5.《因式分解》课例分析

第五节 《因式分解》课例分析

该节主要讨论问题：

1. 如何设计概念的注意要点？

2. 如何划分题组层次？

《因式分解》是人教版教材八年级上册第十五章第四节的第一课时。前一节主要学了整式乘法、乘法公式等内容。该节有两个知识点：1、因式分解概念，2、提公因式法。课程标准对该节的教学要求是：能用提公因式法进行因式分解。以下描述的两节课，均由一位熟手女教师郑老师执教。郑老师在一所省会城市普通中学任教，教学业绩在年级名列前茅。郑老师曾在一所省城著名私立初中校任教多年。第一次课由郑老师自己备课，上课。上课后与研究者简要讨论后，简单修改教学设计，第二天在另一个班继续上课。

以下是第一次课的描述。第一次课分为四个环节。分别是复习、讲授因式分解概念、讲授提公因式法、练习。在复习环节，郑老师引导学生复习了乘法公式（平方差公式和完全平方公式）、添括号和约分。约分以221==6233

⨯ 为例，郑老师强调，对分数进行约分必须对分子或者分母写成的乘积的形式，然后进行约分。

在讲授因式分解概念环节，郑老师分成了两项学习活动。首先是讲授因式分解概念。郑老师这样讲：“初中我们已经学习了多项式，同样我们要把多项式写成一种乘积的形式，为我们下一个章节做准备。举个例子：22211(1)(1)x x x x -=-=+-，这是我们之前学过的平方差公式，21x -可以写成(1)x +与(1)x -)的乘积。像这样子，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。21(1)(1)x x x -=+-左边到右边的这种变形叫做因式分解，从右边到左边的变形叫做是整式乘法。”第二项学习活动是概念辨析，郑老师出了四个辨析题，题目如下：判断下列各式从左到右是否为因式分解？

（1）()()2

314312153x x x x -+=+- （2）111a a a ⎛⎫ ⎪⎝++

⎭= （3）()24161441x x x x +-=++

（4）111()333

ax bx x a b +=+ 通过与学生讨论这四道题，郑老师强调了因式分解概念的三个注意要点：左边是多项式、右边是乘积的形式、整式的乘积。节录1展示了师生的探索对话。

节录1

师：第一个是不是？

生1：不是。

师：为什么不是？

生1：写反过来了。

师：那这样写是我们之前学过的什么？

生1：整式乘法。

师：那如果我要把它写成因式分解必须写成什么形式？积的形式。这就是概念当中告诉我们第一点要注意的，要写成积的形式。

师：那第二个是不是写成积的形式？

生2：是。

师：那第二个是不是因式分解？

生2：不是。

师：为什么不是？

生2：(答不上来)。

师：我们看概念怎么说：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解。那现在已经满足了什么？

生：积的形式。 师将1a

重点画一个圈。 生2：字母不能为分母。

师：因为概念中它强调是怎么样的积？

生2：整式的积。

师：所以在分解的时候要注意了，能不能出现像1a

这样的？因为整式当中分母不能有字母。第三个呢？

生3：不是。

师：为什么不是？

生3：不能够加1。

师：因为积的形式是一个多项式乘以另一个多项式，这里它多了一个加1了，所以第3个不是因式分解。第四个是不是？

生4：是。

师：因式分解是从左到右的变形，从右到左就是我们前面所学的整式乘法。如果你没那么快确定的时候，我们可以从右递推过来看看是不是成立。所以最后一个是不是因式分解？ 生4：是。

师：因此，我们在判断哪些是因式分解，或者自己在做因式分解的时候，要注意了最后的结果必须注意哪几个地方？（1）积的形式。（2）必须要是整式。

在讲授提公因式法环节，郑老师引导学生思考如何把()pa pb pc ++写成整式的乘积形式。学生认为根据乘法分配律，可以把p 拿出来，写成()p a b c ++。郑老师进一步总结道：“我们把p 拿出来，是因为pa 、pb 、pc 都有一个共同的p ，也就是说这三个单项式中有一个共同的因式p 。那我们把这个共同的因式给它个名称叫做公因式。就像你们小学学的公因数。现在我们把这个数扩展起来变成一个公因式，变成一个式子。我们把多项式各项都含有相同的因式，这个因式叫做公因式。我们看到()pa pb pc ++这样的多项式中，发现每个式子当中都含有1个公因式，我们在做题的时候就可以把这个公因式提出来，我们把这样的一个方法叫做提取公因式。”

第四环节是练习提公因式法。郑老师安排了三个学习活动。首先是题组一。题组一有六

道题，分别是两道指导性练习和四道独立练习。两道指导性练习题是分解因式：（1）

236m mx +，

（2）323812a b ab c +。在师生共同探索完（1）的解法后，郑老师板书了：公因式由数字与字母构成，系数部分：各项系数的最大公约数；字母部分：相同字母，字母指数取次数最低项的指数。四道独立练习题目如下。分解因式：

（1）ax ay +，（2）36mx my -，（3）282m n mn +，（4）22

129xyz x y -。 第（1）、（2）题学生都作对。第（3）题有学生做错。郑老师投影了学生的解答：原式2242)224(m n m n n m m =+⋅=+⋅，更正了答案：原式24()21241mn m mn mn m =⋅+⋅=+强调了这道题的两个易错点：找到正确的公因式；2mn 实际上是21mn ⋅。第（4）题学生没有做出来。郑老师再次强调找公因式的步骤。

题组二只有一题，分解因式：3

62a a --。节录2展示了学生的思路与郑教师复习添括号的用意。

节录2

师：“-”不仅是一个运算符号，还可以是一个性质符号。这里怎么看？

生5：看成3(62)a a -+-

师：那告诉我为什么？

生5：公因式是2a -

师：他把负号拿出来了，公因式可以是负的吗？

生5：可以。

师：然后怎么做？

生5：原式22()2321()231a a a a a =-⋅+-=-+⋅

师：如果有的同学只找到2a ，可以吗？

生5：可以

师：那怎么做？

生5：原式()222312( )1(3)2a a a a a =-+-=--⋅ 师：这样做也是可以的。

题组三有一道指导性练习，两道独立练习。指导性练习是分解因式()()23a b c b c +-+，郑老师在学生正确回答的基础上强调：“公因式可以是单项式也可以是多项式”。独立练习是分解因式：（1）()()2222p a b q a b +-+，

（2）()()23a y z b z y ---。第（1）题学生基本做对，第（2）题有学生出错，郑老师投影了学生的解答：原式()()()2323()a y z b z y y z a b =-+--=-+-，做了纠正。

第一次课描述结束。以下是讨论问题：

1. 郑老师讲授的因式分解概念辨析，考虑到了左边是多项式、右边是乘积的形式、

整式的乘积这三个特征。沿着这个思路，请你概括一下设计概念注意要点辨析题的方法。按照你概括的方法，郑老师还缺少了一类什么样的题目？