- )= -asec =acsc
• P(，)
a
• o
x
P(，) •
a
• o
o
x x P(，) •
a
•
=asec(-3/2)=-acsc
•
P(，)• r o•
•c(0，0)
x
余弦定理 r2= 2+02- 2 0cos(-0)
• 例 5 化=-4sin+cos 为直角坐标方程 • 解题注意整体替代。 • 把原极坐标方程两边同乘 • 2 =-4 sin + cos ， 2 =x2+y2 ， • cos = x， sin = y，它的直角坐标方程 17 1 • 是x2+y2=-4y+x (x- —)2+(y+2)2= —— 2 4 y • 在直角坐标系xoy中 1 • 方程表示的是以(—，-2)为 2 14 • 圆心 ，——为半径的圆。 2
o • x
• 把极坐标方程2sin2 =2tg化为直角坐标方程 • 解：把原方程化为sin • cos = tg y • x= cos ，y= sin ，— = tg x • 它的直角坐标方程是 y • xy= — y(x2-1)=0 y (x-1) (x+1)= 0 x • 从极坐标方程直接看不出方程表示的曲线
• P(，)
o•
a
•
x
正弦定理 a ———— = ———— sin(-) sin(-) asin = ———— sin(-)
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P47 三种圆锥曲线的统一的极坐标方程 动点M到定点(焦点)F与到定直线(准线)L的 距离的比为e，求点M的极坐标方程。 分析：以焦点F为极点， H M(，) 如图建立极坐标系。F到L K F 的离|FK|=p，M，为轨 x 轨上的任一点。 |MF| • 把条件 —— = e，用极坐标表示————=e |MH| P+cos ep • 解出 = ———— 1-ecos
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P52 5•3 极坐标和直角坐标的互化 以直角坐标系xoy的 y M 原点为极点，x轴的正方 向为极轴，点M的直角 坐标为(x，y)，它的极 o x 坐标为(，，根据三角 函数定义，同一点M的两种坐标有下面关系 x= cos ， y=sin ， y 2=x2+y2 ，tg = — (x=0) • x
•
o•
• P(，)
• c(a，0) x
=2acos =2acos( -)= -2acos
c(a，) • •o x • P(，) • P(，) • c(a，/2)
=2asin
o• • o
x x
• c(a，-/2) • P(，)
=2acos( -3/2)= -2asin
曲线的极坐标方程
• 5•2 曲线的极坐标方程 • 在极坐标系中，用，=0表示曲线的方 • 程。 • 一些基本曲线的方程： • =r =0 (0) =0 (R)
P
• o r • 0 o x • P(，2/3 x o x o 0 x
P(2， •
=2
o
2 =— 3
•
一般，根据M所在象限 ，取最小的正角。
• 公式的应用 • 例 把点M的极坐标(-5，—)化成直角坐标 6 • 直接代入公式计算 y • x=cos= -5cos/6 =(-5/2)3 ) o x • y=sin = -5sin/6= - 5/2
M
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•来自百度文库• •
5 53 点M的直角坐标是(- ——，- —) 2 2 例 把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
• •
上述方程统一表示椭圆、双曲线、抛物线 当0<e<1时，方程表示 椭圆，F是左焦点，L 是左准线。
F
L
x
F L
x
当1<e时，方程表示双 曲线，F是右焦点，L 是右准线。
当e=1时，方程表示抛 物线，F是焦点，L是 准线，开口向右。
L
F
x
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圆锥曲线极坐标方程的应用 例 5 (1) 以抛物线y2=5x的焦点为极点，对称轴 向右的方向为极轴的正方向，且x轴与极轴的 长度单位相同，求抛物线的极坐标方程。 分析：设所求的抛物线的极坐标方程为 ep • = ———— ，基中e=1，p是焦点到准线的 1-ecos 5 • 距离，p= —，代入上式得所求的抛物线 2 5 1• — 2 5 • = ———— = ———— 1- cos 2- 2cos
极径取正值 =…=2
y o x
3 7 极角 ： tg = —，= ——… 3 6
M
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同一条曲线在两个不同坐标系中方程的互化 P54 例 3 化圆的直角坐标方程x2+y2-2ax=0为 极坐标方程。 解题时，应用公式，注意整体替代。把 x2+y2=2，x=cos代入直角坐标方程得 2-2acos = 0(-2acos)=0 所示的极坐标方程是=0或-2acos =0 =0 是极点， =2acos 表示以(a，0)为圆心，a为 o • (a，0) • x 半径，且过极点的圆，所以 =0不必写出来。