不定积分培优讲义
《不定积分教学》课件
这是一份关于不定积分教学的精彩课件，旨在向大家详细介绍不定积分的概 念、常见公式以及各种积分技巧和应用。让我们一起探索不定积分的奥秘！
I. 介绍不定积分
什么是不定积分？为什么它在数学和实际应用中如此重要？在这一部分中，我们将深入研究不定积分的1
线性函数的积分
学习对一次函数进行积分运算的基本方法和公式。
2
常数函数的积分
研究对常数函数进行积分的简便技巧和运算步骤。
3
多项式函数的积分
探索多项式函数在不定积分中的运算特点和求解方法。
IV. 分部积分法
1
分部积分法的原理
理解分部积分法的基本原理和概念，
常用分部积分公式
2
并掌握应用技巧。
学习常见函数的分部积分公式和运算
步骤。
3
应用实例
通过实际问题的分部积分求解，加深 对这一方法的理解和掌握。
V. 替换积分变量法
1 变量替换的思路
介绍使用替换变量法解决复杂积分问题的基本思路。
2 常见变量替换技巧
学习变量替换法的常见技巧和应用场景。
3 求解实际问题
通过实际问题的例子，练习和巩固替换积分变量的方法。
3
高级积分方法
介绍高级积分方法，如换元积分法、特殊曲线的积分等。
基本函数积分表
e^x, sin(x), cos(x), ln(x)等常见函数的积分公 式详解。
三角函数积分法则
sin(x), cos(x), tan(x)等三角函数的积分运算 规则和技巧。
幂函数积分法则
x^n的不定积分的计算方法，包括n不等于-1 和n等于-1两种情况。
常用特殊函数积分
学习Gamma函数、Beta函数等特殊函数的 积分方法和应用。
高等数学第四章不定积分讲义
第四章 不定积分讲义【考试要求】1．理解原函数与不定积分的概念及其关系，掌握不定积分的性质，了解原函数存在定理． 2．熟练掌握不定积分的基本公式．3．熟练掌握不定积分的第一类换元法，掌握第二类换元法（限于三角代换与简单的根式代换）．4．熟练掌握不定积分的分部积分法．【考试内容】一、原函数与不定积分的概念1．原函数的定义如果在区间I上，可导函数()F x 的导函数为()f x ，即对任一x I∈，都有()()F x f x '=或()()dF x f x dx =，那么函数()F x 就称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的原函数．例如，因(sin )cos x x '=，故sin x 是cos x 的一个原函数．2．原函数存在定理如果函数()f x 在区间I 上连续，那么在区间I 上存在可导函数()F x ，使对任一x I ∈都有()()F x f x '=．简单地说就是，连续函数一定有原函数．3．不定积分的定义在区间I 上，函数()f x 的带有任意常数项的原函数称为()f x （或()f x dx ）在区间I 上的不定积分，记作()f x dx ⎰．其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()f x dx 称为被积表达式，x 称为积分变量．如果()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，那么()F x C +就是()f x 的不定积分，即()()f x dx F x C =+⎰，因而不定积分()f x dx ⎰可以表示()f x 的任意一个原函数．函数()f x 的原函数的图形称为()f x 的积分曲线．4．不定积分的性质（1）设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰．（2）设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()()k f x d x k f x d x=⎰⎰． 5．不定积分与导数的关系（1）由于()f x dx ⎰是()f x 的原函数，故()()d f x dx f x dx⎡⎤=⎣⎦⎰ 或 ()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰ ． （2）由于()F x 是()F x '的原函数，故()()F x d x F x C '=+⎰ 或()()dF x F x C =+⎰ ．二、基本积分公式1．kdx kx C =+⎰ （k 是常数）2．11x x dx C μμμ+=++⎰ （1μ≠-）3．1ln dx x C x =+⎰4．21arctan 1dx x C x =++⎰5．arcsin dx x C =+⎰6．cos sin xdx x C =+⎰ 7．sin cos xdx x C =-+⎰8．221sec tan cos dx xdx x C x ==+⎰⎰9．221csc cot sin dx xdx x C x ==-+⎰⎰10．sec tan sec x xdx x C =+⎰11．csc cot csc x xdx x C =-+⎰ 12．xxe dx e C =+⎰13．ln xxa a dx C a=+⎰ *14．tan ln cos xdx x C =-+⎰ *15．cot ln sin xdx x C =+⎰*16．sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ *17．csc ln csc cot xdx x x C =-+⎰*18．2211arctan xdx C a x a a =++⎰*19．2211ln 2x adx C x a a x a-=+-+⎰*20．arcsin xC a =+*21．ln(dx x C =++ *22．ln x C =++说明：带“*”号的公式大家可以不记住，但必须会推导．三、第一类换元法（凑微分法）1．定理若()f u ，()x ϕ及()x ϕ'都是连续函数，且()()f u du F u C =+⎰，则[()]()[()]f x x dx F x C ϕϕϕ'=+⎰．2．常用凑微分公式（1）1()()dx d x b d ax b a=+=+ （a ，b 均为常数且0a ≠）（2）11()1aa xdx d x b a +=++ （a ，b 均为常数且1a ≠-）2211()()22xdx d x d x b ==+2dx d = （3）1(ln )(ln )dx d x d x b x==+ （4）()()xx x e dx d e d e b ==+（5）11()()ln ln xxx a dx d a d a b a a==+（6）sin (cos )(cos )xdx d x d x b =-=-+ （7）cos (sin )(sin )xdx d x d x b ==+（8）2sec(tan )(tan )xdx d x d x b ==+（9）2csc(cot )(cot )xdx d x d x b ==+（10(arcsin )(arcsin )dx d x d x b ==+（11）21(arctan )(arctan )1dx d x d x b x==++ （12）22211[ln(1)][ln(1)]122x dx d x d x b x =+=+++ 四、第二类换元法定理：设()f x 连续，()x t ϕ=及()t ϕ'都是连续函数，()x t ϕ=的反函数1()t x ϕ-=存在且可导，并且[()]()()f t t dt F t C ϕϕ'=+⎰，则1()[()]f x dx F x C ϕ-=+⎰．说明：第二类换元法常见是三角代换，三角代换的目的是化掉根式，一般有如下情形： （1sin x a t =； （2tan xa t =；（3sec x a t =．五、分部积分法1．公式的推导设函数()uu x =及()v v x =具有连续导数，那么两个函数乘积的导数公式为()uv u v uv '''=+，移项，得()uv uv u v '''=-，对这个等式两边求不定积分，得u v d x u v u v d ''=-⎰⎰，为简便起见，上述公式也写为udv uv vdu =-⎰⎰ ．2．注意事项（1）如果被积函数是幂函数和正（余）弦函数或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数为u ，这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂次降低一次（这里假定幂指数是正整数）．（2）如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设对数函数或反三角函数为u （有时也可利用变量代换）． （3）根据范围I 的边界值与()f x '的情况，导出所需要证明的不等式即可．六、简单有理函数的不定积分分子分母均为x 的多项式的分式函数称为有理函数，简单有理函数可通过适当变换如加项、减项等分解为可求不定积分的简单函数．或u ，由于这样的变换具有反函数，且反函数是u 的有理函数，因此原积分即可化为有理函数的积分．【典型例题】 【例4-1】计算下列不定积分． 1．2x xedx ⎰．解：222211()22x x x xe dx e d x e C ==+⎰⎰．2．21xdx x +⎰．解：2222111(1)ln(1)1212x dx d x x C x x =+=++++⎰⎰．3．221(1)x x dx x x +++⎰．解：2222221111(1)(1)(1)1x x x x dx dx dx dx dx x x x x x x x x +++=+=+++++⎰⎰⎰⎰⎰arctan ln x x C =++．4．ln x dx x ⎰．解：2ln 1ln (ln )ln 2x dx xd x x C x ==+⎰⎰．5．1ln dx x x ⎰．解：11(ln )ln ln ln ln dx d x x C x x x ==+⎰⎰．6．sec (sec tan )x x x dx -⎰．解： 2sec (sec tan )secsec tan x x x dx xdx x xdx -=-⎰⎰⎰t a n s e c x x C=-+． 7．2sin xdx ⎰．解：21cos211sin cos2222x xdx dx dx xdx -==-⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =-+． 8．2cos xdx ⎰．解：21cos211cos cos2222x xdx dx dx xdx +==+⎰⎰⎰⎰11sin 224x x C =++． 9．2tan xdx ⎰．解：222tan (sec 1)sec tan xdx x dx xdx dx x x C =-=-=-+⎰⎰⎰⎰． 10．2cot xdx ⎰．解：222cot (csc 1)csc cot xdx x dx xdx dx x x C =-=-=--+⎰⎰⎰⎰．11．11x dx e +⎰．解：11(1)1111x x x xx x x x e e e e dx dx dx dx dx e e e e +-==-=-++++⎰⎰⎰⎰⎰1(1)ln(1)1x xxdx d e x e C e=-+=-+++⎰⎰． 12．21825dx x x -+⎰．解：22211114825(4)99()13dx dx dx x x x x ==--+-++⎰⎰⎰211414()arctan 43333()13x x d C x --==+-+⎰．13．25sin cos x xdx ⎰． 解： 原式2242sincos (sin )sin (1sin )(sin )x xd x x x d x ==-⎰⎰246(sin 2sin sin )(sin )x x x d x =-+⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++． 14．cos3cos 2x xdx ⎰．解：111cos3cos2(cos cos5)sin sin52210x xdx x x dx x x C =+=++⎰⎰．【例4-2】计算下列不定积分． 1．cos x xdx ⎰．解：cos (sin )sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰．2．x xe dx ⎰．解：()(1)x x x x x x x xe dx xd e xe e dx xe e C x e C ==-=-+=-+⎰⎰⎰． 3．ln x xdx ⎰．解：222221ln ln ()ln (ln )ln 22222x x x x x x xdx xd x d x x dx x==-=-⋅⎰⎰⎰⎰ 222ln ln 2224x x x x x dx x C =-=-+⎰．说明：此题也可用变量代换解，即令ln xt =，则t x e =，t dx e dt =，故原式2222111()222t t t t t t e t e dt te dt td e te e dt =⋅⋅===-⎰⎰⎰⎰ 2222221111ln ln 242424t t x xte e C x x x C x C =-+=⋅-+=-+．4．arctan x xdx ⎰．解：222arctan arctan ()arctan (arctan )222x x x x xdx xd x d x ==-⎰⎰⎰ 22222111arctan arctan (1)221221x x x x dx x dx x x =-⋅=--++⎰⎰ 211arctan arctan 222x x x x C =-++．5．ln xdx ⎰．解：1ln ln (ln )ln ln xdx x x xd x x x x dx x x x C x=-=-⋅=-+⎰⎰⎰．6．arctan xdx ⎰．解：2arctan arctan (arctan )arctan 1x xdx x x xd x x x dx x =-=-+⎰⎰⎰ 2221(1)1a r c t a n a r c t a nl n (1)212d x x x x x x C x+=-=-+++⎰． 7．cos xe xdx ⎰．解：原式(sin )sin sin sin (cos )x x x x xe d x e x x e dx e x e d x ==-⋅=+⎰⎰⎰sin cos cos x x x e x e x x e dx =+-⋅⎰，所以1cos (sin cos )2xxe xdx e x x C =++⎰．8．sin(ln )x dx ⎰．解：1sin(ln )sin(ln )cos(ln )x dx x x x x dx x=-⋅⎰⎰sin(ln )x x =- 1cos(ln )sin(ln )cos(ln )[sin(ln )]x dx x x x x x x dx x =-+-⋅⎰⎰sin(ln )cos(ln )sin(ln )x x x x x dx =--⎰，故1sin(ln )[sin(ln )cos(ln )]2x dx x x x x C =-+⎰．说明：此题也可用变量代换法求解，即令ln t x =，则t x e =，t dx e dt =，则原式sin sin ()sin cos t t t tt e dt td e e t e tdt =⋅==-⎰⎰⎰s i n c o s ()s i n c o s(s i n t t t t te t t d e e t e t e t d t=-=-+-⎰⎰， 故原式11(sin cos )[sin(ln )cos(ln )]22t t e t e t C x x x x C =-+=-+． 【例4-3】计算下列不定积分．1．2156x dx x x +-+⎰．解：被积函数的分母分解成(2)(3)x x --，故可设215632x A Bx x x x +=+-+--， 其中A 、B 为待定系数．上式两端去分母后，得 1(2)(3)x A x B x +=-+-，即1()23x A B x A B +=+--．比较此式两端同次幂的系数，即有 1A B +=，231A B +=-，从而解得4A =，3B =-，于是2143()4ln 33ln 25632x dx dx x x C x x x x +=-=---+-+--⎰⎰．2．22(21)(1)x dx x x x ++++⎰．解：设222(21)(1)211x A Bx Cx x x x x x ++=+++++++， 则 22(1)()(21)x A x x B x C x +=+++++，即22(2)(2)x A B x A B C x A C+=++++++，有 20,21,2,A B A B C A C +=⎧⎪++=⎨⎪+=⎩ 解得 2,1,0.A B C =⎧⎪=-⎨⎪=⎩于是2222()(21)(1)211x xdx dx x x x x x x +=-++++++⎰⎰22221(21)11(1)1ln 21ln 211321212()24x d x x dxx dx x x x x x x +-++=+-=+-+++++++⎰⎰⎰21ln 21ln(1)2x x x C =+-++++．3．dx x⎰．u =，于是21x u =+，2dx udu =，故22221222(1)111u u dx udu du du x u u u=⋅==-+++⎰⎰⎰⎰2(arctan )arctan u u C C =-+=-+．4．．解：为了去掉根号，可以设u =，于是32x u =-，23dx u du =，故22313(1)3(ln 1)112u u du u du u u C u u ==-+=-+++++⎰⎰3ln 1C =-+++． 【例4-4】设()arcsin xf x dx x C =+⎰，求1()dx f x ⎰． 解：对等式()arcsin xf x dx x C =+⎰ 两边对 x 求导，可得()xf x =， 则()f x =故211()(1)()2dx x f x ==--⎰⎰⎰ 332222121()(1)(1)233x C x C =-⋅-+=--+．【例4-5】已知sin xx是()f x 的一个原函数，求()xf x dx '⎰．解：因为sin xx是 ()f x 的一个原函数，所以 2sin cos sin ()()x x x x f x x x -'== 且 s i n ()xf x dx C x=+⎰， 故根据不定积分的分部积分法可得2cos sin sin ()()()()x x x xxf x dx xdf x xf x f x dx x C x x-'==-=⋅-+⎰⎰⎰cos sin sin 2sin cos x x x x xC x C x x x-=-+=-+．【历年真题】一、选择题1．（2009年，1分）下列等式中，正确的一个是 （A ）()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ （B ）()()d f x dx f x ⎡⎤=⎣⎦⎰ （C ）()()F x dx f x '=⎰ （D ）()()d f x dx f x C ⎡⎤=+⎣⎦⎰ 解：选项（A ）正确；()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰，故选项（B ）和选项（D ）均不正确；()()F x dx F x C '=+⎰，故选项（C ）错误．故选（A ）． 2．（2007年，3分）设21()f x x'=（0x >），则()f x =（A ）2x C + （B ）ln x C + （C）C + （DC + 解：令2xt =，因0x >，故x =21()f x x '= 变为()f t '=，该式两边对x取不定积分得，()f t C ==+，即()f x C =+．选（C ）． 3．（2006年，2分）若11()xxf x edx e C --=+⎰，则()f x =（A ）1x （B ）1x - （C ）21x （D ）21x -解：等式11()xxf x e dx e C--=+⎰两边对x 求导得，1121()xxf x ee x --=⋅，故21()f x x =．选项（C ）正确．4．（2005年，3分）ln sin tan xd x =⎰（A ）tan lnsin x x x c -+（B ）tan lnsin x x x c ++ （C ）tan lnsin cos dx x x x -⎰ （D ）tan lnsin cos dxx x x +⎰解：ln sin tan tan ln sin tan (ln sin )xd x x x xd x =-⎰⎰cos tan lnsin tan tan lnsin sin xx x x dx x x x C x=-=-+⎰．选项（A ）正确．二、填空题1．（2010年，2分）不定积分()df x =⎰．解：根据不定积分与微分的关系可得，()()df x f x C =+⎰．2．（2009年，2分）设()xf x e-=，则(ln )f x dx x'=⎰．解：由题意，()x f x e -=，则()x f x e -'=-，那么ln 1(ln )x f x e x-'=-=-，于是2(ln )11f x dx dx C x x x'==-+⎰⎰． 三、计算题1．（2010年，5分）求不定积分2ln 1x dx x -⎰．解：2ln 11ln 11(ln 1)()()(ln 1)x x dx x d d x x x x x--=--=----⎰⎰⎰21ln 11ln 1ln x x x dx C C x x x x x --=+=-+=-+⎰．2．（2009年，5分）求不定积分．解：ln (ln )xd x x ==-⎰⎰x x C =-=-+⎰． 3．（2006年，4分）若2()f x dx x C =+⎰，求2(1)xf x dx -⎰．解：等式2()f x dx x C =+⎰两边对x 求导，可得 ()2f x x =，则22(1)2(1)f x x -=-，从而223241(1)2(1)(22)2xf x dx x x dx x x dx x x C -=-=-=-+⎰⎰⎰． 4．（2005年，5分）求不定积分12cos dx x +⎰．解：2222sec 2(tan )11222cos 12cos 2sec 3tan222x xd dx dx dx x x x x ===++++⎰⎰⎰⎰令tan 2xt =，则原式22222233[1]]dt dt t t ===+++⎰⎰tan x C C ⎛⎫ ⎪=+=+⎝⎭．四、应用题或综合题 1．（2008年，8分）设()f x 的一个原函数为ln x ，求()()f x f x dx '⎰．解：因ln x 是()f x 的一个原函数，故1()(ln )f x x x '==，211()()f x x x''==-，从而2321111()()()2f x f x dx dx dx C x x x x'=⋅-=-=+⎰⎰⎰．说明：此题也可用分部积分解之，步骤如下． 因2()()()()()()()f x f x dx f x df x f x f x f x dx ''==-⎰⎰⎰，故2221111()()()222f x f x dx f x C C C x x⎛⎫'=+=+=+ ⎪⎝⎭⎰．。
不定积分培优讲义
不定积分培优讲义不定积分内容要点1.(影子法liate)2.基本的2个？一、基本概念与性质1.本原函数和不定积分的概念2．不定积分的性质设置F十、dx？F十、c、 f在哪里？十、为了f？十、C是一个任意常数。
然后（1）fxdxfxc或df？十、F十、C（2）??f?x?dx??f?x?或d??f?x?dx??f?x?dx（3）（4）? 肯德基？十、dx？KF十、dx？F十、G十、dx？？F十、dx？？G十、dx？？3.原函数的存在性1）设f？十、在区间I上连续，然后是f？十、原函数必须存在于区间I上。
2）初等函数的原函数不一定是初等函数sinx2dx，?cos?xxa?12?dx，?sinxxdx，?cosxxdx，?dxlnx，?e?xdx二.基本积分公式1？xdx？1aa？1.C（a±1，实常数）2．?dx?lnx?cx3。
？adx？x1lnaxa？c（a？0，a？1）x?exdx?e?c4．? cosxdx？辛克斯？c5。
？sinxdx？？Coxx？C6．?secxdx?7．?cscxdx?22?cos?sin12xxdx?tanx?c12dx？？科茨？C8．?tanxsecxdx?secx?c9．?cotxcscxdx??cscx?c10.?tanxdx??lncosx?c11.?cotxdx?lnsi nx?c12.?secxdx?lnsecx?tanx?c13.?cscxdx?lncscx?cotx?c14.?15.?16.?dxa?x22?arcsin xa?c（a?0）dxa？xdxa？xdxx？a22222？1arctanxa？c（a？0）2alnaxax2c(a0)17.2lnxxa2c(a0)三、代换积分法和部分积分法1．第一换元积分法(凑微分法影子法)设?f?u?du?f?u??c，又??x?可导，则F十、十、dx？？F十、D十、你知道吗十、FU杜f(u)cfxc常用的微分公式应该是“背对背”，也就是说，计算微分非常熟练。
(完整版)考研高数讲义高数第四章不定积分上课资料
12 四、基本积分表 （1）kdx （2）dxx （3）xdx （4）dxax ；dxex （5）21xdx （6）21xdx
持之以恒，厚积薄发
13 （7）xdxcos （8）xdxsin （9）xdxdxx22seccos1 （10）xdxdxx22cscsin1 （11）xdxxtansec （12）xdxxcotcsc
持之以恒，厚积薄发
23 （5）dxxx21； （6）xdxtan； 【答案】（5）()322113xC； （6）ln|cos|xC
第四章 不定积分
24 （7）)ln21(xxdx； （8）xdxx52cossin； 【答案】（7）ln||1122xC； （8）sinsinsin357121357xxxC
第四章 不定积分
44 2211=()dxdxaxbxcaxhk公式求解 =2222(2)221ln||22mmbaxbnmxnaadxdxaxbxcaxbxcmmbaxbxcndxaaaxbxc
持之以恒，厚积薄发
45 【例1】求下列不定积分 （1）2239dxxx ； 【答案】（1）21ln|23|ln|3|99xxC
第四章 不定积分
46 （2）322xxdx Caxaxadxarctan122； 【答案】（2）11arctan22xC
持之以恒，厚积薄发
47 （3）2(31)23xdxxx； 【答案】（3）231ln|23|2arctan22xxxC
第四章 不定积分
48 （4）321xdxxx 【答案】（4）212321arctan233xxxC
持之以恒，厚积薄发
3 原函数存在定理：连续函数必有原函数——即若)(xf在I上连续，则必存在)(xF，使得当xI时，)()(xfxF。 【例1】设)(xF是)(xf在(,)ab上的一个原函数，则()()fxFx在(,)ab上（ ） （A）可导 （B）连续 （C）存在原函数 （D）是初等函数 【答案】（C）
《高等数学》第四章 不定积分(电子讲稿)
140 第四章 不定积分一般来说，在数学中一种运算的出现都伴随着它的逆运算.在第二章中，我们学习了导数与微分，导数与微分运算是否有逆运算？即已知函数()f x 的导数或微分，能否求出()f x ？这是我们这一章要讨论的问题.第一节 不定积分的概念与性质一、原函数与不定积分的概念如果在区间I 上，可导函数()F x 的导数为()f x ，即对任意x I ∈，都有()()F x f x '= 或 d ()()d F x f x x =，则称()F x 为()f x 在区间I 上的原函数.例如，因为,x R ∀∈(sin )cosx x '=，所以sin x 是cos x 的一个原函数；(1,1)x ∀∈-，(arcsin )x '=arcsin x(1,1)-内的一个原函数.由此可见，微分学的逆问题是：已知导函数()F x '，求原函数()F x .事实上，研究原函数需要解决下面两个问题：(1)满足何种条件的函数存在原函数？(2)如果原函数存在，它是否唯一？关于第一个问题，我们用原函数存在定理回答.(原函数存在定理） 如果函数()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数()F x ，使得对任一x ∈I ，有()()F x f x '=.将在第五章给出此定理的证明.这个定理简单地说就是：连续函数一定有原函数. 关于第二个问题的答案是如果原函数存在则不唯一.设()F x 是函数()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=,则[()]()F x C f x '+=，其中C 是任意常数.这就是说，原函数存在的话，则有无穷多个.不妨假设()F x 与()G x 是函数()f x 的任意两个原函数, 则有()()F x f x '=，()()G x f x '=.从而有(()())0F x G x '-=，即()()F x G x C -=.因此，()f x 的任意两个原函数之间只相差一个常数.换句话说()f x 的原函数的全体可表示为()F x C +,其中C 为任意常数.据此，我们给出下述定义.在区间I 上，()f x 的带有任意常数项的原函数，称为()f x 在区间I 上的不定积分，记作()d f x x ⎰.其中记号⎰称为积分号，()f x 称为被积函数，()d f x x 称为被积表达式，x 称为积分变量.由不定积分的定义，如果()F x 为()f x 的一个原函数，则()d ()f x x F x C =+⎰ （C 为任意常数）.●●例1 因为 32()3x x '=，所以233d x x x C =+⎰.141●●例2 因为当0x >时，1(ln )x x '=；当0x <时，11[ln()]()x x x x ''-=-=-，所以1(ln ||)x x'=，因此有1d ln ||x x C x=+⎰.●●例3 设曲线过点2(e ,3)，且其上任一点处的斜率等于该点横坐标的倒数，求此曲线 的方程.解 设所求曲线方程为()y f x =，其上任一点(,)x y 处切线的斜率为d 1d y x x=，从而 1d ln ||y x x C x==+⎰,由2(e )3f =，得1C =，因此所求曲线方程为ln ||1y x =+.在直角坐标系中，()f x 的任意一个原函数()F x 的图形我们称为()f x 的一条积分曲线，不定积分()d f x x ⎰在几何上表示一簇积分曲线，这些积分曲线可由某一条积分曲线沿y 轴方向平移得到，它们在横坐标相同点处的切线有相同的斜率，因而切线相互平行.●●例4 一物体由静止开始作直线运动,t 秒末的速度是23t （m /s ）,问：(1)在3s 末,物体与出发点之间的距离是多少？(2)物体走完216m 需多少时间？解 设物体的位置函数为()s s t =，则d ()d s v t t =，即2d 3d st t=，从而23d s t t =⎰=3t C +，由(0)0s =，得0C =，于是有3s t =.当3t =时,物体与出发点之间的距离3(3)27s t ==(m)； 当216s =时，6t =(s).由原函数与不定积分的概念可得：d()d ()d f x x f x x =⎰或 d ()d ()d f x x f x x =⎰； ()d ()F x x F x C '=+⎰ 或 d ()()F x F x C =+⎰.由此可见，微分运算与不定积分运算互为逆运算，对函数()f x 先积分再微分，作用互相抵消；对函数()F x 先微分再积分，其结果只差一个常数.二、基本积分表因为不定积分运算是导数运算的逆运算，所以不难从导数公式得到相应的积分公式．现将一些基本积分公式罗列如下，通常称之为基本积分公式表.(1) d k x kx C =+⎰ (k 为常数),(2) 1d 1x x x C μμμ+=++⎰ (1μ≠-), (3) d ln ||xx C x =+⎰, (4) 2d arctan 1xx C x =++⎰,(5) arcsin x C =+, (6) cos d sin x x x C =+⎰, (7) sin d cos x x x C =-+⎰, (8) 22d sec d tan cos x x x x C x ==+⎰⎰, (9) 22d csc d cot sin xx x x C x==-+⎰⎰, (10)sec tan d sec x x x x C =+⎰,142 (11) csc cot d csc x x x x C =-+⎰, (12)e d e x x x C =+⎰, (13) d ln xxa a x C a=+⎰,(14)sh d ch x x x C =+⎰,(15) ch d sh x x x C =+⎰.以上公式可以联系求导公式记忆，且要求能够灵活运用.三、不定积分的性质根据不定积分的定义，可以得到下列性质. 性质1 设函数()f x 及()g x 的原函数存在，则[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰.证 因为([()()]d )()()f x g x x f x g x '±=±⎰，[()d ()d ]f x x g x x '±=⎰⎰[()d ][()d ]f x x g x x ''±⎰⎰=()()f x g x ±.由不定积分及原函数的定义，性质1得证.性质1可以推广到有限个函数的情形.性质2 设函数()f x 的原函数存在，k 为非零常数，则()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰. 证 与性质1的证明类似，从略.利用基本积分表和不定积分的两个性质，通过对被积函数作恒等变形，可以求出一些简单的不定积分，这种求积分的方法通常叫直接积分法.●●例5求解4133d 3x x xC C --=-+=+⎰.●●例6求5)d x x .解3225)d (5)d x x x x x =-⎰322d 5d x x x x =-⎰⎰532123x x C =-+3123x x C =-. 检验积分结果是否正确，只要对结果求导，看它的导数是否等于被积函数，相等时结果是正确的，否则结果是错误的.●●例7 求32(1)d x x x +⎰. 解 33222(1)331d d x x x x x x x x ++++=⎰⎰2313d x x x x ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰ 211d 3d 3d d x x x x x x x=+++⎰⎰⎰⎰21133ln ||2x x x C x =++-+. ●●例8 求221d (1)x x x x x -++⎰.143解 22221(1)d d (1)(1)x x x x x x x x x x -++-=++⎰⎰211d d 1x x x x =-+⎰⎰ln||arctan x x C =-+. ●●例9 求23e d x x x ⎰.解 23e d xxx =⎰9e d xxx ⎰(9e)d xx =⎰(9e)ln(9e)x C =+23e 12ln3x xC =++. ●●例10 求2cot d x x ⎰.解 22cot d (csc 1)d x x x x =-⎰⎰2csc d d x x x =-⎰⎰cot x x C =--+.●●例11 求2cos d 2xx ⎰.解 2cos d 2x x ⎰1cos d 2x x +=⎰11d cos d 22x x x =+⎰⎰1(sin )2x x C =++.●●例12 设 1,1,()1,2,x x f x x x +≤⎧=⎨>⎩求()d f x x ⎰.解 因为当1x ≤时，()1f x x =+，即21()d ;2x f x x x C =++⎰当1x >时，()2f x x =，此时22()d f x x x C =+⎰.又因为()f x 的原函数在(,)-∞+∞上每一点都连续，所以211lim 2x x x C -→⎛⎫++= ⎪⎝⎭221lim()x x C +→+ 从而有121112C C ++=+，即1212C C +=.记1C C =，则 22,1,2()d 1, 1.2x x C x f x x x C x ⎧++≤⎪⎪=⎨⎪++>⎪⎩⎰由例12可知，当被积函数是一个分段连续函数时，它的原函数必定为连续函数，可以先分别求出各区间段上的不定积分，再由原函数的连续性确定各积分常数之间的关系，注意不定积分中只含有一个任意的常数.习 题 4-11.求下列不定积分：(1) 5d x -⎰； (2) 2(23)d x x x +⎰；(3) 221d (1)x x x x x +++⎰；(4) 2cot d x x ⎛⎫⎪⎭⎰；(5) 3102d x x x ⎰；(6) 2sin d 2xx ⎰；144 (7) cos2d cos sin xx x x+⎰；(8) 22cos2d cos sin xx x x⎰；(9) sec (sec tan )d x x x x -⎰； (10){}max ||,1d x x ⎰. 2.设某曲线上任意点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，又知该曲线通过原点，求此曲线方程.3.验证函数21sin 2x ，21cos 2x -，1cos 24x -是某同一函数的原函数.第二节 换元积分法应用不定积分的性质和基本积分公式只能计算出一些简单的函数的不定积分，对计算较复杂的函数的不定积分，根据函数的不同形式，需要一定的计算技巧.本节与下节所讲的换元积分法和分部积分法是计算不定积分最基本、最常用的两种方法.一、第一类换元积分法设函数()F u 为函数()f u 的原函数，即()()F u f u '=或()d ()f u u F u C =+⎰.如果()u x ϕ=，且()x ϕ可微，则d[()]()()()()[()]()d F x F u x f u x f x x xϕϕϕϕϕ''''===. 即[()]F x ϕ为[()]()f x x ϕϕ'的原函数，从而()()[()]()d [()][()][()d ]u x u x f x x x F x C F u C f u u ϕϕϕϕϕ=='=+=+=⎰⎰.因此有如下定理：设()f u 存在原函数，()u x ϕ=可微，则()[()]()d [()d ]u x f x x x f u u ϕϕϕ='=⎰⎰ (1) 公式(1)称为第一类换元积分公式.由此定理可见，被积表达式中的d x 也可以当作变量x 的微分来看待.如何应用公式(1)来求不定积分呢？为了求不定积分()d g x x ⎰，把它凑成如下的形式[()]()d f x x x ϕϕ'⎰，作代换()u x ϕ=，于是得()d f u u ⎰，若()d f u u ⎰=()F u C +，再代回原来的变量x ，就求得积分()d [()]g x x F x C ϕ=+⎰.由于在积分过程中，将()x ϕ'与d x 凑成d ()x ϕ，所以第一类换元积分法也叫凑微分法.●●例1 求2sin 2d x x ⎰. 解 令2u x =，有2sin 2d sin 2(2)d sin d cos x x x x x u u u C '===-+⎰⎰⎰，将2u x =回代，得2sin 2d x x ⎰cos 2x C =-+.●●例2 求1d 12x x-⎰.145解 11111d (2)d (12)d 12212212x x x x x x x '=--=-----⎰⎰⎰11d(12)212x x=---⎰， 令12u x =-，得1d 12x x =-⎰111d ln ||22u u C u -=-+⎰1ln |12|2x C --+＝. ●●例3求x . 解x =2)d x x '--2)x =-- 令21u x =-，则xu =-1122d 2u u u C -=-=-+=-⎰1222(1)x C -+. 对换元法熟练后，可直接凑微分，省去换元、还原中间变量步骤. ●●例4 求22e d x x x ⎰.解 22e d x x x ⎰=22e ()d x x x '⎰222e d()e x x x C ==+⎰. ●●例5 求tan d x x ⎰.解 tan d x x ⎰=sin 1d d(cos )ln |cos |cos cos x x x x C x x=-=-+⎰⎰. 类似可求得cot d x x =⎰ln |sin |x C +. ●●例6 求221d (0)x a a x ≠+⎰.解 22222111111d d d arctan 11x x x x C a x a a a aa x x a a ⎛⎫===+ ⎪+⎝⎭⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰．类似地可求得arcsin xC a =+ (0)a >． ●●例7 求221d (0)x a x a ≠-⎰. 解 221111d d 2x x x a a x a x a ⎛⎫=- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111[d()d()]2x a x a a x a x a=--+-+⎰⎰ 1[ln ||ln ||]2x a x a C a =--++ 1ln ||x a C x a -=++. ●●例8求x . 解xx =⎰2=⎰C =-.●●例9 求x .146 解xarcsin x x =⎰21arcsin d(arcsin )(arcsin )2x x x C ==+⎰.●●例10求x .解x1221d (arctan )d(arctan )1x x x x ==+⎰322(arctan )3x C =+. ●●例11 求2ed 1e x xx +⎰. 解 2e d 1exx x +⎰21e d 1e xx x =⋅+⎰21d(e )1(e )x x =+⎰arctan(e )x C =+. ●●例12 求1d ln x x x ⎰.解 1d ln x x x ⎰111d d(ln )ln |ln |ln ln x x x C x x x=⋅==+⎰⎰.下面积分的过程中，往往要用到一些三角恒等式.●●例13 求csc d x x ⎰.解 11csc d d d sin 2sin cos 22x x x x x x x ==⎰⎰⎰=21d 2tan cos 22x x x ⎰1d tan 2tan 2x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰=ln |tan |2x C +，因为tan 2x =2sin 2sin 1cos 22csc cot sin sin cos 2x x x x x x x -===-，所以 csc d x x =⎰ln |csc cot |x x C -+.●●例14 求sec d x x ⎰.解 sec d x x ⎰ππcsc()d()22x x =++⎰ππln csc()cot()22x x C =+-++ln |sec tan |x x C =++.●●例15 求5cos d x x ⎰.解 5cos d x x ⎰=4cos cos d x x x ⋅=⎰4cos d(sin )x x =⎰22(1sin )d(sin )x x -⎰=24(12sin sin )d(sin )x x x -+⎰=3521sin sin sin 35x x x C -++.●●例16 求33tan sec d x x x ⎰.解 33tan sec d x x x ⎰22tan sec tan sec d x x x x x =⋅⎰22tan sec d(sec )x x x =⎰22(sec 1)sec d(sec )x x x =-⎰42(sec sec )d(sec )x x x =-⎰5311sec sec 53x x C =-+.147●●例17 求2cos d x x ⎰.解 21cos21cos d d [d cos2d ]22x x x x x x x +==+⎰⎰⎰⎰ 11cos2d(2)sin 22424x x x x x C =+=++⎰. ●●例18 求4sec d x x ⎰. 解 4sec d x x ⎰=2222sec sec d sec d(tan )(tan 1)d(tan )x x x x x x x ⋅==+⎰⎰⎰31tan tan 3x x C =++. ●●例19 求24tan sec d x x x ⎰.解 24tan sec d x x x ⎰=222tan sec sec d x x x x ⋅⎰22tan sec d(tan )x x x =⎰22tan (tan 1)d(tan )x x x =+⎰42(tan tan )d(tan )x x x =+⎰5311tan tan 53x x C =++. ●●例20 求sin sin3d x x x ⎰.解 利用积化和差公式：1sin sin [cos()cos()]2αβαβαβ=-+--，sin sin3d x x x ⎰1[cos4cos(2)]d 2x x x =---⎰11cos4d cos2d 22x x x x =-+⎰⎰ 11cos4d(4)cos2d(2)84x x x x =-+⎰⎰ 11sin 4sin 284x x C =-++. 二、第二类换元积分法有些积分采用前面所学的积分方法来计算很困难甚至无法计算，而要采用下面将要介绍的所谓第二类换元积分法来求积分.设()x t ϕ=是单调的可导函数，且()0t ϕ'≠.又设[()]()f t t ϕϕ'具有原函数，则有换元公式()d f x x ⎰1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰， (2) 其中1()t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数.证 设[()]()f t t ϕϕ'的原函数为()t Φ，记1[()]()x F x ϕ-Φ=，利用复合函数及反函数的求导法则，得d d ()d d tF x t xΦ'=⋅=1[()]()()f t t t ϕϕϕ'⋅'[()]()f t f x ϕ==， 即()F x 是()f x 的一个原函数.所以有()d ()f x x F x C =+=⎰1[()]x C ϕ-Φ+1()[[()]()d ]t x f t t t ϕϕϕ-='=⎰公式(2)称为第二类换元积分公式. ●●例21求x (0)a >.148 解 令sin x a t =，ππ()22t -<<cos a t =，d cos d x a t t =，因此有cos cos d x a t a t t =⎰22cos d a t t =⎰21cos2d 2t a t +=⎰22sin 224a a t t C =++22sin cos 22a a t t t C =++ . 因为sin x a t =，ππ()22t -<<，所以sin x t a=，arcsin ,xt a =cos t =于是x21arcsin 22a x C a =+.●●例22求 (0)a >.解 令tan x a t =，ππ22t -<<sec a t =，2d sec d x a t t =，因此有2111sec d sec d sec ln |sec tan |a t t t t a txt t C C a===++=+⎰⎰ln |x C =+其中1ln C C a =-.为了把新变量t 还原为x 的函数，可以根据tan xt a=作辅助三角形，俗称小三角形还原法，如图4-1所示.●●例23求（0a >）.解 被积函数的定义域为x a >和x a <-两个区间，故在两个区间分别求不定积分.(1) 当x a >时，设πsec (0)2x a t t =<<，则tan a t ,且d sec tan d x a t t t =.故sec tan d sec d tan a t tt t ta t==⎰⎰ln(sec tan ).t t C =++为了把sec t 及tan t 换成x 的函数，依据sec xt a=作辅助三角形(图4-2)，得tan t =，所以，1ln x C a ⎛=+ ⎝⎭ln(,x C =+其中1ln .C C a =- (2)当x a <-时，令x u =-,那么u a >，由以上分析有(1ln u C=-=-++1ln(x C=--+1C=+(ln x C=-+，其中12ln.C C a=-综合以上(1)与(2)两种分析情况，把以上两个结果合起来，可写成ln|x C=+.sinx a t=去根号；当被积时，作代换secx a t=换tanx a t=去根号.时，为了去根号，还可用公式22ch sh1t t-=，采用双曲代换sh,chx a t x a t==来去根号.如例22中，可设shx a t=，==cha t，即可去根号.有些积分的计算可采用所谓的倒代换.●●例24求.解设1,xt=那么21d dx tt=-，于是21d t-==-(arcsin)t C=-±+1arcsin||Cx=-+.在本节的几个例题中，有几个积分是以后经常会遇到的，所以它们也常被当作公式来使用，现罗列如下：（16）tan d ln|cos|x x x C=-+⎰, （17）cot d ln|sin|x x x C=+⎰, （18）sec d ln|sec tan|x x x x C=++⎰, （19）csc d ln|csc cot|x x x x C=-+⎰,（20）22d1arctanx xCa x a a=++⎰, （21）22d1ln2x x aCx a a x a-=+-+⎰, （22）arcsinxCa=+, （23）ln(x C=++, （24）ln x C=+.●●例25 求2d23xx x++⎰.解22d1d23212xxx x x x=+++++⎰⎰1)x=+，利用公式（20）便得2d23xCx x=++⎰.149150 ●●例26求解==利用公式（23）便得ln(1x C =+++ln(1x C =++.●●例27求解1d x ⎛⎫- ⎪=利用公式（22）便得21arcsin 3x C -=+. 习 题 4-21.填空：(1) 21d d()x x=;(2) 1d d()x x=;(3) e d d()x x =; (4) 2sec d d()x x =; (5) sin d d()x x =;(6) cos d d()x x =;d()x =;d()x =; (9) tan sec d d()x x x =;(10) 21d d()1x x =+;d()x =;(12) d d()x x =.2.求下列不定积分：(1) x ; (2)4ln d x x x⎰;(3) 12ed xx x ⎰;(4)23(e 2e 2)e d x x x x ++⎰;(5) ;(6)21ln d (ln )xx x x +⎰;(7) 1d ln lnln x x x x ⎰;(8)1d e ex xx -+⎰;(9) x ; (10) 32d 3x x x+⎰;151(11) x ;(12) 21d 2x x x --⎰;(13) 2sin ()d t t ωϕ+⎰;(14) x ;(15) ln cot d sin 2xx x⎰;(16) x ;(17) 4cos d x x ⎰;(18)x ; (19)3cos d x x ⎰(20)arccos xx ;(21)x(22)x ; (23)35sin cos d x x x ⎰ (24)35tan sec d x x x ⎰; (25)cos5sin 4d x x x ⎰; (26)34tan sec d x x x ⎰;(27)x; (28)x(29)；(30)x ;(31)2x ; (32)21d 323x x x ++⎰(33)x ;(34)x第三节 分部积分法前面一节我们利用复合函数的求导法则得到了换元积分法，利用它可以求出一些函数的积分，但是对于形如e d x x x ⎰、ln d x x x ⎰、sin d x x x ⎰等的积分，用直接积分法或换元积分法都无法计算. 这些积分的被积函数都有共同的特点，即都是两种不同类型函数的乘积，这就启发我们把两个函数乘积的微分法则反过来用于求这类不定积分，这就是另一个基本的积分方法：分部积分法.设函数()u u x =、()v v x =具有连续导数，则有[()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+， 两端求不定积分，得()()()()d ()()d u x v x u x v x x u x v x x ''=+⎰⎰，移项得 ()()d ()()()()d u x v x x u x v x u x v x x ''=-⎰⎰， 或()d ()()()()d ()u x v x u x v x v x u x =-⎰⎰，152 为方便起见，简记为d d u v x u v vu x ''=-⎰⎰ (1) 或d d u v u v v u =-⎰⎰ (2) 公式(1)或(2)称为不定积分的分部积分公式.当()()d u x v x x '⎰不容易积分，但()()d u x v x x '⎰容易积分时，我们就可以用分部积分把不容易积分的()()d u x v x x '⎰计算出来. ●●例1 求sin d x x x ⎰.解 令u x =，sin (cos )v x x ''==-，代入分部积分公式得sin d d(cos )x x x x x =-⎰⎰cos cos d x x x x =---⎰cos sin x x x C =-++.值得注意，如在例1中，若是令sin u x =，22x v x '⎛⎫'== ⎪⎝⎭，代入分部积分公式得2sin d sin d()2x x x x x =⎰⎰22sin d(sin )22x x x x =-⎰22sin cos d 22x x x x x =-⎰.上式最后一个积分比原来的积分还复杂，由此可知，若u v 、的选取不当，可能使积分计算很复杂甚至计算不出来. ●●例2 求2e d x x x ⎰.解 22222e d d(e )e e d()e 2e d x x x x x x x x x x x x x x ==-=-⎰⎰⎰⎰22e 2de e 2(e e d )x x x x x x x x x x =-=--⎰⎰2e 2e 2e .x x x x x C =-++从例1和例2可以看出，当被积函数是幂函数与正弦（余弦）函数乘积或是幂函数与指数函数乘积，分部积分时，取幂函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例3 求ln d x x x ⎰.解 22211ln d ln d()ln d(ln )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰()22222111ln d ln 22211ln .24x x x x x x x C x x x C ⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭=-+⎰ ●●例4 求arctan d x x x ⎰.解 22211arctan d arctan d()arctan d(arctan )22x x x x x x x x x ⎡⎤==-⎣⎦⎰⎰⎰ 222221arctan d 2111arctan 1d 21x x x x x x x x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥+⎝⎭⎣⎦⎰⎰153()21arctan arctan 2x x x x C =-++. 从例3和例4可以看出，当被积函数是幂函数与对数函数乘积或是幂函数与反三角函数函数乘积，分部积分时，取对数函数或反三角函数为u ，其余部分凑为d v . ●●例5 求arcsin d x x ⎰.解 arcsin d x x ⎰arcsin d(arcsin )x x x x =-⎰arcsin x x x =-21arcsin )2x x x =+-arcsin x x C =.●●例6 求ln d x x ⎰.解 ln d x x ⎰ln d(ln )x x x x =-⎰1ln d x x x x x=-⋅⎰ln d x x x =-⎰ln x x x C =-+.从例5和例6可以看出，当某些被积函数（如对数函数、反三角函数）是单个函数时，可选v x =直接用分部积分法求积分. ●●例7 求e sin d x x x ⎰.解 e sin d sin de e sin e d(sin )x x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰e sin e cos d e sin cos d(e )e sin [e cos e d(cos )]e sin e cos e sin d ,x x x x xxxx x x x x x x x x x x x x x x =-=-=--=--⎰⎰⎰⎰因此得 1e sin d e (sin cos )2x x x x x x C =-+⎰.●●例8 求3sec d x x ⎰.解 3sec d sec d tan sec tan tan d(sec )x x x x x x x x ==-⎰⎰⎰2233s e c t a n t a n s e c d s e c t a n (s e c 1)s e c d s e c t a n s e c ds e c ds e c t a n l n |s e ct a n |s e cd ,x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =-=--=-+=++-⎰⎰⎰⎰⎰因此得()31sec d sec tan ln |sec tan |2x x x x x x C =+++⎰ ●●例9 求22d ()n nxI x a =+⎰（n 为正整数）.解 用分部积分法，当1n >时，有154 222122122d 2(1)d ()()()n n n x x x n x x a x a x a --=+-+++⎰⎰22212212212(1)d ()()()n n n x a n x x a x a x a --⎛⎫=+-- ⎪+++⎝⎭⎰， 即2112212(1)()()n n n n xI n I a I x a ---=+--+, 于是122211(23)2(1)()n n n xI n I a n x a --⎡⎤=+-⎢⎥-+⎣⎦. 以此作递推公式，并由11arctan xI C a a=+，即可得n I .在积分过程中，有时分部积分法与其他方法结合使用，会更加容易积分. ●●例10求x ⎰.解 令t =，则 2x t =，d 2d x t t =，因此e 2d 2e d 2de 2(e e )t t t t t x t t t t t t C ====-+⎰⎰⎰⎰1)C =+.习 题 4-3求下列积分： （1） sin 2d x x x ⎰； （2） e d x x x -⎰； （3） 2ln d x x x ⎰； （4） arccos d x x ⎰； （5） 2cos d x x x ⎰； （6） e sin 2d x x x -⎰； （7） 2arctan d x x x ⎰；（8） 2cos d x x x ⎰； （9）x ；（10）23e d x x x ⎰； （11）cosln d x x ⎰；（12）()d xf x x ''⎰.第四节 几种特殊类型函数的积分我们已知道，任何一个初等函数的导数仍为初等函数，而相当多的初等函数虽然也存在原函数，但它们的原函数却不是初等函数，也就是通常说的“这个不定积分积不出来”.例如，sin d x x x ⎰， 2sin d x x ⎰，2e d x x -⎰.这些不定积分都积不出来.下面再举几个著名的积不出来的不定积分：x ，2d (1sin )x k x +⎰(01)k <<.155分别称为第一、二、三种椭圆积分.它们是在计算椭圆弧长时碰到的，故由此而得名.法国数学家刘维尔(Liouville)曾证明了它们的积分不能用初等函数表示，故积不出来.下面介绍几类特殊类型函数的不定积分.一、有理函数的积分形如10111011()()n n n nm m m ma x a x a x a P x Q xb x b x b x b ----++++=++++ （1）的函数称为有理函数.其中012,,,,n a a a a 及012,,,,m b b b b 为常数，且00a ≠，00b ≠.如果（1）式中多项式()P x 的次数n 小于多项式()Q x 的次数m ，则称此分式为真分式；如果多项式()P x 的次数n 大于或等于多项式()Q x 的次数m ，称分式为假分式.利用综合除法（带余除法）可得，任意一个假分式可转化为多项式与真分式之和.例如：422212111x x x x x x +++=-+++, 因此，我们只需研究真分式的积分.根据多项式理论，任一多项式()Q x 在实数范围内能分解为一次质因式和二次质因式的乘积，即220()()()()()Q x b x a x b x px q x rx s αβλμ=--++++(2)其中2240,,40p q r s -<-<.如果(1)的分母多项式分解为(2)式，则(1)式可分解为如下部分分式之和：121211()()()()()()()()B A A A B B P x Q x x a x a x a x b x b x b βαααββ--=+++++++++------11222212()()()M x N M x N M x N x p x q x p x q x p x qλλλλ-++++++++++++++ 11222212()()()R x S R x S R x S x rx s x rx s x rx s μμμμ-+++++++++++++(3)其中,,,,,i i i i i A B M N ,R 及i S 均为常数.例如 22221(1)(1)(1)x x x x x ++++1A x =+21A x +32(1)A x +++1121M x N x ++2221M x N x x ++++3322(1)M x N x x ++++. 把真分式写成部分分式的代数和时，每个k 重因子（一次或二次）一定要有k 项；每个一次因子所对应的部分分式分子是常数，每个二次质因式所对应的分式的分子是一次因式，含两个常数，分式中的常数可以用“待定系数法”或“赋值法”来确定.我们用具体例子来说明.●●例1 将真分式232(1)(2)x x x ++-分解为最简分式.解 设 231213232(1)(2)1(1)(1)2A A AB x x x x x x x +=++++-+++-,通分整理后，有156 ********(2)(1)(2)(1)(2)(1)x A x A x x A x x B x +=-++-++-++(4)3211213211()(3)(33)A B x A B x A A A B x =++++--+3211(222)A A A B +---+比较两端同类项系数，得方程组1121321132110313302222A B A B A A A B A A A B +=⎧⎪+=⎪⎨--+=⎪⎪---+=⎩解得 129A =-, 213A =, 31A =-, 129B =.或者在（4）式中应用赋值法，更简单些. 令1x =-，得 333A =-，31A =-.令2x =, 得 1627B =，129B =.令0x =, 得 32112222A A A B =---+.(5) 令1x =, 得 32113248A A A B =---+.(6)联立(5)与(6)式, 得129A =-，213A =，于是232322112(1)(2)9(1)3(1)(1)9(2)x x x x x x x +=-+-++-+++-.●●例2 求22d 23x x x x -++⎰.解 由于分母已为二次质因式，而且分子可写为12(22)32x x -=+-21(23)32x x '=++-，于是22222221(22)322d d 23231(23)d d 3223231d(23) 3223x x x xx x x x x x xx x x x x x x x x +--=++++'++=-++++++=-++⎰⎰⎰⎰⎰21ln(23)2x x C =+++. ●●例3 求44d 1x x -⎰.解 因为4241121111x x x x =----++，所以 424112d d 1111x x x x x x =----++⎰⎰2112d d d 111x x x x x x=---++⎰⎰⎰1572112d(1)d(1)d 111x x x x x x=--+--++⎰⎰⎰1ln 2arctan 1x x C x -=-++. 由上面的例子可知，把真分式分解为部分分式的代数和，并用待定系数法或赋值法求出分解式中的常数后，求有理函数的不定积分，可归结为求下列部分分式的不定积分A x a -，()kA x a -，2()k Mx N x px q +++ 前两类函数的不定积分我们都能求.关键是第三类函数的不定积分，下面讨论它的计算.把分母中的二次质因式配方，得22224p p x px q x q ⎛⎫++=++- ⎪⎝⎭，令2p x t +=，则d d x t =，并记222x px q t a ++=+，Mx N Mt b +=+，其中224p a q =-，2Mpb N =-，于是有 22222d d d ()()()n n n Mx N Mt t b tx x px q t a t a +=+++++⎰⎰⎰，当1n =时，有222222d d d 2ln()arctan .2Mx N Mt t b tx xpx q t a t a px M bx px q C aa +=++++++=++++⎰⎰⎰ 当1n >时，有222122d d ()2(1)()()n n n Mx N M tx b x px q n t a t a -+=-+++-++⎰⎰， 上式最后一个积分的求法见本章第三节例9.总之，有理函数的积分，理论上总可以积出来，它的原函数是初等函数，即有理函数的积分是初等函数.●●例4 求2221d (22)x x x x +-+⎰. 解 在本题中，由于被积函数的分母只有单一因式，因此，部分分式分解能被简化为2222221(22)(21)(22)(22)x x x x x x x x +-++-=-+-+222121.22(22)x x x x x -=+-+-+ 现分别计算部分分式的不定积分如下：122d d(1)arctan(1).22(1)1x x x C x x x -==-+-+-+⎰⎰158222221(22)1d d (22)(22)x x x x x x x x --+=-+-+⎰⎰222d(22)(22)x x x x -+=+-+⎰22d(1)(1)1x x -⎡⎤-+⎣⎦⎰2221d(1)22(1)1x x x x --=+-+⎡⎤-+⎣⎦⎰， 令1x t -=, 由递推公式,求得22d(1)(1)1x x -=⎡⎤-+⎣⎦⎰2222d 1d (1)2(1)21t t t t t t =++++⎰⎰ 2211arctan(1).2(22)2x x C x x -=+-+-+ 于是得到2222133d arctan(1)(22)2(22)2x x x x C x x x x +-=+-+-+-+⎰，其中12C C C =+. 二、可化为有理函数的积分举例由函数()u x 、()v x 及常数经过有限次四则运算所得的函数称为关于()u x 、()v x 的有理式，并用((),())R u x v x 来表示. 例如，(sin ,cos )d R x x x ⎰是关于sin x 、cos x 的有理式的不定积分.通过代换tan 2xu =（ππx -<<），可把这种类型的积分化为以u 为变量的有理函数的积分，因为22222sin cos 2tan2222sin 2sin cos ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x x x x u ====+++ 2222222222cos sin 1tan 1222cos cos sin ,221sin cos 1tan 222x x x x x u x u ---=-===+++22d d(2arctan )d 1x u u u==+. 所以 2222212d (sin ,cos )d (,)111u u uR x x x R u u u -=+++⎰⎰. ●●例5 求1sin d sin (1cos )xx x x ++⎰. 解 作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+，159因此得22222211sin 2111d d (2)d sin (1cos )1221111ux u x u u u x x uu u u u u +++=⋅=++++⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰ 21(2ln ||)22u u u C =+++211tan tan ln |tan |42222x x xC =+++.●●例6 求cot d sin cos 1xx x x ++⎰.解 作变量代换 tan 2xu =，可得22sin 1u x u =+，221cos 1u x u -=+，22d d 1x u u =+， 因此得2221cot 22d d 21sin cos 11111u x u x u u u x x u u u -=⋅-+++++++⎰⎰1111d (d d )(ln ||)222u u u u u u C u u -==-=-+⎰⎰⎰1(ln tan tan )222x xC =-+. 一些简单的无理函数的积分可以通过变量代换化为有理函数的积分. ●●例7求解u =，得 32x u =-，2d 3d x u u =，代入得2223111d 3d 31d 111 3(ln |1|)2u u u u u u u u u uu u C-+⎛⎫===-+ ⎪+++⎝⎭=-+++⎰⎰⎰3ln |1C =+. ●●例8 求.解令16t x =，得5d 6d x t t =，代入得2563226d 1116d 6d ()1t t t t t tt t t t t t ⋅⎛⎫===-⎪+++⎝⎭⎰⎰⎰6[ln ln(1)]ln 1)t t C x C =-++=-+.●●例9 求x .解 t =，则2211t x t-=+,224d d (1)t x t t -=+；代入得160 x 2224d (1)(1)t t t t -=-+⎰2222d 11t t t ⎛⎫=+ ⎪-+⎝⎭⎰1ln2arctan 1t t C t -=+++C =+.例8、例9式为u ，这样的变换具有反函数，且反函数为有理函数，从而可将原积分化为有理函数的积分.习 题 4-4求下列不定积分：（1）3d 1x x x -⎰；（2）5438d x x x x x +--⎰； （3）2222213d (2)(1)x x x x x ++-+⎰； （4）226114d (1)x x x x x -+-⎰； （5）32d 1xx x x x -+-⎰； （6）2dx⎰；（7）x ； （8）x . 第五节 积分表的使用通过前面的讨论可以看出，积分的计算要比导数的计算显得更加灵活、复杂，我们会遇到更多不同类型的不定积分的计算问题，为了应用上的方便，把常用的积分公式汇集成表，这种表叫做积分表.积分表是按照被积函数的类型来排列的，求积分时，可根据被积函数的类型直接或经过简单的变形后，在表内查得所需的结果. 本书末附录4是一份简单的积分表，可供查阅.●●例1 求2d (1)xx x +⎰. 解 被积函数含有a bx +，在积分表（二）中查得公式（4）()221d ln x a x a bx C b a bxa bx ⎛⎫=+++ ⎪+⎝⎭+⎰， 现在1a =，1b =，于是21d ln 1(1)1x x x C x x =+++++⎰.●●例2求.解这个积分不能在表中直接查到，需要先进行变量代换.令2x u=2ux=，dd2ux=，于是1d2u==⎰34）1Ca=-+，现在2a=，x相当于u，于是有12C=-，再把2u x=代入，最后得到12C=.●●例3 求4sin d x x⎰.解在积分表（八）中查到公式（50）12sin cos1sin d sin dnn nx x nx x x xn n---=-+⎰⎰，现在4n=，于是有342sin cos3sin d sin d44x xx x x x=-+⎰⎰，对积分2sin d x x⎰，利用公式（48），得21sin d sin224xx x x C=-+⎰，从而所求积分为34sin cos31sin d sin24424x x xx x x C⎛⎫=-+-+⎪⎝⎭⎰.一般说来，查积分表可以节省计算积分的时间，但只有掌握了前面学习过的基本积分公式才能灵活地使用积分表，而且对一些比较简单的积分，应用基本积分法来计算比查表更快些，例如23sin cos dx x x⎰，用变换sinu x=很快就可得到结果，所以求积分时，究竟是直接计算，还是查表，或两者结合使用，应该具体问题具体分析，从而选择一个更快捷的方式.习题4-5利用积分表计算下列不定积分：（1）；（2）3ln d x x⎰；（3）221d(1)xx+⎰；（4）；161162 （5）x x ⎰； （6）（7） 6cos d x x ⎰；（8）2e sin3d x x x -⎰.第六节 数学模型●●例 (石油的消耗量)近年来，世界范围内每年的石油消耗率呈指数增长，增长指数大约为0.07. 1970年初，消耗率大约为每年161亿桶.设()R t 表示从1970年起第t 年的石油消耗率，则0.07()161e t R t =(亿桶).试用此式估算从1970年到1990年间石油消耗的总量.解 设()T t 表示从1970年起(0t =)直到第t 年的石油消耗总量.我们要求从1970年到1990间石油消耗的总量，即求(20)T .由于()T t 是石油消耗的总量，所以()T t '就是石油消耗率()R t ,即()()T t R t '=，那么()T t 就是()R t 的一个原函数.0.070.070.07161()()d 161e d e 2 300e 0.07t tt T t R t t t C C ===+=+⎰⎰. 因为 (0)0T =，所以， 2 300C =-，得 0.07() 2 300(e 1)t T t =-.从1970年到1990年间石油的消耗总量为：0.0720(20) 2 300(e 1)7 027T ⨯=-≈（亿桶）.第七节 数学实验利用Matlab 软件中的函数int 可以对不定积分进行符号计算，其调用格式和功能如下说明：在初等函数范围内，不定积分有时是不存在的，也就是说，即使()f x 是初等函数，但是不定积分()d f x x ⎰却不一定是初等函数.例如，2e x -，sin xx ，e x x，1log a x 是初等函数，而2ed x x -⎰，sin d x x x ⎰，e d xx x⎰，1d log a x x ⎰却不能用初等函数表示出来.比如，输入程序： >> syms x>> F=int(sin(x)/x) 运行后屏幕显示：F =sinint(x)其中sinint(x)是非初等函数，称作积分正弦函数.在使用int 函数求不定积分时，读者要注意这种情况.●●例1 求2sin dx x x⎰.解用符号积分命令int计算此积分，Matlab程序为>> syms x；>> int(x^2*sin(x))结果为ans =-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x) 如果用微分命令diff验证积分正确性，Matlab程序为>> diff(-x^2*cos(x)+2*cos(x)+2*x*sin(x))结果为ans =x^2*sin(x)●●例2 求下列函数的一个原函数：（1）；（2）sec(sec tan)x x x-；（3）11cos2x+；（4（5）2arctanx x；（6）223310xx x++-解（1）相应的Matlab程序为>> clear all；>> syms x；>> f=x*sqrt(x)；>> int(f,x)结果为ans =2/5*x^(5/2)；（2）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=sec(x)*(sec(x)-tan(x))；>> int(f,x)结果为ans =sin(x)/cos(x)-1/cos(x)；（3）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=1/(1+cos(2*x))；>> int(f,x)结果为ans =1/2*tan(x)；（4）相应的Matlab程序为>> clear all>> syms x；>> f=log(x+1)/sqrt(x+1)；>> int(f,x)结果为ans =2*log(x+1)*(x+1)^(1/2)-4*(x+1)^(1/2)；（5）相应的Matlab程序为163164 >> clear all >> syms x ；>> f=x^2*atan(x)； >> int(f,x)结果为ans =1/3*x^3*atan(x)-1/6*x^2+1/6*log(x^2+1)；（6）相应的Matlab 程序为 >> clear all >> syms x ；>> f=(2*x+3)/(x^2+3*x-10)； >> int(f,x)结果为ans =log(x^2+3*x-10).●●例3 设曲线通过点(1,2)，且其切线的斜率为2329x x +-，求此曲线的方程并绘制其图像.解 设所求的曲线方程为()y f x =，根据题意，2329y x x '=+-，所以2d (329)d y y x x x x '==+-⎰⎰相应的Matlab 程序为 >> syms x C ；>> f=3*x^2+2*x-9； >> F=int(f)+C ； >> y=simple(F)结果为y =x^3+x^2-9*x+C.即斜率为2329x x +-的曲线方程为329y x x x C =+-+.又因为曲线通过点(1,2)，代入曲线方程，得9C =.于是，所求曲线方程为3299y x x x =+-+. 作曲线图，输入程序 >> clear>> x=-5:0.1:5； f=3*x.^2+2*x-9；y=x.^2+x.^3-9*x+9； >> x0=1；y0=2；>> plot(x0,y0,'ro',x,f,'g*',x,y,'b-') >> grid>> legend('点(1,2)','函数f=3x^2+2x-9的曲线','函数f=3x^2+2x-9过点(1,2)的积分曲线')运行结果如图4-3.函数2329f x x =+-过点(1,2)的积分曲线图4-3165本章复习题A一、填空1. 已知()F x 是sin xx的一个原函数，则2d[()]F x = . 2. 已知函数()y f x =的导数为2y x '=，且1x =时2y =，则此函数为 . 3. 如果()d ln f x x x x C =+⎰，则()f x = .4.已知()d sin f x x x x C =++⎰，则e (e 1)d xxf x +⎰= . 5.如果 2(sin )cos d sin f x x x x C =+⎰，则()f x = .二、求下列不定积分1. 21cos d 1cos2x x x ++⎰；2.d 1e xx+⎰； 3.2352d 4x xx x ⋅-⋅⎰；4.2(arcsin )d x x ⎰；5.；6.322d (1)x x x +⎰；7.8.x ； 9.54tan sec d x x x ⎰；10.；11.23e d x x x ⎰；12.ln ln d x x x⎰.三、设 1,0,()1,01,1,2,x f x x x x x <⎧⎪=+≤≤⎨⎪>⎩求()d f x x ⎰.四、若I tan d ,n n x x =⎰,,3,2 =n 证明121I tan I 1n n n x n --=--. 本章复习题B一、填空1.已知()F x 是2e x -= . 2.若22(sin )cos f x x '=，则()f x = .3.设()f x '=，则(1)d f x x -⎰= .4.已知()f x 的一个原函数是2e x -，则()d xf x x '⎰= . 二、求下列不定积分1.2arctan e d e xxx ⎰；2.d sin 22sin xx x+⎰；。
数学《不定积分》讲义
第八章 不 定 积 分1 概念与基本积分公式引入 求导 (微分)运算的逆运算一、不定积分的定义 1、原函数例 1 ( )'211x =+ ( )'2cos x =- ( )'2x = (d dx )sin 2x e x -=-(d )xdx = ( )'arctan x = 21arctan ln(1)2x x x ⋅-+定义 1 设函数F 和f 在区间I 上都有定义. 若在I 上，有()()F x f x '=, 则称F 为f 在区间I 上的一个原函数.注1 若f 可导, 则f 为()f x '的一个原函数. 原函数的基本问题1) 什么样的函数存在原函数?2) 若已知原函数存在，是否唯一？ 如何求？ 定理 1 若f 在区间I 上连续，则f 在I 上存在原函数. 推论1 初等函数在其定义域上都有原函数.问题 定理 1的逆定理是否成立? 即若f 在I 上存在原函数, 则f 是否连续?(答案是否定的, 也就是说间断函数可能具有原函数,). 详细地说, 仅有第二类间断点的函数可能有原函数. 而具有第一类间断点的函数不可能具有原函数.定理2 1) 若()F x 是()f x 在区间I 上的一个原函数，则对任何常数c ，()F x c + 都是()f x 在区间I 上的原函数.2) 若函数()G x 也是()f x 在区间I 上的一个原函数，则必有常数c ，使得()()G x F x c =+. (任何两个原函数之间相差一个常数c )注2 若()F x 为()f x 的一个原函数, 则()f x 的所有原函数为{(); }F x c c R +∈. 2、不定积分定义 2 f 在区间I 上的全体原函数称为f 的不定积分, 记作()f x dx ⎰或 f dx ⎰, 其中⎰为积分号,f 为被积函数, x 为积分变量, ()f x dx 为被积表达式.例 2 21dxx+⎰arctan x c =+, 323x x dx c =+⎰注 3 若F 为f 在区间I 上的一个原函数，则f 的不定积分为()F x c +，即()f x dx ⎰()F x c =+，这说明求不定积分只需求一个原函数, 再加上常数c 即可. 特别地，()()f x dx f x c '=+⎰, (())()f x dx f x '=⎰或者微分形式 ()()df x f x c =+⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰. 在忽略常数的意义下, 求积分与求导数是一对互逆运算.不定积分的几何意义 若()F x 为()f x 的一个原函数，则称曲线()y F x =为f 的一条积分曲线. 这样f 的不定积分在几何上就表示f 的某一条积分曲线沿纵轴(y 轴)方向任意平移所得的一切积分曲线组成的曲线簇.现在我们回到前面的原函数基本问题: 怎么求原函数? 即怎样求不定积分?例 3 设()f x 是有界闭区间[,]a b 上的非负连续函数. 曲线()y f x =与直线,x a x b ==及0y =所围成的平面图形ABCD 称为曲边梯形,下面讨论曲边梯形的面积S (严格论证以后给出).任取[,]x a b ∈. 记曲边梯形AMND 的面积为()S x 则()0, ()S a S b S ==. 当x 变到x x +∆时……0x ∆≈时, ()()()S S x x S x f x x ∆=+∆-≈∆ 因此 '()()S x f x =因而求导的逆问题也称为求积问题,求曲边梯形面积可归结为求原函数问题. 到底该如何求原函数? 求原函数也的确是一个比较困难的问题,即使是一些简单的函数, 如前面的arctan x ,也不能一下看出来, 这就需要引进一些积分方法. 二、不定积分的基本公式 1、设函数,f g 存在原函数, 则1) (())()f x dx f x '=⎰, (())()d f x dx f x dx =⎰; 2)()()f x dx f x c '=+⎰, ()()df x f x c =+⎰; 3) 0α≠，()()f x dx f x dx αα=⎰⎰; 4)()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎰⎰⎰.由3)、4) 可知不定积分为线性运算，即[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx αβαβ+=+⎰⎰⎰ 22(,, 0)R αβαβ∀∈+≠. 2、基本积分表1) 0 dx c =⎰ 2) 1 dx x c =+⎰3) 11x x dx c ααα+=++⎰ (1)α≠- 4) 1ln ||dx x c x =+⎰5) xxe dx e c =+⎰ 6) ln xxa a dx c a=+⎰ (0,1)a a >≠7) sin cos x dx x c =-+⎰ 8) cos sin xdx x c =+⎰ 9) 2sec tan xdx x c =+⎰ 10) 2csc cot xdx x c =-+⎰ 11) sec tan sec x xdx x c =+⎰ 12) csc cot csc x xdx x c =-+⎰ 13)tan ln |cos |xdx x c =-+⎰ 14) cot ln |sin |xdx x c =+⎰15) sec ln |tan sec |xdx x x c =++⎰ 16) csc ln |csc cot |xdx x x c =-+⎰ 17)arcsin arccos x c x c =+=-+ 18)2arctan arccot 1dxx c x c x =+=-++⎰19)221arctan dx xc x a a a =++⎰ 20) 221ln ||2dx x ac x a a x a -=+-+⎰21)arcsinxc a=+ 22) ln(x c =++例 4 1) ⎰; 2)⎰;3) 01nn a a x a x dx ++⋅⋅⋅+⎰（）; 4) 221x dx x +⎰;5) 421x dx x +⎰;6) 2(1010)x x dx -+⎰; 7) 2312x x e dx --⎰;8) 2cos 2sin xdx x ⎰; 9) 22cos sin d θθθ⋅⎰;10) cos cos3x xdx ⋅⎰; 11) 22dx x +⎰;12)()()dxx a x b ++⎰; 13)22dx x -⎰;问题: ()f x dx ⎰与()f u du ⎰是否相同?例 5 已知()F x 为()2f x x =的一个原函数, 且(2)5F =, 求()F x .例 6 已知211dy dx x =-, 求()y y x =.例 7 考察21sin , 0;() 0, 0,x x f x xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩的导函数性质.2 换元积分与分部积分法一、第一类换元法----凑微分法544sin 25sin 2(sin 2)10sin 2cos 2d x x x dx x xdx '=⋅=⋅4410sin2cos 25sin 2(sin 2)x xdx x x dx '⋅=⋅⎰⎰45sin 2sin 2xd x =⎰sin 2u x = 45u du ⎰55sin 2u c x c =+=+ 定理 1 若()()f u du F u c =+⎰，()u x ϕ=连续可导, 则(())()(())f x x dx F x c ϕϕϕ'⋅=+⎰，即若被积函数()g x 能够分解为()(())()g x f x x ϕϕ'=⋅, 则()(())()(())()g x dt f x x dt f x d x ϕϕϕϕ'=⋅=⎰⎰⎰()u x ϕ=()()(())f u dx F u c F x c ϕ=+=+⎰例 1 1) ()m ax b dx +⎰ (1,0)m a ≠-≠2) 2sec (53)x dx -⎰3) 1cos3cos 2(cos cos5)2x xdx x x dx ⋅=+⎰⎰凑法1 11()()()()f ax b dx f ax b d ax b f u du a a+=++=例 2 1) 21sin (1cos 2)2xdx x dx =-⎰⎰2)2122dx c x =+⎰ 221[arctan ]dx x c a x a a =++⎰3)22232(1)2dx dx c x x x ==+++++⎰⎰4) 211ln ||23(3)(1)43dx dx x c x x x x x -==++-+-+⎰⎰5) 223xdx x x +-⎰例 3 21xdx x +⎰凑法2 111()()()()k k k k x f x dx f x d x f u du k k-== 如 2221()()2xf x dx f x dx =2f =例 4 1) 4104x dx x+⎰2) 2sin x x dx ⋅⎰3)4) 2c ===⎰⎰或5) 2221ln (1)21dx x c x x x =+++⎰凑法3 (sin )cos (sin )sin f x xdx f x d x ⋅= (cos )sin (cos )cos f x xdx f x d x =- 2(tan )sec (tan )tan f x xdx f x d x = 例 5 1) 3sin cos x xdx ⎰2) 3sin xdx ⎰3) 2cos 11sin sec ln ||cos 21sin x xxdx dx c x x+==+-⎰⎰4) 622sec (1tan )tan xdx x d x =+⎰⎰5) 5342tan sec tan sec sec x xdx x xd x =⎰⎰凑法4 ()()x x x x f e e dx f e de = 例 6 1) 2t dte --⎰2) 2t dt e -⎰凑法5 1(ln )(ln )ln f x dx f x d x x =例 7 1) 1ln dx x x ⎰ 2)(12ln )dxx x +⎰凑法6(arcsin )(arcsin )dx f x d x =2(arctan )(arctan )arctan 1f x dx f x d x x =+例 82c =+注：第一类换元积分关键在于看被积函数的形式能否凑成(())()f x x ϕϕ'⋅的形式，或看被积函数(复合)哪一部分较复杂，先换元试试看.例 9 1) ln()x x x x x x e e dx e e c e e----=+++⎰ [()ln |()|()f x dx f x c f x '=+⎰]2) ln 1ln x dx x x+⎰ 3)2sec sec tan sec sec tan x x x xdx dx x x +=+⎰⎰4)5)6)2222x dx x x -++⎰ 7) 2223x dx x x -+-⎰8) 分析22Ax Bx C dx ax bx c ++++⎰形式积分9)2222cos sin cos sin x x dx a x b x +⎰ 10) 2222cos sin dx a x b x +⎰11)22sin dx x -⎰ 12) 22sin dx x +⎰13)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰二、第二类换元法----拆微分法sin x t = sin t 21cos 1cos 22tdt tdt ==+⎰⎰11sin 224t t c =++1(arcsin )2x x c =+ 定理 2 设()x t ϕ=是连续可微的,且()0t ϕ'≠. 若(())()f t t ϕϕ'⋅具有原函数()F t , 则有换元公式1()(())()()(())f x dx f t t dt F t c F x c ϕϕϕ-'=⋅=+=+⎰⎰.常见代换：三角代换、无理代换、双曲代换、倒代换、万能代换、Euler 代换等1、 三角代换1) (正) 弦代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sin x a t =cos cos a t a tdt =⋅, arcsin x t a =. 例 10 1)arcsin x c a =+2)=2) (正) 切代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令tan x a t =sec a t =, 2sec dx a tdt =, arctan x t a =. 例 11 1)2)222()dx x a +⎰ (0)a >3) (正) 割代换 (0)a >的积分施行，目的是去掉根号，方法是令sec x a t =tan a t =, sec tan dx a t tdt =⋅, arccos a t x =.例 12 1)sec ln |sec tan |ln ||...x tdt t t c c a a ==++=++=⎰2)c =2、万能代换 常用于被积函数为三角函数的有理分式形式 令tan 2x t =，则22sin 1t x t=+, 221cos 1t x t -=+, 22tan 1t x t =-, 221dt dx t =+, 2arctan x t =. 例 13 1)2cos dx x +⎰2)1sin cos dx x x ++⎰3)2sin cos sin cos x x dx x x -+⎰4) 1sin sin (1cos )x dx x x ++⎰5)2222sin cos dx a x b x +⎰3、无理代换若被积函数中有⋅⋅⋅形式时，令n 为12,,k n n n ⋅⋅⋅的最小公倍数，作代换t =，则1, n n x t dx nt dt -==，将被积函数转化为t 的有理函数。
《不定积分概念》课件
欢迎来到本次《不定积分概念》的PPT课件。在本课程中，我们将介绍不定积 分的定义、性质、计算方法、常见公式以及如何使用不定积分解决具体问题。
不定积分的定义
1 概念介绍
不定积分是函数积分的一种形式，表示函数的原函数。它可以用来描述函数与曲线之间 的面积关系。
2 符号表示
不定积分通常使用∫表示，积分变量写在∫号下面。例如，∫f(x) dx表示对函数f(x)进行积分。
1
面积和体积
使用不定积分可以计算曲线与坐标轴之间
速度和位移
2
的面积以及旋转曲线形成的体积。
不定积分可以用于计算运动过程中的速度
和位移，例如计算物体的位移函数或速度
函数。
3
概率和统计
在概率和统计中，不定积分可以用于计算 概率密度函数的面积和期望值。
注意事项与常见错误
积分常数
计算不定积分时，要记住添加积分常数，它表示不定积分的无穷多个解。
不定积分的计算方法
分部积分法
用于计算乘积函数的不定积分， 通过选择合适的两个函数进行积 分运算。
三角函数积分
用于计算三角函数的不定积分， 通过使用特定的三角函数公式进 行简化。
部分分式分解法
用于计算有理函数的不定积分， 将有理函数分解为几个简单的部 分分式进行积分。
常见的不定积分公式
1 基本积分公式
如多项式的积分公式、幂 函数的积分公式等，是计 算不定积分的基础。
2 指数函数和对数函数
的积分
指数函数和对数函数的积 分公式是计算含有指数函 数和对数函数的不定积分 的关键。
3 三角函数和反三角函
数的积分
三角函数和反三角函数的 积分公式是计算含有三角 函数和反三角函数的不定 积分的重要工具。
【精品】第四章 不定积分
第四章不定积分讲授内容：§4-1不定积分的概念与性质教学目的与要求：1、理解不定积分的概念，理解不定积分与微分之间的关系.2、掌握不定积分的性质，会用常见不定积分公式和不定积分性质求一些不定积分.3、熟练掌握常用积分公式.教学重难点：重点——理解的概念与性质;熟练掌握常用积分公式.难点——不定积分的公式熟练掌握。
教学方法:讲授法教学建议：1、加深对原函数、不定积分的理解.2、对15个积分公式要进行大量练习。
3、求不定积分一定注意不能漏C.学时:2学时教学过程:第二章我们研究了如何求一个函数的导函数问题,本章将讨论它的反问题，即要寻求一个可导函数,使它的导函数等于已知函数.这是积分学的基本问题之一.一原函数与不定积分的概念1.定义：如果在区间I上,函数F(x)和f（x),使得:F′(x)=f(x)或dF（x)=f(x)dx，x∈I。
称F(x)为f（x)(或f(x）dx）在区间I上的原函数。
'=，则cos x是sin x的一个原函数.如：(sin)cosx x1(ln )x x '=，1x 是ln x 的一个原函数,问ln 2x 是否是1x的原函数。
2. 定理（原函数的存在定理）：连续函数必有原函数。
即：如果f （x ）在I 上连续,则在I 上必有F (x ），使得:F ′（x )=f （x ). x ∈I .注:①初等函数在定义区间上必有原函数，但原函数并非都是初等函数.②函数在区间上连续只是在区间上有原函数的充分条件,不连续的函数也可能有原函数。
3. 两个原函数的关系如果F（x）为f(x）在区间I上的一个原函数,则F（x)+C为f（x)的原函数。
因为[F（x)+C］′=f(x），如果F（x）和G（x）为f(x）的两个原函数，则有F（x)=G（x)+C.因为［F（x）—G（x)]′=0 F（x)=G（x)+C.4.定义：在区间I上,函数f（x）的带有任意常数项的原函数称为f （x)(或f(x)dx)在I上的不定积分，记为： xx(.f d)即∫f（x)dx=F(x)+C.其中∫为积分符号，f(x）为被积函数，f（x)dx为被积表达式，x为积分变量.注：①不定积分∫f （x ）dx 可以表示f (x )的任意一个原函数。
不定积分讲义(概念)
B. F x C
C. Fx 1 C
D. F x C
（）
二、不定积分的性质
1.不定积分的性质
性质 1 设函数 f x 及 gx 的原函数存在，则
f x gxdx f xdx gxdx .
该性质表明，两个函数的和或差的不定积分等于这两个函数的不定积分的和或差.本性 质对有限多个函数的和也是成立的.
C. sin x C
（）
D. cos x C
2.函数 f x ex ex 的一个原函数是 A. F x ex ex C. F x ex ex
B. F x ex ex D. F x ex ex
（）
3.已知 F x是 f x 的一个原函数，则不定积分 f x 1dx =
A. F x 1 C
第四章 一元函数积分学及其应用
第一节 不定积分的概念及性质
一、不定积分的概念
1.原函数
定义 1 设函数 f x 是定义在区间 I 上的连续函数，如果存在可导函数 F x ，在区间
I 上对任意的 x 都有
F 'x f x 或 dFx f xdx ， 则称函数 Fx 为 f x 在区间 I 上的原函数.
A. df x f x C. f xdx f x
（）
B. f xdx f x D. d f xdx f x
5.若 F x f x ，则 dF x
；
三、基本积分公式 ★★★★★
由于求不定积分是求导数的逆运算，所以由导数公式可以得出下列基本积分公式.
（1） kdx kx C ；（ k 是常数）
（14） 1 dx arcsin x C ；
1 x2
（15） 1 dx arccos x C ；
1 x2
(整理)考研数学不定积分讲义(卓越资料)
卓越考研内部资料（绝密）卓而优越则成卓越考研教研组汇编第四章 不定积分A 基本内容一、基本概念与性质1、原函数与不定积分的概念 (1) 原函数设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间I 上的原函数，(2) 不定积分()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()⎰dx x f 。
其中⎰称为积分号，x 称为积分变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。
2、原函数的存在性设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在。
初等函数的原函数不一定是初等函数。
例如()⎰dx x 2sin ，()⎰dx x 2cos ，⎰dx x xsin ，⎰dx x x cos ，⎰x dx ln ，dx e x ⎰-2等。
被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。
3、不定积分的性质 设()()C x F dx x f +=⎰，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。
则（1）()()C x F dx x F +='⎰或 ()()⎰+=C x F x dF（2）()[]()x f dx x f ='⎰ 或 ()[]()dx x f dx x f d =⎰（3）()()⎰⎰=dx x f k dx x kf （4）()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f二、基本积分公式1．C x dx x ++=⎰+11ααα()，实常数1-≠α 2．⎰+=C x dx x ln 13．⎰+=C a adx a xx ln 1 ()1,0≠>a aC e dx e x x +=⎰4．⎰+=C x xdx sin cos 5．⎰+-=C x xdx cos sin6．C x dx x xdx +==⎰⎰tan cos 1sec 227．C x dx xxdx +-==⎰⎰cot sin 1csc 22 8．C x xdx x +=⎰sec sec tan 9．C x xdx x +-=⎰csc csc cot 10．C x xdx +-=⎰cos ln tan 11．C x xdx +=⎰sin ln cot 12．C x x xdx ++=⎰tan sec ln sec 13．C x x xdx +-=⎰cot csc ln csc 14．⎰+=-C axx a dx arcsin22 ()0>a 15．C axa x a dx +=+⎰arctan 122 ()0>a 16．C x a x a a x a dx +-+=-⎰ln 2122 ()0>a17．C a x x a x dx +±+=±⎰2222ln ()0>a三、换元积分法和分部积分法1、第一换元积分法（凑微分法） 设()()C u F du u f +=⎰，又()x ϕ可导，则()[]()()[]()()()du u f x u x d x f dx x x f ⎰⎰⎰=='ϕϕϕϕϕ令()()[]C x F C u F +=+=ϕ这里要求考生对常用的微分公式要“倒背如流”，也就是非常熟练地凑出微分。
不定积分(公式大全)省优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
于是有 ∫u(x)·v'(x)dx＝u(x)·v(x)－∫u'(x)·v(x)dx
或表达成 ∫u(x)dv(x)＝u(x)·v(x)－∫v(x)du(x)
这一公式称为分部积分公式。
二、讲解例题
例1 求∫xexdx
解:令 u(x)＝x，v'(x)＝ex 则原式为∫u(x)·v'(x)dx旳形式
例1 求下列函数旳一种原函数：
⑴ f(x)＝2x
⑵ f(x)＝cosx
解：⑴∵(x2)'＝2x
∴x2是函数2x旳一种原函数
⑵∵(sinx)'＝cosx
∴sinx是函数cosx旳一种原函数
这里为何要强调是一种原函数呢?因为一种函数
旳原函数不是唯一旳。
例如在上面旳⑴中，还有(x2＋1)'＝2x，
(x2－1)'＝2x
C
例5 求 2xex2 dx
解：设u＝x2，则du＝2xdx
2xex2 dx ex2 2xdx eudu eu C ex2 C
例7 求 tan xdx
解
:
tan
xdx
sin cos
x x
dx
设u＝cosx，则du＝-sinxdx
tan
xdx
1 cos
x
(
sin
x)dx
1 u
1 x3 x2 x C
3
再如
求
(x
1)( x 2 3x2
3)
dx
解:
(x 1)(x2 3)
3x2
dx
x3 x2 3x 3
不定积分的概念及其性质省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1
1
x4
dx
x2(1
x
2
dx )
1 x4
dx
[
1 x2
1
1 x2
]dx
1 x3 x1 arctan x C 3
例7.
2
3x
3x
5
2
x
dx；
解：
2
3x
3x
5
2
x
dx
2
dx
5
(
2 ) x dx 3
2x 5 (2 / 3)x C ln(2 / 3)
例8. 设函数 f ( x) 定义于 (0, ) 上，并且满足
积分号
原函数存在定理： 如果函数 f ( x) 在区间 I 内连续， 那么在区间 I 内存在可导函数 F ( x),使 x I ,都有 F ( x) f ( x).
连续函数一定有原函数.
例1 求 x5dx.
解
x6 x5 , x5dx x6 C .
6
6
例2
求
1
1 x
2
dx.
解
arctan
F ( x)，使得： F ( x) f ( x)，x X 或 dF ( x) f ( x)dx 则称 F ( x) 是 f ( x) 的一个原函数，f ( x)的全部原函 数称为 f ( x) 的不定积分(indefinite integral)，记作： f ( x)dx 若 f ( x) 存在原函数，也称 f ( x) 可积。
分
表
(3)
dx x
ln
|
x
|
C;
阐明： x 0,
dx ln x C,
x
x 0, [ln( x)] 1 ( x) 1 ,
不定积分讲义
(10)
1 1 x
2
dx arcsin x C
1 (11) dx arctan x C 2 1 x
(14)
(15)
sec x tan xdx sec x C
csc x cot xdx csc x C
(6)
cosudu sin u C
x cos x 例 4 x cos x dx 2 1 x2 1 x x cos x x cos x d dx dx 2 2 1 x 1 x
例5
x 3 sin x x 3 sin x d x sin x 1 x 2 dx 1 x 2 dx 1 x 2 dx
2
x 1 cos x 1 cos x 1. cos dx dx dx dx 2 2 2 2 1 1 x sin x C 2 2
2
三、第一类换元法
问题
cos 2 xdx sin 2 x C ,
解决方法 利用复合函数，设置中间变量.
1 过程 令 t 2 x dx dt , 2 1 1 1 cos 2 xdx 2 cos tdt 2 sin t C 2 sin 2 x C .
那么在区间 内存在可导函数 F ( x ) ， I 使x I ，都有F ( x ) f ( x ) . 简言之：连续函数一定有原函数. 3.原函数的个数
(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos （ x
要进行适当的化简
例 4 求下列积分
1.
3
第四讲 不定积分
46第四章 不定积分一、学习目的与要求1、加深理解原函数与不定积分概念，熟悉不定积分的有关性质。
2、熟记不定积分的基本公式。
3、熟练掌握不定积分的三种基本解法（分解法、换元法和分部积分法）。
4、掌握有理函数、三角函数有理式的积分。
5、会求简单无理函数的不定积分。
二、学习重点不定积分的换元法与分部积分法三、内容提要1、原函数与不定积分的概念 若),()(x f x F ='则称)()(x f x F 是的一个原函数，若 )()(x f x F 是的一个原函数，则)(x f 的原函数的一般表达式为C x F +)(（C 为任意常数）。
)(x f 的原函数的一般表达式称为)(x f 的不定积分，记作⎰dx x f )(，即⎰+=C x F dx x f )()(2、基本性质（下设β,a 为常数）（1）⎰⎰⎰+=+dx x g dx x f a dx x g x af )()()()((ββ （2）;)())(()())((dx x f dx x f d x f dx x f =='⎰⎰或⎰⎰+=+='.)()()()(C x f x df C x f dx x f 或3、基本积分公式（下设0>a ）（1）),1(11-≠++=+⎰a C a x dx x a a（2）⎰+=,||ln 1C x dx x（3）,C e dx e x x +=⎰ （4）,ln /C a a dx a x x +=⎰（5）⎰+-=,cos sin C x xdx （6）⎰+=,sin cos C x xdx （7）,tan sec cos 122C x xdx dx x +==⎰⎰（8）⎰⎰+-==C x xdx dx xcot csc sin 122（9）⎰+-=,|cos |ln tan C x xdx （10）⎰+=,|sin |ln cot C x xdx （11）⎰++=,|tan sec |ln sec C x x xdx （12）⎰+-=,|cot csc |ln csc C x x xdx （13）⎰+=,sec tan sec C x xdx x （14）⎰+-=,csc cot csc C x xdx x47（15）⎰+=+,arctan 1122C a xa dx xa （16）⎰+=-,arcsin122C axdx x a （17）⎰+-+=-,ln 21122C x a x a a dx x a （18）⎰+±+=±,||ln 12222C a x x dx a x（19）⎰+=,C chx shxdx （20）⎰+=.C shx chxdx 4、基本积分法（I ）分项积分法 ⎰⎰⎰+=+),()()()]()([为常数βββa dx x g dx x f a dx x g x af （II ）凑微分法（第一换元法） 若⎰+=)(,)()(x C x F dx x f ϕ且连续，则⎰⎰+=='.))(()())(()())((C x F x d x f dx x x f ϕϕϕϕϕ（III ）换元法（第二换元法） 若)(x f 连续，)(t x ϕ=有连续导数，⎰⎰+='=≠',)()())(()(,0)(C t G dt t t f dx x f x ϕϕϕ且则C x G dx x f +=⎰-))(()(1ϕ（IV ）分部积分法 若⎰)()(,)(),(x du x v x v x u 可导存在，则⎰⎰-=).()()()()()(x du x v x v x u x dv x u5、几类初等函数的积分（I ）有理函数⎰dx x R x R )()(的积分一般方法：假分式化为整式与真分式之和，真分式化为最简式：),4(,)(,)(22N n q p q px x B Ax a x A nn ∈<+++-之和. （II ）三角函数⎰dx x x R x x R )cos ,(sin )cos ,(sin 的积分通常通过适当代换化为有理函数的积分，常用的变换：令2tanxt =（万能代换）， x t x t x t tan ,sin ,cos ===等。
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不定积分内容要点1.(影子法 LIATE)2.基本的2个？一、基本概念与性质1．原函数与不定积分的概念2．不定积分的性质设 ()()f x dx F x C =+⎰，其中()F x 为()f x 的一个原函数，C 为任意常数。
则 （1）()()F x dx F x C '=+⎰或()()dF x F x C =+⎰（2） ()()f x dx f x '⎡⎤=⎣⎦⎰ 或()()d f x dx f x dx ⎡⎤=⎣⎦⎰（3） ()()kf x dx k f x dx =⎰⎰（4）()()()()f x g x dx f x dx g x dx ±=±⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰ 3．原函数的存在性1）设()f x 在区间I 上连续，则()f x 在区间I 上原函数一定存在 2）初等函数的原函数不一定是初等函数()2sin xdx ⎰，()2cos xdx ⎰，sin x dx x⎰，cos x dx x⎰，ln dx x⎰，2x e dx -⎰二、基本积分公式 1．11a axx dx C a +=++⎰ （1a ≠-，实常数）2．1ln dx x C x=+⎰3．1ln xxa dx a C a=+⎰ （0a >，1a ≠）xxedx e C =+⎰4．cos sin xdx x C =+⎰ 5．sin cos xdx x C =-+⎰6．221sec tan cos xdx dx x C x ==+⎰⎰7．221csc cot sinxdx dx x C x==-+⎰⎰8．tan sec sec x xdx x C =+⎰ 9．cot c csc xcs xdx x C =-+⎰ 10. tan ln cos xdx x C =-+⎰ 11. cot ln sin xdx x C =+⎰ 12. sec ln sec tan xdx x x C =++⎰ 13. c ln c cot cs xdx cs x x C =-+⎰ 14.arcsinx C a=+⎰ （0a >）15. 221arctandx x C a a=+⎰ （0a >）16. C =+ (0a >)17.ln dx x C =++⎰(0a >)三、换元积分法和分部积分法1．第一换元积分法(凑微分法 影子法) 设()()f u du F u C =+⎰，又()x ϕ可导，则()()()()()()u x f x x dx f x d x f u du ϕϕϕϕϕ='=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰令()()F u C F x C ϕ=+=+⎡⎤⎣⎦常用的几种凑微分形式： (1) ()()()1f ax b dx f ax b d ax b a+=++⎰⎰ (0a ≠) (2) ()()()11nn nnf ax b xdx f axb d ax b na-+=++⎰⎰ (00a n ≠≠，)(3) ()()()ln ln ln dx f x f x d x x=⎰⎰(4) 2111dx f f d x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎰⎰(5)2ffd =⎰⎰(6) ()()()1ln xxxxf a a dx f a d a a =⎰⎰ (01a a ≠≠，) ()()()xx xxf e e dx f ed e =⎰⎰(7) ()()()sin cos s sin f x xdx f inx d x =⎰⎰(8) ()()()cos s cos cos f x inxdx f x d x =-⎰⎰ (9) ()()()2tan sec tan tan f x xdx f x d x =⎰⎰(10) ()()()2cot csc cot cot f x xdx f x d x =-⎰⎰ (11) ()()()sec s tan sec sec f x ecx xdx f x d x =⎰⎰(12) ()()csc csc xdx f x d x =-⎰ (13)()()arcsin arcsin f x d x =⎰(14) ()()arccos arccos arccos f x f x d x =-⎰⎰(15) ()()()2arctan arctan arctan 1f x dx f x d x x=+⎰⎰(16) ()()()2arc cot arc cot arc cot 1f x dx f x d x x=-+⎰⎰(17) 21arctan 11arctan arctan 1f x dxf d x x x ⎛⎫⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭⎰⎰ (18)(((()ln ln ln f x f x d x⎡⎤+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰ (0a >) (19)(((()ln ln ln f x f x d x ⎡⎤+⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰(0a >)(20) ()()()ln f x dx fx C fx '=+⎰()()0f x ≠2．第二换元积分法()()()()()()1x t fx dxf t t dt G t C G x C ϕϕϕϕ=-'⎡⎤=+=+⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰⎰令，其中()1t x ϕ-=为()x t ϕ=的反函数。
第二换元积分法绝大多数用于根式的被积函数，通过换元把根式去掉，其常见的变量替换分为两大类：第一类：被积函数是x 或x xe 构成的代数式等的根式，例如等，t =，解出()x t ϕ=已经不再有根式，那么就作这种变量替换()x t ϕ=即可)0A ≠t =，解出，那么这样处理将0A >时先化为；0A <时，先化为然后再作下列三种三角替换之一：一换元积分法比较简单。
【例1】()2212x a=-⎰⎰22321123x a uu C C -=+=+⎰令＝【例2】()2222222221122x a ttx adt xxta+=+-⎰⎰⎰令＝ 2222221ta dt dt tat a ⎡⎤==+⎢⎥--⎣⎦⎰⎰lnln22a a t a t C C a t-=++=+去根号 倒代换 高次代换 三角代换、部分影子代换3. 分部积分法。
设 ()()u x v x ，均有连续的导数，则()()()()()()u x dv x u x v x v x du x =-⎰⎰或()()()()()()u xv x d xu xv x u x v x d x''=-⎰⎰ 使用分部积分法时被积函数中谁看作()u x 、谁看作()v x '有一定规律。
L I A T E典型例题一、直接积分法 【例1】 求21x-⎰.解 原式()31122222xx x dx-==-+⎰⎰35122242235x x x C =-++【例2】 求下列不定积分 （1）4211x dx x ++⎰（2）()1dx x x +⎰解 （1）()()44222212121111xx dx dx x dx x x x -++⎡⎤==-+⎢⎥+++⎣⎦⎰⎰⎰＝32arctan 3xx x C -++（2）()11ln ln 111dx dx x x C x x x x ⎡⎤=-=-++⎢⎥++⎣⎦⎰⎰ ＝ln 1x C x ++【例3】 求23523x xxdx -⎰解 原式＝2212525233ln 3x xdx x C ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=-+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ ＝2532ln 2ln 3xx C ⎛⎫ ⎪⎝⎭-+-【例4】 求下列不定积分 （1）2tan xdx ⎰ （2）22sin cos dx x x⎰解()2sec 1tan x dx x x C -=-+⎰ （222222sin cos 11sin cos sin cos cos sin x x dx dx x xx xx x +⎡⎤==+⎢⎥⎣⎦⎰⎰＝tan cot x x C -+二、第一换元积分法【例1】 求下列不定积分 （1）1(1)ndx x x +⎰（n ＞1，正整数） （2）2231x dx x x +++⎰解 （1）原式＝111(1)1nnn n nx xxdxdx dx x x x x-+-=-++⎰⎰⎰＝1ln ln 1lnnx x C C n-++=（2）原式＝()()222212122111d x x x dx dx x x x x x x ++++=+++++++⎰⎰⎰＝()22212ln 12122d x x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+++⎛⎛⎫++⎪⎝⎭⎝⎭⎰＝()2ln 13x x C ++++【例2】 求下列不定积分 n=1,2,3,4,5,6 （1）4cos xdx ⎰ （2）5cos xdx ⎰ （3）25sin cos x xdx ⎰ （4）24sin cos x xdx ⎰ （5）4sec xdx ⎰（6）4tan xdx ⎰（1）()2421cos 21cos 12cos 2cos 224x xdx dx x x dx +⎛⎫⎡⎤==++ ⎪⎣⎦⎝⎭⎰⎰⎰()1112cos 21cos 44x x dx ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰ sin 4x C +（2）)()25224cos 1sin sin 12sinsin sin xdx x d x x x d x =-=-+⎰⎰⎰3521sin sin sin 35x x x C =-++（3）()()22522246sin cos sin 1sin sin sin2sin sin sin x xdx x x d x x x x d x =-=-+⎰⎰⎰357121sin sin sin 357x x x C =-++（4）()2422111cos 41cos 2sin cos sin2cos 4422x xx dx x xdx dx -+⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰ ()()11cos 2cos 4cos 2cos 416x x x x dx =+--⎡⎤⎣⎦⎰ ()111cos 2cos 4cos 6cos 2162x x x x dx ⎡⎤=+--+⎢⎥⎣⎦⎰ 11111sin 2sin 4sin 6sin 21624124x x x x x C ⎡⎤=+---+⎢⎥⎣⎦（5）()4231sec 1tan tan tan tan 3xdx x d x x x C =+=++⎰⎰（6）()()24242tan sec1sec 2sec 1xdx x dx x x dx =-=-+⎰⎰⎰31tan tan 2tan 3x x x x C ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭31tan tan 3x x x C =-++【例3】 求下列不定积分 （1）1xxedx e +⎰ （2）1xxdx e e-+⎰（3）11xdx e+⎰（4）()211xdx e +⎰分析 这四个题中均含有xe .而x xe dx de =,因而可以用凑微分的方法积分。