二中2012-2013学年上学期高二年级期中考试数学试卷(理科)

重庆市万州二中2012-2013学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）满分150分，考试时间120分钟 第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1． 空间任意四个点A 、B 、C 、D ，则BA CB CD +-等于A ．DAB ．ADC ．DBD ．AC2．正棱锥的高和底面边长都缩小为原来的12，则它的体积是原来的 A ．14B ．18 C ． 116 D ． 1323．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是 A ． 25π B ． 50π C ． 125π D ． 都不对4．平面α的一个法向量n ＝(1，－1,0)，则y 轴与平面α所成的角的大小为A ．π6B ．π4C ．π3D ．3π45．设m 、n 是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①⎭⎪⎬⎪⎫α∥βα∥γ⇒β∥γ ②⎭⎪⎬⎪⎫α ⊥βm ∥α⇒m ⊥β ③⎭⎪⎬⎪⎫m ⊥αm ∥β⇒α⊥β ④⎭⎪⎬⎪⎫m ∥n n ⊂α⇒m ∥α 其中，正确的是 A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6．某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中最大的是A ． 6 2B ．8C ．10D ．8 27．若已知△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形，则原△ABC 的面积为A ．32a 2 B ．34a 2 C ．62a 2 D ．6a 2 8．已知一个直平行六面体的底面是面积等于Q 的菱形，两个对角面面积分别是M 和N ，则这个平行六面体的体积是A ．12B ．C ．D ．129．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球 与正三棱锥所得的图形，如图所示，则A ． 以上四个图形都是正确的B ． 只有(2)(4)是正确的C ． 只有(4)是错误的D ． 只有(1)(2)是正确的10．如图所示，已知在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π2，AO ＝2，BO ＝6，D 为A 1B 1的中点，且异面直线OD 与A 1B 垂直，则三棱柱ABO －A 1B 1O 1的高是A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷(非选择题 共100分)二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．两条不重合的直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2，0,2)，则l 1与l 2的位置关系是12．已知正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦等于13．已知正三棱锥P -ABC ，点P ，A ，B ，C P A ，PB ，PC 两两互相垂直，则球心到截面ABC 的距离为14．设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1和a ，且长为a 面，则a 的取值范围是15．下列四个正方体图形中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，P 分别为其所在棱的中点，能得出AB ∥平面MNP 的所有图形的序号是三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．（13分）如 图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ；（2）直线1//A F 平面ADE ．17．（13分）如图，在棱长均为4的三棱柱ABC-A1B1C1中，D、D1分别是BC和B1C1的中点，(1)求证：A1D1∥平面AB1D；(2)若平面ABC⊥平面BCC1B1，∠B1BC=60°,求三棱锥B1-ABC的体积.18．（13分）如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD ＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PD＝2，M为PD的中点．(1)证明PB∥平面ACM；(2)证明AD⊥平面P AC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．19．（12分）如图，在多面体ABCDE 中，⊥AE 面ABC ，AE DB //，且1====AE BC AB AC ，,2=BD F 为CD 中点。

(1）求证：⊥EF 平面BCD ；（2）求平面ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值20．（12分）如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12,1AA AB ==，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角1A DN M --的大小为θ。

（1）当090θ=时，求AM 的长；（2）当cos θ=时，求CM 的长21．（12分）如图，直三棱柱///ABC A B C -，90BAC ∠= ，/,AB AC AA λ==点M ，N 分别为/A B 和//B C 的中点。

（1）证明：MN ∥平面//A ACC ;（2）若二面角/A MN C --为直二面角，求λ的值。

重庆市万州二中2012-2013学年上学期高二年级期中考试数学试卷（理科）参考答案一、选择题：1-5 ABBBC 6-10 CCDCB二、填空题：11、平行 12、64 13、314、 15、①④三、解答题：16、（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。

又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥。

又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E = ，，∴AD ⊥平面11BCC B 。

又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。

（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。

又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。

又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C = ，∴1A F ⊥平面111A B C 。

由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。

又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 17、(1)如图，连结DD 1.在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，因为D,D 1分别是BC 与B 1C 1的中点， 所以B 1D 1∥BD ，且B 1D 1=BD,所以四边形B 1BDD 1为平行四边形，所以BB 1∥DD 1,且BB 1=DD 1. 又因为AA 1∥BB 1,AA 1=BB 1,所以AA 1∥DD 1，AA 1=DD 1,所以四边形AA 1D 1D 为平行四边形，所以A 1D 1∥AD. 又A 1D 1⊄平面AB 1D,AD ⊂平面AB 1D, 故A 1D 1∥平面AB 1D.(2)方法一：在△ABC 中，因为AB=AC ，D 为BC 的中点，所以AD ⊥BC. 因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB ，交线为BC ，AD ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面B 1C 1CB ，即AD 是三棱锥A-B 1BC 的高.在△ABC 中，由AB=AC=BC=4得AD=在△B 1BC 中，B 1B=BC=4,∠B 1BC=60°,所以△B 1BC 的面积12B BC S 44== 所以三棱锥B 1-ABC 的体积，即三棱锥A-B 1BC 的体积,1B BC 11V S AD 833=⨯=⨯= .方法二：在△B 1BC 中，因为B 1B=BC,∠B 1BC=60°, 所以△B 1BC 为正三角形，因此B 1D ⊥BC.因为平面ABC ⊥平面B 1C 1CB,交线为BC ，B 1D ⊂平面B 1C 1CB, 所以B 1D ⊥平面ABC ，即B 1D 是三棱锥B 1-ABC 的高.在△ABC 中，由AB=AC=BC=4，得△ABC 的面积2ABC S 4== . 在△B 1BC 中,因为B 1B=BC=4，∠B 1BC=60°，所以B 1D=所以三棱锥B 1-ABC 的体积ABC 111V S B D 833=⨯=⨯= .18、(1)连接BD ，MO ，在平行四边形ABCD 中，因为O 为AC 的中点，所以O 为BD 的中点，又M 为PD 的中点，所以PB ∥MO .因为PB ⊄平面ACM ，MO ⊂平面ACM ， 所以PB ∥平面ACM .(2)因为∠ADC ＝45°，且AD ＝AC ＝1，所以∠DAC ＝90°，即AD ⊥AC ，又PO ⊥平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ，所以PO ⊥AD ，而AC ∩PO ＝O ，所以AD ⊥平面P AC .(3)取DO 中点N ，连接MN 、AN ，因为M 为PD 的中点，所以MN ∥PO ，且MN ＝12PO ＝1.由PO ⊥平面ABCD ，得MN ⊥平面ABCD ， 所以∠MAN 是直线AM 与平面ABCD 所成的角． 在Rt △DAO 中，AD ＝1，AO ＝12，所以DO ＝52，从而AN ＝12DO ＝54， 在Rt △ANM 中，tan ∠MAN ＝MN AN ＝154＝455，即直线AM 与平面ABCD 所成角的正切值为45519、（1）找BC 中点G 点，连接AG ，FG∴F ，G 分别为DC ，BC 中点∴FG EA DB ////21== ∴四边形EFGA 为平行四边形 ∴AG EF //∵AE AE BD ABC //,平面⊥ ∴ABC DB 平面⊥ 又∵BCD DB 平面⊂ ∴平面ABC ⊥平面BCD又∵G 为BC 中点且AC=AB=BC ∴AG ⊥BC ∴AG ⊥平面BCD ∴EF ⊥平面BCD （2）以H 为原点建立如图所示的空间直角坐标系则1111,1),ED(,1),CF(,1)2424-- 设平面CEF 的法向量为n (x,y,z)=，由1CE n y z 021CF n y z 04⎧∙=-+=⎪⎪⎨⎪∙=-+=⎪⎩得n 1,1)=- 平面ABC 的法向量为=则n u cos(n,u)|n ||u |⋅===∴平面角ECD 和平面ACB 所成的锐二面角的余弦值为5520、以D 为原点，DA 为x 轴正半轴，DC 为y 轴正半轴，DD 1为z 轴正半轴，建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),A 1(1,0,2),N(12,1,0),C(0,1,0) )， 设M(0，1,z),面MDN 的法向量1111(,,)n x y z = 11(1,0,2),(,1,0),(0,1,)2DA DN DM z ===设面A 1DN 的法向量为000(,,)n x y z = ，则00100200,0,102x z DA n DN n x y +=⎧⎪==∴⎨+=⎪⎩取0002,1,1,x y z ==-=-则即(2,1,1)n =--(1)由题意：1111111111120,0,,0020x y DN n DM n nn y zz x y z ⎧+=⎪⎪===∴+=⎨⎪--=⎪⎩取11112,1,5,;5x y z z ==-==则AM ∴== （2）由题意：11110,0,6nn DNn DM n n n === 即111121111111102034420x y y zz x x y x z y z ⎧+=⎪⎪+=⎨⎪--+=⎪⎩ 取11112,1,2,;2x y z z ==-==则1.2CM ∴= 21、。