高中数学知识点精编完整版：不等式

不等式知识点精编完整版
一、不等式的主要性质：
1、应用不等式（组）表示不等关系；不等式的主要性质：
1)对称性：a b b a <⇔> 2)传递性：c a c b b a >⇒>>,
3)加法法则：c b c a b a +>+⇒>； d b c a d c b a +>+⇒>>,
4)乘法法则：bc ac c b a >⇒>>0,；bc ac c b a <⇒<>0,： bd ac d c b a >⇒>>>>0,0 5)倒数法则：b
a a
b b a 110,<⇒
>> 6)乘方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且 7)开方法则：)1*(0>∈>⇒>>n N n b a b a n n 且
2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
二、一元二次不等式02>++c bx ax 和)0(02≠<++a c bx ax 及其解法 0>∆
0=∆
0<∆
二次函数
)
)((212x x x x a y c
bx ax y --=++=
)
)((212x x x x a y c
bx ax y --=++=
c bx ax y ++=2
的根
)0(2>++=a c bx ax y
()的根
00
2>=++a c bx ax
有两相异实根 )(,2121x x x x <
有两相等实根
a
b
x x 221-==
无实根
的解集)0(02>>++a c bx ax
{}21x x x x x
><或 ⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-≠a b x x 2
R
的解集
)0(02><++a c bx ax {}21x x x x
<<
∅
∅
注意：一般常用因式分解法、求根公式法求解一元二次不等式
顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间
三、基本不等式2
a b
ab +≤
1、若a,b ∈R ,则a 2+b 2≥2ab ,当且仅当a=b 时取等号.
2、如果a,b 是正数，那么
).""(2
号时取当且仅当==≥+b a ab b
a 变形： 有:a+
b ≥ab 2；ab ≤2
2⎪⎭
⎫
⎝⎛+b a ,当且仅当a=b 时取等号.
3、如果a,b ∈R+,a ·b=P (定值),当且仅当a=b 时,a+b 有最小值P 2;
如果a,b ∈R+,且a+b=S (定值),当且仅当a=b 时,ab 有最大值4
2
S .
注：
1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积 的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． 2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”
4、常用不等式有：
1）22
22211
a b a b ab a b
++≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ；
2）R c b a ∈,,，222a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； 3）若0,0a b m >>>，则b b m
a a m
+<+（糖水的浓度问题）。

四、含有绝对值的不等式
1、绝对值的几何意义：||x 是指数轴上点x 到原点的距离；12||x x -是指数轴上12,x x 两点间的距离
2、则不等式：如果,0>a
a x a x a
x -<><=>>或|| a x a x a
x -≤≥<=>≥或||
a x a a
x <<-<=><||
a x a a
x ≤≤-<=>≤||
3、当0c >时， ||ax b c ax b c +>⇔+>或ax b c +<-， ||ax b c c ax b c +<⇔-<+<； 当0c <时，||ax b c x R +>⇔∈， ||ax b c x φ+<⇔∈．
4、解含有绝对值不等式的主要方法：
①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解； ②去掉绝对值的主要方法有：
1）公式法：|| (0)x a a a x a <>⇔-<<，|| (0)x a a x a >>⇔>或x a <-． 2）定义法：零点分段法；
3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方．
5、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B
<
五、其他常见不等式形式总结：
①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则
()()0()
()
0()()0;0()0
()
()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥⎧>⇔>≥⇔⎨
≠⎩ ②无理不等式：转化为有理不等式求解
()0()()()0()()f x f x g x g x f x g x ⎧≥⎫
⇒⎪⎬>⇔≥⎨⎭
⎪>⎩
定义域
⎩⎨⎧<≥⎪⎩
⎪⎨⎧>≥≥⇔>0)(0)()]([)(0)(0)()()(2x g x f x g x f x g x f x g x f 或
⎪⎩⎪
⎨⎧<≥≥⇔<2
)]
([)(0)(0
)()()(x g x f x g x f x g x f
③指数不等式：转化为代数不等式
()()()()()(1)()();
(01)()()
(0,0)()lg lg f x g x f x g x f x a a a f x g x a a a f x g x a b a b f x a b
>>⇔>><<⇔<>>>⇔⋅>
④对数不等式：转化为代数不等式
()0
()0log ()log ()(1)()0;
log ()log ()(01)()0()()()()a a a a f x f x f x g x a g x f x g x a g x f x g x f x g x >>⎧⎧⎪
⎪>>⇔>><<⇔>⎨⎨⎪⎪><⎩
⎩
六、三角不等式：
|b ||a ||b a ||b |-|a |+≤+≤
七、不等式证明的几种常用方法
比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。

八、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿
不等式03
)4)(23(2
2≤+-+-x x x x 的解
九、零点分段法
不等式：|21||2|4x x ++->．
十、线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式Ax +By +C ＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax +By +C =0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线Ax +By +C =0同一侧的所有点(y x ,)，把它的坐标（y x ,)代入Ax +By +C ，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x 0,y 0)，从Ax 0+By 0+C 的正负即可判断Ax +By +C ＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C ≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念： ①线性约束条件：
在上述问题中，不等式组是一组变量x 、y 的约束条件，这组约束条件都是关于x 、y 的一次不等式，故又称线性约束条件． ②线性目标函数：
关于x 、y 的一次式z =a x +b y 是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x 、y 的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x ,y ）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤： 1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
3）依据线性目标函数作参照直线a x +b y ＝0，在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解。