概率论第一章13节

于是
P( A) 1 P( A) 1 0.695 0.305
例 1.3.2 抛掷一枚均匀硬币 5 次， 试求既出现正面又出现反面的概率. 解 记
A =“抛掷 5 次既出现正面又出现反面”.
则
A =“抛掷 5 次全出现正面或全出现反面”.
易见 A 及 A 都不简单，但再引入记号
B =“掷 5 次全出正面” ，
故
P( A B) P( A) P( B) .
推论（概率的单调性）若 B A ，则 P( A) P( B) .
Proof 利用概率的可减性及非负性，得
P( A) P( B) P( A B) 0 .
从而有
P( A) P( B) .
Remark 单调性的逆命题，若 P( A) P( B) ，则 B A 不成立。
1.3.2 概率的单调性 性质 1.3.4 若 B A ，则 P( A B) P( A) P( B) （概率的可减性） Proof 由 B A ，可将 A 表示为如下互斥并形式
A B ( A B) .
利用有限可加性，得
P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( A) 1 .
Proof 注意到 A A ，利用正则性和有限可加性，得
1 P() P( A) P( A) .
即
P( A) P( A) 1 .
Remark 概率的互补性的效用： 面对复杂的事件 A ，转而考虑 A ，发现简单易得 P( A) ， 用 P( A) 1 P( A) 达到求 P ( A) 之目的！
n
n


P( A ) P( A )
i i i 1 i n 1


P ( A ) P ( )
i i 1 i n 1
n


P( A ) .
i i 1
n
因此
P(
A ) P( A ).
i i i 1 i 1
n
n
性质 1.3.3(概率的互补性) 对任意事件 A ,有
反例：向区间 [0,1] 随机投点，记
A “该点落入区间 [0,0.5] ” ，
B “该点落入区间 [0.6,0.7] ”.
利用几何方法，易见
P( A) 0.5 ， P( B) 0.1 .
显然 P( A) P( B) ，但 B A 也显然不成立. 性质 1.3.5（弱可减性）对任意事件 A ， B ，有
解 记
Ak =“取出的 m 只球中最大号码为 k
直接计算 P( Ak ) 不容易.考虑以下事件
” ， k 1,2, , m .
A “取出的 m 只球中最大号码小于等于 k ” ，
B “取出的 m 只球中最大号码小于等于 k 1 ”.
则，易见 B A ，且
Ak A B .
而由古典方法，得
km ( k 1) m P ( A) = m ， P ( B ) = . n nm
于是
P( Ak ) P( A B) P( A) P( B)
k m (k 1) m ， k 1,2, , m nm
Remark P.34. n 6 , m 3 的具体计算结果及说明
i i j i j k i 1 1i j n 1i j k n
n
n 1
P( A1 A2 An ) .
Proof
i ) 对任意事件 A , B ，易见可将 A B 表示为“互斥并”形式为
A B ( A B) B .
1.3.3 概率的加法公式（解决任意事件并的概率计算） 性质 1.3.6（加法公式）
i ) 对任意事件 A , B ，有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) ;
ii) 对 n 个任意事件 A1, A2 ,, An ,则有
P( Ai )
i 1

n
P( A ) P( A A ) P( A A A ) (1)
P( A B) P( A) P( AB) .
Proof 由 A B A AB ，且 AB A ，由可减性，得
P( A B) Байду номын сангаас P( A AB) P( A) P( AB) .
Remark 面对复杂事件的概率计算，也可巧妙运用可减性来解决！如下例. 例 1.3.3 口袋中有编号为 1,2, , n 的 n 只球，从中有放回地任取 m 次， 求取出 m 只球中最大号码为 k 的概率.
例 1.3.1 36 只灯泡中 4 只 60W，32 只 40W， 现从中任取 3 只，求至少取到 1 只 60W 灯泡的概率. 解 记
A =“任取 3 只中至少有一只 60W 灯泡”.
A 较复杂，而 A =“任取一只中全为 40W 灯泡”的概率，
由古典方法容易求得为
3 C32 P( A) 3 0.695 . C36
C =“抛掷 5 次全出现反面”.
则 B 、 C 简单，且 A B C ，且先由古典方法容易求得：
P( B) P(C)
于是
1 25 .
P( A) 1 P( A) 1 P(B C)
1 ( P( B) P(C )) 1 ( 1 1 15 ) 25 25 16 .
1.3.1 概率的可加性 Remark 概率的可加性包括可列可加性 (基本性质之一)和有限可加性(以下性质 1.3.2).
1 , A2 ,, An 性质 1.3.2(有限可加性) 若事件 A 为同一样本空间 下的互斥事件列，则
P(
Proof
A ) P( A
i i 1 i 1
n
n
i
).
记
An1 An 2 .
则 且 A1, A2 ,, An , An 1, An 2 ,
A A .
i i 1
n

i
i 1
为同一样本空间下的可列互斥事件列， 于是，由可列可加性及不可能事件的概率零性，得
P( Ai ) P ( Ai )
i 1
i 1