2019年高三数学(文科)一轮复习课时训练北师大版24平面向量基本定理及坐标表示Word版含解析

课时分层训练(二十四) 平面向量基本定理及坐标表示

(对应学生用书第218页)

A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)

一、选择题

1．如图4-2-2，设O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：

图4-2-2

①AD

→与AB →；②DA →与BC →；③CA →与DC →；④OD →与OB →.其中可作为该平面内其他向量的基底的是( ) A ．①② B ．①③ C ．①④

D ．③④

B [①中AD

→，AB →不共线；③中CA →，DC →不共线．]

2．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( ) 【导学号：00090132】 A ．－12a ＋32b B ．12a －32b C ．－32a －12b

D ．－32a ＋12b

B [设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，

∴⎩⎪⎨⎪⎧

－1＝λ＋μ，

2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧

λ＝12，μ＝－32，

∴c ＝12a －3

2B ．]

3．已知向量a ，b 不共线，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么( )

A ．k ＝1且c 与d 同向

B ．k ＝1且c 与d 反向

C ．k ＝－1且c 与d 同向

D ．k ＝－1且c 与d 反向

D [由题意可得c 与d 共线，则存在实数λ，使得c ＝λd ，即⎩⎪⎨⎪⎧

k ＝λ，

1＝－λ，解

得k ＝－1.c ＝－a ＋b ＝－(a －b )＝－d ，故c 与d 反向．]

4．如图4-2-3，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且BP →＝

2P A →，则 ( )

图4-2-3

A ．x ＝23，y ＝13

B ．x ＝13，y ＝2

3

C ．x ＝14，y ＝3

4 D ．x ＝34，y ＝1

4

A [由题意知OP →＝O

B →＋BP →，又BP →＝2P A →，所以OP

→＝OB →＋23BA →＝OB →＋23(OA →－

OB

→)＝23OA →＋13OB →，所以x ＝23，y ＝13

.]

5．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A →

＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( ) A ．(－2,7) B ．(－6,21) C ．(2，－7)

D ．(6，－21)

B [AQ →＝PQ →－P A →＝(－3,2)，∵点Q 是A

C 的中点，∴AC →＝2AQ →＝(－6,4)，PC

→＝

P A →＋AC →

＝(－2,7)，

∵BP →＝2PC →，∴BC →＝3PC →＝(－6,21)．] 二、填空题

6．(2017·陕西质检(二))若向量a ＝(3,1)，b ＝(7，－2)，则与向量a －b 同方向单位向量的坐标是________．

⎝ ⎛⎭⎪⎫

－45，35 [由题意得a －b ＝(－4,3)，则|a －b |＝(－4)2＋32＝5，则a －b 的

单位向量的坐标为⎝ ⎛⎭

⎪⎫－45，35.]

7．已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且A (1,1)，C (2,3)，|BC →|＝2|AC →

|，则向量OB →的坐标是________．

(4,7) [由点C 是线段AB 上一点，|BC

→|＝2|AC →|，得BC →＝－2AC →.设点B 为(x ，

y )，则(2－x,3－y )＝－2(1,2)，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2－x ＝－2，3－y ＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧

x ＝4，

y ＝7.

所以向量OB

→的坐标是(4,7)．]

8．已知向量OA

→＝(3，－4)，OB →＝(0，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )，若点A ，B ，

C 能构成三角形，则实数m 满足的条件是________．

m ≠54 [由题意得AB

→＝(－3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，若A ，B ，C 能构成三角形，则AB

→，AC →不共线，则－3×(1－m )≠1×(2－m )，解得m ≠54.]

三、解答题

9．已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b ). (1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式；

(2)若AC

→＝2AB →，求点C 的坐标. 【导学号：00090133】

[解] (1)由已知得AB

→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1).

2分

∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →∥AC →

.

∵2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2. 5分

(2)∵AC

→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2). 7分

∴⎩⎪⎨⎪⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧

a ＝5，

b ＝－3，

∴点C 的坐标为(5，－3).

12分

10．平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k .

[解] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)， 2分

所以⎩⎪⎨

⎪⎧

－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，

解得⎩⎪⎨⎪⎧

m ＝5

9，n ＝8

9.

5分

(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，

7分

由题意得2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，解得k ＝－16

13.

12分

B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)

1．(2018·宁波模拟)已知O ，A ，B 是平面上不共线的三个点，直线AB 上有一点C 满足2AC →＋CB →＝0，则OC →＝( ) A ．2OA →－OB → B ．－OA →＋2OB →

C ．23OA →－13OB →

D ．－13OA →＋23OB →

A [由2AC →＋C

B →＝0得A

C →＋AB →＝0，即AC →＝－AB →，则OC →＝OA →＋AC →＝OA →－AB →

＝OA

→－(OB →－OA →)＝2OA →－OB →.]