华中师范大学,2014量子力学-A卷-参考答案

1. 简述玻尔的量子论，并对它进行简单的评价。
答：为了解释原子稳定性的问题和光谱的线状谱，玻尔的工作：（a）首先假设了不连续的定态，处 于定态的电子不辐射。定态由量子化条件决定。(b) 还引进了量子跃迁的概念。这一模型解决了上 述两个困难，其定态的概念依然保留在近代量子论中，为人们认识微观世界和建立量子理论打下 了基础。其缺点是，量子化条件是输入，而不是输出；保留了经典的概念，如轨道，没有成为一 个完整的量子理论体系。
②
对上式取共轭，得
fn
F
fn
*=
f
* n
③
利用厄米算符的定义 fn F fn * = fn F † fn = fn F fn ，得出②式与③式相等，即
f
* n
=
fn
（2）厄米算符的本征值方程记为 F i = fi i 或 F j = f j j ，用 j 左乘前式，用 i 左乘后式，得
j F i = j fi i = fi j i
2. 已知在 Lˆ2 和 Lˆz 的共同表象中，算符 Lˆx 和 Lˆy 的矩阵表示分别为
⎛0 1 0⎞
⎛0 −i 0 ⎞
Lx =
2
⎜⎜⎜⎝10
0 1
1
⎟ ⎟
，Ly
0 ⎟⎠
=
2
⎜ ⎜⎜⎝
i 0
0 i
−
i
⎟ ⎟
，求它们的本征值和归一化的本征函数，并将矩阵
Lx
0 ⎟⎠
和 Ly 对角化，写出使矩阵对角化的么正变换矩阵 U。（12 分）
α
−
e
1α 2 x2 2
，其中α
=
μω ，求粒子出
π
现在经典禁区的概率。（10 分）
∫ ∫ +∞
（积分公式： e−x2 dx =
π,
1
e−x2 dx = 0.75 ）
0
20
解：谐振子的能量表达式 E = T + 1 μω2 x2 ，因经典粒子的动能必小于等于总能量，其转折点（动能 2
为零的点）满足 E = 0 + 1 μω2 A2 ，得 x = ± 2E 。
华中师范大学 2014 –2015 学年第一学期 期末考试试卷（A）
课程名称 量子力学 课程编号 83810113 任课教师
题型 填空题 判断题 证明题 简答题 计算题 总分
分值 20
10
16
20
34
100
得分
学号：
学生姓名：
年级：
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一、填空题：（共 10 题，每题 2 分，共 20 分）
体现。
4. 跃迁的选择定则及其理论依据。
答：光照射原子时，即使入射光中与玻尔频率对应的能量密度不为零，跃迁也不一定发生。
还要求两能级的量子数满足Δl = l '− l = ±1, Δm = m '− m = 0, ±1，这称为选择定则。其理
论依据是，在电偶极近似下跃迁概率 wn→m ∝ rmn 2 ρ ( ωmn ) 。当 ρ ( ωmn ) ≠ 0 时，若 rmn 2 = 0 ，导致跃迁概率为零，跃迁是禁戒的。允许的跃迁要满足 rmn 2 ≠ 0 ，就得到选择
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
−∞
α e−α 2x2 dx π
+
+
+
μω
μω
μω
∫ ∫ ∫ +∞
=2
+1
1 π
e−ξ2 dξ
⎛ +∞ = 2⎜
⎝0
1
1
e−ξ2 dξ −
π
0
1 π
e−ξ 2 dξ
⎞ ⎟ ⎠
=
2 ⎜⎝⎛
1 2
−
0.75 ⎞ π ⎟⎠
= 0.154
在经典禁区，粒子出现的概率不为零，对于基态，在经典禁区出现的概率为 15.4%。
2. 处于定态的体系具有哪些性质。
答：（a）定态是能量有确定值的状态；（b）处于定态的系统，几率分布与时间无关，几率流密度 与时间无关；（c）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化。总之，定态是一种力学性 质稳定的状态。
3. 隧道效应。
答：微观粒子能穿越比它的能量高的势垒的现象，称为隧道效应。它是微观粒子波动性的
④
i F j = i fj j = fj i j
⑤
④式取共轭得
i F j = fi i j
⑥
⑤式与⑥式相减，左边为零，得
( fi − f j ) i j = 0
而( fi − f j ) ≠ 0 ，则 i j = 0 ，证毕。
2. 证明处于 1s，2p 和 3d 态的氢原子，分别在r = a0 ，4a0 和9a0 的球壳内发现电子的概率
2
μω 2
对于基态， E = 1 2
ω ，转折点 x = ±
⎛ μω ，经典禁区为⎜⎜⎝ −∞, −
μω
⎞ ⎟⎟⎠
和⎜⎜⎝⎛
+
⎞ μω , +∞ ⎟⎟⎠ 。
量子谐振子出现在经典禁区的概率为
−
∫ ∫ ∫ ∫ μω
+∞
+∞
+∞
ψ 0 (x) 2 dx + ψ 0 (x) 2 dx = 2 ψ 0 (x) 2 dx = 2
1. 用狄拉克符号证明：
（1） 厄米算符的本征值是实数；
（2） 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非简并情形）。（8 分）
证明：（1）设 F † = F ，其本征值方程为
F fn = fn fn
①
用本征矢的共轭矢量 fn 左乘上式，得到
fn F fn = fn fn fn = fn fn fn = fn
最大。（提示：氢原子波函数ψ nlm (r,θ ,ϕ) =
Rnl (r)Ylm (θ ,ϕ)
，其中 R10 (r) =
2 a3/2
0
−
e
r a0
，
R21 (r )
=
1 (2a0 )3/2
r a0
3
−
e
r 2 a0
， R32 (r)
=
⎛ ⎜ ⎝
2 a0
⎞3/2 ⎟ ⎠
1 81 15
⎛ r ⎞2
⎜ ⎝
a0
1. 若某种光的波长为λ ，则其光子的能量为 hc / λ ，动量大小为 h / λ 。
2. 戴维逊—革末实验主要表现出电子具有 波动性
。
3. 若ψ ( x, t ) 是归一化的波函数，则ψ ( x,t ) 2 dx 表示 t时刻x附近dx体积元内发现粒子的概率 。
4. 设力学量算符 Fˆ 与Gˆ 不对易，且其对易子为 ⎣⎡Fˆ ,Gˆ ⎦⎤ = ikˆ ，则它们的不确定性关系为
k ΔFΔG ≥
。
2
5. 厄米算符在自身表象是 对角 矩阵。
6. 从量子力学的观点看，氢原子中核外电子的运动不再是圆轨道上的运动，而是电子云
的图像，电子云是 电子电荷在核外的概率分布
。
7.
设氢原子处于态ψ
( r,θ ,ϕ )
=
2 3
R21(r)Y10 (θ ,ϕ)
−
5 3
R21 (r )Y1−1 (θ
Fmn 2 δ
E(0) m
−
E(0) n
±
ω
。式中
δ 函数的物理意义是 跃迁过程能量守恒 。
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二、判断题：（共 10 题，每题 1 分，共 10 分）
1. 光电效应证实了光的粒子性，康普顿效应进一步证实了光的粒子性。 （ √ ）
2. 若 ψ1,ψ 2, ,ψ n , 是 体 系 的 一 系 列 可 能 的 状 态 ， 则 这 些 态 的 线 性 叠 加 ψ = C1ψ1 + C2ψ 2 + + Cnψ n + （其中C1, C2 , , Cn , 为复常数）也是体系的一个可
定则。
5. 分波法的基本思想。
答：对于中心力场，角动量是守恒量。应用角动量守恒，把受势场作用前后的定态按分波
展开，各分波在散射过程中可以分开来一个一个处理，势场对各分波的效应在于改变分波
的相位。
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五、计算题：（共 3 题，共 34 分）
1. 质量为 μ 的一维谐振子的基态波函数为ψ 0 (x) =
⎟ ⎠
−r
e 3a0 。（8 分）
证明：r ∼ r + dr 球壳内发现电子的概率（利用球函数的归一性，径向波函数是实函数）

2π π
∫ ∫ wnl (r)dr = dϕ dθ ψ nlm (r,θ ,ϕ) 2 r2 sinθ dr
0
0
2π π
∫ ∫ = Rnl (r) 2 r2dr dϕ Ylm (θ ,ϕ) 2 sinθ dθ
一定具有确定的宇称。
（√）
8. 费米子体系的哈密顿算符 Hˆ 必须是交换反对称的，玻色子体系的哈密顿算符 Hˆ 必须是
交换对称的。
（×）
9. 全同粒子体系的波函数具有一定的对称性，是来自于全同粒子的不可区分性。（√ ）
10. 自由粒子所处的状态只能是平面波。
（×）
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,ϕ)
，求氢原子的角动量
z 分量的平均值 −5 / 9 。
8. 证明电子具有自旋的实验是 钠黄线的精细结构 / 复杂塞曼效应 / 斯特恩-盖拉赫实
验。
专业：
院（系）：
9.
两个角动量，角量子数分别为 j1 = 1,
j2
=
1 2
，它们耦合的总角动量的角量子数 J
=
3/2 或 1/2 。
( ) 10. 周期性微扰下，当t → ∞ 时，跃迁概率为 wn→m = 2π
三、证明题：（共 2 题，每题 8 分，共 16 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
⎜ ⎜ ⎜
⎝
2 1
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
，
1 2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
0 −
2
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
，
1 2
⎜ ⎜ ⎜ ⎝
− 1
2
⎟ ⎟ ⎟ ⎠
。
⎛ 0 − i 0 ⎞ ⎛ b1 ⎞ ⎛ b1 ⎞
同理，Lˆy 的本征值方程为
2
⎜ ⎜⎜⎝
i 0
0 i
−
i
⎟ ⎟
⎜ ⎜
b2
⎟ ⎟
=
λ
⎜ ⎜
b2
⎟ ⎟
，久期方程的解为λ
=
0 ⎟⎠ ⎜⎝ b3 ⎟⎠ ⎜⎝ b3 ⎟⎠
0
0
= Rnl2 (r)r 2dr
得 1s 态，2p 态和 3d 态的径向概率密度为
w10 (r)
=
R102 (r)r 2
=
4r 2 a03
e−2r /a0
w21 (r )
=
R212 (r)r 2
=
r4 24a05
e−
r / a0
w32 (r)
=
R322 (r)r 2
=
8r 6 812 ×15a07
1 a0
⎞ )⎟ ⎠
=
0
得r = 4a0 ；
∂w32 (r) ∂r
=
812
8 ×15a07
⎛ ⎜
6r
5e−2
r
/
3a0
⎝
+
r 6e−2r /3a0 (−
2 3a0
⎞ )⎟ ⎠
=
0
得r = 9a0 。证毕。
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四、简答题：（共 5 题，每题 4 分，共 20 分）
------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
e−
2r /3a0
概率密度 wnl (r) 的极值由一阶偏导数为零得出，即
∂w10 (r) ∂r
=
4 a03
⎛ ⎜
2re
−2
r
/
a0
⎝
+
r 2e−2r /a0 (−
2 a0
⎞ )⎟ ⎠
=
0
得r = a0 ；
∂w21 (r ) ∂r
=
1 24a05
⎛ ⎜
4r
3e−
r
/
a0
⎝
+
r e4 −r /a0
(−
解：Lˆx 的本征值方程为
2
⎛0 ⎜⎜⎜⎝10
1 0 1
0 1
⎞ ⎟ ⎟
⎛ ⎜ ⎜
a1 a2
0 ⎟⎠ ⎜⎝ a3
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
=
λ
⎛ ⎜ ⎜
a1 a2
⎞ ⎟ ⎟
，久期方程的解为
λ
⎜⎝ a3 ⎟⎠
=
, 0, −
。将λ =
, 0, −
⎛ 1⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ 1 ⎞
分别带入本征值方程，得归一化本征矢
1 2
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------------------------------------------------- 密 ---------------------------------- 封 ----------------------------- 线 ---------------------------------------------------------
能状态。
（√）
3. 不同定态的线性叠加还是定态。
（×）
4. 因为坐标与动量算符均是厄米算符，所以它们的乘积一定是厄米算符。 （ × ）
5. 若两个力学量算符不对易，则它们一般没有共同本征态。
（√）
6. 粒子在中心力场中运动，若角动量 Lz 是守恒量，那么 Lx 就不是守恒量。 （ × ） 7. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U (−x) = U (x) ，则粒子的束缚态波函数