概率论第一章13节
《概率论与数理统计》第一章考点手册
《概率论与数理统计》
第一章 随机事件与概率
考点1 随机事件基本概念（★三级考点，选择、填空）
1.样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间。
2.样本点:试验的单个结果或样本空间的单元素称为样本点。
3.随机事件：样本空间的任意一个子集称为随机事件,简称“事件”.记作A 、B 、C 。
4.任何事件均可表示为样本空间的某个子集。
5.基本事件：一个随机事件只含有一个试验结果。
6.事件A 发生当且仅当试验的结果是子集A 中的元素。
7.两个特殊事件:
1）必然事件：样本空间包含了所有的样本点，且是自身的一个子集，在每次试验中总是发生。
2）不可能事件：不包含任何的样本点，也是样本空间的一个子集，在每次试验中总不发生。
考点2 事件的关系与运算（★三级考点，选择、填空）
1.包含关系：“事件A 发生必有事件B 发生”
记为A ⊂B ，称A 包含于B 。
A ＝
B ⇔A ⊂B 且B ⊂A.
2.和事件：“事件A 与事件B 至少有一个发生”，记作A ⋃B
3.积事件:事件A 与事件B 同时发生，记作A ⋂B ＝AB
A 和
B 的公共部分
4.互斥的事件：即事件A 与事件B 不可能同时发生。AB ＝φ
5.差事件：A －B 称为A 与B 的差事件,表示事件A 发生而事件B 不发生
6.互逆的事件：A ⋃B ＝Ω,且AB ＝φ。B A B A 易见，称为称为A 的对立事A 记作B =-=
7.事件的运算
交换律：A ⋃B ＝B ⋃A ，AB ＝BA
结合律：(A ⋃B)⋃C ＝A ⋃(B ⋃C)，(AB)C ＝A(BC)
3、分配律：(A ⋃B)C ＝(AC)⋃(BC)，(AB)⋃C ＝(A ⋃C)(B ⋃C)
《概率论与数理统计》教案第13课二维随机变量的条件分布
课题二维随机变量的条件分布课时2课时(90min)
教学目标知识技能目标：
(1)理解二维随机变量的条件分布
(2)理解二维离散型随机变量的边缘分布律
(3)理解二维连续型随机变量的边缘概率密度
素质目标：
(1)帮助学生树立正确看待随机现象的世界观,掌握统计估计的思想与方法
教学重难点教学重点：二维随机变量的条件分布，二维离散型随机变量的边缘分布律教学难点：二维连续型随机变量的边缘概率密度
教学方法讲练结合法、问答法、讨论法
教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材
教学过程主要教学内容及步骤
课前任务
【教师】布置课前任务，和学生负责人取得联系，让其提醒同学通过APP或其他学习软件，搜集并了解二维随机变量条件分布的相关知识
【学生】完成课前任务
考勤
【教师】使用APP进行签到
【学生】按照老师要求签到
互动导入【教师】提出问题
什么是条件分布？
【学生】思考、讨论、回答
传授新知
【教师】通过大家的发言，引入新的知识点，讲解二维随机变量条件分布的相关知识
【教师】介绍条件分布的概念
对于二维随机变量来说，要描述(X f Y)整体的统计规律，可用联合分布;要描述单个分量的统计规律，可用边缘分布;而当一个分量固定取一个值时,在此条件下考虑另一个分量的统计规律,这就是所谓的条件分布.以下同样分别从离散型和连续型随机变量来讨论它们的条件分布.
一、离散型
设(X'丫)是二维离散型随机变量，其分布率为
P(X=Xi,Y=yj)=Pij(J,j=l,2,)
(X'丫)关于X和Y的边缘分布率为
P(X三x∕)三ΣPy=Pi.(，=1，2,)
J=I
概率论与数理统计第13讲
12
[2 E ( X 1Y1 )] - 4 E ( X ) E (Y )„ 0
2 2 1 2 1
注意
D( X ) E ( X ), D(Y ) E (Y )
2 1 2 1
及 cov(X,Y)=E(X1Y1) 则上面的不等式可以整理成 2 r XY „ 1 即得|rXY| 1。而当|rXY|=1时，上面的所 有不等式相应地都有等式，对应的一元 二次方程有机会存在重根，即存在某个 数k, 使得当t=k时，式(4.41)成立等式 E[(X1+kY1)2]=0 (4.42) 13
1
2x
0
1- x
0
象此例中的求E(XY)，如果非要先算出Z=XY 的概率密度再求E(Z)，那是相当麻烦的。
29
例 4.13求例 4.5中随机变量X,Y的协方差 cov(X,Y)和相关系数rXY。 解 在例 4.5中已经求出 1 1 2 2 E ( X ) E (Y ) , E ( X ) E (Y ) 3 6 1 E ( XY ) , 因此 12 1 1 1 2 2 D( X ) E ( X ) - [ E ( X )] - 6 9 18
2
根据对称性知
1 E (Ywk.baidu.com) 6
2
28
E ( XY )
- 1
-
概率论与数理统计 13-4节
个男人挑到自己的妻子
A A1 A2 ..... An 1 共n个式子 P ( Ai ) n
1 P( Ai Aj ) n(n 1)
2 Cn 个式子 共
1 P( A1 A2 An ) n!
P( A) P( Ai )
i 1
n
加法公式
P( Ai )
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当A、B互斥时，有P(A+B)=P(A)+P(B)
对任意事件A，公式 P( A) 1 P( A)有助于 求较复杂事件的概率。 当A B时，P(B－A)＝P(B)－P(A) 可用来求 差的概率。
课间休息
长江三峡之巫峡
第四节 条件概率
一、条件概率
1 P ( A) 6
1 P ( A | B) 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数
在缩减的样本空间 中A所含样本点 个数
又如，10件产品中有7件正品，3件次品，7件正品中 有3件一等品，4件二等品. 现从这10件中任取一件， 求它是一等品的概率；如果已知取到的是正品，求 它是一等品的概率。 设 A={取到一等品}， B={取到正品}
例
一批产品分一等品,二等品和废品,若一等品
的概率为0.74,二等品的概率为0.21,求这批产品
的合格品的概率与废品的概率(即合格品率与废
概率论第一章
1）试验可以在相同的条件下重复进行。
2）试验可能出现的所有结果种类已知
3）在未试验之前，不知道下次试验出现的结果，但试 验结果必是所有可能结果中的某一个。
具有这些特点的试验称为随机试验。
3
样本空间与随机事件
样本空间：随机试验所有可能结果的集合称为样本 空间。常用Ω表示。 样本点：样本空间的元素称为样本点，常用ω表示。
Ω
例如：B＝{出现偶数点}， A＝{出现４点}
BA
文氏图
10
2、事件的相等
如果事件A与事件B互相包含，即 A B且B A。
则称事件A等于事件B。记为：A＝B
11
3、事件的互斥
如事件A与事件B不能在同一次试验中都发生（但可以
都不发生），则称事件A与事件B是互斥或互不相容的。
记为：A∩B＝Ø
如事件A1，A2,…，An任意两个都互斥，则称这些 事件是两两互斥的,简称互斥。即有
第一章 随机事件与概率
随机现象与随机事件 概率的定义
条件概率与独立性
1
随机现象与随机事件
2
随机现象与随机试验
试验１：在相同的条件下，投掷一枚匀质的硬币。观察哪 一面向上。 试验２：在相同条件下，投掷一颗匀质正六面体的骰子。 观察所出现的点数 试验３：从一批灯泡中，任取一只，测定灯泡的使用寿命 这些试验具有如下特点：
5
《概率论》第1章 事件与概率
25/27
5. 试用A、B、C 表示下列事件： ① A 出现； A ② 仅 A 出现；ABC ③ 恰有一个出现；ABC ABC ABC ④ 至少有一个出现；A B C ⑤ 至多有一个出现； ABC ABC ABC ABC ⑥ 都不出现； ABC ⑦ 不都出现； ABC A B C ⑧ 至少有两个出现； AC BC AB
A B B , B A A
A
B
第一章 事件与概率
17/27
对立事件与互斥事件的区别
A、B 互斥 A、B 对立
A
B
A
A B
AB ,
互 斥
A B 且 AB .
对
立
第一章
事件与概率
18/27
注意点(1)
基本事件互不相容，基本事件之并=Ω
“A、B、C中恰好发生二个”可以表示成 “A、B、C中有不多于一个事件发生”可以表示 成
第一章 事件与概率
22/27
A B B A, A B A B A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) C A ( B C ) ( A B) ( A C ) A ( B C ) ( A B) ( A C )
第一章
事件与概率
概率论-第1章-第1讲-随机事件[21页]
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概率论与数理统计 第一章 13等可能概型
概率论
湖北大学材料科学与工程学院
尚勋忠
概率论
研究随机现象，不仅关心试验中会出 现哪些事件，更重要的是想知道事件出现 的可能性大小，也就是
那么要问: 如何求得某事件的概率呢? 下面几节就来回答这个问题.
概率论
频率的定义
概率的公理化定义及概率的性质
事件在一次试验中是否发生具有随机性，它发 生的可能性大小是其本身所固有的性质，概率 是度量某事件发生可能性大小的一种数量指标 . 它介于0与1之间.
常常把这样的试验结果称为“等可能的”.
概率论
例如，一个袋子中装有10 个大小、形状完全相同的球 . 将球编号为1－10 .把球搅匀， 蒙上眼睛，从中任取一球.
8 5 1 9 4 6 7 2 3 10
概率论
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 10个球中的任一个被取 出的机会都是1/10
因为抽取时这些球是完 全平等的，我们没有理由认 为10个球中的某一个会比另 一个更容易取得 . 也就是说， 10个球中的任一个被取出的 机会是相等的，均为1/10.
e1, e2, …，eN ,
假定从该试验的条件及实施方法上去分析， 我们找不到任何理由认为其中某一结果例如 ei，比 任一其它结果，例如 ej, 更有优势，则我们只好认 为所有结果在试验中有同等可能的出现机会，即 1/N的出现机会.
概率论与数理统计同济大学第1章
1.4 电炉上安装了4个温控器.在使用过程中,只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度0t ,电炉就断电.事件A 表示“电炉断电”.4个温控器显示的温度按递增顺序记作(),1,2,3,4,i T i =即(1)(2)T T ≤≤(3)T (4).T ≤试问,4个事件()0{}(1,2,3,4)i T t i ≥=中,哪一个恰等于A ？
1.6 已知N 件产品中有M 件是不合格品,今从中随机地抽取n 件.试求,(1)n 件中恰有k 件不合格品的概率;(2)n 件中至少有一件不合格品的概率.假定k M ≤且n k N M -≤-.
1.7 一个口袋里装有10只球,分别编上号码1,…,10,随机地从口袋里取3只球.试求:(1)最小号码是5的概率;(2)最大号码是5的概率.
1.8一份试卷上有6道题.某位学生在解答时由于粗心随机地犯了4处不同的错误.试求,(1)这4处错误发生在最后一道题上的概率;(2)这4处错误发生在不同题上的概率;(3)至少有3道题全对的概率.
1.9 在单位圆内随机地取一点Q ,试求以Q 为中点的弦长超过1的概率.
1.10 在长度为T 的时间段内,有两个长短不等的信号随机地进入接收机.长信号持续时间为1()t T ≤,短信号持续时间为2()t T ≤.试求这两个信号互不干扰的概率.
1.11 设,A B 是两个事件,已知()0.5,()0.7,()0.8P A P B P A B === ,试求()P A B -与()P B A -.
1.12 设,,A B C 是三个事件,已知()()()0.3,()0.2,()P A P B P C P AB P BC ====()0P CA ==.试求,,A B C 中至少有一个发生的概率与,,A B C 全不发生的概率.
概率论与数理统计知识总结之第一章
第一章 概率论的基本概念
确定性现象：在一定条件下必然发生的现象
随机现象：在个别试验中其结果呈现出不确定性，在大量重复试验中其结果又具有统计规律性的现象
随机试验：
具有下述三个特点的试验：
1.可以在相同的条件下重复地进行
2.每次试验的可能结果不止一个，且能事先明确试验的所有可能结果
3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现
样本空间：
将随机试验E 的所有可能出现的结果组成的集合称为E 的样本空间，记为S 样本点：
样本空间的元素，即E 的每个结果，称为样本点
样本空间的元素是由试验的目的所确定的。
随机事件：
一般，我们称试验E 的样本空间S 的子集为E 的随机事件，简称事件
在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生。 基本事件：
由一个样本点组成的单点集，称为基本事件。
必然事件：
样本空间S 包含所有的样本点，它是S 自身的子集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。
不可能事件：
空集Φ不包含任何样本点，它也作为样本空间的子集，在每次试验中，称为不可能事件。
事件间的关系与运算：
设试验E 的样本空间为S ，而A,B,k A （k=1,2,…)是S 的子集。
1.若B A ⊂，则称事件B 包含事件A ，这指的是事件A 发生必然导致事件B 发生。 若B A ⊂且A B ⊂,即A=B ，则称事件A 与事件B 相等。
2.事件{x B A =⋃｜A x ∈或}B x ∈称为事件A 与事件B 的和事件。当且仅当A,B 中至少有一个发生时，事件B A ⋃发生。
类似地，称n k U 1=k A 为事件,,21A A …n A ,的和事件；称k k A U ∞
《概率论》第1章
m m
有限可加性
这三条性质刻画了频率的本质 特征, 启发我们定义事件的概率
第一章 概率论的基本概念
§2 随机事件的概率
10/14
设 {S } 为可测空间 , A S , 若存在实数 P( A) 与之对应, 且满足 样本空间 全体事件构成的事件域 非负性：P( A) 0 规范性：P( S ) 1 可列可加性：对两两不相容的事件列{ Ak } k 1有
P{ n 个人生日各不相同 } A 365 结果有点出 n A P{ 至少有两人生日相同 } 1 365n 乎人们意料 365
n 20 25 30 40 50 55 100 p 0.41 0.57 0.71 0.89 0.97 0.99 0.9999997
第一章 概率论的基本概念
n 365 n
第一章
概率论的基本概念
§2 随机事件的概率
17/16
抛两枚硬币，求出现一个正面一个反面的概率 该试验的样本空间为
S {HH, HT, TH, TT} 这是一个古典概型,事件 A : “一个正面一个反面”的有利
场合是 HT, TH
P( A) 2 1 4 2
18世纪著名的法国数学家达朗贝尔 取样本空间为
概率论课本作业第一章
第一章
1、一般事件（复合事件）：由不止一个样本点做成的事件。
以下哪些试验是随机试验。
（1）抛掷一枚硬币，观察出现的是正面在上还是反面在上；
（2）记录某电话传呼台在一分钟内接到的呼叫次数；
（3）从一大批元件中任意取出一个，测试它的寿命；
（4）观察一桶汽油遇到明火时的情形；
（5）记录一门炮向某一目标射击的弹着点位置。
：（1）（2）（3）（5）是随机试验，（4）不是随机试验。2、写出下列随机试验的样本空间。
（1）抛掷一颗骰子，观察出现的点数；
（2）抛掷二次硬币，观察出现的结果；
（3）记录某汽车站在5分钟内到达的乘客数；
（4）从一批灯泡中任取一只，测试其寿命；
（5）记录一门炮向其目标射击的弹落点；
（6）观察一次地震的震源；
：
（1）{1,2,3,4,5}；
（2）{（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}；
（3）{0,1,2,3,4...}
（4）,其中x表示灯泡的寿命；
（5）,其中x、y分别表示弹着点的横坐标、纵坐标；
（6）,其中x、y、z分别表示震源的经度、纬度、离地面的深度。
3、抛掷一个骰子，观察出现的点数。用A表示“出现的点数为奇数”，B表示“出现的点数大于4”，C表示“出现的点数为3”,D表示“出现的点数大于6”，E表示“出现的点数不为负数”，
（1）写出实验的样本空间；
（2）用样本点表示事件A、B、C、D、E；
（3）指出事件A、B、C、D、E何为基本事件，何为必然事件，何为不可能事件。
:
（1）{1,2,3,4}；
（2）{1，3，5}，{5，6}，{3}，，{1，2，3，4，5，6}；
概率论与数理统计第13节 条件概率及独立性
在第二次取球之前, 故问题的结构不像 (1) 那么直 观. 我们可按定义计算 P ( A1 | A2 ) 更方便一些.
由
3 2 P( A1 A2 ) 10 9
3 P ( A2 ) 10
P ( A1 A2 ) 2 P ( A1 | A2 ) . 9 P ( A2 )
乘法公式 P ( AB) (2) 和 (3) 式都称为乘法公式 , 利用 由条件概率的定义： P ( A | B) P ( B) 它们可计算两个事件同时发生的概率 若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB). 即 若P(B)>0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2) 将A、B的位置对调，有
P ( AB ) 1 6 P( A | B) 3 P( B) 3 6 2)从加入条件后改变了的情况去算
1
掷骰子
1 P(A|B）= 3
B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数 在缩减样本空间 中A所含样本点 个数
问题 : 分别考虑
P ( A)与P A B 哪个大？
A B, B A, AB
乘法公式（本节讲P30）;
全概率公式（下节讲）；
贝叶斯公式（下节讲）。
例 1 一袋中装有 10 个球, 其中 3 个黑球, 7 个白 球, 先后两次从袋中各取一球 (不放回). (1) 已知第一次取出的是黑球, 求第二次取出的仍 是黑球的概率; (2) 已知第二次取出的是黑球, 求第一次取出的也
概率论第一章
Fn(A)稳定在0.5附近摆动，但不是普通 的极限意义。
9
五、概率的统计意义 定义：随机试验E中的事件A，在n次重复试验
中出现的频率为Fn(A) ，当n很大时，Fn(A) 稳
定地在某一数值p的附近摆动，且随着n的增 大，摆动幅度会减小，则称p为随机事件A发生 的概率，记为
P A p
10
§1.2 随机事件间的关系与运算 一、关系
20
概率的古典定义
1 , 2 ,, n 为古典概型，事件A 设
发生的概率定义为
k A所包含的基本事件总数 P A n 基本事件总数
21
2、概率的基本性质
定理1.1：
⑴⑵⑶为基本性质
⑴ 非负性：对任一事件A，有0≤P(A)≤1。
⑵ 规范性： P 1, P 0 ⑶ 有限可加性：若事件A,B互斥，则
i 1
3、并事件： 事件A、B至少有一个发生，记为A∪B。
n
n个事件的并事件指A1,A2,…,An至少有一个发生：
A1 A2 An Ai
i 1
12
4、差事件： 事件A发生而事件B不发生，记为 A B AB 。 5、互不相容或互斥： 事件A与事件B不可能同时发生，记 AB 。 当事件A、B互斥时，记A∪B＝A＋B。 6、对立事件： 对于事件A，称“事件A不发生”为事件A 的对 立 A 事件，记为 。
概率论与数理统计第1章 随机事件及其概率
2）每个样本点构成的基本事件发生是等可能的， 即
15
则称此试验为古典概型试验.简称为古典概型. 在古典概型试验中，设样本空间的样本点数为n， 任一事件A包含的样本点数为m，则
16
17
18
本问题的结论说明：不论是有放回抽签，还是不放 回抽签，每个人抽到有效签的概率相同，即抽签与顺序 无关.
19
38
39
40
41
1.2.2 三个重要公式 1.乘法公式 将条件概率公式换一种形式，即得乘法公式:
42
43
2.全概率公式 在介绍全概率公式之前我们定义完备事件组.
44
图1.6
45
图1.7
46
例1.24 已知某地区居民肥胖者占10%，瘦小者占 8%，中等体型者占82%.又知该地区肥胖人中患高血压 的概率为0.2，瘦小者患高血压的概率为0.05，中等体型 人患高血压的概率为0.1，求该地区居民患高血压的概 率.
61
62
63
7
定义1.4 “事件A与事件B至少有一个发生”这一事 件称为事件A与事件B的并（或和）.记为A∪B，即
定义1.5 “事件A与事件B同时发生”这一事件称为 事件A与事件B的交（或乘积），记为A∩B或`，即
定义1.6 若事件A与事件B不能同时发生，则称事件 A与事件B互不相容（简称为互斥），即
8
周洋鑫概率论13
周洋鑫概率论13
【最新版】
目录
1.概论
2.随机事件与概率
3.概率分布
4.概率论的应用
正文
一、概论
概率论是研究随机现象的理论，它通过对随机事件的研究，揭示了随机现象背后的规律。作为一门理论科学，概率论在实际生活中的应用广泛，如物理学、生物学、经济学、社会学等领域。周洋鑫的《概率论 13》为我们提供了一个学习概率论的途径，帮助我们更好地理解和应用概率论。
二、随机事件与概率
随机事件是指在一定条件下可能发生的事件，其结果具有不确定性。概率是用来描述随机事件发生可能性的数值，它的取值范围在 0 和 1 之间。当概率为 0 时，表示事件不可能发生；当概率为 1 时，表示事件肯定会发生。
概率的计算方法有多种，如古典概率、条件概率和独立事件概率等。古典概率主要用于计算具有等可能性的事件的概率，如投掷均匀骰子的点数。条件概率则用于计算在某些条件下事件发生的概率，如从一副牌中抽取一张牌，第一张抽到红桃，第二张抽到黑桃的概率。独立事件概率则用于计算多个独立事件同时发生的概率，如在多个独立的硬币投掷中，出现一定数量正面朝上的硬币的概率。
三、概率分布
概率分布是描述随机变量取值范围及其对应概率分布情况的统计量。常见的概率分布有离散型概率分布和连续型概率分布。离散型概率分布用于描述离散型随机变量的概率分布情况，如二项分布、泊松分布等；连续型概率分布则用于描述连续型随机变量的概率分布情况，如正态分布、指数分布等。
四、概率论的应用
概率论在各个领域的应用非常广泛，如在保险业中，通过概率论计算保险事故发生的概率，从而制定合理的保费；在医学领域，通过概率论分析疾病的发病率和死亡率，为制定预防措施提供依据；在工程领域，通过概率论预测产品的寿命，以确保产品的可靠性和稳定性。
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于是
P( A) 1 P( A) 1 0.695 0.305
例 1.3.2 抛掷一枚均匀硬币 5 次， 试求既出现正面又出现反面的概率. 解 记
A =“抛掷 5 次既出现正面又出现反面”.
则
A =“抛掷 5 次全出现正面或全出现反面”.
易见 A 及 A 都不简单，但再引入记号
B =“掷 5 次全出正面” ，
故
P( A B) P( A) P( B) .
推论（概率的单调性）若 B A ，则 P( A) P( B) .
Proof 利用概率的可减性及非负性，得
P( A) P( B) P( A B) 0 .
从而有
P( A) P( B) .
Remark 单调性的逆命题，若 P( A) P( B) ，则 B A 不成立。
1.3.2 概率的单调性 性质 1.3.4 若 B A ，则 P( A B) P( A) P( B) （概率的可减性） Proof 由 B A ，可将 A 表示为如下互斥并形式
A B ( A B) .
利用有限可加性，得
P( A) P( B) P( A B)
P( A) P( A) 1 .
Proof 注意到 A A ，利用正则性和有限可加性，得
1 P() P( A) P( A) .
即
P( A) P( A) 1 .
Remark 概率的互补性的效用： 面对复杂的事件 A ，转而考虑 A ，发现简单易得 P( A) ， 用 P( A) 1 P( A) 达到求 P ( A) 之目的！
n
n
P( A ) P( A )
i i i 1 i n 1
P ( A ) P ( )
i i 1 i n 1
n
P( A ) .
i i 1
n
因此
P(
A ) P( A ).
i i i 1 i 1
n
n
性质 1.3.3(概率的互补性) 对任意事件 A ,有
反例：向区间 [0,1] 随机投点，记
A “该点落入区间 [0,0.5] ” ，
B “该点落入区间 [0.6,0.7] ”.
利用几何方法，易见
P( A) 0.5 ， P( B) 0.1 .
显然 P( A) P( B) ，但 B A 也显然不成立. 性质 1.3.5（弱可减性）对任意事件 A ， B ，有
解 记
Ak =“取出的 m 只球中最大号码为 k
直接计算 P( Ak ) 不容易.考虑以下事件
” ， k 1,2, , m .
A “取出的 m 只球中最大号码小于等于 k ” ，
B “取出的 m 只球中最大号码小于等于 k 1 ”.
则，易见 B A ，且
Ak A B .
而由古典方法，得
km ( k 1) m P ( A) = m ， P ( B ) = . n nm
于是
P( Ak ) P( A B) P( A) P( B)
k m (k 1) m ， k 1,2, , m nm
Remark P.34. n 6 , m 3 的具体计算结果及说明
i i j i j k i 1 1i j n 1i j k n
n
n 1
P( A1 A2 An ) .
Proof
i ) 对任意事件 A , B ，易见可将 A B 表示为“互斥并”形式为
A B ( A B) B .
1.3.3 概率的加法公式（解决任意事件并的概率计算） 性质 1.3.6（加法公式）
i ) 对任意事件 A , B ，有
P( A B) P( A) P( B) P( AB) ;
ii) 对 n 个任意事件 A1, A2 ,, An ,则有
P( Ai )
i 1
n
P( A ) P( A A ) P( A A A ) (1)
P( A B) P( A) P( AB) .
Proof 由 A B A AB ，且 AB A ，由可减性，得
P( A B) Байду номын сангаас P( A AB) P( A) P( AB) .
Remark 面对复杂事件的概率计算，也可巧妙运用可减性来解决！如下例. 例 1.3.3 口袋中有编号为 1,2, , n 的 n 只球，从中有放回地任取 m 次， 求取出 m 只球中最大号码为 k 的概率.
例 1.3.1 36 只灯泡中 4 只 60W，32 只 40W， 现从中任取 3 只，求至少取到 1 只 60W 灯泡的概率. 解 记
A =“任取 3 只中至少有一只 60W 灯泡”.
A 较复杂，而 A =“任取一只中全为 40W 灯泡”的概率，
由古典方法容易求得为
3 C32 P( A) 3 0.695 . C36
C =“抛掷 5 次全出现反面”.
则 B 、 C 简单，且 A B C ，且先由古典方法容易求得：
P( B) P(C)
于是
1 25 .
P( A) 1 P( A) 1 P(B C)
1 ( P( B) P(C )) 1 ( 1 1 15 ) 25 25 16 .
1.3.1 概率的可加性 Remark 概率的可加性包括可列可加性 (基本性质之一)和有限可加性(以下性质 1.3.2).
1 , A2 ,, An 性质 1.3.2(有限可加性) 若事件 A 为同一样本空间 下的互斥事件列，则
P(
Proof
A ) P( A
i i 1 i 1
n
n
i
).
记
An1 An 2 .
则 且 A1, A2 ,, An , An 1, An 2 ,
A A .
i i 1
n
i
i 1
为同一样本空间下的可列互斥事件列， 于是，由可列可加性及不可能事件的概率零性，得
P( Ai ) P ( Ai )
i 1
i 1