人教课标版高中数学必修1 第一章集合与函数概念集合

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人教课标版高中数学必修1第一章集合与函数概念集合课件1

跟踪训练 2 下列命题中正确命题的个数为( ①N 中最小的元素是 1； ②若 a∈N，则－a∉N； ③若 a∈N，b∈N，则 a＋b 的最小值是 2； ④|－ 3|∈Q. A．0 B．1 C．2 D．3
)
【解析】自然数集中最小的元素是 0 ，故 ①③ 不正确；若 a∈N，即 a 是自然数，当 a＝0 时，－a 仍为自然数，故②也不正确； 3是无理数，故④不正确．【答案】 A
方法归纳, 判断一组对象组成集合的依据判断给定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确的标准，对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素．
跟踪训练 1 下列各项中，不可以组成集合的是( ) A．所有的正数 B．等于 2 的数 C．接近于 0 的数 D．不等于 0 的偶数【解析】由于接近于 0 的数没有一个确定的标准，因此 C 中的对象不能构成集合．故选 C. 【答案】 C
【解析】 (1)不正确．因为“年轻人”没有明确的标准，不具有确定性，不能组成集合． 3 1 (2)不正确．根据互异性知，这个集合是由三个元素 1，2，2组成的． (3)正确．集合中的元素相同，只是次序不同，它们表示同一个集合． (4)不正确．方程(x－3)(x－2)2＝0 的解是 x1＝3，x2＝x3＝2，因此写成集合时只有 3 和 2 两个元素．【答案】 (3)
|巩固提升| 1．下面几个命题中正确命题的个数是( ) ①集合 N*中最小的数是 1； ②若－a∉N*，则 a∈N*； ③若 a∈N*，b∈N*，则 a＋b 最小值是 2； 2 ④x ＋4＝4x 的解集是{2,2}． A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】 N*是正整数集，最小的正整数是 1，故①正确；当 a＝0 时，－a∉N*，且 a∉N*，故②错；若 a∈N*，则 a 的最小值是 1，又 b∈N*，b 的最小值也是 1，当 a 和 b 都取最小值时，a＋b 取最小值 2，故③正确；由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．【答案】 C

人教版新课标高一数学必修一第一章集合与函数的概念 1..1 集合集合的运算教案及课后习题

微课程2：集合的运算子集真子集定义对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B中的元素，称集合A为集合B的子集若集合A⊆B，但存在元素x ∈B，且x∉A，称集合A是集合B的真子集符号语言若任意x∈A，有x∈B，则A⊆B。

若集合A⊆B，但存在元素x ∈B ，且x∉A，则A B表示方法A为集合B的子集，记作A⊆B或B⊇A。

A不是B的子集时，记作A B或B A。

若集合A是集合B的真子集，记作A B或B A。

性质①A⊆A ②∅⊆A③A⊆B，B⊆C⇒A⊆CA B，且B C⇒A C子集个数含n个元素的集合A的子集个数为n2含n个元素的集合A的真子集个数为n2－1空集不含任何元素的集合，记为∅。

空集是任何集合的子集，用符号语言表示为∅⊆A；若A非空（即A≠∅），则有∅A。

集合的运算：1. 并集的概念（1）自然语言表示：由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。

（2）符号语言表示：A∪B={x|x∈A，或x∈B}。

（3）图形语言（Venn图）表示：。

2. 交集的概念（1）自然语言表示：由属于集合A且属于集合B的所有元素所组成的集合，称为集合A与B的交集。

（2）符号语言表示：A∩B={x|x∈A，且x∈B}。

（3）图形语言表示（Venn图）：。

3. 补集的概念（1）自然语言表示：对于集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素所组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集。

（2）符号语言表示：A={x|x∈U，且x∉A}。

（3）图形语言表示（Venn图）：，阴影部分表示A。

【典例精析】例题1 判断下列说法是否正确，如果不正确，请加以改正。

（1）{∅}表示空集；（2）空集是任何集合的真子集；（3）{1，2，3}不是{3，2，1}；（4）{0，1}的所有子集是{0}，{1}，{0，1}；（5）如果A ⊇B 且A≠B ，那么B 必是A 的真子集；（6）A ⊇B 与B ⊆A 不能同时成立。

人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件

(1)y＝f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于y轴对称； (2)y＝－f(x)的图象与y＝f(x)的图象关于x轴对称； (3)y＝－f(－x)的图象与y＝f(x)的图象关于原点对称； (4)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y轴对称； (5)如果函数y＝f(x)对定义域内的一切x值，都满足 f(a＋x)＝f(a－x)，其中a是常数，那么函数y＝f(x)的图象关
①方程(※)有两不等实根⇔Δ>0，方程(※)有两相等
实根⇔Δ＝0，方程(※)无实根⇔Δ<0，方程(※)有实数解
⇔Δ≥0.
②方程(※)有零根⇔c＝0.
Δ≥0 ③ 方程 (※) 有两正根 ⇔ x1＋x2>0
x1x2>0
⇔较小的根 x＝
－b－ 2a
Δ >0 (a>0)
⇔－f(02)b>a>00
.
(2)集合 A 是直线 y＝x 上的点的集合，集合 B 是抛物线 y＝x2 的图象上点的集合，∴A∩B 是方程组yy＝＝xx2 的解为坐标的点的集合，∴A∩B＝{(0,0)，(1,1)}．
2．熟练地用数轴与Venn图来表达集合之间的关系与运算能起到事半功倍的效果．
[例2] 集合A＝{x|x<－1或x>2}，B＝{x|4x＋p<0}，若B A，则实数p的取值范围是________．
当 a≠0 时，应有 a＝1a，∴a＝±1.故选 D.
二、函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、最值及应用
1．解决函数问题必须第一弄清函数的定义域
[ 例 1] 函数 f(x) ＝ x2＋4x 的单调增区间为 ________．
[解析] 由x2＋4x≥0得，x≤－4或x≥0，又二次函数u ＝x2＋4x的对称轴为x＝－2，开口向上，故f(x)的增区间为 [0，＋∞)．

人教课标版高中数学必修1第一章集合与函数概念集合教案

⼈教课标版⾼中数学必修1第⼀章集合与函数概念集合教案课题：1.1集合－集合的概念（1）教学⽬的：（1）使学⽣初步理解集合的概念，知道常⽤数集的概念及记法（2）使学⽣初步了解“属于”关系的意义（3）使学⽣初步了解有限集、⽆限集、空集的意义教学重点：集合的基本概念及表⽰⽅法教学难点：运⽤集合的两种常⽤表⽰⽅法——列举法与描述法，正确表⽰⼀些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪内容分析：1．集合是中学数学的⼀个重要的基本概念在⼩学数学中，就渗透了集合的初步概念，到了初中，更进⼀步应⽤集合的语⾔表述⼀些问题在⼏何中⽤到的有点集⾄于逻辑，可以说，从开始学习数学就离不开对逻辑知识的掌握和运⽤，基本的逻辑知识在⽇常⽣活、学习、⼯作中，也是认识问题、研究问题不可缺少的⼯具这些可以帮助学⽣认识学习本章的意义，也是本章学习的基础把集合的初步知识与简易逻辑知识安排在⾼中数学的最开始，是因为在⾼中数学中，这些知识与其他内容有着密切联系，它们是学习、掌握和使⽤数学语⾔的基础例如，下⼀章讲函数的概念与性质，就离不开集合与逻辑本节⾸先从初中代数与⼏何涉及的集合实例⼊⼿，引出集合与集合的元素的概念，并且结合实例对集合的概念作了说明然后，介绍了集合的常⽤表⽰⽅法，包括列举法、描述法，还给出了画图表⽰集合的例⼦这节课主要学习全章的引⾔和集合的基本概念学习引⾔是引发学⽣的学习兴趣，使学⽣认识学习本章的意义本节课的教学重点是集合的基本概念集合是集合论中的原始的、不定义的概念在开始接触集合的概念时，主要还是通过实例，对概念有⼀个初步认识教科书给出的“⼀般地，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集”这句话，只是对集合概念的描述性说明教学过程：⼀、复习引⼊：1．简介数集的发展，复习最⼤公约数和最⼩公倍数，质数与和数；2．教材中的章头引⾔；3．集合论的创始⼈——康托尔（德国数学家）（见附录）；4．“物以类聚”，“⼈以群分”；5．教材中例⼦（P4）⼆、讲解新课：阅读教材第⼀部分，问题如下：（1）有那些概念？是如何定义的？（2）有那些符号？是如何表⽰的？（3）集合中元素的特性是什么？（⼀）集合的有关概念：由⼀些数、⼀些点、⼀些图形、⼀些整式、⼀些物体、⼀些⼈组成的.我们说，每⼀组对象的全体形成⼀个集合，或者说，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合，也简称集.集合中的每个对象叫做这个集合的元素.定义：⼀般地，某些指定的对象集在⼀起就成为⼀个集合． 1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在⼀起就形成⼀个集合（简称集）（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常⽤数集及记法（1）⾮负整数集（⾃然数集）：全体⾮负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集记作N *或N +{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z（4）有理数集：全体有理数的集合记作Q ,{}整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R{}数数轴上所有点所对应的=R 注：（1）⾃然数集与⾮负整数集是相同的，也就是说，⾃然数集包括数0（2）⾮负整数集内排除0的集记作N *或N + Q 、Z 、R 等其它数集内排除0的集，也是这样表⽰，例如，整数集内排除0 的集，表⽰成Z *3、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ? 4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出） 5、⑴集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q …… ⑵“∈”的开⼝⽅向，不能把a ∈A 颠倒过来写三、练习题：1、教材P 5练习1、22、下列各组对象能确定⼀个集合吗？（1）所有很⼤的实数（不确定）（2）好⼼的⼈（不确定）（3）1，2，2，3，4，5．（有重复）3、设a,b 是⾮零实数，那么bb aa +可能取的值组成集合的元素是_-2,0,2__4、由实数x,－x,｜x ｜,332,x x -所组成的集合，最多含（ A ）（A ）2个元素（B ）3个元素（C ）4个元素（D ）5个元素5、设集合G 中的元素是所有形如a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）的数，求证： (1) 当x ∈N 时, x ∈G;(2) 若x ∈G ，y ∈G ，则x ＋y ∈G ，⽽x1不⼀定属于集合G 证明(1)：在a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）中，令a=x ∈N,b=0,则x= x ＋0*2= a ＋b 2∈G,即x ∈G证明(2)：∵x ∈G ，y ∈G ，∴x= a ＋b 2（a ∈Z, b ∈Z ）,y= c ＋d 2（c ∈Z, d ∈Z ）∴x+y=( a ＋b 2)+( c ＋d 2)=(a+c)+(b+d)2 ∵a ∈Z, b ∈Z,c ∈Z, d ∈Z ∴(a+c) ∈Z, (b+d) ∈Z ∴x+y =(a+c)+(b+d)2 ∈G ，⼜∵211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-且22222,2ba bb a a ---不⼀定都是整数，∴211b a x +=＝2222222b a b b a a --+-不⼀定属于集合G四、⼩结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：（集合、元素、属于、不属于） 2．集合元素的性质：确定性，互异性，⽆序性 3．常⽤数集的定义及记法五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：⼋、附录：康托尔简介发疯了的数学家康托尔（Georg Cantor ，1845－1918）是德国数学家，集合论的创始者1845年3⽉3⽇⽣于圣彼得堡，1918年1⽉6⽇病逝于哈雷康托尔11岁时移居德国，在德国读中学1862年17岁时⼊瑞⼠苏黎世⼤学，翌年⼊柏林⼤学，主修数学，1866年曾去格丁根学习⼀学期1867年以数论⽅⾯的论⽂获博⼠学位年在哈雷⼤学通过讲师资格考试，后在该⼤学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授由于研究⽆穷时往往推出⼀些合乎逻辑的但⼜荒谬的结果(称为“悖论”)，许多⼤数学家唯恐陷进去⽽采取退避三舍的态度在1874—1876年期间，不到30岁的年轻德国数学家康托尔向神秘的⽆穷宣战他靠着⾟勤的汗⽔，成功地证明了⼀条直线上的点能够和⼀个平⾯上的点⼀⼀对应，也能和空间中的点⼀⼀对应这样看起来，1厘⽶长的线段内的点与太平洋⾯上的点，以及整个地球内部的点都“⼀样多”，后来⼏年，康托尔对这类“⽆穷集合”问题发表了⼀系列⽂章，通过严格证明得出了许多惊⼈的结论康托尔的创造性⼯作与传统的数学观念发⽣了尖锐冲突，遭到⼀些⼈的反对、攻击甚⾄谩骂有⼈说，康托尔的集合论是⼀种“疾病”，康托尔的概念是“雾中之雾”，甚⾄说康托尔是“疯⼦”来⾃数学权威们的巨⼤精神压⼒终于摧垮了康托尔，使他⼼⼒交瘁，患了精神分裂症，被送进精神病医院真⾦不怕⽕炼，康托尔的思想终于⼤放光彩1897年举⾏的第⼀次国际数学家会议上，他的成就得到承认，伟⼤的哲学家、数学家罗素称赞康托尔的⼯作“可能是这个时代所能夸耀的最巨⼤的⼯作”可是这时康托尔仍然神志恍惚，不能从⼈们的崇敬中得到安慰和喜悦1918年1⽉6⽇，康托尔在⼀家精神病院去世集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产⽣了探索⽆穷集和超穷数的兴趣康托尔肯定了⽆穷数的存在，并对⽆穷问题进⾏了哲学的讨论，最终建⽴了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础康托尔创⽴了集合论作为实数理论，以⾄整个微积分理论体系的基础17世纪⽜顿（I.Newton，1642－1727）与莱布尼茨（G.W.Leibniz，1646－1716）创⽴微积分理论体系之后，在近⼀⼆百年时间⾥，微积分理论所缺乏的逻辑基础和从19世纪开始，柯西（A.L.Cauchy，1789－1857）、魏尔斯特拉斯（K.Weierstrass，1815－1897）等⼈进⾏的微积分理论严格化所建⽴的极限理论克隆尼克（L.Kronecker，1823－1891），康托尔的⽼师，对康托尔表现了⽆微不⾄的关怀他⽤各种⽤得上的尖刻语⾔，粗暴地、连续不断地攻击康托尔达⼗年之久他甚⾄在柏林⼤学的学⽣⾯前公开攻击康托尔⼀个薪⾦较⾼、声望更⼤的教授职位使得康托尔想在柏林得到职位⽽改善其地位的任何努⼒都遭到挫折法国数学家彭加勒（H.Poi-ncare，1854－1912）：我个⼈，⽽且还不只我⼀⼈，认为重要之点在于，切勿引进⼀些不能⽤有限个⽂字去完全定义好的东西集合论是⼀个有趣的“病理学的情形”，后⼀代将把（Cantor）集合论当作⼀种疾病，⽽⼈们已经从中恢复过来了德国数学家魏尔（C.H.Her-mann Wey1，1885－1955）认为，康托尔关于基数的等级观点是雾上之雾菲利克斯．克莱因（F.Klein，1849－1925）不赞成集合论的思想H．A．施⽡兹，康托尔的好友，由于反对集合论⽽同康托尔断交从1884年春天起，康托尔患了严重的忧郁症，极度沮丧，神态不安，精神病时时发作，不得不经常住到精神病院的疗养所去变得很⾃卑，甚⾄怀疑⾃⼰的⼯作是否可靠他请求哈勒⼤学当局把他的数学教授职位改为哲学教授职位健康状况逐渐恶化，1918年，他在哈勒⼤学附属精神病院去世流星埃．伽罗华（E.Galois，1811－1832），法国数学家伽罗华17岁时，就着⼿研究数学中最困难的问题之⼀⼀般π次⽅程求解问题许多数学家为之耗去许多精⼒，但都失败了直到1770年，法国数学家拉格朗⽇对上述问题的研究才算迈出重要的⼀步伽罗华在前⼈研究成果的基础上，利⽤群论的⽅法从系统结构的整体上彻底解决了根式解的难题他从拉格朗⽇那⾥学习和继承了问题转化的思想，即把预解式的构成同置换群联系起来，并在阿贝尔研究的基础上，进⼀步发展了他的思想，把全部问题转化成或者归结为置换群及其⼦群结构的分析上同时创⽴了具有划时代意义的数学分⽀——群论，数学发展史上作出了重⼤贡献1829年，他把关于群论研究所初步结果的第⼀批论⽂提交给法国科学院科学院委托当时法国最杰出的数学家柯西作为这些论⽂的鉴定⼈在1830年1⽉18⽇柯西曾计划对伽罗华的研究成果在科学院举⾏⼀次全⾯的意见听取会然⽽，第⼆周当柯西向科学院宣读他⾃⼰的⼀篇论⽂时，并未介绍伽罗华的著作1830年2⽉，伽罗华将他的研究成果⽐较详细地写成论⽂交上去了以参加科学院的数学⼤奖评选，论⽂寄给当时科学院终⾝秘书J ．B ．傅⽴叶，但傅⽴叶在当年5⽉就去世了，在他的遗物中未能发现伽罗华的⼿稿1831年1⽉伽罗华在寻求确定⽅程的可解性这个问题上，⼜得到⼀个结论，他写成论⽂提交给法国科学院于群论的重要著作当时的数学家S ．K ．泊松为了理解这篇论⽂绞尽了脑汁尽管借助于拉格朗⽇已证明的⼀个结果可以表明伽罗华所要证明的论断是正确的，但最后他还是建议科学院否定它1832年5⽉30⽇，临死的前⼀夜，他把他的重⼤科研成果匆忙写成后，委托他的朋友薛伐⾥叶保存下来，从⽽使他的劳动结晶流传后世，造福⼈类年5⽉31⽇离开了⼈间死因参加⽆意义的决⽃受重伤1846年，他死后14年，法国数学家刘维尔着⼿整理伽罗华的重⼤创作后，⾸次发表于刘维尔主编的《数学杂志》上课题：1.1集合－集合的概念（2）教学⽬的：（1）进⼀步理解集合的有关概念，熟记常⽤数集的概念及记法（2）使学⽣初步了解有限集、⽆限集、空集的意义（3）会运⽤集合的两种常⽤表⽰⽅法教学重点：集合的表⽰⽅法教学难点：运⽤集合的列举法与描述法，正确表⽰⼀些简单的集合授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多媒体、实物投影仪教学过程：⼀、复习引⼊：上节所学集合的有关概念1、集合的概念（1）集合：某些指定的对象集在⼀起就形成⼀个集合（2）元素：集合中每个对象叫做这个集合的元素 2、常⽤数集及记法（1）⾃然数集：全体⾮负整数的集合记作N ，{} ,2,1,0=N（2）正整数集：⾮负整数集内排除0的集记作N *或N + ，{} ,3,2,1*=N（3）整数集：全体整数的集合记作Z , {} ，，，210±±=Z （4）有理数集：全体有理数的集合记作Q , {}所有整数与分数=Q （5）实数集：全体实数的集合记作R ，{}数数轴上所有点所对应的=R3、元素对于集合的⾪属关系（1）属于：如果a 是集合A 的元素，就说a 属于A ，记作a ∈A（2）不属于：如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作A a ?4、集合中元素的特性（1）确定性：按照明确的判断标准给定⼀个元素或者在这个集合⾥，或者不在，不能模棱两可（2）互异性：集合中的元素没有重复（3）⽆序性：集合中的元素没有⼀定的顺序（通常⽤正常的顺序写出） 5、（1）集合通常⽤⼤写的拉丁字母表⽰，如A 、B 、C 、P 、Q ……元素通常⽤⼩写的拉丁字母表⽰，如a 、b 、c 、p 、q …… （2）“∈”的开⼝⽅向，不能把a ∈A 颠倒过来写⼆、讲解新课：（⼆）集合的表⽰⽅法1、列举法：把集合中的元素⼀⼀列举出来，写在⼤括号内表⽰集合例如，由⽅程012=-x 的所有解组成的集合，可以表⽰为{-1，1} 注：（1）有些集合亦可如下表⽰：从51到100的所有整数组成的集合：{51，52，53，…，100} 所有正奇数组成的集合：{1，3，5，7，…}（2）a 与{a}不同：a 表⽰⼀个元素，{a}表⽰⼀个集合，该集合只有⼀个元素2、描述法：⽤确定的条件表⽰某些对象是否属于这个集合，并把这个条件写在⼤括号内表⽰集合的⽅法格式：{x ∈A| P （x ）}含义：在集合A 中满⾜条件P （x ）的x 的集合例如，不等式23>-x 的解集可以表⽰为：}23|{>-∈x R x 或23|{>-x x所有直⾓三⾓形的集合可以表⽰为：}|{是直⾓三⾓形x x注：（1）在不致混淆的情况下，可以省去竖线及左边部分如：{直⾓三⾓形}；{⼤于104的实数} （2）错误表⽰法：{实数集}；{全体实数}3、⽂⽒图：⽤⼀条封闭的曲线的内部来表⽰⼀个集合的⽅法4、何时⽤列举法？何时⽤描述法？⑴有些集合的公共属性不明显，难以概括，不便⽤描述法表⽰，只能⽤列举法如：集合},5,23,{2232y x x y x x +-+⑵有些集合的元素不能⽆遗漏地⼀⼀列举出来，或者不便于、不需要⼀⼀列举出来，常⽤描述法如：集合}1|),{(2+=x y y x ；集合{1000以内的质数}例集合}1|),{(2+=x y y x 与集合}1|{2+=x y y 是同⼀个集合吗？答：不是}1|),{(2+=x y y x 是抛物线12+=x y 上所有的点构成的集合，集合}1|{2+=x y y =}1|{≥y y 是函数12+=x y 的所有函数值构成的数集（三）有限集与⽆限集1、有限集：含有有限个元素的集合2、⽆限集：含有⽆限个元素的集合3、空集：不含任何元素的集合Φ，如：}01|{2=+∈x R x三、练习题：1、⽤描述法表⽰下列集合①{1，4，7，10，13} }5,23|{≤∈-=+n N n n x x 且②{-2，-4，-6，-8，-10} }5,2|{≤∈-=+n N n n x x 且 2、⽤列举法表⽰下列集合①{x ∈N|x 是15的约数} {1，3，5，15} ②{（x ，y ）|x ∈{1，2}，y ∈{1，2}}{（1，1），（1，2），（2，1）（2，2）}注：防⽌把{（1，2）}写成{1，2}或{x=1，y=2}③=-=+}422|),{(y x y x y x )}32,38{(-④},)1(|{N n x x n ∈-= {-1，1}⑤},,1623|),{(N y N x y x y x ∈∈=+ {（0，8）（2，5），（4，2）} ⑥}4,|),{(的正整数约数分别是y x y x{（1，1），（1，2），（1，4）（2，1），（2，2），（2，4），（4，1），（4，2），（4，4）}3、关于x 的⽅程ax ＋b=0，当a,b 满⾜条件____时，解集是有限集；当a,b 满⾜条件_____时，解集是⽆限集4、⽤描述法表⽰下列集合：(1) { 1, 5, 25, 125, 625 }= ;(2) { 0,±21, ±52, ±103, ±174, ……}= 四、⼩结：本节课学习了以下内容：1．集合的有关概念：有限集、⽆限集、空集2．集合的表⽰⽅法：列举法、描述法、⽂⽒图五、课后作业：六、板书设计（略）七、课后记：1.2 ⼦集、全集、补集教学⽬标：（1）理解⼦集、真⼦集、补集、两个集合相等概念；（2）了解全集、空集的意义，（3）掌握有关⼦集、全集、补集的符号及表⽰⽅法，会⽤它们正确表⽰⼀些简单的集合，培养学⽣的符号表⽰的能⼒；（4）会求已知集合的⼦集、真⼦集，会求全集中⼦集在全集中的补集；（5）能判断两集合间的包含、相等关系，并会⽤符号及图形（⽂⽒图）准确地表⽰出来，培养学⽣的数学结合的数学思想；（6）培养学⽣⽤集合的观点分析问题、解决问题的能⼒．教学重点：⼦集、补集的概念教学难点：弄清元素与⼦集、属于与包含之间的区别教学⽤具：幻灯机教学过程设计（⼀）导⼊新课上节课我们学习了集合、元素、集合中元素的三性、元素与集合的关系等知识．【提出问题】（投影打出）已知，，，问：1．哪些集合表⽰⽅法是列举法．2．哪些集合表⽰⽅法是描述法．3．将集M、集从集P⽤图⽰法表⽰．4．分别说出各集合中的元素．5．将每个集合中的元素与该集合的关系⽤符号表⽰出来．将集N中元素3与集M的关系⽤符号表⽰出来．6．集M中元素与集N有何关系．集M中元素与集P有何关系．【找学⽣回答】1．集合M和集合N；（⼝答）2．集合P；（⼝答）3．（笔练结合板演）4．集M中元素有－1，1；集N中元素有－1，1，3；集P中元素有－1，1．（⼝答）5．，，，，，，，（笔练结合板演）6．集M中任何元素都是集N的元素．集M中任何元素都是集P的元素．（⼝答）【引⼊】在上⾯见到的集M与集N；集M与集P通过元素建⽴了某种关系，⽽具有这种关系的两个集合在今后学习中会经常出现，本节将研究有关两个集合间关系的问题．（⼆）新授知识1．⼦集（1）⼦集定义：⼀般地，对于两个集合A与B，如果集合A的任何⼀个元素都是集合B 的元素，我们就说集合A包含于集合B，或集合B包含集合A。

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（人教课标版）普通高中课程标准实验教科书《数学》目录必修一第一章集合与函数概念1、集合2、函数及其表示3、函数的基本性质第二章基本初等函数（Ⅰ）1、指数函数2、对数函数3、幂函数第三章函数的应用1、函数与方程2、函数模型及其应用必修二第一章空间几何体1、空间几何体的结构2、空间几何体的三视图和直观图3、空间几何体的表面积与体积第二章点、直线、平面之间的位置1、点、直线、平面之间的位置关系2、直线、平面平行的判定及其性质3、直线、平面垂直的判定及其性质第三章直线与方程1、直线的倾斜角与斜率2、直线的方程3、直线的交点坐标与距离公式第四章圆与方程1、圆的方程2、直线、圆的位置关系3、空间直角坐标系必修三第一章算法初步1、算法与程序框图2、基本算法语句3、算法与案例第二章统计1、割圆术2、随机抽样3、用样本估计总体4、变量间的相关关系第三章概率1、随机事件的概率2、古典概型3、几何概型必修四第一章三角函数1、三角函数2、任意角和弧度制3、任意角的三角函数4、三角函数的诱导公式5、三角函数的图象与性质6、函数y=Asin(ωx+φ)7、三角函数模型的简单应用第二章平面向量1、平面向量的实际背景及基本概念2、平面向量的线性运算3、平面向量的基本定理及坐标表示4、平面向量的数量积5、平面向量应用举例第三章三角恒等变换1、两角和与差的正弦、余弦和正切2、简单的三角恒等变换必修五第一章解三角形1、正弦定理和余弦定理2、解三角形的应用举例第二章数列1、数列的概念与简单表示法2、等差数列3、等差数列的前n项和4、等比数列5、等比数列的前n项和第三章不等式1、不等关系与不等式2、一元二次不等式及其解法3、二元一次不等式（组）与简单的线性规则问题4、基本不等式。

人教版高中(必修一)数学第1章_集合与函数的概念章末归纳总结ppt课件

[例5] 已知f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2，分别求下列条件下a的取值范围． (1)函数f(x)的减区间为(－∞，－1]； (2)函数f(x)在(－∞，－1]上递减；
(3)函数f(x)在[－1,2]上单调．
[分析] 此题关键在于对单调、减区间的理解，主要由对称轴与区间的位置决定．
[解析] 函数f(x)＝x2＋2(a－1)x－a＋2的对称轴为x＝1－a. (1)由于减区间为(－∞，－1]，因此，1－a＝－1， ∴a＝2. (2)由于函数在(－∞，－1]上递减，应满足1－a≥－1，∴a≤2.
规律总结：学习集合知识，要加强对集合中元素的认识与识别，注意区分数集与点集，知道集合的元素是什么是进行集合运算的前提．另外，集合语言的表达和转化是必须掌握的．
2．注意元素的互异性
[例2] 已知1∈{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，求实数a的值． [解析] 由题意a＋2＝1，或(a＋1)2＝1，或a2＋3a＋3＝1，解得a＝－1，或a＝－2，或a＝0. 当a＝－2时，(a＋1)2＝a2＋3a＋3＝1，不符合元素的互异性这一特点，故a≠－2. 同理a≠－1. 故a＝0.
专题二求式：函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值集合．
(2)实际问题：求函数的定义域既要考虑解析式有意义，还应考虑使实际问题有意义．
(3)复合函数问题： ①若f(x)的定义域为[a，b]，f(g(x))的定义域应由a≤g(x)≤b解出； ②若f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在[a，b]上的值域．
1．注意正确理解、运用集合语言
[例1] (1)设集合A＝{x|y＝x2}，B＝{(x，y)|y＝x2}，则A∩B＝ ________； (2)设集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{y|y＝x＋1，x∈R}，则M∩N＝( ) A．(0,1)，(0,2) B．{(0,1)，(0,2)}

人教版高中数学必修一《集合与函数概念》全章知识小结

一、集合1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合．(1)集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作a∈A；若b不是集合A的元素，记作b∉A.(2)集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体(对象)，因此，同一集合中不应重复出现同一元素．无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．(3)表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号{}内．描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内．具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征．特别关注：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法．(4)常用数集及其记法．非负整数集(或自然数集)，记作N；正整数集，记作N*或N＋；整数集，记作Z；有理数集，记作Q；实数集，记作R.2．集合的包含关系．(1)集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集(或B包含A)，记作A⊆B(或B⊇A)．集合相等：构成两个集合的元素完全一样．若A⊆B且B⊆A，则称A等于B，记作A ＝B；若A⊆B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B.(2)简单性质：①A⊆A；②∅⊆A；③若A⊆B，B⊆C，则A⊆C；④若集合A是n个元素的集合，则集合A有2n个子集(其中2n－1个真子集)．3．全集与补集．(1)包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U.(2)若S是一个集合，A⊆S，则∁S A＝{x|x∈S且x∉A}称S中子集A的补集．(3)简单性质：①∁S(∁S A)＝A；②∁S S＝∅；③∁S∅＝S.4．交集与并集．(1)一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集．交集A∩B＝{x|x∈A且x∈B}．(2)一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集．并集A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．特别关注：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果仍然还是集合，区分交集与并集的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两个字眼出发去揭示、挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方法．5．集合的简单性质．(1)A∩A＝A，A∩∅＝∅，A∩B＝B∩A；(2)A∪∅＝A，A∪B＝B∪A；(3)(A∩B)⊆(A∪B)；(4)A⊆B⇔A∩B＝A；A⊆B⇔A∪B＝B；(5)∁S(A∩B)＝(∁S A)∪(∁S B)，∁S(A∪B)＝(∁S A)∩(∁S B)．二、函数1．函数的概念．设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B 的一个函数．记作y＝f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．特别关注：(1)“y＝f(x)”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y＝g(x)”；(2)函数符号“y＝f(x)”中的f(x)表示与x对应的函数值，一个数，而不是f乘x.2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(1)解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域，函数的定义域包含三种形式：①自然型．指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围(如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，等等)．②限制型．指命题的条件或人为对自变量x的限制，这是函数学习中的重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误．③实际型．解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考查自变量x的实际意义．(2)求函数的值域是比较困难的数学问题，中学数学要求能用初等方法求一些简单函数的值域问题：①配方法(将函数转化为二次函数)；②判别式法(将函数转化为二次方程)；③不等式法(运用不等式的各种性质)；④函数法(运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等)．3．两个函数的相等．函数的定义含有三个要素，即定义域A、值域C和对应法则f.当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定．因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个函数才是同一个函数．4．区间．(1)区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；(2)无穷区间；(3)区间的数轴表示．5．映射的概念．一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f，使对于集合A 中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：A→B 为从集合A到集合B的一个映射．记作“f：A→B”．函数是建立在两个非空数集间的一种对应，若将其中的条件“非空数集”弱化为“任意两个非空集合”，按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这样的对应就叫映射．特别关注：(1)这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的．其中f表示具体的对应法则，可以用汉字叙述．(2)“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个，二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思．6．常用的函数表示法．(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式．(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系．(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．7．分段函数．若一个函数的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又称分段函数．8．复合函数．若y＝f(u)，u＝g(x)，x∈(a，b)，u∈(m，n)，那么y＝f[g(x)]称为复合函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域．三、函数性质1．奇偶性．(1)定义：如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为奇函数；如果对于函数f(x)定义域内的任意x都有f(－x)＝f(x)，则称f(x)为偶函数．如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性．如果函数同时具有上述两条性质，则f(x)既是奇函数，又是偶函数．特别关注：①函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；②由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称)．(2)利用定义判断函数奇偶性的步骤：①首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称．②确定f(－x)与f(x)的关系．③作出相应结论：若f(－x)＝f(x)或f(－x)－f(x)＝0，则f(x)是偶函数；若f(－x)＝－f(x)或f(－x)＋f(x)＝0，则f(x)是奇函数．(3)简单性质．①图象的对称性质：一个函数是奇函数则它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数则它的图象关于y轴对称．②设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．单调性．(1)定义：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]，那么就说f(x)在区间D上是增函数(减函数)．特别关注：①函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质．②必须是对于区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1＜x2时，总有f(x1)＜f(x2)[f(x1)＞f(x2)]．(2)如果函数y＝f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．(3)设复合函数y＝f[g(x)]，其中u＝g(x)，A是y＝f[g(x)]定义域的某个区间，B是映射g：x→u＝g(x)的象集：①若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，y＝f(u)在B上也是增(或减)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是增函数．②若u＝g(x)在A上是增(或减)函数，而y＝f(u)在B上是减(或增)函数，则函数y＝f[g(x)]在A上是减函数．(4)判断函数单调性的方法步骤．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：①任取x1，x2∈D，且x1＜x2；②作差f(x1)－f(x2)；③变形(通常是因式分解和配方)；④定号[即判断差f(x1)－f(x2)的正负]；⑤下结论[即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性]．(5)简单性质．①奇函数在其对称区间上的单调性相同．②偶函数在其对称区间上的单调性相反．③在公共定义域内：增函数f(x)＋增函数g(x)是增函数；减函数f(x)＋减函数g(x)是减函数；增函数f(x)－减函数g(x)是增函数；减函数f(x)－增函数g(x)是减函数．3．最值．(1)定义．最大值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)的最大值．最小值：一般地，设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，称M是函数y＝f(x)是最小值．特别关注：①函数最大(小)首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)＝M.②函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M[f(x)≥M]．(2)利用函数单调性的判断函数的最大(小)值的方法．①利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值．②利用图象求函数的最大(小)值．③利用函数的单调性判断函数的最大(小)值：如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递增，在区间[b，c]上单调递减，则函数y＝f(x)在x＝b处有最大值f(b)．如果函数y＝f(x)，x∈[a，c]在区间[a，b]上单调递减，在区间[b，c]上单调递增，则函数y＝f(x)在x＝b处有最小值f(b)．集合中元素个数的计算设card(X)表示有限集X所含元素的个数，则①card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)，特别地，当A∩B＝∅时，card(A∪B)＝card(A)＋card(B)；②card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)＋card(A∩B∩C)．由公式：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(A∩C)－card(B∩C)，知36＝26＋15＋13－6－4－card(A∩C)，故card(A∩C)＝8.即同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8►跟踪训练1．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B非空，则A∩B的元素个数为()A．mn个B．m＋n个C．n－m个D．m－n个解析：因为A∩B＝(A∪B)－(∁U A)∪(∁U B)，所以A∩B共有m－n个元素，选D.答案：D2．某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为______人．解析：设两者都喜欢的人数为x 人，则只喜爱篮球的有(15－x )人，只喜爱乒乓球的有(10－x )人，由此可得(15－x )＋(10－x )＋x ＋8＝30，解得x ＝3，所以15－x ＝12.即所求人数为12人．答案：121．若a ∈A ，则a ∉∁U A ；若a ∈∁U A ，则a ∉A . 2．若a ∈A ∩B ，则a ∈A 且a ∈B .3．设a <b ，则x ∈{} |x a ≤x ≤b ⇔a ≤x ≤b.已知A ，B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A ．{1,3}B ．{3,7,9}C ．{3,5,9}D ．{3,9}解析：∵A ∩B ＝{3}，()∁U B ∩A ＝{9}，且B ∪()∁U B ＝U ，∴A ＝{3,9}．选D. 本题也可以用Venn 图(如下图)帮助理解并解决问题．答案：D►跟踪训练3．设集合A ＝{－1,1,3}，B ＝{a ＋2，a 2＋4}，A ∩B ＝{3}，则实数a ＝________.解析：∵3∈A ∩B ，∴3∈B .又a 2＋4>3，故由a ＋2＝3, 解得 a ＝1. 答案：1有关集合的新定义问题，高考中常见的有两类题型：一是定义集合的新概念，二是定义集合的新运算．一、定义集合的新概念对于平面上的点集Ω，如果连接Ω中任意两点的线段必定包含于Ω，则称Ω为平面上的凸集，给出平面上4个点集的图形如下(阴影区域及其边界)：其中为凸集的是_____________(写出所有凸集相应图形的序号)．集合中的简单推理有关集合的新定义问题解析：由题中凸集的定义，观察所给图形知，①④不是凸集，而②③满足条件，是凸集．答案：②③二、定义集合的新运算在集合{a，b，c，d}上定义两种运算和如下：那么( )A．a B．bC．c D．d解析：由上表可知：(a c)＝c，故d○*(a c)＝d○*c＝a，选A.答案：A►跟踪训练4．设P是一个数集，且至少含有两个数．若对任意a，b∈P，都有a＋b、a－b，ab、ab∈P(除数b≠0)，则称P是一个数域．例如有理数集Q是数域．有下列结论：①数域必含有0,1两个数；②整数集是数域；③若有理数集Q ⊆M ，则M 必为数域； ④数域必为无限集．其中正确的结论的序号是__________(把你认为正确结论的序号都填上)．解析：设a ，b ∈数域P ，按照定义得a b ∈P ，b a ∈P ，从而a b ·ba ＝1∈P .又a ，b ∈P ，则a ＋b ∈P ，a －b ∈P ，b －a ∈P ，从而0＝(a －b )＋(b －a )∈P ，于是数域必含有0,1两个数；因此①正确；以此类推下去，可知数域必为无限集，④正确．②对除法如12∉Z 不满足，所以排除；③取M ＝Q ∪{}2，1，2∈M ，但对除法12∉M . 所以①④正确．答案： ①④设集合M 有N 个元素，那么集合M 的所有子集共有2n 个，集合M 的所有真子集共有2n －1个，集合M 的所有非空真子集共有2n －2个．若集合M ＝∅，显然M 的所有子集共有1个；若集合M 只有一个元素，即M ＝{a 1}，M 的所有子集分别是∅和M ＝{a 1}，所有子集共有2个；设集合M 含有n －1个元素， M 的所有子集共有M n －1个，当集合M 含有n 个元素时，不妨设M ＝{a 1，a 2，a 3，…，a n －1，a n }，M 的所有子集共分为两类：一类是不含a n 的子集，即{a 1，a 2，a 3，…，a n －1}的子集，共有M n －1个，另一类是含a n 的子集，只需将a n 添加到{a 1，a 2，a 3，…，a n －1}的所有子集中去，便得到含a n 的所有子集，显然也有M n －1个，故M n ＝2 M n －1.由此可知， M 1＝2 M 0＝2, M 2＝2 M 1＝4, M 3＝2 M 2＝8，…，M n ＝2 M n －1＝2n .设M 为非空的数集，M ⊆{1,2,3}，且M 中至少含有一个奇数元素，则这样的集合M 共有( )A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个解析：集合{1,2,3}的所有子集共有23＝8个，集合{2}的所有子集共有2个，故满足要求的集合M 共有8－2＝6个．答案： A满足A ⊆{0,1,2,3,4,5}的集合A 的个数是________个．解析：集合{3,4,5}的所有非空真子集共有23－1＝7个，满足要求的集合A 就是这7个真子集与集合{0,1,2}的并集，故满足要求的集合A 共有7个．答案：7►跟踪训练5．已知集合A ＝{1,2,3,4}，那么A 的真子集的个数是( ) A ．3个 B ．4个 C ．15个 D ．16个答案：C6．已知集合M ＝{0,1}，则满足M ∪N ＝{0,1,2}的集合N 的个数是( ) A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．8个集合的子集个数答案：C对于函数的概念及其表示要注意：1．函数的三要素：定义域、值域、对应关系．2．定义域和对应关系相同的两个函数是同一函数．3．求抽象函数定义域的方法：(1)已知f (x )的定义域为[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，就是求不等式a ≤g (x )≤b 的解集；(2)已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，求f (x )的定义域，就是求当x ∈[a ，b ]时，g (x )的值域．4．求函数解析式的常用方法：(1)凑配法；(2)换元法；(3)待定系数法；(4)构造法．5．求函数值域的方法：(1)配方法；(2)分离常数法；(3)换元法．随着学习的深入，我们会有更多的求值域的方法．设x ≥0时，f (x )＝2，x ＜0时，f (x )＝1，又规定g (x )＝3f (x －1)－f (x －2)2(x ＞0)，试写出y ＝g (x )的表达式，画出其图象．分析：对于x ＞0的不同区间，讨论x －1与x －2的符号可求出g (x )的表达式．解析：当0＜x ＜1时，x －1＜0，x －2＜0，∴g (x )＝3－12＝1；当1≤x ＜2时，x －1≥0，x －2＜0，∴g (x )＝6－12＝52；当x ≥2时，x －1＞0，x －2≥0.∴g (x )＝6－22＝2.故g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1(0＜x ＜1)，52(1≤x ＜2)，2(x ≥2).函数的概念、表示及其应用其图象如右图所示．点评：此题要注意分类讨论，做题时要分段求解析式．画图要注意端点的取舍．►跟踪训练7．求下列函数的定义域．(1)f (x )＝x ＋2x －1；解析：(1)∵x －1≠0，∴x ≠1，∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．(2)f (x )＝4－xx －1；解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ 4－x ≥0，x －1≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≤4，x ≠1.∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1,4]．(3)f (x )＝x －1＋1－x ；解析：∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1≥0，1－x ≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ≤1.∴x ＝1，∴函数的定义域是{1}．(4)f (x )＝x 2＋x ＋1＋1x 2－2x ＋1.解析：∵x 2＋x ＋1的判别式Δ＝12－4×1×1＝－3＜0， ∴x 2＋x ＋1＞0对一切x ∈R 恒成立， ∴函数的定义域由x 2－2x ＋1≠0确定，由x 2－2x ＋1≠0，得x ≠1.∴函数的定义域是(－∞，1)∪(1，＋∞)．点评：求函数的定义域要注意使函数解析式中每个式子都有意义，有时需解不等式组．1．判断函数单调性的步骤： (1)任取x 1，x 2∈D ，且x 1＜x 2； (2)作差f (x 1)－f (x 2)；(3)变形(通分、配方、因式分解)； (4)判断差的符号，下结论．2．求函数单调性要先确定函数的定义域．3．若f (x )为增(减)函数，则－f (x )为减(增)函数．4．复合函数y ＝f [g (x )]的单调性遵循“同增异减”的原则．5．奇函数的性质： (1)图象关于原点对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相同； (3)若在x ＝0处有定义，则有f (0)＝0.6．偶函数的性质： (1)图象关于y 轴对称；(2)在关于原点对称的区间上单调性相反； (3)f (－x )＝f (x )＝f (|x |)．7．若奇函数f (x )在[a ，b ]上有最大值M ，则在区间[－b ，－a ]上有最小值－M .已知f (x )是R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x |x －2|，求f (x )在R 上的表达式．解析：(1)当x ＝0时，∵f (x )是奇函数， ∴f (－0)＝－f (0)，∴f (0)＝0. (2)当x ＜0时，－x ＞0.∴f (－x )＝－x |－x －2|＝－x |x ＋2|. 又∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x |x ＋2|， ∴f (x )＝x |x ＋2|.综上可知，f (x )在R 上的表达式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x |x －2|(x ＞0)，0(x ＝0)，x |x ＋2|(x ＜0).点评：解决本题的关键在于通过区间的过渡，将(－∞，0)上的变量转换到(0，＋∞)上，从而利用函数的奇偶性和函数在(0，＋∞)上的解析式求出函数在(－∞，0)上的解析式，但不要忘记f (x )为奇函数且x ∈R 时，f (0)＝0.►跟踪训练8．设函数f (x )＝x 2－2|x |－1(－3≤x ≤3)．函数的单调性、奇偶性及其应用(1)证明：f (x )是偶函数；解析：(1)证明：∵f (－x )＝(－x )2－2|－x |－1＝x 2－2|x |－1＝f (x )，即f (－x )＝f (x )， ∴f (x )是偶函数．(2)指出函数f (x )的单调区间，并说明在各个单调区间上f (x )是增函数还是减函数；解析：当x ≥0时，f (x )＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2；当x ＜0时，f (x )＝x 2＋2x －1＝(x ＋1)2－2.∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x －1)2－2，x ≥0，(x ＋1)2－2，x ＜0. 根据二次函数的作图方法，可得函数图象，如下图所示．函数f (x )的单调区间为[－3，－1)，[－1,0)，[0,1)，[1,3]．f (x )在区间[－3，－1)，[0,1)上为减函数，在[－1,0)，[1,3]上为增函数(3)求函数的值域．解析：由图象可知，函数值域为[－2,2]．点评：利用函数的奇偶性，可以作出相应的图象．9．若f (x )是奇函数，且在(0，＋∞)内是增函数，又f (3)＝0，则xf (x )＜0的解集是( ) A ．{x |－3＜x ＜0或x ＞3} B ．{x |x ＜－3或0＜x ＜3} C ．{x |x ＜－3或x ＞3}D ．{x |－3＜x ＜0或0＜x ＜3}解析：因为f (x )在(0，＋∞)内是增函数，f (3)＝0，所以当0＜x ＜3时，f (x )＜0；当x ＞3时，f (x )＞0，又因f (x )是奇函数，其图象关于原点对称，所以当－3＜x ＜0时，f (x )＞0；当x ＜3时，f (x )＜0，可见xf (x )＜0的解集是{x |－3＜x ＜0或0＜x ＜3}．答案：D分段函数是指在定义域的不同子集上解析式不同的函数．在求分段函数的有关问题时，分段函数的应用要根据自变量的所在范围，选择相应的解析式进行研究．分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各解析式的取值范围的并集．分段函数的性质往往要结合函数图象进行判断研究．分段函数解析式的确定一定要分类讨论，根据不同情形分别确定．某旅行社组团去风景旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到每张降为450元为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数．(2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？解析：(1)设旅行团人数为x 人，由题知0<x ≤75，飞机票价格为y 元，则 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，900－(x －30)·10，30<x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0<x ≤30，1 200－10x ，30<x ≤75.(2)设旅行社获利为S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30<x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0<x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30<x ≤75，因此，当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．►跟踪训练10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ∈[0，1]，3－x ，x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)，若f [f (x )]＝1，求x 的取值范围．解析：f [f (x )]＝1等价于①f (x )∈[0,1]或②3－f (x )＝1. ①式又等价于x ∈[0,1] 或⎩⎪⎨⎪⎧3－x ∈[0，1]，x ∈(－∞，0)∪(1，＋∞)； ②式又等价于3－x ＝2.解得x 的取值范围是[0,1]∪[2,3]．11．通过研究学生的学习行为，心理学家发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述问题所用的时间．讲座开始时，学生的兴趣激增；中间有一段不太长的时间，学生的兴趣保持较理想的状态；随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用f (x )表示学生掌握和接受概念的能力，x 表示提出概念和讲授概念的时间(单位：分)，可有以下的公式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.1x 2＋2.6x ＋43(0<x ≤10)，59(10<x ≤16)，－3x ＋107(16<x ≤30).(1)开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多少时间？解析：易知在前10分钟学生的接受能力一直增强，所以开讲后10分钟学生的接受能力最强，此时达到59；而从16分钟后开始，学生的接受能力一直从59下降，故能维持6分钟．(2)开讲后5分钟与开讲后20分钟比较，学生的接受能力何时强一些？解析：因为开讲后5分钟学生的接受能力为－0.1×25＋13＋43＝53.5，开讲后20分钟学生的接受能力为－3×20＋107＝47，所以学生在开讲后5分钟接受能力强一些．(3)一个数学难题需要55的接受能力以及13分钟时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题？解析：因为易求得从第6分钟开始学生的接受能力开始达到55，一直维持到第523分钟时开始从55下降，所以能保持接受能力为55的时间为523－6＝343<13，因为讲这个数学难题需要55的接受能力和13分钟，因此老师不能在学生一直达到所需接受能力的状态下讲授完这个难题．抽象函数是指没有给出具体的函数解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题是函数内容的难点之一，其性质常常是隐而不漏，但一般情况下大多是以常见函数为背景，通过代数表述给出函数性质．处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段．也是解决这类问题的主要方法．已知定义域为R ＋的函数f (x )，同时满足下列条件：①f (2)＝ 1，f (6)＝15；②f (x ·y )＝f (x )＋f (y )．求f (3)、f (9)的值．解析：取x ＝ 2，y ＝ 3，得f (6)＝f (2)＋f (3)，研究抽象函数的性质∵f (2)＝ 1，f (6)＝15，∴f (3)＝－45.又取x ＝ y ＝ 3，得f (9)＝f (3)＋f (3)＝－85.点评：通过观察已知与未知的联系，巧妙地取x ＝2，y ＝3，这样便把已知条件f (2)＝ 1，f (6)＝15与欲求的f (3)沟通了起来．这是解此类问题的常用技巧．►跟踪训练12．已知定义域为R 的函数f (x )满足f [f (x )－x 2＋x ]＝f (x )－x 2＋x . (1)若f (2)＝3，求f (1)；又若f (0)＝a ，求f (a )；解析：因为对任意x ∈R ，有f [f (x )－x 2＋x ]＝f (x )－x 2＋x ，所以f [f (2)－22＋2]＝f (2)－22＋2.又由f (2)＝3得f (3－22＋2)＝3－22＋2，即f (1)＝ 1.若f (0)＝a ，则f (a －02＋0)＝a －02＋0，即f (a )＝ a .(2)设有且仅有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，求函数f (x )的解析表达式．解析：因为对任意x ∈R ，有f [f (x )－x 2＋x ]＝f (x )－x 2＋x ，又因为有且只有一个实数x 0，使得f (x 0)＝x 0，所以，对任意x ∈R ，有f (x )－x 2＋x ＝x 0，在上式中令x ＝x 0，有f (x 0)－x 20＋x 0＝x 0，又因为f (x 0)＝x 0，所以x 0－x 20＝ 0，故x 0＝ 0或x 0＝1. 若x 0＝ 0，则f (x )－x 2＋x ＝ 0，即f (x )＝x 2－x .但方程x 2－x ＝ x 有两个不同实根，与题设矛盾，故x 0≠0. 若x 0＝ 1，则有f (x )－x 2＋x ＝ 1，即f (x )＝x 2－x ＋1. 易验证该函数满足题设条件．综上可知，所求函数为f (x )＝x 2－x ＋1(x ∈R)．二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)中有三个参数a ，b ，c . 解题时常常需要通过三个独立条件“确定”这三个参数.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ()a ≠0的图象为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等. 结合这些图象特征解决有关二次函数的问题，可以化难为易，形象直观．二次函数的图象关于直线x ＝－b2a对称，设二次函数的图象与x 轴的两个交点的横坐标为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－ba 也反映了二次函数的一种对称性．将二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)进行配方可得二次函数的顶点式：y ＝a ⎝⎛⎭⎫x ＋b 2a 2＋4ac －b 24a ，由此可知函数的对称轴、最值及判别式．二次函数的图象与性质二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ()a ≠0在区间⎝⎛⎦⎤－∞，－b 2a 和区间⎣⎡⎭⎫－b2a ，＋∞上分别单调，所以二次函数f ()x 在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得．某公司有价值a 万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值．假设附加值y 万元与技术改造投入x 万元之间的关系满足：①y 与a －x 和x 的乘积成正比；②x ＝a2时y ＝a 2；③0≤x2(a －x )≤t ，其中t 为常数，且t ∈[0,1]．(1)设y ＝f (x )，求出f (x )的表达式，并求出y ＝f (x )的定义域；(2)求出附加值y 的最大值，并求出此时的技术改造投入的x 的值．解析：(1)设y ＝k (a －x )x ，由x ＝a2时y ＝a 2，可得k ＝4，∴y ＝4(a －x )x .∴定义域为⎣⎡⎦⎤0，2at 1＋2t ，t 为常数，t ∈[0,1]．(2)y ＝4(a －x )x ＝－4⎝⎛⎭⎫x －a22＋a 2，当2at 1＋2t ≥a 2时，即12≤t ≤1，x ＝a 2时，y max ＝a 2；当2at 1＋2t <a 2时，即0≤t ≤12时，y ＝4(a －x )x 在⎣⎡⎦⎤0，2at 1＋2t 上为增函数．∴当x ＝2at 1＋2t 时，y max ＝8a 2t(1＋2t )2.∴当12≤t ≤1时，投入x ＝a 2时，附加值y 最大为a 2万元；当0≤t <12时，投入x ＝2at 1＋2t 时，附加值y 最大为8a 2t (1＋2t )2万元．►跟踪训练13．函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的图象关于直线x ＝1对称，则( ) A ．m ＝－2 B ．m ＝2 C ．m ＝－1 D ．m ＝1解析：函数f (x )＝x 2＋mx ＋1的对称轴为x ＝－m 2，于是－m2＝1⇒m ＝－2.答案：A14．设abc ＞0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象可能是( )解析：当a ＞0时，b 、c 同号，C 、D 两图中c ＜0，故b ＜0，－b2a＞0，选项D 符合．当a <0时，同理可排除A 、B.答案：D点评：根据二次函数图象开口向上或向下，分a >0或a <0两种情况分类考虑．另外还要注意c 值是抛物线与y 轴交点的纵坐标，还要注意对称轴的位置或定点坐标的位置等．15．函数y ＝ax 2－2(a －1)x ＋2 (a ≠0)在区间(－∞， 4]上递增，那么实数a 的取值范围是( )A ．a ≥－13B ．－13≤a <0C ．a ≤－13D ．a <0答案：B16．函数f (x )＝(a －1)x 2＋2ax ＋3为偶函数，那么f (x )在(－5, －2)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先减后增 D ．先增后减答案：A17．将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形．要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为________．解析：设正方形周长为x ，则圆的周长为1－x ，半径r ＝1－x2π.∴S 正＝⎝⎛⎭⎫x 42＝x 216，S 圆＝π·(1－x )24π2.∴S 正＋S 圆＝(π＋4)x 2－8x ＋416π(0＜x ＜1)．∴当x ＝4π＋4时有最小值．4答案：π＋4。

【精华】人教版高中数学必修一--第一章-集合与函数概念--

【精华】人教版高中数学必修一第一章集合与函数概念一、集合的概念集合是数学中最基本的概念之一，它是某些指定对象的总体。

这些对象被称为集合的元素。

集合可以是有序的，也可以是无序的。

例如，自然数集合{1, 2, 3, }是无序的，而有序对集合{(1, 2), (2, 3), }是有序的。

集合的表示方法有两种：列举法和描述法。

列举法是将集合中的所有元素一一列出，用花括号{}括起来。

例如，集合{1, 2, 3}表示包含元素1、2、3的集合。

描述法是使用文字描述集合中元素的特征，例如，自然数集合可以表示为{所有大于0的整数}。

集合的基本运算包括交集、并集、差集、补集等。

交集是指两个集合共同拥有的元素组成的集合；并集是指两个集合所有元素组成的集合；差集是指一个集合中有而另一个集合中没有的元素组成的集合；补集是指一个集合中所有不属于另一个集合的元素组成的集合。

二、函数的概念函数是数学中另一个基本的概念，它描述了两个变量之间的依赖关系。

在函数中，一个变量被称为自变量，另一个变量被称为因变量。

函数的表示方法有三种：解析法、表格法和图像法。

解析法是使用数学公式来表示函数的方法，例如，y = x^2 表示一个二次函数。

表格法是使用表格来表示函数的方法，表格中的每一行都代表一个函数值。

图像法是使用图形来表示函数的方法，图形中的每个点都代表一个函数值。

函数的基本性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

单调性是指函数在某个区间内是递增或递减的；奇偶性是指函数在自变量取相反数时，函数值也取相反数；周期性是指函数在一定区间内重复出现。

三、集合与函数的关系集合与函数有着密切的关系。

集合可以用来表示函数的定义域和值域，而函数可以用来描述集合中元素之间的关系。

例如，一个函数可以将一个集合中的元素映射到另一个集合中的元素，从而建立两个集合之间的对应关系。

在解决数学问题时，集合与函数的概念常常被结合起来使用。

例如，在求解函数的值域时，需要先确定函数的定义域，然后根据函数的性质来求解值域。

高中数学必修(1)第一章集合和函数概念(知识点汇总).docx

《集合》知识点汇总1、集合的概念：一般地，我们把研究对象统称为元素，把-些元素组成的总体叫做集合。

2、元素与集合的关系：属于：不属于：”尹；3、集合与集合的关系：包含：或n” ；真包含：“U或二相等：“二”；丰工4、集合中元素具有的特性：确定性，互异性，无序性。

5、集合的表示方法：①列举法；②描述法；6、集合的分类：①有限集；②无限集；③空集；7、集合屮子、真子、交、并、补、全的概念：①子集：若集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，则称集合A是集合B的子集，记作A o B（或B o A）;②真子集：若AoB,且集合B中至少有一个元素不属于A,即xwB,且xgA,则称A是B的真子集，记作人匸皿或^二①；工*③交集：由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合，称为A与B的交集，记作A门B, 即：AC\B = {x\xeA,Rx^B};④并集：由属于集合A或属于集合B的所有元素组成的集合，称为八与B的并集，记作AUB, 即：A U 3 = {兀I兀丘A,或x e B];⑤补集：对于一个集合A,由全集U中不屈于集合A的所有元素组成的集合，称为集合A相对于全集U的补集，记作即：C]二{xwt/,且xgA};⑥全集：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集, 通常记作8、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为0。

规定：空集是任何集合的子集。

9、集合相等：如果AgB,且Bq 4,则4 = 3;10、V enn图：在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称Venn图。

11、数轴法表示集合：我们通常用数轴来表示集合之间的关系，求集合与集合之间的交集和并集通常用采用此法。

12、含n个元素的集合的子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数：①含n个元素的集合的所有子集有2〃个；②含n个元素的集合的所有真子集有2" -1个；③含n个元素的集合的所有非空子集有2" -1个；④含n个元素的集合的所有非空真子集有2〃-2个;13、集合屮的常用性质：(1)若A,则人=3;若则AyC;(2)A,若则0u A;(3)的心4,的0 = 0,的3 = 3门&(4)AUA = A,AU^ = A,AUB = BUA;(5)/OdAUC)= U;(6)(AAB)o Ac(AUB)；(AnB)oBo(4UB)；(7)AqBo 的3 = Ao AUB = 3；⑻的(3门0 = 0422 4U(BUC) = (AUB)UC⑼ An(BUc)=(AnB)u(Anc)； AU(Bnc)=(Aus)n(Auc)；do) C^=(C^)U(CJ); C；uj(c；m(C{);14、数学中一些常用的数集及其记法：实数集：R；整数集：Z；自然数集：N；正整数集：N*或N+有理数集：Q;15、区分集合中的数集与点集：①数集的表示法{X\y = f(x)}t {y\y = f(x)}i②点集的表示法{(x, y) I y = f(x)}；16、新定义集合：A-B = {x\xe AJHLx纟B]AXB={x|xGAUB 且x年A QB}P^Q = {x\x = ab,ae P.beQ}A®B = {z\ z = xy(x+ y),xE A.y^B}《函数》知识点汇总1、函数的概念：给定两个非空数集A和B,如果按照某个对应关系/,对于集合A屮任何一个数x,在集合B中都存在唯一确定的数/（兀）与Z对应，那么就把对应关系/叫做定义在集合A上的函数，记作f : A T B ,或y=f （x）, xe Ao此吋，x叫做自变量，集合A 叫做函数的定义域，集合｛f（x）\xeA｝叫做函数的值域。

人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解

§ 1.1集合（一）集合的有关概念 1.定一般地，我们把研究对象统称为兀素，一些兀素组成的总体叫集合，也简称集。

2.表示方法：集合通常用大括号｛｝或大写的拉丁字母 A,B,C …表示,而元素用小写的拉丁字母 a,b,c …表示。

3. 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。

4. 元素与集合的关系：（元素与集合的关系有“属于”及“不属于两种）⑴若a 是集合A 中的元素，则称a 属于集合A ，记作a_A ； ⑵若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合 A ，记作a A 。

5. 常用的数集及记法：非负整数集（或自然数集），记作N; 正整数集，记作 N *或2; N 内排除0的集. 整数集，记作Z ; 有理数集，记作 Q;实数集，记作 R6.关于集合的元素的特征⑴确定性：给定一个集合，那么任何一个兀素在不在这个集合中就确定了。

女口：“地球上的四大洋”（太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋）。

“中国古代四大发明”（造纸，印刷，火药，指南针）可以构成集合，其元素具有确定性；而“比较大的数”，⑵互异性：一个集合中的兀素是互不相冋的，即集合中的兀素是不重复出现的。

如:方程（x-2）（x-1） 2=0的解集表示为 1,-2，而不是 1,1,-2⑶无序即集合中的兀素无顺序，可以任意排列、调换。

练1:判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由:⑵我国的小河流；⑷方程x 2+1=0的解；⑹血压很高的人；⑻平面直角坐标系内所有第三象限的点7.元素与集合的关系：（元素与集合的关系有“属于 ”及“不属于 ”两种） ⑴若a 是集合A 中的元素，则称 a 属于集合A ，记作a_A ;⑵若a 不是集合A 的元素，则称a 不属于集合A ，记作a A 。

例如，我们A 表示“ 1~20以内的所有质数”组成的集合，则有练：A={2, 4, 8, 16}，贝U 4_A , 8_A , 32 A.（二）例题讲解:集合与函数概念⑴大于3小于11的偶数; ⑶非负奇数； ⑸某校2011级新生； ⑺著名的数学家； 3€ A , 4 A ,等等。

人教版新课标高一数学必修一第一章集合与函数的概念 1..1 集合集合的概念与集合的表示教案及课后习题

1：集合的概念与集合的表示集合概念把研究对象的总体称为集合，把研究对象统称为元素。

元素的性质（1）确定性；（2）互异性；（3）无序性表示方法列举法 ①元素不重复 ②元素无顺序 ③元素间用“，”隔开描述法 ①写清楚集合中元素的代号，如{x ∈R|x>0}，不能写成{x>2}； ②说明该集合中元素的性质； ③所有描述的内容都写在大括号内。

元素与集合的关系一般地，用大写拉丁字母如A 、B 、C 表示集合，用小写拉丁字母a 、b 、c 表示集合中的元素，如果a 是集合A 中的元素就说a 属于集合A ，记作a ∈A ；如果a 不是集合A 的元素，就说a 不属于A ，记作a ∉A 。

常用数集及其记法 N 为零和正整数组成的集合，即自然数集，N *或N +为正整数组成的集合；Z 为整数组成的集合；Q 为有理数组成的集合，R 为实数组成的集合。

【典例精析】例题1 判断下列命题是否正确，并说明理由。

（1）{R}=R ；（2）方程组⎩⎨⎧+==12x y x y 的解集为{x=1，y=2}；（3）{x|y=x 2－1}={y|y=x 2－1}={（x ，y ）|y=x 2－1}；（4）平面内线段MN 的垂直平分线可表示为{P|PM=PN}。

思路导航：以上几种命题都是同学们在初学过程中极易出错的几种典型类型。

处理此类问题的关键在于要正确而深刻地理解集合的表示方法。

答案：（1）{R}=R 是不正确的，R 通常为R={x|x 为实数}，即R 本身可表示为全体实数的集合，而{R}则表示含有一个字母R 的集合，它不能为实数的集合。

（2）方程组⎩⎨⎧+==12x y x y 的解集为{x=1，y=2}是不对的，因为解集的元素是有序实数对（x ，y ），正确答案应为{（x ，y ）|⎩⎨⎧==21y x }={（1，2）}。

（3）{x|y=x 2－1}={y|y=x 2－1}={（x ，y ）|y=x 2－1}是不正确的。

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第一章集合与函数概念〖1.1〗集合【1.1.1】集合的含义与表示（1）集合的概念集合中的元素具有确定性、互异性和无序性. （2）常用数集及其记法N 表示自然数集，N *或N +表示正整数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集.（3）集合与元素间的关系对象a 与集合M 的关系是a M ∈，或者a M ∉，两者必居其一. （4）集合的表示法①自然语言法：用文字叙述的形式来描述集合.②列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内表示集合. ③描述法：{x |x 具有的性质}，其中x 为集合的代表元素. ④图示法：用数轴或韦恩图来表示集合. （5）集合的分类①含有有限个元素的集合叫做有限集.②含有无限个元素的集合叫做无限集.③不含有任何元素的集合叫做空集(∅).【1.1.2】集合间的基本关系（6）子集、真子集、集合相等（7）已知集合A 有(1)n n ≥个元素，则它有2n 个子集，它有21n -个真子集，它有21n -个非空子集，它有22n-非空真子集.（8）交集、并集、补集【1.1.3】集合的基本运算名称记号意义性质示意图交集A B{|,x x A∈且}x B∈（1）A A A=（2）A∅=∅（3）A B A⊆A B B⊆BA并集A B{|,x x A∈或}x B∈（1）A A A=（2）A A∅=（3）A B A⊇A B B⊇BA补集U A {|,}x x U x A∈∉且1()UA A=∅2()UA A U=【补充知识】含绝对值的不等式与一元二次不等式的解法（1）含绝对值的不等式的解法不等式解集||(0)x a a<>{|}x a x a-<<||(0)x a a>>|x x a<-或}x a>||,||(0) ax b c ax b c c+<+>>把ax b+看成一个整体，化成||x a<，||(0)x a a>>型不等式来求解（2）一元二次不等式的解法判别式24b ac ∆=-∆>0∆=0∆<二次函数2(0)y ax bx c a=++>的图象O一元二次方程20(0) ax bx c a++=>的根21,242b b acxa-±-=（其中12)x x<122bx xa==-无实根20(0) ax bx c a++>>的解集1{|x x x<或2}x x>{|x}2bxa≠-R ()()()U U UA B A B=()()()U U UA B A B=〖1.2〗函数及其表示【1.2.1】函数的概念（1）函数的概念①设A 、B 是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个数x ，在集合B中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的一个函数，记作:f A B →．②函数的三要素:定义域、值域和对应法则．③只有定义域相同，且对应法则也相同的两个函数才是同一函数．（2）区间的概念及表示法①设,a b 是两个实数，且a b <，满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间，记做[,]a b ；满足a xb <<的实数x 的集合叫做开区间，记做(,)a b ；满足a x b ≤<，或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间，分别记做[,)a b ，(,]a b ；满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数x 的集合分别记做[,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞．注意：对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ，前者a 可以大于或等于b ，而后者必须a b <．（3）求函数的定义域时，一般遵循以下原则：①()f x 是整式时，定义域是全体实数．②()f x 是分式函数时，定义域是使分母不为零的一切实数．③()f x 是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合．④对数函数的真数大于零，当对数或指数函数的底数中含变量时，底数须大于零且不等于1． ⑤tan y x =中，()2x k k Z ππ≠+∈．⑥零（负）指数幂的底数不能为零． ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时，则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集．⑧对于求复合函数定义域问题，一般步骤是：若已知()f x 的定义域为[,]a b ，其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出．⑨对于含字母参数的函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论． ⑩由实际问题确定的函数，其定义域除使函数有意义外，还要符合问题的实际意义．（4）求函数的值域或最值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的，只是提问的角度不同．求函数值域与最值的常用方法：①观察法：对于比较简单的函数，我们可以通过观察直接得到值域或最值．②配方法：将函数解析式化成含有自变量的平方式与常数的和，然后根据变量的取值范围确定函数的值域或最值． ③判别式法：若函数()y f x =可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程2()()()0a y x b y x c y ++=，则在()0a y ≠时，由于,x y 为实数，故必须有2()4()()0b y a y c y ∆=-⋅≥，从而确定函数的值域或最值．④不等式法：利用基本不等式确定函数的值域或最值．⑤换元法：通过变量代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题．⑥反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值． ⑦数形结合法：利用函数图象或几何方法确定函数的值域或最值． ⑧函数的单调性法．【1.2.2】函数的表示法（5）函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法、列表法、图象法三种．解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系．列表法：就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系．图象法：就是用图象表示两个变量之间的对应关系．（6）映射的概念①设A 、B 是两个集合，如果按照某种对应法则f，对于集合A 中任何一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，那么这样的对应（包括集合A ，B 以及A 到B 的对应法则f ）叫做集合A 到B 的映射，记作:f A B →．②给定一个集合A 到集合B 的映射，且,a A b B ∈∈．如果元素a 和元素b 对应，那么我们把元素b 叫做元素a 的象，元素a 叫做元素b 的原象．yxo〖1.3〗函数的基本性质【1.3.1】单调性与最大（小）值（1）函数的单调性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增）（4）利用复合函数如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< x ．．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yxox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数． ③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()ug x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质()f x 分别在(,]a -∞-、,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a 、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义 ①一般地，设函数()y f x =的定义域为I，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M=．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M=．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性①定义及判定方法函数的性质定义图象判定方法函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做奇函．．数．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于原点对称）如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称）（2）利用图象（图象关于y 轴对称） ②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．〖补充知识〗函数的图象（1）作图利用描点法作图：①确定函数的定义域； ②化解函数解析式； ③讨论函数的性质（奇偶性、单调性）； ④画出函数的图象．利用基本函数图象的变换作图：要准确记忆一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等各种基本初等函数的图象． ①平移变换0,0,|()()h h h h y f x y f x h ><=−−−−−−−→=+左移个单位右移|个单位0,0,|()()k k k k y f x y f x k ><=−−−−−−−→=+上移个单位下移|个单位②伸缩变换01,1,()()y f x y f x ωωω<<>=−−−−→=伸缩01,1,()()A A y f x y Af x <<>=−−−−→=缩伸③对称变换()()x y f x y f x =−−−→=-轴()()y y f x y f x =−−−→=-轴 ()()y f x y f x =−−−→=--原点1()()y x y f x y f x -==−−−−→=直线 ()(||)y y y y f x y f x =−−−−−−−−−−−−−−−→=去掉轴左边图象保留轴右边图象，并作其关于轴对称图象()|()|x x y f x y f x =−−−−−−−−−→=保留轴上方图象将轴下方图象翻折上去（2）识图对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分别范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性，注意图象与函数解析式中参数的关系．（3）用图函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系问题提供了“形”的直观性，它是探求解题途径，获得问题结果的重要工具．要重视数形结合解题的思想方法．。

(完整版)人教版必修一集合与函数概念知识点

第一章集合与函数概念一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。

2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性说明：(1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的，任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。

(2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。

(3)集合中的元素是平等的，没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样，仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样。

(4)集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。

3、集合的表示：{ … } 如{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}1. 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}2．集合的表示方法：列举法与描述法。

非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作a A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。

描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。

用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。

①语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}②数学式子描述法：例：不等式x-3>2的解集是{x∈R| x-3>2}或{x| x-3>2}4、集合的分类：（1）．有限集含有有限个元素的集合（2）．无限集含有无限个元素的集合（3）．空集不含任何元素的集合例：}5|xx{2-=二、集合间的基本关系1.“包含”关系—子集注意：有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。

反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B 或B A2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)实例：设 A=}0x-x B={-1,1} “元素相同”|1{2=结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即：A=B任何一个集合是它本身的子集。

人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念-《1.1集合》教案

人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念-《1.1集合》教案集合（第1课时）一、知识目标：①内容：初步理解集合的基本概念，常用数集，集合元素的特征等集合的基础知识。

②重点：集合的基本概念及集合元素的特征③难点：元素与集合的关系④注意点：注意元素与集合的关系的理解与判断；注意集合中元素的基本属性的理解与把握。

二、能力目标：①由判断一组对象是否能组成集合及其对象是否从属已知集合，培养分析、判断的能力；②由集合的学习感受数学的简洁美与和谐统一美。

三、教学过程：Ⅰ）情景设置：军训期间，我们经常会听到教官在高喊：（x）的全体同学集合！听到口令，咱们班的全体同学便会从四面八方聚集到教官的身边，而那些不是咱们班的学生便会自动走开。

这样一来教官的一声“集合”（动词）就把“某些指定的对象集在一起”了。

数学中的“集合”这一概念并不是教官所用的动词意义下的概念，而是一个名词性质的概念，同学们在教官的集合号令下形成的整体即是数学中的集合的涵义。

Ⅱ）探求与研究：①一般地，某些指定的对象集在一起就成为一个集合，也简称集。

问题：同学们能不能举出一些集合的例子呢？（板书学生们所举出的一些例子）②为了明确地告诉大家，是哪些“指定的对象”被集在了一起并作为一个整体来看待，就用大括号{ }将这些指定的对象括起来，以示它作为一个整体是一个集合，同时为了讨论起来更方便，又常用大写的拉丁字母A、B、C……来表示不同的集合，如同学们刚才所举的各例就可分别记为……（板书）另外，我们将集合中的“每个对象”叫做这个集合的元素，并用小写字母a、b、c……（或x1、x2、x3……）表示同学口答课本P5练习中的第1大题③分析刚才同学们所举出的集合例子，引出：对某具体对象a与集合A，如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a A④再次分析同学们刚才所举出的一些集合的例子，师生共同讨论得出结论：集合中的元素具有确定性、互异性和无序性。

人教新课标数学必修1第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念

1.2.1函数的概念（第一课时）
问题1：给出下列三种对应: ①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m, 且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2. 时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}. 则有对应f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B.
问题2：指出函数y=x+1的构成要素有几部分？并思考一个函数的构成要素有几部分？
①函数y=x+1的构成要素为:定义域R,对应关系x→x+1,值域是R. ②一个函数的构成要素为:定义域、对应关系和值域,简称为函数的三要素.其中定义域是函数的灵魂,对应关系是函数的核心.当且仅当两个函数的三要素都相同时,这两个函数才相同.
问题2：函数的定义域是自变量的取值范围,那么如何理解这个“取值范围”的？
自变量的取值范围就是使函数有意义的自变量的取值范围.
问题3：函数有意义又指什么？函数有意义是指:自变量的取值使分母不为0;被开方数为非负数;如果函数有实
际意义时,那么还要满足实际取值等.
问题4：函数f:A→B的值域为C,那么集合B=C吗？
函数相等的条件：如果两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么它们的值
域一定相等.因此只要两个函数的定义域和对应关系分别相同,那么这两个函数就相等.
例 1.下列函数中哪个与函数 y=x 相等？
(1)y=( x )2;(2)y= 3 x3 ;(3)y= x 2 ;(4)y= x2 . x
解：函数 y=x 的定义域是 R,对应关系是 x→x.
=
x2
1
=1.
x 1 x2 1 (1)2 1 x2 1 x2

人教课标版高中数学必修1 第一章集合与函数概念集合

最新人教版高一数学必修1第一章“集合与函数概念”本章概述

人教课标版高中数学必修1第一章集合与函数概念集合课件1

人教版新课标高一数学必修一第一章集合与函数的概念 1..1 集合集合的运算教案及课后习题

人教版高中数学必修1课件：第一章__集合与函数概念_章末归纳总结课件

人教课标版高中数学必修1第一章集合与函数概念集合教案

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人教版高中数学必修一集合与函数基础知识讲解

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人教版高中数学必修1第一章集合与函数概念-《1.1集合》教案

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人教新课标数学必修1第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念

人教课标版高中数学必修1 第一章集合与函数概念集合

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