不等式基础l大综合

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第三节基本不等式

（ 2 ）若 x＜ 0 , 贝 U x +
l -x
< － - 2 （当且仅当x= — 1时取"=")
（3 )
0 若 ab > ，
贝 u b-a +
b -a
＞－
2
（当且仅当a= b时取"=")
(4)若a, bER , 则 ab �(a+) b 2 � 矿+ b2
2
2
✓z (5)若a, bER *,
则l —I —I
）
6
A. 3+✓22 4
B. 3+✓24 4
C. 3+✓22 6
【答案】A
【解答】解：因为 a>O, b> 满l足 a+= b,5
判、
—+ 2 1 =( —+ 2 1 )[a+ (—1)b ]
1 X — ,
a — bI a —1 b
4
✓ = 1— [3+-2( 1)b +a 修 — I( 3+2)2 ,
X
2y 4
X 16y
【答案】－ —1 4
变式1.
2
x
+y
2
+-1 +-1 =
2—7
求 — 15 - — 3 的最小值
Xy 4
X 4y
【答案】6
6.构造一元二次不等式
例1. 若正实数X, y满足2x+y+6=xy , 则 xy的最小值是＿．
【答案】18
y 【解答】解：由条件利用基本不等式可得 xy=2x+y+6?2J云 +6'

基本不等式

、柯西不等式等。
优化问题
02
在优化问题中，幂平均不等式可以用于寻找最优解或确定最优
解的范围。
统计学应用
03
在统计学中，幂平均不等式可以用于分析数据的分布和离散程
度。
24
06
排序原理与切比雪夫（ Chebyshev）不等式
2024/1/26
25
排序原理简介
2024/1/26
01
排序原理是一种基本的数学原理，用于比较和排列一组数的大小。
2024/1/26
因式分解法
将一元二次不等式因式分解，然后利用不等式的性质进行求解。
14
一元二次不等式组解法
2024/1/26
分别求解法
分别求出每个不等式的解集，然后取它们的交集作为不等式组的解集。
图像法
在同一坐标系中画出每个不等式的图像，然后找出满足所有不等式的区域作为不等式组的解集。
15
17
算术平均值-几何平均值（AM-GM）不等式
对于所有非负实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$，有
$frac{a_1 + a_2 + cdots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2cdots a_n}$当且仅当 $a_1 = a_2 = ldots = a_n$ 时取等号。
2024/1/26
加权平均值不等式是AM-GM不等式的推广，具有更广泛的应用范围。
19
柯西-施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式
对于任意实数 $a_1, a_2, ldots, a_n$ 和 $b_1, b_2, ldots, b_n$，有
2024/1/26
$(a_1^2 + a_2^2 + cdots + a_n^2)(b_1^2 + b_2^2 + cdots + b_n^2) geq (a_1b_1 + a_2b_2 + cdots + a_nb_n)^2$当且仅当 $a_i = kb_i (i = 1, 2, ldots, n)$ 时取等号，其中 $k$ 为常数。

基本不等式

不等式
第三节基本不等式
目
录
1
高考引航
2
必备知识
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一基本不等式 ≤
+
2
(1)基本不等式成立的条件:
a>0,b>0
(2)等号成立的条件:当且仅当ຫໍສະໝຸດ a=b..
二几个重要的不等式
(1)a2+b2≥

(2) + ≥
(3)ab≤
(4)
2ab
2
(a,b∈R);
通道,如图.设矩形温室的室内长为 x(单位:m),三块种植植物的矩形区域的总面积为
S(单位:m2).
(1)求 S 关于 x 的函数关系式;
(2)求 S 的最大值.
解析
【解析】(1)由题设,得 S=(x-8)
900

7200
-2 =-2x-

+916,x∈(8,450).
(2)因为 8<x<450,
时,等号成立.
答案
解析
关键能力
题型归纳
题型一
利用基本不等式求最值
1
1
【例 1】(1)已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+8 的最小值为 4
(2)(2020 届南昌市模拟)已知函数 y=x+

-2
的值为
4
.
(x>2)的最小值为 6,则正数 m
.
(3)(2020 届安徽天长模拟)已知正数 a、b 满足 a2+b2=6,则 b 2 + 4的最
大值为
5
.

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b .知识点二几个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)；(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；(3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；(4)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R)；(5)2ab a ＋b ≤ab ≤a ＋b 2≤ a 2＋b 22(a ＞0，b ＞0)．知识点三算术平均数与几何平均数设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．知识点四利用基本不等式求最值问题已知x ＞0，y ＞0，则(1)如果xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p (简记：积定和最小)．(2)如果x ＋y 是定值q ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是q 24(简记：和定积最大)．【特别提醒】1.此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”.“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立.2.连续使用基本不等式时，牢记等号要同时成立. 考点一利用基本不等式求最值【典例1】（江西临川一中2019届模拟）已知x ＜54，则f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为_______ 【答案】1【解析】因为x ＜54，所以5－4x ＞0，则f (x )＝4x －2＋14x －5＝－⎝⎛⎭⎫5－4x ＋15－4x ＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x ，即x ＝1时，取等号．故f (x )＝4x －2＋14x －5的最大值为1. 【方法技巧】【方法技巧】1.通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点通过拼凑法利用基本不等式求最值的实质及关键点拼凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．拼凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．2.通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤通过常数代换法利用基本不等式求解最值的基本步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)；(2)把确定的定值(常数)变形为1；(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积为定值的形式；(4)利用基本不等式求解最值．利用基本不等式求解最值．【变式1】（山东潍坊一中2019届模拟）已知x ＞0，y ＞0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为________．【答案】6【解析】由已知得x ＋3y ＝9－xy ，因为x ＞0，y ＞0，所以x ＋3y ≥23xy ，所以3xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，即(x ＋3y )2＋12(x ＋3y )－108≥0. 令x ＋3y ＝t ，则t ＞0且t 2＋12t －108≥0，得t ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略【方法技巧】通过消元法利用基本不等式求最值的策略当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常是考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”，最后利用基本不等式求最值．，最后利用基本不等式求最值．考点二利用基本不等式解决实际问题【典例2】【2019年高考北京卷理数】年高考北京卷理数】李明自主创业，李明自主创业，李明自主创业，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%．①当x =10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付__________元；元；②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为__________．【答案】①130 ；②15.【解析】（1）x=10，顾客一次购买草莓和西瓜各一盒，需要支付60+80-10=130元.（2）设顾客一次购买水果的促销前总价为y 元，120y <元时，李明得到的金额为80%y ⨯，符合要求.120y ≥元时，有()80%70%y x y -⨯≥⨯恒成立，即()87,8yy x y x -≥≤，即min 158y x ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭元，所以x 的最大值为15。

(完整版)高中数学基本不等式题型总结

专题基本不等式【一】基础知识基本不等式：)0,0a b a b +≥>>（1）基本不等式成立的条件：；（2）等号成立的条件：当且仅当时取等号.2.几个重要的不等式（1）；（2）；()24a b ab +≤(),a b R ∈)+0,0a b a b ≥>>【二】例题分析【模块1】“1”的巧妙替换【例1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=41x y+【变式1】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>34x y +=4x x y+【变式2】（2013年天津）设，则的最小值为 .2,0a b b +=>1||2||a a b+【例2】（2012河西）已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b +=2a b +【变式】已知正实数满足，则的最小值为 . ,a b 211a b+=2a b ab ++【例3】已知，且，则的最小值为 .0,0x y >>280x y xy +-=x y +【例4】已知正数满足，则的最小值为 .,x y 21x y +=8x y xy+【例5】已知，若不等式总能成立，则实数的最大值为 . 0,0a b >>212m a b a b+≥+m【例6】（2013年天津市第二次六校联考）与圆相交于两点，()1,0by a b +=≠221x y +=,A B 为坐标原点，且△为直角三角形，则的最小值为 . O AOB 2212a b +【例7】（2012年南开二模）若直线始终平分圆的周长，()2200,0ax by a b -+=>>222410x y x y ++-+=则的最小值为 . 11a b+【例8】设分别为具有公共焦点的椭圆和双曲线的离心率，为两曲线的一个公共点，且满足12,e e 12,F F P ，则的最小值为120PF PF ⋅= 22214e e +【例9】已知，则的最小值是（）0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=11x y+A ．6B ．5C ．D ．3+【例10】已知函数，若，且，则的最小值为 .()4141x x f x -=+120,0x x >>()()121f x f x +=()12f x x +【模块二】“和”与“积”混合型【例1】（2012年天津）设,若直线与轴相交于点A,与y 轴相交于B ，且与圆,m n R ∈:10l mx ny +-=x l 相交所得弦的长为，为坐标原点，则面积的最小值为 .224x y +=2O AOB ∆【例2】设，，若，，则的最大值为_______.,x y R ∈1,1a b >>2x y a b ==28a b +=11x y+【例3】若实数满足，则的最大值为 .,x y 221x y xy ++=x y +【例4】（2013年南开一模）已知正实数满足，则的最小值为 .,a b 21a b ab ++=a b +【例5】设，若直线与圆相切，则的取值范围是,m n R ∈()()1120m x n y +++-=()()22111x y -+-=m n +（）（A ）（B ）1⎡+⎣(),11⎡-∞⋃+∞⎣（C ）（D ）22⎡-+⎣(),22⎡-∞-⋃++∞⎣【例6】已知，且成等比数列，则的最小值为 . 1,1x y >>11ln ,,ln 44x y xy 【例7】（2015天津）已知则当的值为时取得最大值.0,0,8,a b ab >>=a ()22log log 2a b ⋅【例8】（2011年天津）已知，则的最小值为 .22log log 1a b +≥39a b +【例9】下列说法正确的是（）A ．函数的最小值为x x y 2+=B ．函数的最小值为)0(sin 2sin π<<+=x x x yC ．函数的最小值为x x y 2+=D ．函数的最小值为x x y lg 2lg +=【例10】设的最小值是（）,,5,33x y x y x y ∈+=+R 且则A ．10B ．C ．．。

第二节基本不等式【高考文数专题复习——不等式推理与证明程序框图】

[解题方略] 利用基本不等式解决实际问题的步骤
(1)理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数；
(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题；
(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值．
[过关训练] 经测算，某型号汽车在匀速行驶的过程中每小时耗油量 y(L) 与速度 x(km/h)(50≤x≤120)的关系可近似表示为
答案：30
四、“基本活动经验”不可少已知直角三角形的面积为 8 cm2，当两条直角边各为多长时，两条直角边的长度和最小，最小值是多少？
解：设直角边边长分别为 a，b，则 S＝12ab＝8，∴ab＝16. ∵a>0，b>0，∴a＋b≥2 ab＝8，当且仅当 a＝b＝4 时，等号成立．因此，当这两条直角边都为 4 cm 时，两条直角边的长度和最小，最小值是 8 cm.
2．(转化思想)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________．解析：总费用为60x0×6＋4x＝490x0＋x≥4×2 900＝240，当且仅当 x＝30 时等号成立，故 x 的值是 30.
[典例] 某厂家拟定在 2021 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用 m(m≥0)万元满足 x＝3－m＋k 1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是 1 万件．已知 2021 年生产该产品的固定投入为 8 万元，每生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．

第一讲不等式和绝对值不等式综合

1 已知：求函数y=x y=x（ 3x） 1. 已知：0＜x＜，求函数y=x（1-3x）的最大值 3 配凑成和成，分析一、原函数式可化为：分析一、原函数式可化为：y=-3x2+x，定值利用二次函数求某一区间的最值
分析二、分析二、挖掘隐含条件
3x＞ ∵3x+1-3x=1为定值， ∵3x+1-3x=1为定值，且0＜x＜1 则1-3x＞0；为定值 3 1 3x＞可用均值不等式法 ∵0＜x＜，∴1-3x＞0 ∵0＜ 3 1 3x +1− 3x 2 1 1• ∴y=x（ 3x） 3x（ 3x） ∴y=x（1-3x）= 3x（1-3x）≤ ( )= 3 12
a,b, x, y ∈ R
+
x + y 的最小值 a b ay xb x 解： + y = ( x + y ) ⋅ 1 = ( x + y )( + ) = a + b + +
x y x y
a b ， + =1 且 x y
ay xb ≥ a+b+2 ⋅ = ( a + b)2 x y
ay xb = 当且仅当 x y
当且仅当a = b = c时,等号成立.
(2)a + b + c为定值时
a + b + c ≥ 3 abc
3
a+b+c 3 abc ≤ ( ) 3 当且仅当a = b = c时,等号成立.
关于“平均数”的概念：关于“平均数”的概念： 1．如果 a1 , a2 ,L , an ∈ R , n > 1且n ∈ N
3
2
3x=1当且仅当 3x=1-3x 即x=1 时 y

基本不等式

第三节基本不等式[最新考纲] 1.了解基本不等式的证明过程.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．1．基本不等式：ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：a ≥0，b ≥0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．(3)a ＋b2称为正数a ，b a ，b 的几何平均数． 2．两个重要的不等式(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时取等号． 3．利用基本不等式求最值已知x ≥0，y ≥0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)．(2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是s 24(简记：和定积最大)．[常用结论]1.b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)，当且仅当a ＝b 时取等号．2.ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22.3.21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a＞0，b ＞0)．一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 成立的条件是相同的．( ) (2)若a >0，则a 3＋1a 2的最小值为2a .( )(3)函数f (x )＝sin x ＋4sin x ，x ∈(0，π)的最小值为4.( ) (4)x ＞0且y ＞0是x y ＋yx ≥2的充要条件．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编1．设x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值为( ) A ．80 B ．77 C ．81D ．82C [xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，等号成立．故选C.] 2．若x <0，则x ＋1x ( ) A ．有最小值，且最小值为2 B ．有最大值，且最大值为2 C ．有最小值，且最小值为－2 D ．有最大值，且最大值为－2 D [因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥21＝2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x ＋1x ≤－2.]3．函数f (x )＝x ＋1x －2(x >2)的最小值为________．4 [当x >2时，x －2>0，f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2≥2（x －2）×1x －2＋2＝4，当且仅当x －2＝1x －2(x >2)，即x ＝3时取等号．]4．若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m 2.25 [设矩形的一边为x m ，矩形场地的面积为y ，则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，则y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋（10－x ）22＝25，当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25.]考点1 利用基本不等式求最值配凑法求最值配凑法的实质是代数式的灵活变形，即将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项、凑系数等方法凑成“和为定值”或“积为定值”的形式(如：凑成x ＋a x (a ＞0)，b a ＋ab 的形式等)，然后利用基本不等式求解最值的方法.(1)(2019·大连模拟)已知a ，b 是正数，且4a ＋3b ＝6，则a (a ＋3b )的最大值是( )A.98B.94 C ．3D ．9(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．(3)已知x>54，则y＝4x＋14x－5的最小值为________，此时x＝________．(1)C(2)23＋2(3)732[(1)∵a>0，b>0，4a＋3b＝6，∴a(a＋3b)＝13·3a(a＋3b)≤13⎝⎛⎭⎪⎫3a＋a＋3b22＝13×⎝⎛⎭⎪⎫622＝3，当且仅当3a＝a＋3b，即a＝1，b＝23时，a(a＋3b)的最大值是3.(2)∵x>1，∴x－1>0，∴y＝x2＋2x－1＝（x2－2x＋1）＋（2x－2）＋3x－1＝（x－1）2＋2（x－1）＋3x－1＝(x－1)＋3x－1＋2≥23＋2.当且仅当x－1＝3x－1，即x＝3＋1时，等号成立．(3)∵x>54，∴4x－5>0.y＝4x＋14x－5＝4x－5＋14x－5＋5≥2＋5＝7.当且仅当4x－5＝14x－5，即x＝32时上式“＝”成立．即x＝32时，y min＝7.](1)本例(1)解答易忽视两项和为定值的条件，常见的错误解法为：a (a＋3b )≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋a ＋3b 22，当且仅当a ＝a ＋3b ，且4a ＋3b ＝6，即a ＝32，b ＝0时，a (a ＋3b )的最大值为94，从而错选B.(2)应用拆项、添项法求最值时，应注意检验基本不等式的前提条件：“一正、二定、三相等”，如T (1)，T (2)．常数代换法求最值常数代换法求最值的步骤(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则1a ＋1b 的最小值为________． 4 [因为a ＋b ＝1，所以1a ＋1b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (a ＋b )＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab＝2＋2＝4.当且仅当a ＝b 时，等号成立．]常数代换法主要解决形如“已知x＋y＝t(t为常数)，求ax＋by的最值”的问题，先将ax＋by转化为⎝⎛⎭⎪⎫ax＋by·x＋yt，再用基本不等式求最值．(2019·深圳市福田区模拟)已知a ＞1，b ＞0，a ＋b ＝2，则1a －1＋12b 的最小值为( )A.32＋ 2 B.34＋22 C ．3＋2 2D.12＋23A [已知a ＞1，b ＞0，a ＋b ＝2，可得(a －1)＋b ＝1，又a －1＞0，则1a －1＋12b ＝[(a －1)＋b ]⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －1＋12b ＝1＋12＋a －12b ＋b a －1≥32＋2a －12b ×b a －1＝32＋ 2. 当且仅当a －12b ＝ba －1，a ＋b ＝2时取等号．则1a －1＋12b 的最小值为32＋ 2.故选A.]消元法求最值对于含有多个变量的条件最值问题，若直接运用基本不等式无法求最值时，可尝试减少变量的个数，即根据题设条件建立两个变量之间的函数关系，然后代入代数式转化为只含有一个变量的函数的最值问题，即减元(三元化二元，二元化一元)．(2019·嘉兴期末)已知a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1，则a ＋2b 的最小值为( )A ．5＋2 6B ．8 2C ．5D ．9A [∵a ＞0，b ＞0，且2a ＋b ＝ab －1， ∴a ＝b ＋1b －2＞0，∴b ＞2，∴a ＋2b ＝b ＋1b －2＋2b ＝2(b －2)＋3b －2＋5≥5＋22（b －2）·3b －2＝5＋2 6.当且仅当2(b －2)＝3b －2，即b ＝2＋62时取等号． ∴a ＋2b 的最小值为5＋2 6.故选A.]求解本题的关键是将等式“2a ＋b ＝ab －1”变形为“a＝b ＋1b －2”，然后借助配凑法求最值．(2019·新余模拟)已知正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，则当ab c 取得最大值时，3a ＋1b －12c 的最大值为( )A ．3 B.94 C ．1D ．0C [由正实数a ，b ，c 满足a 2－2ab ＋9b 2＝c ，得ab c ＝aba 2－2ab ＋9b 2＝1a 2－2ab ＋9b2ab＝1ab ＋9b a －2≤14，当且仅当a b ＝9b a ，即a ＝3b 时，ab c 取最大值14. 又因为a 2－2ab ＋9b 2－c ＝0，所以此时c ＝12b 2，所以3a ＋1b －12c ＝1b ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－1b ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫1b ＋2－1b24＝1，故最大值为1.]利用两次基本不等式求最值当运用一次基本不等式无法求得代数式的最值时，常采用第二次基本不等式；需注意连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性．已知a ＞b ＞0，那么a 2＋1b （a －b ）的最小值为________．4 [由题意a ＞b ＞0，则a －b ＞0，所以b (a －b )≤⎝⎛⎭⎪⎫b ＋a －b 22＝a 24，所以a 2＋1b （a －b ）≥a 2＋4a 2≥2a 2·4a 2＝4，当且仅当b ＝a －b 且a 2＝4a 2，即a ＝2，b ＝22时取等号，所以a 2＋1b （a －b ）的最小值为4.]由于b ＋(a －b )为定值，故可求出b (a －b )的最大值，然后再由基本不等式求出题中所给代数式的最小值．若a ，b ∈R ，ab ＞0，则a 4＋4b 4＋1ab 的最小值为________．4 [因为ab ＞0，所以a 4＋4b 4＋1ab ≥24a 4b 4＋1ab ＝4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab ＝4，当且仅当⎩⎨⎧a 2＝2b 2，ab ＝12时取等号，故a 4＋4b 4＋1ab的最小值是4.] 考点2 利用基本不等式解决实际问题利用基本不等式解决实际问题的3个注意点(1)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．(2)根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．(3)在求函数的最值时，一定要在定义域(使实际问题有意义的自变量的取值范围)内求解．经测算，某型号汽车在匀速行驶过程中每小时耗油量y (L)与速度x (km /h )(50≤x ≤120)的关系可近似表示为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧175（x 2－130x ＋4 900），x ∈[50，80），12－x60，x ∈[80，120].(1)该型号汽车的速度为多少时，可使得每小时耗油量最少？(2)已知A ，B 两地相距120 km ，假定该型号汽车匀速从A 地驶向B 地，则汽车速度为多少时总耗油量最少？[解] (1)当x ∈[50，80)时，y ＝175(x 2－130x ＋4 900)＝175[(x －65)2＋675]，所以当x ＝65时，y 取得最小值，最小值为175×675＝9. 当x ∈[80，120]时，函数y ＝12－x60单调递减，故当x ＝120时，y 取得最小值，最小值为12－12060＝10.因为9<10，所以当x ＝65，即该型号汽车的速度为65 km /h 时，可使得每小时耗油量最少．(2)设总耗油量为l L ，由题意可知l ＝y ·120x ， ①当x ∈[50，80)时，l ＝y ·120x ＝85⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4 900x －130≥85⎝⎛⎭⎪⎫2x ·4 900x －130＝16，当且仅当x ＝4 900x ，即x ＝70时，l 取得最小值，最小值为16. ②当x ∈[80，120]时，l ＝y ·120x ＝1 440x －2为减函数，所以当x ＝120时，l 取得最小值，最小值为10.因为10<16，所以当速度为120 km /h 时，总耗油量最少．当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解．(2019·上海模拟)经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期，该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题，具体如下：年存储成本费T (元)关于每次订货x (单位)的函数关系T (x )＝Bx 2＋ACx ，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费. 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为6 000吨，每吨存储费为120元/年，每次订货费为2 500元．(1)若该化工厂每次订购300吨甲醇，求年存储成本费；(2)每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？[解] (1)因为年存储成本费T (元)关于每次订货x (单位)的函数关系T (x )＝Bx2＋ACx ，其中A 为年需求量，B 为每单位物资的年存储费，C 为每次订货费．由题意可得：A ＝6 000，B ＝120，C ＝2 500，所以年存储成本费T (x )＝60x ＋15 000 000x，若该化工厂每次订购300吨甲醇，所以年存储成本费为 T (300)＝60×300＋15 000 000300＝68 000. (2)因为年存储成本费T (x )＝60x ＋15 000 000x，x ＞0，所以T (x )＝60x ＋15 000 000x≥260×15 000 000＝60 000，当且仅当60x ＝15 000 000x，即x ＝500时，取等号．所以每次需订购500吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少，最少费用为60 000元．考点3基本不等式的综合应用基本不等式的综合应用的2类问题(1)与函数、数列等知识交汇的最值问题：此类问题常以函数、数列等知识为载体，以基本不等式为解题工具，求解最值或取值范围．(2)求参数值或取值范围：对于此类题目，要观察题目特点，利用基本不等式确定相关关系式成立的条件，从而得参数的值或取值范围．(1)(2019·台州模拟)若两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，且存在这样的x，y使不等式x＋y4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是()A．(－1，4)B．(－4，1)C．(－∞，－4)∪(1，＋∞)D．(－∞，－3)∪(0，＋∞)(2)(2019·衡阳一模)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．函数y＝[x](x∈R)称为高斯函数，其中[x]表示不超过x的最大整数，例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3.已知函数f(x)＝2x＋11＋22x，则函数y＝[f(x)]的值域是()A．{0，1} B．(0，1]C．(0，1) D．{－1，0，1}(3)(2019·定远模拟)已知在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos C＝c cos B，则1tan A＋1tan B＋1tan C的最小值为()A.273 B. 5C.73D．2 5(1)C (2)A (3)A [(1)∵正实数x ，y 满足1x ＋4y ＝1， ∴x ＋y 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝2＋4x y ＋y4x ≥2＋24x y ·y4x ＝4，当且仅当4x y ＝y 4x 且1x ＋4y ＝1，即x ＝2，y ＝8时取等号，∵存在x ，y 使不等式x ＋y4＜m 2＋3m 有解，∴4＜m 2＋3m ，解得m ＞1或m ＜－4，故选C. (2)f (x )＝2x ＋11＋22x＝22x＋12x， ∵2x ＋12x ≥2，∴0＜f (x )≤1，则函数y ＝[f (x )]的值域为{0，1}，故选A. (3)∵2b cos C ＝c cos B ， ∴2sin B cos C ＝sin C cos B ， ∴tan C ＝2tan B ．又A ＋B ＋C ＝π， ∴tan A ＝tan [π－(B ＋C )]＝－tan(B ＋C ) ＝－tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－3tan B1－2tan 2B ＝3tan B 2tan 2B －1，∴1tan A ＋1tan B ＋1tan C ＝2tan 2B －13tan B ＋1tan B ＋12tan B ＝23tan B ＋76tan B .又∵在锐角△ABC 中，tan B ＞0， ∴23tan B ＋76tan B ≥223tan B ×76tan B ＝273，当且仅当tan B ＝72时取等号，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1tan A ＋1tan B ＋1tan C min＝273，故选A.]条件不等式的最值问题，常通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．在转化过程中相应知识起到穿针连线的作用．1.已知a ＞0，b ＞0，若不等式3a ＋1b ≥ma ＋3b恒成立，则m 的最大值为( )A ．9B ．12C ．18D ．24B [由3a ＋1b ≥m a ＋3b ，得m ≤(a ＋3b )⎝ ⎛⎭⎪⎫3a ＋1b＝9b a ＋ab ＋6.又9b a ＋a b ＋6≥29＋6＝12(当且仅当9b a ＝ab ，即a ＝3b 时等号成立)， ∴m ≤12，∴m 的最大值为12.]2．两圆x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0和x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0恰有一条公切线，若m ∈R ，n ∈R ，且mn ≠0，则4m 2＋1n 2的最小值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 D [由题意可知两圆内切，x 2＋y 2－2my ＋m 2－1＝0化为x 2＋(y －m )2＝1，x 2＋y 2－4nx ＋4n 2－9＝0化为(x －2n )2＋y 2＝9，故4n 2＋m 2＝3－1＝2，即4n 2＋m 2＝4，4m 2＋1n 2＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫4m 2＋1n 2(4n 2＋m 2)＝2＋4n 2m 2＋m 24n 2≥2＋24n 2m 2·m 24n 2＝4.]3．设等差数列{a n }的公差是d ，其前n 项和是S n (n ∈N *)，若a 1＝d ＝1，则S n ＋8an 的最小值是________．92[a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ，S n ＝n （1＋n ）2，∴S n ＋8a n ＝n （1＋n ）2＋8n＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋16n ＋1≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫2n ·16n ＋1＝92，当且仅当n ＝4时取等号． ∴S n ＋8a n的最小值是92.]。

专题1-1 基本不等式归类(16题型+解题攻略)-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练含答案

A ．x ＋1x(x >0)的最小值是2B ．2254x x ++的最小值是2C ．2222x x ++的最小值是2D ．若x >0，则2－3x －4x的最大值是2－43【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式证明过程正确的是（）A ．若,R a b Î，则22b a b a a b a b+³×=B ．若x ＞0，y ＞0，则lg lg 2lg lg x y x y +³×C ．若x ＜0，则4x x+424x x³-×=-D ．若x ＜0，则222222x x x x --+>×=【变式1-3】（2022秋·广东·高三深圳市宝安中学（集团）校考）在下列函数中，最小值是22的是（）A ．()20y x x x =+¹B ．()10y x x x=+>C ．22233y x x =+++D ．2xxy e e =+题型02 基础模型：倒数型【解题攻略】倒数型：1t t +，或者b at t+容易出问题的地方，在于能否“取等”,如2sin sin ，其中锐角q q q +，22155x x +++【典例1-1】（2022·浙江杭州·杭州高级中学校考模拟预测）已知,,a b c R Î且0,++=>>a b c a b c ，则22a c ac+的取值范围是（）A ．[)2,+¥B ．(],2-¥-C ．5,22æù--çúèûD ．52,2æùçúèû【典例1-2】（2020下·浙江衢州·高三统考）已知ABC V 的面积为23，3A p=，则4sin 2sin sin sin 2sin sin C B BC B C+++的最小值为（）A ．162-B ．162+C ．61-D ．61+【变式1-1】（2021上·全国·高三校联考阶段练习）已知1,,,12a b c éùÎêúëû，则2222a b c ab bc+++的取值范围是（）．A ．[]2,3B ．5,32éùêúëûC ．52,2éùêúëûD ．[]1,3【变式1-2】（2020上·河南·高三校联考阶段练习）函数22621x y x -=-的最小值为（）A ．2B ．4C ．6D ．8【变式1-3】（2022上·上海徐汇·高三上海市第二中学校考阶段练习）若()2sin 3sin f x x t x=+++(x,t R Î)最大值记为()g t ,则()g t 的最小值为A ．0B ．14C ．23D ．34题型03 常数代换型【解题攻略】利用常数11m m⨯=代换法，可以代通过“分子分母相约和相乘”，相约去或者构造出“倒数”关系。

高一不等式知识点+例题+练习

科教学设计不等式一．考试内容：不等式.不等式的基本性质.不等式的证明.不等式的解法.含绝对值的不等式.二．考试要求：(1)理解不等式的性质及其证明.(2)掌握两个(不扩展到三个)正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用.(3)掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式. (4)掌握简单不等式的解法.(5)理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │【注意】不等式在数学的各个分支中都有广泛的应用，同时还是继续学习高等数学的基础.纵观历年试题，涉及不等式内容的考题大致可分为以下几类：①不等式的证明； ②解不等式；③取值范围的问题；④应用题.三．基础知识: 1.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）柯西不等式22222()()(),,,,.a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈（5）b a b a b a +≤+≤-.2.极值定理已知y x ,都是正数，则有（1）若积xy 是定值p ，则当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）若和y x +是定值s ，则当y x =时积xy 有最大值241s . 推广已知R y x ∈,，则有xy y x y x 2)()(22+-=+ （1）若积xy 是定值,则当||y x -最大时,||y x +最大；当||y x -最小时,||y x +最小.（2）若和||y x +是定值,则当||y x -最大时, ||xy 最小；当||y x -最小时, ||xy 最大.3.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间. 121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.4.含有绝对值的不等式当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.5.指数不等式与对数不等式(1)当1a >时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔>;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x aa f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩四．基本方法和数学思想1.掌握不等式性质，注意使用条件；2.掌握几类不等式（一元一次、二次、绝对值不等式、简单的指数、对数不等式）的解法，尤其注意用分类讨论的思想解含参数的不等式；勿忘数轴标根法，零点分区间法； 3.掌握用均值不等式求最值的方法：在使用a+b ≥ab 2(a>0,b>0)时要符合“一正二定三相等”；注意均值不等式的一些变形，如2222)2(;)2(2b a ab b a b a +≤+≥+；4.不等式的证明方法.在其他知识的应用. 如数列中不等式的证明方法.构造函数证明不等式的思想和方法.五．高考题回顾1.（福建卷）下列结论正确的是 ( B )A ．当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且B ．21,0≥+>xx x 时当C ．xx x 1,2+≥时当的最小值为2 D ．当xx x 1,20-≤<时无最大值 2. （辽宁卷）在R 上定义运算).1(:y x y x -=⊗⊗若不等式1)()(<+⊗-a x a x 对任意实数x 成立，则( C )A ．11<<-aB ．20<<aC ．2321<<-a D ．2123<<-a 3. (全国卷Ⅰ) 设10<<a ，函数)22(log )(2--=x x a a a x f ，则使0)(<x f 的x 的取值范围是（）（A ）)0,(-∞ （B ）),0(+∞（C ）)3log ,(a -∞ （D ）),3(log +∞a4. (重庆卷)不等式组⎩⎨⎧>-<-1)1(log 2|2|22x x 的解集为 ( )(A) (0,3) (B) (3,2)；(C) (3,4)；(D) (2,4)5. （04年辽宁卷.2）对于01a <<，给出下列四个不等① 1log (1)log (1)a a a a+<+ ②1log (1)log (1)a a a a+>+③111aaaa++< ④111aaaa++>其中成立的是（）.A ．①与③B ．①与④C ．②与③D ．②与④6. （04年全国卷一.文理12）2222221,2,2,a b b c c a +=+=+=则ab bc ca ++的最小值为（）.A 12B ．12 C ． 12- D ．127.若x,y 是正数,则2211()()22x y y x+++的最小值为( ) A.3 B.72 C. 4 D. 928. 04年湖南卷.理7）设a ＞0, b ＞0，则以下不等式中不恒成立．．．．的是（）. A. 11()()a b a b++≥4 B. 33a b +≥22abC. 222a b ++≥22a b +D.9.(江西卷）已知实数a 、b 满足等式,)31()21(b a =下列五个关系式： ①0<b <a②a <b <0 ③0<a <b ④b <a <0 ⑤a =b其中不可能成立的关系式有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10.解关于x 的不等式20x ax a -<- 11.已知函数x x x f -+=)1ln()(，x x x g ln )(=.（Ⅰ）求函数)(x f 的最大值；（Ⅱ）设b a <<0，证明2ln )()2(2)()(0a b ba gb g a g -<+-+<.能力测试题(本卷共150分，考试时间120分钟)一、选择题(本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列命题中正确的是( )A ．a ＞b ⇒ac 2＞bc 2B ．a ＞b ⇒a 2＞b 2C ．a ＞b ⇒a 3＞b 3D ．a 2＞b 2⇒a ＞b2．设M ＝2a (a －2)＋3，N ＝(a －1)(a －3)，a ∈R ，则有( ) A ．M ＞N B ．M ≥N C ．M ＜N D ．M ≤N3．当|x |≤1时，函数y ＝ax ＋2a ＋1的值有正也有负，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－13B ．a ≤－1C ．－1<a <－13D ．－1≤a ≤－134．二次不等式ax 2＋bx ＋1>0的解集为{x |－1<x <13}，则ab 的值为( )A ．－6B ．6C ．－5D ．55．已知全集U ＝R ，且A ＝{x ||x －1|＞2}，B ＝{x |x 2－6x ＋8＜0}，则(∁U A )∩B 等于( )A ．[－1,4)B ．(2,3)C ．(2,3]D ．(－1,4)6．函数y ＝3xx 2＋x ＋1(x ＜0)的值域是( )A ．(－1,0)B ．[－3,0)C ．[－3,1]D ．(－∞，0)7．当x ≥0时，不等式(5－a )x 2－6x ＋a ＋5>0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(－4,4)C ．[10，＋∞)D ．(1,10]8．若0＜α＜β＜π4，sin α＋cos α＝a ，sin β＋cos β＝b ，则( )A ．a ＜bB ．a ＞bC ．ab ＜1D ．ab ＞29．(x ＋2y ＋1)(x －y ＋4)＜0表示的平面区域为( )10．若a >0，b >0，则不等式－b <1x<a 等价于( )A ．－1b <x <0或0<x <1aB ．－1a <x <1bC ．x <－1a 或x >1bD ．x <－1b 或x >1a11．对一切实数x ，不等式x 2＋a |x |＋1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是( )A ．[－2，＋∞)B ．(－∞，－2)C ．[－2,2]D ．[0，＋∞)12.函数y ＝f (x )的图象是以原点为圆心、1为半径的两段圆弧，如图所示．则不等式f (x )>f (－x )＋x 的解集为( )A.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪(0,1] B ．[－1,0)∪⎝⎛⎭⎫0，255C.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪⎝⎛⎭⎫0，255D.⎣⎡⎭⎫－1，－255∪⎝⎛⎦⎤255，1二、填空题(本大题共4小题，把答案填在题中横线上)13．设点P (x ，y )在函数y ＝4－2x 的图象上运动，则9x ＋3y 的最小值为________．14．已知不等式axx －1＜1的解集为{x |x ＜1或x ＞2}，则a ＝________.15．设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y －2≤0，x ＋2y －5≥0，y －2≤0，则u ＝y x －xy 的取值范围是________．16．已知点A (53，5)，过点A 的直线l ：x ＝my ＋n (n >0)，若可行域⎩⎪⎨⎪⎧x ≤my ＋n x －3y ≥0y ≥0的外接圆的直径为20，则实数n 的值是________．三、解答题(本大题共6小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．已知a >0，b >0，且a ≠b ，比较a 2b ＋b 2a与a ＋b 的大小．18．求z ＝3x －2y 的最大值和最小值，式中的x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋21≥0，x －3y ＋7≤0，2x ＋y －7≤0.19．若不等式x 2＋ax ＋1≥0对于一切x ∈(0，12]成立，求a 的取值范围．20．某化工厂生产甲、乙两种肥料，生产1车皮甲种肥料能获得利润10000元，需要的主要原料是磷酸盐4吨，硝酸盐18吨；生产1车皮乙种肥料能获得利润5000元，需要的主要原料是磷酸盐1吨，硝酸盐15吨．现库存有磷酸盐10吨，硝酸盐66吨，在此基础上生产这两种肥料．问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？21．整改校园内一块长为15 m ，宽为11 m 的长方形草地(如图A)，将长减少1 m ，宽增加1 m(如图B)．问草地面积是增加了还是减少了？假设长减少x m ，宽增加x m(x >0)，试研究以下问题：x 取什么值时，草地面积减少？ x 取什么值时，草地面积增加？22．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R )满足：对任意实数x ，都有f (x )≥x ，且当x ∈(1,3)时，有f (x )≤18(x ＋2)2成立．(1)证明：f (2)＝2；(2)若f (－2)＝0，求f (x )的表达式；(3)设g (x )＝f (x )－m 2x ，x ∈[0，＋∞)，若g (x )图象上的点都位于直线y ＝14的上方，求实数m 的取值范围．。

《基本不等式》知识点及题型总结

基本不等式一、考点、热点回顾 1．基本不等式：ab ≤a ＋b 2 (1)基本不等式成立的条件：a >0，b >0.(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．2．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝⎛⎭⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b .3．算术平均数与几何平均数设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知x >0，y >0，则(1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值2p .(简记：积定和最小)(2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值p 24.(简记：和定积最大) 知识拓展不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f (x )在区间D 上存在最小值，则不等式f (x )>A 在区间D 上恒成立⇔f (x )min >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最大值，则不等式f (x )<B 在区间D 上恒成立⇔f (x )max <B (x ∈D )．(2)能成立问题：若f (x )在区间D 上存在最大值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )>A 成立⇔f (x )max >A (x ∈D )；若f (x )在区间D 上存在最小值，则在区间D 上存在实数x 使不等式f (x )<B 成立⇔f (x )min <B (x ∈D )．(3)恰成立问题：不等式f (x )>A 恰在区间D 上成立⇔f (x )>A 的解集为D ；不等式f (x )<B 恰在区间D 上成立⇔f (x )<B 的解集为D .二、典型例题例1、设0a b ，则下列不等式中正确的是（）A ．a ＜b ＜＜ B. a ＜＜＜bC ．a ＜＜b ＜ D ．＜a ＜＜b变式训练1、已知等比数列的各项均为正数，公比0＜q ＜1，设392a a P +=，Q =，则a 3，a 9，P 与Q 的大小关系是（）A ．a 3＞P ＞Q ＞a 9 B. a 3＞Q ＞P ＞a 9C ．a 9＞P ＞a 3＞QD ．P ＞Q ＞a 3＞a 9考点二、利用基本不等式求最值例2、(1)已知0<x <1，则x (4－3x )取得最大值时x 的值为________．(2)函数y ＝x 2＋2x －1(x >1)的最小值为________．（3）设a ＞0，b ＞0，且21a b +=，则11a b+的最小值为。

2.2 第2课时基本不等式的综合应用(课件)

经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
跟踪训练6
x 元）
某商品进货价为每件 50 元，
经市场调查得知，
当销售单价（
在区间 50,80
时，每天售出的件数 P
为每件多少元？
105
x 40
2
．若想每天获得的利润最大，销售价格应定
经典例题
题型六
利用基本不等式解决实际问题
解：设销售价格定为每件 x(50≤x≤80)元，每天获得利润为 y 元，则
2x
思路点拨：利用基本不等式求最值要满足“一正”
、
“二定”
、
“三相等”
，现在
1

1
x<0，
0 ，通过变形 y x
2 再利用基本不等式求最值。
2x
2 x

解：∵x<0，∴
通过变形，
∵
∴
当且仅当
，即
时，等号成立，取得最大值
。
经典例题
题型二
2x
2
解： y＝ 2
＝ 1.
x ＋1
x＋
x
∵x＞0，
1
1
∴x＋ ≥2 x· ＝2，
x
x
2
∴0＜y≤2＝1，
1
当且仅当 x＝x ，即 x＝1 时，等号成立．故 y 的最大值为 1.
经典例题
题型五
变形构造定值—常值代换法“1”的代换
1 1
,
例 5 已知a 0, b 0, a b 2, 求的最小值。
＋ (x － 3) ＋ 3 ＝－ 3－x
x－3
x－3

一轮复习专题34 不等式(知识梳理)

专题34不等式（知识梳理）一、不等式的有关概念1、不等式的定义：用数学符号“≠、>、<、≥、≤”连接的两个数或代数式表示不等关系的式子叫不等式。

不等式的定义所含的两个要点：(1)不等符号<、≤、>、≥或≠；(2)所表示的关系是不等关系。

2、不等式b a ≥的含义：不等式b a ≥应读作“a 大于或者等于b ”，其含义是指“或者b a >，或者b a =”，等价于“a 不小于b ，即若b a >或b a =之中有一个正确，则b a ≥正确。

不等式中的文字语言与符号语言之间的转换：大于大于等于小于小于等于至少至多不少于不多于>≥<≤例1-1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)某隧道入口竖立着“限高5.4米”的警示牌，是指示司机要安全通过隧道，应使车的整体高度h 满足关系为5.4≤h 。

(√)(2)用不等式表示“a 与b 的差是非负数”为0>-b a 。

(×)(3)不等式2≥x 的含义是指x 不小于2。

(√)(4)若b a <或b a =之中有一个正确，则b a ≤正确。

(√)【解析】(1)∵“限高5.4米”即为“高度不超过5.4米”。

不超过用“≤”表示，故此说法正确。

(2)∵“非负数”即为“不是负数”，∴0≥-b a ，故此说法错误。

(3)∵不等式2≥x 表示2>x 或2=x ，即x 不小于2，故此说法是正确的。

(4)∵不等式b a ≤表示b a <或b a =，故若b a <或b a =中有一个正确，则b a ≤一定正确。

二、实数比较大小的依据与方法1、实数的两个特征(1)任意实数的平方不小于0，即R a ∈⇔02≥a 。

(2)任意两个实数都可以比较大小，反之，可以比较大小的两个数一定是实数。

2、实数比较大小的依据(1)如果b a -是正数，那么b a >；如果b a -等于零，那么b a =；如果b a -是负数，那么b a <。

不等式知识点总结

不等式知识点总结不等式知识点总结上学的时候，相信大家一定都接触过知识点吧！知识点是传递信息的基本单位，知识点对提高学习导航具有重要的作用。

你知道哪些知识点是真正对我们有帮助的吗？以下是小编收集整理的不等式知识点总结，仅供参考，欢迎大家阅读。

不等式知识点总结篇1不等式：①用符号〉，=，〈号连接的式子叫不等式。

②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。

③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。

④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。

不等式的解集：①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。

②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

③求不等式解集的过程叫做解不等式。

一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式组：①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。

②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。

③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。

一元一次不等式的符号方向：在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，他是随着你加或乘的运算改变。

在不等式中，如果加上同一个数(或加上一个正数)，不等式符号不改向;例如：AB，A+CB+C在不等式中，如果减去同一个数(或加上一个负数)，不等式符号不改向;例如：AB，A-CB-C在不等式中，如果乘以同一个正数，不等号不改向;例如：AB，AxCBxC(C0)在不等式中，如果乘以同一个负数，不等号改向;例如：AB，AxC 如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么不等式乘以的数就不等为0，否则不等式不成立。

不等式知识点总结篇21.不等式性质比较大小方法：(1)作差比较法(2)作商比较法不等式的基本性质①对称性：a>bb>a②传递性:a>b，b>ca>c③可加性:a>ba+c>b+c④可积性:a>b，c>0ac>bc⑤加法法则:a>b，c>da+c>b+d⑥乘法法则：a>b>0，c>d>0ac>bd⑦乘方法则：a>b>0，an>bn(n∈N)⑧开方法则：a>b>02.算术平均数与几何平均数定理：(1)如果a、b∈R，那么a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号)(2)如果a、b∈R+，那么(当且仅当a=b时等号)如果为实数，则重要结论(1)如果积xy是定值P，那么当x=y时，和x+y有最小值2;(2)如果和x+y是定值S，那么当x=y时，和xy有最大值S2/4。

高考数学专题--不等式

高考数学专题--不等式———————主干整合·归纳拓展———————[第1步▕ 核心知识再整合]1．在证明不等式的各种方法中，作差比较法是一种最基本、最重要的方法，它是利用不等式两边的差是正数还是负数来证明不等式，其应用非常广泛，一定要熟练掌握．2．解不等式的过程，实质上是不等式等价转化的过程．因此在学习中理解保持同解变形是解不等式应遵循的基本原则．转化的方法是：超越式、分式、整式(高次)、整式(低次)、一次(或二次)不等式．其中准确熟练求解一元二次(一次)不等式是解其他不等式的基础，这体现了转化与化归的数学思想．3．对于公式a ＋b ≥2ab ，ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，要理解它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab 和a ＋b 的转化关系．4．在应用均值定理求最值时，要把握定理成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”．若忽略了某个条件，就会出现错误．5．平面区域的确定方法是“直线定界，特殊点定域”，二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的半平面的交集．确定平面区域中单个变量的范围、整点个数等，只需把区域画出来，结合图形通过计算解决．线性目标函数z ＝ax ＋by 中的z 不是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，把目标函数化为y ＝－a b x ＋z b 可知zb 是直线ax ＋by ＝z 在y 轴上的截距，要根据b 的符号确定目标函数在什么情况下取得最大值、什么情况下取得最小值．6．含有绝对值的不等式常用的方法是：(1)由定义分段讨论；(2)利用绝对值不等式的性质；(3)平方；(4)利用绝对值的几何意义．[第2步▕ 高频考点细突破]【例1】已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x －y ≤0，x ＋y －5≥0，y －4≤0，若不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立，则实数a 的最小值是________．[解析] 可行域为一个三角形ABC 及其内部(图略)，其中A (2,4)，B (1,4)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，103，因此y x ∈[k OA ，k OB ]＝[2,4]，因为y x ＋x y 在[2,4]上单调递增，所以y x ＋x y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤52，174，不等式a (x 2＋y 2)≥(x ＋y )2恒成立等价于a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋y 2x 2＋y 2max ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋2y x ＋x ymax＝95⇒a min ＝95. [答案]95[规律方法] 这是简单线性规划的应用的基本题型．基本思路是：画、移、解、代．技巧是：往往在“角点”处取得最值，直接代入点的坐标即可，关键点是理解目标函数的几何意义． [举一反三]若实数x ，y 满足⎩⎨⎧2x ＋y ≤4，x ＋3y ≤7，x ≥0，y ≥0，则z ＝3x ＋2y 的最大值为________．7 [作出不等式组对应的平面区域如图：(阴影部分)．由z ＝3x ＋2y 得y ＝－32x ＋12z ，平移直线y ＝－32x ＋12z ，由图象可知当直线y ＝－32x ＋12z 经过点A 时，直线y ＝－32x ＋12z 的截距最大，此时z 最大．由⎩⎨⎧2x ＋y ＝4，x ＋3y ＝7，解得A (1,2)，代入目标函数z ＝3x ＋2y 得z ＝3×1＋2×2＝7. 即目标函数z ＝3x ＋2y 的最大值为7.【例2】已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥x ，x ＋y ≤2x ≥a ，，若z ＝3x ＋y 的最大值为M ，最小值为m ，且M ＋m ＝0，则实数a 的值为________．[解析]画出不等式组⎩⎨⎧y ≥xx ＋y ≤2x ≥a表示的区域如图，结合图形可以看出当动直线y ＝－3x ＋z 经过点A (a ，a )和B (1,1)时，z ＝3x ＋y 分别取最小值m ＝4a 和最大值m ＝4，由题设可得4a ＋4＝0，所以a ＝－1.[答案] －1[规律方法] 尝试画出“可行域”，通过平移直线确认“最优解”，建立参数的方程． [举一反三]实数x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为________.8 [如图，约束条件表示的可行域应该是△ABC 内部(含边界)(否则可行域不存在)，作直线l ：x －y ＝0，当把直线l 向上平移时，z 减小，因此其最小值点是直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点，由⎩⎨⎧y ＝2x －1x －y ＝－2得B (3,5)，代入x ＋y＝m 得m ＝8.]【例3】若函数y ＝tan θ＋sin 2θ⎝⎛⎭⎪⎫0<θ<2，则函数y 的最小值为________．[解析] ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴tan θ>0.y ＝tan θ＋cos 2θ＋1sin 2θ＝tan θ＋2cos 2θ2sin θcos θ＝tan θ＋1tan θ≥2tan θ·1tan θ＝2，当且仅当tan θ＝1时取等号．因此y 的最小值为2.[答案] 2[规律方法] 应用基本不等式，应注意“一正、二定、三相等”，缺一不可．灵活的通过“拆、凑、代(换)”，创造应用不等式的条件，是解答此类问题的技巧；忽视等号成立的条件，是常见错误之一． [举一反三]已知正数a ，b 满足1a ＋9b＝ab －5，则ab 的最小值为________．36 [1a ＋9b ＝ab －5⇒ab －5≥29ab⇒(ab )2－5ab －6≥0⇒ab ≥6⇒ab≥36，当且仅当b ＝9a 时取等号，因此ab 的最小值为36.]【例4】 f (x )≤0的解集为[]－1，n .(1)当a >0时，解关于x 的不等式：ax 2＋n ＋1>(m ＋1)x ＋2ax ；(2)是否存在实数a ∈(0,1)，使得关于x 的函数y ＝f (a x )－3a x ＋1(x ∈[1,2])的最小值为－5？若存在，求实数a 的值；若不存在，说明理由．[解] (1)由不等式mx 2－2x －3≤0的解集为[]－1，n 知，关于x 的方程mx 2－2x －3＝0的两根为－1和n ，且m >0，由根与系数关系，得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋n ＝2m，1n ＝－3m ，∴⎩⎨⎧m ＝1，n ＝3.所以原不等式化为(x －2)(ax －2)>0，①当0<a <1时，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，且2<2a ，解得x >2a 或x <2；②当a ＝1时，原不等式化为(x －2)2>0，解得x ∈R 且x ≠2；③当a >1时，原不等式化为(x －2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a >0，且2>2a ，解得x <2a 或x >2；综上所述：当0<a ＜1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >2a或x <2；当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠2}；当a >1时，原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >2或x <2a . (2)假设存在满足条件的实数a ，由(1)得：m ＝1，f (x )＝x 2－2x －3，y ＝f (a x )－3a x ＋1＝a 2x －(3a ＋2)a x －3.令a x ＝t (a 2≤t ≤a )，则y ＝t 2－(3a ＋2)t －3(a 2≤t ≤a )，对称轴t ＝3a ＋22，因为a ∈(0,1)，所以a 2<a <1,1<3a ＋22<52，所以函数y ＝t 2－(3a ＋2)t －3在[]a 2，a 上单调递减，所以当t ＝a 时，y 的最小值为y ＝－2a 2－2a －3＝－5，解得a ＝5－12. [规律方法] 应用导数研究函数的单调性、极值(最值)、证明不等式，解题格式明确、规范，基本思路清晰，能使问题解决的领域更宽广．解题过程中，注意应用转化与化归思想，化生为熟、化难为易、化繁为简，是解决问题的基本方法． [举一反三]已知函数f (x )＝|x －1|，g (x )＝－x 2＋6x －5(x ∈R )． (1)若g (x )≥f (x )，求x 的取值范围； (2)求g (x )－f (x )的最大值. [解] (1)当x ≥1时，f (x )＝x －1，由g (x )≥f (x )，得－x 2＋6x －5≥x －1，整理得(x －1)(x －4)≤0，所以x ∈[1,4]；当x <1时，f (x )＝1－x ，由g (x )≥f (x )，得－x 2＋6x －5≥1－x ，整理得(x －1)(x －6)≤0，所以x ∈[1,6]，由⎩⎨⎧x <1，1≤x ≤6 ，得x ∈∅，综上x 的取值范围是[1,4]．(2)由(1)知，g (x )－f (x )的最大值必在[1,4]上取到，所以g (x )－f (x )＝－x 2＋6x －5－(x －1)＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －522＋94≤94，所以当x ＝52时，g (x )－f (x )取到最大值为94.[第3步▕ 高考易错明辨析]1．简单线性规划问题，扩大(缩小)可行域的范围例、已知1≤x －y ≤2且2≤x ＋y ≤4求4x －2y 的范围． [错解] 由于1≤x －y ≤2，① 2≤x ＋y ≤4；② ①＋②得3≤2x ≤6，③ ①×(－1)＋③得0≤2y ≤3，④ ③×2＋④×(－1)得3≤4x －2y ≤12. [错解分析] 可行域范围扩大了． [正解] 线性约束条件是：⎩⎨⎧1≤x －y ≤2，2≤x ＋y ≤4，令z ＝4x －2y ，画出可行域如图所示，由⎩⎨⎧ x －y ＝1x ＋y ＝2 得A 点坐标(1.5,0.5)，此时z ＝4×1.5－2×0.5＝5.由⎩⎨⎧x －y ＝2x ＋y ＝4得B 点坐标(3,1)，此时z ＝4×3－2×1＝10.∴5≤4x －2y ≤10.2．简单线性规划问题，理解题意错误例、已知⎩⎨⎧7x －5y －23≤0，x ＋7y －11≤0，4x ＋y ＋10≥0，求x 2＋y 2的最值．[错解]不等式组⎩⎨⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0表示的平面区域如图所示△ABC 的内部(包括边界)，令z ＝x 2＋y 2，由⎩⎨⎧ 7x －5y －23＝0x ＋7y －11＝0得A 点坐标(4,1)，此时z ＝ x 2＋y 2＝42＋12＝17，由⎩⎨⎧7x －5y －23＝04x ＋y ＋10＝0得B 点坐标(－1，－6)，此时z ＝ x 2＋y 2＝(－1)2＋(－6)2＝37，由⎩⎨⎧x ＋7y －11＝04x ＋y ＋10＝0得C 点坐标(－3,2)，此时z ＝ x 2＋y 2＝(－3)2＋22＝13， ∴当⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－6时，x 2＋y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧x ＝－3y ＝2时，x 2＋y 2取得最小值13.[错解分析] 误将求可行域内的点到原点的距离的平方的最值误认为是求三点A ，B ，C 到原点的距离的平方的最值．[正解]不等式组⎩⎨⎧7x －5y －23≤0x ＋7y －11≤04x ＋y ＋10≥0表示的平面区域如图所示△ABC 的内部(包括边界)，令z ＝x 2＋y 2，则z 即为点(x ，y )到原点的距离的平方．由⎩⎨⎧ 7x －5y －23＝0x ＋7y －11＝0得A 点坐标(4,1)，此时z ＝x 2＋y 2＝42＋12＝17，由⎩⎨⎧7x －5y －23＝04x ＋y ＋10＝0得B 点坐标(－1，－6)，此时z ＝x 2＋y 2＝(－1)2＋(－6)2＝37，由⎩⎨⎧x ＋7y －11＝04x ＋y ＋10＝0得C 点坐标(－3,2)，此时z ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋22＝13，而在原点处，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，此时z ＝x 2＋y 2＝02＋02＝0， ∴当⎩⎨⎧x ＝－1y ＝－6时，x 2＋y 2取得最大值37，当⎩⎨⎧x ＝0y ＝0时，x 2＋y 2取得最小值0.3．应用基本不等式，忽视等号成立的条件例、已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值．[错解] ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4≥2ab ＋2ab ＋4≥4ab ·1ab＋4＝8，所以，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值是8.[错解分析] 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2＋b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a ＝b ＝12，第二次等号成立的条件是ab ＝1ab，显然，这两个条件是不能同时成立的．因此，8不是最小值．[正解] ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝[(a ＋b )2－2ab ]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a 2b 2＋4，由ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b 2≥16, 1＋1a 2b 2≥17，∴原式≥12×17＋4＝252 (当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，所以，⎝⎛⎭⎪⎫a ＋1a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋1b 2的最小值是252. ———————专家预测·巩固提升———————1．已知正实数x ，y 满足x ＋2x ＋3y ＋4y＝10，则xy 的取值范围为________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，83 [设xy ＝t ，则y ＝t x ，所以10＝x ＋2x ＋3y ＋4y ＝x ＋2x ＋3t x ＋4x t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4t x＋()2＋3t 1x≥2⎝⎛⎭⎪⎫1＋4t 2＋3t .即3t 2－11t ＋8≤0，解之得1≤t ≤83.]2．已知函数的定义域是[－2，＋∞)且f (4)＝f (－2)＝1, f ′(x )为f (x )的导函数，且f ′(x )的图象如图7－1所示，则不等式组⎩⎨⎧x ≥0y ≥0f 2x ＋y1所围成的平面区域的面积是________.图7－14 [由导函数的图象得到f (x )在[－2,0]递减；在[0，＋∞)递增，∵f (4)＝f (－2)＝1， ∴f (2x ＋y )≤1，－2≤2x ＋y ≤4，∴⎩⎨⎧ x ≥0y ≥0f 2x ＋y 1⇒⎩⎨⎧ x ≥0y ≥0－2≤2x ＋y ≤4 表示的平面区域如下：所以平面区域的面积为12×2×4＝4.] 3．已知函数f (x )的定义域是[－3，＋∞)且f (6)＝2，f ′(x )为f (x )的导函数，f ′(x )的图象如图7－2所示，若正数a ，b 满足f (2a ＋b )<2，则b ＋3a －2的取值范围是________．图7－2⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪()3，＋∞ [如图所示：f ′(x )≥0在[0，＋∞)上恒成立， ∴函数f (x )在[－3,0)是减函数，(0，＋∞)上是增函数，又∵f (2a ＋b )＜2＝f (6)，∴⎩⎨⎧ 2a ＋b >0，2a ＋b <6，画出平面区域令t ＝b ＋3a －2表示过定点(2，－3)的直线的斜率，如图所示：t ∈⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪()3，＋∞.] 4．已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧ x ≥0，x ＋y ≥1，y ≥0，则x 2＋4y 2的最小值是________． 45 [设x 2＋4y 2＝z (z >0)⇒x 2z ＋y 2z 4＝1，这个椭圆与可行域有公共点，只需它与线段x ＋y ＝1(0≤x ≤1)有公共点，把y ＝1－x 代入椭圆方程得5x 2－8x ＋4－z ＝0，由判别式Δ＝64－4×5(4－z )≥0得z ≥45，且x ＝45∈[0,1]时，z ＝45.] 强化训练：1．已知实数x ，y 满足⎩⎨⎧ x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13 [根据已知的不等式组画出可行域，如图阴影部分所示，则(x ，y )为阴影区域内的动点．d ＝x 2＋y 2可以看做坐标原点O 与可行域内的点(x ，y )之间的距离．数形结合，知d 的最大值是OA 的长，d 的最小值是点O 到直线2x ＋y －2＝0的距离．由⎩⎨⎧ x －2y ＋4＝0，3x －y －3＝0可得A (2,3)，所以d max ＝22＋32＝13，d min ＝|－2|22＋12＝25.所以d 2的最小值为45，最大值为13.所以x 2＋y 2的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤45，13.] 2．不等式2x 2－x ＜4的解集为______． {x |－1＜x ＜2}()1，2 [∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22，∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.]3．已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是________.⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 [作出二次函数f (x )的图象，对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0，则有⎩⎨⎧ f m <0，fm ＋1<0，即⎩⎨⎧ m 2＋m 2－1<0，m ＋12＋m m ＋11<0，解得－22<m <0. 所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0.] [命题规律]在近年来的高考数学中，有关不等式的试题都占有较大的比重. 不仅考查有关不等式的基础知识、基本技能、基本思想方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力以及分析问题和解决问题的能力. 在题型上，填空题主要考查不等式的性质、解简单不等式、简单线性规划的应用、绝对值不等式、简单转化求参数范围、比较大小等；解答题主要考查基本不等式的应用、含参不等式的解法、求恒成立中的参数范围、证明不等式、最值型综合题以及实际应用题等. 试题常常是寓不等式的证明、解不等式、求参数范围于函数、数列、复数、三角、解析几何、立体几何、实际应用等问题之中，知识覆盖面广、综合性强、思维力度大、能力要求高，是高考数学思想、数学方法、考能力、考素质的主阵地. 从近几年数学试题得到启示：涉及不等式解法的题目，往往较为容易；对简单线性规划的应用的考查，不但具有连续性，而且其题型规律易于把握；对基本不等式的考查，较多的寓于综合题目之中．通过第二轮的专题复习，应注意在巩固基础知识、基本方法的基础上，强化记忆，熟化常见题型的解法，提升综合应用不等式解题的能力．。

不等式的基本性质l

a=b ∴ a±3=b±3 2 2 ∴ a ± ( x + 2 y) = b ± ( x + 2 y)
等式的基本性质1：等式的基本性质：
同一个数等式的两边都加上（或减去）等式的两边都加上（或减去）所得的结果仍是等式。或同一个整式，所得的结果仍是等式。
2、继续观察下面这几个式子，完成下面的填空。、继续观察下面这几个式子，完成下面的填空。 ∵ a=b ∴ 3a = 3b ∴
练习2,若 b<0，练习2,若a-b<0，则下列各式中一定成立 2, 的是（的是（ D） A.a>b
a C. < 0 b
B.ab>0 D.-a>D.-a>-b
例3，若x是任意实数，则下列不等式中，是任意实数，则下列不等式中，恒成立的是（恒成立的是（ D ） A.3x>2x C.3+x>2 B.3x2>2x2 D.3+x2>2
4、在－3＞－的两边都乘以可得、＞－4 ＞－的两边都乘以7可得
－21 ＞－ 28 。
。
＜ 5、在－8＜0 的两边都除以8 可得－1＜0 、＜的两边都除以
1、在不等式－8＜0的两边都除以－8可得 1＞0 、在不等式－＜的两边都除以的两边都除以－可得＞ 2、在不等式－3 x＜3的两边都除以－3可得、在不等式－＜的两边都除以的两边都除以－可得 4、在不等式 a 、
2. 对于 (2) 不等式的两边都乘以（或除以）不等式的两边都乘以（或除以）零. 同一个正数，不等号的方向不变. 同一个正数，不等号的方向不变若a<b且c>0, 则ac<bc(或a 或
是等式. a b 不等式的两边都乘以（或除以）若a=b,则ac=bc(或 = , c≠0) (3) 不等式的两边都乘以（或除以）则 c c 同一个负数，不等号的方向改变. 同一个负数， c 注意.

不等式的证明综合法

例题示范、学会应用
例2 已知a，b，c是不全相等的正数，求证
证明二比较法：
因为a,b,c是不全相等的正数．
所以
且三式不能全取“=” 号.所以即
综合法的思维特点是：由已知推出结论．用综合法证明不等式中常用的重要不等式有：
（
）
（a，b同号）
（
）
在证明不等式时,选择方法要适当,不要对某种方法抱定不放,要善于观察,根据题目的特征选择证题方法．
③综合法证明不等式
的逻辑关系是：
…
（已知A）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B）
④利用综合法由因导果证明不等式,就要揭示出条件与结论之间的因果关系,为此要着力分析已知与求证之间的差异和联系、不等式左右两端的差异和联系,在分析所证不等式左右两端的差异后,合理应用已知条件,进行有效的变换是证明不等式的关键．
那么，这批物资全部到达灾区的最短时间是多少？
• 3.用综合法证明不等式的依据是：l已知条件和不等式性质；2基本不等式．
• 4.能用综合法证明的不等式一般可用比较法证明,用综合法证明不等式的依据是基本不等式时,要注意定理的使用：P26——1、2
2．思考题：
若
，求证
3．研究性题：某市用37辆汽车往灾区运送一批救灾物资，假设以 v千米／小时的速度直达灾区．已知某市到灾区的公路线长400干米，为安全需要，两汽车间距不得小于千米．
例3 已知a1,a2,…,an∈R+,且 a1a2…an=1, 求证：1+a11+a2…1+an≧2n
这种不等式叫条件不等式
练习
1. 已知x,y是正数，求证
2．已知
，求证
3.已知x是正数,且x≠1,n∈N,

不等式基础l大综合

第三节 基本不等式

基本不等式

基本不等式

基本不等式及其应用（优秀经典专题及答案详解）

(完整版)高中数学基本不等式题型总结

第二节 基本不等式【高考文数专题复习——不等式 推理与证明 程序框图】

第一讲 不等式和绝对值不等式综合

基本不等式

专题1-1 基本不等式归类(16题型+解题攻略)-2024年高考数学二轮热点题型归纳与变式演练含答案

高一 不等式 知识点+例题+练习

《基本不等式》知识点及题型总结

2.2 第2课时 基本不等式的综合应用(课件)

一轮复习专题34 不等式(知识梳理)

不等式知识点总结

高考数学专题--不等式

不等式的基本性质l

不等式的证明综合法

第三节基本不等式

第二节基本不等式【高考文数专题复习——不等式推理与证明程序框图】

第一讲不等式和绝对值不等式综合

高一不等式知识点+例题+练习

2.2 第2课时基本不等式的综合应用(课件)