分类讨论思想专练

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高中数学思想二分类讨论思想专题练习

高中数学思想二分类讨论思想专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或322. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞-B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．136.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭7.已知函数，若，且，则的取值范围是（）A. B. C.D.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ． B ．1 C. D ．210.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C.2 D ．3二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________.ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________. 13.若数列，则__________. 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极60︒{}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m ()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()xF x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x大值点？说明理由．高中数学思想二分类讨论思想专题练习一．选择题1. 已知实数m 是2,8的等比中项，则曲线x 2－y 2m＝1的离心率为( )A.2B.32C. 5D.5或32答案 D解析 ∵m 是2,8的等比中项，∴m 2＝16，∴m ＝±4. 当m ＝4时，曲线为双曲线，其中a ＝1，c ＝5，e ＝ca ＝5；当m ＝－4时，曲线为椭圆，其中a ＝2，c ＝3，e ＝c a ＝32，故选D.2. 对于函数f (x )，若∀a ，b ，c ∈R ，f (a )，f (b )，f (c )为某一三角形的三边长，则称f (x )为“可构造三角形函数”．已知函数f (x )＝e x＋te x ＋1是“可构造三角形函数”，则实数t 的取值范围是( )A ．[0，＋∞)B ．[0,1]C ．[1,2]D ．[12，2]答案 D解析 f (x )＝e x ＋t e x ＋1＝1＋t －1e x ＋1，由题意得f (x )>0恒成立，所以t －1e x ＋1>－1恒成立，即t >－e x 恒成立，所以t ≥0.①若t ∈[0,1]，则f (x )是增函数，当x →＋∞时，得f (x )max →1，当x →－∞时，得f (x )min →t ，所以值域为(t,1)．因为三角形任意两边之和大于第三边，所以t ＋t ≥1，解得12≤t ≤1；②若t ∈(1，＋∞)，则f (x )是减函数，当x →＋∞时，得f (x )min →1，当x →－∞时，得f (x )max →t ，所以值域为(1，t )，同理可得1＋1≥t ，所以1<t ≤2，综上得t ∈[12，2]．3.已知集合()(){}{}210,log 1A x x a x a B x x =---<=<，若R B C A ⊆，则实数a 的取值范围是（） A ．(],1-∞- B ．[)2,+∞C ．(][),12,-∞-⋃+∞D ．[]1,2-【答案】C 【详解】由题意，可得集合()(){}{}101A x x a x a x a x a =---<=<<+，所以{R C A x x a =≤或1}x a ≥+，又由集合{}{}2log 102B x x x x =<=<<，因为R B C A ⊆，所以2a ≥或10a +≤，解得1a ≤-或2a ≥，所以实数a 的取值范围是][,(),12∞-⋃+∞-，故选：C .4.若11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列各式中一定成立的是（）A ．n 0()l a b ->B ．21b a ->C ．11a b->- D ．log log (0c c a b c >>且1)c ≠【答案】C 【详解】解析：指数函数13xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在(,)-∞+∞上是单调递减的，由11133ab⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知，0a b >>. 所以11a b<，则11a b ->-.故C 正确；0a b ->，但不一定有1a b ->，则不一定有()ln 0a b ->，故A 错误；函数2xy =在(),-∞+∞上是单调递增的，0b a -<.则0221b a -<=，故B 错误；当01c <<时，函数c y log x =在0,上单调递减，则log log c c a b <.故D 错误. 故选：C5.定义在R 上的函数()f x 满足()(2)f x f x -=，且当1≥x 时()23,141log ,4x x f x x x -+≤<⎧=⎨-≥⎩，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，则实数t 的最大值为（）A ．1-B ．23-C ．13-D ．13【答案】C 【详解】当14x ≤<时，3y x =-+单调递减，()()241log 41f x f >=-=-，当4x ≥时，()f x 单调递减，()()41f x f ≥=-，故()f x 在[)1,+∞上单调递减，由()(2)f x f x -=，得()f x 的对称轴为1x =，若对任意的[,1]x t t ∈+，不等式()()21f x f x t -≤++恒成立，即对[,1]x t t ∈+，不等式()()1f x f x +t ≤+恒成立，-1x x t ∴≥+，即()()221x x t -≥+，即()22110t x t ++-≤，()()()22211011321110t t t t t t t ⎧++-≤⎪⇒-≤≤-⎨+++-≤⎪⎩ 故实数t 的最大值为13-. 故选：C.6.函数()log 1xa f x a x =-（0a >，且1a ≠）有两个零点，则a 的取值范围为（）A ．(1,)+∞B ．1(1,)e ⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭C ．{}ee(1,)-⋃+∞D ．1ee (1,)⎧⎫⋃+∞⎨⎬⎩⎭【答案】D 【详解】()0f x =，得1log a x x a =，即11log xax a ⎛⎫= ⎪⎝⎭．由题意知函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点．当1a >时，11log ,xay x y a ⎛⎫== ⎪⎝⎭草图如下，显然有两交点．当01a <<时，函数1log a y x =图象与函数1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象有两个交点时，注意到11,log xay y x a ⎛⎫== ⎪⎝⎭互为反函数，图象关于直线y x =对称，可知函数1x y a ⎛⎫= ⎪⎝⎭图象与直线y x =相切，设切点横坐标0x ，则0111ln 1x x x a a a ⎧⎛⎫=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭⎩，解得01e,e .e x a -=⎧⎪⎨⎪=⎩ 综上，a 的取值范围为1e e (1,)-⎧⎫+∞⎨⎬⎩⎭.故选：D ．7.已知函数，若，且，则的取值范围是（）ln(1),0()11,02x x f x x x +>⎧⎪=⎨+≤⎪⎩m n <()()f m f n =n m -A. B. C.D.【答案】A【解析】如图，作出函数的图象，不妨设，由可知函数的图象与直线有两个交点，而时，函数单调递增，其图象与轴交于点，所以.又，所以，，由，得，解得.由，即，解得；由，即，解得；记（），.所以当时，，函数单调递减；当时，，函数单调递增.所以函数的最小值为；而，.所以.8.已知函数()43120194f x ax x x =-++，()'f x 是()f x 的导函数，若()'f x 存在有唯一的零点0x ，且()00,x ∈+∞，则实数a 的取值范围是（）A ．(),2-∞-B ．(),1-∞-C ．()1,+∞D ．()2,+∞【答案】A 【解析】[32ln 2,2)-[32ln 2,2]-[1,2]e -[1,2)e -()y f x =()()f m f n t ==()()f m f n =()f x y t =0x ≤()y f x =y (0,1)01t <≤m n <0m ≤0n >01t <≤0ln(1)1n <+≤01n e <≤-()f m t =112m t +=22m t =-()f n t =ln(1)n t +=1t n e =-()1(22)21t t g t n m e t e t =-=---=-+01t <≤()2tg t e '=-0ln 2t <<()0g t '<()g t ln 21t <≤()0g t '>()g t ()g t ln 2(ln 2)2ln 2132ln 2g e =-+=-0(0)12g e =+=(1)2112g e e =-+=-<32ln 2()2g t -≤<()3231f x ax x =-+'.显然()00f '≠，令()0f x '=得：2331x a x-=，()0x ≠ 令()2331x t x x -=，()0x ≠，()()()4311x x t x x+-'=-知：当(),1x ∈-∞-时，()0t x '<，()t x 为减函数；当()1,0x ∈-时，()0t x '>，()t x 为增函数；当()0,1x ∈时，()0t x '>，()t x 为增函数；当()1,x ∈+∞时，()0t x '<，()t x 为减函数，作出()t x 的大致图象如图所示，则当()12a t <-=-时，()t x 存在唯一的正零点.故选A9.已知函数，且在上的最大值为，则实数的值为( ) A ．B ．1 C. D ．2 【答案】B【解析】由已知得，对于任意的，有，当时，，不合题意；当时，，从而在单调递减，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，不合题意；当时，，从而在，单调递增，又函数在上图象是连续不断的，故函数在上的最大值为，解得.()()3sin 2f x ax x a R =-∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦32π-a 1232()()sin cos f x a x x x '=+[]20x π∈，sin cos 0x x x +>0a =()32f x =-0a <()[]002x f x π∈'<，，()f x [0]2π， [0]2π，()203f =-0a >]2[0x π∈，，()0f x '>()f x [0]2π， [0]2π，()223322f a πππ-=⋅-=1a =10.已知函数，（是常数），若在上单调递减，则下列结论中：①；②；③有最小值.正确结论的个数为（） A ．0 B ．1 C.2 D ．3 【答案】C【解析】由题意，得，若函数在上单调递减，则，即，所以，故②正确；不妨设，则，故①错；画出不等式组表示的平面区域，如图所示，令，则，①当，即时，抛物线与直线有公共点，联立两个方程消去得，，所以；当，即时，抛物线与平面区域必有公共点，综上所述，，所以有最小值，故③正确，故选C ．二、填空题11.已知，，，则的取值范围为________. 【答案】【解析】因为，所以.当时，，可得；当时，()32f x x ax bx c =+++()232g x x ax b =++ a b c ，，()f x ()0 1，()()010f f ⋅≤()()010g g ⋅≥23a b -()232f x x ax b '=++()f x (0,1)(0)0(1)0f f '≤⎧⎨'≤⎩0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩()()01(32)0g g b a b ⋅=⋅++≥32()235f x x x x =--+()()015(1235)0f f ⋅=⋅--+>0320b a b ≤⎧⎨++≤⎩23z a b =-2133z b a =-33z ->-9z <2133zb a =-230a b ++=b 2690a a z ++-=2(3)0z a =+≥09z ≤<33z-≤-9z ≥0z ≥23z a b =-{|322}A x x =≤≤{|2135}B x a x a =+≤≤-B A ⊆a (,9]-∞B A ⊆Φ≠Φ=B B 或Φ=B 1253+<-a a 6<a Φ≠B，可得，综上：． 12.两条渐近线所成的锐角为，且经过点的双曲线的标准方程为____________.【答案】或【解析】分类讨论：当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为；当双曲线的焦点位于轴时，其标准方程为，其渐近线方程为：，则：，解得：，双曲线的方程为；综上可得，双曲线方程为：或. 13.若数列，则__________. 【答案】【解析】令，得，所以．当时，．与已知式相减，得，所以，时，适合⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥+≥22533126a a a 96≤≤a 9≤a 60︒22113x y -=223177y x -=x 22221x y a b -=by x a=±22603{ 231btan aa b ==-=221{ 3a b ==22113x y -=y 22221y x a b -=ay x b=±22603{ 321btan aa b ==-=227{ 37a b ==223177y x -=22113x y -=223177y x -={}n a 23n a n n +=+12231na a a n +++=+226n n +1n =4a 1=16a 1=2n ≥)1(3)1(a a a 21-n 21-+-=+++n n 22)1(3)1()3(22+=----+=n n n n n a n 2)1(4+=n a n 1n =1a．所以，所以，∴． 14. 已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的表面积为________ cm 2.答案 18＋23或12＋4 3解析该几何体有两种情况：第一种，由如图①所示的棱长为2的正方体挖去一个三棱锥P －ABC 所得到的，所求的表面积为6×22－3×(12×2×2)＋34×(22)2＝18＋23(cm 2)．第二种，由如图②所示的棱长为2的正方体挖去三棱锥P －ABC 与三棱锥M －DEF 所得到的，所求的表面积为6×22－6×(12×2×2)＋2×34×(22)2＝12＋43(cm 2)．n a 2)1(4+=n a n 441+=+n n a n 12231n a a an +++=+n n n n 622)448(2+=++-三、解答题15.已知，设，成立；，成立，如果“”为真，“”为假，求的取值范围.【解析】若为真：对，恒成立，设，配方得，∴在上的最小值为，∴，解得，∴为真时：；若为真：，成立，∴成立.设，易知在上是增函数，∴的最大值为，∴，∴为真时，，∵”为真，“”为假，∴与一真一假，当真假时，∴，当假真时，∴，综上所述，的取值范围是或. 16.已知函数21()ln ()2f x a x x a R =+∈. （1）若函数()f x 在点(1,(1))f 处的切线方程为4230--=x y ，求实数a 的值；（2）当0a >时，证明函数()()(1)g x f x a x =-+恰有一个零点. （1）()'af x x x=+. 由切线的斜率为2得()'112f a =+=. ∴1a =.（2）()21ln 2g x a x x =+()1a x -+，0x >， ∴()'a g x x x =+()()()11x a x a x---+=. 1.当01a <<时，m R ∈[]: 1 1p x ∀∈-，2224820x x m m --+-≥[]: 1 2q x ∃∈，()212log 11x mx -+<-p q ∨p q ∧m p []1 1x ∀∈-，224822m m x x -≤--()222f x x x =--()()213f x x =--()f x []1 1-，3-2483m m -≤-1322m ≤≤p 1322m ≤≤q []1 2x ∃≤，212x mx -+>21x m x -<()211x g x x x x -==-()g x []1 2，()g x ()322g =32m <q 32m <p q ∨p q ∧p q p q 132232m m ⎧≤≤⎪⎪⎨⎪≥⎪⎩32m =p q 132232m m m ⎧<>⎪⎪⎨⎪<⎪⎩或12m <m 12m <32m =由()'0g x >得0x a <<或1x >，()'0g x <得1a x <<， ∴()g x 在()0,a 上递增，在(),1a 上递减，在()1,+∞上递增.又()21ln 2g a a a a =+()11ln 12a a a a a ⎛⎫-+=-- ⎪⎝⎭0<，()()22ln 220g a a a +=+>，∴当01a <<时函数()g x 恰有一个零点. 2.当1a =时，()'0g x ≥恒成立，()g x 在()0,+∞上递增.又()11202g =-<，()4ln40g =>，所以当1a =时函数()g x 恰有一个零点. 3.当1a >时，由()'0g x >得01x <<或x a >，()'0g x <得1x a <<， ∴()g x 在()0,1上递增，在()1,a 上递减，在(),a +∞上递增. 又()1102g a =--<， ()()22ln 220g a a a +=+>，∴当1a >时函数()g x 恰有一个零点.综上，当0a >时，函数()()()1g x f x a x =-+恰有一个零点.17.已知函数，其中为自然对数的底数，常数．（1）求函数在区间上的零点个数；（2）函数的导数，是否存在无数个，使得为函数的极大值点？说明理由．【解析】（1），当时，单调递减；当时，单调递增；因为，所以存在，使，且当时，，当时，．故函数在区间上有1个零点，即．（2）（法一）当时，．因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．下证：当时，，即证．，记…，所以在单调递增，由，所以存在唯一零点，使得，且时，单调递减，时，单调递增．所以当时，．…… 由，得当时，．故．当时，单调递增；当时，单调递减．所以存在()116xa f x x e ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2.718e =0a >()f x ()0,+∞()F x ()()()x F x e a f x '=-()1,4a ∈ln a ()F x ()6x a f x x e ⎛'⎫=-⎪⎝⎭06a x <<()()0f x f x '<，6ax >()()0f x f x '>，()00,110666a a a f f f ⎛⎫⎛⎫<=-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭0,166a a x ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭()00f x =00x x <<()0f x <0x x >()0f x >()f x ()0,+∞0x 1a >ln 0a >()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,a e ∈0ln a x <()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()[]2ln 1,1,6x g x x x x x e =--+∈()()3ln ,033x xg x x g x x''-='=->()g x '()1,e ()()110,1033eg g e ''=-=-()01,t e ∈()01g t '=()01,x t ∈()()0,g x g x '<()0,x t e ∈()()0,g x g x '>()1,x e ∈()()(){}max 1,g x g g e <()()21610,066e g g e -=-<=<()1,x e ∈()0g x <()0ln 0,0ln f a a x <<<0ln x a <<()()()()()0,0,0,xxe af x F x e a f x F x -'-<=0ln a x x <<()()()()()0,0,0,x xe af x F x e a f x F x -><=-<'，使得为的极大值点．（2）（法二）因为当时，；当，．由（1）知，当时，；当时，．所以存在无数个，使得为函数的极大值点，即存在无数个，使得成立，①…由（1），问题①等价于，存在无数个，使得成立，因为，记，因为，当时，，所以在单调递增，因为，所以存在唯一零点，使得，且当时，单调递减；当时，单调递增；所以，当时，，②由，可得，代入②式可得，当时，，所以，必存在，使得，即对任意有解， ()()1,1,4a e ∈⊂ln a ()F x ()0,ln x a ∈0x e a -<()ln ,x a ∈+∞0x e a ->()00,x x ∈()0f x <()0,x x ∈+∞()0f x >()1,4a ∈ln a ()F x ()1,4a ∈0ln a x <()1,4a ∈()ln 0f a <()2ln ln 11ln 166a a f a a a a a ⎛⎫=--+=--+ ⎪⎝⎭()()2ln 1,1,46x g x x x x x =--+∈()()ln ,1,4,3x g x x x '=-∈()33x g x x '-'=3,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()0g x ''>()g x '3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭()3312ln 0,2ln202223g g ⎛⎫=-=''- ⎪⎝⎭03,22t ⎛⎫∈⎪⎝⎭()00g t '=03,2x t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()0,g x g x '<()0,2x t ∈()()0,g x g x '>3,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()200000min ln 16t g x g t t t t ==--+()00g t '=00ln 3t t =()()2000min 16t g x g t t ==-+03,22t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()()220000311106628t t g t t -=-+=-≤-<3,22x ⎛⎫∈⎪⎝⎭()0g x <()3,2,ln 02a f a ⎛⎫∈< ⎪⎝⎭所以对任意，函数存在极大值点为．3,22a ⎛⎫∈⎪⎝⎭()F x ln a。

资料--分类讨论思想专项训练

分类讨论思想专题沈阳市六十三中学数学组当数学问题不宜统一方法处理时，我们常常根据研究对象性质的差异，按照一定的分类方法或标准，将问题分为全而不重，广而不漏的若干类，然后逐类分别讨论，再把结论汇总，得出问题的答案的思想。

这就是主要考查了分类讨论的数学思想方法。

一：【要点梳理】1.数学问题比较复杂时，有时可以将其分割成若干个小问题或一系列步骤，从而通过问题的局部突破来实现整体解决，正确应用分类思想，是完整接替的基础。

而在学业考试中，分类讨论思想也贯穿其中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度，很多压轴题也都设计分类讨论。

由此可见分类思想的重要性，在数学中，我们常常需要根据研究队形性质的差异，分个中不同情况予以观察，这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法的解题策略，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解，提高分级问题、解决问题的能力都是十分重要的。

2.分类讨论设计全部初中数学的知识点，其关键是要弄清楚引起分类的原因，明确分类讨论的对象和标准，应该按可能出现的情况做出既不重复，又不遗漏，分门别类加以讨论求解，再将不同结论综合归纳，得出正确答案。

3.热点内容(1).实数的分类。

(2).()()00a a a a a ≥==-⎧⎪⎨⎪⎩(3).各类函数的自变量取值范围(4).函数的增减性：0,0,k k y x y k y x x =⎧⎨⎩ 时随的增大而增小时随的增大而减大0,20,a a y ax bx c ⎧⎪⎨⎪⎩=++ 时抛物线开口向上时抛物线开口向下(5).点与直线的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与直线的位置关系。

(6).三角形的分类、四边形的分类二：【例题与练习】1基础1.在平面直角坐标系内，已知点A （2，1），O 为坐标原点。

请你在坐标上确定点P ，使得三角形AOP 成为等腰三角性，在给出坐标西中把所有这样的点P 都找出来，画上实心点，并在旁边标上P1，P2，P3……（有k 个就表到P1，P2，Pk,不必写出画法0）.2.由于使用农药的原因，蔬菜都回残留一部分农药，对身体健康不利，用水清晰一堆青菜上残留的农药，对于水清晰一次的效果如下规定：用一桶水可洗掉青菜上残留农药的12，用水越多洗掉的农药越多，但总还有农药残留在青菜上，设用x 桶水清洗青菜后，青菜上残留的农药量比本次清晰的残留的农药比为y ，（1）试解释x=0，y=1的实际意义0,0,k y x k y x y kx b ⎧⎪⎨⎪⎩=+ 时随的增大而增大时随的增大而减小（2）设当x 取x 1,x 2使对应的y 值分别为y 1,y 2,如果x 1＞x 2＞1，试比较y 1，y 2，12的关系（直接写结论）（3）设11x y +=，现有a(a ＞0)桶水，可以清洗一次。

初中数学专题“分类讨论”专题练习(含答案)

“分类讨论”专题练习1.已知AB 是圆的直径，AC 是弦，AB ＝2，AC ＝2，弦AD ＝1，则∠CAD ＝．2. 若(x 2－x －1)x ＋2＝1，则x ＝___________．3. 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．4.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b(a>b)，则此圆的半径为（） A.2a b+ B.2a b- C.2a b +或2a b- D. a+b 或a-b5.同一平面上的四个点，过每两点画一直线，则直线的条数是（） A.1 B.4 C.6 D.1或4或66. 若||3,||2,,( )a b a b a b ==>+=且则A ．5或－1B ．－5或1C ．5或1D ．－5或－1 7．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点（1，2）.（1）若a ＝1，抛物线顶点为A ，它与x 轴交于两点B 、C ，且△ABC 为等边三角形，求b 的值.（2）若abc ＝4，且a ≥b ≥c ，求|a |＋|b |＋|c |的最小值.8．长宽都为整数的矩形，可以分成边长都为整数的小正方形。

例如一个边长2⨯4的矩形：可以分成三种情况：（1）（2）一个长宽为3⨯6的矩形，可以怎样分成小正方形，请画出你的不同分法。

9.已知(1)A m -，与(2B m +，是反比例函数ky x=图象上的两个点．（1）求k 的值；（2）若点(10)C -，，则在反比例函数ky x=图象上是否存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．分成两个正方形，面积分别为4，4分成8个正方形，面积每个都是1分成5个正方形，1个面积为4，4个面积是110.如图，在直角坐标系中，矩形OABC 的顶点O 与坐标原点重合，顶点A C ，在坐标轴上，60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿x 轴匀速向点C 运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ．（1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此时直线AP 的函数解析式；（3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．答案：1. 15°或105°2. 2、－1、0、－23. 腰长6底边9或腰长8底边54.C5.D6.C7. 解：⑴由题意，a ＋b ＋c ＝2， ∵a ＝1，∴b ＋c ＝1 抛物线顶点为A （－b 2，c －b 24）设B （x 1，0），C （x 2，0），∵x 1＋x 2＝－b ，x 1x 2＝c ，△＝b 2－4c ＞0 ∴|BC|＝| x 1－x 2|＝| x 1－x 2|2＝（x 1＋x 2）2－4 x 1x 2＝b 2－4c ∵△ABC 为等边三角形，∴b 24 －c ＝ 32b 2－4c即b 2－4c ＝23·b 2－4c ，∵b 2－4c ＞0，∴b 2－4c ＝2 3∵c ＝1－b ， ∴b 2＋4b －16＝0， b ＝－2±2 5 所求b 值为－2±2 5⑵∵a ≥b ≥c ，若a ＜0，则b ＜0，c ＜0，a ＋b ＋c ＜0，与a ＋b ＋c ＝2矛盾. ∴a ＞0． ∵b ＋c ＝2－a ，bc ＝4a∴b 、c 是一元二次方程x 2－(2－a )x ＋4a ＝0的两实根．∴△＝（2－a ）2－4×4a≥0，∴a 3－4a 2＋4a －16≥0，即（a 2＋4）(a －4)≥0，故a ≥4. ∵abc ＞0，∴a 、b 、c 为全大于０或一正二负．①若a 、b 、c 均大于0，∵a ≥4，与a ＋b ＋c ＝2矛盾； ②若a 、b 、c 为一正二负，则a ＞0，b ＜0，c ＜0, 则|a |＋|b |＋|c |＝a －b －c ＝a －(2－a )＝2a －2， ∵ a ≥4，故2a －2≥6当a ＝4，b ＝c ＝－1时，满足题设条件且使不等式等号成立．故|a |＋|b |＋|c |的最小值为6． 8.分7种情况画图9.解：（1）由()332)1(+⋅=⋅-m m ，得m =-，因此k =（2）如图1，作BE x ⊥轴，E 为垂足，则3CE =，BE =，BC =因此30BCE =∠．由于点C 与点A 的横坐标相同，因此CA x ⊥轴，从而120ACB =∠．当AC 为底时，由于过点B 且平行于AC 的直线与双曲线只有一个公共点B ，故不符题意．当BC 为底时，过点A 作BC 的平行线，交双曲线于点D ，过点A D ，分别作x 轴，y 轴的平行线，交于点F ．由于30DAF =∠，设11(0)DF m m =>，则1AF ，12AD m =，由点(1A --，，得点11(1)D m --，．因此()()32323111=+-+-m m ，解之得1m =10m =舍去），因此点6D ⎛ ⎝⎭．此时的长度不等，故四边形ADBC 是梯形．如图2，当AB 为底时，过点C 作AB 的平行线，与双曲线在第一象限内的交点为D ．由于AC BC =，因此30CAB =∠，从而150ACD =∠．作DH x ⊥轴，H 为垂足，则60DCH =∠，设22(0)CH mm =>，则2DH =，由点(10)C -，，得点22(1)D m -+，因此()323122=⋅+-m m ．解之得22m =（21m =-舍去），因此点(1D ．此时4CD =，与AB 的长度不相等，故四边形ABDC 是梯形．如图3，当过点C 作AB 同理可得，点(2D --，，四边形ABCD 是梯形．综上所述，函数y x=图象上存在点D ，使得以A B C D ，，，四点为顶点的四边形为梯形，点D 的坐标为：6D ⎛ ⎝⎭或(1D 或(2D --，．图1图2 图310.解：（1）在矩形OABC 中，60OA =，80OC =，100OB AC ∴===PT OB ⊥，Rt Rt OPT OBC ∴△∽△． PT OP BC OB ∴=，即560100PT t=，3y PT t ∴== 当点P 运动到C 点时即停止运动，此时t 的最大值为80165=．所以，t 的取值范围是016t ≤≤．（2）当O 点关于直线AP 的对称点O '恰好在对角线OB 上时，A T P ，，三点应在一条直线上（如答图2）．AP OB ∴⊥，12∠=∠． Rt Rt AOP OCB ∴△∽△，OP AOCB OC∴=． 45OP ∴=．∴点P 的坐标为(450)，设直线AP 的函数解析式为y kx b =+．将点(060)A ，和点(450)P ，代入解析式，得60045.a b k b =+⎧⎨=+⎩，解这个方程组，得4360.k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴此时直线AP 的函数解析式是4603y x =-+．（3）由（2）知，当4595t ==时，A T P ，，三点在一条直线上，此时点A T P ，，不构成三角形．故分两种情况：（i ）当09t <<时，点T 位于AOP △的内部（如答图3）．过A 点作AE OB ⊥，垂足为点E ，由AO AB OB AE =可得48AE =．APT AOP ATO OTP S S S S ∴=--△△△△211160544843654222t t t t t t =⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=-+．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -+=，即292000t t -+=．此时，2(9)412000--⨯⨯<，所以该方程无实数根．所以，当09t <<时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．（答图2）（答图1）（ii ）当916t <≤时，点T 位于AOP △的外部．（如答图4）此时2654APT ATO OTP AOP S S S S t t =+-=-△△△△．若14APT OABC S S =△矩形，则应有26541200t t -=，即292000t t --=．解这个方程，得192t +=，2902t -=<（舍去）．由于288162525>=，991722t +∴=>=．而此时916t <≤，所以92t +=也不符合题意，故舍去．所以，当916t <≤时，以A P T ，，为顶点的APT △的面积也不能达到矩形OABC 面积的14．综上所述，以A P T ，，为顶点的APT △的面积不能达到矩形OABC 面积的14．。

高三分类讨论思想、转化与化归思想专题训练

分类讨论思想、转化与化归思想高考定位分类讨论思想、转化与化归思想近几年高考每年必考，一般体现在解析几何、函数与导数及数列解答题中，难度较大.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n 项和公式等.(3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等.(5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.常见的转化与化归的方法转化与化归思想方法用在研究、解决数学问题时，思维受阻或寻求简单方法或从一种状况转化到另一种情形，也就是转化到另一种情境使问题得到解决，这种转化是解决问题的有效策略，同时也是获取成功的思维方式.常见的转化方法有：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本图形问题.(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幂等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题.(3)数形结合法：研究原问题中数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径.(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的.(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题、结论适合原问题.(6)构造法：“构造”一个合适的数学模型，把问题变为易于解决的问题. (7)坐标法：以坐标系为工具，用计算方法解决几何问题是转化方法的一个重要途径.(8)类比法：运用类比推理，猜测问题的结论，易于确定. (9)参数法：引进参数，使原问题转化为熟悉的形式进行解决.(10)补集法：如果正面解决原问题有困难，可把原问题的结果看作集合A ，而把包含该问题的整体问题的结果类比为全集U ，通过解决全集U 及补集∁U A 获得原问题的解决，体现了正难则反的原则.热点一分类讨论思想的应用[应用1] 由性质、定理、公式的限制引起的分类【例1－1】 (1)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知2S n ＝3n ＋3，则数列{a n }的通项a n ＝________.(2)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1.若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________.解析 (1)由2S n ＝3n ＋3得：当n ＝1时，2S 1＝31＋3＝2a 1，解得a 1＝3；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝12[(3n ＋3)－(3n －1＋3)]＝3n －1，由于n ＝1时，a 1＝3不适合上式.∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2.(2)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，这时f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得2－a ＝－1－3a ，解得a ＝－32，不合题意，舍去；当a <0时，1－a >1，1＋a <1，这时f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a .由f (1－a )＝f (1＋a )得－1－a ＝2＋3a ，解得a ＝－34.综上可知，a 的值为－34.答案 (1)⎩⎨⎧3，n ＝1，3n －1，n ≥2(2)－34探究提高由性质、定理、公式的限制引起的分类整合法往往是因为有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致的情况下使用，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等. [应用2] 由数学运算要求引起的分类【例1－2】 (1)不等式|x |＋|2x ＋3|≥2的解集是________.(2)已知m ∈R ，则函数f (x )＝(4－3m )x 2－2x ＋m 在区间[0，1]上的最大值为________.解析(1)原不等式可转化为⎩⎨⎧x ＜－32，－x －（2x ＋3）≥2，或⎩⎨⎧－32≤x ≤0，－x ＋（2x ＋3）≥2或⎩⎨⎧x ＞0，x ＋（2x ＋3）≥2.解得x ≤－53或－1≤x ≤0或x ＞0，故原不等式的解集为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞).(2)①当4－3m ＝0，即m ＝43时，函数f (x )＝－2x ＋43，它在[0，1]上是减函数，所以f (x )max ＝f (0)＝43.②当4－3m ≠0, 即m ≠43时，f (x )是二次函数.当4－3m ＞0，即m ＜43时，二次函数f (x )的图象开口向上，对称轴方程x ＝14－3m＞0，它在[0，1]上的最大值只能在区间端点取得(由于此处不涉及最小值，故不需讨论区间与对称轴的关系).f (0)＝m ，f (1)＝2－2m ，当m ≥2－2m ，又m ＜43，即23≤m ＜43时，f (x )max ＝m .当m ＜2－2m ，又m ＜43，即m ＜23时，f (x )max ＝2(1－m ).当4－3m ＜0，即m ＞43时，二次函数f (x )的图象开口向下，又它的对称轴方程x＝14－3m＜0，所以函数f (x )在[0，1]上是减函数，于是f (x )max ＝f (0)＝m . 由①，②可知，这个函数的最大值为f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23.答案 (1)⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－53∪[－1，＋∞)(2)f (x )max＝⎩⎪⎨⎪⎧2－2m ，m ＜23，m ，m ≥23探究提高由数学运算要求引起的分类整合法，常见的类型有除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数问题，含有绝对值的不等式求解，三角函数的定义域等，根据相应问题中的条件对相应的参数、关系式等加以分类分析，进而分类求解与综合. [应用3] 由参数变化引起的分类【例1－3】 (2015·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x ). (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围. 解 (1)f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝1x－a .若a ≤0，则f ′(x )＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上单调递增.若a ＞0，则当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1a 时，f ′(x )＞0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，＋∞时，f ′(x )＜0，所以f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.综上，知当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1a 上单调递增，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫1a ，＋∞上单调递减.(2)由(1)知，当a ≤0时，f (x )在(0，＋∞)上无最大值；当a ＞0时，f (x )在x ＝1a 处取得最大值，最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＝ln 1a ＋a ⎝⎛⎭⎪⎫1－1a ＝－ln a ＋a －1.因此f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＞2a －2等价于ln a ＋a －1＜0.令g (a )＝ln a ＋a －1，则g (a )在(0，＋∞)上单调递增，g (1)＝0.于是，当0＜a ＜1时，g (a )＜0；当a ＞1时，g (a )＞0. 因此，a 的取值范围是(0，1).探究提高由参数的变化引起的分类整合法经常用于某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.热点二转化与化归思想[应用1] 换元法【例2－1】已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值是________.解析令b＝x，c＝y，则x＋y＝－a，x2＋y2＝1－a2.此时直线x＋y＝－a与圆x2＋y2＝1－a2有交点，则圆心到直线的距离d＝|a|2≤1－a2，解得a2≤23，所以a的最大值为63.答案6 3探究提高换元法是一种变量代换，也是一种特殊的转化与化归方法，是用一种变数形式去取代另一种变数形式，是将生疏(或复杂)的式子(或数)，用熟悉(或简单)的式子(或字母)进行替换；化生疏为熟悉、复杂为简单、抽象为具体，使运算或推理可以顺利进行.[应用2] 特殊与一般的转化【例2－2】已知f(x)＝33x＋3，则f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝________.解析f(x)＋f(1－x)＝33x＋3＋331－x＋3＝33x＋3＋3x3＋3x＝3x＋33x＋3＝1，∴f(0)＋f(1)＝1，f(－2 015)＋f(2 016)＝1，…，∴f(－2 015)＋f(－2 014)＋…＋f(0)＋f(1)＋…＋f(2 016)＝2 016.答案 2 016探究提高一般问题特殊化，使问题处理变得直接、简单.特殊问题一般化，可以使我们从宏观整体的高度把握问题的一般规律，从而达到成批处理问题的效果.[应用3] 常量与变量的转化【例2－3】对任意的|m |≤2，函数f (x )＝mx 2－2x ＋1－m 恒为负，则x 的取值范围为________.解析对任意的|m |≤2，有mx 2－2x ＋1－m ＜0恒成立，即|m |≤2时，(x 2－1)m －2x ＋1＜0恒成立.设g (m )＝(x 2－1)m －2x ＋1，则原问题转化为g (m )＜0恒成立(m ∈[－2，2]).所以⎩⎨⎧g （－2）＜0，g （2）＜0，即⎩⎨⎧2x 2＋2x －3＞0，2x 2－2x －1＜0.解得7－12＜x ＜3＋12，即实数x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫7－12，3＋12 探究提高在处理多变元的数学问题时，我们可以选取其中的参数，将其看作是“主元”，而把其它变元看作是常量，从而达到减少变元简化运算的目的. [应用4] 正与反的相互转化【例2－4】若对于任意t ∈[1，2]，函数g (x )＝x 3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2＋2x 2－2x 在区间(t ，3)上总不为单调函数，则实数m 的取值范围是________.解析 g ′(x )＝3x 2＋(m ＋4)x －2，若g (x )在区间(t ，3)上总为单调函数，则①g ′(x )≥0在(t ，3)上恒成立，或②g ′(x )≤0在(t ，3)上恒成立. 由①得3x 2＋(m ＋4)x －2≥0，即m ＋4≥2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，∴m ＋4≥2t－3t 恒成立，则m ＋4≥－1，即m ≥－5；由②得m ＋4≤2x－3x 在x ∈(t ，3)上恒成立，则m ＋4≤23－9，即m ≤－373.∴函数g (x )在区间(t ，3)上总不为单调函数的m 的取值范围为－373＜m ＜－5.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－373，－5探究提高否定性命题，常要利用正反的相互转化，先从正面求解，再取正面答案的补集即可，一般地，题目若出现多种成立的情形，则不成立的情形相对很少，从反面考虑较简单，因此，间接法多用于含有“至多”、“至少”及否定性命题情形的问题中.1.分类讨论思想的本质是“化整为零，积零为整”.用分类讨论的思维策略解数学问题的操作过程：明确讨论的对象和动机→确定分类的标准→逐类进行讨论→归纳综合结论→检验分类是否完备(即分类对象彼此交集为空集，并集为全集).做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分类不重复、不遗漏”的分析讨论.常见的分类讨论问题有： (1)集合：注意集合中空集∅讨论.(2)函数：对数函数或指数函数中的底数a ，一般应分a ＞1和0＜a ＜1的讨论；函数y ＝ax 2＋bx ＋c 有时候分a ＝0和a ≠0的讨论；对称轴位置的讨论；判别式的讨论.(3)数列：由S n 求a n 分n ＝1和n ＞1的讨论；等比数列中分公比q ＝1和q ≠1的讨论.(4)三角函数：角的象限及函数值范围的讨论.(5)不等式：解不等式时含参数的讨论，基本不等式相等条件是否满足的讨论. (6)立体几何：点线面及图形位置关系的不确定性引起的讨论.(7)平面解析几何：直线点斜式中k 分存在和不存在，直线截距式中分b ＝0和b ≠0的讨论；轨迹方程中含参数时曲线类型及形状的讨论. (8)去绝对值时的讨论及分段函数的讨论等.2.转化与化归思想遵循的原则：(1)熟悉已知化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，将未知的问题转化为已知的问题，以便于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决.(2)简单化原则：将复杂问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐统一原则：转化问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐统一的形式；或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或符合人们的思维规律.(4)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，应想到问题的反面，设法从问题的反面去探讨，使问题获得解决.一、填空题1.等比数列{a n }中，a 3＝7，前3项之和S 3＝21，则公比q 的值是________. 解析当公比q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝7，S 3＝3a 1＝21，符合要求.当q ≠1时，a 1q 2＝7，a 1（1－q 3）1－q ＝21，解之得，q ＝－12或q ＝1(舍去).综上可知，q ＝1或－12.答案 1或－122.过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)上任意一点P ，引与实轴平行的直线，交两渐近线于R ，Q 两点，则PR →·PQ →的值为________.解析当直线PQ 与x 轴重合时，|PR →|＝|PQ →|＝a . 答案 a 23.方程sin 2x ＋cos x ＋k ＝0有解，则k 的取值范围是________. 解析求k ＝－sin 2x －cos x 的值域. k ＝cos 2x －cos x －1＝⎝⎛⎭⎪⎫cos x －122－54.当cos x ＝12时，k min ＝－54，当cos x ＝－1时，k max ＝1，∴－54≤k ≤1.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－54，14.若数列{a n }的前n 项和S n ＝3n －1，则它的通项公式a n ＝________.解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n －1－(3n －1－1)＝2×3n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，也满足式子a n ＝2×3n －1， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2×3n －1. 答案 2×3n －15.已知a 为正常数，若不等式1＋x ≥1＋x2－x 22a对一切非负实数x 恒成立，则a的最大值为________.解析原不等式即x 22a ≥1＋x2－1＋x (x ≥0)，(*)令1＋x ＝t ，t ≥1，则x ＝t 2－1，所以(*)式可化为（t 2－1）22a ≥1＋t 2－12－t ＝t 2－2t ＋12＝（t －1）22对t ≥1恒成立，所以（t ＋1）2a≥1对t ≥1恒成立，又a 为正常数，所以a ≤[(t ＋1)2]min ＝4，故a 的最大值是4. 答案 46.已知△ABC 和点M 满足MA →＋MB →＋MC →＝0.若存在实数k 使得CA →＋CB →＝kCM →成立，则k 等于________. 解析 ∵MA →＋MB →＋MC →＝0，∴M 为已知△ABC 的重心，取AB 的中点D ， ∴CA →＋CB →＝2CD →＝2×32CM →＝3CM →，∵CA →＋CB →＝kCM →，∴k ＝3. 答案 37.设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点.已知P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且PF 1＞PF 2，则PF 1PF 2的值为________. 解析若∠PF 2F 1＝90°，则PF 21＝PF 22＋F 1F 22，∵PF 1＋PF 2＝6，F 1F 2＝25，解得PF 1＝143，PF 2＝43，∴PF 1PF 2＝72. 若∠F 2PF 1＝90°，则F 1F 22＝PF 21＋PF 22＝PF 21＋(6－PF 1)2，解得PF 1＝4，PF 2＝2， ∴PF 1PF 2＝2. 综上所述，PF 1PF 2＝2或72.答案 2或728.已知函数f (x )＝ln x －14x ＋34x －1，g (x )＝－x 2＋2bx －4，若对任意的x 1∈(0，2)，任意的x 2∈[1，2]，不等式f (x 1)≥g (x 2)恒成立，则实数b 的取值范围是________.解析依题意，问题等价于f (x 1)min ≥g (x 2)max ， f (x )＝ln x －14x ＋34x －1(x ＞0)，所以f ′(x )＝1x －14－34x 2＝4x －x 2－34x 2.由f ′(x )＞0，解得1＜x ＜3，故函数f (x )单调递增区间是(1，3)，同理得f (x )的单调递减区间是(0，1)和(3，＋∞)，故在区间(0，2)上，x ＝1是函数f (x )的极小值点，这个极小值点是唯一的，所以f (x 1)min ＝f (1)＝－12.函数g (x 2)＝－x 22＋2bx 2－4，x 2∈[1，2]. 当b ＜1时，g (x 2)max ＝g (1)＝2b －5；当1≤b ≤2时，g (x 2)max ＝g (b )＝b 2－4；当b ＞2时，g (x 2)max ＝g (2)＝4b －8. 故问题等价于⎩⎨⎧b ＜1，－12≥2b －5或⎩⎨⎧1≤b ≤2，－12≥b 2－4或⎩⎨⎧b ＞2，－12≥4b －8. 解第一个不等式组得b ＜1，解第二个不等式组得1≤b ≤142，第三个不等式组无解.综上所述，b 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142. 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，142 二、解答题9.数列{a n }中，a 1＝8，a 4＝2，且满足a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求S n . 解 (1)a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝0，所以a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ，所以{a n ＋1－a n }为常数列，所以{a n }是以a 1为首项的等差数列，设a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 4＝a 1＋3d ，所以d ＝2－83＝－2，所以a n ＝10－2n .(2)因为a n ＝10－2n ，令a n ＝0，得n ＝5. 当n ＞5时，a n ＜0；当n ＝5时，a n ＝0；当n ＜5时，a n ＞0. 记T n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，则T n ＝n （8＋10－2n ）2＝9n －n 2.所以当n ＞5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 5－(a 6＋a 7＋…＋a n ) ＝T 5－(T n －T 5)＝2T 5－T n ＝n 2－9n ＋40，当n ≤5时，S n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n | ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝T n ＝9n －n 2.所以S n ＝⎩⎨⎧9n －n 2（n ≤5），n 2－9n ＋40 （n ＞5）.10.已知函数g (x )＝ax x ＋1(a ∈R)，f (x )＝ln(x ＋1)＋g (x ).(1)若函数g (x )过点(1，1)，求函数f (x )的图象在x ＝0处的切线方程； (2)判断函数f (x )的单调性.解 (1)因为函数g (x )过点(1，1)，所以1＝a 1＋1，解得a ＝2，所以f (x )＝ln(x ＋1)＋2x x ＋1.由f ′(x )＝1x ＋1＋2（x ＋1）2＝x ＋3（x ＋1）2，则f ′(0)＝3，所以所求的切线的斜率为3.又f (0)＝0，所以切点为(0，0)，故所求的切线方程为y ＝3x .(2)因为f (x )＝ln(x ＋1)＋ax x ＋1(x ＞－1)，所以f ′(x )＝1x ＋1＋a （x ＋1）－ax （x ＋1）2＝x ＋1＋a（x ＋1）2.①当a ≥0时，因为x ＞－1，所以f ′(x )＞0，故f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；②当a ＜0时，由⎩⎨⎧f ′（x ）＜0，x ＞－1，得－1＜x ＜－1－a ，故f (x )在(－1，－1－a )上单调递减；由⎩⎨⎧f ′（x ）＞0，x ＞－1，得x ＞－1－a ，故f (x )在(－1－a ，＋∞)上单调递增.综上，当a ≥0时，函数f (x )在(－1，＋∞)上单调递增；当a ＜0时，函数f (x )在(－1，－1－a )上单调递减，在(－1－a ，＋∞)上单调递增.11.已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的一个焦点与抛物线y 2＝43x 的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形. (1)求椭圆的方程；(2)若过点(1，0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m ，0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由.解 (1)由题意，知抛物线的焦点为F (3，0)，所以c ＝a 2－b 2＝ 3.因为椭圆短轴的两个端点与F 构成正三角形，所以b ＝3×33＝1.可求得a ＝2，故椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)假设存在满足条件的点E ，当直线l 的斜率存在时设其斜率为k ，则l 的方程为y ＝k (x －1).由⎩⎨⎧x 24＋y 2＝1，y ＝k （x －1），得(4k 2＋1)x 2－8k 2x ＋4k 2－4＝0，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，解上述方程后易得：x 1＋x 2＝8k 24k 2＋1，x 1x 2＝4k 2－44k 2＋1.则PE →＝(m －x 1，－y 1)，QE →＝(m －x 2，－y 2)，所以PE →·QE →＝(m －x 1)(m －x 2)＋y 1y 2 ＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋y 1y 2＝m 2－m (x 1＋x 2)＋x 1x 2＋k 2(x 1－1)(x 2－1) ＝m 2－8k 2m 4k 2＋1＋4k 2－44k 2＋1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－44k 2＋1－8k 24k 2＋1＋1 ＝（4m 2－8m ＋1）k 2＋（m 2－4）4k 2＋1＝（4m 2－8m ＋1）⎝⎛⎭⎪⎫k 2＋14＋（m 2－4）－14（4m 2－8m ＋1）4k 2＋1＝14(4m 2－8m ＋1)＋2m －1744k 2＋1. 要使PE →·QE →为定值，令2m －174＝0，即m ＝178，此时PE →·QE →＝3364. 当直线l 的斜率不存在时，不妨取P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，Q ⎝⎛⎭⎪⎫1，－32，由E ⎝ ⎛⎭⎪⎫178，0，可得PE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，－32，QE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫98，32，所以PE →·QE →＝8164－34＝3364.综上，存在点E ⎝⎛⎭⎪⎫178，0，使PE →·QE →为定值3364.。

专题训练三——分类讨论思想

图10.2-3专题训练三分类讨论思想一、思想方法领悟：数学思想方法：分类讨论是根据数学对象的本质属性，将问题区分为不同的类型，然后对每一类型进行分析研究.几种常见类型：1、概念的分类。

2、几何中图形位置关系不确定的分类。

3、数学中的许多问题由于题设交代笼统，要进行分类讨论。

4、解题方法上的分类。

核心与关键点：分类时要不重不漏，全面完整的解答。

二、典型例题解析：【例1】（1）已知m n n m -=-,且4m =,3n =,则2()m n += ．（2）O 为坐标原点，A (1,1)，P 为坐标轴上一点，则使△OPA 为等腰三角形的点P 有( )A.4个B. 5个C. 6个D. 8个（3）在□ABCD 中，BC 边上的高为4，AB =5，AC=□ABCD 的周长等于．【例2】（1）当21x -≤≤时，二次函数()122++--=m m x y 有最大值4，则实数m 的值为（）A. 47-B.3或3-C. 2或3-D. 2或3或47-（2）若函数231y ax ax x =-++与x 轴只有一个交点，求a 的值与交点坐标.【例3】如图10.2-1，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A ＝90° ，AB ＝7，AD ＝2，BC ＝3.试在边AB 上确定点P 的位置，使得以P 、A 、D 为顶点的三角形与以P 、B 、C 为顶点的三角形相似.【例4】（1）CD 是⊙O 的一条弦，作直径AB ，使AB ⊥CD ，垂足为E ，若AB =10，CD =8，则BE 的长是（）A.8B.2C.2或8D.3或7 （2）已知⊙O 的两条平行弦AB 与CD 之间的距离为14，且AB ＝12， CD ＝16，求⊙O 的半径R .【例5】如图10.2-3，直线33y x =+交x 轴于A 点，交y 轴于B 点，过A 、B 两点的抛物线交x 轴于另一点(3,0)C .（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点Q ，使△ABQ 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q 点坐标；若不存在，请说明理由.三、能力梯级提高：（一）中档训练1.三角形两边的长分别是8和6，第三边的长是一元二次方程216600x x -+=的一个实数根，则该三角形的面积是( )A.24B.24或2. AB 、AC 与⊙O 相切于B 、C ，∠A =50°，点P 是圆上异于B 、C 的一动点，则∠BPC 的度数是( )PDAA.65°B.115°C.65°或115°D.130°或50°3.一次函数y kx b =+，当-3≤x ≤1时，对应的y 值为1≤y ≤9，则kb 值为( )A.14B.-6C.-4或21D. -6或144.直线334y x =+与两坐标轴交于A 、B 两点，O 为原点，平面内有以点P (不与点A 、B 、O 重合)为顶点的直角三角形与Rt △ABO 全等，且这个以点P 为顶点的直角三角形与Rt △ABO 有一条公共边，则所有符合条件的P 点个数为( )A.9个B.7个C.5个D.3个5.关于x 的方程2(2)210m x x --+=有实根，则m 的取值范围是 .6.，则顶角的度数等于 .7.已知△ABC 中，AB =9，AC =6，点M 在AB 上且AM =3，点N 在AC 上，连接MN ，使△AMN 与原三角形相似，则AN ＝ .8.某水果批发市场香蕉的价格如下表：张强两次共购买香蕉50千克(第二次多于第一次)，共付款264元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克?（二）中考延伸9. 如图，点A 在x 轴上，OA ＝4，将线段OA 绕点O 顺时针旋转120°至OB 的位置．(1)求点B 的坐标；(2)求经过点A ，O ，B 的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使得以点P ，O ，B 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，说明理由．10. 如图所示，已知直线y kx m =+与x 轴、y 轴分别交于A 、C 两点，抛物线2y x bx c=-++经过A 、C 两点，点B 是抛物线与x 轴的另一个交点，当12x =-时，y 取最大值254.（1）求抛物线和直线的解析式；（2）设点P 是直线AC 上一点，且ABP S ∆:BPC S ∆1:3=，求点P 的坐标；（3）若直线12y x a =+与（1）中所求的抛物线交于M ，N 两点，问:①是否存在a 的值，使得90MON ∠=︒？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由； ②猜想当90MON ∠>︒时，直接写出a 的取值范围.第9题图。

分类讨论思想练习题

分类讨论思想练习题思维的分类是人类对事物进行认识和理解的基础。

分类讨论思想练习题是一种常见的思维训练方法，旨在通过分析和归纳，提高我们对问题的认知和解决能力。

本文将从概念分类、问题分类和解决方案分类三个方面，详细讨论分类讨论思想练习题的应用和意义。

一、概念分类概念分类是对不同事物之间的相似性和区别性进行归纳和总结的过程。

在思考问题时，我们可以根据问题的性质和特点，将问题进行概念分类，以便更好地理解问题的本质和内涵。

以数学问题为例，我们可以将数学问题分为代数问题、几何问题和概率问题等。

通过对不同类型问题的分类，我们能够更好地理解和应用相应的数学知识，提高解决问题的能力。

二、问题分类问题分类是对问题进行细致的分解和划分，以便更好地分析和解决问题。

通过将复杂的问题拆解为若干个相对简单的小问题，我们可以更加有条理地思考和解决问题。

以企业经营问题为例，我们可以将问题分为市场问题、财务问题和人力资源问题等。

通过对不同方面问题的分类，我们可以更加深入地分析和解决企业经营中的各种挑战。

三、解决方案分类解决方案分类是对不同解决方案进行归纳和分类的过程。

在面对问题时，我们可以通过对解决方案的分类，从而找到最适合的解决方法，提升问题解决的效率和质量。

以环境保护问题为例，我们可以将解决方案分为政府干预类、技术创新类和公众参与类等。

通过对不同解决方案的分类，我们能够更有针对性地采取措施，保护好我们的环境。

分类讨论思想练习题的意义：1. 提高思维能力：通过对事物进行分类，使我们更好地理解和认识事物的内涵和特点，提高我们的思维能力。

2. 更有针对性地解决问题：通过对问题进行分类，我们能够更加系统和全面地分析问题，从而找到最适合的解决方法。

3. 增强问题解决的效率：通过对解决方案进行分类，我们能够更加迅速地找到解决问题的途径，提高问题解决的效率。

4. 培养创新意识：分类讨论思想练习题的过程中，我们需要对事物和问题进行归纳和总结，这培养了我们的创新意识和思维能力。

专题二-分类讨论思想训练

方法技巧专题二分类讨论思想训练当数学问题中的某一条件模糊而不确定时，需要对这一条件进行分类讨论，然后逐一解决．常见的分类讨论有概念的分类、解题方法的分类和图形位置关系的分类等．一、选择题1．⊙O中，点A，B，C在⊙O上，∠AOB＝100°，点C不与A、B重合，则∠ACB的度数为()A．50°B．80°或50°C．130°D．50°或130°2．[2016·荆门]已知3是关于x的方程x2－(m＋1)x＋2m＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，则△ABC的周长为() A．7B．10C．11D．10或113．[2017·聊城]如图F2－1是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连结PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是()A．2个B．3个C．4个D．5个二、填空题4．[2017·西宁]若点A(m，n)在直线y＝kx(k≠0)上，当－1≤m≤1时，－1≤n≤1，则这条直线的函数解析式为________．5．[2016·西宁]⊙O的半径为1，弦AB＝2，弦AC＝3，则∠BAC的度数为________．6．在Rt△ABC中，∠A＝90°，有一个锐角为60°，BC＝6.若点P在直线AC上(不与点A，C重合)，且∠ABP＝30°，则CP的长为________．7．[2016·江西]如图F2－2是一张长方形纸片ABCD，已知AB＝8，AD＝7，E为AB上一点，AE＝5，现要剪下一张等腰三角形纸片(△AEP)，使点P落在长方形ABCD的某一条边上，则等腰三角形AEP的底边长是________．图F2－28．[2017·齐齐哈尔]如图F2－3，在等腰三角形纸片ABC中，AB＝AC＝10，BC＝12，沿底边BC上的高AD剪成两个三角形，用这两个三角形拼成平行四边形，则这个平行四边形较长的对角线的长是________．图F2－39．[2016·鄂州]如图F2－4，AB＝6，O是AB的中点，直线l经过点O，∠1＝120°，P是直线l上一点．当△APB为直角三角形时，AP＝________．图F2－410．[2016·荆门]如图F2－5，已知点A(1，2)是反比例函数y＝kx图象上的一点，连结AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，则点P的坐标是________图F2－511．[2017·义乌]如图F2－6，∠AOB＝45°，点M，N在边OA上，OM＝x，ON＝x＋4，点P是边OB上的点，若使P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是________．图F2－6。

分类讨论思想在角的计算中的应用专题练习(解析版)

分类讨论思想在角的计算中的应用专题练习一、选择题1、若∠AOB=90°，∠BOC=40°，则∠AOC的度数为（）A. 50°B. 50°或120°C. 50°或130°D. 130°答案：C分析：根据题意可得此题要分两种情况，一种是OC在∠AOB内部，另一种是在∠AOB外部．解答：∵∠AOB=90°，∠BOC=40°，∴①如图1，∠AOC=90°+40°=130°，②如图2，∠AOC=90°-40°=50°，选C.2、已知∠AOB=120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3的两个角，那么∠AOC的度数为（）A. 40°B. 40°或80°C. 30°D. 30°或90°答案：D分析：本题考查角的计算.解答：已知∠AOB=120°，OC在它的内部，且把∠AOB分成1：3的两个角，可得∠AOC=1 4×120°=30°或∠AOC=34×120°=90°．∴∠AOC的度数为30°或90°，选D.3、已知：∠AOC=90°，∠AOB:∠AOC=2:3，则∠BOC的度数为（）A. 30°B. 60°C. 60°或135°D. 30°或150°答案：D解答：设∠AOB=2x，则∠AOC=3x．∵∠AOC=90°=3x，∴x=30°，∴∠AOB=60°，当点B在∠AOC内部时，∠BOC=∠AOC-∠AOB=30°，当点B在∠AOC外部时，∠BOC=∠AOC+∠AOB=150°．4、在同一平面内，若∠BOA=50.3°，∠BOC=10°30’，则∠AOC的度数是（）A. 60.6°B. 40°C. 60.8°或39.8°D. 60.6°或40°答案：C解答：分两种情况：OC在∠BOA之中，∴∠BOC+∠AOC=∠AOB，∴∠AOC=39.8°，OC在∠AOB外，∴∠AOC=∠BOA+∠BOC，∴∠AOC=60.8°．5、如图∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，以OC为一边作∠COP＝15°，则∠BOP＝（）A. 15°B. 45°C. 15°或30°D. 15°或45°答案：D分析：本题考查角的平分线以及角的和差.解答：∵∠AOB＝60°，射线OC平分∠AOB，∴∠AOC＝∠BOC12=∠AOB＝30°，又∠COP＝15°，①当OP在∠BOC内，∠BOP＝∠BOC﹣∠COP＝30°﹣15°＝15°；②当OP在∠AOC内，∠BOP＝∠BOC+∠COP＝30°+15°＝45°.综上所述，∠BOP＝15°或45°．选D.6、已知∠AOC=2∠BOC，若∠BOC=30°，∠AOB等于（）A. 90°B. 30°C. 90°或30°D. 120°或30°答案：C解答：∵∠BOC=30°，则∠AOC=2∠BOC=2×30°=60°．当射线OB在∠AOC内部时，如图所示：∵∠AOC=60°，∠BOC=30°，∴∠AOB=∠AOC-∠BOC=60°-30°=30°．当射线OB在∠AOC外部时，如图所示：∵∠AOC=60°，∠BOC=30°，∴∠AOB=∠AOC+∠BOC=60°+30°=90°；综上，∠AOC的度数为90°或30°．二、填空题7、已知∠AOB=3∠BOC，若∠BOC=30°，则∠AOC=______．答案：60°或120°解答：∠AOB=3∠BOC=90°，OC在∠AOB内，∠AOC=∠AOB-∠BOC=60°；OC在∠AOB外，∠AOC=∠AOB+∠BOC=120°．8、已知∠AOB=40°，从O点引射线OC，若∠AOC:∠COB=1:3，∠AOC的度数为______．答案：20°或10°解答：当射线OC在∠AOB之内时，∠AOC=10°，当射线OC在∠AOB之外时，∠AOC=20°．9、在同一平面内有两个角∠AOB与∠BOC，其中∠AOB=50°，∠BOC=30°，射线OM、ON，分别是∠AOB与∠BOC的角平分线，则∠MON的度数为______．答案：10°或40°解答：∵OM、ON为∠AOB和∠BOC角平分线，∴∠BOM=12∠AOB=25°，∠BON=12∠BOC=15°，当OC在∠AOB内部时：∠MON=∠BOM-∠BON=25°-15°=10°，当OC在∠AOB外部时：∠MON=∠BOM+∠BON=25°+15°=40°．10、已知一条射线OA，由点O引射线OB、OC，∠AOB=72°，∠BOC=36°，则∠AOC=______．答案：108°或36°解答：如图①∠AOB=72，∠BOC=36°，∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=108°．如图②∠AOB=72°，∠BOC=36°，∴∠AOC=∠AOB-∠BOC=36°．11、一条射线OA，从点O再引两条射线OB与OC，使∠AOB=40°，∠BOC=20°，则∠AOC=______．答案：20°或60°解答：如图，当射线OC在OB内部时，∠AOC=40°-20°=20°，当射线OC在角外部时∠AOC=40°+20°=60°．12、以∠AOB的顶点O为端点引射线OP，使∠AOP:∠BOP=3:2，若∠AOB=17°，∠AOP的度数为______．答案：10.2°或51°解答：①∵∠AOP:∠BOP=3:2，∠AOB=∠AOP+∠BOP=17°，∴∠AOP=10.2°．②设∠AOP=3x，则∠BOP=2x．由题意知3x-2x=17°，∴x=17°，∴∠AOP=51°．三、解答题13、已知OA、OB、OC是从点O引出的三条射线，∠AOB=85°，∠BOC=45°，求∠AOC. 答案：40°或130°解答：OC在∠AOB内时∠AOC=∠AOB-∠BOC=40°OC在∠AOB外时∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°14、已知∠AOB=40°，从O点引射线OC，若∠AOC:∠COB=2:3，求OC与∠AOB的角平分线所成的角的度数．答案：100°或4°解答：若OC在∠AOB内部，∵∠AOC:∠COB=2:3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°，∠COB=3x=3×8°=24°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD-∠AOC=20°-16°=4°，若OC在∠AOB外部，∵∠AOC:∠COB=2:3，∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x-2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∠COB=3x=3×40°=120°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°，∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．15、已知：如图，OC是∠AOB的平分线．（1）当∠AOB=60°时，求∠AOC的度数．（2）在（1）的条件下，过点O作OE⊥OC，请在图中补全图形，并求∠AOE的度数．（3）当∠AOB=α时，过点O作OE⊥OC，直接写出∠AOE的度数（用含α的代数式表示）．答案：（1）∠AOC=30°．（2）∠AOE=120°或=60°．（3）∠AOE=90°+12α或∠AOE=90°-12α．解答：（1）∵OC是∠AOB的平分线（已知），∴∠AOC=12∠AOB，∵∠AOB=60°，∴∠AOC=30°．（2）∵OE⊥OC，∴∠EOC=90°，如图，∠AOE=∠COE+∠COA=90°+30°=120°．如图，∠AOE=∠COE-∠COA=90°-30°=60°．（3）∠AOE=90°+12α或∠AOE=90°-12α．16、如图，已知点O在直线AB上，作射线OC，点D在平面内，∠BOD与∠AOC互余．（1）若∠AOC:∠BOD=4:5，则∠BOD=______．（2）若∠AOC=α（0°＜α≤45°），ON平分∠COD.①当点D在∠BOC内，补全图形，直接写出∠AON的值（用含α的式子表示）．②若∠AON与∠COD互补，求出α的值．答案：（1）50°（2）①∠AON=α+45°．②α的取值为45°或22.5°．解答：（1）∵∠BOD与∠AOC互余，∴∠BOD+∠AOC=90°，∵∠AOC:∠BOD=4:5，∴∠AOC=45∠BOD，∴45∠BOD+∠BOD=90°，9∠BOD=90°，5∴∠BOD=50°．故答案为：50°．（2）①补全图形如下：∠AON=α+45°．②情形一：点D在∠BOC内．此时，∠AON=α+45°，∠COD=90°，依题意可得：α+45°+90°=180°，解得：α=45°．情形二：点D在∠BOC外．在0°＜α≤45°的条件下，补全图形如下：此时，∠AON=45°，∠COD=90°+2α，依题意可得：45°+90°+2α=180°，解得：α=22.5°综上，α的取值为45°或22.5°．17、已知：∠AOB=α，∠BOC=90°．（1）若α=30°，则∠AOC=______．（2）请画图示意并求解：若α=40°，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，求∠EOF 的度数，并说明理由．（3）若0＜α＜180°，射线OE平分∠AOC，射线OF平分∠BOC，则∠EOF=______．（用含α的代数式表示，直接写出结果即可）答案：（1）120°或60°（2）∠EOF=20°．（3）12α或180°-frac{α}2解答：（1）∠AOC=∠AOB+∠BOC=30°+90°=120°，或∠AOC=∠BOC-∠AOB=90°-30°=60°．（2）如图1，当射线OA在∠BOC内部时，∠AOC=∠BOC-∠AOB=90°-40°=50°．∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC=12×50°=25°．∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=12∠BOC=12×90°=45°，∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=45°-40°=5°，∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=25°-5=20°．图2，当射线OA在∠BOC外部时，∠AOC=∠BOC+∠AOB=90°+40°=130°．∵OE平分∠AOC，∴∠AOE=12∠AOC=12×130°=65°．∵OF平分∠BOC，∴∠BOF=12∠BOC=12×90°=45°，∴∠BOE=∠AOE-∠AOB=65°-40°=25°，∴∠EOF=∠BOF-∠BOE=45°-25°=20°．综上可得∠EOF=20°．（3）当射线OC在∠AOB内部时，如图3，∠AOC=∠AOB-∠BOC=α-90°．∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=12∠AOC=902α-︒=12α-45°．∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC=45°，∴∠EOF=∠EOC+∠COF=12α-45°+45°=12α．当射线OC在∠AOB外部时，如图4，∠AOC=360°-∠AOB-∠BOC=270°-α．∵OE平分∠AOC，∴∠EOC=12∠AOC=2702α︒-=135°-12α．∵OF平分∠BOC，∴∠COF=12∠BOC=45°，∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=135°-12α+45°=180°-12α．综上所述∠EOF为12α或180°12α．18、如图，∠AOB=120°，点C为∠AOB内部一点，OD平分∠BOC，OE平分∠AOD.（1）如果∠AOC=30°，依题意补全图形．（2）在（1）的条件下，求∠EOC的度数．（3）如果∠AOC=α（0°＜α＜120°），直接用含α的代数式表示∠EOC的度数．答案：（1）画图见解析．（2）∠EOC=7.5°．（3）∠EOC=30°-34a或34a-30°．解答：（1）如图所示．（2）∵∠AOC=30°，∠AOB=120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°，∵OD平分∠BOC，∴∠COD=12∠BOC=45°，∴∠AOD=∠AOC+∠COD=30°+45°=75°，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD=37.5°，∴∠EOC=∠COD-∠DOE=45°-37.5°=7.5°．（3）∵∠AOC=α，∠AOB=120°，∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=120°-∠α，∵OD平分∠BOC，∴∠COD=12∠BOC=12（120°-∠α）=60°-12α，∵OE平分∠AOD，∴∠DOE=12∠AOD=30°+14α，①当0°＜α≤40°时，∠EOC=∠COD-∠DOE=60°-12α-30°-14α=30°-34α．②当40°＜α≤120°时，∠EOC=∠COD-∠DOE=30°+14α-60°+12α=34α-30°．∴综上∠EOC=30°-34a或34a-30°．。

《有理数》数学思想-分类讨论(专项练习)-七年级数学上册基础知识专项讲练(苏科版)【有答案】

专题2.25 《有理数》数学思想-分类讨论（专项练习）分类讨论是人们常用的重要思想方法，是数学解题中的一个重要思想方法，它能训练人的思维条理性和严密性。

实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的数学策略。

分类讨论遵循的原则：不重不漏分类讨论的步骤：1、先明确需讨论的对象及讨论对象的取值范围；2、正确选择分类的标准，进行合理分类；3、逐类讨论解决；4、归纳并作出结论。

本章结合有理数分类、绝对值、及数轴上的点进行专题巩固学习，对初入中学学习同学来说相当重要，让学生形成数学思想，对于提升学生数学素养十分重要。

一、单选题1．下列关于有理数的分类正确的是（）A ．有理数可以分为正有理数和负有理数B ．有理数可分为正有理数、负有理数和0C ．有理数可分为正整数、0和负整数D ．有理数可分为自然数、0和分数 2．已知0abc >，则式子：a b c a b c ++=（） A ．3 B ．3-或1C ．1-或3D ．1 3．若m 满足方程20192019m m -=+，则2020m -等于（）A ．2020m -B ．2020m --C ．2020m +D ．2020m -+ 4．对于任意实数x ，通常用[]x 表示不超过x 的最大整数，如[2.9]2=，下列结论正确的是（）①[]33-=- ②[]2.92-=- ③[0.9]0= ④[][]0x x +-=A ．①②B ．②③C ．①③D ．③④5．已知a ，b ，c 为有理数，且0a b c ++=，0abc <，则a b c a b c++的值为（） A ．1 B ．1-或3- C ．1或3- D ．1-或3 6．在数轴上和有理数a 、b 、c 对应的点的位置如图所示，有下列四个结论：①(1)(1)(1)0a b c ---<；②a b b c a c -+-=-；③()()()0a b b c c a +++>；④1a bc <-，其中正确的结论有（）个A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个 7．已知：23a bb cc am c a b +++=++，且0abc >，0a b c ++=，则m 共有x 个不同的值，若在这些不同的m 值中，最小的值为y ，则x y +=（）A ．1-B ．1C ．2D ．38．如果a ，b ，c 是非零有理数，那么a b c abc a b c abc+++的所有可能的值为（）． A ．4-，2-，0，2，4B ．4-，2-，2，4C ．0D ．4-，0，49．有理数a 、b 、c 在数轴上对应点的位置如图所示，若|b |＞|c |，则下列结论中正确的是（）A ．abc ＜0B ．b ＋c ＜0C ．a ＋c ＞0D ．ac ＞ab二、填空题10．将下列各有理数按不同的标准分类：2，413，－7，1.5，0，－5.3, －32， 6，－80%. (1)按有理数的定义分；(2)按有理数的正、负性质分．11．若0a b c ++=，则||||||a ab abc a ab abc++的值是___________． 12．若|x+3|+45|x-5|=12，则x=_____． 13．如图，A 点的初始位置位于数轴上的原点，现对A 点做如下移动：第1次从原点向右移动1个单位长度至B 点，第2次从B 点向左移动3个单位长度至C 点，第3次从C 点向右移动6个单位长度至D 点，第4次从D 点向左移动9个单位长度至E 点，……，依此类推，移动 6 次后该点对应的数是___；至少移动_____次后该点到原点的距离不小于20．14．在有理数范围内，我们定义三个数之间的新运算“⊗”法则：a b c a b c a b c ⊗⊗=++-+-，例如：()()()12-312-312-3⊗⊗=++-+-．在57274,,0,,,99393--这6个数中，任意取三个数作为,,a b c 的值，则a b c ⊗⊗的最大值为__________．15．点A 、B 在数轴上分别表示有理数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为AB ，则在数轴上A 、B 两点之间的距离AB a b ．所以式子2x -的几何意义是数轴上表示x 的点与表示2的点之间的距离．借助于数轴回答下列问题：①数轴上表示2和5两点之间的距离是________，数轴上表示1和3-的两点之间的距离是________．②数轴上表示x 和2-的两点之间的距离表示为________．③数轴上表示x 的点到表示1的点的距离与它到表示3-的点的距离之和可表示为：13x x -++．则13x x -++的最小值是________． ④若318x x -++=，则x =________16．若a ，b ，c 为有理数，且abc ≠0，则b abc a c a b c abc++-＝_____． 17．数学真奇妙，小慧同学研究有两个有理数a 和b ，若计算a+b ，a-b ，ab ，a b 的值，发现有三个结果恰好相同，小慧突发灵感，想考考大家，请你们求()28b a +=_____________ 18．如图，将一个半径为1个单位长度的圆片上的点A 放在原点，并把圆片沿数轴滚动1周，点A 到达点A '的位置，则点A '表示的数是 _______；若起点A 开始时是与—1重合的，则滚动2周后点A '表示的数是______．19．若|x |＝11，|y |＝14，|z |＝20，且|x +y |＝x +y ，|y +z |＝﹣（y +z ），则x +y ﹣z ＝_____．三、解答题20．有理数的两种分类方法：有理数有理数 21．177.6,2,, 4.1,5,23--- （1）将以上有理数按从小到大的顺序排列，并用“<”连接；（2）将以上有理数按一定的分类标准分成若干类．22．把下列各数按要求分类．2224,2, 1.5,,0.6,,0,37π-- 整数集合：{ ．．．}，分数集合：{ ．．．}，非负整数集合：{ ．．．}，有理数集合：{ ．．．}．23．如图是数学果园里的一棵“有理数”知识树，请仔细辨别分类，把各类数填在它所属的横线上．24．（1）填空：①正数：35+= ，8= ； ②负数：0.7-= ，12-= ；③零：0= ；（2）根据（1）中的规律可以发现：无论什么数，它们的绝对值一定是数，即0a ≥ （3）请认真阅读下列材料，求2x +的最小值解：0x ≥，∴当0x =，即0x =时，2x +的最小值是2解答下列问题 ①求2020x +的最小值；②255a --有最大值还是最小值，求出这个值，并求出a 的值25．同学们都知道，|4(2)|--表示4与2-的差的绝对值，实际上也可理解为4与2-两数在数轴上所对应的两点之间的距离：问理|3|x -也可理解为x 与3两数在数轴上所对应的两点之问的距离，试探索：（1）|4(2)|--=_______．（2）找出所有符合条件的整数x ，使|4||2|6x x -++=成立，并说明理由（3）由以上探索猜想，对于任何有理数x ，|3||6|x x -+-是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 26．阅读下题和解题过程：化简：()2122x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20x -≥时，即2x ≥时：原式21243x x x =-+-+=-+；当20x -<时，即2x <时：原式()212437x x x =--+-+=-+．这种解题的方法叫“分类讨论法”．请你用“分类讨论法”解一元一次方程：213x -=．27．分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简|a|时，可以这样分类：当a ＞0时，|a|=a ；当a=0时，|a|=0；当a ＜0时，|a|=﹣a ．用这种方法解决下列问题：(1)当a=5时，求a a的值． (2)当a=﹣2时，求a a的值．(3)若有理数a 不等于零，求a a的值． (4)若有理数a 、b 均不等于零，试求a a +b b的值． 28．[分类讨论思想] 甲、乙两名同学正在对8a ＞6a 进行讨论，甲说：“8a ＞6a 正确．”乙说“这不可能正确．”你认为谁的观点对？谈谈你的看法．29．阅读下题和解题过程：化简212(2)x x -+--，使结果不含绝对值．解：当20-≥x 时，即2x ≥时，原式2124x x =-+-+3x =-+；当20x -<，即2x <时，原式(2)124x x =--+-+37x =-+这种解题的方法叫“分类讨论法”．(1)请你用“分类讨论法”解一元一次方程：2(21)3x x +-=+；(2)试探究：当m 分别为何值时，方程21x m -=-①无解，②只有一个解，③有两个解30．定义：若A ，B ，C 为数轴上三点，若点C 到点A 的距离是点C 到点B 的距离2倍，我们就称点C 是[],A B 的美好点．例如；如图1，点A 表示的数为1-，点B 表示的数为2．表示1的点C 到点A 的距离是2，到点B 的距离是1，那么点C 是[,]A B 的美好点；又如，表示0的点D 到点A 的距离是1，到点B 的距高是2，那么点D 就不是[,]A B 的美好点，但点D 是[,]B A 的美好点．如图2，M ，N 为数轴上两点，点M 所表示的数为7-，点N 所表示的数为2．（1）点E ，F ，G 表示的数分别是3-，6.5，11，其中是[,]M N 美好点的是________；写出[,]N M 美好点H 所表示的数是___________．（2）现有一只电子蚂蚁P 从点N 开始出发，以2个单位每秒的速度向左运动．当t 为何值时，点P 恰好为M 和N 的美好点？31．概念学习规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如222÷÷，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-等，类比有理数的乘方，我们把222÷÷记作32，读作“2的3次商”，(3)(3)(3)(3)-÷-÷-÷-记作4(3)-，读作“3-的4次商”．一般地，我们把n 个(0)a a ≠相除记作n a ，读作“a 的n 次商”．初步探究（1）直接写出结果：32=________；（2）关于除方，下列说法错误的是_________．①任何非零数的2次商都等于1；②对于任何正整数n ，(1)1n -=-；③4334=；④负数的奇数次商结果是负数，负数的偶数次商结果是正数．深入思考我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算能够转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？例：2411112222222222⎛⎫=÷÷÷=⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭（3）试一试：仿照上面的算式，将下列运算结果直接写成乘方（幂）的形式 4(3)-=_______；517⎛⎫= ⎪⎝⎭_______．（4）想一想：将一个非零有理数a 的n 次商写成幂的形式等于___________；（5）算一算：2453111152344⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-⨯-+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭________．参考答案1．B【分析】根据有理数的分类即可判断.【详解】有理数可以分为正有理数、负有理数和零，故A ，C ，D 错误，B 正确；故选B.【点拨】此题主要考查有理数的分类，解题的关键是熟知有理数的分类特点.2．C【分析】不妨设a ＜b ＜c ，分类讨论：①a ＜b ＜0＜c ，②a ＞0，b ＞0，c ＞0，根据绝对值的定义即可得到结论．【详解】不妨设a ＜b ＜c ．∵abc ＞0，∴分两种情况：①a ＜b ＜0＜c ，则abca b c ++=－1+（－1）+1=－1；②a ＞0，b ＞0，c ＞0，则a b c a b c ++=1+1+1=3．故选C ．【点拨】本题考查了绝对值，有理数的混合运算，解题的关键是讨论字母的取值情况． 3．D【分析】根据绝对值的性质分情况讨论m 的取值范围即可解答.【详解】当2019m ≥时，20192019m m -=-，不符合题意；当0m ≤时，20192019m m -=+，符合题意；当02019m <<时，20192019m m -=-，不符合题意；所以0m ≤20202020m m -=-+故选D【点拨】本题考查绝对值的性质以及有理数的加减，熟练掌握以上知识点是解题关键.4．C【分析】根据符号[x]表示不超过x 的最大整数，依次判断可得答案．【详解】解：由题意可得，[-3]=-3，故①正确；[-2.9]=-3，故②错误；[0.9]=0，故③正确；当x 为整数时，[x]+[-x]=x+（-x ）=0，当x 为小数时，如x=1.2，则[x]+[-x]=1+（-2）=-1≠0，故④错误；故选：C ．【点拨】本题考查了有理数的大小比较，解答本题的关键是理解题目中的新定义．5．A【分析】先根据有理数的乘法法则推出：要使三个数的乘积为负，a ，b ，c 中应有奇数个负数，进而可将a ，b ，c 的符号分两种情况：1负2正或3负；再根据加法法则：要使三个数的和为0，a ，b ，c 的符号只能为1负2正，然后化简即得．【详解】∵0abc <∴a ，b ，c 中应有奇数个负数∴a ，b ，c 的符号可以为：1负2正或3负∵0a b c ++=。

数学数学思想练习题分类讨论思想专练

分类讨论思想专练一、选择题1．集合A＝｛x|｜x|≤4,x∈R}，B＝{x｜|x－3|〈a,x∈R｝,若A⊇B,那么a的取值范围是( ）A．0≤a≤1 B．a≤1C．a<1 D．0〈a<1答案B解析当a≤0时，B＝∅,满足B⊆A；当a〉0时,欲使B⊆A,则错误!⇒0<a≤1。

综上得a≤1.2．设F1、F2为椭圆错误!＋错误!＝1的两个焦点，P为椭圆上一点，已知P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF1｜>｜PF2｜，则错误!的值为( ）A．2 B.错误!C．2或错误!D．2或1答案C解析若∠PF2F1＝90°，则|PF1｜2＝|PF2|2＋｜F1F2｜2，又∵｜PF1｜＋|PF2|＝6，|F1F2|＝25，∴|PF1｜＝错误!,｜PF2｜＝错误!，∴错误!＝错误!；若∠F1PF2＝90°,则|F1F2|2＝|PF1｜2＋|PF2|2,∴|PF1｜2＋(6－|PF1|）2＝20，又|PF1|〉｜PF2|，∴｜PF1|＝4，｜PF2｜＝2,∴|PF1｜｜PF2|＝2.综上，知错误!＝错误!或2。

3．已知函数f（x）＝错误!满足f(a）＝3，则f(a－5）的值为（) A．log23 B。

错误! C.错误!D．1答案C解析分两种情况分析，错误!①或者错误!②，①无解，由②得a＝7,所以f（a－5)＝22－3＋1＝错误!，故选C。

4．已知变量x，y满足的不等式组错误!表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k等于（）A．－错误!B。

错误!C．0 D．－错误!或0答案D解析不等式组｛x≥0，y≥2x，，kx－y＋1≥0表示的可行域如图（阴影部分)所示，由图可知若不等式组错误!表示的平面区域是直角三角形，只有直线y＝kx＋1与直线x＝0垂直（如图①)或直线y＝kx＋1与直线y＝2x垂直（如图②）时，平面区域才是直角三角形．由图形可知斜率k的值为0或－错误!。

高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习

高考数学----运用分类讨论的思想方法解题课时作业及真题练习课时作业一、单选题1．已知()f x 为奇函数，且在上是递增的，若(3)0f −=，则()0xf x >的解集是（）A ．或B ．或C ．或D ．或【答案】B 【解析】()f x 是奇函数，且在(0,)+∞内是增函数，()f x ∴在(,0)−∞内是增函数，又(3)0f −=，(3)(3)0f f ∴=−−=，∴当(,3)(0,3)x ∈−∞−⋃时，()0f x <；当(3,0)(3,)x ∈−⋃+∞时，()0f x >；()0x f x ∴⋅>的解集是(,3)(3,).−∞−⋃+∞故选.B2．已知函数若存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()()f x f x =，则实数a 的取值范围为（）A ．(,4)−∞ B ．1(,)4−∞C ．(,3)−∞D ．(,8)−∞【答案】A【解析】由题意知，2y x ax =−+图象的对称轴方程为.2a x = 当22a<，即4a <时，根据二次函数的性质可知，一定存在1x ，2x R ∈，且12x x ≠，使得12()();f x f x =(0,)+∞当22a …，即4a …时，由题意知22245a a −+>−，解得12a <，不符合题意．综上所述，(,4).a ∈−∞3．已知角α的终边上一点000(,2)(0)P x x x −≠，则sin cos αα=（） A ．25B ．25±C ．25−D ．以上答案都不对【答案】C【解析】由已知可得角α的终边在第二或第四象限，当角α是第二象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα==−，则2sin cos 5αα=−；当角α是第四象限角时，在其终边上取点(1,2)P −，则||OP = 由三角函数的定义得sin 55αα=−=，则2sin cos 5αα=−，综上，2sin cos .5αα=−4．已知函数21,1()4log 1,1a ax x x f x x x ⎧−−⎪=⎨⎪−>⎩…是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围为（） A ．11[,)42B ．11[,]42C ．1(0,]2D ．1[,1)2【答案】B【解析】①1a >时，()f x 在(1,)+∞上是增函数；()f x ∴在R 上是增函数；显然()f x 在(,1]−∞上不是增函数；1a ∴>的情况不存在；②01a <<时，()f x 在(1,)+∞上是减函数；()f x ∴在R 上是减函数；1121114aa ⎧⎪⎪∴⎨⎪−−−⎪⎩……；解得1142a剟；综上得，实数a 的取值范围为11[,].42故选：.B5．若关于x 的不等式2220ax ax −−<恒成立，则实数a 的取值范围为（） A ． B ．C ．D ．或0}a …【答案】B【解析】当0a =时，不等式变为20−<恒成立，故0a =满足题意；当0a ≠时，若2220ax ax −−<恒成立，则，即，解得20.a −<<综上，20.a −<… 故选.B 二、多选题6．对于给定实数a ，关于x 的一元二次不等式(1)(1)0ax x −+<的解集可能是（）A ．1{|1}x x a−<<B ．{|1}x x ≠−C ．1{|1}x x a<<− D ．R【答案】AB【解析】由(1)(1)0ax x −+<，分类讨论a 如下．当0a >时，11x a−<<，故A 正确；当0a =时，1;x >− 当10a −<<时，1x a<或1;x >− 当1a =−时，1x ≠−，故B 正确；当1a <−时，1x <−或1.x a> 故选.AB7．3sin 5α=，则的值可能为（）A ．B ．CD ．【答案】BC【解析】34sin ,cos 55αα=∴=±，当4cos 5α=时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43252510=+=，当4cos 5α=−时,cos()cos cos sin sin 444πππααα−=+43()55=−= 故答案为.BC8．已知函数，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为（）A ．2B ．6C ．5D ．4【答案】ACD 【解析】画出的图象，如图，因为22()2()10f x f x a −+−=，所以2244(1)84a a ∆=−−=−，若a <a >则()f x 不存在，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为0；若a =22()2()10f x f x a −+−=化为2()2()10f x f x −+=，即()1f x =，结合图象知：方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为2；若1a <<−或1a <<，则()1(0,1)f x =，或()1(1,2)f x =+，则方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若1a =±，则()0f x =或()2f x =，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为5个；若11a −<<，则()1[1f x =或()1(2,1f x = 方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数为4个．结合选项可知，方程22()2()10f x f x a −+−=的根的个数可能为2个或5个或4个．故选：.ACD9．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*1(1)(1)(1)(2,)n n nS n S n n n n n N −=++−+∈…，若150S =−，则下列结论正确的有A ．50a >B ．当4n =时，n S 取得最小值C ．当0n S >时，n 的最小值为7D ．当5n =时，nnS a 取得最小值【答案】ABD【解析】由1(1)n n nS n S −=+*(1)(1)(2,)n n n n n N +−⋅+∈…得111n n S Sn n n−−=−+ *21(2,)132S S n n N ∈∴−=…，32243S S −=，，111n n S Sn n n−−=−+，累加得1(1)122n S S n n n −−=+，解得3*25150(2,)n S n n n n N =−−∈…，当1n =时，150S =−满足上式，351502n n n S −−∴=，当2n …时，2133502n n n n n a S S −−−=−=，550a ∴=>，故选项A 正确；当2n …时，233502n n n a −−=单调递增，又1150a S ==−，22122a S S =−=−，{}n a ∴单调递增，且1234560a a a a a a <<<<<<<，∴当4n …时，{}n S 单调递减，当5n …时，{}n S 单调递增，且45S S <， ∴当4n =时，n S 取得最小值，故选项B 正确；又377517503202S −⨯−==−<，388518502702S −⨯−==>，∴当0n S >时，n 的最小值为8，故选项C 错误；当1n =，2，3，4时，0;n n S a >当5n =，6，7时，0;n n S a <当8n …时，0n nSa >， ∴当5n =，6，7时，考虑nnS a 的最小值，又当5n =，6，7时，1na 恒为正且单调递减，n S 恒为负且单调递增，n n S a ∴单调递增，∴当5n =时，n nSa 取得最小值，故选项D 正确，故选.ABD 10．在棱长为1的正方体111ABCD A B C D −中，M 是线段11AC 上的一个动点，则下列结论正确的是（）A ．四面体1B ACM 的体积恒为定值B ．直线1D M 与平面1AD CC ．异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππD ．当1113A M AC =时，平面BDM 截该正方体所得的截面图形为等腰梯形【答案】ACD 【解析】对于A 选项，根据正方体的特征可得11//AC AC ，因为11AC ⊂/平面1AB C ，AC ⊂平面1AB C ，所以11//AC 平面1AB C ，即线段11AC 上的点到平面1AB C 的距离相等，又因为1AB C 的面积为定值，M 是线段11AC 上一个动点，所以四面体1B ACM 的体积为定值，故A 选项正确；对于B 选项，设直线1D M 与平面1AD C 所成的角为α，M 到平面1AD C 的距离为d ，则1dsi D Mα=，因为11//AC AC ，11AC ⊂/平面1AD C ，AC ⊂平面1AD C ，所以11//AC 平面1AD C ，所以M 到平面1AD C 的距离与1A 到平面1AD C 的距离相等，连接1AC ，由1111A ACD C AA D V V −−=可得11111133ACD AA D S dS ⨯=⨯，又11sin 602AD CS︒==，11111122AA D S=⨯⨯=，所以d =M 为11AC 的中点时，1DM 最小，为2，此时sin α取得最大值为3，故B 错误；对于C 选项，设异面直线BM 与AC 所成的角为θ，当M 与1A 或1C 重合时，θ取得最小值，为3π，当M 为11AC 的中点时，θ取得最大值，为2π，所以异面直线BM 与AC 所成角的范围是[,]32ππ，故C 选项正确；对于D 选项，过M 作11//EF B D ，分别交11A D ，11A B 于点E ，F ，连接DE ，BF ，设11AC 与11D B 交点为O ，由正方体的性质知11//BD B D ，11BD B D =，因为1113A M AC =，所以1132A M AO =，所以11//EF B D ，1132EF B D =，11ED B F =，所以32EF BD =，//EF BD ，BF DE =，即四边形DEFB 为等腰梯形，故D 正确．故选：.ACD11．已知函数若5[()]2f f a =−，则实数a 的值可能为（） A ．73B ．43−C ．1−D ．116【答案】ACD【解析】令，则当0t …时，5352t −+=−，解得52t =；当0t <时，152t t+=−，解得2t =−或12t =−，令，则当0a …时，5352a −+=，解得56a =；当0a <时，10a a +<，故152a a +=无解．令，则当0a …时，352a −+=−，解得73a =；当0a <时，12a a+=−，解得 1.a =− 令，则当0a …时，1352a −+=−，解得116a =；当0a <时，，当且仅当1a =−时等号成立，故112a a +=−无解，综上，实数a 可能的取值为5711,,1,.636− 故选.ACD 三、填空题12．定义新运算“⊗”，满足对任意的,a b R ∈，有.a b ab b ⊗=+若对x R ∀∈，恒成立，则实数m 的取值范围是__________．【答案】【解析】由得，，化简得210mx mx −−<对x R ∀∈恒成立，当0m =时，10−<，成立；当0m ≠时，满足，解得40m −<<；故实数m 的取值范围是故答案为：13．已知定义域为R 的函数3()3sin f x x x =+，满足2(1)(1)0f a f a −+−<，则实数a的取值范围是__________．【答案】(,2)(1,)−∞−⋃+∞ 【解析】因为3()3sin f x x x =+，所以3()3sin ()f x x x f x −=−−=−，即()f x 为奇函数，当0x …时，2()33cos f x x x '=+，当[0,]2x π∈时，()0f x '…，当(,)2x π∈+∞时，2233()32x π⨯>…，又33cos 3x −剟，即()0f x '>，所以当0x …时，2()33cos 0f x x x '=+…，所以函数3()3sin f x x x =+在[0,)+∞上为增函数，又()f x 为奇函数，所以函数3()3sin f x x x =+在(,)−∞+∞上为增函数，由2(1)(1)0f a f a −+−<，得22(1)(1)(1)f a f a f a −<−−=−+，所以211a a −<−+，所以(2)(1)0a a +−>，解得2a <−或1a >，故答案为：(,2)(1,).−∞−⋃+∞14．在等比数列{}n a 中，1336a a =，2460a a +=，则公比q =__________．【答案】3±【解析】由等比数列的性质可得213236a a a ==，所以26a =±，又2460a a +=，当26a =时，454a =；当26a =−时，466a =，所以2425496a q a ===，或26611(6q ==−−不可能为负数，舍去)，所以 3.q =± 故答案为 3.±15．若()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x …时，1()()2(2x f x x m m =−+为常数)，则当0x <时__________．【答案】()221xf x x =−−+【解析】根据题意，若()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，又由当0x …时，1()()22x f x x m =−+，则(0)10f m =+=，即1m =−，故当0x …时，1()()212x f x x =−−，当0x <时，0x −>，则1()()2()12212x x f x x x −−=−−−=+−，又由()f x 为奇函数，则()()(221)22 1.x x f x f x x x =−−=−+−=−−+故答案为()22 1.xf x x =−−+16．设抛物线24y x =的焦点为F ，过点F 作直线l 与抛物线交于A ，B 两点，点M 满足1()(2OM OA OB O =+为坐标原点)，过M 作y 轴的垂线与抛物线交于点P ，若||2PF =，则点P 的横坐标为__________，||AB =__________．【答案】1；8【解析】由于点M 满足1()2OM OA OB =+，所以M 是线段AB 的中点．抛物线的焦点坐标为(1,0)F ，准线方程为 1.x =− 设00(,)P x y ，由于P 在抛物线上，且||2PF =，根据抛物线的定义得012x +=，所以01x =，则02y =±，不妨设(1,2)P ，若直线l 的斜率不存在，则不妨设(1,2)A ，(1,2)B −，所以(1,0)M ，此时M 的纵坐标和P 的纵坐标不相同，不符合题意，所以直线l 的斜率存在，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 的方程为(1)y k x =−，代入抛物线方程并化简得2222(24)0k x k x k −++=，则12242x x k+=+，12 1.x x = 由于M 是线段AB 的中点，所以1212(,)22x x y y M ++，又(1,2)P ，所以1222y y +=，即124y y +=，即1212244(1)(1)()2(2)24k x k x k x x k k k k k−+−=+−=+−==，解得1k =，所以12246x x +=+=，所以(3,2)M ，则点M 到准线1x =−的距离为4，根据抛物线的定义及中位线的性质可知||||||428.AB AF BF =+=⨯=17．已知关于x 的不等式a R ∈)，若1a =，则该不等式的解集是__________，若该不等式对任意的11x −剟均成立，则实数a 的取值范围是__________．【答案】{|11}x x −剟；【解析】当1a =时，(1)(1)0x x −+…，解之得：1 1.x −剟∴该不等式的解集是当1x =−时，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于00…，恒成立，当11x −<…时，10x +>，不等式(1)(1)0ax x −+…等价于10ax −…，结合函数1y ax =−的性质可得，解得11a −剟，综上所述，实数a 的取值范围是，故答案为{|11}x x −剟；真题练习题1．（2022·浙江·统考高考真题）设函数e()ln (0)2f x x x x=+>． (1)求()f x 的单调区间；(2)已知,a b ∈R ，曲线()y f x =上不同的三点()()()()()()112233,,,,,x f x x f x x f x 处的切线都经过点(,)a b ．证明：（ⅰ）若e a >，则10()12e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭；（ⅱ）若1230e,a x x x <<<<，则22132e 112e e 6e 6e a ax x a −−+<+<−．（注：e 2.71828=是自然对数的底数）【解析】（1）()22e 12e 22xf x x x x −'=−+=，当e02x <<，()0f x '<；当e 2x >，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为e 02⎛⎫⎪⎝⎭,，()f x 的增区间为e ,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.（2）（ⅰ）因为过(),a b 有三条不同的切线，设切点为()(),,1,2,3i i x f x i =，故()()()i i i f x b f x x a '−=−，故方程()()()f x b f x x a '−=−有3个不同的根，该方程可整理为()21e e ln 022x a x b x x x ⎛⎫−−−−+= ⎪⎝⎭，设()()21e e ln 22g x x a x b x x x ⎛⎫=−−−−+ ⎪⎝⎭，则()()22321e 1e 1e22g x x a x x x x x x⎛⎫'=−+−+−−+ ⎪⎝⎭ ()()31e x x a x =−−−，当0e x <<或x a >时，()0g x '<；当e x a <<时，()0g x '>，故()g x 在()()0,e ,,a +∞上为减函数，在()e,a 上为增函数，因为()g x 有3个不同的零点，故()e 0g <且()0g a >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭，整理得到：12e a b <+且()e ln 2b a f a a>+=，此时()1e 13e11ln ln 2e 2e 22e 222a a a b f a a a a a ⎛⎫⎛⎫−−−<+−+−+=−− ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设()3e ln 22u a a a =−−，则()2e-202a u a a '=<，故()u a 为()e,+∞上的减函数，故()3eln e 022eu a <−−=，故()1012e a b f a ⎛⎫<−<− ⎪⎝⎭.（ⅱ）当0e a <<时，同（ⅰ）中讨论可得：故()g x 在()()0,,e,a +∞上为减函数，在(),e a 上为增函数，不妨设123x x x <<，则1230e x a x x <<<<<，因为()g x 有3个不同的零点，故()0g a <且()e 0g >，故()21e e e ln e 0e 2e 2e a b ⎛⎫−−−−+> ⎪⎝⎭且()21e e ln 022a a a b a a a ⎛⎫−−−−+< ⎪⎝⎭，整理得到：1ln 2e 2ea ab a +<<+，因为123x x x <<，故1230e x a x x <<<<<，又()2e e 1ln 2a ag x x b x x+=−+−+，设e t x=，()0,1e a m =∈，则方程2e e 1ln 02a ax b x x +−+−+=即为： 2e ln 0e 2e a a t t t b +−+++=即为()21ln 02mm t t t b −++++=，记123123e e e,,,t t t x x x === 则123,,t t t 为()21ln 02m m t t t b −++++=有三个不同的根，设3131e 1x t k t x a ==>>，1eam =<，要证：22132e 112e e 6e 6e a a x x a −−+<+<−，即证13e 2e e 26e 6e a at t a −−+<+<−，即证：13132166m mt t m −−<+<−，即证：131********m m t t t t m −−⎛⎫⎛⎫+−+−+< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即证：()()()2131313122236m m m t t m m t t −−++−−<+，而()21111ln 02m m t t t b −++++=且()23331ln 02m m t t t b −++++=，故()()()22131313ln ln 102m t t t t m t t −+−−+−=，故131313ln ln 222t t t t m m t t −+−−=−⨯−，故即证：()()()21313131312ln ln 236m m m t t m t t m t t −−+−−⨯<−+，即证：()()()1213313ln1312072t t t m m m t t t +−−++>−即证：()()()213121ln 0172m m m k k k −−+++>−，记()()1ln ,11k k k k k ϕ+=>−，则()()2112ln 1k k k kk ϕ⎛⎫'=−− ⎪⎝⎭−，设()12ln u k k k k =−−，则()2122210u k k k k k'=+−>−=，所以()()10u k u >=，()0k ϕ'>，故()k ϕ在()1,+∞上为增函数，故()1k m ϕϕ⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以()()()()()()22131213121ln 1ln 172172m m m m m m k k m m k m −−+−−++++>+−−，记()()()()()211312ln ,01721m m m m m m m m ω−−−+=+<<+，则()()()()()()()2232322132049721330721721m mm m m mm m m m m ω−−−+−+'=>>++，所以()m ω在()0,1为增函数，故()()10m ωω<=，故()()()()211312ln 0721m m m m m m −−−++<+即()()()213121ln 0172m m m m m m −−+++>−，故原不等式得证：2．（2022·全国·统考高考真题）已知函数()e e ax x f x x =−． (1)当1a =时，讨论()f x 的单调性；(2)当0x >时，()1f x <−，求a 的取值范围； (3)设n *∈N21ln(1)n n ++>++．【解析】（1）当1a =时，()()1e x f x x =−，则()e xf x x '=，当0x <时，()0f x '<，当0x >时，()0f x ¢>，故()f x 的减区间为(),0∞−，增区间为()0,∞+.（2）设()e e 1ax xh x x =−+，则()00h =，又()()1e e ax x h x ax '=+−，设()()1e e ax xg x ax =+−，则()()22e e ax xg x a a x '=+−，若12a >，则()0210g a '=−>，因为()g x '为连续不间断函数，故存在()00,x ∈+∞，使得()00,x x ∀∈，总有()0g x '>，故()g x 在()00,x 为增函数，故()()00g x g >=，故()h x 在()00,x 为增函数，故()()01h x h >=−，与题设矛盾. 若102a <≤，则()()()ln 11e e ee ax ax ax xx h x ax ++'=+−=−，下证：对任意0x >，总有()ln 1x x +<成立，证明：设()()ln 1S x x x =+−，故()11011x S x x x−'=−=<++，故()S x 在()0,∞+上为减函数，故()()00S x S <=即()ln 1x x +<成立. 由上述不等式有()ln 12e e e e e e 0ax ax x ax ax x ax x +++−<−=−≤，故()0h x '≤总成立，即()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=.当0a ≤时，有()e e e 1100ax x axh x ax '=−+<−+=，所以()h x 在()0,∞+上为减函数，所以()()00h x h <=. 综上，12a ≤. （3）取12a =，则0x ∀>，总有12e e 10x x x −+<成立，令12e x t =，则21,e ,2ln x t t x t >==，故22ln 1t t t <−即12ln t t t<−对任意的1t >恒成立.所以对任意的*n ∈N ，有整理得到：()ln 1ln n n +−<()21ln 2ln1ln 3ln 2ln 1ln n n n n+>−+−+++−+()ln 1n =+，故不等式成立.3．（2022·全国·统考高考真题）已知函数1()(1)ln f x ax a x x=−−+．(1)当0a =时，求()f x 的最大值；(2)若()f x 恰有一个零点，求a 的取值范围．【解析】（1）当0a =时，()1ln ,0f x x x x =−−>，则()22111xf x x x x−'=−=，当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 11f x f ==−；（2）()()11ln ,0f x ax a x x x =−−+>，则()()()221111ax x a f x a x x x −−+'=+−=，当0a ≤时，10ax −<，所以当()0,1x ∈时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当()1,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；所以()()max 110f x f a ==−<，此时函数无零点，不合题意；当01a <<时，11a >，在()10,1,,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；又()110f a =−<，由（1）得1ln 1x x +≥，即1ln 1x x ≥−，所以ln x x x <<当1x >时，11()(1)ln 2((2f x ax a x ax a ax a x x =−−+>−−+>−+则存在2312m a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，使得()0f m >，所以()f x 仅在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭有唯一零点，符合题意；当1a =时，()()2210x f x x−'=≥，所以()f x 单调递增，又()110f a =−=，所以()f x 有唯一零点，符合题意；当1a >时，11a <，在()10,,1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上，()0f x ¢>，()f x 单调递增；在1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上，()0f x '<，()f x 单调递减；此时()110f a =−>，由（1）得当01x <<时，1ln 1xx>−，1>ln 21x ⎛> ⎝，此时11()(1)ln 2(11)1f x ax a x ax ax x x ⎛=−−+<−−+−< ⎝存在2114(1)n a a=<+，使得()0f n <，所以()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭有一个零点，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭无零点，所以()f x 有唯一零点，符合题意；综上，a 的取值范围为()0,∞+.。

2023年九年级中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练

中考数学分类讨论专题之等腰三角形中的分类讨论思想专练一．选择题（共10小题）1．已知一个等腰三角形的三边长分别为3x-2，4x-3，7，则这个等腰三角形的周长为（）A．23 B．19.5或23C．9或23 D．9或19.5或232．已知方程x 2 -6x+8=0的根，分别是等腰三角形的底边和腰长，则该三角形的周长为（）A．6 B．10 C．8 D．124．已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的顶角是（）A．80°B．20°C．80°或20°D．不能确定5．等腰△ABC的一边长为4，另外两边的长是关于x的方程x 2 -10x+m=0的两个实数根，则m的值是（）A．24 B．25 C．26 D．24或25为坐标轴上一点，且使得△MOA为等腰三角形，则满足条件的点M的个数为（）A．4 B．5 C．6 D．87．在△ABC中，∠A的相邻外角是110°，要使△ABC为等腰三角形，则底角∠B的度数是（）A．70 B．55°C．70°或55°D．60°8．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A．80°、80°、20°B．80°、50°、50°C．80°、80°、20°或80°、50°、50°D．以上答案都不对9．如图，点A、B、P在⊙O上，且∠APB=50°．若点M是⊙O上的动点，要使△ABM为等腰三角形，则所有符合条件的点M有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．等腰三角形的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别是（）A．50°，50°，50°B．80°，80°，20°C．100°，100°，20°D．50°，50°，80°或80°，80°，20°二．填空题（共5小题）11．等腰三角形的三边长分别为m-2，2m+1，8，则等腰三角形的周长为________ ．12．等腰三角形的一条边长为4cm,另一条边长为6cm,则它的周长是________ ．13．如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，点P在BC上，且PB=3，以AP为腰作等腰三角形APM，使得点M落在矩形ABCD边上，则CM=________ ．14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E、F分别是边AB、AC上一点，且AF=EF．若∠CFE=72°，则∠B= ________ °．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=9，BC=5，点P为△ABC内一动点．过点P作PD⊥AC于点且S △PBC = 152，则D，交AB于点E．若△BCP为等腰三角形，PD的长为________ ．三．解答题（共5小题）16．如图矩形ABCD中，AB=2，AD=4，点P是边AD上一点，联结BP，过点P作PE⊥BP，交DC于E点，将△ABP沿直线PE翻折，点B落在点B′处，若△B′PD为等腰三角形，求AP的长．17．（1）已知4a 2 -a-4=0，求代数式（2a-3）（2a+3）+（a-1） 2 +（1+a）（2-a）的值；（2）已知a,b满足a 2 +b 2 -10a-4b+29=0，且a,b为等腰三角形△ABC的边长．求△ABC的周长．18．如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,BC=3cm,若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm,设出发的时间为t秒．（1）当点P在线段AB上时，BP= ________cm.（用含t的代数式表示）（2）若△BCP为直角三角形，则t的取值范围是________ ．（3）若△BCP为等腰三角形，直接写出t的值．（4）另有一动点Q从点C开始，按B→A→C→B的路径运动，且速度为每秒2cm,若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．请直接写出t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．19．如图，矩形ABCD，点P是对角线AC上的动点（不与A、C重合），连接PB，作PE⊥PB交射线DC于点E．已知AD=6，AB=8．设AP的长为x.（1）如图1，PM⊥AB于点M，交CD于点N．求证：△BMP∽△PNE．是否是定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理（2）试探究：PEPB由．（3）当△PCE是等腰三角形时，请求出所有x的值．20．如图，CD是△ABC的高，CD=8，AD=4，BD=3，点P是BC边上的一个动点（与B、C不重合），PE⊥AB于点E，DF=DE，FQ⊥AB于点F，交AC于点Q，连接QE．（1）若点P是BC的中点，则QE= ________ ；（2）在点P的运动过程中，①EF+FQ的值为________ ；②当点P运动到何处时，线段QE最小？最小值是多少？③当△AQE是等腰三角形时，求BE的长．。

分类讨论思想(初一)

分类讨论思想分类讨论思想是指当被研究的问题存在一些不确定的因素，无法用统一的方法或结论给出统一的表述时，按可能出现的所有情况来分别讨论，得出各种情况下相应的结论，分类讨论思想有利于学会完整地考虑问题，化整为零地解决问题.一、因绝对值产生的分类讨论1.数轴上的一个点到原点的距离为5，则这个点表示的数为.变式练习：数a+1到原点的距离为5，求a的值.2.点P(a+1，4)到两坐标轴的距离相等，求a的值和点P的坐标.变式练习：点P(a+2，3a-6)到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标为.3.已知A(-4，3)，AB∥y轴，且AB=3，则点B的坐标为.4.如图，A(-3，0)，B(1，0)，点C在y轴上，若S△ABC=6，求点C的坐标.二、因平方根产生的分类讨论1.5的平方根为.2解方程：2.(3)36.x2已知，，求的值3.55.x y x y三、因几何图形的不确定产生的分类讨论1.已知线段AB＝6cm，点C在直线AB上，BC=2cm，则AC的长为_________________2.已知∠A0B=120º，∠BOC=30º，则∠AOC=_____________________3.平面上，∠AOB=100 º，∠BOC=40 º，若OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数.四、因问题的多种可能性产生的分类讨论1.暑假期间，两名家长计划带若干名学生去旅游，他们联系了报价均为每人500元的两家旅行社.经协商，甲旅行社的优惠条件是：两名家长全额收费，学生都按七折收费乙旅行社的优惠条件是:家长学生都按八折收费.假设这两位家长带领x名学生去旅游，他们应该选择哪家旅行社？。

分类讨论思想专题

分类讨论思想专题一、概述1.定义：数学问题比较复杂时，有时可以分解成若干小问题或一系列步骤进行分类并分别加以讨论的方法，我们称为分类讨论法或分类讨论思想。

2.关键：明确对象，不重不漏，逐级讨论，综合作答。

二、例题分析1.分式方程无解的分类讨论问题例1：（2011武汉）=+=-+-a 349332无解，求x x ax x解：去分母，得：2.“一元二次”方程系数的分类讨论问题例2：已知方程01)12(22=+++x m x m 有实数根，求m 的取值范围。

当02=m 时，即m=0时，方程为一元一次方程x+1=0，有实数根x=1-当02≠m 时，方程为一元二次方程，根据有实数根的条件得：，且02≠m综（1）（2）得，总结：字母系数的取值范围是否要讨论，要看清题目的条件。

一般设置问题的方式有两种（1）前置式，即“二次方程”；（2）后置式，即“两实数根”。

这都是表明是二次方程，不需要讨论，但切不可忽1.6,801a 31-a 21-31-a 21-211-a )3(4)3(3=-==∴=-=-=-=⇒-=++a a a x x ax x 或者或或由已知）（41-m ,0144)12(22≥≥+=-+=∆即m m m 41-≥m视二次项系数不为零的要求，本题是根据二次项系数是否为零进行讨论的。

3.三角形的形状不定需要分类讨论例3: 在△ABC 中，∠B ＝25°，AD 是BC 上的高，并且AD BD DC 2=·，则∠BCA 的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。

如图1，当△ABC 的高在形内时，由AD BD DC 2=·，得△ABD ∽△CAD ，进而可以证明△ABC 为直角三角形。

由 ∠B ＝25°。

可知∠BAD ＝65°。

所以∠BCA ＝∠BAD ＝65°。

如图2，当高AD 在形外时，此时△ABC 为钝角三角形。

【初中数学】人教版八年级上册专题训练（四）等腰三角形问题中的分类讨论思想(练习题)

人教版八年级上册专题训练（四）等腰三角形问题中的分类讨论思想(159)1.已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成12和15两部分，求这个三角形的三边长．2.已知一个等腰三角形一边上的高等于这边的一半，求这个三角形顶角的度数．3.等腰三角形的一个外角是60∘，则它的顶角的度数是4.若等腰三角形的周长为16，其中一边长为6，则另两边长为．5.若等腰三角形的一个外角等于110∘，则这个三角形的三个角分别为6.若实数x，y满足|x−4|+√y−8=0,则以x，y的值为边长的等腰三角形的周长为．7.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为48∘，则该等腰三角形的底角的度数为．8.在等腰三角形中，马彪同学做了如下探究：已知一个角是60∘，则另两个角是唯一确定的(60∘，60∘)；已知一个角是90∘，则另两个角也是唯一确定的(45∘，45∘)；已知一个角是120∘，则另两个角也是唯一确定的(30∘，30∘)．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数是唯一确定的．马彪同学的结论是的(填“正确”或“错误”)．9.等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED=EC．若三角形ABC的边长为1，AE=2，求线段CD的长．10.一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少30∘，求这个三角形的三个内角的度数．11.若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A.12B.9C.12或9D.9或712.如图，在4×5的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为1，该点阵图中已有两个阵点分别标为A,B，请在此点阵图中找一个阵点C，使得以点A,B,C为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的点C有（）A.3个B.4个C.5个D.6个13.在直角坐标系中，已知A(1，1)，在x轴上确定点P，使△AOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有（）A.1个B.2个C.3个D.4个参考答案1.【答案】:如图，在△ABC中，AB=AC，且AD=BD，设AB=x，BC=y，(1)当AC+AD=15，BD+BC=12时，则{x2+x=15，x 2+y=12，解得{x=10，y=7.(2)当AC+AD=12，BC+BD=15时，有{x2+x=12，x2+y=15，解得{x=8，y=11.且这两种情况下三角形的三边都符合三角形的三边关系，故这个三角形的三边长为10，10，7或8，8，11【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.2.【答案】:(1)若这一边为底边，如图①，AB=AC，AD⊥BC，AD=BD=CD，则△ABD和△ACD均为等腰直角三角形，所以∠BAC=45∘+45∘=90∘；(2)若这一边为腰，①当顶角为锐角时，如图②，AB=AC，CD⊥AB，CD=12AB=12AC，则顶角∠A=30∘；②当顶角为钝角时，如图③，AB=AC,CD⊥AB交BA的延长线于点D，因为CD=12AB=1AC，2所以∠DAC=30∘，所以∠BAC=150∘.综上所述，这个等腰三角形的顶角度数为90∘或30∘或150∘.【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.3.【答案】:120∘【解析】:等腰三角形的一个外角为60∘，则与它相邻的内角为120∘.因为三角形内角和为180∘，如果这个内角为底角，内角和将超过180∘，所以120∘的角只可能是顶角．故答案为120∘4.【答案】:6，4或5，5【解析】:若6为腰长，则底边长为4,三边长6，6,4可以构成三角形；若6为底边长，则腰长为5，三边长5,5，6也可以构成三角形．故答案为6，4或5，55.【答案】:70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘【解析】:当顶角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘；当底角的外角是110∘时，这个三角形的三个角为70∘，70∘，40∘.所以这个三角形的三个角为70∘，55∘，55∘或70∘，70∘，40∘6.【答案】:20【解析】:由|x−4|+√y−8=0，x−4≥0，√y−8≥0，可得x−4=0，√y−8=0，求解可得x=4，y=8，于是此等腰三角形的三边长为4，4，8或8，8，4.由于4+4=8，利用三角形的三边关系，可得4，4，8不符合题意，同理可得8，8，4符合题意，故等腰三角形的周长为8+8+4=207.【答案】:69∘或21∘【解析】:分两种情况讨论：①若∠A<90∘，如图(a)所示：∵BD⊥AC，∴∠A+∠ABD=90∘.∵∠ABD=48∘，∴∠A=90∘−48∘=42∘.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−42∘)=69∘.②若∠A>90∘，如图(b)所示：同①可得：∠DAB=90∘−48∘=42∘，∴∠BAC=180∘−42∘=138∘.∵AB=AC，∴∠ABC=∠C=12×(180∘−138∘)=21∘.综上所述，等腰三角形底角的度数为69∘或21∘8.【答案】:错误【解析】:举一个反例即可．如当等腰三角形一个角的度数是50∘时，若这个50∘的角为顶角，则另两个角是65∘，65∘；若这个50∘的角是底角，则另一个底角为50∘，顶角为80∘.综上所述，另两个角是65∘，65∘或50∘，80∘.因此另两个角的度数不是唯一确定的．故马彪同学的结论是错误的9.【答案】:当E在线段BA的延长线上，D在线段BC的延长线上时，如图①所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFB=90∘.∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=60∘，∴∠BEF=30∘.∵BE=AB+AE=1+2=3，∴FB=12EB=32，∴CF=FB−BC=12，∴CD=2CF=1.当E在线段AB的延长线上，D在线段CB的延长线上时，如图②所示，过点E作EF⊥BD，垂足为F，可得∠EFC=90∘. ∵EC=ED，∴F为CD的中点，即CF=DF=12CD．∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC=∠EBF=60∘，∴∠BEF=30∘.∵BE=AE−AB=2−1=1，∴FB=12BE=12，∴CF=BC+FB=32，∴CD=2CF=3.综上，CD的长为1或3【解析】:解决此题，注意进行分类讨论.10.【答案】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘,则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30,解得x=52.5或x=48或x=30,所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.【解析】:设其中一角的度数为x∘,则另一角的度数为(2x−30)∘, 则x+x+2x−30=180或x+2(2x−30)=180或x=2x−30, 解得x=52.5或x=48或x=30, 所以这个三角形三个内角的度数为52.5∘，52.5∘，75∘或48∘，66∘，66∘或30∘，30∘，120∘.11.【答案】:A【解析】:∵一个等腰三角形的两边长分别是2和5，∴当腰长为2时，则2+2<5，此时不成立，当腰长为5时，能组成三角形，则这个等腰三角形的周长为5+5+2=12. 故选A12.【答案】:C13.【答案】:D【解析】:如图，以点O为圆心，OA长为半径画弧，交x轴于点B,C；以点A为圆心，AO长为半径画弧，交x轴于一点D(点O除外)，∴以OA为腰的等腰三角形有3个；当以OA为底时，作OA的垂直平分线，交x轴于一点，∴以OA为底的等腰三角形有1个．综上所述，符合条件的点P共有4个。

分类讨论思想在线段计算中的应用专题练习(解析版)

分类讨论思想在线段计算中的应用专题练习一、选择题1、已知线段AB=10 cm，点C在直线AB上，且AC=2 cm，则线段BC的长为（）A. 12 cmB. 8 cmC. 12 cm或8 cmD. 以上均不对答案：C解答：当点C在线段AB上时，∵AC=2 cm，∴BC=AB-AC=10-2=8 cm，当点C在BA的延长线上时，AC=AB+AC=10+2=12 cm，故答案选C.2、点A、B、C在同一条数轴上，其中点A、B表示的数分别为﹣3、1，若BC＝2，则AC等于（）A. 3B. 2C. 3或5D. 2或6答案：D分析：本题考查线段的和差，有理数与数轴.解答：此题画图时会出现两种情况，即点C在线段AB内，点C在线段AB外，∴要分两种情况计算．∵点A、B表示的数分别为﹣3、1，∴AB=4．第一种情况：在AB外，如答图1，AC=4+2=6；第二种情况：在AB内，如答图2，AC=4﹣2=2．选D.3、点C是线段AB的中点，点D是线段AC的三等分点．若线段AB＝12cm，则线段BD的长为（）A. 10cmB. 8cmC. 10cm或8cmD. 2cm或4cm答案：C分析：本题考查线段的中点以及线段的和差.解答：∵C是线段AB的中点，AB＝12cm，∴AC＝BC12=AB12=⨯12＝6（cm），点D是线段AC的三等分点，①当AD13=AC时，如图，BD＝BC+CD＝BC23+AC＝6+4＝10（cm）；②当AD23=AC时，如图，BD＝BC+CD′＝BC13+AC＝6+2＝8（cm）．∴线段BD的长为10cm或8cm，选C.4、已知线段AC和BC在同一直线上，AC＝8cm，BC＝3cm，则线段AC的中点和BC中点之间的距离是（）A. 5.5cmB. 2.5cmC. 4cmD. 5.5cm或2.5cm答案：D分析：对于没有给出图形的几何题，要考虑所有可能情况，分点B在不在线段AC上的两种情况，然后根据不同图形分别进行计算.先根据线段中点的定义求出CE，CF，然后分点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF，点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF两种情况计算即可得解．解答：设AC、BC的中点分别为E、F，∵AC＝8 cm，BC＝3 cm，∴CE＝12AC＝4 cm，CF＝12BC＝1.5 cm，如图所示，当点B不在线段AC上时，EF＝CE+CF＝4+1.5＝5.5 cm，如图所示，当点B在线段AC上时，EF＝CE﹣CF＝4﹣1.5＝2.5 cm，综上所述，AC和BC中点间的距离为2.5 cm或5.5 cm．故答案为2.5 cm或5.5 cm，选D.二、填空题5、点A，B，C在同一条直线上，如果线段AB=8 cm，BC=5 cm，那么A，C两点间的距离是______．答案：3 cm或13 cm解答：当点B在线段AC上时，AC=AB+BC=13 cm．当点B在线段AC的延长线上时，AC=AB-BC=3 cm．6、已知线段AB长为4 cm，在线段AB所在直线上作线段BC=3 cm，点D为AC中点，则AD=______．答案：0.5 cm或3.5 cm解答：①如图，∵AB=4 cm，BC=3 cm，∴AC=7 cm，∵D是AC中点，∴AD=3.5 cm，②如图，∵AB=4 cm，BC=3 cm，∴AC=1 cm，∵D是AC中点，∴AD=0.5 cm，故答案为0.5 cm或3.5 cm．7、A、B、C三点在同一条直线上，A、B两点之间的距离为7 cm，B、C两点之间的距离为3cm，则A、C两点之间的距离为______．答案：10 cm或4 cm分析：本题考查了两点间的距离的计算，在未画图类问题中，正确画图很重要．灵活运用数形结合思想、分情况讨论思想是解题的关键．根据A、B、C三点的位置进行分类讨论：C在线段AB上，C在线段AB 的延长线上，根据线段的和差，可得答案．解答：（1）当点C在线段AB的延长线上时（如图①），AC=AB+BC=7+3=10（cm）．（2）当点C在线段AB上时（如图②），AC=AB-BC=7-3=4（cm）．故答案为4 cm或10 cm.8、点C在射线AB上，若AB＝3，BC＝2，则AC=______．答案：1或5分析：分为两种情况，化成图形，根据图形和已知求出即可．解答：当C 在线段AB 上时，AC ＝AB ﹣BC ＝3﹣2＝1；当C 在线段AB 的延长线时，AC ＝AB +BC ＝3+2＝5，即AC ＝1或5；故答案为：1或5．9、已知线段7cm AB =，在直线AB 上画线段BC ，使它等于3cm ，则线段AC =______cm ．答案：10或4分析：本题考查线段的和差.解答：如图1，点C 在线段AB 外时，7310cm AC AB BC =+=+=，如图2，点C 在线段AB 上时，734cm AC AB BC =-=-=，综上所述，10AC =或4cm ．故答案为：10或4．10、已知线段AB =20，点C 在BA 的延长线上，点D 在直线AB 上，AC =12，BD =16，点M 是线段CD 的中点，则线段AM 的长为______．答案：4或12解答：①若D 在B 左侧，如下图所示，AD =AB -BD =4，CD =CA +AD =16，∵M 为CD 中点，∴MC =8，∴AM =AC -CM =4；②若D 在B 右侧，如下图所示，CD =AC +AB +BD =48，∵M 为CD 中点，∴CM =12CD =24， ∴AM =CM -CA =24-12=12．11、线段AB=6，在直线AB上截取线段BC=3AB，D为线段AB的中点，E为线段BC的中点，那么线段DE的长为______．答案：6或12解答：∵BC=3AB，∴BC=3×6=18，∵D是BC的中点，∴BD=12AB=12×6=3，∵E是BC的中点，∴BE=12BC=12×18=9．①当C在线段AB的延长线上时，DE=BD+BE=3+9=12．②当C在线段BA的延长线上时，DE=BE-BD=9-3=6．12、已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=9 cm，D是线段AB的中点，且BC:AB=1:3，则线段CD 的长等于______．答案：7.5 cm或1.5 cm解答：∵BC:AB=1:3，AB=9 cm，∴BC=13AB=13×9=3 cm，情况一：当点C在线段AB上时，如图1，∵D是线段AB的中点，∴DB=12AB=12×9=4.5 cm；∴CD=DB-BC=4.5-3=1.5 cm；情况二：当点C在线段AB的延长线上时，如图2，∵D是线段AB的中点，∴DB=12AB=12×9=4.5 cm；∴CD=DB+BC=4.5+3=7.5 cm；综上，CD的长度为1.5 cm或7.5 cm．13、已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=9，D是线段AB的中点，且BC:AB=1:3，则线段CD的长为______．答案：1.5或7.5解答：分为两种情况：①如图，当点C在线段AB延长线时，∵AB=9，BC:AB=1:3，∴BC=3．∵D是线段AB的中点，∴BD=12AB=4.5．∴CD=BD+BC=4.5+3=7.5．②如图，当点C在线段AB上时，CD=BD-BC=4.5-3=1.5．∴线段CD的长为1.5或7.5．14、如图线段AB=6，如果在直线AB上取一点C，使AB:BC=3:2，再分别取线段AB、BC的中点M、N，那么MN=______．答案：1或5解答：∵AB=6，AB:BC=3:2，∴BC=23AB=4．当C在线段AB上时，如图1：MN=BM-BN=12AB-12BC=3-2=1．当C在B线段AB外，如图2，MN=BM+BN=12AB+12BC=3+2=5．∴MN=1或5．15、已知线段AB=10，在直线AB上取一点P，恰好使APPB=4，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为______．答案：353或9解答：∵AB=10，APPB=4，∴AP=4PB.①当点P在线段AB上时，依题意可得：AP+BP=AB，∴4BP+BP=AB=10，∴5BP=10，BP=2．∵Q为BP中点，∴PQ=12BP=1，∴AQ=AP+PQ=2×4+1=9．②当点P在线段AB的延长线上时，∵AP-BP=AB，∴4BP-BP=10，∴3BP=10，BP=103．∵Q为BP中点，∴BQ=12BP=12×103=53，∴AQ=AB+BQ=10+53=353．综上所述AQ的长为353或9．16、已知线段AB=8，在直线AB上取一点P，恰好使APPB=3，点Q为线段PB的中点，则AQ的长为______．答案：7或10解答：如图1，点P在线段AB上时，∵AB=8，APPB=3，∴AP=8×313+=6，PB=AB-AP=8-6=2，∵点Q为线段PB的中点，∴PQ=12PB=1，∴AQ=AP+PQ=6+1=7．如图2，点P在线段AB的延长线上时，∵AB=8，APPB=3，∴8BPBP+=3，即BP=4，∵点Q为线段PB的中点，∴BQ=12BP=2，∴AQ=AB+BQ=8+2=10，综上，线段AQ的长为7或10．17、如图所示，把一根绳子对折成线段AB，从P处把绳子剪断，已知AP=13PB，若剪断后的各段绳子中最长的一段为30 cm，则绳子的原长为______ cm．答案：40或80解答：AP=x，BP=3x，①PB=30，∴AP=10，2（AP+PB）=80，②2BP=30，BP=15，AP=5，2（AP+PB）=40．18、如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，点P是AB的四等分点，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中的一段长为30 cm，则这条绳子的原长为______ cm．答案：40或80或120或240解答：解：①如图1，当AP=13PB时，此时剪开的三段分别为AP、PP’、A’P’，若AP=A’P’=30 cm，则PB=P’B=3P A=90 cm，此时AA’=AP+PP’+A’P’=30+180+30=240 cm；若PP’=30 cm，则PB=P’B=15 cm，AP=A’P’=13PB=5 cm，此时AA’=5+30+5=40 cm；②如图2，当PB=13AP时，此时剪开的三段分别为AP、PP’、A’P’，若AP=A’P’=30 cm，则PB=P’B=13AP=10 cm，此时AA’=AP+PP’+A’P’=30+20+30=80 cm；若PP’=30 cm，则PB=P’B=15 cm，AP=A’P’=3PB=45 cm，此时AA’=AP+PP’+A’P’=45+30+45=120 cm，综上，这条绳子的原长为40或80或120或240 cm三、解答题19、画直线l，并在直线l上任取三个点A、B、C，使AB＝10，BC＝4，分别画线段AB、BC的中点E、F，求线段EF的长．答案：EF＝7或3．分析：本题考查线段的和差.解答：∵点E、F分别是线段AB、BC的中点，∴1122BE AB BF BC ==，；第一种：点C在点B的右侧，∵EF＝BE+BF，∴11111047 2222EF AB BC AB BC=+=+=⨯+=（）（）；第二种：点C在点B的左侧，∵EF＝BE﹣BF，∴11111043 2222EF AB BC AB BC=-=-=⨯-=（）（）．综上：EF＝7或3．20、点A，B，C在同一直线上，AB=8，AC:BC=3:1，求线段BC的长度．答案：BC的长为2或4．解答：由于AC:BC=3:1，设BC=x，则AC=3x．第一种情况：当点C在线段AB上时，AC+BC=AB.因为AB=8，所以3x+x=8，解得x=2，所以BC=2．第二种情况：当点C在AB的延长线上时，AC-BC=AB.因为AB=8，所以3x-x=8，解得x=4，所以BC=4．综上，BC的长为2或4．21、如图，线段AB=8，点C是线段AB的中点，点D是线段BC的中点．（1）求线段AD的长；（2）若在线段AB上有一点E，CE=14BC，求AE的长．答案：（1）AD=6；（2）AE的长为3或5．分析：本题考查两点间距离、线段的和差定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．（1）根据AD=AC+CD，只要求出AC、CD即可解决问题；（2）根据AE=AC-EC，只要求出CE即可解决问题．解答：（1）∵AB=8，C是AB的中点，∴AC=BC=4，∵D是BC的中点，∴CD=12BC=2，∴AD=AC+CD=6；（2）∵BC=4，CE=14 BC，∴CE=14×4=1，当E在C的左边时，AE=AC-CE=4-1=3；当E在C的右边时，AE=AC+CE=4+1=5．∴AE的长为3或5．22、解答下列各题：（1）已知A，B，C三点在同一直线上，线段AB=9 cm，D是线段AB的中点，且BC:AB=1:3，则线段CD 的长等于______．（2）已知A，B，C，D四点共线，若AB=3 cm，BC=2 cm，CD=4 cm，画出图形，求AD的长．（3）如图所示，把一根绳子对折成线段AB，从点P处把绳子剪断，已知AP:BP=2:3，若剪断后的各段绳子中最长的一段为60 cm，求绳子的原长．答案：（1）1.5 cm或7.5 cm．（2）9 cm或1 cm或3 cm或5 cm，画图见解析．（3）150 cm或100 cm．解答：（1）略．（2）情况1：如图AD=3+2+4=9 cm，情况2：如图AD=3+2-4=1 cm，情况3：如图AD=4-（3-2）=3 cm，情况4：如图AD=（3-2）+4=5 cm．（3）设AP=2x，则BP=3x，①若A是绳子的对折点，则最长一段为2AP=60，解得AP=30，由AP=2x，可得x=15，BP=3x=45，绳子的原长为2（AP+PB）=2×（30+45）=150（cm），②若B是绳子的对折点，则最长一段为2BP=60，解得BP=30，由BP=3x，可得x=10，AP=2x=20，绳子的原长为2（AP+BP）=2×（20+30）=100（cm），综上，绳子的原长为150 cm或100 cm．。

数学思想专项训练(三) 分类讨论思想

数学思想专项训练(三) 分类讨论思想方法概述适用题型所谓分类讨论，就是当问题所给的对象不能进行统一研究时，如不能用同一标准、同一种运算、同一个定理或同一种方法去解决，因而会出现多种情况，我们就需要对研究的对象进行分类，然后对每一类分别研究，得出每一类的结论，最后综合各类的结论得到整个问题的解答．实质上分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的策略．分类讨论时应注意理解和掌握分类的原则、方法与技巧，做到“确定对象的全体，明确分类的标准，不重复、不遗漏地分类讨论”. 分类讨论的常见类型有以下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等；(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n 项和公式、函数的单调性等；(3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等；(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：如角的终边所在的象限；点、线、面的位置关系等；(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法.一、填空题1．已知集合A ＝{a ，b,2}，B ＝{2，b 2,2a }，且A ∩B ＝A ∪B ，则a ＝________. 解析：由A ∩B ＝A ∪B 知A ＝B ，又根据集合元素的互异性，有⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2a ，b ＝b 2，a ≠b ，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b 2，b ＝2a ，a ≠b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝14，b ＝12，故a ＝0或14.答案：0或142．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx 2)，－1<x <0，e x －1， x ≥0，若f (1)＋f (a )＝2，则a 的所有可能值为________．解析：∵f (1)＝e 1－1＝1，∴f (a )＝1，若a ∈(－1,0)，则sin(πa 2)＝1，∴a ＝－22. 若a ∈[0，＋∞)，则e a －1＝1，∴a ＝1.因此a ＝1或a ＝－22. 答案：1或－223．若直线l 过点P (－3，－32)且被圆x 2＋y 2＝25截得的弦长是8，则直线l 的方程为____________．解析：若直线l 的斜率不存在，则该直线的方程为x ＝－3，代入圆的方程解得y ＝±4，故直线l 被圆截得的弦长为8，满足条件；若直线l 的斜率存在，不妨设直线l 的方程为y ＋32＝k (x ＋3)，即kx －y ＋3k －32＝0，因为直线l 被圆截得的弦长为8，故半弦长为4，又圆的半径为5，则圆心(0,0)到直线l 的距离为52－42＝3k －32k 2＋1，解得k ＝－34，此时直线l 的方程为3x ＋4y ＋15＝0.答案：x ＝－3或3x ＋4y ＋15＝04．三棱柱底面内的一条直线与棱柱的另一底面的三边及三条侧棱所在的6条直线中，能构成异面直线的条数的集合是________．解析：如图所示，当直线l 在图(1)、(2)、(3)、(4)中所示的位置时，与l 异面的直线分别有3条、4条、5条、6条，故能构成异面直线的条数的集合是{3,4,5,6}．答案：{3,4,5,6}5．若函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________．解析：设函数y ＝a x (a >0且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0且a ≠1)的图像与函数y ＝x ＋a 的图像有两个交点．由图像可知，当0<a <1时，两函数只有一个交点，不符合；当a >1时，因为函数y ＝a x (a >1)的图像过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 的图像与y 轴的交点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点．所以实数a 的取值范围是a >1.答案：(1，＋∞)6．已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，集合B ＝{x |x 2－ax ＋a －1<0}，命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若綈q 是綈p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由x 2－4x ＋3<0得，1<x <3，即A ＝{x |1<x <3}，由x 2－ax ＋a －1<0得，[x －(a －1)](x －1)<0，由綈q 是綈p 的必要不充分条件可知p 是q 的必要不充分条件，即p 不能推出q ，但q 能推出p ，∴B A .若B ＝∅，则a ＝2，若B ≠∅，则1<a －1≤3，即2<a ≤4，综上可知，a 的取值范围是[2,4]．答案：[2,4]7．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大a2，则a 的值是________．解：当a >1时，y ＝a x 在[1,2]上递增，故a 2－a ＝a 2，得a ＝32；当0<a <1时，y ＝a x 在[1,2]上单调递减，故a －a 2＝a 2，得a ＝12.故a ＝12或a ＝32.答案：12或328．若函数f (x )＝a |x －b |＋2在[0，＋∞)上为增函数，则实数a ，b 的取值范围是________．解析：①当a >0时，需x －b 恒为非负数，即a >0，b ≤0. ②当a <0时，需x －b 恒为非正数．又∵x ∈[0，＋∞)， ∴不成立．综上所述，由①②得a >0且b ≤0. 答案：a >0且b ≤09．若数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n ＝n 2＋3n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．解析：∵a 1a 2a 3…a n ＝n 2＋3n ＋2，①∴当n ≥2时，a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2＋3(n －1)＋2＝n (n ＋1)．② ①÷②得，a n ＝n 2＋3n ＋2n (n ＋1)＝n ＋2n ＝1＋2n (n ≥2)，又a 1＝12＋3×1＋2＝6，不满足a n ＝1＋2n ，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6， n ＝1，1＋2n ， n ≥2.答案：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6 ，n ＝1，1＋2n，n ≥210．非负整数a ，b ，满足|a －b |＋ab ＝1，记集合M ＝{(a ，b )}，则集合M 中元素的个数为________．解析：由非负整数a ，b 满足|a －b |＋ab ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧ |a －b |＝0，ab ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧|a －b |＝1，ab ＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝1，⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝0，b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0，即M ＝{(1,1)，(1,0)，(0,1)}，所以集合M 中元素的个数为3.答案：3 二、解答题11．在等差数列{a n }中，a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设数列{a n }的公差为d ，∵a 1＋a 3＝－8，a 2＋a 4＝－14，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋2d ＝－8，2a 1＋4d ＝－14，解得a 1＝－1，d ＝－3. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－1－3(n －1)＝－3n ＋2.(2)由数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为c 的等比数列，得a n ＋b n ＝c n －1，即－3n ＋2＋b n ＝c n －1，∴b n ＝3n －2＋c n －1，∴S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n －1)＝n (3n －1)2＋(1＋c ＋c 2＋…＋c n－1)．∴当c ＝1时，S n ＝n (3n －1)2＋n ＝3n 2＋n2；当c ≠1时，S n ＝n (3n －1)2＋1－c n 1－c ＝n (3n －1)2＋c n －1c －1.综上，数列{b n}的前n 项和S n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n 2＋n2， c ＝1，n (3n －1)2＋c n－1c －1，c ≠1.12．已知函数f (x )和g (x )的图像关于原点对称，且f (x )＝x 2＋2x . (1)求函数g (x )的解析式； (2)解不等式g (x )≥f (x )－|x －1|；(3)若h (x )＝g (x )－λf (x )＋1在[－1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围．解：(1)设函数y ＝f (x )的图像上任一点Q (x 0，y 0)关于原点的对称点为P (x ，y )，则⎩⎨⎧x 0＋x2＝0，y 0＋y2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－x ，y 0＝－y . 又∵点Q (x 0，y 0)在函数y ＝f (x )的图像上， ∴－y ＝x 2－2x ，∴y ＝－x 2＋2x . 即g (x )＝－x 2＋2x .(2)由g (x )≥f (x )－|x －1|，可得 2x 2－|x －1|≤0.当x ≥1时，2x 2－x ＋1≤0，此时不等式无解；当x <1时，2x 2＋x －1≤0，∴－1≤x ≤12.因此，原不等式的解集为[－1，12]．(3)h (x )＝－(1＋λ)x 2＋2(1－λ)x ＋1.①当λ＝－1时，h (x )＝4x ＋1在[－1,1]上是增函数，故λ＝－1适合题意． ②当λ≠－1时，对称轴的方程为x ＝1－λ1＋λ.当λ<－1时，1－λ1＋λ≤－1，解得λ<－1；当λ>－1时，1－λ1＋λ≥1，解得－1<λ≤0.综上所述，λ≤0.故实数λ的取值范围为(－∞，0]．13．已知焦点在y 轴上的椭圆C 1：y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)经过点A (1,0)，且离心率为32.(1)求椭圆C 1的方程；(2)过抛物线C 2：y ＝x 2＋h (h ∈R )上P 点的切线与椭圆C 1交于不同的两点M ，N ，记线段MN 与P A 的中点分别为G ，H ，当直线GH 与y 轴平行时，求h 的最小值．解：(1)由题意知⎩⎨⎧1b 2＝1，ca ＝32，a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，c ＝3，所以椭圆C 1的方程为y 24＋x 2＝1.(2)设P (t ，t 2＋h )，由y ′＝2x ，得抛物线C 2在点P 处的切线的斜率为k ＝y ′|x ＝t ＝2t ，所以直线MN 的方程为y ＝2tx －t 2＋h ，代入椭圆方程得4x 2＋(2tx －t 2＋h )2－4＝0，化简得4(1＋t 2)x 2－4t (t 2－h )x ＋(t 2－h )2－4＝0，又直线MN 与椭圆C 1有两个不同的交点，故 Δ＝16[－t 4＋2(h ＋2)t 2－h 2＋4]>0，①设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，线段MN 中点的横坐标为x 0，则x 0＝x 1＋x 22＝t (t 2－h )2(1＋t 2)，设线段P A 中点的横坐标为x 3，则x 3＝1＋t2，由已知得x 0＝x 3，即t (t 2－h )2(1＋t 2)＝1＋t2，显然t ≠0，h ＝－(t ＋1t＋1)，当t >0时，t ＋1t ≥2，当且仅当t ＝1时取得等号，此时h ≤－3，不符合①式，故舍去；当t <0时，(－t )＋(－1t )≥2，当且仅当t ＝－1时取得等号，此时h ≥1，满足①式．综上，h 的最小值为1.。

数学分类讨论思想专题训练

分类讨论思想专
题训练 B R A N D
PLANING
分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点，将数学研究对象分为不同种类的一种数学思想。分类以比较为基础，比较是分类的前提，分类是比较的结果。
分类必须有一定的标准，标准不同分类的结果也就不同。分类要做到不遗漏，不重复。分类后，对每个类进行研究，使问题在各种不同的情况下，分别得到各种结论，这就是讨论。
函数值的取值范围是-5≤y≤-2 ，则这个函数的解析式
是
.
二．函数y=ax2-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标 .
二.图形位置的分类 D
O
1如图，线段OD的一个端
点O在直线a上，以OD为
一边画等腰三角形，并且
使另一个顶点在直线a上，
这样的等腰三角形能画多
a 少个?
4
▪ 2在下图三角形的边上找出一点，使得该点与三角形的两顶点构成腰三角形！ 6
求Ａ、Ｂ、Ｃ三点的坐标；
在直线ｘ＝ｍ（ｍ＞１） ○ 上有一点Ｐ（点Ｐ在第一象限）， ○ 使得以Ｐ、Ｄ、Ｂ为顶点的三角 ○ 形与以Ｂ、Ｃ、Ｏ为顶点的三角 ○ 形相似，求点Ｐ的坐标。
y
o AB
C
Dx
x=m
3. 在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠C=900 ,BC=16, DC=12，AD=21。动点P从点D出发，沿射线DA的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段CB上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P， Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P 随之停止运动。设运动的时间为t（秒）.
（1）设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式.
（2）当线段PQ与线段AB相交于点O，且BO=2AO时，求∠BQP的正切值.