关于数列极限定义教学的一点思考

A1 , A2 , A3 , , An , 让学生思考，当 n 无限增大 时，数列 {An} 的通项 An 如何变化？不难发现， An 无限地接近于圆的面积 S。 除了上面两个实例外，再让学生看两个
具体的数列：① 2, 3 , 4 , , n + 1 , ；② 1，4，
2 3 n
9，16，25，…，n2，…；让学生仔细观察实
让学生思考当天数无限增加时，截下木 棒的长度如何变化？通过思考、观察不难看 出，当天数 n 无限增大时，数列 2n 的通项
1 无限地接近于 0。 2n
在这里要向学生强调 N 并不是由 ε 唯一 确定的，定义中只强调 N 的存在性，并不在 意它的大小。 三、例题讲解，巩固新知 结合具体例题，引导学生总结 ε − N 论 证法步骤：①计算 an − A ；②对任意给定的 ε>0， 由 an − A < ε 开 始 分 析 倒 推， 推 出 n > N (ε ) ；③取自然数 N ≥ [N(ε )] ，则当 n > N 时， 恒 有 an − A < ε ； ④ 由 极 限 定 义 得 lim an = A 。
n + 1 ， n
由 n < 100 知 n>100 时， n + 1 − 1 < ε ， N=100 即可；
n

1
1
1 1 1 如果给定 ε = ， 则由 < 知 n>1000 时， 1000 n 1000
n +1 − 1 < ε ，N=1000 即可。 n
一、设置情境，导入新知 首先通过两个具体的实例，引导学生初 步认识数列的极限： （1）我国古代著名的哲学家庄周所著 的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭”，其含义是： 一根一尺的木棒，每天截下一半，这样的过 程可以无限制地进行下去，那么把每天截下 1 的长度列出来就可以得到一个数列 n 2 1 1 1 1 , , , , n , 2 2 2 23 2
易知
1 n +1 1 ，则 − 1 = ，如果给定 ε = 100 n n
四、课堂小结，加深反思 在课堂总结环节，让学生思考本节课我 们学习了哪些知识？用定义证明数列极限的 步骤是什么？通过提问，加深学生对数列极 限的理解，掌握从特殊到一般、从具体到抽 象的数学思维方法。极限理论是经过了近 200 多年才建立起来的，教和学都不容易是可以 理解的。 但只要我们在教学上由浅入深，分 层次逐步引入定义，就会使学生学习的困难 减少一些。 参考文献： [1] 同济大学应用数学系 . 高等数学 ( 第 六版 )[M] . 北京 : 高等教育出版社 ,2007. [2] 华东师范大学数学系 . 数学分析 ( 第 四版 )[M]．北京 : 高等教育出版社 ,2010． [3] 桂绍辉 . 基于数学语言数列极限定义 的教学 . 赣南师范学院学报 ,2013(3):95-98. 教改课题： （1）广西财经学院学位与研究生教改 及 学 科 建 设 课 题：“ 应 用 型 背 景 下” 数 学 建模对创新型研究生人才培养模式 的 研 究 （XKYJ201613）. （2） 2016 年教师创新创业教育能力研 究专项课题：“互联网 +”时代数学建模对 创新创业型人才培养模式的探索与研究 -- 以 广西财经学院为例（2016JSZXC14） （3）《基于数学建模竞赛的应用型人 才培养模式研究与实践》（2017A15）
经 验 交 流
关于数列极限定义教学的一点思考
530003 广西财经学院信息与统计学院 南宁 广西 赵 亮
【摘 要】 数列极限定义是高等数学中 的一重要概念， 也是学生学习的难点，是后 面学习的基础，但是数列 ε-N 定义的抽象 性使很多学生难以理解，普遍感到“不知所 云”，怎样教好数列极限，使学生真正理解 极限的本质，掌握其精髓，以至熟练地去运 用它呢？是一个值得探讨的问题。下面根据 实际教学经历， 谈谈数列极限定义教学的一 点心得体会。 【关键词】数列极限，ε-N 定义 例中抽象出来的两个数列和数列①②，它们 有什么共同特征呢？在这里可以提示学生当 n 无限增大时，这 4 个数列有什么变化趋势？ 突出学生课堂的主体地位，让学生通过思考 发现：当数列的项数 n 无限增大时，数列的 通项都无限地接近于某一个确定的数，我们 就称这个确定的数为数列的极限。因此，我 们可以抽象出数列极限的初步定义：对于一 个一般的数列 {an}，当 n 无限增大时，若 an 无限接近于一个确定的数 a，则称为数 a 为数 列 {an} 的极限。若不存在这样一个确定的数 a， 就说数列没有极限，如数列②。 二、由直观描述性定义过渡到精确定义 数列极限的描述性定义只是一种形象的 描述，并不严谨， 尤其对于“无限趋近”的 描述不精确、不严密， 无法进行测量。因此， 需要引进较为精确的定义。在这里关键要让 学生理解“n 无限增大时，an 无限接近于一个 确定的数 a”这句话的含义，可以引导学生作 如下分析：当 n 无限增大时，an 无限接近于 a。 也就是当 n 无限增大时， |an-a| 无限接近于 0。 进一步可以理解为当 n 无限增大时，|an-a| 可 以任意小， 要多小就能有多小。换句话说就 是当 n 增大到一定程度以后，|an-a| 能小于事 先给定的任意小的正数。因此， 如果 n 增大 到一定程度以后，|an-a| 能小于事先给定的任 意小的正数， 则当 n 无限增大时， an 限接近 于常数 a。 所以，我们就可以比较自然的给出数列 极限的精确定义：设 {an} 为数列，a 为定数， 若对任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 n > N 时，有 |an-a|<ε，则称数列 {an } 收敛于 a，定数 a 称为数列 {an } 的极限，并记 an = a, 或 an → a(n → ∞ ) 。 作 lim n →∞ 对定义中的语言需要向学生作进一步的 解释，要指出 ε>0；ε 的任意性和确定性， 其中任意是说 ε 要多小就有多小，这样就可 以用 |an-a|<ε 很好的表达 an 无限接近 a 的意 思；确定性的意思就是 ε 要给定，从定义中， 不难发现，N 是依赖于 ε 的，只有先确定下 来 ε，才能更好的去寻找正整数 N，并且一 般来说 N 是随着 ε 的减小而增大的。如数列
n →∞
1
（2） 刘 徽“ 割 圆 术”， 早 在 公 元 3 世 纪，我国古代数学家刘徽就利用圆内接正多 边形来推算圆的面积—割圆术，我们知道， 当圆的内接正多边形的边数逐渐增大时，它 与 圆 的 差 别 就 越 小， 其 面 积 就 越 接 近 于 圆 的面积。在这里，不妨设圆的面积为 S，圆 的内接正六边形的面积为 A1，圆的内接正 十二边形的面积 A2，…… 圆的内接正 6×2n-1 边 形 的 面 积 为 An…… 于 是 得 到 一 个 数 列：
时代数学建模对创新创业型人才培养模式的探索与研究以广西财经学院为例2016jszxc143基于数学建模竞赛的应用型人才培养模式研究与实践2017a15关于数列极限定义教学的一点思考530003广西财经学院信息与统计学院南宁广西赵亮体育委员以及一些自荐的同学来进行辅助比如进方格过五关钓鱼等游戏都需要分组进行教师可以将该工作交给学生来完成将学生在教学中的主导性充分发挥出来